新北师大版九年级动点问题专题练习

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北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题专题训练 (含答案)

(2)∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝ AC＝，∴BD＝BE－DE＝－1
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

第四章图形的相似动点问题专练1 2021—2022学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上期第四章图形的相似动点问题专练11.如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1 cm/ s的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿DA方向以2 cm/ s的速度向点A匀速运动．？（1）经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19（2）是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2.如图所示，边长为4的正方形ABCD中，E为AD的中点，F为BC边上的一动点（不与B、C重合）连接DF, AG⊥DF, FM⊥AD,垂足分别为G,M.FM与AG相交与点H,连接HE.(1) 求证：△AMH～△FMD(2) 当F为BC的中点时，HM+HE=_________(3) 当F在边BC上运动时，HM+HE的值是否发生改变？为什么？3.如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=3，点P为AD边上的一动点（异于A、D），Q为BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ 交DQ于F．（1）求证：△APE∽△PDF；（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积y关于x的函数关系式．4.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1cm/s ，点E运动的速度为2cm/s ，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与▵ABC相似时，求运动的时间.5.如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝4，BC ＝3，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿BA向点A匀速运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动，设P，Q两点运动t秒（0＜t＜2）．（1）求AP的长（用含t的代数式表示）；（2）在P，Q两点运动的过程中，若△APQ与△ABC相似，求t的值；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B 移动，设P、Q两点移动t秒（0< t<5）后，若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求t的值？8.如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE // BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t>0）．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．（1）连接DP，t为何值时，四边形EQDP能够成为平行四边形？（2）t>1.6时，设△EDQ的面积为y，求y与t的函数关系式；是否存在某一时刻t 使△EDQ的面积与△AEP的面积相等？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△EDQ为直角三角形？10.已知在△ABC中,∠ABC=90∘,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图(1))或线段AB的延长线(如图(2)于点P.(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∼△ABC;(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.11.如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G ,连结DE，DF．（1）求证：△BEF∽△CEG（2）试说明，当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和为定值。

北师大版九年级下册第四章相似三角形动点问题解答题专题(含解析)

