7.7 平面向量高职高考全真试题

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高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题一、选择题：1。

已知ABCD 为矩形,E 是ＤC 的中点,且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE =( ) (A) →b +→a 21 (Ｂ） →b －→a 21 (C ） →a ＋→b 21 （D) →a －→b 212．已知B 是线段A Ｃ的中点，则下列各式正确的是( ）（Ａ） −→−AB =-−→−BC (B) −→−AC =−→−BC 21（Ｃ） −→−BA ＝−→−BC (D ） −→−BC ＝−→−AC 213．已知ＡB ＣDEF 是正六边形，且−→−AB =→a ,−→−AE ＝→b ,则−→−BC ＝（）（A))(21→→-b a (B) )(21→→-a b (C) →a +→b 21 （D ） )(21→→+b a４．设→a ，→b 为不共线向量,−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a -→b ,−→−CD = －5→a -3→b ,则下列关系式中正确的是 ( )（Ａ）−→−AD =−→−BC （Ｂ）−→−AD ＝2−→−BC (C)−→−AD ＝－−→−BC(D ）−→−AD =－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝(h,k ）(其中h>0,k ＞0)平移，就是将图形F( ) （A ）向x 轴正方向平移h 个单位,同时向ｙ轴正方向平移k 个单位。

（B ）向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移ｋ个单位。

（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向ｙ轴负方向平移k 个单位。

（D ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。

６.已知→a ＝()1,21,→b =（),2223-，下列各式正确的是（ )(A) 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a (Ｂ） →a ·→b ＝1 (C ） →a =→b (D ） →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e +→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是（ ) （A ） 1 (B ）－１（Ｃ） 1± (Ｄ) 任意不为零的实数８．在四边形AB ＣＤ中,−→−AB =−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD =０，则四边形A ＢCD 是( ) （A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (Ｄ）等腰梯形9.已知M （－2,7)、N （１0,-２），点P 是线段MN 上的点,且−→−PN ＝-２−→−PM ，则P 点的坐标为（ )（A ）（-14,１６)(B ）（2２，－11）（C ） (6,1）（D ） (2,４）10.已知→a ＝（1,２），→b ＝(-2，3），且ｋ→a ＋→b 与→a －ｋ→b 垂直,则ｋ=( ) (A) 21±-(Ｂ) 12±（C)32±（D ） 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象，则→a =（ )(Ａ） ()2,3π-(B) ()2,3π（C ） ()2,3--π(Ｄ） ()2,3-π12.△ABC 的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（ ) (A ）229（Ｂ)429（C ）829（D ）922二、填空题：13.已知M 、N 是△A ＢC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM =31−→−BC ，−→−CN =31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ,−→−AC ＝→b ，则−→−MN =14.△ABC 中,C A B cos sin sin =，其中A 、B 、Ｃ是△A ＢC 的三内角,则△ABC 是三角形。

平面向量高考试题精选含详细答案)

