中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)
初中数学阿氏圆最值模型归纳
几何模型:阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆"又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PＢ=k(k≠1),则满足条件得所有得点Ｐ得轨迹构成得图形为圆。
这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆"。
A BPO【模型建立】如图1 所示,⊙O 得半径为Ｒ,点A、B 都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=OB,连接PA、PＢ,则当“ＰA+PB”得值最小时,P 点得位置如何确定？解决办法:如图2,在线段OB 上截取ＯC使ＯＣ=Ｒ,则可说明△ＢPＯ与△ＰCＯ相似,则有ＰB=PC。
故本题求“PA＋ＰB”得最小值可以转化为“ＰA+ＰC”得最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C 三点共线时,“PＡ＋ＰＣ”值最小。
【技巧总结】计算得最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得得值最小,解决步骤具体如下:1.如图,将系数不为1得线段两端点与圆心相连即OP,OB2.计算出这两条线段得长度比3.在ＯB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则,4.则,当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1、如图,在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°,AＣ=4,BC=3,以点C为圆心,２为半径作圆Ｃ,分别交AC、BＣ于D、Ｅ两点,点P就是圆C上一个动点,则得最小值为________＿＿。
EABCDPMPDC BA【分析】这个问题最大得难点在于转化,此处P点轨迹就是圆,注意到圆Ｃ半径为2,ＣA=4,连接CP,构造包含线段AＰ得△CPA,在ＣＡ边上取点M使得CＭ＝2,连接ＰM,可得△CPＡ∽△CMP,故PA:ＰＭ＝2:1,即PM=.问题转化为PM+ＰＢ≥ＢＭ最小值,故当B,Ｐ,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得.变式练习〉＞>1.如图1,在RＴ△AＢＣ中,∠ＡCＢ=９0°,CＢ＝４,CA=6,圆C得半径为2,点Ｐ为圆上一动点,连接AP,BP,求①,②,③,④得最小值。
中考最值难点突破阿氏圆问题(解析版 )
中考最值难点突破阿氏圆问题模块一典例剖析+针对训练【模型简介】在圆上找一点P使得PA+k·PB的值最小．类型一：求和最小求PA+k·PB的最小值，PA+k·PB=PA+PC≥AC，当A，P，C三点共线时，最小值为AC1.(2019秋•山西期末)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m，0)，D(0，n)，点P是平面内一动点，且OP=r，设OPOD=k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k；第二步：证明kPD=PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：(1)将以上解答过程补充完整．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为△ABC内一动点，满足CD =2，利用(1)中的结论，请直接写出AD+23BD的最小值．思路引领：(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．(2)利用(1)中结论计算即可．解(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD=k，∴MP=kPD，∴PC+kPD=PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM=OC2+OM2=m2+(kr)2=m2+k2r2．(2)∵AC=m=4，CDBC =23，在CB上取一点M，使得CM=23CD=43，∴AD+23BD的最小值为42+43 2=4103．总结提升：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．针对训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+12BP的最小值．思路引领：连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连接DP、AD，则有CDCP=CPCB=12，以此可证明△PCD ∽△BCP ，即可得到PD BP=12，AP +12BP =AP +PD ，以此可推出当点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +12BP 的最小值为AD 的长，再根据勾股定理即可求解．解：连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，连接DP 、AD ，则有CD CP =CP CB=12，∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ，要使AP +12BP 最小，只要AP +PD 最小，当点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +PD 最小，即AP +12BP 的最小值为AD 的长，在Rt △ACD 中，CD =1，AC =6，∴AD =AC 2+CD 2=37．∴AP +12BP 的最小值为37．总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据题意分析出点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +12BP 的最小值为AD 的长是解题关键．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (6，-1)，M (4，4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO +2PA 的最小值为10．思路引领：连接OM ，在OM 上截取MN ，使得MN =2，连接PN ，AN ．证明△PMN ∽△OMP ，推出PN OP=MN MP =12，推出PN =12OP ，推出OP +2OA =212OP +PA =2(PN +PA )，再根据PN +PA ≥AN ，求出AN ，可得结论．解：连接OM ，在OM 上截取MN ，使得MN =2，连接PN ，AN ．∵M(4，4)，∴OM=42+42=42，∵PM=22，MN=2，∴PM2=MN•MO，∴PM MN =MO PM，∵∠PMN=∠OMP，∴△PMN∽△OMP，∴PN OP =MNMP=12，∴PN=12OP，∵N(3，3)，A(6，-1)，∴AN=32+42=5，∴OP+2OA=212OP+PA=2(PN+PA)，∵PN+PA≥AN，∴PN+PA≥5，∴OP+2OA≥10，∴OP+2OA的最小值为10，故答案为：10．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3.(2018•碑林区校级三模)问题提出：(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD=CE：问题探究：(2)如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求PC+ 12PD的最小值；问题解决：(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，点M是矩形内部一动点，MA=15，当MC+35MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+35MD的最小值．思路引领：(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求，再根据SAS证明△BAD≌△CAE即可解决问题；(2)如图2中，在AD上截取AE，使得AE=32．首先证明△PAE∽△DAP，推出PE DP=PA AD =12，可得PE=12PD，推出PC+12PD=PC+PE，利用三角形的三边关系即可解决问题；(3)如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE=9．由△MAE∽△DAM，推出EMMD =MA AD =1525=35，可得ME=35MD，推出MC+35MD=MC+ME，利用三角形的三边关系即可解决问题；解：(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB=AC，AE=EC，AD=CD，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE．(2)如图2中，在AD上截取AE，使得AE=32．∵PA2=9，AE•AD=32×6=9，∴PA2=AE•AD，∴PA AD =AEPA，∵∠PAE=∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴PE DP =PAAD=12，∴PE=12PD，∴PC+12PD=PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+12PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=6，DE=9 2，∴EC=62+92 2=152，∴PC+12PD的最小值为152．(3)如图3中，在AD上截取AE，使得AE=9．∵MA2=225，AE•AD=9×25=225，∴MA2=AE•AE，∴MA AD =AE MA，∵∠MAE=∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴EM MD =MAAD=1525=35，∴ME=35MD，∴MC+35MD=MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+35MD的最小值为EC的长，此时点M在线段EC上(如图M′)．在Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=18，DE=16，∴EC=162+182=2145，∴MC+35MD的最小值为2145．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，最短问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想解决问题，添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．类型二： 求差最大2.(2020秋•天宁区校级月考)如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为 237 ．思路引领：连接PB，在BC上取一点G，使得BG=2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PG=12PC，再根据PD-12PC=PD-PG≤DG，求出DG，可得结论．解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG=2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵PB=4，BG=2，BC=8，∴PB2=BG•BC，∴PB BG =BC PB，∵∠PBG=∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴PG PC =PBBC=12，∴PG=12PC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=BC=8，∴∠DCH=∠ABC=60°，在Rt△CDH中，CH=CD•cos60°=4，DH=CD•sin60°=43，∴GH=CG+CH=6+4=10，∴DG=GH2+DH2=102+(43)2=237，∵PD-12PC=PD-PG≤DG，∴PD-12PC≤237，∴PD-12PC的最大值为237．总结提升：本题考查阿氏圆问题，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．针对训练1.(2022•常熟市二模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为5．思路引领：由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=5．解：在BC上取一点G，使得BG=1，如图，∵PB BG =21=2，BCPB=42=2，∴PB BG =BC PB，∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PG PC =BGPB=12，∴PG=12PC，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=42+32=5．故答案为：5总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．2.(2021•商河县校级模拟)(1)初步思考：如图1，在△PCB中，已知PB=2，BC=4，N为BC上一点且BN=1，试证明：PN=12 PC(2)问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+ 12PC的最小值．(3)推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD-12PC的最大值．思路引领：(1)通过相似三角形△BPN∽△BCP的性质证得结论；(2)如图2中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC =BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG；(3)如图3中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．解法类似(2)；解：(1)证明：如图1，∵PB=2，BC=4，BN=1，∴PB2=4，BN•BC=4．∴PB2=BN•BC．∴BN BP =BP BC．又∵∠B=∠B，∴△BPN∽△BCP．∴PN PC =BNBP=12．∴PN=12PC；(2)如图2，在BC上取一点G，使得BG=1，∵PB BG =21=2，BCPB=42=2∴PB BG =BCPB，∠PBG=∠PBC∴△PBG∽△CBP∴PG PC =BGPB=12∴PG=12PC∴PD+12PC=DP+PG∵DP+PG≥DG∴当D、P、G共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5 (3)同(2)中证法，如图3，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的最大值，最大值为DG=37．总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．类型三：综合应用3.((2020•成华区校级模拟)如图1，抛物线y=mx2-3mx+n(m≠0)与x轴交于点C( -1，0)与y轴交于点B(0，3)，在线段OA上有一动点E(不与O、A重合)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当S1S2=3625时，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α(0°<α< 90°)，连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．思路引领：(1)令y =0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式．(2)由△PNM ∽△ANE ，推出PN AN =65，列出方程即可解决问题．(3)在y 轴上取一点M 使得OM ′=43，构造相似三角形，可以证明AM ′就是E ′A +23E ′B 的最小值．解：(1)∵抛物线y =mx 2-3mx +n (m ≠0)与x 轴交于点C (-1，0)与y 轴交于点B (0，3)，则有n =3m +3m +n =0 ，解得m =-34n =3，∴抛物线y =-34x 2+94x +3，令y =0，得到-34x 2+94x +3=0，解得：x =4或-1，∴A (4，0)，B (0，3)，设直线AB 解析式为y =kx +b ，则b =34k +b =0，解得k =-34b =3 ，∴直线AB 解析式为y =-34x +3．(2)如图1中，设P m ，-34m 2+94m +3 ，则E (m ，0)，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN =∠AEN ，∵∠PNM =∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，S 1S 2=3625，∴PN AN=65，∵NE∥OB，∴AN AB =AE OA，∴AN=54(4-m)，∵抛物线解析式为y=-34x2+94x+3，∴PN=-34m2+94m+3--34m+3=-34m2+3m，∴-34m2+3m54(4-m)=65，解得m=2或4(舍弃)，∴m=2，∴P2，92．(3)如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′=43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′•OB=43×3=4，∴OE′2=OM′•OB，∴OE' OM'=OB OE'，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴M'E'BE'=OE'OB=23，∴M′E′=23BE′，∴AE′+23BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+23BE′最小(两点间线段最短，A、M′、E′共线时)，最小值=AM′=42+432=4103．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+23E′B的最小值，属于中考压轴题针对训练4.(2021•九龙坡区校级模拟)在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．(1)如图1，若∠ABE=75°，BD=4，求AC的长；(2)如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD=30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；(3)如图3，若AB=4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+2A′C最小时，求S△A′BC．2思路引领：(1)通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；(2)通过作辅助线，构造全等三角形，设AC=a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；(3)构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A'(4)的位置，继而求得相关三角形的面积．