2019-2020相似三角形动点问题解答题专题（含解析）一、解答题1．（2018·江苏初三月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？（3）是否存在某一时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．2．如图1，已知在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4AC cm =，3BC cm =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1/cm s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2/cm s ；连结PQ .若设运动的时间为()()02t s t <<，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ？（2）设AQP ∆的面积为()2y cm ，求y 与t 之间的函数关系式.（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.（4）如图2，连结PC ，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形'PQP C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形'PQP C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.3．（2018·江苏初三期末）如图，直线AB 分别与两坐标轴交于点A （6，0），B （0，12），点C 的坐标为（3，0）（1）求直线AB 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P ．①过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为点E ，F ，若矩形OEPF 的面积为16，求点P 的坐标． ②连结CP ，是否存在点P ，使△ACP 与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2018·江西初二期末）如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与y＝﹣34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出BEAE的值，不存在请说明理由；(3)当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．5．（2018·山东初三期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，▱AQPD 为矩形．（2）当t 为何值时，▱AQPD 为菱形．（3）是否存在某一时刻t ，使四边形AQPD 的面积等于四边形PQCB 的面积，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．6．（2019·广东初三期末）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P 从点A 出发在线段AO 上以每秒2cm 的速度向原点O 运动，动直线EF 从x 轴开始以每秒lcm 的速度向上平行移动（即EF ∥x 轴），分别与y 轴、线段AB 交于点E 、F ，连接EP 、FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒．（1）求t=9时，△PEF 的面积；（2）直线EF 、点P 在运动过程中，是否存在这样的t 使得△PEF 的面积等于40cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，△EOP 与△BOA 相似．7．（2018·全国初三期中）如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），连接PC ，过点P 作PE PC ⊥交AB 于E ．()1在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC QE ⊥？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；()2当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．8．（2019·福建初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：142y x =-+ 与x 轴.y 轴交于B ，A 两点，点D ，C 分别为线段AB ，OB 的中点，连结CD ，如图，将△DCB 绕点B 按顺时针方向旋转角α，如图．(1)连结OC ，AD ，求证OBC V ∽ABD △；(2)当0°<α<180°时，若△DCB 旋转至A ，C ，D 三点共线时，求线段OD 的长；(3)试探索：180°<α<360°时，是否还有可能存在A ，C ，D 三点共线的情况，若存在，求出此直线的表达式；若不存在，请说明理由．9．（2019·四川初三月考）如图，在ABC ∆中，20BA BC cm ==，30AC cm =，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当x 为何值时，//PQ BC ；（2）是否存在某一时刻，使APQ CQB ∆∆？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说理由；（3）当10CQ =时，求APQABQ S S ∆∆的值．10．（2018·浙江初三期中）如图，在△ABC 中，BA =BC =20cm ，AC =30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当CQ =10时，求 △△ 的值．（2）当x 为何值时，PQ ∥BC ；（3）是否存在某一时刻，使△APQ ∽△CQB ？若存在，求出此时AP 的长，若不存在，请说明理由．11．（2018·河南初三期末）如图，已知矩形OABC ，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C （0，3），点P 以每秒1个单位的速度从点C 出发在射线CO 上运动，连接BP ，作BE ⊥PB 交x 轴于点E ，连接PE 交AB 于点F ，设运动时间为t 秒．（1）当t=2时，求点E 的坐标；（2）若AB 平分∠EBP 时，求t 的值.（3）在运动的过程中，是否存在以P 、O 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·四川初三期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），34BC AC =．（1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m 使得以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB CD cm ==，6AD BC cm ==，3AE DE cm ==，点P 从点E 出发，沿EB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（02t <<），解答下列问题：PQ BC？（1）当t为何值时，//（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.（4）连接BD，点O是BD的中点，是否存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.14．（2019·河南初二期末）如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．15．（2018·江苏初三期末）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C 是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t．（1）求FEOE的值；（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14．则在DB上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与P、B、A为顶点的三角形相似，如果存在求出DP的长，如果不存在，说明理由．17．（2018·重庆初三期末）如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；18．（2019·陕西省宝鸡市第一中学初三期中）如图：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．19．（2018·山东初三期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点Q在线段AC的中垂线上；（2）写出四边形PQAM的面积为S（cm2）与时间t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，△APQ与△ADC相似．20．（2019·西安交通大学附属中学初三月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC （1）求过点A ，B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P ，Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．21．（2019·重庆初三期末）已知，把Rt ABC 和Rt DEF 按图1摆放，点C 与E 点重合，点B 、C 、E 、F 始终在同一条直线上，ACB EDF 90∠∠==，DEF 45∠=，AC 8=，BC 6=，EF 10=，如图2，DEF 从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB 方向匀速移动，同时，点P 从A 出发，沿AB 以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC 与DEF 的直角边相交于Q ，当P 到达终点B 时，DEF 同时停止运动连接PQ ，设移动的时间为()s 解答下列问题：()1DEF 在平移的过程中，当点D 在Rt ABC 的AC 边上时，求AB 和t 的值；()2在移动的过程中，是否存在APQ 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．（2019·山东中考模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4cm ，AD ＝3cm ，动点M 、N 分别从D 、B 同时出发，都以1cm/秒的速度运动，点M 沿DA 向点终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连接MP ，已知运动的时间为t 秒（0＜t ＜3）．（1）当t ＝1秒时，求出PN 的长；（2）若四边形CDMP 的面积为s ，试求s 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t 使四边形CDMP 的面积与四边形ABCD 的面积比为3：8，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）在点M 、N 运动过程中，△MPA 能否成为一个等腰三角形？若能，试求出所有t 的可能值；若不能，试说明理由．23．（2018·山东初三期中）如图，已知Rt ABC 中，C 90∠=，AB 10cm =，AC 8cm =．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）(0t 4)<≤．解答下列问题：()1当t为何值时PQ平行于BC；()2当t为何值时，APQ与ABC相似？()3是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．()4是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．24．（2019·江苏初三期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2 cm/s的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.(1) 当△BDE是直角三角形时，求t的值；(2)若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.25．（2019·山东中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC 边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5．（1）当PQ ∥CD 时，求t 的值；（2）设四边形PQEC 的面积为S （cm 2），求S 与t 之间的函数关系式；（3）当P ，Q 两点运动到使∠PQE ＝60°时，求四边形PQEC 的面积；（4）是否存在某一时刻t ，使PQ +QE 的值最小？若存在，请求t 的值，并求出此时PQ +QE 的值；若不存在，请说明理由．26．（2019·昆山市第二中学初二期末）如图，已知Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从B 向A 方向运动，Q 到达A 点后，P 点也停止运动，设点,P Q 运动的时间为t 秒. (1)求P 点停止运动时，BP 的长;(2) ,P Q 两点在运动过程中，点E 是Q 点关于直线AC 的对称点，是否存在时间t ，使四边形PQCE 为菱形?若存在，求出此时t 的值;若不存在，请说明理由.(3) ,P Q 两点在运动过程中，求使APQ ∆与ABC ∆相似的时间t 的值.27．（2018·福建初三期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=33cm，点P 由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为3cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．28．（2018·榆树市第四小学校初三期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．(1)如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝____．(2)如图2，折叠△ABC 使点A 落在BC 边上的点M 处，折痕交AC 、AB 分别于E 、F ．若FM ∥AC ，求证：四边形AEMF 是菱形；(3)在(1)(2)的条件下，线段CQ 上是否存在点P ，使得△CMP 和△HQP 相似？若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．29．（2018·全国初三期中）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=，2AB AC ==，点D 为BC 边上的动点（D 不与B 、C 重合），AD ∠45E =，DE 交AC 于点E ．（1）BAD ∠与CDE ∠的大小关系为________．请证明你的结论；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（4）是否存在x ，使DCE 的面积是ABD 面积的2倍？若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由．30．（2018·山东初三期中）如图，菱形ABCD 的边长为5 厘米，对角线BD 长8厘米．点P 从点A 出发沿AB 方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q 从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的3 10？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．31．（2019·广东初三期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ＝，BP＝；（用含t的代数式表示）②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．32．（2018·四川初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB=43 OA．(1)求点A、点C的坐标；(2)求直线CD的解析式；(3)在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．33．（2018·四川初三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P 从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求直线AB的解析式；（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）CD＝245；（2）t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）不存在，见解析.