外微分在场论中的应用

欧氏空间，有且只能有这三个度，即梯度、旋度与散度。它们与外微
分形式的对应关系可列表如下：
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外微分形式的次数
−
∂P ∂y
)dx
∧
dy.
d (dω1 )
=
( ∂2R ∂y∂x
−
∂2Q ∂z∂x
+
∂2P ∂z∂y
−
∂2R ∂x∂y
+
∂2Q ∂x∂z
−
∂2P )dx ∂y∂z
∧ dy
∧ dz .
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作者：曹维玺. 通信地址：710064 西安市长安大学本部南院 124 信箱。
电话：029—85261171.
E-mail:a5261171@
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= ∫∫ −dy ∧dx +dx ∧dy = 2∫∫ dx ∧ dy = 2π R2.
S
S
3．Poincare 引 理 之 场 论 意 义
Poincare 引理 设ω 是三维空间中的任一外微分形式，其系数
有二阶连续偏导数，则
d (dω) = 0.
（1）零次外微分形式ω0 = f (x ,y, z) 的外微分为
另一方面，矢量场 A = Pi + Qj + Rk ，有
rotA = (∂R − ∂Q )i + (∂P − ∂R ) j + (∂Q − ∂P )k .
∂y ∂z ∂z ∂x
∂x ∂y
div(rotA) = ∂ (∂R − ∂Q) + ∂ ( ∂P − ∂R ) + ∂ (∂Q − ∂P )
∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
o
0
0
于是得势函数为： v = −u +c = −sin y − x2 yz 2 + c .
5. 外 微 分 模 型
A ①在单连通域中，矢量场 为有势场（梯度场）的充分必要条件
A A A 是 为无旋场，即 = grad f 的充要条件为 rot = 0 .梯度与零
次外微分形式的外微分 df 相对应，旋度与一次外微分形式的外微分
d ω0
= df
=
∂f dx + ∂x
∂f dy + ∂f ∂y ∂z
dz.
d(df ) = ( ∂2 f − ∂2 f )dy ∧ dz + ( ∂2 f − ∂2 f )dz ∧ dx +( ∂2 f − ∂2 f )dx ∧ dy .
∂z∂y ∂y∂z
∂x∂z ∂z∂x
∂y∂x ∂x∂y
另一方面，对于数量场 f , 有
由 Poincare 引理之逆知 dω1 = 0, ∃u,ω1 = du .
x
y
z
∫ ∫ ∫ u =
x0 P(x, y0 , z0 )dx+
y0 Q(x, y, z0 )dy +
R(x ,y, z)dz
z0
∫ ∫ ∫ =
x
0dx +
y
cos ydy +
z 2x2 yzdz = sin y + x2 yz2 .
1.梯度、旋 度 、 散 度 的 计 算
（1）零次外微分形式ω0 = f (x ,y, z) 的外微分为
dω 0
= df
=
∂f ∂x
dx +
∂f ∂y
dy +
∂f ∂z
dz.
而数量场 f 的梯度为
grad f = ∂f i + ∂f j+ ∂f k. ∂x ∂y ∂z
所以零次外微分形式的外微分与梯度相对应。
S： x2 + y2 + z 2 = a2.
解 Φ = ∫∫ A⋅ ds = ∫∫ x3dy ∧ dz + y3 dz ∧ dx &#∫ 3(x2 + y2 + z2 )dx ∧ dy ∧ dz Ω
∫ ∫ ∫ =
2π
π
dϑ sin ϕdϕ
a 3r4 dr = 12 π a5.
A i j k 所以 rot = (x2e y − 2z sin y ) + 2x(y2 z −e y ) − 2xyz2 .
∫ ∫ 2． 利 用 Stokes-Cartan 公式 ω = d ω 计 算 通 量 与 环 量
∂O
O
例 2．求矢量场 A= x3i + y3 j + z3k 从内穿出闭曲面 S 的通量Φ 。
微分 dω1 相对应，散度与二次外微分形式的外微分 dω2 相对应。这个
命 题 的 充 分 性 相 当 于 Poincare 引 理 之 逆 的 另 一 种 特 殊 情 况 ，
dω2 = 0,∃ω1 ,ω2 = dω1 ，即如果二次外微分形式的外微分为零，则此
外 微 分 形 式 一 定 是 一 个 一 次 外 微 分形 式 的 外 微 分 ； 而 必 要 性 相 当 于
= ∂2R − ∂2Q + ∂2 P − ∂2R + ∂2Q − ∂2P . ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z
A 所以 d (dω1) = 0 与场论中公式： divrot = 0 相对应。
A 因此，要证 divrot = 0 （矢量的旋度的散度为零）；
即证旋度场为无源场（旋度场的散度为零），可证 d (dω1 ) = 0 .
A A ②在单连通域中，矢量场 为旋度场，当且仅当 为无源场（管 A B A 形场），即 = rot 当且仅当 div = 0 .旋度与一次外微分形式的外
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i jk rotgrad f = ∂ ∂ ∂ =( ∂2 f − ∂2 f )i+( ∂2 f −∂2 f ) j +( ∂2 f − ∂2 f )k
∂x ∂y ∂z ∂z∂y ∂y∂z ∂x∂z ∂z∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂f ∂f ∂ ∂x ∂y ∂z
所以 d (df ) = 0 与场论中公式： rotgrad f = 0 相对应。
分形式 f 有 d (df ) = 0.
A A 故有梯度场定理{ = grad f ⇔ rot = 0 }的外微分模型是：
{充分性：旋度为零的场是梯度场
[rot A = 0 ⇔ dω1 = 0, ∃ω0 = f ,ω1 = dω0 = df ⇔ A = grad f ]；
必要性：梯度场的旋度为零
[ d (df ) = 0 ⇔ rotgrad f = 0 ] }.
并求其势函数。
解 设 grad f = A，
则 df =ω1 = 2xyz2 dx + ( x2 z2 + cos y)dy + 2x2 yzdz . d (df ) = dω1 = 0. 故 rotgrad f = 0 .
因 grad f = A ，所以 rotA = 0 ， A为有势场。
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dxI = dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxik 。 在 n 维空间 Rn 中， k (k ≥ 1) 次外微分
∑ ∑ 形式是和式ω = aI ( x)dxI ，其外微分是 dω = daI (x) ∧dxI .
I
I
（3）．我们约定本文中 的函数（包括表示区域的函数）都有二价
连续偏导数；区域均指可定向的单连通域。
外微分 对 应 的 度
0
梯度
1
旋度
2
散度
例 1．求矢量场 A = xy2z 2i + z2 sin yj + k x2ey 的旋度。
解 设ω1 = xy 2z 2dx + z 2 sin ydy + x2e ydz . 则 dω1 = d (xy2 z2 ) ∧ dx + d (z2 sin y) ∧ dy + d (x 2ey ) ∧ dz = (x2ey − 2z sin y)dy ∧ dz + 2x(y 2z −e y )dz ∧ dx − 2xyz 2dx ∧ dy.
dω 2
=
( ∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R)dx ∂z
∧
dy
∧
dz.
而矢量场
A
=
Pi
+
Qj
+
Rk
的散度为 divA
=
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
.
所以二次外微分形式的外微分与散度相对应。
（4）在三维欧氏空间，三次外微分形式的外微分为零。所以不可