平面向量高测试题精选〔一〕一.选择题〔共14小题〕1. 〔2021?河北〕设D 为△ ABC 所在平面内一点,前二3五,那么〔〕A疝-仁小产:豆2. 〔2021?福建〕正_L 正,|标肝, |正|二t ,假设P 点是△ ABC 所在平面内一点,A. 13B. 15C. 19D. 213. 〔2021?四川〕设四边形 ABCCfe 平行四边形,|画二6, |面=4,假设点M N 满足就二3元,而二2说,那么标•疝二〔〕A. 20B. 15C. 9D. 64. 〔2021?安徽〕△ ABC 是边长为2的等边三角形,向量 E 满足靛=2；,AC =2a +b,那么以下结论正确的选项是〔〕 A. | b|=1 B. alb C. a?b=1 D. 〔4a+b 〕,前5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔〕A. |l^b |<|a || b|B, H-b |<|| ；| 一 |E||C. 〔 a+b 〕 2=| a+b | 2D. 〔a+b 〕 ? 〔； Y 〕<2 -百6. 〔2021?重庆〕假设非零向量 a, 七满足|1二组1:|可,且〔1-%〕 ± 〔 3a+2b 〕,那么3 !与E 的夹角为〔〕A. —B. —C. —D.冗 4 247. 〔2021?重庆〕非零向量 * b 满足|b|=4| J ,且a ,〔2a+b 〕那么占与b A J B J C _I D __L 3 2 368. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O 为原点,A 〔- 1, 0〕, B 〔0,立〕,C 〔3, 0〕,动点D 满足|而|=1 ,那么| OA +OB +OD l 的取值范围是〔〕且」 .「|AB| |AC| 那么再•衣的最大值等于〔A. [4, 6]B. [V19-1, V19+1]C. [2 立,2书]D.[由-1,,+1]9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量%,工满足| a |= |b |=1,二后二,V ■a- c, b-c>=60° ,那么l A的最大值等于〔〕A. 2B. Vs C .& D . 110. 〔2021?天津〕菱形ABCD勺边长为2, /BAD=120 ,点E、F分别在边BGDC上,施"前,谄.,假设凝?谆1赤?正谓,那么入+尸〔〕A. B.二 C.二D 二2 3 6 1211. 〔2021?安徽〕设,,E为非零向量,|而2|十,两组向量*,离,寓,巧和宝, 斤三,斤均由2个；和2个E排列而成,假设耳?宣+中卫+E?三+五?五所有可能取值中的最小值为4| a|2,那么！与芯的夹角为〔〕A 二B 二C 二D. 0 3 3612. 〔2021?四川〕平面向量最〔1, 2〕, b= 〔4, 2〕, c=m+b 〔mGR〕,且彳与1的夹角等于W与Z的夹角,那么m=〔〕A. - 2B. - 1C. 1D. 213. 〔2021?新课标I 〕设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么直+而=〔〕A 二B. 一DC. : D. 一：2 214. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么赢+5S+无+而5等于〔〕A. i"B. 2 i“C. 3 i"D. 4 i"二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设司、.为单位向量,非零向量岸x q+y., x、yGR假设司、同的夹角为30.,那么集的最大值等于_________________ .lb |16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足点二次/+Nm〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为.17. 〔2021?湖南〕如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么AP .正=.18. 〔2021?北京〕己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么而•百的值为.19. 〔2021?天津〕直角梯形ABC前,AD// BC / ADC=90 , AD=2 BC=1, P 是腰DC上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 .20. 〔2021?浙江〕平面向量五,百〔五产万,五卉万〕满足IT 1=1,且五与下的夹角为120.,那么|三|的取值范围是 .21. 〔2021?天津〕如图,在^ ABC中,ADLAB,前4菽那么AC ,箴=.22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为2加,平面内一点M满足而^^总正,那么6 3而,而=.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量0M= (a, b)的“相伴函数〞为f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx的“相伴向量〞为赢=(a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S.(1)设g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模；(3)M(a, b) (b乎0)为圆C: (x - 2) 2+y2=1上一点,向量超的“相伴函数〞f (x)在x=x.处取得最大值.当点M 在圆C上运动时,求tan2x.的取值范围._一、_________ 2 n...........................24. (2007?四川)设F I、F2分别是椭圆工+,=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且西・后己二-总,求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角 (其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.平面向量高测试题精选(一)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1 . (2021?河北)设D为△ ABC所在平面内一点,BC-3CD,那么( )A归工:岳B折,13 0 *s, 0八一 4 一 1 - r —1 4―1 —C—,'4'. D.解：由得到如图由仙二处+8口=标亨岸冠4 国-靛)=-掷号正;应选：A.2. (2021?福建)正1京,I店|[, |正|二t,假设P点是△ ABC所在平面内一点,,那么无•五的最大值等于(A. 13B. 15C. 19D. 21解：由题意建立如下图的坐标系, 可得 A (0, 0), B (工0) , C (0, t),・•・P (1, 4),PB= (-- 1, - 4) , pc= ( - 1 , t -4),PB*PC=- (1-1) - 4 (t -4) =17-(1+4t),t由根本不等式可得l+4t>2^T^=4,.•.17-(1+4t) < 17- 4=13,当且仅当上4t即t6时取等号, .二有•五的最大值为13, 应选：A.3. 〔2021?四川〕设四边形ABCDfe平行四边形,|画二6, |初=4,假设点M N满足而二3元,而二2前,那么氤,而i=〔A. 20B. 15C. 9D. 6解：「四边形ABCM平行四边形,点M N满足面i=3元,丽二2束,.二根据图形可得：= + ?--= . ： . II,4 4洲二MI -蝴,V或•而二标？〔记-讪〕二俞-嬴•福.-1|2=・"2 . : •",・小।-r -.-,-1= ：."21二卜,2. ；3 4 2 '| 'B|=6 , | -1||=4 ,..」「'/二,：：：「12=12-3=9应选：C4. 〔2021?安徽〕△ ABC是边长为2的等边三角形,向量京E满足屈=2£AC=2g+b,那么以下结论正确的选项是〔〕A. | b|=1B. a±bC. a?b=1D. 〔4a+b〕,前解：由于三角形ABC的等边三角形,；,E满足靛=2；,应=2：+%,又正=7B+前, 所以‘：..；,・‘,所以-=2, - ；.=1X2Xcos120 =- 1,4a・b=4X 1X2Xcos120° =- 4,寸=4,所以狐・石+］士=0,即〔4a+b〕*B=0,即〔G+E〕•前=0,所以〔4；+芯〕1BC；应选D.5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔〕A. |a-b|<|；|| b|B. | a-b l<ll ^l -I bllC 〔髓〕2=| a+b| 2 D. 〔a+b〕? 〔a-b〕=?- b2解：选项A正确,丁 | a p b|=| 君|| b||cos < " Z>|,又|cosv；, b>| <1,,|.讶&G| %| 恒成立；选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|g-E l >ll』-|芯|| ；选项C正确,由向量数量积的运算可得〔a+b〕2=|a+b|2;选项D正确,由向量数量积的运算可得〔彳+E〕?〔1-b〕二2-%2.应选：B6. 〔2021?重庆〕假设非零向量a, 七满足|』=竺|可,且〔：-％〕± 〔3a+2b〕,那么3!与E的夹角为〔〕A.三B.C. 12£D.冗4 2 4解：二 ( a - b) ± ( 3 a+2b),(5-b) ? ( 3 a+2b) =0,即 3.；— 2：,2- ? =0,即就=3；-2寸金2, 3即V a, E>=三, 4应选：A7. 〔2021?重庆〕非零向量b满足lbl=4| J,且a,〔2a+b〕那么祖与b的夹角为〔〕A二B二C三D三3 2 3 6解：由非零向量之,b满足lbl=4| a l ,且a,〔2a+b〕,设两个非零向量a, b的夹角为°,所以a? 〔 2 a+ b〕=0,即2$十| |b|C os9 =.,所以cos 9 =-.,9 Q0 ,九],所以eW；应选C.8. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O为原点,A〔- 1, 0〕, B 〔0,右〕,C 〔3, 0〕,动点D满足l而l=1 ,那么l m+55+55l的取值范围是〔〕A. [4 , 6]B. [ V19- 1, V19+1] C . [2 遮,2<7] D.[邛-1,道+1]】解：•••动点D满足|而|=1 , C 〔3, 0〕,「•可设 D (3+cos 9 , sin 9 ) (6 q0 , 2 兀)).又 A ( - 1, 0), B (0,立),, + 1+ 1= 1 - - - - ■一』I 「+"+0」= 一：:」二二二•,一F"船…,•:飞不、」=倔公斤京西河丁,〔其中sin 6二焉,8s小嚼- 1<sin 〔 9 +〔［〕〕 &1,•,•〔"-1〕 2= * - W748+2VV sin 〔 9 + 小〕< 8+2沂=〔^+1〕2,「.I OA+OB+OD|的取值范围是W7 - I,近+11.应选：D.9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量I,工满足|l|=|b |=1,.泰-L V b-c>=60°,那么1看的最大值等于〔〕A. 2B.g C . & D . 1解：「I aI二I b |二1,乱〞二一, -W二.W, %的夹角为120° ,设赢二W, OB=b,0C=c那么不二^一与；CB=1一工贝4/AOB=120 ; / ACB=60丁./AOB+ ACB=180・•.A,O, B, C四点共圆.一2• • AB /. AB^/3由三角形的正弦定理得外接圆的直径当OC 为直径时,模最大,最大为 2 应选A10 . 〔2021?天津〕菱形 ABCD 勺边长为2, /BAD=120 ,点E 、F 分别在边BG DC 上,BE = k BC, DF =〔1DC,假设标?m =1, CE ?CF =- 贝U 入+医=〔〕3A. 