【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，进利用面积法求出CD；（2）先表示出CP，再判断出∠ACD＝∠B，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△CEQ∽△CDA，得出QE CQAD AC=，进而表示出QE＝45t，再分当S△CPQ＝25S△ACD时，和当S△CPD＝35S△ACD时，利用面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB ＝22AC BC+＝2286+＝10，∵S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CD，∴CD＝AC BCAB⋅＝8610⨯＝245，（2）由（1）知，CD＝245，由运动知，CQ＝t，DP＝t，∴CP＝CD﹣DP＝245﹣t，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，1∴∠ACD＝∠B，∵△CPQ与△ABC相似，∴①△CPQ∽△BCA，∴CP CQ BC AB=，∴245610t t-=，∴t＝3②△CPQ∽△BAC，∴CP CQ AB BC=，∴245106t t-=∴t＝95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）假设存在，如图，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD ＝22AC CD-＝222485⎛⎫- ⎪⎝⎭＝325，过点Q作CE⊥CD于E，∴QE∥AD，∴△CEQ∽△CDA，∴QE CQ AD AC=，∴3258QEt ， ∴QE ＝45t ， ∵S △CPQ ＝12CP•QE ＝12（245﹣t ）•45t ，∴S △ACD ＝12AD•CD ＝12×325×245， ∵PQ 分△ACD 的面积为2：3，∴①当S △CPQ ＝25S △ACD 时， ∴12（245﹣t ）•45t ＝25×12×325×245，∴25t 2﹣120t+384＝0，而△＝1202﹣4×25×384＝14400﹣38400＜0，此方程无解，即：此种情况不存在，②当S △CPD ＝35S △ACD 时，12（245﹣t ）•45t ＝35×12×325×245， ∴25t 2﹣120t+576＝0，而△＝1202﹣4×25×576＝14400﹣57600＜0，此方程无解，即：此种情况不存在，即：不存在某时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（1）107t =；（2）2335y t t =-+；（3）不存在，见解析；（4）存在，边长为5059. 【解析】【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出三角形APQ 和三角形ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC ，根据P ，Q 的速度，可以用时间t 表示出AQ ，BP 的长，而AB 可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP ，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t 的值．（2）求三角形APQ 的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ 可以根据Q 的速度和时间t 表示出来．关键是高，可以用AP 和∠A 的正弦值来求．AP 的长可以用AB-BP 求得，而sinA 就是BC ：AB 的值，因此表示出AQ 和AQ 边上的高后，就可以得出y 与t 的函数关系式．（3）如果将三角形ABC 的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ ，那么可以用t 表示出CQ ，AQ ，AP ，BP 的长，那么可以求出此时t 的值，我们可将t 的值代入（2）的面积与t 的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC 面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ，那么PNCM 就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN 和三角形ABC 相似，得出关于BP ，PN ，AB ，AC 的比例关系，即可用t 表示出PN 的长，也就表示出了MC 的长，要想使四边形PQP′C 是菱形，PQ=PC ，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC ，这样有用t 表示出的AQ ，QM ，MC 三条线段和AC 的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC 来求出t 的值．求出了t 就可以得出QM ，CM 和PM 的长，也就能求出菱形的边长了．【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，先求得5AB =.由题意知：5AP t =-，2AQ t =，若PQBC ，则APQ ABC ∆∆，由AQ AP AC AB =，可求得107t =.（2）如图3，过点P 作PH AC ⊥于H ，由APH ABC ∆∆，得PH AP BC AB =，可求得335PH t =-， ∴11323225y AQ PH t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭2335t t =-+.（3）若PQ 把ABC ∆的周长平分，则AP AQ BP BC CQ +=++.∴()()52342t t t t -+=++-，解得：1t =.若PQ 把ABC ∆的面积平分，则12APQ ABC S S ∆∆=，即23335t t -+=.把1t =代入上面的方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分.（4）如图4，过点P 作PM AC ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，若四边形'PQP C 是菱形，则PQ PC =. ∵PM AC ⊥于M ， ∴QM CM =.∵PN BC ⊥于N ，易知PBN ABC ∆∆.∴PN BPAC AB=， ∴45PN t=， ∴45tPN =， ∴45t QM CM ==， ∴442455t t t ++=，解得：109t =. ∴当109t =时，四边形'PQP C 是菱形.此时37353PM t =-=，4859CM t ==，在Rt PMC ∆中，2249645059819PC PM CM =+=+=， ∴菱形'PQP C 的边长为5059.【点睛】本题考查相似形，解题关键在于熟练掌握计算法则.3．（1）y=﹣2x+12；（2）①点P （2，8）或（4，4）；②存在，点P 的坐标为（3，6）或点P （275，65）【解析】试题分析：（1）由于A （6，0），B （0，12），利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）①可以设动点P （x ，﹣2x +12），由此得到PE =x ，PF =﹣2x +12，再利用矩形OEPF 的面积为16即可求出点P 的坐标；②存在，分两种情况：第一种由CP ∥OB 得△ACP ∽△AOB ，由此即可求出P 的坐标；第二种CP ⊥AB ，根据已知条件可以证明APC ∽△AOB ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出P A ，再过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，由此得到PH ∥OB ，进一步得到△APH ∽△ABO ，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P 的坐标．解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，如图1：依题意，，∴，∴y=﹣2x+12；（2）①设动点P （x，﹣2x+12），则PE=x，PF=﹣2x+12，∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+12）=16，∴x1=2，x2=4；经检验x1=2，x2=4都符合题意，∴点P（2，8）或（4，4）；②存在，分两种情况∵A（6，0），B（0，12），∴OA=6，OB=12，AB=6第一种：CP∥OB，∴△ACP∽△AOB，而点C的坐标为（3，0），∴点P（3，6）；第二种CP⊥AB，∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，∴△APC∽△AOB，∴，∴，∴AP=，如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，∴PH∥OB，∴△APH∽△ABO，∴，∴，∴PH=，AH=，∴OH=OA﹣AH=6﹣=，∴点P（，）．∴点P的坐标为（3，6）或点P（，）．点睛：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，熟练运用相似三角形的性质与判定以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．4．(1)A(87，157)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，BEAE=14；(3)点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【解析】【分析】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立求得方程组的解可得到点A的坐标，然后将y＝0代入函数解析式求得对应的x的值可得到点B、C的横坐标；(2)当OE∥AD时，存在四边形EODA为平行四边形，然后依据平行线分线段成比例定理可得到BE AE=OB OC；(3)当DB＝DC时，点D在BC的垂直平分线上可先求得点D的横坐标；即AC与y轴的交点为F，可求得CF＝BC＝F，当点D与点F重合或点D与点F关于点C对称时，三角形BCD为等腰三角形，当BD＝BC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，从而可求得点D的横坐标．【详解】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立得：1334y xy x=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：x＝87，y＝157，∴A(87，157)．把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，∴B(﹣1，0)．把y＝0代入y＝﹣34x+3得：﹣34x+3＝0，解得：x＝4，∴C(4，0)．(2)如图，存在点E使EODA为平行四边形．∵EO∥AC，∴BEAE=OBOC=14．(3)当点BD＝DC时，点D在BC的垂直平分线上，则点D的横坐标为32，将x＝32代入直线AC的解析式得：y＝158，∴此时点D的坐标为(32，158)．如图所示：FC＝22OF OC＝5，∴BC＝CF，∴当点D与点F重合时，△BCD为等腰三角形，∴此时点D的坐标为(0，3)；当点D与点F关于点C对称时，CD＝CB，∴此时点D的坐标为(8，﹣3)，当BD＝DC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，解得x＝4(舍去)或x＝﹣125，将x＝﹣125代入y＝﹣34x+3得y＝245，∴此时点D的坐标为(﹣125，245)．综上所述点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，利用平行线分线段成比例定理求解是解答问题(2)的关键；分类讨论是解答问题(3)的关键．5．(1) 当t=时，▱AQPD是矩形；(2) 当t=时，□AQPD是菱形；(3)【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；（3）过点P作PM⊥AC于M．先表示出△APQ的面积和S四边形PQCB=S△ABC﹣S△APQ，进而建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图2，当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC∴=，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，=,即，t-t解之t=，∴当t=时，▱AQPD是矩形；（2）当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，AE=AP则cos∠BAC==，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，AE=6﹣t，∴t=t解之t=，所以当t=时，□AQPD是菱形；（3）存在时间t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积．在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=4，如图3，过点P作PM⊥AC于M．则=，=，即t故PM=（12﹣t）．∴S△APQ=AQ×PM=×t×（12﹣t），∴S=S△ABC﹣S△APQ=×4×8﹣×t×（12﹣t），四边形PQCB∵四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，∴2××t×（12﹣t）=×4×8﹣×t×（12﹣t），∴t=（舍）或t=.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．6．（1）36cm2；（2）不存在；（3）t=6或t=80 11.【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=•EF•OE．t=9时，OE=9，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则EF OA =BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．【详解】解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA=BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF=20615=8，∴S△PEF=12EF•OE=12×8×9=36（cm2）；（2）∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE OABO⋅=()15t2015-⋅=43（15-t），∴12×43（15-t）×t=40，整理，得t2-15t+60=0，∵△=152-4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA=OEOB，即202t20-=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB=OEOA，即202t15-=t20，解得t=80 11．∴当t=6或t=8011时，△EOP与△BOA相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．7．（1）当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=；（2）BE 的取值范围是728BE ≤<．【解析】【分析】（1）假设存在符合条件的Q 点，由于PE ⊥PC ，且四边形ABCD 是矩形，易证得△APE ∽△DCP ，可得AP•PD=AE•CD ，同理可通过△AQE ∽△DCQ 得到AQ•QD=AE•DC ，则AP•PD=AQ•QD ，分别用PD 、QD 表示出AP 、AQ ，将所得等式进行适当变形即可求得AP 、AQ 的数量关系．（2）由于BE 的最大值为AB 的长即2，因此只需求得BE 的最小值即可；设AP=x ，AE=y ，在（1）题中已经证得AP•PD=AE•CD ，用x 、y 表示出其中的线段，即可得到关于x 、y 的函数关系式，根据函数的性质即可求得y 的最大值，由此可求得BE 的最小值，即可得到BE 的取值范围．【详解】()1假设存在这样的点Q ；∵PE PC ⊥，∴90APE DPC ∠+∠=，∵90D ∠=，∴90DPC DCP ∠+∠=， ∴APE DCP ∠=∠，又∵90A D ∠=∠=， ∴APE DCP ∽， ∴AP AEDC DP=， ∴AP DP AE DC ⋅=⋅；同理可得AQ DQ AE DC ⋅=⋅；∴AQ DQ AP DP ⋅=⋅，即()()33AQ AQ AP AP ⋅-=⋅-，∴2233AQ AQ AP AP -=-，∴2233AP AQ AP AQ -=-，∴()()()3AP AQ AP AQ AP AQ +-=-；∵AP AQ ≠，∴3AP AQ +=∵AP AQ ≠，∴32AP ≠，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=．()2设AP x =，AE y =，由AP DP AE DC ⋅=⋅可得()32x x y -=，∴()221131393()222228y x x x x x =-=-+=--+， ∴当32x =（在03x <<范围内）时，98y =最大值；而此时BE 最小为78，又∵E在AB上运动，且2AB=，∴BE的取值范围是72 8BE≤<．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用；（1）题中，通过两步相似得到与所求相关的乘积式，并能正确地进行化简变形是解决此题的关键．8．（1）详见解析；（2）229.（3）存在，44.3y x=-+【解析】【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出BC，CD，即可判断出△OBC∽△ABD；（2）先确定出△ACB≌△BOA，进而判断出平行四边形AOBC是矩形，利用勾股定理即可得出结论；（3）先求出1255OC=，进而利用勾股定理求出点C的坐标（245，125-），最后用待定系数法即可得出结论．【详解】解：(1)由142y x=-+得A(0，4),B(8，0)，则OA=4，OB=8，∵AD=BD,OC=BC∴122CD OA==，BC=4，1.2BD AB=∵∠ABO=∠DBC,∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC. ∴∠OBC=∠ABD，。

