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多元函数的微积分全篇
当点P(x， 沿 轴趋于点(0， 时函数的极限为零 时函数的极限为零， 当点 ，y)沿 x 轴、y 轴趋于点 ，0)时函数的极限为零， 当点P(x， 沿直线 沿直线y=k x 趋于点 ，0)时 趋于点(0， 时 当点 ，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点 ，y)∈D ， 都有 |f (x，y)−A|<ε 成立， ， − 成立， 则称常数A为函数 ， 当 时的极限， 则称常数 为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限， 为函数 记为 这里ρ=|P P0|． ． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
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3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设函数z=f(x，y)在区域 内具有偏导数 设函数 = ， 在区域D内具有偏导数 在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x， 的函数． 那么在 内fx(x，y)、fy(x，y)都是 ，y 的函数．如果这两个函数 ， 、 ， 都是
多元函数微积分(课件)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一项重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分类似，多元函数的积分可以帮助我们求解曲线下的面积、体积等问题，以及解决一些与实际问题相关的计算。
一、二重积分二重积分是多元函数积分中最基础的一种形式。
它的计算方法依赖于重积分的定义以及二重积分的性质。
对于二重积分来说，我们需要将待求的函数转化为极坐标形式、直角坐标形式等，并确定积分区域的范围。
通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到二重积分的值。
在实际应用中，二重积分可以用来计算平面图形的面积、求解平面质心等问题。
二、三重积分与二重积分类似，三重积分是多元函数积分中的另一种形式。
三重积分的计算方法也依赖于重积分的定义以及三重积分的性质。
与二重积分不同的是，三重积分需要确定积分区域的范围，并将待求的函数转化为球坐标形式、柱坐标形式等。
同样地，通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到三重积分的值。
在实际应用中，三重积分可以用来计算空间图形的体积、质心等问题。
三、重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质对于计算积分结果以及简化计算过程都非常有帮助。
其中一些常见的性质包括积分线性性、积分对称性、积分的加法性和积分的估值性等。
积分线性性：对于常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，有∬[D](af(x,y)+bg(x,y))dA = a∬[D]f(x,y)dA + b∬[D]g(x,y)dA。
这个性质使得我们在计算重积分时可以将积分区域分解成若干个子区域进行计算。
积分对称性：如果函数f(x,y)在区域D上关于x轴对称，则有∬[D]f(x,y)dA = 2∬[D1]f(x,y)dA，其中D1是区域D在x轴上方的部分。
类似地，还有关于y轴对称和原点对称的性质。
积分的加法性：对于两个不重叠的区域D1和D2，有∬[D1∪D2]f(x,y)dA = ∬[D1]f(x,y)dA + ∬[D2]f(x,y)dA。
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。
一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。
对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。
二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。
1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。
常用的坐标系有球坐标和柱坐标。
球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。
柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。
2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
多元函数积分学
f ( x, y)d
D D
f ( x, y ) d
性质6(估值性）
若M , m分别是f x, y 在D上的最大值和最小值，则 m f ( x, y )d M 为D的面积
D
这个性质可以由m f x, y M 利用性质5和性质4推出。
lim f i xi
0
存在，则称此极限为f x 在a, b 上的定积分，
记为 f x dx,即
a b
i 1
f x f x dx= lim
b a 0 i 1 i
n
i
第一节 几何形体积分的概念
将定积分推广到一般几何形体上： 定义 设函数f P 在G上有界，
对面积的曲面积分），记为
f ( x, y, z )dS
与定积分类似，当
f p 在G上连续时，
积分
G
f ( p ) dg 必定存在。
G
f ( p)dg 具有与定积分类似的性质。
以二重积分为例 •定义：
设 z f x, y 是有界闭区域D上的有界函数，
z f x, y
i
•二重积分的几何意义
曲顶柱体：以曲面 z f x 作为顶、D作为底，该曲面向 xoy 面的投影柱面作为侧面的立体。 对D的任一元素 d 都对应着一个小曲顶柱体 v
z f x, y
v f x, y d 以底d , 高f x, y 的小柱体
【分割】 将a, b 任意分成n个部分，记为xi i 1,2, 【近似】 在每个xi上任取一点i , 作乘积f 【求和】 作出和
i xi ,
f x ,
多元数量值函数积分学
1 0
y2
1 2
x
2
x x
y
y
dy
12 2 0
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为： 1 x=y
解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.