'B. :C. ' D — 2 3 6 12解：由题意可得假设.•,？•, = 〔 ",+神〕?〔川+】,〕=",, '1+三二 + ■ - -,-i +^-D?' =2X2Xcos120° + 屈,■屈+ 入 75?菽+入标?医 7S = 一 2+4医+4入 + 入d X2X2Xcos120° =4入+4医一2入医—2=1, 「•4人+4d 一2入医=3①CE ?CF =- EC ?〔-而〕=EC*FC = 〔1 -入〕前？〔1 -医〕DC = 〔1 -入〕而？〔1 -医〕总=〔1 一入〕〔1 —医〕X2X2Xcos120° = 〔1一入一医+入医〕〔一2〕= - 2, 3即一人一〔1 +入［L = ~ —②.3 由①②求得入+医=总故答案为：!11 .〔2021?安徽〕设己,b 为非零向量,| b|=2| a| ,两组向量工,器,工,V?和行, 々,¥3' V/均由2个日和2个b 排列而成,假设町？为+工2?方+工3?%+%？%所有可能取值中的最小值为4|；|2,那么：与E 的夹角为〔解：由题意,设！与E 的夹角为民, 分类讨论可得]? y I + X?? y ?+工3?y § + Xq ?% =为？为+ a ?2+b ?b+b? b=10| 君| ,不满足2KA — B.3 C. D. 0②T^^T+T^r+F?丁+『??=：?；+：?%+%?：+Z?Z=5| a|1 2+4| a| 2cos 民,不满足；1 J12 J23 734 J4③7j?元+7；?卫+三?同+3?耳=4!?岸8| a| 2cos a =4| a| ：满足题意,此时COS a」2・•. W与E的夹角为—. 3应选：B.12. (2021?四川)平面向量短(1, 2), b= (4, 2), c=m+b (m GR),且W与；的夹角等于W与E的夹角,那么m=( )A. - 2B. - 1C. 1D. 2解：二向量a= (1, 2), b= (4, 2),=m + = (m+4, 2m+2 ,又丁［与；的夹角等于1与Z的夹角,k I • | a | I c |* |b |•••飞一’ — f )lai |b|二’解得m=2应选：D13. (2021?新课标I )设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么冠+而= ( )A. . ।B. DC. ：,D.2 2【解答】解：:D, E, F分别为AABC的三边BC, CA, AB的中点, .•.而+而=(丽+丽+ ( FE+EC) =FB+EC=1 (屈+近)=15,应选：A14. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,那么加+而+枳+而等于〔〕A. I"B. 2 i"C. 3 I" D〕. 4 I"解：丁0为任意一点,不妨把A点看成O点,那么加+无+权+玩=1+/+而+元,・「M是平行四边形ABCD勺对角线的交点,,0 + AB+AC+AD=2AC=4OM应选：D.二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设二司为单位向量,非零向量E=x6+y G,x、yGR.假设]、, 的夹角为30.,那么集的最大值等于 2 .Ib| -------解：为单位向量,T和U的夹角等于30° ,,U・£=1X1X cos30.二亚•「非零向量Z=x4+y',•./而后二J/+ 2工y T] W +产J X2+我盯旷,. 44=,.—=I」= | I 2 = I1 2 ,旧寸J+V^v+v? *+行中+,,l打巧工0〕V〔7垮〕£故当2=-立时,&取得最大值为2,x 2 |b故答案为2 .16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足获:人五+P•豆〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为 3 .解：设P的坐标为〔x, y〕,那么靛二(2, 1), AC= (1, 2), AP= (x—1, y+1), < 7?二工m+U 正,\ - 1=2 + |A 宿万一/ 日_解N得,y+l= X+2Uy+11<?|工-当-1<2,- K入02, 0<医01, ..•点P坐标满足不等式组,04 - £工+"|^1<1作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDE极其内部其中C (4, 2), D (6, 3), E (5, 1), F (3, 0)二|CF|二；一丁一卜：二 _ 二,,点E (5, 1)到直线CF: 2x—y—6=0的距离为d1上士工^1二■还V5 5「•平行四边形CDEF勺面积为S=|CF|X d=V^x2四=3,即动点P构成的平面区域D 5的面积为3故答案为：317. (2021?湖南)如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么族•近二18 .【解答】解：设AC与BD交于点O,那么AC=2AO/APIBD AP=3,在Rt^APO中,AOcos/ OAP=AP=3・•・I 面cos /OAP=2|瓦| XcosZOAP=2|AP|=6 ,由向量的数量积的定义可知, 6•正二|6||正|cos/PAO=3 6=18故答案为：1818. (2021?北京)己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么DE-CB 的值为1 .【解答】解：由于血,后=而瓜=应卜iXlcosC正♦瓦>=5丁=1.故答案为：119. (2021?天津)直角梯形 ABC 前,AD// BG / ADC=90 , AD=2 BC=1, P是腰DC 上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 5 .解：如图,以直线 DA DC 分另U 为x, y 轴建立平面直角坐标系,那么 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0)设 P (0, b) (0<b<a)那么m =(2, - b), PB = (1, a- b),PA+3PB = (5, 3a-4b)•- IPA+3PB l =/25+ (3a-4b) 2>5-故答案为5.20. (2021?浙江)平面向量五,J (五通,五产下)满足|T 1=1,且五与方-五的夹角为120° ,那么|无|的取值范围是 (0,当鸟_.3解：令用屈二无、AC =T,如以下图所示：那么由萩书-五,又二云与E-W 的夹角为120° ,・ ./ABC=60又由AC=|下一-：| 向 G (0, ^p ］故|五|的取值范围是(0, 二］故答案：(0,芋］21. (2021?天津)如图,在4ABC 中,ADLAB,前一画,|75 I =1,那么说・75=_立【解答】解：AC-A S=|AC IHADicosZDAC,■-n ,由正弦定理sinC sin60.得:..一•一■. .. ■:: II-,.-- . .A,,cos/DAC=sinZ BAQAC *AD= lAC |-|AD|cosZDAC= | AC|-cosZDAC= | AClsinZBAC ,在△ ABC中,由正弦定理得里L=变形得|AC|sin / BAC=|BC|sinB, sinB sin/BACAC*AD=| AC !* | AD|cosZEAC= | AC |-cosZDAC= | AC|sinZBAC ,二|BC|sinB= |BC|・-需-=V5,故答案为V3 •22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为273,平面内一点M满足而卫司+2而,那么6 3瓦,诬=-2 .解：以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得C 10,01, R 〔2"^,.〕,B〔V3,3〕,• • CB =三〕,CA二〔2^3 〕.〕,••乐翔翁二〔¥,y,“：■ , 1,"」1,MA*MB=〔亚,--〕?〔-近,-〕=-2.2 2 2 2故答案为：-2.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量 0M = (a, b)的“相伴函数〞为 f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx 的“相伴向量〞为赢=(a, b)(其中O 为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为 S.(1)设 g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模； (3)M(a, b) (b 乎0)为圆C: (x - 2) 2+y 2=1上一点,向量超的“相伴函数〞 f (x)在x=x .处取得最大值.当点 M 在圆C 上运动时,求tan2x .的取值范围.【解答】解：(1) g (x) =3sin (x+—) +4sinx=4sinx+3cosx ,其‘相伴向量'0M = (4, 3), g (x) GS.(2) h (x) =cos (x+a) +2cosx =(cosxcos a - sinxsin a ) +2cosx =-sin a sinx+ (cos a +2) cosx 函数 h (x)的‘相伴向量’ 丽=(-sin a , cos a +2).那么 | 皿=q (一式11al —= ( cos a+2)―2=5+4曲口 .(3) OM 的'相伴函数'f ( x) =asinx+bcosx= ^^^sin (x+([)),其中cos 小=> ^ sin 小=Va 2 + b Z —,kGZ 时,f (x)取到最大值,故 x0=2k % +—-小,kGZ. 2 2-'.tanx 0=tan (2k % +- -([)) =cot ([)—, 2 b2tan x 口tan2x 0二 1-tan x o 1-(① b 也为直线OM 勺斜率,由几何意义知：-q -VI, 0) u (0, a a 3a 2 + b 2当 x+([)=2k % +___= r a b令m=,贝U tan2x0=—mq —亚,0) U ( 0,立｝.③川」 3 3rr当-亚0m<0 时,函数tan2xo=—J单调递减,,0< tan2xo<Vs；3IT当0Vm<立时,函数tan2x 0=—片单调递减,/.- 加&tan2x0<0.rr综上所述,tan2x°q -遮,0) U (0,a]. .............. 、 c 24. (2007?四川)设Fi、F2分别是椭圆工+/=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且可■玩二-求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.】解：(I)易知a=2, b=1,钎我.•• Fi (一〃,0),F2(如,0) •设P 那么PF；・PF；二(-百一工,-y)(伤一小x +y =4 x2=i m联立,2 ,解得" 2 3n a,P?儿卜=4(n)显然x=0不满足题设条件.可设l V..V 2联立,瓦+y n = (kx+2) gn (1+£y=kx+2. 一12 * 16k1 • #1 K n- °,及i + 乂力一r.1^1+4/ 1上l+4k Z^△= (16k) 2-4? (1+4k2) ?12>016k2- (x, y) (x>0, y>0).2一/二K./- 3二- "1,又亍+yJl,£1,喙)•的方程为y=kx+2,设 A (x1, y., B (x2, Ik") z2+16kx+12=03 (1+4k2) >0, 4k2- 3>0,得①),又yM二(kxi+2) (kx2+2) =k2XiX2+2k(X1+X2) +4 ..xiX2+yiy2= (1 +k2) xiX2+2k (X1+X2) +4=(1+k2) ,—(--^5) +4 1+41 1+4 k 2_12 (1+ k2) 2k*16k .------------ 2- ------------ r+4l+4k2l+4k2l+4k2综①②可知••.k的取值范围是(-2, -亨)U (亨2)•。

