圆锥曲线的离心率
圆锥曲线之求解离心率
一、快速求离心率的两种技巧 1. 赋值法适用于知道c b a ,,中两者之间的关系，如b a 2=,令12==b a ,,则233==e c , 2. 齐次式（等式两边次数和相同）如ac b 22=,则ac c a 222=-,该式左右两边次数之和都是二次,因此同乘21a 得e e 212=-,解得21+-=e （负值舍去）如22442c a c a =-应同乘41a ,2333ac c a =-应同乘31a注意:齐次式的方法必须消去b ,如222422c ab b a c b a =++⇒=+就无法用此法, 应该222222244442c a ac a c b ac a c b a c -=-+⇒=-+⇒=- 二、利用顶角求离心率的取值范围在椭圆中,顶角∠211F P F 最大. 证明:设∠θ=21PF F ,由余弦定理知()1412422424222222222-≥-=--+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m b mn b mn mn c n m mn c n m θcos 当且仅当n m =,θcos 取得取最小值.又因为(]πθ，0∈,θcos 单调递减,所以θcos 取得取最小值时,θ最大,此时a n m ==,=θ∠211F P F .例1. 椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 为其上一点,且∠321π=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .例2.（2017全国I,12）设B A ,是椭圆1322=+my x C :长轴的两个端点,若C上存在点M 满足∠︒=120AMB ,则m 的取值范围是A . (][)+∞⋃,,910B . (][)+∞⋃,,930C . (][)+∞⋃,,410D . (][)+∞⋃,,430变式1：若B A ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,长轴的两个端点,Q 为椭圆上的一点,使∠︒=120AQB ,求此椭圆离心率最小值为 .变式2:已知21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a b y a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,且∠9021=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .三、利用焦半径求离心率取值范围在椭圆中,21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,则c a PF c a +≤≤-2同理,双曲线中,a c PF -≥2. 例1.椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 是椭圆上一点,且212PF PF =,则此椭圆离心率的取值范围是 . 例2.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,点P 在双曲线的右支上,且214PF PF =,则此双曲线离心率e 的最大值为 .变式1.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,P 是双曲线上异于实轴端点的点,满足1221F PF a F PF c ∠=∠sin sin ,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A . ()3121++, B . ()+∞+,21C . ()212+, D . ()211+,四、利用渐近线求离心率取值范围过双曲线内一点①与双曲线只有一个交点的直线有两条(与渐近线平行)②与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,a b a b③与双曲线左、右两支相交于两点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+-a b a b ,.例1. 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个焦点分别在左右两支上,则双曲线离心率的取值范围是 例2.设双曲线()01222>=-a y ax C :与直线1=+y x l :相交于两个不同的点B A ,,求双曲线C 的离心率e 的取值范围.变式 1. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A . (]21,B . ()21,C . [)+∞,2 D . ()+∞,2五、椭圆与双曲线共焦点问题 例1.已知共焦点21F F ,的的椭圆与双曲线,它们的一个公共点是P ,若021=⋅P F P F ,则椭圆的离心率1e 与双曲线的离心率2e 的关系式为( ) A .2112221=+e e B . 2112221=-e e C . 22221=+e e D . 22122=-e e变式 1. 设椭圆11022=+y x 双曲线1822=-y x 的公共焦点分别为21F F ,, P 是这两个曲线的交点,则21F PF ∆的外接圆半径为( )A . 1B . 2C . 22D . 3变式 2. 已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且321π=∠PF F ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .334 B . 332 C .3 D . 3 六、圆锥曲线再论共焦点模型设椭圆和双曲线的长半轴分别为21a a ,,由椭圆和双曲线的定义知22112122a PF PF a PF PF =-=+,解得212211a a PF a a PF -=+=例1.椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,它们在第一象限的交点为A ,且21AF AF ⊥,︒=∠3021F AF ,则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A . 2B . 3C .21D .23 例2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为21F F ,,且两条曲线在第一象限的交点为P ,21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若101=PF ,椭圆与双曲线的离心率分别为21e e ,,则121+⋅e e 的取值范围为( )A . ()+∞,1B . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34 C .⎪⎭⎫⎝⎛+∞,56 D . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,910变式1.已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且11PF PF >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,若211F F PF =,则3321e e +的最小值为( )A . 