圆锥曲线[椭圆]专项训练[附答案解析]
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小结：已知椭圆的方程求最值或求围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。
【专项训练】：
一、选择题：ACD DABB BBD
填空题 11、3或 12、 4 1 13、 14
15、
16、解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；
（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；
联立
∴ ， 由
， ，得 ．①
又 为锐角 ，
∴ 又
∴
∴ ．②
综①②Leabharlann Baidu知 ，∴ 的取值围是
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ．整理得 ①
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，
解得 或 ．即 的取值围为 ．
（Ⅱ）设 ，则 ，
由方程①， ．②又 ．③
而 ．
所以 与 共线等价于 ，将②③代入上式，解得 ．
4．方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值围是（ ）
A． B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）
5.过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 、 与椭圆的另一焦点 构成 ，那么 的周长是（ ）
A. B.2C. D.1
6.已知 ＜4，则曲线 和 有（ ）
A.相同的准线B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的长轴
（I）求 的取值围；
（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．
20.椭圆 ＞ ＞ 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标原点.
（1）求 的值；（2）若椭圆的离心率 满足 ≤ ≤ ，求椭圆长轴的取值围.
圆锥曲线椭圆专项训练参考答案
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知三角形 的两顶点为 ，它的周长为 ,求顶点 轨迹方程．
16、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
17、中心在原点，一焦点为F1（0，5 ）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是 ，求此椭圆的方程。
【例题精选】：
例1（1） （2） （3）
（4） （5）
例2（1） （2
例3
例4已知椭圆 ，过左焦点F1倾斜角为 的直线交椭圆于 两点。
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。
解：
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
例5 x+2y-4=0
例6解：
过A、B的直线方程是
7．已知 是椭圆 上的一点，若 到椭圆右焦点的距离是 ，则点 到左焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．若点 在椭圆 上， 、 分别是椭圆的两焦点，且 ，则 的面积是（ ）
A.2B.1C. D.
9．椭圆 有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例5过椭圆 一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程。
小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。
例6已知 是椭圆在第一象限部分上的一点，求 面积的最大值。
小结：已知椭圆的方程求最值或求围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。
10．椭圆 上的点到直线 的最大距离是（ ）
A．3B． C． D．
二、填空题：
11．椭圆 的离心率为 ，则 。
12．设 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，则 的最大值为；最小值为。
13．直线y=x－ 被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为。
14、椭圆 上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是
【专项训练】：
一、选择题：
1．椭圆 的焦距是（ ）
A．2B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线C．线段D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点 ，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
18.求F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限该数轴上的一点， ，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠AoB为锐角（其中O为作标原点），求直线 的斜率 的取值围.
19.在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ．
17、设椭圆： （a＞b＞0），则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0= ，∴y0= －2=－
由 …②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为： =1
18、 （Ⅰ）易知 ， ， ．
∴ ， ．设 ．则
，又 ，
联立 ，解得 ， ．
（Ⅱ）显然 不满足题设条件．可设 的方程为 ，设 ， ．
由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数 ．
20、[解析]：设 ，由OP ⊥ OQ x1x2+ y1y2= 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴2a∈[ ].
例3已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的
求：椭圆的离心率。
小结：离心率是椭圆中的一个重要容，要给予重视。
例4已知椭圆 ，过左焦点F1倾斜角为 的直线交椭圆于 两点。
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
圆锥曲线椭圆专项训练
【例题精选】：
例1求下列椭圆的标准方程：
（1）与椭圆 有相同焦点，过点 ；
（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t；
（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为 。
（4）
例2已知椭圆的焦点为 。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P在这个椭圆上，且 ，求： 的值。
【专项训练】：
一、选择题：ACD DABB BBD
填空题 11、3或 12、 4 1 13、 14
15、
16、解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；
（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；
联立
∴ ， 由
， ，得 ．①
又 为锐角 ，
∴ 又
∴
∴ ．②
综①②Leabharlann Baidu知 ，∴ 的取值围是
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ．整理得 ①
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，
解得 或 ．即 的取值围为 ．
（Ⅱ）设 ，则 ，
由方程①， ．②又 ．③
而 ．
所以 与 共线等价于 ，将②③代入上式，解得 ．
4．方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值围是（ ）
A． B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）
5.过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 、 与椭圆的另一焦点 构成 ，那么 的周长是（ ）
A. B.2C. D.1
6.已知 ＜4，则曲线 和 有（ ）
A.相同的准线B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的长轴
（I）求 的取值围；
（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．
20.椭圆 ＞ ＞ 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标原点.
（1）求 的值；（2）若椭圆的离心率 满足 ≤ ≤ ，求椭圆长轴的取值围.
圆锥曲线椭圆专项训练参考答案
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知三角形 的两顶点为 ，它的周长为 ,求顶点 轨迹方程．
16、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
17、中心在原点，一焦点为F1（0，5 ）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是 ，求此椭圆的方程。
【例题精选】：
例1（1） （2） （3）
（4） （5）
例2（1） （2
例3
例4已知椭圆 ，过左焦点F1倾斜角为 的直线交椭圆于 两点。
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。
解：
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
例5 x+2y-4=0
例6解：
过A、B的直线方程是
7．已知 是椭圆 上的一点，若 到椭圆右焦点的距离是 ，则点 到左焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．若点 在椭圆 上， 、 分别是椭圆的两焦点，且 ，则 的面积是（ ）
A.2B.1C. D.
9．椭圆 有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例5过椭圆 一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程。
小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。
例6已知 是椭圆在第一象限部分上的一点，求 面积的最大值。
小结：已知椭圆的方程求最值或求围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。
10．椭圆 上的点到直线 的最大距离是（ ）
A．3B． C． D．
二、填空题：
11．椭圆 的离心率为 ，则 。
12．设 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，则 的最大值为；最小值为。
13．直线y=x－ 被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为。
14、椭圆 上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是
【专项训练】：
一、选择题：
1．椭圆 的焦距是（ ）
A．2B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线C．线段D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点 ，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
18.求F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限该数轴上的一点， ，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠AoB为锐角（其中O为作标原点），求直线 的斜率 的取值围.
19.在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ．
17、设椭圆： （a＞b＞0），则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0= ，∴y0= －2=－
由 …②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为： =1
18、 （Ⅰ）易知 ， ， ．
∴ ， ．设 ．则
，又 ，
联立 ，解得 ， ．
（Ⅱ）显然 不满足题设条件．可设 的方程为 ，设 ， ．
由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数 ．
20、[解析]：设 ，由OP ⊥ OQ x1x2+ y1y2= 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴2a∈[ ].
例3已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的
求：椭圆的离心率。
小结：离心率是椭圆中的一个重要容，要给予重视。
例4已知椭圆 ，过左焦点F1倾斜角为 的直线交椭圆于 两点。
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
圆锥曲线椭圆专项训练
【例题精选】：
例1求下列椭圆的标准方程：
（1）与椭圆 有相同焦点，过点 ；
（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t；
（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为 。
（4）
例2已知椭圆的焦点为 。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P在这个椭圆上，且 ，求： 的值。