（完整版）《平面向量》测试题及答案

（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。

平面向量高考试题含详细答案定稿版

平面向量高考试题含详细答案精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】平面向量高考试题精选(一)一．选择题（共14小题）1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．=1 D．（4+）⊥5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）（）=2﹣26．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C．D．π7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A． B． C．D．8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B． C．D．110．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若=1，=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若+++所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B． C． D．012．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．213．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2C．3D．4二．选择题（共8小题）15．（2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．16．（2013?北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．17．（2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= ．18．（2012?北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．19．（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC上的动点，则的最小值为．20．（2010?浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是．21．（2010?天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．22．（2009?天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则= ．三．选择题（共2小题）23．（2012?上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f （x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f （x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．24．（2007?四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．解：由已知得到如图由===；故选：A．2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．=1 D．（4+）⊥解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）（）=2﹣2解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）（）=2﹣2．故选：B6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C．D．π解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）（3+2）=0，即32﹣22﹣=0，即=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A． B． C．D．解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．故选：D．9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B． C．D．1解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若=1，=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．解：由题意可得若=（+）（+）=+++=2×2×cos120°++λ+λμ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．=﹣（﹣）==（1﹣λ）（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若+++所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B． C． D．0解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①+++=+++=10||2，不满足②+++=+++=5||2+4||2cosα，不满足；③+++=4=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2C．3D．4解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．二．选择题（共8小题）15．（2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于 2 ．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．16．（2013?北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 3 ．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：317．（2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= 18 ．【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△AP O中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1818．（2012?北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为 1 ．【解答】解：因为====1．故答案为：119．（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC上的动点，则的最小值为 5 ．解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．20．（2010?浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是（0，] ．解：令用=、=，如下图所示：则由=，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴||∈（0，]故||的取值范围是（0，]故答案：（0，]21．（2010?天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．22．（2009?天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则= ﹣2 ．解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）（，）=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共2小题）23．（2012?上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f （x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f （x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx=﹣sinαsin x+（cosα+2）cosx∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．则||==．（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．24．（2007?四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4（1+4k2）12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值范围是．。