326+B . 226+C . 8D . 6变式2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,都在x 轴上,记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ,若21F PF ∆是以1PF (1F 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为七、圆锥曲线三站共焦点模型设θ221=∠PF F ,在21F PF ∆中,221211212122cb a a PF PFc F F +==+=由余弦定理知,()()()θθθ212421222212121221212221221cos cos cos +-=+-+=-+=PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF F F可得()θθ212212212121cos cos +=+-=b c a PF PF ,θθθθtan cos sin sin 21212121222121b b PF PF S PF F =+==∆ 同理可得,θtan 2221b S PF F =∆ 所以θθtan tan 2221b b =⇒()()222222212222221a c c a a c c a -=-⇒-=-θθθcos sin tan 两边同时除以2c ,得到1222212=+e e θθcos sin 例1.设21e e ,分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和圆锥曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则()2212221e e e e +的值为( ) A .21B . 1C . 2D . 不确定 例2.已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则当211e e 取最大值时,的值分别是( )A .2622, B . 2521, C . 633, D . 342, 变式 1. 已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则2111e e +的最大值为 .变式2.已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同,且离心率互为倒数,21F F ,是它们的公共21e e ,焦点,P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点,若321π=∠PF F ,则椭圆1C 的离心率为A .33 B . 23 C . 22 D . 21八、圆锥曲线线段最值问题空间中定点到圆锥曲线上动点线段长度问题 处理策略:1. 二次函数 2. 参数方程例1. 设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是A . 25B .246+ C . 27+ D . 26九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式椭圆的第二定义:平面上到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e .对椭圆12222=+b y a x ,相对于焦点()0,c F 的准线方程是c a x 2=设过左焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,,过A 向准线ca x 2=作垂线于点D⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=θcos 1211AF c c a e AD e AF e AD AF 解得θcos c a b AF -=21同理可得,θcos c a b BF +=21设()121>=λλAF AF ,得θθθθθθλcos cos cos cos cos cos e e c a c a c a b c a b -+=-+=+-=1122⇒11-+=λλθcos e 即1111BF AF BF AF e +-==和差θcos例1. 双曲线),(:0012222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 与B A ,两点,若FB AF 4=,则C 的离心率为例2. 已知椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的离心率为23,过右焦点F 且斜率为)(0>k k 的直线与C 相交于与B A ,两点.若BF AF 3=,则=k变式 1. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为变式 2. 设椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的右焦点F ,过F 的直线与椭圆C 相交于与B A ,两点,直线l 的倾斜角为︒60,FB AF 2= (1) 求椭圆C 的离心率 (2) 如果215=AB ,求椭圆C 的的方程.十、椭圆的焦半径公式坐标式 设椭圆上一点),(y x A ,则exa AF ex a AF -=+=21例1. 已知ABC ∆是椭圆192522=+y x 的内接三角形,F 是椭圆的右焦点,且ABC ∆的重心在原点0,则C B A ,,三点到F 的距离之和为( )A . 9B . 15C . 12D . 8变式1. 已知椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21F F ,,P 为椭圆上一动点. (1) 求21PF PF 的取值范围； (2) 求21PF PF ⋅的取值范围.九、快速求离心率的两种技巧 十、利用顶角求离心率的取值范围 例1.解:由题意知,有一点P 使∠321π=PF F ,则椭圆的顶角∠3211π≥F P F ,所以∠621π≥F OP ,又因为a c F OP =21sin ,则21621=≥=πsin sin a c F OP 故⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈121,e例2.变式1.变式2.十一、利用焦半径求离心率取值范围例1.例2.变式1.十二、利用渐近线求离心率取值范围例1变式1十三、椭圆与双曲线共焦点问题例1变式2十四、圆锥曲线再论共焦点模型例1例2变式1变式2十五、圆锥曲线三站共焦点模型例1例2变式1变式2十六、圆锥曲线线段最值问题例1九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式例1例2变式1变式2十、椭圆的焦半径公式坐标式例1变式1。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
圆锥曲线离心率的求法教案
圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题四、教学方法1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度五、教学过程1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识教案首页：圆锥曲线离心率的求法教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题教学内容：1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题教学方法：1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度教学过程：1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对圆锥曲线概念及性质的理解程度，以及对离心率定义和求法的掌握情况。
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。
解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()解法３:利用三角函数有界性 记||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有解法4:利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有演练一、直接求出或求出a与ｂ得比值,以求解。
在椭圆中,,1、已知椭圆得长轴长就是短轴长得2倍,则椭圆得离心率等于_＿＿＿＿2、已知椭圆两条准线间得距离就是焦距得２倍,则其离心率为_____３、若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆得离心率为＿___4、已知矩形ＡBＣD,AＢ=4,BC＝3,则以Ａ、Ｂ为焦点,且过C、D两点得椭圆得离心率为＿__5、若椭圆短轴端点为满足,则椭圆得离心率为＿＿_6、、已知则当ｍｎ取得最小值时,椭圆得得离心率为_＿＿_７、椭圆得焦点为,,两条准线与轴得交点分别为,若,则该椭圆离心率得取值范围就是____＿＿_＿_8、已知F１为椭圆得左焦点,Ａ、B分别为椭圆得右顶点与上顶点，P为椭圆上得点,当ＰF1⊥F1A,PO∥AB(Ｏ为椭圆中心)时,椭圆得离心率为＿__＿_______9、P就是椭圆＋=1（a>b＞0)上一点,就是椭圆得左右焦点,已知椭圆得离心率为＿＿＿__10、已知就是椭圆得两个焦点,P就是椭圆上一点,若，则椭圆得离心率为____＿＿_１1、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为，焦点到相应准线得距离为1,则该椭圆得离心率为_＿＿_＿__二、构造得齐次式,解出1.已知椭圆得焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆得离心率就是____２.以椭圆得右焦点F２为圆心作圆，使该圆过椭圆得中心并且与椭圆交于M、Ｎ两点,椭圆得左焦点为F1,直线ＭF１与圆相切，则椭圆得离心率就是____＿３.以椭圆得一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆得中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣ＭF∣=∣MO∣,则椭圆得离心率就是_＿__＿4.设椭圆得两个焦点分别为F1、、F2,过F２作椭圆长轴得垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆得离心率就是____＿５.已知Ｆ１、F2就是椭圆得两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直得直线交椭圆于A、Ｂ两点,若△ABF2就是正三角形,则这个椭圆得离心率就是_＿_＿_三、寻找特殊图形中得不等关系或解三角形。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
关于有心圆锥曲线离心率的几何意义
关于有心圆锥曲线离心率的几何意义
有心圆锥曲线是一种椭圆形的曲线，它是由一个圆锥和一个圆组成的，它的离心率是指椭圆形的长轴和短轴之间的比值。
有心圆锥曲线是一类三维曲线，其中包含一个参数称为离心率（eccentricity）。
离心率是一个量化曲线形状的参数，取值范围为 0≤e<1。
当 e=0 时，有心圆锥曲线是一个圆锥。
当 0<e<1 时，有心圆锥曲线的形状介于圆锥和扁平的圆台之间。
当 e=1 时，有心圆锥曲线是一个扁平的圆台。
有心圆锥曲线的离心率是一个重要的几何参数，它可以用来衡量椭圆形的形状。
如果离心率越大，椭圆形就越扁，反之，如果离心率越小，椭圆形就越圆。
有心圆锥曲线的离心率也可以用来衡量椭圆形的偏心程度。
如果离心率越大，椭圆形就越偏心，反之，如果离心率越小，椭圆形就越对称。
有心圆锥曲线的离心率也可以用来衡量椭圆形的面积。
如果离心率越大，椭圆形的面积就越大，反之，如果离心率越小，椭圆形的面积就越小。
总之，有心圆锥曲线的离心率是一个重要的几何参数，它可以用来衡量椭圆形的形状、偏心程度和面积。
它是椭圆形的一个重要特征，可以用来描述椭圆形的特性。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线离心率及范围问题
因为 MH
OF2 ，所以， OF2
MH
OM
MF2 , MH
ab c
，即 M
点纵坐标为
ab c
，
将M
点纵坐标带入圆的方程中可得
x2
a2b2 c2
b2
，解得 x
b2 c
,M
b2
c
,
ab c
，
将M
b4
点坐标带入双曲线中可得
a2c2
a2 c2
1，
化简得 b4 a4 a2c2 ， c2 a2 2 a4 a2c2 ， c2 3a2 ， e c 3 ，选 D. a
PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为（
A．1 3 2
B． 2 3
） C． 3 1 2
D． 3 1
【答案】 3 1
【解析】设椭圆焦点在 x 轴上，则椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0.
因为 F2PF1 90 ， PF2F1 60 ， F1F2 2c ，所以 PF2 c ， PF1 3c
因为 MF1 3 MF2 ， M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知 MF1 MF2 2a ， 即 3 MF2 MF2 2a ， MF2 a 因为圆 x2 y2 b2 的半径为 b ， OM 是圆 x2 y2 b2 的半径，所以 OM b ， 因为 OM b, MF2 a,OF2 c, a2 b2 c2 ， 所以 OMF2 90 ，三角形 OMF2 是直角三角形，
设 F1 为椭圆右焦点， F2 为椭圆左焦点，则 PF1 PF2 2a ，所以 3 1 c 2a ，
所以 e c 2 2 3 1 3 1.故选 D. a 3 1 3 1 3 1
高中数学圆锥曲线离心率知识点归纳总结
⾼中数学圆锥曲线离⼼率知识点归纳总结
基础知识点记忆
离⼼率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张⼝⼤⼩”的⼀个重要数据。
求离⼼率或取值范围题型综合性强，是解析⼏何的⼀个难点！
求离⼼率的常⽤⽅向
【具体⽅法】