解：(1)过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，∴∠EBD=90°，∵∠ABE=75°，∴∠ABD=15°，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=30°，BD=2，BG=3DG=23，∴在直角△BDG中有DG=12∵∠ACB=45°，∴在直角△DCG中，CG=DG=2，∴BC=BG+CG=2+23，BC=2+6；∴AC=22(2)线段DC与线段HG的数量关系为：HG=3CD，4证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：∴∠END=90°，由旋转可知∠EBD=90°，∴∠EDB=45°∴∠END =∠EBD =90°，∴E ，B ，D ，N 四点共圆，∴∠BNE =∠EDB =45°，∠NEB +∠BDN =180°∵∠BDC +∠BDN =180°，∠BCD =45°，∴∠BEN =∠BDC ，∴∠BNE =45°=∠BCD ，在△BEN 和△BDC 中，∠BNE =∠BCD∠BEN =∠BDC BE =BA，∴△BEN ≌△BDC (AAS )，∴BN =BC ，∵∠BAC =90°，在等腰△BNC 中，由三线合一可知BA 是CN 的中线，∵∠BAC =∠END =90°，∴EN ∥AB ，∵A 是CN 的中点，∴F 是EC 的中点，∵G 是BC 的中点，∴FG 是△BEC 的中位线，∴FG ∥BE ，FG =12BE ，∵BE ⊥BD ，∴FG ⊥BD ，∵∠ABD =30°，∴∠BFG =60°，∵∠ABC =45°，∴∠BGF =75°，设AC =a ，则AB =a ，在Rt △ABD 中，AD =33a ，BD =BE =233a ，∴FG =12BE ，∴FG =33a ，∵GM ⊥AB ，∴△BGM 是等腰三角形，∴MG =MB =22BG =22×12BC =22×12×2AC =12a ，在Rt △MFG 中，∠MFG =60°，∴3MF =MG ，∴MF =36a ，∴BF=BM+MF=3+36a，在Rt△BFH中，∠BFG=60°，∴FH=12BF=3+312a，∴HG=FG-FH=33a-3+312a=14(3-1)a，又∵CD=a-33a=33(3-1)a，∴CD HG =43，∴HG=34CD；(3)设AB=a，则BC=2a，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，由旋转可知A′B=AB=a，∵A'BBN =a22a=2，BCA'B=2aa=2，∴A'BBN =BCA'B=2，又∠A'BN=∠CBA'，∴△A′BN∽△CBA′，∴A'N A'C =A'BBC=22，∴A'N=22A'C，根据旋转和两点之间线段最短可知，A'D+22A'C最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，∵D，N分别是AC，BC的中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，∵AB⊥AC，∴DN⊥AC，∵∠A=∠A''FA=∠A''DA=90°，∴四边形A''FAD是矩形，∴AF=A''D，A''F=AD=2，∵又A''B=AB=4，设AF=x，在直角三角形A''FB中，A''B2=A''F2+BF2，∴42=22+(4-x)2，解得x=4-23．∴此时S△A''BC=S△ABC-S△AA''B-S△A''AC=12AB•AC-12AB•A''F-12AC•A''D=12×4×4-1 2×4×2-12×4×(4-23)=43-4．总结提升：此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．5.(2022•高唐县二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-4，-4)，B(0，4)，直线AC的解析式为y=-12x-6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的解析式；(2)点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；(3)在(2)的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求12AM+ CM的最小值．思路引领：(1)直接利用待定系数法求解即可；(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，可判断出AB⊥AC，当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，分别点E、H、F的坐标，再利用中点坐标公式求解即可；(3)先取EG的中点P，进而判断出△PEM∽△MEA，即可得出PM=12AM，连接CP交⊙E于点M，再求出点P坐标，即可得出结论．解：(1)将点A(-4，-4)，B(0，4)代入y=-x2+bx+c得：-16-4b+c=-4c=4，解得：b=-2 c=4，∴抛物线解析式为：y =-x 2-2x +4；(2)如图，当点E 运动到(-2，0)时，四边形EAFH 是矩形，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将点A (-4，-4)，B (0，4)代入得：-4k +b =-4b =4 ，解得：k =2b =4 ，∴线AB 的解析式为y =2x +4，∵直线AC 的解析式为y =-12x -6，∴AB ⊥AC ，∴当四边形EAFH 是平行四边形时，四边形EAFH 是矩形，此时，EF 与AH 互相平分，设E (m ，2m +4)，H (0，t )则F m ，-12m -6 ，∵A (-4，-4)，∴12(m +m )=12(-4+0)122m +4-12m -6 =12(-4+t )，解得：m =-2t =-1∴E (-2，0)，H (0，-1)；(3)如图，由(2)可知E (-2，0)，H (0，-1)，A (-4，-4)，∴EH =5，AE =25，设AE 交⊙E 于点G ，取GE 的中点P ，则PE =52，设P (k ，2k +4)，∵E (-2，0)，∴PE 2=(k +2)2+(2k +4)2=522，∴k =-52或k =-32(舍去)，∴P -52，-1 ，∵C (0，-6)，∴PC =-52 2+(-1+6)2=552，连接PC 交⊙E 于点M ，连接EM ，则EM =EH =5，∴PE ME =525=12，∵ME AE =525=12，∴PE ME =MEAE，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PM AM =MEAE=12，∴PM=12AM，∴12AM+CM=PM+CM，∴当P、M、C三点共线时，12AM+CM取得最小值即PC的长，∴1 2AM+CM最小值为552．总结提升：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，极值的确定，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形是解决问题的关键．模块二2023中考押题预测1.(2021秋•西峡县期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则12PB+PC的最小值等于()A.4B.32C.17D.15思路引领：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQ=1 2PB，则12PB+PC=PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求．解：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴AP AB =12，∵AP=2，AQ=1，∴AQAP=12，∵∠PAQ=∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ=12PB，∴12PB+PC=PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC=4，AQ=1，∴QB=AC2+AQ2=17，∴12PB+PC的最小值17，故选：C．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．2.(2022秋•永嘉县校级期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P 为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+ 2PN的取值范围为6-23≤PM+2PN≤6+23 ．思路引领：PM+2PN=212PM+PN，作MH⊥PN，HP=12PM，确定HN的最大值和最小值．解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°，∴∠MPH=180°-∠MPN=60°，∴HP=PM•cos∠MPH=PM•cos60°=12PM，∴PN+12PM=PN+HP=NH，∵MF=NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，在Rt△COG中，CG=OG•tan60°=23，∴CM=CG+GM=2+23，在Rt△CMF中，MF=CM•sin C=(2+23)×32=3+3，∴HN=MF=3+3，PM+2PN=212PM+PN=2HN=6+23，如图2，由上知：CG=23，MG=2，∴CM=23-2，∴HM=(23-2)×32=3-3，∴PM+2PN=212PM+PN=2HN=6-23，∴6-23≤PM+2PN≤6+23．总结提升：本题考查的是解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造12 PM．3.(2021秋•龙凤区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13PA+PB的最小值为 17 ．思路引领：在AC上截取CQ=1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ=13AP，当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．解：在AC上截取CQ=1，连接CP，PQ，BQ，∵AC=9，CP=3，∴CP AC =13，∵CP=3，CQ=1，∴CQCP=13，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ=13AP，∴13PA+PB=PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC=4，CQ=1，∴QB=17，∴13PA+PB的最小值17，故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将13PA转化为PQ是解题的关键．4.(2022春•长顺县月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为 1452 ．思路引领：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PF=14PB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵CF CP =14，CPCB=14，∴CF CP =CP CB，∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PF PB =CFCP=14，∴PF=14PB，∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=CF2+AC2=12 2+62=1452，∴PA+14PB≥1452，∴PA+14PB的最小值为1452，故答案为145 2．总结提升：本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．5.(2021秋•梁溪区校级期中)如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O 半径为3，点A(0，1)，点B(2，0)，点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 85 ．思路引领：在y轴上取点H(0，9)，连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP=3AP，则3PA+PB=PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．解：如图，在y轴上取点H(0，9)，连接BH，∵点A(0，1)，点B(2，0)，点H(0，9)，∴AO=1，OB=2，OH=9，∵OA OP =13=39=OPOH，∠AOP=∠POH，∴△AOP∽△POH，∴AP HP =OPOH=13，∴HP=3AP，∴3PA+PB=PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH=OB2+OH2=4+81=85，故答案为：85．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．6.(2020•武汉模拟)【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC 中，CB =4，AB =2AC ，则△ABC 面积的最大值为 163 ．思路引领：以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP =∠ABC ，AP 与BC 的延长线交于点P ，证明△APC ∽△BPA ，由相似三角形的性质可得BP =2AP ，CP =12AP ，从而求出AP 、BP 和CP ，即可求出点A 的运动轨迹，再找出距离BC 最远的A 点的位置即可求解．解：以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP =∠ABC ，AP 与BC 的延长线交于点P ，∵∠CAP =∠ABC ，∠BPA =∠APC ，AB =2AC ，∴△APC ∽△BPA ，AP BP =CP AP =AC AB =12，∴BP =2AP ，CP =12AP ，∵BP -CP =BC =4，∴2AP -12AP =4，解得：AP =83，∴BP =163，CP =43，即点P 为定点，∴点A 的轨迹为以点P 为圆心，83为半径的圆上，如图，过点P 作BC 的垂线，交圆P 与点A 1，此时点A 1到BC 的距离最大，即△ABC 的面积最大，S △ABC =12BC •A 1P =12×4×83=163．故答案为：163．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，确定点的运动轨迹，熟练掌握三角形的判定和性质以及三角形的面积公式是解题的关键．7.(2020•溧阳市一模)如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 410 ．思路引领：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．利用相似三角形的性质证明MT= 2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．求出CT即可判断．解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．∵OM=6，OD=DB=3，OT=12，∴OM2=OD•OT，∴OMOD =OT OM，∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴DM MT =OMOT=12，∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OC=4，OT=12，∴CT=OC2+OT2=42+122=410，∴CM+2DM≥410，∴CM+2DM的最小值为410，∴答案为410．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，阿氏圆问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为5．思路引领：如图，在BC上取一点T，使得BT=1，连接PB，PT，DT．证明△PBT∽△CBP，推出PTPC=PBCB=12，推出PT=12PC，由PD+12PC=PD+PT≥DT=5，由此可得结论．解：如图，在BC上取一点T，使得BT=1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT=90°，∵CD=4，CT=3，∴DT=CD2+CT2=42+32=5，∵PB=2，BT=1，BC=4，∴PB2=BT•BC，∴PB BT =BC PB，∵∠PBT=∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴PT PC =PBCB=12，∴PT=12PC，∵PD+12PC=PD+PT≥DT=5，∴PD+12PC的最小值为5，故答案为：5．总结提升：本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD=5，P是AB上一动点，则PC+12PD的最小值为 132 ．思路引领：如图，延长OA使AE=OB，连接EC，EP，OP，证明△OPE∽△OCP推出PCPE =OPOE=12，推出EP=2PC，推出PC+12PD=12(2PC+PD)=12(PD+PE)，推出当点E，点P，点D三点共线时，PC+12PD的值最小．解：如图，延长OA使AE=OB，连接EC，EP，OP，∵AO=OB=6，C分别是OA的中点，∴OE=12，OP=6，OC=AC=3，∴OP OE =OCOP=12，且∠COP=∠EOP∴△OPE ∽△OCP ∴PC PE =OP OE=12，∴EP =2PC ，∴PC +12PD =12(2PC +PD )=12(PD +PE )，∴当点E ，点P ，点D 三点共线时，PC +12PD 的值最小，∵DE =OD 2+OE 2=52+122=13，∴PD +PE ≥DE =13，∴PD +PE 的最小值为13，∴PC +12PD 的值最小值为132．故答案为：132．总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．10.如图所示的平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，P 是第一象限内一动点，OP =2，连接AP 、BP ，则BP +12AP 的最小值是 17 ．思路引领：如图，取点T (0，1)，连接PT ，BT ．利用相似三角形的性质证明PT =12PB ，推出PB +12PA =PB +PT ≥BT ，求出BT ，可得结论．解：如图，取点T (0，1)，连接PT ，BT ．∵T (0，1)，A (0，4)，B (4，0)，∴OT =1，OA =4，OB =4，∵OP =2，∴OP 2=OT •OA ，∴OP OT =OA OP，∵∠POT =∠AOP ，∴△POT ∽△AOP ，∴PT PA =OPOA=12，∴PT=12PA，∴PB+12PA=PB+PT，∵BT=12+42=17，∴PB+PT≥17，∴BP+12AP≥17∴BP+12PB的最小值为17．故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．11.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则2PA+PB的最小值为25 ．思路引领：2PA+PB=2PA+22PB，利用相似三角形构造22PB．解：设⊙O半径为r，OP=r=12BC=2，OB=2r=22，取OB的中点I，连接PI，∴OI=IB=2，∵OPOI =22=2，OB OP =222=2，∴OPOI =OB OP，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴PI PB =OIOP=22，∴PI=22PB，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2PA +PB =2PA +22PB ，∴2PA +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．