2019北师大版七年级数学下册知识点归纳：第四章三角形

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(完整版)北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)

(完整版)北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)1. 相似与全等在数学中，相似与全等是两个重要的概念。

相似指的是两个对象在形状上相似，但可能在大小上不同。

全等则表示两个对象在形状和大小上完全相同。

在判断两个图形相似或全等时，我们需要注意三个方面：对应边相等、对应角相等、对应边与对应角的对应关系。

2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度角）。

直角三角形有一些重要的性质：直角三角形的斜边是其他两个边的最长边；直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

3. 锐角三角形与钝角三角形除了直角三角形，三角形还可以根据角的大小分为锐角三角形和钝角三角形。

锐角三角形中的三个角都是锐角（小于90度），钝角三角形中的三个角都是钝角（大于90度）。

4. 勾股数勾股数是指满足勾股定理的三个正整数。

例如，3、4、5就是一个勾股数，因为3²+4²=5²。

在求解勾股数时，我们可以用穷举法、勾股数公式等方法。

5. 颞角与补角在数学中，互为补角的两个角的度数之和等于90度，互为颉角的两个角的度数之和等于180度。

当我们知道一个角的度数时，可以求解它的补角或颉角。

6. 直角三角形的应用直角三角形在几何学中有广泛的应用。

例如，我们可以利用直角三角形的性质计算三角形的面积、边长、角度等问题。

直角三角形还可以用于解决实际问题，如测量高度、距离等。

7. 图形的扩大与缩小图形的扩大与缩小是数学中的一个重要概念。

当我们将一个图形按照比例进行放大或缩小时，图形的形状保持不变，只是大小发生改变。

在进行图形的扩大与缩小时，我们需要注意比例尺和变化的方向。

8. 相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。

利用相似三角形的性质，我们可以进行一些复杂的几何证明和计算。

9. 图形的旋转图形的旋转是指将一个图形按照某个点为中心进行旋转。

北师大版七年级下册数学期末复习-第四章三角形

七年级下册第四章三角形复习1．知识梳理2．典型例题讲解3．练习第四章三角形复习复习知识点一．三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．与三角形有关的线段．．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）3引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

二、三角形三边关系能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90° （因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．五、三角形全等判定及其性质考点一：三角形的分类例题1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ B ）。

北师大版七年级数学下册知识点归纳：第四章三角形

第四章三角形1 认识三角形2 图形的全等3 探索三角形全等的条件4 用尺规作三角形5 利用三角形全等测距离一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

这里要注意两点：①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。

三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

2．关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。

三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。

对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。

设三角形三边的长分别为a、b、c则：①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c 成立，a 、b 、c 三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果已知线段a 最大，只要满足b+c ＞a ，那么a 、b 、c 三条线段就能构成三角形；如果已知线段a 最小，只要满足|b-c|＜a ，那么这三条线段就能构成三角形。

3．关于三角形的内角和三角形三个内角的和为180°①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

4．关于三角形的中线、高和中线①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，如图3。

北师大七年级下册数学第四章全等三角形的概念和性质(基础)