(word版)(文科)平面向量测试题高考经典试题附详细答案

平面向量专题rrr r1．向量a (5,6)，b (6,5)，那么a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2、向量a(1，n)，b (1，n)，假设2ab 与b 垂直，那么a〔〕A ．1B ．2C ．2D ．4rr rr rr rr rr 3、假设向量a,b 满足|a||b| 1，a,b 的夹角为 60°，那么aa ab=______；4、在直角 ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，那么以下等式不成立的是（ uuur （A 〕AC（ uuur（ C 〕AB22uuuruuurAC ABuuuruuurACCDuuur 2 uuuruuur 〔B 〕BC BABCuuur 2 uuur uuu r uuur uuu r(AC AB) (BA BC)〔D 〕CDuuur 2AB5、在?ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD =2DB ，CD =1CACB ,那么=3 211(D)-2(A)(B)(C)-33336、设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，假设 FAFBFC =0，那么|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B) 6(C)4(D)3uuur uuuruuu r 1 uuur uuur7、在△ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD ， CA CB，那么〔〕2DBCD 32 1 C ．1 2A ．B ．3D ．3338、O 是△ABC 所在平面内一点，uuu r uuur uuur0，那么〔D 为BC 边中点，且2OA OB OC 〕uuur uuuruuu ruuur uuur uuuruuur uuurＡ．AO ODＢ．AO2OD Ｃ．AO 3OD Ｄ．2AO OD9、设a ，b 是非零向量，假设函数f(x) (xab)g(axb)的图象是一条直线，那么必有〔〕A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a||b|D ．|a||b|10、假设O 、E 、F 是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是uuu r uuu r uuu rB.uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A ．EF OF OEEF OF OEC.EFOF OE D.11、设a=(4,3),a 在b 上的投影为5 2,b 在x 轴上的投影为 2,且|b|＜1,那么b为2A.(2,14)B.(2,-22D.(2,8))7uuur uuur uuurEF OF OE112、平面向量a(11)，，b(1，1)，那么向量1a 3b〔〕22Ａ．(2，1)Ｂ．(2，1)Ｃ．(1，0)Ｄ．(1，2)uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur13、向量OA(4,6),OB(3,5),且OC OA,AC//OB,那么向量OC等于〔A〕3,2〔B〕2,4〔C〕3,2〔D〕2,4777217772114、假设向量a与b不共线，agb0，且c=a-aga b，那么向量a与c的夹角为〔〕agbA．0πC．ππB．3D．62uuuruuur uuur15、设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)O为坐标原点，假设为坐标平面上三点，OA与OB在OC方向上的投影相同，那么a与b满足的关系式为〔〕〔A〕4a5b3〔B〕5a4b3〔C〕4a5b14〔D〕5a4b14uuur r uuur r uuur r16、在四面体O-ABC中，OA a,OB b,OC c,D为BC的中点，E为AD的中点，那么OE=〔用a，b，c表示〕17、向量a=2，4，b=11，．假设向量b(a+b)，那么实数的值是．r r60，r r，那么rr r，的夹角为a b1aga b．18、假设向量ab19、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设uuur uuuur uuur uuurn的值为AB mAM，AC nAN，那么m．ANB O CM20、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点uuuruuur分别为O(0，0)，B(11)，，那么ABgAC．2平面向量专题rrrr1．向量a(5,6)，b(6,5)，那么a 与b．垂直解．向量B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向r r rrrra (5,6)，b(6,5)，ab 30300，那么a 与b 垂直，选A 。

高考数学平面向量专题练习、参考答案

高考数学平面向量专题练习考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。

1、已知向量b a 与不共线，且0||||≠=b a ，则下列结论中正确的是 A ．向量b a b a -+与垂直 B ．向量b a -与a 垂直C ．向量b a +与a 垂直D ．向量b a b a -+与共线2．已知在△ABC 中，OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD 用b a ,表示为。

4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→→→→+=-+=2121232)251(e e b e k e k a 与是两个共线向量，则实数k = .5、设→i 、→j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且→→+=j i OA 24，→→+=j i OB 43，则△OAB 的面积等于：A ．15B ．10C ．7.5D ．56、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是，将向量OC 按逆时针方向旋转90°得到向量OD ，则向量OD 的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==AC k AB ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是A ．23B ．21-C ．－5D ．31-8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC AC AB ∆==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，AC AB ⋅的值为 .9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量AB 与CD 的位置关系是 A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法判断10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围是：A ．]4,0[π B ．]125,4[ππ C ．]125,12[ππ D ．]2,125[ππ 11、若,4,,2||,3||π夹角为且b a b a ==则||b a +等于：A ．5B ．52C ．21D ．1712、已知→a =（6，2），→b =)21,4(-，直线l 过点A )1,3(-，且与向量→→+b a 2垂直，则直线l 的一般方程是 . 13、设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数)(x F 的单调递增区间，将)(x F 的图象按)0,(π=a 平移得到一个新的函数)(x G 的图象，则)(x G 的单调递减区间必是：A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ14、把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按向量a 平移，得到函数1)1(log 2-+=x y 的图象，则a 为（）A ．（3，－4）B ．（3，4）C ．（－3，4）D ．（－3，－4）15、如果把圆)1,(02:22-==-+m a y y x C 沿向量平移后得到圆C ′，且C ′与直线043=-y x 相切，则m 的值为 .16、已知P 是抛物线122-=x y 上的动点，定点A （0，-1），若点M 分PA 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．17、若D 点在三角形的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为:A. 165B. 125C. 85D. 4518、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββb a ==αα则b a与一定满足:A.b a 与的夹角等于βα-B.)()(b a b a -⊥+C. b a //D.b a ⊥19、已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.（1）若BC AC ⋅=－1，求sin2α的值；（2）若13||=+OC OA ，且α∈（0，π），求OB 与OC 的夹角.20、已知O 为坐标原点，a R a R x a x OB x OA ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.21、已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 满足).(21,2||AC AB AD AC +== （1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 22、如图，已知△OFQ 的面积为S ，且 1=⋅FQ OF . （1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设|OF | = c （c ≥2），S =c 43，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.参考答案1、A ；2、D ；3、→→+b a 4341；4、231或；5、D ；6、)2,1(-，)1,2(--；7、D ；8、3π, 2；9、A ；10、C ；11、D ；12、0932=--y x ；13、D ；14、D ；15、35±；16、)0(162≠-=x x y ,)21,0(；17、C ；18、B19（1）解：(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-∴BC AC ⋅=－1⇒cos (cos 3)sin (sin 3)1αααα-+-=- ∴2cos sin 3αα+=，∴224cos sin 2sin cos 9αααα++= ∴5sin 29α=- （2）∵(3cos ,sin )OA OC αα+=+=化简得1cos 2α=， ∵(0,)απ∈，∴sin 2α=∴3sin cos ,sin 3||||OB OC OB OC OB OC αα⋅<>====2 ∴OB 与OC 的夹角为6π20．（1）,2sin 3cos 22a x x OB OA y ++=⋅=).](32,6[:).](6,3[:)(.1,23,3)(,]6,0[6,262.1)62sin(2)()2(.12sin 32cos )(Z k k kx Z k k kx x f a a a x f x x a x x f a x x x f ∈+-∈+--==++∈==+∴+++=+++=∴πππππππππππ单调减区间是的单调增区间是可解得函数解得由取最大值时解得 21．解：（I ）设C 、D 点的坐标分别为C （),00y x ，D ),(y x ，则00,2(y x AC +=），)0,4(=AB则),6(00y x AC AB +=+，故)2,32()(2100y x AC AB AD +=+=又解得故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=.2,232),,2(00y y x x y x AD ⎩⎨⎧=-=.2,2200y y x x 代入2)2(||2020=++=y x AC 得122=+y x ，即为所求点D 的轨迹方程.（II ）易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为)2(+=x k y ①.又设椭圆方程为)4(1422222>=-+a a y a x ②. 因为直线l 与圆122=+y x 相切.故11|2|2=+k k ，解得.312=k将①代入②整理得，0444)4(2422222222=+-++-+a a k a x k a x a k a ，而313=k ，即0443)3(24222=+-+-a a x a x a ，设M （),11y x ，N （),22y x ，则32221--=+a a x x ，由题意有)3(5423222>⨯=-a a a ，求得82=a .经检验，此时.0>∆ 故所求的椭圆方程为.14822=+y x 22．解：（1）由已知，得.2tan 1cos ||||)sin(||||21S FQ OF SFQ OF =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅θθθπ ∵21＜S ＜2，∴2＜tan θ＜4，则4π＜θ＜arctan4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞0，b ＞0），Q 的坐标为（x 1，y 1），则FQ =（x 1－c ，y 1）,∵△OFQ 的面积为,43||211c y OF =⋅∴y 1 =23又由OF ·FQ =（c ，0）·⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,1c x =（x 1－c ）c = 1，得x 1 =491|| ,122121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+c c y x OQ c c （c ≥2）.当且仅当c = 2时|OQ |最小，此时Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛23 ,25，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+6104149425222222b a b a b a ，故椭圆方程为161022=+y x .。