第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC，PE//AB．(1)用a表示四边形ADPE的周长为．(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由．(3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；(3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；(2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由．4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论．(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．(1)CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；(2)当OD=______时，直线CD平分线段AF；(3)在OD=2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°)，求当C、D、E共线时D的坐标．6.如图在正方形ABCD中，边长为3，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N．(1)当点P与C、D重合时，DM2+BN2的值分别为______、______；(2)当点P不与D、C重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．7.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图②，线段CF、BD之间的数量关系为______，位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③，线段CF、BD之间的数量，位置关系是否成立？______(填“是”或“否”)．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC=3，AB=6．(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为______ ；(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．9.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE。

北师版九年级数学：《一元二次方程应用题动态几何类型》20道(含答案及解析)

（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，矩形中，，，点从点出发，沿着的方向以的速度向终点匀速运动；点从点出发，沿着的方向以的速度向终点匀速运动；点，同时出发，当，中任何一个点到达终点时，另一个点同时停止运动，点运动时间为连接，的面积为．
（1）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（1）当点P出发几秒后，PA=PC；
（2）当点P出发几秒后，Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=2PD．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点M、N的运动时间为t秒.
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？
3．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当 ____s时，的面积为16cm2

北师大版九年级上册第二单元一元二次方程中的最值问题及动点问题学生版

AC B p Q【例3】如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=10cm ，BC=6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度；（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm 2？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．练习：如图，在长方形ABCD 中，AB=5cm ，BC=7cm ，点P 从点A 开始沿线段AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿线段BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，点P 、Q 分别从A ，B 两点同时出发了t 秒钟，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0＜t ＜3.5）（1）经过几秒钟后，PQ 的长度等于5cm ．（2）经过几秒钟后，△BPQ 的面积等于4cm ．（3）经过几秒钟后，△DPQ 是等腰三角形？【例4】已知：如图，△ABC 是边长为3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm /s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间t (s )，解答下列各问题：（1）求ABC ∆的面积（2）当t 为何值是，△PBQ 是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t ，使PBQ ∆的面积是ABC ∆面积的九分之二？如果存在，求出t 的值；不存在请说明理由。

练习：如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求AD的长；（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点PS△ABC？若存在，请求出t的值；运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD=112若不存在，请说明理由．【例5】如图，已知A，B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，且OA，OB的长分别是x2-14x+48=0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，若有一动点P以每秒1个单位的速度从B点开始沿射线BC移动，运动时间为t秒（1）设△APB和△OPB的面积分别为S1，S2，求S1：S2；（2）求直线BC的解析式；（3）在点P的运动过程中，△OPB可能是等腰三角形吗？若可能，求出时间t；若不可能，请说明理由．巩固检测1、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是2、在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB＝23，则AC的长是3、用16cm长的铁丝弯成一个矩形，用长18cm长的铁丝弯成一个腰长为5cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为4、如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= cm，BQ= cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于103cm2？5、练习：如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点P从A出发沿线段AB运动，过点P作PF∥BC，交线段AC于点F．（1）点P在运动的过程中，△APF的形状（填“改变”或“不变”）．如果改变，请指出所有可能出现的形状；如果不变，请指出它是什么三角形．（2）如图2以顶点B为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P从A出发的同时，点Q从C出发沿BC的延长线运动，它们的运动速度相同，连线PQ与边AC交于点D．试解决以下两个问题：①当AP为何值时，S△PCQ=14S△ABC；②作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．。