1、利⽤椭圆上⼀点 P(x,y)坐标的取值范围，构造关于 a,b,c 的不等式
关于a,b,c 不等式
3、利⽤圆锥曲线的“焦三⻆形”+余弦定理+均值不等式
4、利⽤圆锥曲线的定义，结合完全平⽅数（式）⾮负的属性构造关于a,b,c 的不等式
5、将题中已知不等关系巧妙转化为关于 a,b,c 的不等式
6、利⽤圆锥曲线参数⽅程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c 的不等式
与离⼼率有关的⼆级结论。
学霸教你学数学：圆锥曲线的离心率
学霸教你学数学：圆锥曲线的离心率圆锥曲线的离心率问题，必须熟练掌握基本的关系、性质、公式：椭圆：a^2=b^2+c^2;双曲线：c^2=a^2+b^2;离心率公式：e=c/a.一、圆锥曲线离心率的计算B解析：此题考查了双曲线的离心率。
离心率的计算、离心率的范围和几何意义是圆锥曲线小题考查的重点，这道题目直接计算。
y=b/c *(x+c) y=b/a * x联立得Q的横坐标X p=ac/(c-a)y=b/c *(x+c) y=-b/a * x联立得P的横坐标X q=-ac/(c+a)PQ中点的坐标为( a^2*c/(c^2-a^2) , b*c^2/(c^2-a^2) )得到PQ的中垂线为y=-c/b(x-a^2*c/(c^2-a^2))+b*c^2/(c^2-a^2)这条直线经过点(3c,0)代入即得e=sqrt(6)/2.二、圆锥曲线离心率范围的计算这里有几个需要注意的地方：1、准线方程，(+-)a^2/c；2、圆锥曲线上的点到焦点的距离，焦点弦的弦长公式，e(x-a^2/c)(右焦点)，e(x+a^2/c)(左焦点)；3、解离心率的根本方法：零齐次化，将不等式中的未知量乘除a或c化为c/a的形式，那么不等式就变成了仅关于e的不等式，就可以解出e的范围。
解析：根据上面的注意点可以知道：|MN|=2a^2/c, 2|F1F2|=4c,根据不等式解出e的范围是[(1/2)^(1/2),1).三、运用几何关系构造离心率满足的不等式解析：中垂线很容易让我们想到线段相等，所以在这道题目中运用这个性质是一个关键。
在这张简陋的草图上我们可以看见PF2=F1F2=2c，我们又用到了准线方程x=a^2/c,所以说准线方程很重要。
这里的一个最后的难点就是如何看“在准线上存在那么一个点P”，如果存在那么一个点P，就可以构成一个以PF2为直角边的直角三角形，在直角三角形中斜边大于直角边，由此得到式a^2/c-c<2c，我们进一步来看一下边界的情况如果P是准线和x轴的交点，那么就是斜边等于直角边的状况。
圆锥曲线离心率的求解方法
陈 永 丽
（ 苏州 市吴 中 区东 山 中学 ， 苏 苏 州 江 ２００ ） １ １７
Ｊ
摘 要 ：离 心 率 在 圆 锥 曲 线 问题 中有 着 重 要 的 应 用 ， 它 的 变化 会 直 接 导 致 曲 线 类 型 和 形 状 的 变化 ， 围绕 求 圆锥 曲 线 离心 率 的 有 关 问题 在 近 几 年 的 高 考 题 中屡 次 出现 ，本 文 结 合 高 考 试 题 和 各 类 模 拟 试 题 来 阐述 解 决 这 类 问题 的一 些 方 法 。
，
的 交 点 Ｍ恰 为 线 段 Ｏ Ｔ的 中 点 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为 图２ （０ ９ 江 苏 省 高 考 题 ） ２０ 年 解 析 ： － ， ） Ｂ （ ， ｂ ， ０， ） Ｆ ｃ ０ 设Ａ （ ａ ０ ， ｉＯ － ） Ｂ （ ｂ ， （ ， ）
一
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一
３
、
这 一 类 型 的 题 目要 根 据 题 设 条 件 ，借 助 ａｂ ｃ ． 的 关 、 、２ 间 系 ， 通ａｃ 沟 、 的关 系 ， 到 关 于ａ ｃ 二 次 齐 次 式 ， 而 得 到 关 得 、的 进 于ｅ 一元 二次 方 程 ， 而 解 得 离 心 率 ｅ 的 从 ． 例 ２如 图 ２ 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘ ｙ ， Ａ ， 。Ｂ 为 椭 圆 ． ， ｏ 中 Ａ ， Ｂ ， ２ ● ＝ （＞ ＞ ） 四个 顶 点 ， ＋ １ａ ｂ ０ 的
文 中共 介 绍 了五 种 求 圆锥 曲 线 的 方 法 。 关键词 ： 圆锥 曲线 离 心 率 求解 方 法
所 以 可 将 Ｍ点 的 坐 标 代 入 椭 圆 方
２ ２
圆锥曲线的离心率范围
圆锥曲线的离心率范围
圆锥曲线是平面上由一个动点到两个定点的距离之比保持不变的点的集合。
其中，离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数。
离心率越接近0，圆锥曲线越接近于圆形；离心率越接近1，圆锥曲线越接近于椭圆形；离心率等于1，圆锥曲线为抛物线；离心率大于1，圆锥曲线为双曲线。
关于圆锥曲线的离心率范围，有以下结论：
1. 对于椭圆形的圆锥曲线，其离心率范围为0到1，即离心率小于1。
2. 对于抛物线的圆锥曲线，其离心率恒为1。
3. 对于双曲线的圆锥曲线，其离心率范围大于1。
因此，离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，通过离心率的大小可以判断圆锥曲线的种类和形状。
对于椭圆形的圆锥曲线，离心率越接近于0，形状越接近于圆形；对于双曲线的圆锥曲线，离心率越大，形状越扁平。
- 1 -。
圆锥曲线离心率问题
圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也表现了参数a, c 之间的联系。
一、基础知识：1、离心率公式：e c（此中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：e 0,1（2）双曲线：e 1,+2、圆锥曲线中a,b, c的几何性质及联系（1）椭圆：a2b2c2，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1PF22a②2b ：短轴长③ 2c :椭圆的焦距（2）双曲线：c2b2a2① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF1PF22a②2b ：虚轴长③ 2c :椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要环绕找寻参数 a, b, c 的比率关系（只要找出此中两个参数的关系即可），方法往常有两个方向：（1）利用几何性质：假如题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线构成的三角形），那么可考虑追求焦点三角形三边的比率关系，从而两条焦半径与 a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：假如题目中的条件难以挖掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 a,b,c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在找寻不等关系时往常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）能否有范围要求：比如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