高考平面向量及其应用专题及答案百度文库

一、多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+5．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为766．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C8．下列各式中，结果为零向量的是（） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为8710．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（） A ．5-B ．23C ．23-D ．5311．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥12．下列命题中，正确的有（）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形 13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（）A ．0B C ．-4 D ．417．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（）A ．5B ．C ．4D ．1619．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 20．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒21．如图，在ABC 中，60,C BC AC ︒===D 在边BC 上，且sin 7BAD ∠=，则CD 等于（）A ．233B ．33C ．332D ．43322．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A 33B 53C 73D 8323．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-24．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2cos 3A =，则b= A 2B 3C ．2D ．326．题目文件丢失！27．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1328．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）A ．34B ．53C ．73D ．8329．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（） A ．73B ．273C ．2D ．21330．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 31．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（）A ．15B ．14C ．3 D ．3 32．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形34．题目文件丢失！35．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（）A ．34B ．58C ．38D ．23【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确；对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误；对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反，故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.3．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.4．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断.【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -，设1(0,),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ，所以133y y -=-，解得：2y =，即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；32OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确；因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；1(3ED =，(1,BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.6．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 1B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解；对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确. 故选：解析：BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.9．ACD 【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为解析：ACD 【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确；由正弦定理得：2sin c R C =，又sin C ==所以2R =，解得：R =D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.10．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.11．BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.12．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩，则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确；对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确；对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数，则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.13．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．14．AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本解析：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.15．无二、平面向量及其应用选择题16．C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果. 【详解】如图所示，AB AF2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()230,3,3,1,,33B FE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此()BFAEBF233,2,323264→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 17．C 【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心，又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心，所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C 【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 18．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 19．D 【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小. 【详解】解：∵2cosA 3cosB 5cosCa b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B CA B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得k =∴tan 3B k ==B ＝3π．故选：D . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键20．C 【分析】首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】因为27a b +=，所以2()7a b +=，即22447a a b b +⋅+=，因为221a b ==，所以12a b ⋅=，所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒，所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 21．A 【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】AB =3==，2223cos 22323AB BC AC B AB BC +-∴===⋅⨯⨯，又因为角B 是三角形的内角，所以6B π=，90BAC ∴∠=，27sin BAD ∠=，221cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， 21sin cos 7DAC BAD ∴∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD BAD BAD⋅=∠，在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC CAD DAC⋅=∠，()13232227217DC DC -⨯⨯∴=，解得：23DC =. 故选：A 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型. 22．B 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）．故选B ．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．23．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=．解得15cos 17A =-或cos 1A =-．因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-．故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．D【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+，由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=，当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=，所以11022PA PB PC ++=，又已知0PA xPB yPC ++=，根据平面向量基本定理可得12x y ==，从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.25．D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！26．无27．A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos 3 ＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－13．令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－33)·(x －13＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP ＝λAB ，∴λ＝12.故选A. 【点睛】1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.28．C【分析】作出图形，先推导出212 AM ABAB⋅=，同理得出212AM AC AC⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AM AE EM=+且EM AB⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC⋅=，86cos6024AB AC⋅=⨯⨯=，由221212AM AB ABAM AC AC⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC ABAB AC ACλμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 29．C【分析】化简得到22AM AB ACλμ=+，根据1AM=得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大值.【详解】()1222AM AE AF AB ACλμ=+=+，故2222224cos1201222AM AB ACλμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-=⎪⎝⎭故()()()222223134λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.故选：C .【点睛】本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.30．B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，已知14AD AB →→=，12AE AC →→=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△，则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC=，即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==，则：8MC ME =，所以37AM AC =，解得：37AM AC →→=，同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△，则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD=，即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==，则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-，所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-，得：17AN AB =，解得：1 7AN AB→→=，四边形AMFN是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM→→→=+，所以1377AF AB AC→→→=+.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 31．B【分析】利用正弦定理可得sin2sinB C=，结合a b=和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos2sin cos sin cos2sinc A a C c C A A C C+=⇒+=，∴sin()2sin sin2sinA C CB C+=⇒=，∴2b c=，又a b=，∴22222114cos12422ba c bBac b⋅+-===⋅⋅，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 32．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE⎛⎫=+=+=-+++⎪⎝⎭111223AB AD AB CB⎛⎫=-+++⎪⎝⎭111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.33．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．34．无35．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==，所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点，所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=，所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.。