北师大版初三数学之中考动点问题专题训练

北师大版初三中考动点问题专题训练1、如图，已知△AB C 中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D 为 AB 的中点．PBC B C （1）如果点在线段上以 3 厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点 QCA CA 在线段上由点向点运动．①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过 1 秒后，△BP D 与△C Q P 是 Q P 否全等，请说明理由；Q P Q②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使△BP D 与△C Q P 全等？C P （2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时 B出发，都逆时针沿△AB C 三边运动，求经过多长时间点与点第一次在△ P Q AB C 的哪条边上相遇？ADQBCP32、直线 y x 6 与坐标轴分别交于 A 、B 两点，动点 P 、Q 同时从O 点出发，4 同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线O → B → A 运动．（1）直接写出 A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OP Q 的面积为 S ，求出S 与t 之间的函数关系式；48（3）当S 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四5边形的第四个顶点 M 的坐标．y BPxl y xx y A3如图，在平面直角坐标系中，直线： =－2 －8分别与轴，轴相交于， B P k y P 两点，点（0，）是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3 为半径作 P ⊙ . PA PA PB P x（1）连结，若 = ，试判断⊙ 与轴的位置关系，并说明理由； k P l （2）当为何值时，以⊙ 与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形 P是正三角形？4 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ，AB 边交 y 轴于点 H ．（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△PMB 的面积为 S （S ≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值．ABC C AC AB P C CA 中，∠ =90°， = 3， = 5．点从点出发沿以每秒 15 在 Rt △A A AC 个单位长的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；点 Q A AB B P Q 从点出发沿以每秒 1个单位长的速度向点匀速运动．伴随着、的运 DE PQ PQ D QB BC CP E P Q 动，保持垂直平分，且交于点，交折线 - - 于点．点、同 Q B P P Q 时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间 t t 是秒（＞0）． t AP （1）当 = 2时， = Q AC ，点到的距离是；P C A APQ S （2）在点从向运动的过程中，求△ 的面积与的函数关系式；（不必写出的取值范围）QBED能否成t t时，请直接写出的值．BEQDACP图 166如图，在 Rt △AB C 中，AC B 90°，B 60°， BC 2．点O 是 A C 的中点，过点 O 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 O 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D ．过点C 作CE ∥ AB 交直线l 于点 E ，设直线l 的旋转角为．（1）①当度时，四边形 E D B C 是等腰梯形，此时 AD 的长为为；②当；度时，四边形 E D B C 是直角梯形，此时 AD 的长（2）当 9 0°时，判断四边形 E D B C 是否为菱形，并说明理lC C由．E OAABB DO7如图，在梯形中，A D∥BC，A D3，D C5，AB42，∠B45．动AB C D点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段C D以每秒1个单位长度的速度向终点A D D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当M N∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△M N C为等腰三角形．N B CM8如图1，在等腰梯形AB C D中，A D∥B C，E是AB的中点，过点E作EF∥B C交C D于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到B C的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作P M EF交B C于点M，过M作M N∥AB交折线A D C于点N，连结PN，设EP x.①当点N在线段A D上时（如图2），△P M N的形状是否发生改变？若不变，求出△P M N的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段D C上时（如图3），是否存在点P，使△PM N为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.xNA D A D A DNP PE F E F E FB C B C B CMM图1图2图3（第8题）AA D DE F E FB C B C图4（备用）图5（备用）ABCD中，点 A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点在第C 9 如图①，正方形 P ABCDA ABCD 的边上，从点出发沿 → → → 匀速运一象限．动点在正方形 Q x P 动，同时动点以相同速度在轴正半轴上运动，当点到达点时，两 D t 点同时停止运动，设运动的时间为秒． P (1)当点在边 AB Q 上运动时，点的横坐标（长度单位）关于运动时间 t Q P （秒）的函数图象如图②所示，请写出点开始运动时的坐标及点运动速度；C(2)求正方形边长及顶点的坐标； t OPQ P 的面积最大，并求此时点的坐标； (3)在（1）中当为何值时，△P 、QP A B C D OP 保持原速度不变，当点沿 → → → 匀速运动时，与 t能否相等，若能，写出所有符合条件的的值；若不能，请说明理由．(4)如果点 PQABCDE 是正方形，点是10 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形边的中点．，且交正方形外角 BC AE EF AEF 90 D C GEF CF F 的平行线于点，求证：= ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点，连接，则AE EF AB M ME AM EC = ，易证△AM E ≌△E CF ，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：EBCE（1）小颖提出：如图 2，如果把“点是边的中点”改为“点是边 BCB C AE EF 上（除，外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ = ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；C 的延长线上（除点外）的任意一点， E BC（2）小华提出：如图 3，点是 AE EF其他条件不变，结论“ = ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．FDDAADAFFBBE CGE C G B图 1图 2图 3参考答案1.解：（1）①∵1秒，t∴BP C Q313厘米，∵∴10厘米，点为的中点，D AB5厘米．ABB D又∵P C B C BP B C∴∴835厘米，P CP C B D又∵AB A C∴，B C∴△BP D≌△CQ P．·····················（4分）②∵v v，∴BP C Q，P Q又∵△BP D≌△C Q P ，B C，则BP PC 4，C Q BD 5，BP4∴点P，点Q运动的时间tC Q515∴v 厘米/秒．·················（7分）Q t3（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，15由题意，得x 3x 210，480解得x 秒．380∴点P共运动了380厘米．3∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，80∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········（12分）3A B2.解（1）（8，0）（0，6）··1分（2）OA 8，OB 6AB 108点Q 由到的时间是 8（秒）O A1 6 10点的速度是 P2（单位/秒）1 分8 当在线段 P 上运动（或 0≤ ≤3 ）时，， O Q t OP t2 O B t S t2 ····························· 1 分当在线段上运动（或3 ≤8）时，OQ t ，AP 6 10 2t 16 2t , P BA t 486t如图，作， ······ 1 分 51 3S O Q P D t 2 t ··················· 1 分2 5 5（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）8 24（3） P ， ························· 1 分5 5I 1 ，，M ，，M ， ·············· 3 分5 523 P x3.解：（1）⊙ 与轴相切. y xAy OAkkOPP l C D （2）设⊙ 与直线交于，两点，连结，当PC PDP OB 3∵△PCD223 3 PE ∴ = .2AOB PEB ABO PBE ∵∠ =∠ =90°， ∠ =∠ ，AOB PEB ∴△ ∽△ ，3 3 A O PE4 2 ∴ ∴ ，AB PB ,即 = 4 5 PB3 15 PB ,23 15 2∴ ∴ ∴ ，P O BO PB 8 3 15，8) P(0, 23 152.8k 3 15 2POBP当圆心在线段延长线上时,同理可得 (0,－－8)，3 15 k∴ =－－8，2k∴当 =P l －8 时，以⊙ 与直线的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4.8 5.解：（1）1，；5QF AC F AQ CP t （2）作⊥于点，如图3，= = ，∴．AP3tAQF ABC 由△∽△，，B C52324Q F t 4 Q F t 5得．∴ ．451 4 ∴ ，S (3t ) t 25BE2 6 即．S t t 2 55（3）能．DE QB①当 ∥ 时，如图 4． Q∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，四边形 QBED是直角梯形． DE PQ AQP此时∠ =90°．PQ QB DACP图 4由△APQA C ABBt 3 t 9即 358②如图 5，当∥时， ⊥ ，四边形 QBED是直角梯形．此时∠APQE C由△AQPAAB A CPt 15即538B5 （4）2P C A DE C ①点由向运动，经过点．连接，作 ⊥ 于点，如图 6．GQC QG BC G3 4P C tQ C Q G C G [ (5t )] [4 (5 t )] C(E)2 2 22 2A5 5PB 3 4 由 PC QC t [ (5t )] [4 (5t )]2 2 222 5 5PA C DEC②点由向运动，经过点，如图 7．G3 4(6 t )[ (5t )][4 (5t )] 2 2255DC(E) (4)A 6.解（1）①30，1；②60，1.5； P分（2）当∠α=90 时，四边形EDBC是菱形.BC ED∵∠α=∠ACB=90 ，∴ // . 0CE AB ∵ // , ∴四边形 EDBC 是平行四边形. ……………………6 分在 Rt △ABC ACB B 中，∠ =90 ，∠ =60 , =2,BC0 0 A∴∠ =30 .AB AC∴ =4, =2.31 ∴ = AC = 3 .AO ……………………2 8分AOD A AD 中，∠ =30，∴ =2. 在 Rt △0 BD∴ =2.BD BC∴ = . 又∵四边形 EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作 AK BC 于 K ，D H BC 于，则四H 边形 A D H K 是矩形∴ K H A D 3．······················ 1分2 224 ················ 2分 2在 Rt △C D H 中，由勾股定理得， H C 5 4 32 2 ∴ BC BK KH H C 43 3 10 ············· 3分ADADNBCBCK HGM（图①）（2）如图②，过D 作 D G ∥ AB 交 BC 于G 点，则四边形 A D G B 是平行四边形∵ M N ∥ AB ∴ M N ∥D G ∴ B G AD 3 ∴G C 10 3 7 ····················· 4分由题意知，当 M 、 N 运动到t 秒时，C N t ，C M 10 2t ． ∵ D G ∥M N∴∠N M C ∠D G C 又∠C ∠C∴△M N C ∽△G D CC N C MC D C G ∴ ······················ 5 分 ······················ 6 分 t 10 2t 即 5 75017解得，t （3）分三种情况讨论：①当 N C M C 时，如图③，即t 10 2t10∴t ························ 7 分 3AD ADNNBCBCEM（图④）（图③）②当 M N NC 时，如图④，过 N 作 NE M C 于 E 解法一：1 12 2N Ct5······················· 8 分∵∠C ∠C ，DH C NEC 90∴△NE C ∽△D H C N C E C ∴ D C H C t 5t 即 5 3 25∴t ························ 8 分 811 ③当 M N M C 时，如图⑤，过M 作 M F CN 于 F 点. FC NCt 22解法一：（方法同②中解法一）1 2t A DF C3cosCM C102t560N解得t17F解法二：B CH M∵∠C∠C，MF C D H C90∴△M F C∽△D H CF C M C （图⑤）∴H C D C1t2356017∴t10综上所述，当t、t或t时，△M N C为等腰三角形·9分17388.解（1）如图1，过点E作EG BC于点G．···1分∵E为AB的中点，A D1∴BE AB2．2E F在Rt△EB G中，∠B60，∴∠BE G30．··2 分1∴B G BE1，E G213．222B CG即点E到B C的距离为3．········· 3 分图1（2）①当点N在线段A D上运动时，△P M N的形状不发生改变．∵P M EF，EG EF，∴P M∥E G．∵EF∥B C，∴EP G M，P M EG3．同理M N AB4．······················4分如图2，过点P作P H M N于，∵M N∥AB，H∴∠N M C∠B60，∠P M H30．NA D13∴P H P M P22E FH3∴M H P M cos30．2B CG M35则N H M N M H4．图2222532在Rt△PN H中，PN N H PH 7．2222∴△P M N的周长=P M PN M N374．·········6分②当点 N 在线段 D C 上运动时，△P M N 的形状发生改变，但△M N C 恒为等边三角形．当 P M PN 时，如图 3，作 PR M N 于 R ，则 M R NR ．3类似①， M R ．2∴ M N 2M R 3． ······················ 7分 ∵△M N C 是等边三角形，∴ M C M N 3．此时， x EP G M BC B G M C 613 2． ········ 8分A D A D A D N P PF EF （P ） E FEN RN CBBCBCGGMG MM当 M P M N 时，如图 4，这时 M C M N M P 3．此时， x EP G M 6 1 3 5 3．当 NP N M 时，如图 5，∠NP M ∠P M N 30．则∠P M N 120，又∠M N C 60， ∴∠PN M ∠M N C 180．因此点 P 与 F 重合，△P M C 为直角三角形． ∴ M C P M tan30 1．综上所述，当 x 2或 4或 5 3 时，△P M N 为等腰三角形． ··· 10分 9解：（1）（1，0） ······················ 1分QP点运动速度每秒钟 1个单位长度．················ 2分 BF y （2）过点作 ⊥ 轴于点， ⊥ 轴于点，则＝8，． B F BE xE yD在 Rt △AFB22过点作 ⊥ 轴于点，与的延长线交于点．GC x FB H CA ∵PM F H x∴ B H AF 6, C H BF 8BO NQEG ∴ ．O G FH 8 6 14,CG 8 4 12 C∴所求点的坐标为（14，12）． 4分P PM y M PN N （3）过点作 ⊥ 轴于点， ⊥ 轴于点，xAPMABF则△ ∽△ ． AP A M M PABAFBFtA MM P ∴ ．．10 6 83 4 3 4 ∴ ． ∴ ．A M t ，P M t P N O M 10 t , ON P M t 5555设△OPQ 的面积为（平方单位）S1 3 47 3 ∴ （0≤ ≤10） ··········· 5分tS (10 t)(1 t ) 5 t t 2 251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．473 ∵<0 ∴当a 时， △OPQ的面积最大．····· 6分31094 53 此时的坐标为（，）．·················· 7分P 1510295OP PQ与相等．············ 9分（4）当 t1310.解：（1）正确．············ （1分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 A M EC ，连接 M E ．（2分）A DB M BE ．B M E 45 ，A M E 135 ．° ° F C F 是外角平分线，M DCF 45 ，° B E CGECF 135 ．° A M E ECF ． AEB BAE 90 ，AEB CEF 90 ， ° ° BAE CEF△A M E ≌△BC F （ASA ）． ·················· （5分） AE EF ． ························（6分）（2）正确．·············· （7分）证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN CE ，连接 NE ． ········ （8分） BN BE ．N AFDN PCE 45 ．° 四边形 AB C D 是正方形， AD BE ．∥BC E GDAE BEA．NAE CEF．△ANE≌△EC F（ASA）．··················（10分）AE EF．（11分）APMABF则△ ∽△ ． AP A M M PABAFBFtA MM P ∴ ．．10 6 83 4 3 4 ∴ ． ∴ ．A M t ，P M t P N O M 10 t , ON P M t 5555设△OPQ 的面积为（平方单位）S1 3 47 3 ∴ （0≤ ≤10） ··········· 5分tS (10 t)(1 t ) 5 t t 2 251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．473 ∵<0 ∴当a 时， △OPQ的面积最大．····· 6分31094 53 此时的坐标为（，）．·················· 7分P 1510295OP PQ与相等．············ 9分（4）当 t1310.解：（1）正确．············ （1分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 A M EC ，连接 M E ．（2分）A DB M BE ．B M E 45 ，A M E 135 ．° ° F C F 是外角平分线，M DCF 45 ，° B E CGECF 135 ．° A M E ECF ． AEB BAE 90 ，AEB CEF 90 ， ° ° BAE CEF△A M E ≌△BC F （ASA ）． ·················· （5分） AE EF ． ························（6分）（2）正确．·············· （7分）证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN CE ，连接 NE ． ········ （8分） BN BE ．N AFDN PCE 45 ．° 四边形 AB C D 是正方形， AD BE ．∥BC E GDAE BEA．NAE CEF．△ANE≌△EC F（ASA）．··················（10分）AE EF．（11分）APMABF则△ ∽△ ． AP A M M PABAFBFtA MM P ∴ ．．10 6 83 4 3 4 ∴ ． ∴ ．A M t ，P M t P N O M 10 t , ON P M t 5555设△OPQ 的面积为（平方单位）S1 3 47 3 ∴ （0≤ ≤10） ··········· 5分tS (10 t)(1 t ) 5 t t 2 251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．473 ∵<0 ∴当a 时， △OPQ的面积最大．····· 6分31094 53 此时的坐标为（，）．·················· 7分P 1510295OP PQ与相等．············ 9分（4）当 t1310.解：（1）正确．············ （1分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 A M EC ，连接 M E ．（2分）A DB M BE ．B M E 45 ，A M E 135 ．° ° F C F 是外角平分线，M DCF 45 ，° B E CGECF 135 ．° A M E ECF ． AEB BAE 90 ，AEB CEF 90 ， ° ° BAE CEF△A M E ≌△BC F （ASA ）． ·················· （5分） AE EF ． ························（6分）（2）正确．·············· （7分）证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN CE ，连接 NE ． ········ （8分） BN BE ．N AFDN PCE 45 ．° 四边形 AB C D 是正方形， AD BE ．∥BC E G刘老师亲笔DAE BEA．NAE CEF．△ANE≌△EC F（ASA）．··················（10分）AE EF．（11分）17。