总结提升：本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．12.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB 的顶点O ，A ，B 均在格点上，点E 在OA 上，且点E 也在格点上．(I )OE OB的值为 23 ；(Ⅱ)DE 是以点O 为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°<α<90°)连接E 'A ，E 'B ，当E 'A +23E 'B 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E ′，并简要说明点E '的位置是如何找到的(不要求证明) 通过取格点K 、T ，使得OH ：OD =2：3，构造相似三角形将23E ′B 转化为E ′H ．思路引领：(1)求出OE ，OB 即可解决问题．(2)构造相似三角形把23E ′B 转化为E ′H ，利用两点之间线段最短即可解决问题．解：(1)由题意OE =2，OB =3，∴OE OB =23，故答案为：23．(2)如图，取格点K，T，连接KT交OB于H，连接AH交DE于E′，连接BE′，点E′即为所求．故答案为：通过取格点K、T，使得OH：OD=2：3，构造相似三角形将23E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．总结提升：本题是作图-旋转变换，主要考查了相似三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，找到点H是解题的关键．13.(2021秋•定海区期末)如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM=m，PA=n．(1)求证：∠POA=2∠PAM；(2)探求m、n的数量关系，并求n-m最大值；(3)如图2：连结PB，设PB=h，求2h+2m的最小值．思路引领：(1)根据正方形性质和三角形内角和定理即可证得结论；(2)如图1，过点O作OE⊥PA于E，先证明△APM∽△OAE，利用相似三角形性质可得出m=14n2，进而可得：n-m=n-14n2=-14(n-2)2+1，再运用二次函数性质即可得出答案；(3)如图2，连接AC、BD交于点D，连接PD，当D、P、M三点共线且DM⊥AB时，PD+ PM=DM最小，即2h+2m=2DM最小，根据正方形和等腰直角三角形的性质即可求得答案．解：(1)证明：∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB=90°，∴∠OAP+∠PAM=90°，即2∠OAP+2∠PAM)=180°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠OAP，∵∠OPA+∠OAP+∠POA=180°，∴2∠OAP+∠POA=180°，∴∠POA=2∠PAM；(2)解：如图1，过点O作OE⊥PA于E，∵OA=OP，OE⊥PA，∴AE=12PA，∠AOE=∠POE=12∠POA，∵∠POA=2∠PAM，∴∠PAM=12∠POA，∴∠PAM=∠AOE，∵PM⊥AB，∴∠AMP=90°=∠OEA，∴△APM∽△OAE，∴PMPA =AEOA，即mn=12n2，∴m=14n2，∴n-m=n-14n2=-14(n-2)2+1，∴当n=2时，n-m取得最大值，n-m最大值为1；(3)解：如图2，连接AC、OB交于点D，连接PD，∵四边形ABCO是正方形，∴AC⊥BD，OD=AD=BD，∴OD OA =OAOB=22，∵OP=OA，∴OD OP =OPOB=22，∵∠POD=∠BOP，∴△POD∽△BOP，∴PD PB =OPOB=22，∴PD=22PB，∵PB=h，PM=m，∴2h +2m =222h +m=222PB +PM =2(PD +PM )，∵当D 、P 、M 三点共线且DM ⊥AB 于M 时，PD +PM =DM 最小，∴当D 、P 、M 三点共线且DM ⊥AB 时，2h +2m =2(PD +PM )=2DM 最小，如图3，∵△ABD 是等腰直角三角形，DM ⊥AB ，∴DM =12AB =1，∴2DM =2，即2h +2m 的最小值为2．总结提升：本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，二次函数最值的应用，利用相似三角形性质列出关于m 、n 的关系式恰当运用配方法是解题关键．14.(2022•从化区一模)已知，AB 是⊙O 的直径，AB =42，AC =BC ．(1)求弦BC 的长；(2)若点D 是AB 下方⊙O 上的动点(不与点A ，B 重合)，以CD 为边，作正方形CDEF ，如图1所示，若M 是DF 的中点，N 是BC 的中点，求证：线段MN 的长为定值；(3)如图2，点P 是动点，且AP =2，连接CP ，PB ，一动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点B ，到达点B 后停止运动，求点Q 的运动时间t 的最小值．思路引领：(1)AB 是⊙O 的直径，AC =BC 可得到△ABC 是等腰直角三角形，从而得道答案；(2)连接AD 、CM 、DB 、FB ，首先利用△ACD ≌△BCF ，∠CBF =∠CAD ，证明D 、B 、F 共线，再证明△CMB 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；(3)“阿氏圆”的应用问题，以A 为圆心，AP 为半径作圆，在AC 上取点M ，使AM =1，连接PM ，过M 作MH ⊥AB 于H ，连接BM 交⊙A 于P '，先证明PM =PC 2，PC 2+BP 最小，即是PM +BP 最小，此时P 、B 、M 共线，再计算BM 的长度即可．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°，∵AB=42，∴BC=AB•sin45°=4；(2)连接AD、CM、DB、FB，如图：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠DCF=∠ACB=90°，∴∠ACD=90-∠DCB=∠BCF，又AC=BC，∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴∠CBF=∠CAD，∴∠CBF+∠ABC+∠ABD=∠CAD+∠ABC+∠ABD=∠DAB+∠CAB++∠ABC+∠ABD=∠DAB+45°+45°+∠ABD，而AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∴∠CBF+∠ABC+∠ABD=180°，∴D、B、F共线，∵四边形CDEF是正方形，∴△DCF是等腰直角三角形，∵M是DF的中点，∴CM⊥DF，即△CMB是直角三角形，∵N是BC的中点，∴MN=12BC=2，即MN为定值；(3)以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM=1，连接PM，过M作MH⊥AB 于H，连接BM交⊙A于P'，如图：一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，∴Q运动时间t=PC2+BP，∵AM=1，AP=2，AC=BC=4，∴AMAP =APAC=12，又∠MAP=∠PAC，∴△MAP∽△PAC，∴PMPC =AMAP=12，∴PM=PC2，。
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
2024专题4.4圆---利用“阿氏圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
时2PB+PC最小,最小值为2BD,延长CD交AB于H,则
CH⊥AB,
O D P
B
A
H
易求得DH= ,BH=3,∴BD= ,
C
O
P
∴2PB+PC的最小值为3 .
B
C
针对训练
变式一 系数需要转化(提系数)
知识点三
1.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的
P(x,y),PA=kPB,即：(x+m)2+y2 =k (x-m)2+y2
∴(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2
∴(k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0
2m
2m+2k
∴x2+y2- k2-1 x+m2=0
知识点二
新知探究
解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.除
则 PD+4PC的最小值为_____.
D
A
P
B
C
典例精讲
变式三 求差最大的问题
知识点五
求带系数的两条线段差最大的问题,转化方法和前面所讲完全一样,只是
最后求最值时有所不同,前面求和最小都是运用两点之间线段最短的原理,
求差最大,我们需要运用“三角形两边只差小于第三边”这一原理来解决.
【例6】(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上
【引例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上
第11讲阿氏圆最值模型(解析版)
中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接 PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB+的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA k PB+的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB2.计算出这两条线段的长度比OPk OB=3.在OB上取一点C，使得OCkOP=，即构造△POM∽△BOP，则PCkPB=，PC k PB=4.则=PA k PB PA PC AC++≥，当A、P、C三点共线时可得最小值例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB+的最小值为__________．EABCDPMPDC BA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12PA．问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①BPAP21+，②BPAP+2，③BPAP+31，④BPAP3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=237.例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 5 ；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． ABCDP MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD +的最小值为 ，PD ﹣的最大值为 ．（2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN ，∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∴＝，∵NE ∥OB ，∴＝，∴AN ＝（4﹣m ），∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，∴PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，∴＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ．∵OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， ∴OE ′2＝OM ′•OB ， ∴＝，∵∠BOE ′＝∠M ′OE ′， ∴△M ′OE ′∽△E ′OB ，∴＝＝，∴M ′E ′＝BE ′，∴AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：37.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()C，()D，P是△AOB外部第一象限内4,03,22,0A，()0,2B，()的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC+的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴PA2＝AE•AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在R t△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。
2022年全国中考数学几何经典模型解题策略专题 最值之阿氏圆问题(解析版)
专题21 最值之阿氏圆问题一、方法突破在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆． B O“阿氏圆”的一些性质：（1）PA MA NA k PB MB NB===． 应用：根据点A 、B 的位置及k 的值可确定M 、N 及圆心O ．（2）△OBP ∽△OPA ，即OB OP OP OA=，变形为2OP OA OB =⋅． 应用：根据圆心及半径和A 、B 其中一点，可求A 、B 另外一点位置．（3）OP OB PA k OA OP PB===． 应用：已知半径及A 、B 中的其中一点，即可知道PA ：PB 的值．α+ββαβαM NO PB A二、典例精析1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做C ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是C 上一个动点，则13PA PB +的最小值为 ．解：在AC 上截取1CQ =，连接CP ，PQ ，BQ ，9AC =，3CP =， ∴13CP AP =， 3CP =，1CQ =， ∴13CQ CP =， ACP PCQ ∴∆∆∽，13PQ AP ∴=， ∴13PA PB PQ PB BQ +=+， ∴当B 、Q 、P 三点共线时，13PA PB +的值最小，在Rt BCQ ∆中，4BC =，1CQ =，17QB ∴= ∴13PA PB +17 172．如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为3，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点P 在弧MN 上移动，连接PA ，PB ，则3PA PB +的最小值为 85 ．解：如图，在y 轴上取点(0,9)H ，连接BH ，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点(0,9)H ，1AO ∴=，2OB =，9OH =，1339OA OP OP OH===，AOP POH ∠=∠， AOP POH ∴∆∆∽，∴13AP OP HP OH ==， 3HP AP ∴=，3PA PB PH PB ∴+=+，∴当点P 在BH 上时，3PA PB +有最小值为HB 的长， 2248185BH OB OH ∴=+=+=，故答案为：85．3．如图，在ABC ∆中，6BC =，60BAC ∠=︒，则2AB AC +的最大值为 ．解：122()2AB AC AB AC +=+， ∴求2AB AC +的最大值就是求12()2AB AC +的最大值， 过C 作CE AB ⊥于E ，延长EA 到P ，使得AP AE =，60BAC ∠=︒，12EA AC AP ∴==， 12AB AC AB AP ∴+=+， 3EC AE =，2PE AE =，由勾股定理得：7PC AE =，321sin 77CE AE P CP AE∴===， P ∴∠为定值，6BC =是定值，∴点P 在CBP ∆的外接圆上，AB AP BP +=，∴当BP 为直径时，AB AP +最大，即BP '，21sin sin 7BC P P BP '∴==='， 解得221BP '=，221AB AP ∴+=，22()421AB AC AB AP ∴+=+=，故答案为：421．4．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足(PA k k PB=为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC ∆中，4CB =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．解：以A 为顶点，AC 为边，在ABC ∆外部作CAP ABC ∠=∠，AP 与BC 的延长线交于点P ，CAP ABC ∠=∠，BPA APC ∠=∠，2AB AC =，APC BPA ∴∆∆∽，12AP CP AC BP AP AB ===， 2BP AP ∴=，12CP AP =， 4BP CP BC -==，1242AP AP ∴-=，解得：83AP =，163BP ∴=，43CP =，即点P 为定点， ∴点A 的轨迹为以点P 为圆心，83为半径的圆上，如图，过点P 作BC 的垂线，交圆P 与点1A ，此时点1A 到BC 的距离最大，即ABC ∆的面积最大，11181642233ABC S BC A P ∆=⋅=⨯⨯=． 故答案为：163． 5．如图，已知菱形ABCD 的边长为8，60B ∠=︒，圆B 的半径为4，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为 ．解：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得2BG =，连接PG ，DG ，过点D 作DH BC ⊥交BC 的延长线于H ．4PB =，2BG =，8BC =，2PB BG BC ∴=⋅，∴PB BC BG PB=， PBG CBP ∠=∠，PBG CBP ∴∆∆∽，∴12PG PB PC BC ==， 12PG PC ∴=， 四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，8AB CD BC ===，60DCH ABC ∴∠=∠=︒，在Rt CDH ∆中，cos604CH CD =⋅︒=，sin 6043DH CD =⋅︒=， 6410GH CG CH ∴=+=+=，222210(43)237DG GH DH ∴=+=+=，12PD PC PD PG DG -=-， 12372PD PC ∴-， 12PD PC ∴-的最大值为237． 三、真题演练1．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作B ，点P 是B 上一动点，连接PD 、PC ，则12PD PC +的最小值为 ．解：如图，在BC 上取一点T ，使得1BT =，连接PB ，PT ，DT ．四边形ABCD 是正方形，90DCT ∴∠=︒，4CD =，3CT =，2222435DT CD CT ∴=++，2PB =，1BT =，4BC =，2PB BT BC ∴=⋅，∴PB BC BT PB=， PBT PBC ∠=∠，PBT CBP ∴∆∆∽，∴12PT PB PC CB ==， 12PT PC ∴=， 152PD PC PD PT DT +=+=， 12PD PC ∴+的最小值为5， 故答案为：5．2．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，6OA =，C 是OA 的中点，D 是OB 上一点，5OD =，P 是AB 上一动点，则12PC PD +的最小值为 ．解：如图，延长OA 使AE OB =，连接EC ，EP ，OP ，6AO OB ==，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，12OE ∴=，6OP =，3OC AC ==，∴12OP OC OE OP ==，且COP EOP ∠=∠ OPE OCP ∴∆∆∽ ∴12PC OP PE OE ==， 2EP PC ∴=，111(2)()222PC PD PC PD PD PE ∴+=+=+， ∴当点E ，点P ，点D 三点共线时，12PC PD +的值最小， 222251213DE OD OE =+=+=，13PD PE DE ∴+=，PD PE ∴+的最小值为13，12PC PD ∴+的值最小值为132．