假如问题环绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 a, b, c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的打破口（2）若题目中有一个中心变量，则能够考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）经过一些不等关系获得对于a, b, c的不等式，从而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： e 0,1 ，双曲线： e 1,+二、典型例题：例 1：设F1, F2 x 2 y 21 a b 0 的左、右焦点，点P分别是椭圆 C : 2b 2a在椭圆 C 上，线段PF1的中点在y 轴上，若PF1F230o，则椭圆的离心率为（）A．3B．3C．1D．1 363 6思路：此题存在焦点三角形VPF1 F2，由线段PF1的中点在y 轴上，O 为F1F2中点可得PF2∥ y 轴，从而 PF2 F1F2，又因为PF1F2 30o，则直角三角形VPF1F2中，PF1 : PF2 : F1F2 2:1:3，且2a PF1 PF2 ,2 cc 2c F1 F2 3 F1F2，因此e2a PF1 PF2 3a答案： A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其余中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。
圆锥曲线离心率的求法教案
圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念，掌握圆锥曲线的标准方程。
2. 掌握离心率的定义，了解离心率与圆锥曲线的关系。
3. 学会运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。
4. 能够运用离心率解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及标准方程2. 离心率的定义及性质3. 公式法求解圆锥曲线的离心率4. 待定系数法求解圆锥曲线的离心率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的标准方程，离心率的求解方法。
2. 难点：待定系数法求解圆锥曲线的离心率，应用实例的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的概念、标准方程及离心率的定义。
2. 利用案例分析法，分析求解圆锥曲线离心率的公式法和待定系数法。
3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4. 开展小组讨论法，培养学生的合作意识，提高学生的创新能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过复习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，引出圆锥曲线的概念及标准方程。
2. 讲解圆锥曲线的标准方程，阐述离心率的定义及性质。
3. 讲解求解圆锥曲线离心率的公式法，并通过实例演示求解过程。
4. 讲解求解圆锥曲线离心率的待定系数法，并通过实例演示求解过程。
5. 开展练习环节，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，要求学生掌握圆锥曲线的标准方程，熟练运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。
六、教学评价1. 评价学生对圆锥曲线概念和标准方程的理解程度。
2. 评价学生对离心率定义和性质的掌握情况。
3. 评价学生运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线离心率的能力。
4. 评价学生在实际问题中运用离心率解决问题的能力。
七、课后作业1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固圆锥曲线标准方程和离心率的求解方法。
2. 请学生选取一个实际问题，运用离心率解决，并将解题过程和答案写成报告。
《圆锥曲线的离心率》复习
《圆锥曲线的离心率》复习学习目标 1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题．一、定义法例1已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，若过F 1(－c ，0)的直线与圆x 2＋y 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．答案33解析如图，设过F 1(－c ，0)的直线与圆x 2＋y 2相切于点Q ，则OQ ⊥PF 1，由于|OQ |＝12|OF 1|，所以∠PF 1F 2＝30°，因为PF 2垂直于x 轴，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝|PF 2|2c ，所以|PF 2|＝23c 3，则|PF 1|＝43c3，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以23c 3＋43c3＝2a ，化简得a ＝3c ，所以离心率e ＝c a ＝13＝33.反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出a ，c 或列出关于a ，c 的等式，得到关于e 的方程，进而求出e .跟踪训练1设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为__________．答案53解析不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝＋1＝53.二、几何法例2设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.13D.16答案A解析如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线．所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|，|F 1F 2|＝3|PF 2|.由椭圆定义得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|，即a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|，即c ＝3|PF 2|2，则e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.反思感悟涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．跟踪训练2设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．