2022-2023学年北师大版九年级数学上学期基础知识讲练1-13 特殊平行四边形动点问题

专题1.13 特殊平行四边形动点问题（专项练习）一、单选题类型一、菱形动点问题1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为()A．4B．245C．6D．4852．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（）A．1B．1.5C．2D．33．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，⊥A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形C．平行四边形—矩形—菱形—矩形D．平行四边形—菱形—平行四边形类型二、矩形动点问题5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将⊥CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）A．2B．1C．2D．36．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（）A．由小变大B．由大变小C．先变大后边小D．先变小后变大7．如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则BAD DOCADO∠+∠∠的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将⊥DCE沿DE所在直线折叠得到⊥DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（）A．52或2B．52C．32或2D．32类型三、正方形动点问题9．如图，正方形ABCD的面积为225cm，点E为BC边上一动点，点F为CD边上一动点，连接AE、AF，点E和点F在运动的过程中始终保持45EAF∠=︒，则CEF∆的周长（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP 于点E．连接EC，若CE CD=，则⊥CDE的面积是（）A．18B．413C．63D．14.411．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动点（不与A重合），以线段AE为边在正方形内作等边⊥AEF，M是边EF的中点，连接PM，则在点E运动过程中，PM的最小值是（）A．332B．532C．7D．312．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H ，连接BH ，那么BHAE 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题类型一、菱形动点问题13．如图（1）是一张菱形纸片，其中135A ∠=︒，1AB =，点E 为BC 边上一动点．如图（2），将纸片沿AE 翻折，点B 的对应点为B '；如图（3），将纸片再沿AB '折叠，点E 的对应点为E '．当AE '与菱形的边垂直时，BE 的长为______．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．15．如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60︒得到CBD ，E ，F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，且AE CF =，有以下结论：⊥四边形ABDC 为菱形；⊥≅ABE CBF ；⊥BEF 为等边三角形；⊥CFB CGE ∠=∠．其中正确结论有__________．（填序号）16．如图，点E 是菱形ABCD 边AB 的中点，点F 为边AD上一动点，连接EF ，将⊥AEF 沿直线EF 折叠得到⊥A 'EF ，连接A 'D ，A 'C ．已知 BC ＝4，⊥B ＝120°，当⊥A 'CD 为直角三角形时，线段AF 的长为______．类型二、矩形动点问题17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．点E 是BC 边上一动点，连接AE ．将⊥ABE沿AE 翻折得到⊥AEF ，连接DF ．当⊥ADF 的面积为52时，线段BE 的长为______．18．已知矩形ABCD 中，AB ＝6．点E 为AD 上一个动点，连接CE ，将CDE △沿CE 折叠，点D 落在点F 处，当点F 为线段AB 的三等分点时，AE 的长为______．19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，当点E 到达点D 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BP ，垂足为点P ，连接CP ，则CP 长的最小值为________．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，若点C 的对应点C ′刚好落在线段AB 的垂直平分线上，则CE 的长度为_____．类型三、正方形动点问题21．如图，在正方形ABCD 中，点P ，Q 分别是AB ，AD 的中点，点E 是CD 边上一个动点，连接PE ，将四边形PBCE 沿PE 折叠，得到四边形PEFH ．（1）若P ，H ，Q 三点在同一条直线上，则BPE ∠的大小为______°；（2）若2AB =，则F ，Q 两点的连线段的最小值为______．22．如图，正方形ABCD 的边长为3，点G 在边AD 上，GD ＝1，GH ⊥BC 于点H ，点E 是边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），EF ⊥CD 于点F ，交GH 于点Q ，点O 、P 分别是EH 和GQ 的中点，连接OP ，则线段OP 的长度为__________．23．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DC 上的动点，且EF ＝4，Q 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则PQ +PB 的最小值是_____．24．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．三、解答题25．如图，将正方形AOBC 放在平面直角坐标系中，点O 是坐标系原点，A 点坐标为（-1，3）．(1)求出点B 、C 的坐标：(2)在x 轴上有一动点Q ，过点Q 作PQ ⊥x 轴，交BC 于点P ，连接AP ，将四边形AOBP 沿AP 翻折，当点O 刚好落在y 轴上点E 处时，求点P 、D 的坐标．26．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，动点P从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时，点Q 从点C 出发，以lcm/s 的速度沿CD 向点D 移动（点P 到达点B 停止时，点Q 也随之停止运动），设点P 运动时间为t 秒．（1）试求当t 为何值时四边形APQD 为矩形；（2）P 、Q 两点出发多长时间，线段PQ 的长度为5cm ．27．已知矩形ABCD 中，E 是AD边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点．（1）求证：BGF FHC ≌；（2）当E 是AD 的中点时，四边形EHFG 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论．28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，⊥DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：⊥当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；⊥当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．参考答案1．B【分析】连接BP，通过菱形ABCD的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出PE PF的值．解：连接BP，如图，⊥菱形ABCD的周长为20，⊥AB=BC=20÷4=5，又⊥菱形ABCD的面积为24，⊥SABC=24÷2=12，又SABC= SABP+SCBP⊥SABP+SCBP=12，⊥111222AB PF BC PE += ， ⊥AB =BC ，⊥()1122AB PE PF += ⊥AB =5，⊥PE +PF =12×25=245．故选：B ．【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．2．B【分析】利用三角形中位线性质求解即可.解：⊥M 、N 分别是线段AE 、AF 的中点，⊥12MN EF =， ⊥点E 在BC 边上从点B 向点C 移动，⊥当点E 运动到点C 的位置时，EF 最小，此时，EF =4-1=3，⊥线段MN 的最小值为1.5.故选：B【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E 运动到点C 的位置时EF 最小是解答此题的关键.3．D【分析】由▱ABCD ，得EB ∥FD ，再证⊥BOE ⊥△DOF （AAS ），得BE =DF ，即可得出四边形BEDF 是平行四边形，可以判定A ；当t =4时，则AE =2t =8，证⊥ADE 是等边三角形，DE =AE =8，再因四边形DEBF 是平行四边形，所以四边形DEBF 是菱形，可判定B ；当t =2时，则AE =2t =4，同理可得四边形DEBF 是菱形，可判定C ；当t ＝6时，则AE =2t =12，在AE 上截取AG =AD =8，连接DG ，证⊥BED >120°≠90°，所以四边形DEBF 不可能是正方形，可判定D ．解：A 、⊥▱ABCD ，⊥AB ∥CD ，即EB ∥FD ，⊥⊥BEO =⊥DFO ，⊥EBO =⊥FDO ，⊥OB=OD，⊥⊥BOE⊥△DOF（AAS），⊥BE=DF，⊥四边形BEDF是平行四边形，故此选项正确，不符合题意；B、当t=4时，则AE=2t=8，⊥AD⊥BD，⊥⊥ADB=90°，在Rt△ABD中，⊥ADB=90°，⊥A=60°，⊥⊥ABC=30°，⊥AD=12AB=8，⊥AD=AE，⊥⊥ADE是等边三角形，⊥DE=AE=8，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是菱形；故此选项正确，不符合题意；C、当t=2时，则AE=2t=4，⊥4182AEAD==，81162ADAB==，AE ADAD AB=，⊥⊥A=⊥A，⊥⊥ADE⊥⊥ABD，⊥⊥AED=⊥ADB=90°，⊥⊥BED=90°，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是矩形；故此选项正确，不符合题意；D、当t＝6时，则AE=2t=12，在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，⊥⊥A=60°，⊥⊥ADG是等边三角形，⊥⊥AGD=60°，⊥⊥AED<60°，⊥⊥BED>120°≠90°，⊥四边形DEBF不可能是正方形；故此选错误，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．4．B【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形．解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边形—矩形故选：B．【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．B【分析】由矩形的性质得出⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：⊥四边形ABCD是矩形，⊥⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，⊥DC'E=⊥C=90°，⊥⊥AC'D=90°，⊥AC，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．B【分析】连接DP，则EF为⊥CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．解：连接DP，⊥E为CD中点，F为CP中点，⊥EF为⊥CDP的中位线，DP，⊥EF＝12在Rt⊥DAP中，由勾股定理得，DP当点P由B向A运动时，AP的长度逐渐减小，⊥DP减小，⊥EF由大变小，故选：B．【点拨】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．7．A【分析】过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，由平行的性质可知,BAD ADE DOC ODE ∠=∠∠=∠，等量代换可得BAD DOC ADO∠+∠∠的值. 解：如图，过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，四边形ABCO 是矩形//AB OC∴//DE AB //,//AB DE DE OC ∴,BAD ADE DOC ODE ∴∠=∠∠=∠1BAD DOC BAD DOC BAD DOC ADO ADE ODE BAD DOC∠+∠∠+∠∠+∠∴===∠∠+∠∠+∠故选：A. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.8．B【分析】由矩形的性质得到CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，⊥A =90°，根据已知条件推出四边形MNCD的矩形，得到⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5，根据折叠的性质得到C ′D ＝CD ＝5，C′E=CE ，根据勾股定理得到MC ′3，再由勾股定理即可得到结论．解：设CE ＝x ，则C ′E ＝x ，⊥矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，⊥CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，AD ⊥BC ，⊥点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM ＝AD ，BN ＝AM ，⊥DM ＝CN ＝4，⊥四边形CDMN 为平行四边形，⊥⊥NCD ＝90°，⊥四边形MNCD 是矩形，⊥⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5由折叠知，C ′D ＝CD ＝5，⊥MC ′3，⊥C ′N ＝5﹣3＝2，⊥EN ＝CN ﹣CE ＝4﹣x ，⊥C ′E 2﹣NE 2＝C ′N 2，⊥x 2﹣（4﹣x ）2＝22，解得，x ＝52，即CE ＝52．故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9．A【分析】先根据正方形的性质得AB =AD =5cm ，⊥BAD =⊥B =90°，把⊥ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到⊥ABG ，接着利用“SAS ”证明 EAG EAF ≌，得到EG =EF =BE +DF ，然后利用三角形周长的定义得到△CEF 的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD ，由此即可解决问题．解：⊥四边形ABCD 为正方形，⊥AB =AD ，⊥BAD =⊥B =90°，又正方形ABCD 的面积为225cm ，⊥5cm AB BC CD DA ====⊥把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到△ABG ，如图，⊥AG =AF ，BG =DF ，⊥GAF =90°，⊥ABG =⊥B =90°，⊥点G 在CB 的延长线上，⊥⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥GAF -⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥ EAG EAF ≌（SAS ），⊥EG =EF ，而EG =BE +BG =BE +DF ，⊥EF =BE +DF ，⊥CEF △的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD =5+5=10cm ．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题．10．D【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE 和△DCF 全等，然后即可得到CF 和DE 的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF 和DE 的关系，再根据勾股定理可以得到DF 2的值，然后即可计算出△CDE 的面积．解：作CF ⊥ED 于点F ，如图所示，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝DC ，⊥CDA ＝90°，⊥⊥ADE +⊥FDC ＝90°，⊥CF ⊥DE ，CD ＝CE ，⊥EF ＝DF ＝12DE ，⊥CFD ＝90°，⊥⊥FDC +⊥DCF ＝90°，⊥⊥ADE ＝⊥DCF ，在△ADE 和△DCF 中，AED DFC ADE DCF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，⊥⊥ADE⊥⊥DCF（AAS），⊥DE＝CF，⊥DF＝12CF，⊥⊥CFD＝90°，CD＝6，⊥DF2+CF2＝CD2，即DF2+（2DF）2＝62，解得DF2＝7.2，⊥S△CDE＝2222DE CF DF DF⋅⋅=＝2DF2＝2×7.2＝14.4，故选：D．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．11．A【分析】连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小，于是得到当P，F，M三点共线时，PM的值最小，连接AM，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，⊥EAM=30°，求得⊥P AM=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．解：如图，连接AM，⊥P是边AD的中点，AD=6，⊥AP=3，连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小⊥此时P，F，M三点共线时连接AM，⊥⊥AEF是等边三角形，M是边EF的中点，⊥AM⊥EF，⊥EAM=30°，⊥⊥P AM=60°，⊥PM AP = 故选 A ．【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．12．B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明⊥DAE ⊥⊥ENH ，得AE =HN ，AD =EN ，再说明⊥BNH 是等腰直角三角形，可得结论．