故答案为：132．3．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A，(4,0)B，P是第一象限内一动点，2OP=，连接AP、BP，则12BP AP+的最小值是．解：如图，取点(0,1)T，连接PT，BT．(0,1)T，(0,4)A，(4,0)B，1OT∴=，4OA=，4OB=，2OP =，2OP OT OA ∴=⋅， ∴OP OA OT OP =， POT AOP ∠=∠， POT AOP ∴∆∆∽，∴12PT OP PA OA ==， 12PT PA ∴=， 12PB PA PB PT ∴+=+， 221417BT =+=，17PB PT∴+， 1172BP AP ∴+12BP PB ∴+的最小值为17． 故答案为：17．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PA k k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD=，求PC kPD +的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）:解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又POD MOP ∠=∠，POM DOP ∴∆∆∽． 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 为ABC ∆内一动点，满足2CD =，利用（1）中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值．解（1）在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又POD MOP ∠=∠， POM DOP ∴∆∆∽．:MP PD k ∴=， MP kPD ∴=，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值，即C ，P ，M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得2222222()CM OC OM m kr m k r =+=+=+． （2）4AC m ==，23CD BC =，在CB 上取一点M ，使得2433CM CD ==，∴23AD BD +2244104()3+． 5．如图，在ABC ∆ 与DEF ∆中，90ACB EDF ∠=∠=︒，BC AC =，ED FD =，点D 在AB 上．（1）如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D 与点A 重合，且32AC =，4DE =，将DEF ∆绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG +的最小值；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME =，请直接写出NDCN的值．解：（1）线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系：2AE AD AF +=，证明如下： 过F 作FH AB ⊥于H ，过E 作EG AB ⊥于G ，如图：FH AB ⊥，EG AB ⊥，90EDF ∠=︒，90FHD DGE ∴∠=∠=︒，90FDH EDG DEG ∠=︒-∠=∠，且DF DE =，()FHD DGE AAS ∴∆≅∆， FH DG AD AG ∴==+，90ACB EDF ∠=∠=︒，BC AC =，ED FD =，45FAB FED ∴∠=∠=︒，∴点F 、D 、A 、E 四点共圆，90FAE FDE ∴∠=∠=︒，45EAG DFE ∠=∠=︒，FH AB ⊥，EG AB ⊥，45BAC ∠=︒， FAH ∴∆和EAG ∆为等腰直角三角形，2AF FH ∴=，2AE AG =，2()222AF AD AG AD AG AD AE ∴=+=+=+；（2）取AB 的中点O ，连接OG ，在OB 上取43OH =，连接GH ，如图：G 为BF 的中点，O 为AB 中点，OG ∴是ABF ∆的中位线，1112222OG AF DF DE ∴====， 32AC =，26AB ∴==，132OB AB ==， ∴23OG OB =， 而42323OH OG ==， ∴OG OHOB OG=， 又HOG GOB ∠=∠， HOG GOB ∴∆∆∽，∴23HG OG BG OB ==， 23HG BG ∴=， ∴3323()()2232CG BG CG BG CG HG +=+=+， 要使32CG BG +的最小，需CG HG +最小，∴当H 、G 、C 三点共线时，32CG BG +的最小，32CG BG +的最小值是32CH ，如图：132OC AB ==，43OH =，22973CH OH OC ∴=+=， ∴32CG BG +的最小值是3397972232CH =⨯=． （3）过点C 作BF 平行线，点F 作BC 平行线交于点G ；过点G 作GH BF ⊥于点H ，过点K 作KI FG ⊥；如图：90BDC FDE ∠=∠=︒，BDC CDF FDE CDF ∴∠+∠=∠+∠，即BDF CDE ∠=∠，且CD BD =，DE DF =， ()BDF CDE SAS ∴∆≅∆， BF CE ∴=，DEC DFB ∠=∠，90DEC DPE ∠+∠=︒，DPE MPF ∠=∠， 90DFB MPF ∴∠+∠=︒， 90FME ∴∠=︒由::7:9:10BC DE ME =，设7BC t =，则9DE t =，10ME t =； 292EF DE t ∴=，//CG BF ，//FG BC ，∴四边形BFGC 为平行四边形，CE BF CG ∴==，90ECG FME ∠=∠=︒， ECG ∴∆为等腰直角三角形，45CGE GKH ∴∠=︒=∠， GKH ∴∆为等腰直角三角形，∴2GE CE2FG BC CD CD ==，2EFDE = ∴GE FG EFCE CD DE==， CDE GFE ∴∆∆∽， DCE FGE ∴∠=∠，∴sin sin NDDCE FGE CN=∠=∠； Rt MFE ∆中，2262MF EF ME t =-，1062FK MK MF ME MF t t ∴=-=-=，7FG BC t ==，设GFH α∠=，KGI NCD β∠=∠=，∴sin ,sin GH KI DNFG KG CNαβ===， Rt FKI ∆中，sin KIFKα=， ∴sin GHKI FK FK FGα=⋅=⋅， 2KG GH =，22KI FK FG∴==106252312sin 227KI t t FG KG FG tβ--∴===⋅， ∴5231ND CN -=6．在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AC AB =．若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90︒得到BE ，连接CE ，交AB 于点F ．（1）如图1，若75ABE ∠=︒，4BD =，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H ．若30ABD ∠=︒，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4AB =，D 为AC 的中点，将ABD ∆绕点B 旋转得△A BD ''，连接A C '、A D '，当22A D A C '+'最小时，求A BCS '．解：（1）过D 作DG BC ⊥，垂足是G ，如图1:将BD 绕点B 顺时针旋转90︒得到BE ， 90EBD ∴∠=︒， 75ABE ∠=︒， 15ABD ∴∠=︒， 45ABC ∠=︒， 30DBC ∴∠=︒，∴在直角BDG ∆中有122DG BD ==，323BG DG == 45ACB ∠=︒，∴在直角DCG ∆中，2CG DG ==，223BC BG CG ∴=+=+2262AC BC ∴== （2）线段DC 与线段HG 的数量关系为：3HG =，证明：延长CA ，过E 作EN 垂直于CA 的延长线，垂足是N ，连接BN ，ED ，过G 作GM AB ⊥于M ，如图：90END ∴∠=︒，由旋转可知90EBD ∠=︒， 45EDB ∴∠=︒90END EBD ∴∠=∠=︒，E ∴，B ，D ，N 四点共圆，45BNE EDB ∴∠=∠=︒，180NEB BDN ∠+∠=︒ 180BDC BDN ∠+∠=︒，45BCD ∠=︒， BEN BDC ∴∠=∠，45BNE BCD ∴∠=︒=∠，在BEN ∆和BDC ∆中， BNE BCD BEN BDC BE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEN BDC AAS ∴∆≅∆， BN BC ∴=， 90BAC ∠=︒，在等腰BNC ∆中，由三线合一可知BA 是CN 的中线， 90BAC END ∠=∠=︒， //EN AB ∴，A 是CN 的中点， F ∴是EC 的中点，G 是BC 的中点，FG ∴是BEC ∆的中位线，//FG BE ∴，12FG BE =， BE BD ⊥，FG BD ∴⊥， 30ABD ∠=︒， 60BFG ∴∠=︒，45ABC ∠=︒， 75BGF ∴∠=︒，设AC a =，则AB a =， 在Rt ABD ∆中，3AD =，23BD BE =， 12FG BE ∴=， 3FG ∴=， GM AB ⊥，BGM ∴∆是等腰三角形，2212112222222MG MB BG BC a ∴===⨯==， 在Rt MFG ∆中，60MFG ∠=︒，∴3MF MG =，3MF ∴=， 33BF BM MF +∴=+=， 在Rt BFH ∆中，60BFG ∠=︒， 1332FH BF +∴==， 3331(31)4HG FG FH a +∴=-==， 又33(31)CD a a =， ∴3CD HG =， 3HG ∴=； （3）设AB a =，则2BC a ，取BC 的中点N ，连接A D '，A C '，A N '，连接DN ，如图3，由旋转可知A B AB a'==，222A B aBNa'==，22BC aA B a=='，∴2A B BCBN A B'=='，又A BN CBA''∠=∠，∴△A BN CBA'∆'∽，∴22A N A BA C BC''=='，22A N A C''∴=，根据旋转和两点之间线段最短可知，22A D A C''+最小，即是A D A N''+最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，设此时A'落在A''处，过A''作A F AB''⊥于F，连接AA''，如图4，D，N分别是AC，BC的中点，DN∴是ABC∆的中位线，//DN AB∴，AB AC⊥，DN AC∴⊥，90A A FA A DA''''∠=∠=∠=︒，∴四边形A FAD ''是矩形，AF A D ''∴=，2A F AD ''==，又4A B AB ''==， 设AF x =，在直角三角形A FB ''中，222A B A F BF ''''=+，22242(4)x ∴=+-， 解得423x =-∴此时11111144424(423)434222222A BCABC AA BA ACSS SSAB AC AB A F AC A D ''''''∆''''=--=⋅-⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=．。
阿氏圆最值模型
中考数学几何模型：阿氏圆最值模型在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值. EABC DPEABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55+的最小值为________.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.AB CDP例题3. 如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，P 为上一动点，求PC +PD的最小值．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则PD +PC 的最小值为 ；PD +4PC 的最小值为 ．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．当堂训练1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，则PC AP 22+的最小值________.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？。
最值模型之阿氏圆(解析版)
最值模型之阿氏圆“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
模型建立：PA+k∙PB的最小值。
阿氏圆钥匙：构造母子三角形相似阿氏圆口诀：两定一动阿氏圆，母子相似很简单。
第一步：确动点的运动轨迹(圆)，以点0为圆心、r为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)第二步：连接动点至圆心0(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;第四步：在0B上取点C,使得OC=k∙OP;OCOP=OPOB=k, ∠O=∠O，可得△POC∽△BOP可得：OCOP=PCPB=k, PC=k∙PB第五步：则PA+k∙PB≥PA+PC≥AC,即当A，P,C三点共线时可得最小值。
[提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造△相似进行计算.]1如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是 17 ．思路引领：在AB 上取一点T ，使得AT =1，连接PT ，PA ，CT ．证明△PAT ∽△BAP ，推出PT PB=AP AB=12，推出PT =12PB ，推出12PB +CP =CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题．答案详解：在AB 上取一点T ，使得AT =1，连接PT ，PA ，CT ．∵PA =2．AT =1，AB =4，∴PA 2=AT •AB ，∴PA AT =AB PA，∵∠PAT =∠PAB ，∴△PAT ∽△BAP ，∴PT PB =AP AB =12，∴PT =12PB ，∴12PB +CP =CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt △ACT 中，∵∠CAT =90°，AT =1，AC =4，∴CT =AT 2+AC 2=17，∴12PB +PC ≥17，∴12PB +PC 的最小值为17．故答案为17．一、选择题(共1小题)1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =4，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则12PB +PC 的最小值等于()A.4B.32C.17D.15试题分析：在AB 上截取AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，证明△APQ ∽△ABP ，可得PQ =12PB ，则12PB +PC =PC +PQ ，当C 、Q 、P 三点共线时，PC +PQ 的值最小，求出CQ 即为所求．答案详解：解：在AB 上截取AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，∵点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，∴AP AB=12，∵AP =2，AQ =1，∴AQ AP =12，∵∠PAQ =∠BAP ，∴△APQ ∽△ABP ，∴PQ =12PB ，∴12PB +PC =PC +PQ ≥CQ ，在Rt △ACQ 中，AC =4，AQ =1，∴QB =AC 2+AQ 2=17，∴12PB +PC 的最小值17，故选：C ．二、填空题(共7小题)2如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =4，以点C 为圆心，3为半径做⊙C ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是⊙C 上一个动点，则13PA +PB 的最小值为 17 ．试题分析：在AC 上截取CQ =1，连接CP ，PQ ，BQ ，证明△ACP ∽△PCQ ，可得PQ =13AP ，当B 、Q 、P 三点共线时，13PA +PB 的值最小，求出BQ 即为所求．答案详解：解：在AC 上截取CQ =1，连接CP ，PQ ，BQ ，∵AC =9，CP =3，∴CP AC=13，∵CP =3，CQ =1，∴CQ CP=13，∴△ACP ∽△PCQ ，∴PQ =13AP ，∴13PA +PB =PQ +PB ≥BQ ，∴当B 、Q 、P 三点共线时，13PA +PB 的值最小，在Rt △BCQ 中，BC =4，CQ =1，∴QB =17，∴13PA +PB 的最小值17，故答案为：17．3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE =4，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则PA +14PB 的最小值为 1452 ．试题分析：如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．利用相似三角形的性质证明PF =14PB ，根据PF +PA ≥AF ，利用勾股定理求出AF 即可解决问题．答案详解：解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．∵∠DCE =90°，DE =4，DP =PE ，∴PC =12DE =2，∵CF CP =14，CP CB =14，∴CF CP =CP CB，∵∠PCF =∠BCP ，∴△PCF ∽△BCP ，∴PF PB =CF CP =14，∴PF =14PB ，∴PA +14PB =PA +PF ，∵PA +PF ≥AF ，AF =CF 2+AC 2=12 2+62=1452，∴PA +14PB ≥1452，∴PA +14PB 的最小值为1452，故答案为1452．4如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 410 ．试题分析：延长OB 到T ，使得BT =OB ，连接MT ，CT ．利用相似三角形的性质证明MT =2DM ，求CM +2DM 的最小值问题转化为求CM +MT 的最小值．求出CT 即可判断．答案详解：解：延长OB 到T ，使得BT =OB ，连接MT ，CT ．∵OM =6，OD =DB =3，OT =12，∴OM 2=OD •OT ，∴OMOD =OT OM，∵∠MOD =∠TOM ，∴△MOD ∽△TOM ，∴DM MT =OM OT=12，∴MT =2DM ，∵CM +2DM =CM +MT ≥CT ，又∵在Rt △OCT 中，∠COT =90°，OC =4，OT =12，∴CT =OC 2+OT 2=42+122=410，∴CM +2DM ≥410，∴CM +2DM 的最小值为410，∴答案为410．5如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB ．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为6-23≤PM +2PN ≤6+23 ．试题分析：PM +2PN =212PM +PN ，作MH ⊥PN ，HP =12PM ，确定HN 的最大值和最小值．