例3.计算y2d,其中D是由yx与抛物线xy22围成.
D
y2 2 x y, D
1 y 2.
D
2y
dy
y2dx
1 y22
例5 求曲线
和 x2y2 a2
解 在极坐面标积系.下
x2y2a2 ra,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )
ra 2cos2,
根据对称性有 D4D1
所围成的图形的
ra 2cos2
D1
ra
得交点
所求面积
4 dxdy
D1
4
6d
a
2cos2
rdr
0a
a2(
3 ).
A
(a
的曲边梯形，此截面面积为
x且平行yoz面的平
面截曲顶柱体所得
Ax y2xf x,ydy. y1x
截面面积为 任取x [a,b]，过点
b b y2x
Axdx fx,ydydx, a a y1x
abyy12xxf x,ydydx.
f x, yd
D
f x, yd
D
应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体 体积”的方法，得到 这个体积的值，就是二重积分 的值。 因此，二重积分
,
)
3
6
由r a 2cos2 dxdy
r a
D
D
就是柱体的体积, 但此时二重积分
f x, yd 的值
《多元函数的微积分》课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
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多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数求积分
多元函数求积分积分是微积分的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、质量、重心等许多物理和几何问题。
在计算积分时，我们常常会遇到多元函数的积分问题，即在多维空间中对多个变量的函数进行积分。
本文将从基本概念、计算方法和相关参考内容三个方面介绍多元函数的积分。
一、基本概念多元函数的积分是在多维空间中对函数的求和过程，可以用于计算函数在某个区域内的总量。
对于二元函数而言，积分可以表示为∮f(x,y)dA，其中∮表示积分，f(x,y)为要积分的函数，dA表示面积元素。
对于三元函数而言，积分可以表示为∭f(x,y,z)dV，其中∭表示积分，f(x,y,z)为要积分的函数，dV表示体积元素。
多元函数的积分可以从二维空间扩展到任意多维空间。
二、计算方法1.直接计算对于简单的多元函数，可以直接计算积分。
首先需要确定积分的边界，即确定积分的区域。
然后按照积分的定义进行计算，将积分区域划分为许多小的面积元素或体积元素，并对每个元素进行积分。
最后将所有小元素的积分结果相加，即得到整个区域内函数的积分结果。
2.变量替换对于复杂的多元函数，可以通过变量替换的方法简化积分计算。
通过合适的变量替换可以将原函数化简为更简单的形式，从而方便求解积分。
通过变量替换，可以将积分区域变换到更加简单的坐标系中，使得计算变得更加容易。
3.极坐标、球坐标、柱坐标等对于涉及到圆、球、柱等几何形状的函数，可以使用极坐标、球坐标、柱坐标等坐标系进行积分计算。
这些坐标系有助于简化函数表达式和积分区域，从而提高计算效率。
三、相关参考内容1.《高等数学》（同济大学数学系编著）：该教材是国内高等院校普遍采用的教材，对多元函数的积分有详细的介绍，并提供了许多例题和习题供读者练习。
2.《数学分析教程》（李修文编著）：该教材对多元函数的积分理论和计算方法进行了深入的讲解，包括直接计算、变量替换和不同坐标系下的积分计算方法。
3.《多元函数积分学》（孔祥兴编著）：该教材从多元函数积分的基本概念入手，详细介绍了多元函数的积分理论和计算方法，并提供了大量例题和习题供读者练习。
高等数学中的多元函数的积分
高等数学中的多元函数的积分高等数学中的多元函数积分高等数学是一门抽象的学科，它以符号理论和逻辑推理为基础，利用数学结构和算法解决复杂的问题。
在高等数学中，多元函数积分是一个非常重要的概念。
多元函数积分是现代数学的基石之一，它与实际问题密切相关，具有广泛的应用范围。
1. 多元函数积分的概念多元函数积分是一种数学工具，它用于计算多元函数在闭合区域上的积分值。
多元函数是指有多个自变量的函数，积分是对多元函数在一个闭合区域上的求和操作。
多元函数积分的概念最早是由黎曼在19世纪中期提出的，现在已经成为现代数学的一部分。
2. 多元函数积分的性质多元函数积分具有以下性质：（1）线性性：若f和g是定义在闭合区域U上的两个多元函数，a和b是常数，则有∫[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy＝a∫f(x,y)dxdy+b∫g(x,y)dxdy。
（2）可加性：若f是定义在闭合区域U上的多元函数，在它的范围内用一个曲面D把闭合区域分成两个部分U1和U2，则有∫f(x,y)dxdy＝∫f(x,y)dxdy＋∫f(x,y)dxdy。
3. 多元函数积分的计算方法多元函数积分的计算方法有以下几种：（1）直接计算：即按照定义式进行积分。
这种方法适合于计算简单的多元函数积分。
（2）使用改变变量法：改变变量法是通过变量代换的方式，将多元函数转化为标准形式，并重新计算积分。
这种方法适合于计算复杂的多元函数积分。
（3）使用重积分法：重积分法是把多元函数积分表示为两个一元函数积分的积分形式，再进行计算。
这种方法适合于计算连续多元函数积分。
4. 多元函数积分的应用多元函数积分是解决实际问题的有力工具，它在物理、工程、金融等领域都有广泛的应用。
（1）物理领域：例如，通过多元函数积分可以计算物体的体积、质心、转动惯量等参数。
（2）工程领域：例如，通过多元函数积分可以计算电场、磁场、热量传递等参数。
（3）金融领域：例如，通过多元函数积分可以计算期权和利率等金融指标。
《高等数学》第9章多元函数积分学
体积的计算（利用二重积分） 体积的计算（利用二重积分）
例 求在曲面 z = 4 − x 2 − y之下 , 而在长方形 R = {( x , y ) | ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2}之上的立体的体积 V . 0
解： V = ∫∫ (4 − x 2 − y )dA = ∫ 2 ∫ 1(4 − x 2 − y )dxdy 0 0
S R
z
z = f ( x, y )
o
y
s
x
f ( x, y ) = 0
R
注：在矩形区域中二重积分具有的性质，在任意区域中仍具有. 在矩形区域中二重积分具有的性质，在任意区域中仍具有.
练
习
R =
1. 计算在 R 上的二重积分
( ∫∫ ) xy 3 dA １
R R
{( x , y ) | 0 ≤
k =1 n
存在, 则称 f ( x, y )在R上是 可积的.而且这个极限值称 f在R上 的二重积分 , 记作 : f ( x, y ) dA = lim ∑ f ( xk , yk ) ∆Ak ∫∫ δ →0
R k =1 n
其中∫∫ 称为二重积分号 , f ( x, y )称为 被积函数 , f ( x, y ) dA称为 被积表达式 , dA为面积元素 , x, y称为 积分变量 , R称为 积分区 域 , ∑ f ( xk , yk ) ∆Ak 称为 积分和式 .
解：用 S 代表 xoy 面上形成四面体底部的 三角形区域 ,
2. 计算二次积分 .
1 x
2 ye x dx dy . ∫0 ∫0
y2 1
2
1 y2
原式 = ∫0 ( 2 ye ) 0 dy ∫0 ( 2 ye y − 2 y ) dy = 解： = (e
多元函数的积分
这是我到学高数二的同学那里去弄的有关函数积分的内容，希望对同学们有帮助。