解：如图，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ，，⊥AD =AB ，⊥DM =BE ，⊥点A 关于直线DE 的对称点为F ，⊥⊥ADE ⊥⊥FDE ，⊥DA =DF =DC ，⊥DFE =⊥A =90°，⊥1=⊥2，⊥⊥DFG =90°，在Rt ⊥DFG 和Rt ⊥DCG 中，⊥DF DC DG DG=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥DFG ⊥Rt ⊥DCG （HL ），⊥⊥3=⊥4，⊥⊥ADC =90°，⊥⊥1+⊥2+⊥3+⊥4=90°，⊥2⊥2+2⊥3=90°，⊥⊥2+⊥3=45°，即⊥EDG =45°，⊥EH ⊥DE ，⊥⊥DEH =90°，⊥DEH 是等腰直角三角形，⊥⊥AED +⊥BEH =⊥AED +⊥1=90°，DE =EH ，⊥⊥1=⊥BEH ，在⊥DME 和⊥EBH 中，⊥1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DME ⊥⊥EBH （SAS ），⊥EM =BH ，Rt ⊥AEM 中，⊥A =90°，AM =AE ，⊥EM =，⊥BH ，即BHAE．故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．13【分析】分AE BC '⊥和AE AB '⊥两种情况求解即可．解：⊥当AE BC '⊥时，如图1，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥135C BAD ∠=∠=︒，180C B ∠+∠=︒，BC //AD ，⊥45B ∠=︒，90DAF ∠=︒，⊥1359045BAF ∠=︒-︒=︒，⊥45B BAF ∠=∠=︒，⊥AF =BF ，在Rt BAF ∆中，222,1AB AF BF AB =+=，⊥1)AF BF AB ==== 由折叠得，⊥114515,33BAE EAB B AE BAE ''''︒︒=∠=∠=∠=⨯= ⊥⊥151530EAE EAB B AE ︒︒︒''+'=∠+∠==，又tan ,EF EAF AF∠=⊥tan EF AF EAF =⋅∠=，⊥BE BF EF =-== ⊥当AE AB '⊥时，如图2，即⊥90BAE '︒=，⊥⊥''30B AE B AE BAE ︒∠'=∠=='，过点E 作EG AB ⊥于点G ，则,EG BG AG ==，又⊥AB BG AG =+，1EG =，⊥1EG =， ⊥BE ==综上，BE【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．14．1【分析】取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，当P 与P '重合，P '、E '、F 三点在同一直线上时，PF ﹣PE '有最大值，即为FE '的长．解：如图，取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，⊥PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，⊥在菱形ABCD中，⊥ABC＝120°，⊥⊥ABD＝60°，⊥DAB＝60°，⊥⊥ABD为等边三角形．⊥AB＝BD＝AD＝4．⊥OD＝OB＝2．⊥点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，⊥BF1AB＝1，4⊥⊥ABD＝60°，⊥⊥BE'F为等边三角形，⊥E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．15．⊥⊥⊥⊥【分析】⊥由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；⊥利用SAS即可判定△ABE⊥⊥CBF；⊥由全等三角形的性质可知BE=BF，⊥ABE=⊥CBF，再结合⊥ABC=⊥ABE+EBC=60°，即可求出⊥EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形；⊥由⊥CFB=⊥CFG+⊥BFG，⊥CGE=⊥CFG+FCG即可判断．解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故⊥正确．⊥在△ABE和△CBF中，AB CB BAE BCF AE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥ABE ⊥⊥CBF （SAS ），故⊥正确；⊥⊥ABE ⊥⊥CBF ，⊥BE =BF ，⊥ABE =⊥CBF ，⊥⊥ABC =⊥ABE +⊥EBC =60°，⊥⊥CBF +⊥EBC =60°，即⊥EBF =60°，⊥⊥BEF 为等边三角形，故⊥正确；⊥⊥CFB =⊥CFG +⊥BFG ，⊥CGE =⊥CFG +FCG ，⊥FCG =⊥BFG =60°，⊥⊥CFB =⊥CGE ，故⊥正确；综上，⊥⊥⊥⊥都正确，故答案为：⊥⊥⊥⊥．【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键．16．2或2【分析】分当=90CA D '︒∠时和当=90A DC '︒∠时两种情况讨论求解即可．解：如图1所示，当=90CA D '︒∠时，取CD 中点H ，连接A H '， ⊥1=2A H CD DH '=， ⊥四边形ABCD 是菱形，E 为AB 中点， ⊥1122AE AB CD A H '===，⊥A =180°-⊥B =60°，AB CD ，由折叠的性质可知AE A E '=，AF A F '=，AEF A EF '∠=∠⊥A E A H AB AD ''+==，连接EH ，⊥=AE DH A H '=，AE DH ∥⊥四边形AEHD 是平行四边形，⊥=120AEH B =︒∠∠，AD EH =，⊥由三角形三边的关系可知，当点A '不在线段EH 上时，必有A E A H EH AD ''+>=，这与A H A E CD AD ''+==矛盾，⊥E 、A '、H 三点共线，⊥=60AEF A EF '=︒∠∠，⊥⊥AEF 为等边三角形， ⊥11222AF AE AB BC ====；如图2所示，当=90A DC '︒∠时，连接BD ，ED ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，⊥⊥ABC =120°，四边形ABCD 是菱形，⊥AB =AD ，⊥A =60°，⊥⊥ABD 是等边三角形，⊥E 是AB 中点，⊥DE ⊥AB ，⊥⊥ADE =30°，⊥⊥EDC =90°，⊥此时D A E '、、三点共线，由翻折的性质可得==45AEF A EF '︒∠∠，⊥FG ⊥AE ，⊥A =60°，⊥AEF =45°，⊥⊥AFG =30°，⊥GFE =45°，⊥AF =2AG ，EG =FG ，⊥FG AF ==， ⊥11222AE AG GE AB BC =+===，⊥122AF AF +=，⊥2AF =，故答案为：2或2．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．17．2【分析】过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方程求解即可．解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，⊥⊥ADF的面积为52，⊥15 22 AD FM=，⊥AD＝5，⊥1FM=，⊥AM==⊥⊥ABN=⊥BAN=⊥AMN=90°，⊥四边形AMNB是矩形，⊥AM BN==⊥BNM=90°，AB=MN=3，⊥FN=MN-FM=2，⊥222)2BE BE=+，解得，BE=【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，利用勾股定理列方程．18【分析】根据题意可求出123BF AB ==，243AF AB ==．再根据折叠的性质和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，从而可利用勾股定理求出AD BC ==AE x =，则DE EF x ==．在Rt AEF 中，再次利用勾股定理即可列出关于x 的等式，解出x 即得出答案．解：⊥AB ＝6，点F 为线段AB 的三等分点， ⊥123BF AB ==，243AF AB ==，根据折叠和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，⊥AD BC ===设AE x =，则DE EF x ==．⊥在Rt AEF 中，222AE AF EF +=，⊥2224)x x +=，解得：x = ⊥AE =【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 19．4【分析】因为EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，即可求解．解：⊥动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，⊥AE =CF⊥EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，⊥当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，⊥CP =142BC = 故答案为：4【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P 的位置是解题的关键．20．【分析】利用垂直平分线的性质得出CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案．解：如下图，连接，⊥点C '在AB 的垂直平分线上，⊥点C '在DC 的垂直平分线上，⊥CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，设CE = x ，易得DE = 2x ，由勾股定理得： (2x )2 -x 2= 62，解得： x =（负值舍去）故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是证明⊥DC C '是等边三角形．21． 67.5-【分析】（1）易得45APQ ∠=︒，利用翻折的性质得到67.5BPE HPE ∠∠==︒；（2）连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，得到PF PC ==PQ =P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，计算可得．解：（1）如图1，易得45APQ ∠=︒，⊥67.5BPE HPE ∠∠==︒，故答案为：67.5；（2）如图2，连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，⊥PF PC ==PQ =当P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，--【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．22【分析】取QH 的中点M ，连接OM ，由正方形及矩形的性质得出AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，求出QE ＝2，由三角形中位线定理得出OM ＝12QE ＝1，OM∥EQ ，求出PM 的长，根据勾股定理可得出答案．解：取QH 的中点M ，连接OM ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥A ＝⊥B ＝⊥C ＝⊥D ＝90°，⊥EF ⊥CD ，GH ⊥BC ，⊥四边形AEQG ，四边形GHCD 为矩形，⊥AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，⊥DG＝1，⊥AG＝EQ＝2，⊥O，M分别为EH，QH的中点，⊥OM＝12QE＝1，OM∥EQ，⊥⊥OMP＝90°，⊥P为GQ的中点，M为QH的中点，⊥PQ＝12GQ，QM＝12QH，⊥PM＝PQ+QM＝1113 2222 QG QH GH+==，⊥OP．【点拨】本题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题得关键．23．2【分析】延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝B′C﹣2，根据勾股定理即可得到结论．解：如图所示：要，延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，⊥BC＝AB＝4，⊥BB′＝8，⊥B ′C B ′Q ＝B ′C ﹣2＝2，⊥PB ′+PQ 的值最小是2，即PQ +PB 的最小值是2，故答案为：2．【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到P 点的位置是解题的关键．24．11【分析】分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可解：⊥EF 经过CD 边中点O 时，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，⊥点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ⊥11,22OC CD EC BC ==． ⊥CE=CO =1，⊥45CEO ∠=︒，由折叠得11(180)((18045)67.522FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ⊥22.5FPE BPE ∠=∠=︒．⊥45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，⊥45BPF ∠=︒，⊥PG ＝FG=x +1，⊥BP =2x +1，由勾股定理得1)PF x =+，由折叠得PB=PF ，⊥211)x x +=+，解得x =．⊥12BP =>，⊥点P 在AB 外，不符合题意；⊥EF 经过AD 边中点O '，如图，此时，190452FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒， ⊥BP=BE =1；⊥EF 经过AB 中点O ''，如图，⊥O ''B=BE ，⊥45EO B ''∠=︒．由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，设PF=x ，则,O P PB x ''==，1x +=，⊥1，即1，综上，BP 的长为11，故答案为：11．【点拨】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．25．(1)B （3，1）、C （2，4） (2)D （3，5）、P （73，3）【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H∥证明⊥AGO⊥⊥OHB，根据三角形全等的性质可得出结论；（2）根据对称性和全等的性质可得D（3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．解：(1)分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；⊥四边形AOBC是正方形⊥AO= BO，⊥AOB =90°⊥⊥AGO⊥⊥OHB⊥ AG= OH，OG= BH⊥A点坐标为（-1，3）⊥ AG =3，OG=1⊥ OH =3，BH=]⊥B（3，1）同理可得C（2，4）(2)⊥点O与点E关于AP成轴对称⊥AO=AE，AP⊥OE且平分OE⊥E（0，6）根据上面全等可以得到D（3，5）⊥点P的纵坐标是3⊥点P在直线BC上⊥设直线BC为y = kx + b，由条件可得20 30k bk b+=⎧⎨+=⎩，解之得-310k b =⎧⎨=⎩ ⊥y =-3x +10当y =3时，73x =⊥P （73，3）【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．26．（1）2；（2）当出发1s 或3s 时，线段PQ 的长度为5cm ．【分析】（1）由矩形的性质，得AP DQ =，继而列出关于t 的一元一次方程即可解题；（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，先证明四边形APED 是矩形，再根据矩形的性质解得EQ 的长，最后在Rt PQE △中，根据勾股定理解题即可．解：（1）四边形APQD 为矩形．AP DQ ∴=，26t t ∴=-，36t =，2t ∴=,∴当2t =时四边形APQD 为矩形;（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，90A D DEP ∠∠∠===︒，∴四边形APED 是矩形．2AP DE t ∴==，63EQ CD DE CQ t ∴=--=-，在Rt PQE △中，222PE EQ PQ +=，2(63)9t -=，1t =，3t =，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．【点拨】本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．27．（1）详见分析；（2）当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形，证明详见分析【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可；(2)根据菱形的判定解答即可．解：(1)⊥点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，⊥FH⊥BE，12FH BE=，BF＝FC，⊥⊥CFH＝⊥FBG，FH＝BG，⊥⊥BGF⊥⊥FHC；(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形．当E是AD的中点时，AE＝ED，⊥四边形ABCD是矩形，⊥AB＝CD，⊥A＝⊥D=90︒，⊥⊥ABE⊥⊥DCE，⊥BE＝CE，⊥BE＝2FH，CE＝2FG，⊥FH＝FG =1122BE CE EG EH=＝＝，⊥EH＝HF＝FG＝GE，⊥四边形EGFH是菱形．【点拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答．28．(1)见分析(2)⊥3；⊥6【分析】（1）利用AAS证△NDE⊥⊥MAE，得出NE＝ME，进而得出结论；（2）⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值；⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由⊥DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值．解：(1)证明：⊥四边形ABCD是菱形⊥AB⊥CD⊥⊥DNE＝⊥AME，⊥NDE＝⊥MAE⊥点E是AD边的中点⊥AE＝DE⊥△NDE⊥⊥MAE（AAS）⊥NE＝ME⊥四边形AMDN是平行四边形(2)解：⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥⊥DAB＝60°⊥⊥ADM=30°⊥AM=12AD=3故答案为：3．⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM⊥⊥DAB＝60°⊥⊥AMD为等边三角形⊥AM=AD在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥AM=6故答案为：6．【点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键．。