答案详解：解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°，∴∠MPH=180°-∠MPN=60°，∴HP=PM•cos∠MPH=PM•cos60°=12PM，∴PN+12PM=PN+HP=NH，∵MF=NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，在Rt△COG中，CG=OG•tan60°=23，∴CM=CG+GM=2+23，在Rt△CMF中，MF=CM•sin C=(2+23)×32=3+3，∴HN=MF=3+3，=2HN=6+23，PM+2PN=212PM+PN如图2，由上知：CG=23，MG=2，∴CM=23-2，∴HM=(23-2)×32=3-3，=2HN=6-23，∴PM+2PN=212PM+PN∴6-23≤PM+2PN≤6+23．6如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC 的最大值为237 ．试题分析：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得BG =2，连接PG ，DG ，过点D 作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ．利用相似三角形的性质证明PG =12PC ，再根据PD -12PC =PD -PG ≤DG ，求出DG ，可得结论．答案详解：解：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得BG =2，连接PG ，DG ，过点D 作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ．∵PB =4，BG =2，BC =8，∴PB 2=BG •BC ，∴PB BG=BC PB ，∵∠PBG =∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG PC =PB BC =12，∴PG =12PC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =CD =BC =8，∴∠DCH =∠ABC =60°，在Rt △CDH 中，CH =CD •cos60°=4，DH =CD •sin60°=43，∴GH =CG +CH =6+4=10，∴DG =GH 2+DH 2=102+(43)2=237，∵PD -12PC =PD -PG ≤DG ，∴PD -12PC ≤237，∴PD -12PC 的最大值为237．7如图，在△ABC 中，BC =6，∠BAC =60°，则2AB +AC 的最大值为421 ．试题分析：由2AB +AC =2AB +12AC 得12AC =AE ，再将AB +AE 转化成一条线段BP ，可证出∠P 是定角，从而点P 在△PBC 的外接圆上运动，当BP 为直径时，BP 最大解决问题．答案详解：解：∵2AB +AC =2AB +12AC ，∴求2AB +AC 的最大值就是求2AB +12AC 的最大值，过C 作CE ⊥AB 于E ，延长EA 到P ，使得AP =AE ，∵∠BAC =60°，∴EA =12AC =AP ，∴AB +12AC =AB +AP ，∵EC =3AE ，PE =2AE ，由勾股定理得：PC =7AE ，∴sin P =CE CP =3AE 7AE=217，∴∠P 为定值，∵BC =6是定值，∴点P 在△CBP 的外接圆上，∵AB +AP =BP ，∴当BP 为直径时，AB +AP 最大，即BP '，∴sin P '=sin P =BC BP '=217，解得BP '=221，∴AB +AP =221，∴2AB +AC =2(AB +AP )=421，故答案为：421．8如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上一动点，则2PA +PB 的最小值为25 ．试题分析：2PA +PB =2PA +22PB ，利用相似三角形构造22PB ．答案详解：解：设⊙O 半径为r ，OP =r =12BC =2，OB =2r =22，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI =IB =2，∵OP OI =22=2，OB OP =222=2，∴OP OI =OB OP，∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI PB =OI OP=22，∴PI =22PB ，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2PA +PB =2PA +22PB ，∴2PA +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．三、解答题(共8小题)1如图，在6×6的正方形网格中，A 、B 、C 、D 均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．(1)在图1中作出AC 边上的点E ，使得AE =3CE ；(2)在图2中作出BC 边上的点F (不与点B 重合)，使得BD =DF ；(3)在图3中作出AB 边上的点G ，使得tan ∠ACG =12．试题分析：(1)如图1中，取格点M ，N ，连接MN 交AC 于点E ，点E 即为所求．(2)如图2中，取格点T ，连接AT 交BC 于点F ，连接DF ，点F 即为所求．(3)如图3中，取格点R ，连接AR ，得到AR 的中点J ，连接CJ 交AB 于点G ，点G 即为所求．答案详解：解：(1)如图1中，点E即为所求．(2)如图2中，点F即为所求．(3)如图3中，点G即为所求．2已知，AB是⊙O的直径，AB=42，AC=BC．(1)求弦BC的长；(2)若点D是AB下方⊙O上的动点(不与点A，B重合)，以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M 是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；(3)如图2，点P是动点，且AP=2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q 的运动时间t的最小值．试题分析：(1)AB是⊙O的直径，AC=BC可得到△ABC是等腰直角三角形，从而得道答案；(2)连接AD、CM、DB、FB，首先利用△ACD≌△BCF，∠CBF=∠CAD，证明D、B、F共线，再证明△CMB是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；(3)“阿氏圆”的应用问题，以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM=1，连接PM，过M作MH⊥AB于H，连接BM交⊙A于P'，先证明PM=PC2，PC2+BP最小，即是PM+BP最小，此时P、B、M共线，再计算BM的长度即可．答案详解：解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°，∵AB=42，∴BC=AB•sin45°=4；(2)连接AD、CM、DB、FB，如图：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，∴CD =CF ，∠DCF =∠ACB =90°，∴∠ACD =90-∠DCB =∠BCF ，又AC =BC ，∴△ACD ≌△BCF (SAS )，∴∠CBF =∠CAD ，∴∠CBF +∠ABC +∠ABD =∠CAD +∠ABC +∠ABD=∠DAB +∠CAB ++∠ABC +∠ABD=∠DAB +45°+45°+∠ABD ，而AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠ABD =90°，∴∠CBF +∠ABC +∠ABD =180°，∴D 、B 、F 共线，∵四边形CDEF 是正方形，∴△DCF 是等腰直角三角形，∵M 是DF 的中点，∴CM ⊥DF ，即△CMB 是直角三角形，∵N 是BC 的中点，∴MN =12BC =2，即MN 为定值；(3)以A 为圆心，AP 为半径作圆，在AC 上取点M ，使AM =1，连接PM ，过M 作MH ⊥AB 于H ，连接BM 交⊙A 于P '，如图：一动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点B ，∴Q 运动时间t =PC 2+BP ，∵AM =1，AP =2，AC =BC =4，∴AM AP =AP AC=12，又∠MAP =∠PAC ，∴△MAP ∽△PAC ，∴PM PC =AM AP =12，∴PM =PC 2，∴PC 2+BP 最小，即是PM +BP 最小，此时P 、B 、M 共线，即P 与P '重合，t =PC 2+BP 最小值即是BM 的长度，在Rt △AMH 中，∠MAH =45°，AM =1，∴AH =MH =22，∵AB =42，∴BH=AB-AH=722，Rt△BMH中，BM=BH2+MH2=5，∴点Q的运动时间t的最小值为5．3阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m，0)，D(0，n)，点P是平面内一动点，且OP=r，设OPOD=k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k；第二步：证明kPD=PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：(1)将以上解答过程补充完整．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为△ABC内一动点，满足CD=2，利用(1)中的结论，请直接写出AD+23BD的最小值．试题分析：(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．(2)利用(1)中结论计算即可．答案详解：解(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD=k，∴MP=kPD，∴PC+kPD=PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM=OC2+OM2=m2+(kr)2=m2+k2r2．(2)∵AC=m=4，CDBC=23，在CB上取一点M，使得CM=23CD=43，∴AD+23BD的最小值为42+43 2=4103．4如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P'在射线OP上，满足OP'⋅OP=r2，则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．(1)若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为B．A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外(2)如图1，若⊙O的半径为4，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且PP'=6，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长．(3)如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且OA=2，点Q'、A'分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点A'作A'B⊥A'O且A'B=A'O，连接BQ'，Q'A'，求BQ'+12Q'A'的最小值．试题分析：(1)因为OA2=r2，所以OA=r，从而得出点A在圆上；(2)连接OQ，根据OP′•OP=r2得出OP′的值，洁儿根据勾股定理求得PQ；(3)可证得△AOQ′∽△Q′OA′，从而得出AQ′=12A'Q'，进而得出当B、Q′、A共线时，BQ′+12A'Q'最小，进一步求得结果．答案详解：解：(1)由题意得：OA2=r2，∴OA=r，∴点A在⊙O上，故答案为：B；(2)如图1，连接OQ，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP′•OP=r2，∴OP′•(OP′+6)=16，∴OP′=2，∴OP=8，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴∠PQO =90°，∴PQ =OP 2-OQ 2=82-42=43；如图2，∵点Q '、A '分别是点Q 、A 关于⊙O 的“反演点”，∴点Q 在⊙O 上，OQ 2=OA •OA ′，∴OQ OA '=OA OQ ，OA ′=8，∴∠O 为公共角，A ′B =8，AA ′=6，∴△AOQ ′∽△Q ′OA ′，∴AQ 'A 'Q '=OA OQ =12，∴AQ ′=12A 'Q '，∴BQ ′+12A 'Q '=AQ ′+BQ ′，∴当B 、Q ′、A 共线时，BQ ′+12A 'Q '最小，最小为AB ，∵AB =A 'A 2+A 'B 2=10，∴BQ ′+12Q 'A ' 最小=10．5【根底巩固】(1)如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD =∠B ．求证：AC 2=AD •AB ．【尝试应用】(2)如图2，在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，射线AE 交DC 的延长线于点M ，射线AF 交BC 的延长线于点N ．若AF =4，CF =2，AM =10．求：①CM 的长；②FN 的长．【拓展进步】(3)如图3，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，以点B 为圆心作半径为3的圆，其中点P 是圆上的动点，请直接写出PD +12PC 的最小值．试题分析：(1)证明△ADC ∽△ACB ，得出AD AC =AC AB ，则可得出结论；(2)①连接AC ，证明△FAC ∽△FMA ，从而得出AF CF =FM AF =AM AC ，进一步求得结果；②可证明△NAC ∽△AMC ，从而AC CM =AN AM ，进而求得结果；(3)在BC 上截取BE =32，可证得△PBE ∽△CBP ，进而得出PE =12PC ，从而PD +12PC =PD +PE ，当D 、P 、E 共线时，PD +PE 最小=DE ，此时P 在P ′处，然后解斜三角形CDE ，进一步求得结果．答案详解：(1)证明：如图1，∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2=AD •AB ．(2)①解：如图2，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠BAC =∠CAD =12∠BAD ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠BAC =∠EAF ，即∠BAM +∠MAC =∠MAC +∠CAF ，∴∠BAM =∠CAF ，∵AB ∥CD ，∴∠BAM =∠M ，∴∠CAF =∠M ，∵∠AFC =∠MFA ，∴△FAC ∽△FMA ，∴AF CF =FM AF =AM AC ，∵AF =4，CF =2，AM =10，∴42=FM 4=10AC ，∴FM =8，AC =5，∴CM =FM -CF =8-2=6，②∵四边形ABCD 是菱形，∴ADB ∥BC ，∠BAC =∠CAD =12∠BAD ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠CAD =∠EAF ，即∠DAN +∠NAC =∠NAC +∠CAM ，∴∠DAN =∠CAM ，∵AD ∥BC ，∴∠DAN =∠N ，∴∠CAM =∠N ，由①知：∠CAF =∠M ，∴△NAC ∽△AMC ，∴AC CM =AN AM ，即56=AN 10，∴AN =253，∴FN =AN -AF =253-4=133；(3)如图3，在BC 上截取BE =32，∵BE BP =BP BC=12，∠PBE =∠CBE ，∴△PBE ∽△CBP ，∴PE PC =PB BC =12，∴PE =12PC ，∴PD +12PC =PD +PE ，∴当D 、P 、E 共线时，PD +PE 最小=DE ，此时P 在P ′处，作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ，在Rt △CDF 中，CD =BC =6，∠DCF =60°，∴CF =6•cos60°=3，DF =6•sin60°=33，在Rt △DEF 中，DF =33，EF =CE +CF =6-32+3=152，∴DE =(33)2+152 2=3372，∵PD +12PC 最小=3372．6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2-32x -4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)如图1，连接BC ，点D 是抛物线上一点，若∠DCB =∠ABC ，求点D 的坐标；(3)如图2，若点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径作的圆上，连接BP 、CP ，请你直接写出12CP +BP 的最小值．试题分析：(1)分别令x =0和y =0解方程可得结论；(2)分两种情况：①当点D 在x 轴的上方时，根据等角对等边可得CE =BE ，设OE =a ，根据勾股定理列方程可得a 的值，确定CE 的解析式，联立直线CE 和抛物线的解析式列方程解出可得点D 的坐标；②当点D 在x 轴的下方时，根据内错角相等可得CD 与x 轴平行，C 和D 是对称点，可得点D 的坐标；(3)如图3，根据12PC +BP =PM +PB ，确定当B 、P 、M 三点共线时，12CP +BP 的值最小，根据勾股定理可得BM 的长，可得结论．答案详解：解：(1)当x =0时，y =-4，当y =0时，14x 2-32x -4=0，解得：x 1=8，x 2=-2，∴A (-2，0)，B (8，0)，C (0，-4)；(2)分两种情况：①当点D 在x 轴上方时，如图1，CD 交x 轴于点E ，∵∠DCB =∠ABC ，∴CE =BE ，设OE =a ，则BE =8-a ，Rt △OCE 中，由勾股定理得：a 2+42=(8-a )2，解得：a =3，∴E (3，0)，∵C (0，4)，设CE 的解析式为：y =kx +b ，则3k +b =0b =-4 ，解得：k =43b =-4 ，∴CE 的解析式为：y =43x -4，∵14x 2-32x -4=43x -4，解得：x 1=0，x 2=343，∴D 343，1009 ；②当点D 在x 轴的下方时，如图2，∵∠DCB =∠ABC ，∴CD ∥x 轴，∴C 和D关于抛物线的对称轴对称，∴D (6，-4)；综上，点D 的坐标为343，1009 或(6，-4)；(3)如图3，连接OP ，PM ，在y 轴截取OM ，使OM OP =OP OC =12，∵∠POM =∠POC ，∴△POM ∽△COP ，∴PM PC =12，∴PM =12PC ，∴12PC +BP =PM +PB ，当B 、P 、M 三点共线时，12CP +BP 的值最小，在Rt △BOM 中，BM =OB 2+OM 2=82+12=65，即12CP +BP 的最小值是65．7如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线AB 交于A (-4，-4)，B (0，4)两点，直线AC ：y =-12x -6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；(3)①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM +CM 它的最小值．试题分析：(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先利用待定系数法求出直线AB 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；(3)①先判断出要以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，只有EF 为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG 的中点P 进而判断出△PEM ∽△MEA 即可得出PM =12AM ，连接CP 交圆E 于M ，再求出点P 的坐标即可得出结论．