答案3解析根据双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，PF 1|＋|PF 2|＝6a ，PF 1|－|PF 2|＝2a ，PF 1|＝4a ，PF 2|＝2a .又∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|最小．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得4a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos 30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2.等式两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.三、寻求齐次方程求离心率例3(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．答案5－12解析在△ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c .由AB ⊥BF 得|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，即a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，整理得a 2＋b 2＝c 2＋2ac ，将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.因为0<e <1，所以e ＝5－12.(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案2解析如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a ，b ，c 的关系式，结合a ，b ，c 之间的关系，化简为参数a ，c 的关系式进行求解．跟踪训练3已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为()A.2B．2C.2＋1 D.2－1答案C解析如图所示，∵两条曲线交点的连线过点F ，∴两条曲线交点为p2，±p代入双曲线方程得p 24a 2－p 2b 2＝1，又p 2＝c ，∴c 2a 2－4×c 2b2＝1，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－6e 2＋1＝0，又e >1，∴e 2＝3＋22＝(1＋2)2，∴e ＝2＋1.四、求离心率的取值范围例4已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，则离心率e的取值范围为()A．[3，＋∞)B．[5，＋∞)C．(1，3]D．(1，5]答案D解析依题意得，点(a ，0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ，∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤ 5.又e >1，∴1<e ≤ 5.反思感悟求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．跟踪训练4已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1—→·PF 2—→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．答案33，22解析设P (x ，y )，则PF 1—→·PF 2—→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入上式，解得x 2＝2c 2－b 2a 2c 2＝3c 2－a 2a 2c 2.又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝ca∈33，22.1．知识清单：(1)圆锥曲线的离心率的求法．(2)圆锥曲线的离心率的范围问题．2．方法归纳：定义法、数形结合．3．常见误区：忽略离心率的范围导致出错．1．已知双曲线x 2－y 23＝1，则离心率等于()A．3 B.62C.52D．2答案D解析由双曲线方程可知c 2＝4，所以e ＝ca＝2.2．(多选)已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线E 的离心率为()A.52B.5C.533D.355答案AB解析若双曲线焦点在x 轴上，由渐近线方程为y ＝±2x ，得ba ＝2，∴e ＝c a＝＝5；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为y ＝±2x ，得ab ＝2，∴e ＝c a＝＝52.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55答案C解析设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4，1)，解得b 2a 2＝14，e ＝32.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点(不在坐标轴上)，Q 是∠F 1PF 2的角平分线与x 轴的交点，若|QF 2|＝2|OQ |，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析∵|QF 2|＝2|OQ |，∴|QF 2|＝23c ，|QF 1|＝43c .∵PQ 是∠F 1PF 2的角平分线，∴|QF 1||QF 2|＝|PF 1||PF 2|＝2，则|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a3.由a －c <2a 3<a ＋c ，可得e ＝c a >13.又0<e 练习1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为()A.35B.45C.54D.53答案C 解析因为双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，所以2c ＝10，c ＝5，所以a 2＝c 2－9＝16，所以a ＝4.所以离心率e ＝54.2．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为()A.52B.54C.2D．2答案A解析由椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴在双曲线中，e 2＝a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F 1AF 2＝34，则椭圆的离心率e 等于()A.12B.22C.14D.24答案D 解析设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c (c >0)，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1的坐标为(－c ，0)，右焦点F 2的坐标为(c ，0)，依题意，不妨设点A 的坐标为(0，b )，在△F 1AF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|·cos∠F 1AF 2，∵cos∠F 1AF 2＝34，∴4c 2＝2a 2－2a 2×34＝12a 2，∴e 2＝c 2a 2＝18，解得e ＝24.