高考数学数学平面向量多选题专项训练试题及答案

高考数学数学平面向量多选题专项训练试题及答案一、平面向量多选题1．题目文件丢失！2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭答案：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题. 3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=答案：ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（） A ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：AD 【分析】设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设，则，当点P 靠近点时，，则，解得，所以，当点P 靠近点时，，则，解得，所以，故选：解析：AD 【分析】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，当点P 靠近点1P 时，1212PPPP =，则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当点P 靠近点2P 时，122PP PP =，则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 答案：BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD 【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=, ∴sin sin c C A a ==而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.6．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+答案：ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+答案：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.8．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD答案：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，,故C 错误；对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误；对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误；对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（）A ．B ．C ．8D ．答案：AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.10．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<答案：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题． 11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）A ．2OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为-答案：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形，其中，对于；故正确．对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于解析：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确．对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||42AH AH π=-，||1AH ≠，故错误．故选：AB ．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量答案：AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3) 答案：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.14．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个答案：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以解析：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==答案：AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B,由平面向量基本解析：AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,这样的λ有无数个，所以不正确.故选:AD .【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．题目文件丢失！17．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 解析：C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.18．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（）A ．25B ．35C ．34D ．14解析：D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14 故选D 【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目. 19．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（）A ．2B ．-2C ．4D ．-4 解析：D【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3m OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D CD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=得：12333m OA OB OC += 设3m OC OD =，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线如下图所示：OC 与OD 反向共线 3ODm m CD ∴=- 734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.20．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论． 21．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（）A ．34B ．58C ．38D ．23解析：A 【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==，所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点，所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=，所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.22．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（）A ．7B ．3C ．11D ．19解析：A【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米解析：D【分析】作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ．【详解】解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒，在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，在Rt BSD ∆中，sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，故选：D ．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．24．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）．A ．4B ．3C ．-4D ．5解析：C【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得， 222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥， ()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CA CA θ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅，故选C ．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．25．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（）A ．sin sin AB >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <解析：C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确； sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．26．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（）A 23B 3C ．332D 43 解析：A【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.【详解】222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅1312232332=+-⨯⨯=，222cos2AB BC ACBAB BC+-∴===⋅又因为角B是三角形的内角，所以6Bπ=，90BAC∴∠=，sin BAD∠=，cos BAD∴∠==，sin cos7DAC BAD∴∠=∠=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBD BADBAD⋅=∠，在ADC中，由正弦定理可得sinsinDC CADDAC⋅=∠，()17DC DC⨯⨯=，解得：DC=.故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.27．设θ为两个非零向量,a b→→的夹角，已知对任意实数t，||b t a→→-的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||a→唯一确定B．若θ确定，则||b→唯一确定C．若||a→确定，则θ唯一确定D．若||b→确定，则θ唯一确定解析：B【分析】2222||2b ta b a bt a t-=-⋅+，令222()2f t b a bt a t=-⋅+，易得2cosba bta aθ⋅==时，222min 244()()14a b a bf ta-⋅==，即222||cos1b bθ-=，结合选项即可得到答案.【详解】2222||2b ta b a bt a t-=-⋅+，令222()2f t b a bt a t=-⋅+，因为t R∈，所以当2cosba bta aθ⋅==时，222min244()()4a b a bf ta-⋅=，又||b t a→→-的最小值为1，所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=，所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.28．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥ 解析：A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.综上：①④正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．29．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形解析：D【分析】先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=， 1cos ||||2AB AC A AB AC ==， 3A π∴∠=， 3BC A π∴∠=∠=∠=， ∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．30．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（）A ．23πB ．43πC ．6πD ．3π 解析：A【分析】根据题意得出tan tan tan A B C a b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长.【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a b OC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C b B cC ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B C a b c∴==，由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===，设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin a R A ===，1R ∴=，所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.。

高考数学压轴专题专题备战高考《平面向量》经典测试题含答案解析

【高中数学】《平面向量》考试知识点一、选择题1．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（）A ．43AD BE +u u u v u u u v B ．53AD BE +u u u v u u u v C ．4132AD BE +u u u v u u u v D ．5132AD BE +u u u v u u u v 【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题2．已知向量,a b r r 满足||3a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r ，则a r 与b r 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得3cos ,2a b 〈〉=-r r ，即可求得向量a r 与b r 的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||3a =r ||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r ，解得12a b ⋅=-r r，所以3cos ,||||234a b a b a b ⋅〈〉===-⨯r r r r r r ，又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r 的夹角为56π. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．3．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r v v ，且||3a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π 【答案】B【解析】【分析】对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与a b -v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.【详解】因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3BDA π∠=，23BDE π∠=.故选B.【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.4．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈rr ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥ 【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r ，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r ，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.综上：①④正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．5．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v （）A ．3B 3C 3D 3【答案】D【解析】 ∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r ，∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．6．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉r r 的最小值是（）A ．1116B ．78C ．158D ．315 【答案】B【解析】【分析】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r ，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.【详解】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r ，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由|3|2b a -≤r r ，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉r r 最小，则,a b <>r r 应最大，此时()222222min 4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯r r .故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题. 7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r ，则x =（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r r ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r ，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r , P 为线段CD 上一点,且12DP PC =，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ， R μ∈）,则λμ+的值为（）A ．13B ．13- C ．0 D ．12 【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的线性运算，化简求得1526EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v ，求得,λμ的值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：()1214111232326EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=--=-()1111522626AD AB AB AD AB =+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62λμ=-=，所以511623λμ+=-+=-，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP u u u v是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （）A ．-16B ．0C ．16D ．32 【答案】B【解析】【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（）A ．125B ．125-C ．32D ．32- 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π===，点P 为ABC V 所在平面内一点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（）A ．252-B ．8-C ．172-D ．1758- 【答案】A【解析】【分析】根据,2C π=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2x y ，时,取得最小值. 【详解】如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r，则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r 22325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.12．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r （）A ．134- B ．54 C ．5 D ．154 【答案】B【解析】【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r . 故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.13．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用数量积的分配律即得解. 【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.14．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v ，则AF u u u v ＝( )AB ．2 CD ．3【答案】A【解析】【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v ，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得AF =u u u v【详解】根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v ，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键. 15．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，则当,1[]2t ∈-时，a tb -r r 的最大值为（） A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】D【解析】【分析】根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用22()1a tb a tb t -=-=+r r r r 求解.【详解】因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，所以22()1a tb a tb t -=-=+r r r r ，当[]2,1t ∈-时，max5a tb -=r r . 故选：D【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.16．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v的值是A ．－8B ．－1C ．1D ．8【答案】D【解析】【分析】【详解】因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则 1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)()42AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)[()]42AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D 17．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（）A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D【解析】【分析】计算25AC a b =+u u u r r r ，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案. 【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r ，即()253a b a mb λ+=+r r r r ， ∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D .【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B．[0, C ．[0,4] D ．[0,8] 【答案】D【解析】【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．19．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（）. AB．C ．2 D ．3 【答案】D【解析】【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（）A ．若//a b r r ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α= C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 51 【答案】B【解析】【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确. C 选项，si (n )52cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 1，此时5a =-rr ，,a b r r 反向.故选项D 正确.故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.。