答案详解：解：(1)∵点A (-4，-4)，B (0，4)在抛物线y =-x 2+bx +c 上，∴-16-4b +c =-4c =4，∴b =-2c =4 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +4；(2)设直线AB 的解析式为y =kx +n 过点A ，B ，∴n =4-4k +n =-4 ，∴k =2n =4 ，∴直线AB 的解析式为y =2x +4，设E (m ，2m +4)，∴G (m ，-m 2-2m +4)，∵四边形GEOB 是平行四边形，∴EG =OB =4，∴-m 2-2m +4-2m -4=4，∴m =-2∴G (-2，4)．(3)①如图1，由(2)知，直线AB 的解析式为y =2x +4，∴设E (a ，2a +4)，∵直线AC ：y =-12x -6，∴F a ，-12a -6 ，设H (0，p )，∵以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，∵直线AB 的解析式为y =2x +4，直线AC ：y =-12x -6，∴AB ⊥AC ，∴EF 为对角线，∴EF 与AH 互相平分，∴12(-4+0)=12(a +a )，12(-4+p )=122a +4-12a -6 ，∴a =-2，P =-1，∴E (-2，0)．H (0，-1)；②如图2，由①知，E (-2，0)，H (0，-1)，A (-4，-4)，∴EH =5，AE =25，设AE 交⊙E 于G ，取EG 的中点P ，∴PE =52，连接PC 交⊙E 于M ，连接EM ，∴EM =EH =5，∴PE ME =525=12，∵ME AE =525=12，∴PEME =ME AE =12，∵∠PEM =∠MEA ，∴△PEM ∽△MEA ，∴PM AM =ME AE =12，∴PM =12AM ，∴12AM +CM 的最小值=PC ，设点P (p ，2p +4)，∵E (-2，0)，∴PE 2=(p +2)2+(2p +4)2=5(p +2)2，∵PE =52，∴5(p +2)2=54，∴p =-52或p =-32(由于E (-2，0)，所以舍去)，∴P -52，-1 ，∵C (0，-6)，∴PC =-52 2+(-1+6)2=552，即：12AM +CM 的最小值为552．8问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +12BP 的最小值．(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，则有CD CP =CP CB =12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为 37 ．(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP +BP 的最小值为 2337 ．(3)拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是CD 上一点，求2PA +PB 的最小值．试题分析：(1)利用勾股定理即可求出，最小值为AD =37；(2)连接CP ，在CA 上取点D ，使CD =23，则有CD CP =CP CA =13，可证△PCD ∽△ACP ，得到PD =13AP ，即：13AP +BP =BP +PD ，从而13AP +BP 的最小值为BD ；21(3)延长OA 到点E ，使CE =6，连接PE 、OP ，可证△OAP ∽△OPE ，得到EP =2PA ，得到2PA +PB =EP +PB ，当E 、P 、B 三点共线时，得到最小值．答案详解：解：(1)如图1，连接AD ，∵AP +12BP =AP +PD ，要使AP +12BP 最小，∴AP +AD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +AD 最小，即：AP +12BP 最小值为AD ，在Rt △ACD 中，CD =1，AC =6，∴AD =AC 2+CD 2=37，AP +12BP 的最小值为37，故答案为：37；(2)如图2，连接CP ，在CA 上取点D ，使CD =23，∴CD CP =CP CA =13，∵∠PCD =∠ACP ，∴△PCD ∽△ACP ，∴PD AP =13，∴PD =13AP ，∴13AP +BP =BP +PD ，∴同(1)的方法得出13AP +BP 的最小值为BD =BC 2+CD 2=2337．故答案为：2337；(3)如图3，延长OA 到点E ，使CE =6，∴OE=OC +CE =12，连接PE 、OP ，∵OA =3，∴OA OP =OP OE =12，∵∠AOP =∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴AP EP =12，∴EP =2PA ，∴2PA +PB =EP +PB ，∴当E 、P 、B 三点共线时，取得最小值为：BE =OB 2+OE 2=13．。
2020中考数学专题10——最值问题之阿氏圆
IA2020中考专题10——最值问题之阿氏班级________姓名____________ . 【模型解析】“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0<i<l). OB♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】2例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结肿、BP9求AP丄BP的最小值.2图2图3√2 2尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使CDCP1PD 1 1CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CPCB2 BP 2 2：.AP--BP^AP^PD.2请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .2自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求的最小值.【巩固训练】2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.—动点.则PA∙PC 的最小值是 __________1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,国45•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 26•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.7.如图 7,扼物线y=-χ2+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G(I) 求牠物线y = -x 2+bx + C 的表达式；4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求√2 2PC÷PD留5国6(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.2图72020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。
初中数学阿氏圆最值模型归纳
几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A BPO【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接 PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB+的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA k PB+的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB= 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM∽△BOP，则PCk PB=，PC k PB = 4.则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13． 变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=237.例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 5 ；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． A BCD P MMPDCBA ABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD +的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣1 2 x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P ，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525 PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p ，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a ＝﹣．∵A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，∴直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN ，∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∴＝，∵NE ∥OB ，∴＝，∴AN ＝（4﹣m ），∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，∴PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，∴＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ．∵OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， ∴OE ′2＝OM ′•OB ， ∴＝，∵∠BOE ′＝∠M ′OE ′，∴△M ′OE ′∽△E ′OB ， ∴＝＝，∴M ′E ′＝BE ′，∴AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：37.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少[答案]426. 如图，Rt△ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ＝，连接AF ，BD（1）求证：△BDC ≌△AFC ； （2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD +AD 的值； （3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD +AD 的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF ＝CD ，∠DCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝∠DCB ，∵AC ＝CB ，∴△FCA ≌△DCB （SAS ）．（2）解：①如图2中，当点D ，E 在AB 边上时，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴PA2＝AE•AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。
中考数学专题复习39几何最值之阿氏圆问题(解析版)
问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”.如下图.已知A 、B 两点.点P 满足PA:PB=k （k ≠1）.则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现.故称“阿氏圆”。
模型展示：如下图.已知A 、B 两点.点P 满足PA ：PB=k （k≠1）.则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图.在△ABC 中.AD 是△BAC 的角平分线.则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =.ABD ACDSAB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯.即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图.在△ABC 中.外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D.则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC.连接BD.则△ACD△△AEDA B POA B POFEDCBAABCDE几何最值之阿氏圆问题方法技巧（SAS ）.CD=ED 且AD 平分△BDE.则DB AB DE AE =.即AB DBAC DC=． 接下来开始证明步骤：如图.PA ：PB=k .作△APB 的角平分线交AB 于M 点.根据角平分线定理.MA PAk MB PB==.故M 点为定点.即△APB 的角平分线交AB 于定点；作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点.根据外角平分线定理.NA PAk NB PB==.故N 点为定点.即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；又△MPN=90°.定边对定角.故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．模型最值技巧：计算PA k PB +的最小值时.利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小.解决步骤具体如下： △ 如图.将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP.OB △ 计算出这两条线段的长度比OPk OB= △ 在OB 上取一点C.使得OC k OP =.即构造△POM△△BOP.则PCk PB=.PC k PB = NM APOPB M△ 则=PA k PB PA PC AC ++≥.当A 、P 、C 三点共线时可得最小值【例1】如图.已知正方ABCD 的边长为4.圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.则12PD PC -的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时.此时PC=2.根据题意要求构造12PC .在BC 上取M 使得此时PM=1.则在点P 运动的任意时刻.均有PM=12PC .从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD.对于△PDM.PD -PM ＜DM.故当D 、M 、P 共线时.PD -PM=DM 为最大值．【详解】解：（1）如图1中.在BC 上取一点G.使得BG=1．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDC BA题型精讲△212,212====PB BC BG PB △21==PB BC BG PB △△PBG=△PBC. △△PBG△△CBP.△PC PG 21= △PG DP PC DP +=+21△DP+PG≥DG.△当D 、G 、P 共线时.PC DP 21+的值最小.最小值为DG=2234+=5． △PC PD 21-=PD -PG≤DG. 当点P 在DG 的延长线上时.PC PD 21-的值最大（如图2中）.最大值为DG=5．【例2】如图.菱形ABCD 的边长为2.锐角大小为60︒.A 与BC 相切于点E .在A 上任取一点P .则3PB 的最小值为___________．37【详解】解：在AD 上截取AH =1.5.连接PH 、AE .过点B 作BF △DA 延长线.垂足为F . △AB =2.△ABC =60°.△BE =AF =1.AE =BF 323AP AD AH AP ==△△P AD =△P AH .△△ADP △△APH .△23DP AD PH AP ==PH 3. 当B 、P 、H 共线时.3PB 的最小.最小值为BH 长. BH 222237(3) 2.5BF FH ++=37【例3】如图.在Rt ABC 中.△C =90°.CA =3.CB =4．C 的半径为2.点P 是C 上一动点.则12AP BP +的最小值______________23+PB PA 的最小值_______10410【详解】△在BC 上取点D .使CD =14BC =1.连接AD .PD .PC .由题意知：PC=2.△12DC PC PC BC ==.△PCD =△BCP .△PDC BPC ∆∆∽.△12PD PB =. 且12PA PB PA PD AD +=+≥.△229110AD AC CD =+=+=.△2PA PB 1+的最小值为10.故答案为：10；△在AC 上取点E .使CE =43.连接PE .BE .PC .△42323CE PC ==.23PC AC =.△23CE PC PC AC ==.且△PCE =△ACP . △PEC APC ∆∆∽.△23PE PC PA AC ==.△23PE PA =.△23PB PA PB PE BE +=+≥. △222244104()33BE BC CE =+=+=.△23+PB PA 的最小值为4103.故答案为：4103．1．如图.矩形ABCD 中.4,2AB AD ==.以B 为圆心.以BC 为半径画圆交边AB 于点E.点P 是弧CE 上的一个动点.连结,PD PA .则12AP DP +的最小值为（ ）提分作业A 10B 11C 13D 14【答案】C【详解】解：如图.连接BP.取BE 的中点G.连接PG. △2AD BC BP ===.4AB =.△2142BP BA ==.△G 是BE 的中点.△12BG BP =.△BP BGBA BP=. △PBG ABP ∠=∠.△BPGBAP .△12PG BP AP BA ==.△12PG AP =. 则12AP DP PG DP +=+.当P 、D 、G 三点共线时.取最小值.即DG 长. 224913DG AD AG ++C ．2．如图.已知菱形ABCD 的边长为4.60B ∠=︒.B 的半径为2.P 为B 上一动点.则12PD PC +的最小值_______．3PC 的最小值_______37111【详解】△如图.在BC 上取一点G .使得BG =1.连接PB 、PG 、GD .作DF △BC 交BC 延长线于F ．△221PB BG ==.422BC PB ==.△PB BCBG PB=.△PBG PBC ∠=∠.△PBG CBP ∆∆.△12PG BG PC PB ==.△12PG PC =.△12PD PC DP PG +=+.△DP PG DG +≥.△当D 、P 、G 共线时.PD +12PC 的值最小.最小值为DG . 在Rt △CDF 中.△DCF =60°.CD =4.△DF =CD •sin 3CF =2. 在Rt △GDF 中.DG 22(23)(5)37+=37 △如图.连接BD .在BD 上取一点M .使得BM 3连接PB 、PM 、MC .过M 作MN △BC 于N ．△四边形ABCD 是菱形.且60ABC ∠=︒. △AC △BD .△AOB =90︒.△ABO =△CBO =12△ABC =30︒.△AO =12AB =2.BO 22224223AB AO -=-BD =2 BO =433332BM PB ==343PB BD = △3BM PB PB BD ==且△MBP =△PBD .△△MBP ~△PBD .△3PM PB PD BD ==3PM =.△3PC PC PM MC =+≥.△当M 、P 、C 共线时.3PC 的值最小.最小值为CM .在Rt △BMN 中.△CBO =30︒.BM 3MN =12BM 3BN 2212BM MN -=.△CN =4-1722=. △MC 2222111CN MN CN MN ++.△3PC 111． 3．如图.在中.△ACB=90°.BC=12.AC=9.以点C 为圆心.6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD.则2AD+3BD 的最小值是 ．ABC ∆【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆.A 是定点.且要求构造23AD .条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时.DA=3.此时在线段CD 上取点M 使得DM=2.则在点D 运动过程中.始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值.直接连接BM.BM 长度的3倍即为本题答案．【详解】如图.在AC 上取一点M.使CM=4 ∵CDAC CM CD= ABCDMACDD CBAM DCBAM∴∠MCD=∠ACD ∴△DCM ∽△ACD ∴96==AC DC AD MD ∴AD MD 32=在△MDE 中.MD+DB ≥MD ∴MD+DB 最小值为MB 。