参考书目：高等教育出版社《高等数学下》、天津大学出版社《高等数学复习指导》）多元函数的积分一、各类函数的计算方法1． 二重积分⎰⎰Dd y x f σ),( 或 dxdy y x f D⎰⎰),(（1） 若D ：b x a x y x ≤≤≤≤),()(21ϕϕ（X-型区域），则dy y x f dx d y x f Db ax x ⎰⎰⎰⎰=)(2)(1),(),(ϕϕσ （先对y ，后对x 的二次积分）（2） 若D ：d y c y x y ≤≤≤≤),()(21ψψ （Y-型区域），则dx y x f dx d y x f Ddcy y ⎰⎰⎰⎰=)(2)(1),(),(ψψσ （先对x ，后对y 的二次积分）（3） 若D ：βθαθϕρθϕ≤≤≤≤),()(21 （极坐标）则ρρθρθρθσβαθϕθϕd f d d y x f D⎰⎰⎰⎰=)(2)(1)sin ,cos (),( （先对ρ，后对θ的二次积分），其中θρρd d 为极坐标下的面积元素。
2.三重积分dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,( 或 dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(（1） 在直角坐标系下：若Ω：),(),(),()(,2121y x z y x x y x b x a ψψϕϕ≤≤≤≤≤≤，则dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=⎰⎰⎰b ax x y x y x dz z y x f dy dx )(2)(1),(2),(1),,(ϕϕψψ （先对z ，再对y ，最后对x 的三次积分）若Ω：Dz y x q z p ∈≤≤),(, ，则dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=dxdy z y x f dz qpDz⎰⎰⎰),,(（2） 在柱面坐标系下：若Ω：βθαθϕρθϕ≤≤≤≤),()(21，),(),(21θρθρz z z ≤≤且⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos ，则dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=⎰⎰⎰βαθϕθϕθρθρθρθρρρθ)(2)(1),(2),(1),sin ,cos (z z dz z f d d（3） 在球面坐标系下：若Ω：),(),(,,21ϕθϕθγϕηβθαr r r ≤≤≤≤≤≤，且⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos cos sin cos sin r z r y r x ，则 dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=⎰⎰⎰βαγηϕθϕθϕθϕθϕϕϕθ),(2),(12)cos ,sin sin ,cos sin (sin r r dr r r r f d d r3.第一型曲线积分ds y x f L⎰),( ，ds 为弧微分元素物理意义：线密度为f(x,y)，占有平面曲线L 的曲线型构件的质量。
多元函数的微积分PPT课件
曲线的一般方程为
z
F x, y, z 0
G
x,
y,
z
0
x2 y2 1 如
z 2
o
y
x
x2 y2 1
z y, z 0
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二次曲面及截痕法 椭球面（几何演示）
抛物面（几何演示）
双曲面（几何演示）
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曲面在坐标平面内的投影
例 求上半球面 z 2 x与2上半锥y面2 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。
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空间解析几何简介
空间直角坐标系（三维直角坐标系）
z（竖轴）
O
x（横轴）
y （纵轴）
右手原则
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O O O
z 空间直角坐标系
z
z
y
y
x
y
x
x
三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示）
z
八个卦限
三个坐标平面
Ⅲ
Ⅱ
xoy 平面
Ⅳ
Ⅰ
xoz 平面
O
y
yoz 平面
x
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Ⅶ
Ⅵ
∙ Px0, y0
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二元函数的极限计算
6 lim x y
x0 x y
y0
×x 2 y 3y lim 3 y0 y
事实上，设 x ky k 1
x y
x y 换元时 与 不能相互制约
则 lim
x0 x y
y0
lim
y0
yk yk
1 1
k k
1 1
∙ Px0, y0
结果与 k 有关，故原极限不存在。
第十一章 多元函数的积分学(最全)word资料
第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．第十一章调用外部程序组件概览在ABAP/4 中，有多种使事务模块化的选项可供选择。
这些选项包括所有可以调用程序外部代码组件的方法。
这些外部组件可以是功能模块、其它事务、对话模块或报表。
内容嵌入程序调用.................................................................................................................................. １外部程序和滚动区 ..................................................................................................................... １外部程序和LUW 处理 ............................................................................................................... １调用功能模块.................................................................................................................................. ２访问功能库.................................................................................................................................. ２进行调用 ..................................................................................................................................... ２使用功能模块接口 ..................................................................................................................... ２处理例外情况 ............................................................................................................................ ３调用其它事务.................................................................................................................................. ４转到事务 ..................................................................................................................................... ４调用事务 ..................................................................................................................................... ４调用与调用程序共享SAP LUW 的事务 ................................................................................... ４调用对话模块.................................................................................................................................. ４运行时执行对话模块.................................................................................................................. ４用事务作为对话模块.................................................................................................................. ４提交报表........................................................................................................................................... ５向报表传送数据......................................................................................................................... ６保存或打印报表......................................................................................................................... ７在程序间传送数据........................................................................................................................... ７用SPA/GPA 参数传送数据...................................................................................................... ７详细信息，参见：嵌入程序调用(页１)调用功能模块(页２)调用其它事务(页４)调用对话模块(页４)提交报表(页５)在程序间传送数据(页７)嵌入程序调用外部程序组件由系统进行维护，对所有程序都可用。
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多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一） 计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有⎰⎰=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有⎰⎰⎰⎰=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或 命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1⎰⎰⎰⎰==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(⎰⎰=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1 类型（二） 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈∀=-Ω∈∀--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=⎰⎰⎰Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y x f )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一） 计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论.命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二） 计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意 不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二 计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则⎰⎰=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三 计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+⎰⎰⎰,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(⎰⎰⎰+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二 计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一 交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二 转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一 计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二 计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：⎰⎰⎰⎰=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一） 计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分.类型（二） 计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三） 计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分. 类型（四） 计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五） 计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六） 计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一 计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。