全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB的对应边为DE，∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.【巩固练习】一、选择题1. （2016•长沙模拟）如图所示，△ABC ≌△DEC ，则不能得到的结论是（）A. AB ＝DEB. ∠A ＝∠DC. BC ＝CDD. ∠ACD ＝∠BCE2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ，△DEF ≌△MNP ，△ABC ≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC ≌△A ′B ′C ，∠ACB=90°，∠A ′CB=20°，则∠BCB ′的度数为（）A.20°B.40°C.70°D.90°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．8. （2016•成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23cm，BC＝4cm，则△DEF的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】因为△ABC ≌△DEC ，可得：AB=DE ，∠A=∠D ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，故选C ．2. 【答案】B ；【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等.3. 【答案】C；【解析】③和④是正确的；4. 【答案】C；【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°．故选C．5. 【答案】A；【解析】EF边上的高＝1826 6⨯=；6. 【答案】C；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.二.填空题7. 【答案】∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD；【解析】解：∵△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，∴∠D=∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD，故答案为：∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD．8. 【答案】120°；【解析】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°．9. 【答案】4cm或9.5cm；【解析】DE＝DF＝9.5cm，EF＝4cm；10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF， 46°；11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等；12.【答案】40°；【解析】见“比例”设k，用三角形内角和为180°求解.三.解答题13.【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B，又∠A＝30°，∠B＝50°，所以∠ACB＝100°.又因为△ABC≌△DEF，所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）所以∠DFE＝100°EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2.14. 【解析】解：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；（3）BC∥EF，AB∥DE，理由是：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF．15. 【解析】 AE＝DE ,且AE⊥DE证明：∵△ABE≌△ECD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE又∵AB⊥BC∴∠A＋∠AEB＝90°，即∠DEC＋∠AEB＝90°∴AE⊥DE∴AE与DE垂直且相等.。

北师大版七年级数学下册第四章三角形小结与复习

按边分
4. 直角三角形的两个锐角互余.
三边各不相等的三角形
等腰三角形等边三角形
5. 三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.
6.三角形的三条角平分线交于一点；三角形三条中线交于一点；
三角形的三条高所在的直线交于一点.
二. 全等三角形 1. 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等 SSS AAS 2. 全等三角形的判定 ASA SAS 3. 三角形的稳定性的依据：SSS
知识点三三角形的角平分线、中线、高
例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，
点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面
积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，
则 S△ADF－S△BEF＝___2_____．
解析：因为点
所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
方法总结
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；
高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
针对训练
3.如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高， A
若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度 E 数是 20 °，∠FBC 的度数是 40 °.
考点讲练
知识点一三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 8－3 < a < 8 + 3，所以 5 < a < 11.

精编北师版数学七年级下册第四章三角形

教材中关于推理过程的描述,采用符合自然语言习惯的文字加符号的方式,一方面是降低学习难度,另一方面也为八上学习证明(演绎推理的形式化表述)做铺垫.
通过本章的学习,学生推理意识的树立以及推理经验的积累,为今后学习证明打下基础,在今后的学习中,学生将在直观认识和简单说明理由的基础上,学习从几个基本事实出发,进行比较严格的证明.
第四章三角形
1.理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线.
2.了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.
3.会证明三角形内角和等于180°,了解三角形外角的性质.
4.了解图形的全等,理解全等三角形的概念和性质,经历探索三角形全等条件的过程,掌握两个三角形全等的条件,能应用三角形的全等解决一些实际问题.
2.重视实践活动,让学生在探索中获取知识.教学时,应给予学生充分的时间和空间,通过观察、操作、有条理的思考、推理和交流,经历从现实空间抽象出几何图形、探索图形性质及其变化规律的过程,获得对图形的认识,发展空间观念.
3.促进教学中的数学交流.教师要重视为学生创设交流的情境,提供“数学对话”的机会,鼓励学生用耳、用口、用眼、用手去表达自己的思想和接受他人的思想.这样的过程有助于培养学生的参与意识,学会用不同的方式探索、思考解释问题,不断提高自己的思维水平.
第1节“认识三角形”,介绍三角形的有关概念、符号表示、三角形的重要线段,以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质.
第2节“图形的全等”、第3节“探索三角形全等的条件”,在认识全等图形的基础上,理解全等三角形的概念和性质,接着通过所设计的一系列的实践活动,探索三角形全等的条件.
第4节“用尺规作三角形”、第5节“利用三角形全等测距离”,教材以用尺规作三角形和利用三角形全等测距离,体现全等三角形的应用.