模型17 阿氏圆最值问题(解析版)
模型介绍背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需+ 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 【技巧总结】计算PA k PB三角形+ 的值最小，解决步骤具体如下：问题：在圆上找一点P使得PA k PB①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题精讲【例1】．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP +BP 的最小值为________.解：如图1，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ．要使AP +BP 最小，只要AP +PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +PD 最小，即：AP +BP 最小值为AD ，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC 的最小值等于5．解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【变式1-2】．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案为：．【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是5．解：如图，作MB⊥ON于B，则BM＝3，OB＝6，取OA的中点I，连接OP，PI，IM，∴OI＝2，OP＝4，∴＝＝，＝＝，∴，又∠POI是公共角，∴△POI∽△NOP，∴，∴PI＝PN，∴PM+PN＝PM+PI≥IM，∴当M、P（图中Q点）、I在一条直线上时，PM+PI最小＝MI＝＝＝5，故答案是5．【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．变式训练【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P 为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．解：延长OA到K，使AK＝AO＝2．∵C是AO的中点，∴OC＝OA＝1，∴＝．又∵∠COP＝∠POK，∴△COP∽△POK，∴，即PK＝2PC．∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．作EH⊥BC于点H．∵在直角△COD中，cos∠DOC＝，∴∠DOC＝60°，∴∠EOH＝∠DOC＝60°，∴HE＝OE•sin60°＝2×，∴EK＝．即最小值是2．故答案是：2．【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是2．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连接EF，OE，∵∠EOB为公共角∴△OBE∽△OEF∴∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF即A、E、F三点共线时取得最小值即由勾股定理得AF＝＝故答案为【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为3．解：如图，连接OC交⊙O于点D，取OD的中点F，作OE⊥BC于E，FG⊥BC于G，∴＝＝，∵∠FOP＝∠POC，∴△OPF∽△OCP，∴CP＝2PF，∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF），∵PB+PF≥BF，∴PB+PF的最小值为BF，∵BC＝6，∠OCE＝30°，∴CE＝3，OE＝，OC＝2，∴CF＝，∴GF＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG＝，由勾股定理得，BF＝，∴2PB+PC的最小值为2BF＝3．故答案为：3．1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为．解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴OC＝＝，取OC的中点I，连接PI，DI，∵，，∴，又∠O是公共角，∴△POI∽△COP，∴＝＝，∴PI＝PC，∴PC+PD＝PI+PD，∴当D、P、I在一条直线上时，PC+PD最小＝DI，作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，∵BE＝IF＝AC＝，∴DE＝BD﹣BE＝，IE＝BF＝OB+OF＝，∴DI＝＝，∴PC+PD最小＝DI＝．故答案是：．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为2．解：如图，连接OP，取OC的中点E，∵，∠POE＝∠AOP，∴△POE∽△AOP，∴＝，∴PA+PB＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴当B、P、E共线时，PE+PB最小，∵OE＝OC＝2，OB＝10，∴BE＝＝＝2，∴PA+PB的最小值是2．5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为6．解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，∴PM＝2，如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，∴，，∴，又∵∠EMP＝∠PMA，∴△EMP∽△PMA，∴，∴，∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，∵CE＝，∴PA+2PC的最小值为6．6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．解：取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，∴PA2＝AK•AD，∴＝，∵∠KAP＝∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴＝＝，∴PK＝PD，∴PM+PD＝PM+PK，∵PM+PK≥KM，KM＝＝，∴PM+PK≥，∴PM+DP的最小值为，故答案为．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为．解：在AB上取F，使AF＝，连接CF与⊙A的交点即是满足条件的点P，连接AP，如图：∵AD＝AC＝2，∴AP＝AD＝2，∵AB＝3，AF＝，∴AP2＝AF•AB，∵∠PAB＝∠FAP，∴△PAB∽△FAP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PC+PB＝PC+PF＝CF，根据两点之间线段最短，此时PC+PB＝CF最小，∴PC+PB最小值为CF＝＝＝，故答案为：．8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是4．解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，∴∠Q+∠APB＝180°，∴A、P、B、Q四点共圆，∴OP＝OA＝2，∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，∴OP2＝OC•OT，∴，∵∠POT＝∠POC，∴△POT∽△POC，∴，∴PT＝，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，∴2PD+PC，∴2PD+PC的最小值是4．故答案为：4．9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．解：如图，连接OM，在OB上取点C，使OC＝，连接MC，AC，∵OB＝2，⊙O的半径为1，∴，∵∠MOC＝∠COM，∴△OMC∽△OBM，∴，∴MC＝，∴AM+BM＝AM+MC，∴AM+BM的最小值即为AM+MC的最小值，∴A、M、C三点共线时，AM+MC最小，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝．∴AM+BM的最小值为．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．（12，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为3．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为5．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）解：（1）如图1，连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，∴CF＝6，AF＝6，∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值为3；（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值为5；（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FM⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴，∴PF＝2AP，∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM，∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝，∴2PA+PB的最小值为．11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．解：（1）如图1，在BC上截取BE＝，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴DE＝＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处，PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处，故答案为：，；（2）如图2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，∴CF＝4•cos60°＝2，DF＝4•sin60°＝2，在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，∴DE＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y＝﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴EF与AH互相平分，∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE＝，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM＝EH＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM＝AM，∴AM+CM的最小值＝PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，∵PE＝，∴5（p+2）2＝，∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∴PC＝＝，即：AM+CM的最小值为．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．。
2021届中考数学重难点--几何全套第11讲阿氏圆最值模型--有详细解答
第十一讲阿式圆模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A BPO【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值. EABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55+的最小值为________.变式练习>>>2为半径画圆，O为原点，P是⊙2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，2M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD +的最小值为 ，PD ﹣的最大值为 ．（2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD +的最小值为 ，PD ﹣的最大值为 ．图1 图2例题5. 如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与直线AB 交于A （﹣4，﹣4），B （0，4）两点，直线AC ：y=﹣12x ﹣6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ． （1）求抛物线y=﹣x 2+bx+c 的表达式；（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C2，点P为圆B 上的一动点，则PC AP 22+的最小值________.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？6. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC +PD 的最小值； （3）如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC +MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC +MD 的最小值．答案例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 13变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=237.例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．A B CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． ABCD P MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD +的最小值为，PD ﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD +的最小值为，PD ﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC 上取一点G ，使得BG ＝4． ∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F ，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，∴＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． ∵OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， ∴OE ′2＝OM ′•OB ， ∴＝，∵∠BOE ′＝∠M ′OE ′，∴△M ′OE ′∽△E ′OB ， ∴＝＝，∴M ′E ′＝BE ′，∴AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：37.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ＝，连接AF ，BD（1）求证：△BDC ≌△AFC ；（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD +AD 的值； （3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD +AD 的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴P A2＝AE•AD，∴＝，∵∠P AE＝∠DAP，∴△P AE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。
中考最值问题之阿氏圆
最值问题之阿氏圆模型解析“阿氏圆”模型---“PA +k ⋅PB ”型最值◆条件：A、B 为定点,P 为⊙O 上一个动点,k OBOP =(10<<k ).◆问题:求PB k PA ⋅+的最小值,并画出点P 的位置.◆方法：连接OP,OB.在OB 上取点C,使k OP OC =.易证得△POC∽△BOP,所以k OB OP PB CP ==,所以CP =k ⋅PB .所以PA +k ⋅PB =PA +CP ≥AC ,当P 为AC 与⊙O 的交点时，PA +k ⋅PB 的最小值为AC.例题分析例1.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，求AD+32BD 的最小值。
例2.问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP+12BP 的最小值.P尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=1，则有12CD CP CP CB ==，又∵∠PCD=∠BCP ，∴△PCD ≌△BCP ，12PD BP =，∴PD=12BP ，∴AP+12BP=AP+PD .请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP 的最小值为.自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP 的最小值为.拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求2PA+PB的最小值.巩固训练1.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，AP+21BP 最小值为。