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线l ：y ＝2x 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点A 到直线l 的距离是1，且|MF |＋|NF |＝6，则椭圆C 的离心率是()A.13B.53C.253D.23答案D解析由椭圆方程可得，A (0，b )，因为点A 到直线l ：y ＝2x 的距离是1，所以|b |22＋1＝1，解得b ＝5，记椭圆的右焦点为F 1，连接MF 1，NF 1，由椭圆的对称性可得，|MF 1|＝|NF |，再由椭圆的定义可得，2a ＝|MF 1|＋|MF |＝|NF |＋|MF |＝6，所以a ＝3，则c ＝9－5＝2，故离心率为e ＝c a ＝23.5.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则5a 2＋2e23b(其中e 为椭圆C 的离心率)的最小值为()A.533B.523C.5D.253答案B解析如图，连接PF 1，OQ ，由OQ 为△F 1PF 2的中位线，可得OQ ∥PF 1，|OQ |＝12|PF 1|，由圆x 2＋y 2＝b 2，可得|OQ |＝b ，即有|PF 1|＝2b ，由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，可得|PF 2|＝2a －2b ，又OQ ⊥PF 2，可得PF 1⊥PF 2，即(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，即b 2＋a 2－2ab ＋b 2＝c 2＝a 2－b 2，整理得2a ＝3b ，即b ＝23a ，c ＝a 2－b 2＝53a ，所以e ＝c a ＝53，则5a 2＋2e 23b ＝5a 2＋1092a＝a ≥12·25a ·109a ＝523.当且仅当5a ＝109a ，即a ＝23时，取得最小值523.6．(多选)在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为()A.14B.12C．35－6D.34答案BCD解析设椭圆的焦距为2c (c >0)，PF 1|＝3|PF 2|，PF 1|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝3a 2，|PF 2|＝a 2，a －c ，a ＋c ，解得e ＝c a ≥12，又0<e <1，所以12≤e <1，所以该椭圆离心率的取值范围是12，1BCD.7．已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|＝52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为________．答案2或103解析若渐近线的方程为y ＝bax ，则点P因为|PA 2|＝52|A 1A 2|，所以＋a 2＝5a 2，则＝4，所以a b＝3，从而e ＝1＋b 2a 2＝103.若渐近线的方程为y ＝－bax ，则点P －a 2b ，e ＝ 2.8．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为________．答案6解析设椭圆对应的参数为a 1，b 1，c ，双曲线对应的参数为a 2，b 2，c ，由于线段PF 1的垂直平分线过F 2，所以有|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c .PF 1|＋2c ＝2a 1，PF 1|－2c ＝2a 2，两式相减得到4c ＝2(a 1－a 2)，即a 1－a 2＝2c ，所以2e 1＋e 22＝2a 1c ＋c 2a 2＝4＋2a 2c ＋c 2a 2≥4＋22a 2c ·c2a 2＝6，当且仅当c ＝2a 2时，等号成立，即最小值为6.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线上存在一点P ，使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝ac，求双曲线的离心率的取值范围．解分析知P 不是双曲线的顶点．在△PF 1F 2中，由正弦定理，得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1.又sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝ac，所以a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即c a |PF 2|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝2a 2c －a.由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c －a ，则2a 2c －a >c －a ，即c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得－2＋1<e <2＋1.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1)．10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F 2为其右焦点，直线B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围．解设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 2(c ，0)．由题意，得A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，则B 2A 2—→＝(a ，－b )，F 2B 1—→＝(－c ，－b )．因为∠B 1PA 2为向量B 2A 2—→与F 2B 1—→的夹角，且∠B 1PA 2为钝角，所以B 2A 2—→·F 2B 1—→<0，所以b 2－ac <0.又b 2＝a 2－c 2，所以a 2－ac －c 2<0，即1－e －e 2<0，解得e <－1－52或e >－1＋52，因为e ∈(0，1)，所以－1＋52<e <1，11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()0，320，34 C.32，1 D.34，1答案A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝4－b 24∈0，32.12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥x 轴，直线PF 1与C 的另一个交点为Q ，若|PF 1|＝4|F 1Q |，则C 的离心率为()A.255B.22C.155D.217答案D解析由题意，可将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得c 2a 2＋|PF 2|2b 2＝1，解得|PF 2|＝b 2a.