北师大版七年级数学下册知识点归纳：第四章三角形

三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

2．关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。

三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。

对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。

设三角形三边的长分别为a、b、c则：①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a ，那么这三条线段就能构成三角形。

七年级数学(下)四、五章知识点(北师大版)

七年级下册数学知识清单第四章三角形【知识点】1.认识三角形（1）由三条线段所组成的图形叫做三角形.（2）按三角形内角的大小可以把三角形分成：、、.（3）直角三角形两锐角.（4）三角形的三边关系：①；②.（5）三角形的重心是的交点.（6)三角形的中线性质：.注意：①三角形的三条中线和角平分线交于一点，三角形的三条高不一定相交，但高所在的直线交于一点；锐角三角形的三条高交于三角形内部，直角三角形的三条高交于直角边的交点（即三角形的边上），钝角三角形三条高所在的直线交于三角形外部.②三角形的中线、角平分线和高指的都是线段，但一个角的角平分线是射线.③2.图形的全等（1）称为全等图形.（2）全等图形的和都相同.（3）称为全等三角形.（4）全等三角形的性质：、.3.探索三角形全等的条件证三角形全等的方法有、、、.4.全等三角形的应用（1）尺规作图：作一个角等于已知角.（原理：SSS）（2）用全等三角形测距离【巩固练习】1.下列说法错误的是()A.三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B.三角形的三条中线，角平分线都相交于一点C.直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D.钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部2.如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为()①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，已知，则△ABC的面积为()A.18B.28C.36D.454.如图，正方形ABCD的面积为1，M是AD边的中点，△ABG的面积为（）A. B.C. D.5.如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为()A.4B.3C.4.5D.3.56.下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④形状相同的两个三角形是全等三角形．其中正确的说法有() A.②③ B.①②③C.①③④D.①②③④7.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是()A.AAAB.ASAC.SASD.AAS8.已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点．求证：BF=CF．证明：如图，在△ADB和△ADC中_________________________∴△ADB≌△ADC（_____）∴_______________________在△ABF和△ACF中___________________________________________________________________________∴△ABF≌△ACF（_____）∴BF=CF9.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，E，F分别是DA，BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．求证：△EOD≌△FOB．10.已知：如图，OP平分∠AOB，C，D分别在OA，OB上，若∠PCO+∠PDO=180°．求证：PC=PD．11.已知：如图，在△ABC中，BD=CD，∠1=∠2．求证：AD是∠BAC的平分线．第五章生活中的轴对称【知识点】1.垂直平分线相关定理（1）线段垂直平分线上的点_____________________________.（2）到一条线段两个端点________________，在这条线段的垂直平分线上．2.角平分线相关定理（1）角平分线上的点__________________________.（2）在一个角的内部，______________________在这个角的平分线上．4.轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，________________被对称轴垂直平分，____________相等，____________相等.5.等腰三角形等腰三角形的性质：①对称性：它是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线；②两个底角相等（等边对等角）；③顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).6.尺规作图（1）作线段的垂直平分线（2）作一个角的角平分线【巩固练习】1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠CED的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=18，BC=10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△BEC的周长为()A.19B.23C.28D.363.已知：如图，OA垂直平分CP，OB垂直平分PD，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长是8cm，则下列说法不一定正确的是()A.MC=MPB.PC=PDC.NP=NDD.CD=8cm4.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为()A.1B.2C.3D.45.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=110°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE 等于()A.50°B.40°C.30°D.20°6.如图，在△ABC中，BC=9cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则下列说法错误的是()A.△BDP为等腰三角形B.PE=CEC.△PDE的周长是9cmD.PE=DE7.如图，等边△ABC的三个内角的角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有()A.4个B.5个C.6个D.7个8.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD．若AC=6，BC=3，则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.59.如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一个定点，A为OM上一动点，B为ON上一动点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为()A.80°B.100°C.110°D.120°10.如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．若△ABC 的边AC上的高为1，点P是边AC上的动点，则MP+NP的长度最小为()A.1B.2C.3D.411.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是27，腰AC的垂直平分线EF交AB边于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.9C.12D.15。