图1图2图32.如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA+22PC 的最小值是。
专题05 阿氏圆求最小值(解析版)
中考数学压轴题--二次函数第5节阿氏圆求最小值内容导航方法点拨点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB，连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：【破解策略详细步骤解析】例题演练例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A（1）求点A的坐标；（2）点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，∴A（﹣2，﹣4）；（2）如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴于D，∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B（﹣6，12），∴直线AB解析式为y＝﹣2x设P（m，m2+4m），则H（m，﹣2m），PH＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m∵点M为线段OB的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3∵PH∥y轴∴∠PHG＝∠MOD∵PG⊥BC MD⊥y轴∴∠PGH＝∠MDO∴△PGH∽△MDO∴＝，即PG•MO＝PH•MD＝3（﹣m2﹣6m）＝﹣3m2﹣18m，∴S△POM＝PG•MO＝﹣9m＝﹣（m+3）2+∵﹣＜0，∴当m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P（﹣3，﹣3），在PC上取点T，使得PT＝，连接QT，OT，∵PC＝3，PQ＝∴＝＝∵∠QPT＝∠CPQ∴△QPT∽△CPQ∴＝＝，即TQ＝QC，∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT∵OT＝＝＝∴OQ+QC的最小值为；练1.1如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，经检验x＝4是分式方程的增根，∴m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．练1.2如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+AE′的最小值．【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，∴16a＝﹣6，a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6）．设AB为y＝kx+b过A（8，0），B（0，6），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．（2）∵E（m，0），∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴＝，∴＝，解得：AN＝．∵PM⊥AB，∴∠PMN＝∠NEA＝90°．又∵∠PNM＝∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵＝，∴，∴PM＝AN＝×＝12﹣m．又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．∵0＜m＜8，∴m＝4．（3）①在（2）的条件下，m＝4，∴E（4，0），设Q（d，0）．由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，若△OQE′∽△OE′A．∴＝．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴＝，解得：d＝2，∴Q（2，0）．②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，∴AE′＝QE′，∴BE′+AE′＝BE′+QE′，∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，∵B（0，6），Q（2，0），∴BQ＝＝2，∴BE′+AE′的最小值为2．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接F A、FC．求AF+CF的最小值；【解答】解：（1）在抛物线y＝x2+x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴P（2，3），当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，B（﹣4，0），A（6，0），设直线AC的解析式为y＝kx+3，将A（6，0）代入，得，k＝﹣，∴y AC＝﹣x+3，∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为y AC＝﹣x+3；（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，则OH＝，AH＝＝＝，∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴＝，∴HF＝CF，∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值为；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y ＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位置时，PC+P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，∴PD＝AP∴PC+P A＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+P A的最小值为练1.5如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．【解答】解：（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣），把C（0，﹣3）代入得到a＝．故抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y＝x﹣1，由题意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），∵FH＝PH，∴1﹣m＝m﹣1﹣（m2+m﹣3）解得m＝﹣或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为﹣．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO＝OA＝3，∴E（0，3），∵C（0，﹣3），∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4，∴QH＝CH＝1，在HA上取一点K，使得HK＝，此时K（﹣，﹣），∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴＝，∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴＝＝，∴KQ＝AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值＝＝．。
最值模型之阿氏圆模型(解析版)-2024年中考数学常见几何模型
最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
1(2023·山东·九年级专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP,BP,AP+12BP最小值．BP+13AP最小值．【答案】 37；2373．【分析】如图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，连结AD ，可证△PCD ∽△BCP ．可得PD =12BP ，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +12BP 的值最小，在Rt △ACD 中，由CD =1，CA =6，根据勾股定理AD =12+62=37即可；在AC 上取CE =23，△PCE ∽△ACP ．可得PE =13AP ，当点B ，P ，E 在同一条直线时，BP +13AP 的值最小，在Rt △BCE 中，由CE =23，CB =4，根据勾股定理BE =23 2+42=2373即可．【详解】解：如图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，连结AD ，∵CP =2，BC =4，∴CD CP =12,CP BC =24=12，∴CD CP =CP BC=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴PD BP=12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +12BP 的值最小，在Rt △ACD 中，∵CD =1，CA =6，∴AD =12+62=37，∴AP +12BP 的最小值为37．故答案为：37在AC 上取CE =23，连接CP ，PE∵CE CP =232=13,CP AB =26=13∴CE CP =CP AB=13又∵∠PCE =∠ACP ，∴△PCE ∽△ACP ．∴PE AP=13，∴PE =13AP ，∴BP +13AP =BP +PE ，当点B ，P ，E 在同一条直线时，BP +13AP 的值最小，在Rt △BCE 中，∵CE =23，CB =4，∴BD =23 2+42=2373，∴BP +13AP 的最小值为2373．故答案为：2373．【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．2(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD =2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP=24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1：如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DBDC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC ∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC =DP DM =2∴△BPD ∼△MPC ∴PBMC =2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC -22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=24在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP ∴△BMP ∼△BPD ∴PM PD=24，则PD =22PM ∵BP BC=24=12在BC 上做点N ，使BN BP =12，则BN =1，连接NP在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BPPC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM =∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC =BN BD ∴△BMN ∼△BCD ∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．3(2023·广东·九年级专题练习)如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB +32PD 的最小值为．【答案】372．【分析】在AD 上截取AH =1.5，根据题意可知，AP =3，可得AP AH =ADAP，证△APH ∽△ADP ，可知PH=32PD，当B、P、H共线时，PB+32PD的最小，求BH即可．【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=3，∴AP AH =ADAP=233，∵∠PAD=∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴DP PH =ADAP=233，∴PH=32PD，当B、P、H共线时，PB+32PD的最小，最小值为BH长，BH=BF2+FH2=(3)2+2.52=372；故答案为：37 2．【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题．4(2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM= 2，N为边BC上一动点．连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△PMN，点P与点B对应，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为．【答案】65【分析】由折叠的性质可得，点P在以M为圆心，以2为半径的圆上，在线段MA上取一点E，使得ME=1，利用相似三角形的性质得到PE=12PA，从而得到PA+2PC=212PA+PC=2PE+PC≥2CE，当且仅当P、C、E三点共线时，取得最小值2CE，即可求解．【详解】解：由题意可得：PM=BM=2∴点P在以M为圆心，以2为半径的圆上，在线段MA上取一点E，使得ME=1，则BE=3∵AM=AB-BM=4，MP=2∴MPAM =MEPM=12又∵∠EMP=∠PMA∴△EMP∽△PMA∴PEPA=MEPM=12∴PE=12PA∴PA+2PC=212PA+PC=2PE+PC≥2CE如下图所示，当且仅当P、C、E三点共线时，取得最小值2CECE=BE2+BC2=35，∴PA+2PC的最小值为：65故答案为：65【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把12PA转化为PE是解决此题的关键．5(2023·浙江·一模)问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD=1，则有CDCP=CPCB=13又∵∠PCD=∠△∽△∴PD BP =13∴PD=13BP∴AP+13BP=AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC=6，AB=8，P为矩形内部一点，且PB=4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4．OA=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】(1)BCP，PCD，BCP，2592；(2)210；(3)作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为97．【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+13BP=AP+PD，要使AP+13BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF=2，连接PF，PC，AB=8，PB=4，BF=2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定OAOP =12=OPOF，且∠AOP=∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+13BP=AP+PD，要使AP+13BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+13BP最小值为AD，∵AC=9，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=3，AF=932；∴DF=CF-CD=3-1=2，∴AD=AF2+DF2=2592，∴AP+13BP的最小值为2592；故答案为：2592；(2)如图2，在AB上截取BF=2，连接PF，PC，∵AB=8，PB=4，BF=2，∴BP AB =12=BFBP，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴FP AP =BPAB=12，∴PF=12AP，∴12AP+PC=PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF=BF2+BC2=62+22=210，∴12AP+PC的值最小值为210，故答案为：210；(3)如图3，延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴OA OP =12=OPOF，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF∴AP PF =OAOF=12，∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM∴OM=4，FM=43，∴MB=OM+OB=4+3=7∴FB=FM2+MB2=97，∴2PA+PB的最小值为97．【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..6(2022·湖北·九年级专题练习)(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值，2PD+4PC的最小值，PD-12PC的最大值．(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求PD+23PC的最小值，PD-23PC的最大值，PC+23PD的最小值．(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1 2PC的最小值和PD-12PC的最大值．PC+36PD的最小值【答案】见详解【分析】(1)如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC=BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-1 2PC的值最大(如图2中)，最大值为DG=5；可以把2PD+4PC转化为424PD+PC，这样只需求出2PD+4PC的最小值，问题即可解决。
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中考数学几何模型：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25 OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=37例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． ABCD P MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.[答案]37.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴P A2＝AE•AD，∴＝，∵∠P AE＝∠DAP，∴△P AE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。