平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+= ，则a 与b 垂直，选A 。

2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1B ．2C ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)303n n n n ⋅-=-+=⇒=±， 2=a 。

3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b == ，,a b 的夹角为60°，则a a ab ⋅+⋅=______；答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=，4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b = 则mλ的取值范围是(A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+- ,(,sin ),2m b m α=+ 2,a b = 可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角A B C ∆中，C D 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅（B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2ABAC CD =⋅（D ） 22()()AC AB BA BC C DAB⋅⨯⋅= 【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ= (A)32 (B)31 (C) -31 (D) -32解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33C D C A A D C A A B C A C B C A =+=+=+- =1233C A C B + ，4 λ=32，选A 。

平面向量全国卷高考真题2007-2018

1（2007卷1，13）已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与 bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2设向量a=（1，2），b=（2，3）.若向量λa+b 与向量c=（4，-7）共线，则λ=.3在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b c 4设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为（A ）（B（C ）(D)5已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A. B. C.5 D. 25 6.中，点在上，平方．若，，，，则（A ）（B ）（C ）（D ） 7已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题8设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)19已知向量,a b 夹角为45°，且||1,|2|10a a b =-=，则b =____________.10已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.11已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . a b c a b ()()a c b c -∙-2-21-1ABC V D AB CD ACB ∠CB a =uu r CA b =uu r 1a =2b =CD =uu u r1233a b +2133a b +3455a b +4355a b +12设向量a,b 满足|a+b|a-b，则a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 513.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =- 14（2015卷2，13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 15（2016•新课标Ⅰ，13）设向量=（m ，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ．16（2016卷2，3）已知向量，且，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）817已知向量1,2BA ⎛= ⎝⎭，BC ，12)，则ABC ∠ A. 30° B. 45° C. 60° D.120°18已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .19在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +20已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．021已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)．若c//(2a+b)，则λ=________．(1,)(3,2)a m a =-，=()a b b ⊥+。

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y=x2 的图象, 则向量 a= (
A.( 0, 1)
) C.( -1, 0) D.( 1, 0)
B.( 0, -1)
【答案】
D
→ → →
5.(2013 年)若向量��= ( 2, 4) , 4, 3) , 则��= ��= ( A.( 6, 7) B.( 2, -1) C.( -2, 1)
3.(2012 年)已知向量 a=( 3, 5) , b=( 2, x) , 且 a⊥b, 则 x= A.��
��
(
��
)
B.-��
��
C.
��
D.-
【答案】
B
2 4.( 2012 年) 将函数 y=( x+ 1) 的图象按向量 a 经过一次平移后, 得到
��
a·b=
.
【答案】
-3
→ → →
17.(2016 年)在△ABC 中, AB=2, 则��·( = ��- ��)
.
【答案】
-4
18.(2017年)已知点O(0,0),A(-7,10),B(-3,4),设 a OA OB , 则|a|= .
【答案】
5
.
19.(2017年)设向量a=(2,3sinθ),b=(4,cosθ),若a//b,则tanθ=
【答案】
1 6
→
→
→
图7-14
【答案】
C
10.(2015 年)在平面直角坐标系中, 已知三点 A( 1, -2) , B( 2, 1) , C( 0, -2) , 则| =( ) ��+ ��| A.1 B.2
→ →
C.3
D.4
【答案】
A
11.(2015 年)已知向量 a=( sinθ , 2) , b=( 1, cosθ) .若 a⊥b, 则 tanθ= ( A.-��
【答案】
A
二、填空题(每小题5分)
14.(2011 年)在边长为 2 的等边△ABC 中, ��·��=
→ →
.
【答案】
-2
15.(2012年)已知向量a=(1,2),b=(2,3),则向量3a-b= . 【答案】 (1,3)
16.(2015 年)已知向量 a 和 b 的夹角为 , 且| a| = ��, | b| =3, 则 ��
→
)
→ →
A.��=��+ �� → → → C.��=��-��
B.��=��+ �� → → → D.��=��-��
→ → →
(
)
【答案】
D
→ →
2.(2011 年)已知三点 O ( 0, 0) , A( k, -2) , B( 3, 4) , 若��⊥��, 则 k= ( ) A.- ��
��
B.��
��
C.7
D.11
【答案】
D
��
) B.��
��
C.-2
D.2
【答案】
A
12.(2016年)已知向量a=(-3,1),b=(0,5),则|a-b|= ( ) A.5 B.4 C.3 D.1 【答案】 C
→ →
13.(2016 年) 已知点 A( 1, 2) , B( -1, 3) , C( x-1, 5) , 若��与��共线, 则 x= ( ) A.4 B.-1 C.1 D.-4
【答案】
C
8.(2014 年)设向量 a= ( 4, 5) , b= ( 1, 0) , c= ( 2, x) 且( a+b) ∥c, 则 x= ( A.-2 ) B.-��
��
C.��
��
D.2
【答案】
D
9.(2014 年)在如图 7-14 所示的平行四边形中, 下列等式不正．．确的是 ( ．
7.7 平面向量高职高考全真试题
一、选择题(每小题5分)
1.(2011 年)已知向量��=( 1, -4) , 向量��=( 3, 1) , 则| = ��| A. �� B. �� C. �� D.5
( Hale Waihona Puke D.( 7, 6)【答案】
A
6.(2013 年)若向量 a, b 满足| a+b| =| a- b| , 则必有 A.a=��
→
(
)
B.b=��
→
C.a·b=0
D.| a| =| b|
【答案】
C ( )
7.(2014年)已知向量a=(2sinθ,2cosθ),则|a|= A.8 B.4 C.2 D.1