新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)

新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(二)特殊平行四边形中的动态变化问题(练题型)课件

故t为4时,线段AQ与DP互相平分.
(3)S四边形APQD=
1 2
(AP+DQ)·AD=
1 2
(4t+24-2t)×10=(10
t+120)cm2,S矩形ABCD=10×24=240
cm2,
∴10t+120= 5 ×240,解得t=3.
8
∴t为3时,四边形APQD的面积为矩形ABCD面积的 5 .
解析 (1)证明:∵三角板Ⅰ(△ABC)和三角板Ⅱ(△A1B1C1)是两块完全相同的三角板,∴AC=A1C1,AB=A1B1,∠A=∠A1,
∴在题图②中,A1B1-BB1=AB-BB1,即A1B=AB1,∴△A1BC1≌△AB1C(SAS).
(2)点B1落在AB边的中点位置时,四边形BCB1C1是菱形.
理由如下:由已知条件知BC=B1C1,BC∥B1C1,
∴四边形BCB1C1是平行四边形.
又∵∠A=30°,∴在直角三角形ABC中,BC= 1 AB,
2
∵点B1落在AB边的中点位置,∴BB1= 1 AB,∴BC=BB1.
2
∵∠ABC=60°,∴△BCB1为等边三角形,∴CB=CB1,
∴四边形BCB1C1是菱形.
4
动速度为
6 5
=4.8厘米/秒.
4
(2)设经过x秒点P与点Q第一次相遇,由题,得4.8x-4x=30,解得x=
75 2
,∴点P运动
了
75 2
×4=150厘米,∴点P、点Q在点A处相遇,∴经过
75 2
秒点P与点Q第一次相遇,
且在点A处相遇.
8. (★★★)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C

第四章图形的相似动点问题专练 2021--2022学年北师大版九年级数学上册

北师大版数学九年级上期第四章图形的相似动点问题专练21.如图，Rt△ABC中∠C=90°且AC=CD=√2，又E、D为CB的三等分点．（1）求证△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE则使线段PE的长度为整数的点的个数______．（直接写答案无需说明理由）2.如图，线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=52KC，求CDAB的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=12AD时，探究线段AB，BC，CD之间的等量关系；（3）在（2）的条件下，继续探究：当AE=1nAD（n＞2），而其余条件不变时，直接写出线段AB，BC，CD之间的等量关系．3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E都在BC边上，且AC=CD=DE=BE=√2．（1）求证：∠ADC＝∠AEC+∠B；（2）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P 的个数有几个？请说明理由．4.如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB，交AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长(2)点P在何处时，△PFD∽△BFP？并说明理由5.如图，在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，D是BC边上的动点，E，F分别是AB，AC边上点．（1）若BD＝DE，且△BDE∽△CDF，求∠EDF的度数．（2）若∠EDF＝α，不改变α的值，以D为旋转中心，把∠EDF按顺时针或逆时针方向适当转动后，△BDE和△CDF始终保持相似，求α的值．6.如图，在▵ABC和▵AED中，AB=BC，EA=ED，且∠ABC=∠AED=90∘，点P为AC上一点，且AC=4，AP=1，点E为PB上一动点．(1)求DC的值；EB(2)求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．7.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒．（1）根据题意知：CQ=______cm，CP=______cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．8.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止.点D运动速度为1cm/s,点E运动速度为2cm/s.如果两个点同时运动，多长时间△ADE与△ABC相似？9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP于E．（1）如图①，若P为AB的中点，则；；（2）如图②，若时，证明AC＝4BF；（3）如图③，若P在BA的延长线上，当时，．11.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm．动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动；同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动．连接PM、PN，设移动时间为t（单位：s，0<t<2.5）．（1）当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与ΔABC相似？（2）设四边形APNC的面积为S，求S与t的函数关系式．12.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为2cm/s，Q点的运动速度为1cm/s，那么运动几秒时：（1）四边形ABQP面积最小？（2）△ABC和△PCQ相似？13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）用含有t的式子表示BP=__________；BQ=__________；（2）若△BPQ与△ABC相似，则t=__________；（3）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，则t=__________．14.如图，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.（1）如图1，求证：AE=CF；（2）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．15. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =2AC ，点E 是AC 边中点，过点A 作AD ⊥AB ，交BE 的延长线于点D ，作CH ⊥AB 交BE 于点G ，F 是AB 边上一动点，连结CF ．（1）若∠ACF =∠BCG ．①求证：AD =CG ；②求S △ADES △BCF（2）设AC =2，若以B 、F 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似，求BF 的长．16.如图,在矩形ABCD 中,AB =6m ,BC =8m ,动点P 以2m /s 的速度从A 点出发,沿AC 向C 点移动,同时动点Q 以1m /s 的速度从点C 出发,沿CB 向点B 移动,设P ,Q 两点移动的时间为ts (0< t <5).(1)t 为多少时,以P ,Q ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似?(2)在P ,Q 两点移动的过程中,四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等?若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由.第9页，共1页。