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第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形 SAS全等三角形全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。

2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”，读作“三角形ABC ”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a 。

2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形：即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形：即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt Δ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，其余两边称为直角三角形的直角边。

直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形：即有一个内角是钝角的三角形。

a b c a b -<<+3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

七年级数学下册第四章三角形 1 认识三角形三角形的认识讲义(新版)北师大版

三角形的认识【基础知识】知识点1 三角形的定义1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

表示：三角形可用符号“△”表示，如右图三角形记作：△ABC2.一个三角形有三条边，三个角、三个顶点如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c知识点2 三角形的性质1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。

三角形的内角关系：三角形内角和为3.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

其中直角三角形的两个锐角互余知识点3 三角形的中线、角平分线和高线结论总结：ABCabc【典例剖析】例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，(1)再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？(2)如果取一根长度为13cm的木棒呢？(3)聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？例2.若△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足 . ,如果b=4,问这样的三角形有几个?例3.已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。

例4.判断满足下列条件的是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形；（1）（2）（3）例5.三角形ABC的一个内角度数为，且，求的外角的度数。

变式1：在直角三角形中，两个锐角的差为40°，求这两个锐角的度数。

变式2：如右图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，∠3=38°求∠4的度数例6.1.如图1，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）.A.高B.角平分线C.中线D.不能确定如图2，已知∠1＝∠2，则AH 必为三角形ABC 的（）.A.角平分线B.中线C.一角的平分线D.角平分线所在射线3.如图3，AE ⊥BC 于E ，试问AE 为哪些三角形的高？变式：如图，（1）共有个直角三角形（2）高AD.BE.CF 相对应的底分别是、、。

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北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。

2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔXXX的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边干系：三角形随便双方之和大于第三边，随便双方之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。

2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180.2、三角形按内角的大小可分为三类：1）锐角三角形：即三角形的三个内角都是锐角的三角形；2）直角三角形：即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，其余两边称为直角三角形的直角边。

直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

3）钝角三角形：即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

北师大版七年级下册数学各章知识点总结(完整详细版)

北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =am+n(m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n=amn(m,n 都是正整数）； 3、积的乘方：（ab ）n=a n bn(n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：am÷a n=am-n(m,n 都是正整数,a ≠0) ；整式的运算六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。

七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

(完整版)北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)

2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”，读作“三角形ABC ”。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a 。

2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形：即有一个内角是钝角的三角形。

a b c a b -<<+3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

(完整版)北师大数学七年级下册第四章三角形及其性质(基础)

三角形及其性质(基础)知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法.2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系.5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法.【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点诠释： (1)三角形的基本元素：① 三角形的边：即组成三角形的线段；② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点 .(2)三角形的定义中的三个要求： “不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3)三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A 、B 、C 的三角形记作“△ ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ ABC 的三边可以用大写字母 AB 、BC 、 AC 来表示，也可以用小写字母 a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、 c 表示.要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180° .要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ① 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ② 已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③ 求一个三角形中各角之间的关系. 要点三、三角形的分类1. 按角分类：直角三角形要点诠释：① 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形 ② 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2.按边分类：不等边三角形三角形竹谕一為旳底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角；③等边三角形：三边都相等的三角形• 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边•推论：三角形任意两边之差小于第三边•要点诠释：（1 ）理论依据：两点之间线段最短•（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长, 可求第三边长的取值范围.（3）证明线段之间的不等关系.要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下:线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段.三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.图形语言作图语言标示图形过点A作AD丄BC于点D . 取BC边的中点D,连接AD .符号语言1 . AD是厶ABC的高.2. AD是厶ABC中BC边上的高.3. AD丄BC于点D .1 . AD是厶ABC的中线.2 . AD 是厶ABC 中BC边上的中线.1 . AD是厶ABC的角平分线.2 . AD 平分/ BAC ,交BC 于点D .B作/ BAC的平分线AD , 交BC于点D .【典型例题】类型一、三角形的内角和1 .证明：三角形的内角和为180【答案与解析】解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180证法1:如图1所示，延长BC到E,作CD // AB .因为AB // CD （已作），所以Z 1= Z A （两直线平行，内错角相等），/ B= Z 2 （两直线平行，同位角相等）.又Z ACB+ Z 1 + Z 2=180 ° （平角定义），所以Z ACB+ Z A+ Z B=180 ° （等量代换）.证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE // AB，交AC于E, DF // AC，交AB 于点F.因为DF // AC （已作），所以Z 1 = Z C （两直线平行，同位角相等）Z 2= Z DEC （两直线平行，内错角相等）因为DE // AB （已作）.所以/ 3= / B，/ DEC= / A （两直线平行，同位角相等）所以/ A= / 2 （等量代换）.又/ 1 + Z 2+ / 3=180 ° （平角定义），所以/ A+ / B+ / C=180 ° （等量代换）.图22.在厶ABC中，已知/ A+ / B = 80。

北师版初中数学七年级下册素养课件第四章三角形

知识点三角形的三边关系
从小明家到学校有三条路,①小明家→邮局→学校;②小明家→学校;③小明家→商店→学校.由三角形三边关系可知,这三条路中沿第②条路走最短.
知识点三角形的三条重要线段
(1)如图所示,数学兴趣小组利用课余时间测量一块三角形地块的面积.兴趣小组测量了边BC的长度,然后两人拉一根绳子测量边 BC上的高,一人站在顶点A处,另一人拉紧绳子移动,当绳子与直线 BC的交点D之间的线段AD最短时,线段AD就是边BC上的高.
知识点三角形的三条重要线段
(2)为了便于耕种,地块主人想把地块分为面积相等的两个三角形地块,请数学兴趣小组帮忙完成.两人先分别站在三角形地块的顶点B,C处,拉紧绳子,然后对折找到BC的中点E,则线段AE就是△ABC 的中线,中线AE把△ABC分成面积相等的两部分.
知识点三角形的三条重要线段
知识点三Leabharlann 形的内角和三角形中最大的角不小于60°.
知识点三角形的分类
下图是由三角形图案拼成的一个漂亮的玩具.
知识点三角形的分类
等边三角形是特殊的等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形.
知识点直角三角形的性质
如图所示,一枚“燕尾式”飞镖的尖端A钉入木头,经测量 ∠ABD=15°,∠BDC=90°,∠ACD=25°,由直角三角形的两锐角互余,可知∠DBC+∠DCB=90°,由内角和定理可知 ∠A=180°-15°-90°-25°=50°.
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线.
第四章三角形
2 图形的全等
知识点全等图形的定义
如图所示,用彩色复印机复印东西时,用同一个原件复印出来的文件放在一起能完全重合,是全等图形.
知识点全等图形的定义

2019北师大版七年级数学下册知识点归纳：第四章三角形

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北师大版七年级下册数学期末复习-第四章三角形

北师大版七年级数学下册知识点归纳：第四章三角形

北师大七年级下册数学第四章全等三角形的概念和性质(基础)

北师大版七年级数学下册第四章 三角形 小结与复习

精编北师版数学七年级下册 第四章 三角形

北师大版七年级数学下册知识点归纳：第四章三角形

七年级数学(下)四、五章知识点(北师大版)

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七年级数学下册 第四章 三角形 1 认识三角形 三角形的认识讲义(新版)北师大版

北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)

北师大版七年级下册数学各章知识点总结(完整详细版)

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(完整版)北师大数学七年级下册第四章三角形及其性质(基础)

北师版初中数学七年级下册素养课件 第四章 三角形

北师大版七年级数学下册第四章三角形小结与复习

精编北师版数学七年级下册第四章三角形

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七年级数学下册第四章三角形 1 认识三角形三角形的认识讲义(新版)北师大版

北师版初中数学七年级下册素养课件第四章三角形