如图所示，过Q 点作QE ⊥x 轴，垂足为点E ，设Q (x 0，y 0)，根据题意及图可知，Rt△PF 2F 1∽Rt△QEF 1，∵|PF 1||F 1Q |＝4，∴|F 1F 2||EF 1|＝|PF 2||QE |＝4，∴|EF 1|＝|F 1F 2|4＝2c 4＝c 2，∴x 0＝－c －c 2＝－3c2.又∵y 0＝－|QE |＝－|PF 2|4＝－b24a .∴点Q －3c 2，－将点Q 的坐标代入椭圆方程，得9c 24a 2＋b 216a 2＝1.结合b 2＝a 2－c 2，解得e ＝c a ＝217.13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α)，3－1答案A解析椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，设左焦点为F ′.∴|AF ′|＋|AF |＝2a ，根据对称关系知四边形AF ′BF 为矩形，∴|AB |＝|FF ′|＝2c .由于AF ⊥BF ，∠ABF ＝α，∴|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝ca ＝1sin α＋cos α＝12sin由于αα＋π4∈∴2＋64<sin ∴22<12sin<3－1，，3－114．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的内接△ABC 的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点为F ，线段AB 的中点为K ，且CF →＝2FK →，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析由题意可设B (0，b )，F (c ，0)，线段AB 的中点为K ，且CF →＝2FK →，可得F 为△ABC 的重心，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由重心坐标公式可得，x 1＋x 2＋0＝3c ，y 1＋y 2＋b ＝0，设AC 的中点为M (x ，y )，可得x ＝x 1＋x 22＝3c 2，y ＝y 1＋y 22＝－b2，即由题意可得点M 在椭圆内，可得9c 24a 2＋14<1，由e ＝c a ，可得e 2<13，所以0<e <33.15．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为()A.32B．4－23C.3－12D.3－1答案D解析点A ，B 关于原点对称，故以线段AB 为直径的圆的圆心为原点，又圆经过椭圆的右焦点，所以半径为半焦距c ，设A (x 0，y 0)，则结合|OA |＝r ＝c 及y ＝－3x ，得y 0＝－3x 0，x 20＋y 20＝c 2，故A，－32c －12c ，32c ，代入椭圆方程，得14c 2a 2＋34c 2b 2＝1，由b 2＝a 2－c 2化简，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，e 2＝8±82－4×42＝4±2 3.结合0＜e ＜1，得e 2＝4－23，即e ＝3－1.16.如图，已知在梯形ABCD 中，|AB |＝2|CD |，点E 分有向线段AC →所成的比为λ，双曲线经过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．解由题意可知CD ⊥y 轴．∵双曲线经过C ，D ，且以A ，B 为焦点，由双曲线的对称性知C ，D 关于y 轴对称．依题意，记A (－c，0)，E (x 0，y 0)，其中c ＝12|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得x 0＝λ－2c 21＋λ，y 0＝λh1＋λ.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则离心率e ＝ca.∵点C ，E 在双曲线上，∴将点C 的坐标代入双曲线方程得c 24a 2－h 2b2＝1，①将点E 的坐标代入双曲线方程得＝1.②再将e ＝c a 代入①得e 24－h 2b 2＝1，∴h 2b 2＝e 24－1，③将e ＝ca 代入②，得＝1.④将③式代入④式，整理得e 24(4－4λ)＝1＋2λ，∴λ＝1－3e2＋2.由题设23≤λ≤34，得23≤1－3e2＋2≤34，解得7≤e≤10.∴双曲线离心率的取值范围是[7，10]．。
圆锥曲线的离心率与几何特征关系研究
圆锥曲线的离心率与几何特征关系研究圆锥曲线是代数几何学中重要的概念之一，它包括椭圆、抛物线和双曲线。
在研究这些曲线时，我们发现离心率是一个关键的参数，它与曲线的几何特征密切相关。
本文将探讨圆锥曲线的离心率与其几何特征之间的关系。
一、椭圆的离心率与几何特征关系椭圆是圆锥曲线中离心率小于1的情况。
离心率定义为离焦距离与长轴长度的比值。
对于椭圆而言，离焦距离等于两个焦点之间的距离，长轴长度是椭圆的最长直径。
实际上，椭圆的离心率可以通过焦距与长轴的长度关系来计算，即离心率等于根号下1减去焦距平方除以长轴平方。
在几何特征方面，椭圆具有以下特点：1. 椭圆的形状是封闭的，既有内部也有外部；2. 椭圆的长轴和短轴之间存在一种固定的关系，即长轴长度是短轴长度的倍数；3. 椭圆的焦点在椭圆的内部；4. 椭圆的离心率小于1，离心率越小，椭圆越趋近于圆形。
二、抛物线的离心率与几何特征关系抛物线是圆锥曲线中离心率等于1的情况。
与椭圆相比，抛物线的形状更加开放，且没有焦点。
抛物线的离心率定义为离焦距离与准线距离（即焦点到抛物线的最短距离）的比值。
抛物线的几何特征包括：1. 抛物线是开放的曲线，没有封闭的形状；2. 抛物线的焦点在无穷远处，没有固定位置；3. 抛物线与其准线对称；4. 抛物线的离心率等于1，离心率越接近1，曲线越扁平。
三、双曲线的离心率与几何特征关系双曲线是圆锥曲线中离心率大于1的情况。
对于双曲线而言，离焦距离大于准线距离，因此离心率定义为离焦距离与准线距离的比值。
双曲线的几何特征包括：1. 双曲线是开放的曲线，没有封闭的形状；2. 双曲线的两个分支在无穷远处与其渐近线交叉；3. 双曲线与其渐近线对称；4. 双曲线的离心率大于1，离心率越大，曲线越扁平。
综上所述，圆锥曲线的离心率与几何特征之间存在密切的关系。
椭圆、抛物线和双曲线的离心率分别小于1、等于1和大于1，离心率的大小直接影响曲线的形状。
离心率越小，曲线越接近圆形；离心率等于1，曲线为抛物线形状；离心率越大，曲线越扁平。
用圆锥曲线的不变量表示离心率e与半正焦弦p
用圆锥曲线的不变量表示离心率e与半正焦弦p
圆锥曲线是一种重要的椭圆形，用来表示物体在运动状态时的运动轨迹，它的一般形式为e2 = 1 + (a/p) cosφ，这里的e为离心率，p为半正焦距。
离心率e描述的是椭圆的圆形程度，e小时是椭圆形，e大了会变成双曲线，它的大小范围是0 ≤ e ≤ ∞，当e=0时，即椭圆的形状就变成了圆形；半正焦距p是椭圆的形状的相关量，它的大小范围是0 < p < ∞，当p→∞时，即椭圆形状变为直线。
在空间中，圆锥曲线是一种三维空间运动的表示形式，它最常用于天体运动中，比如行星、卫星等。
由于圆锥曲线的两个不变量，离心率e和半正焦弦p，可以很好地描述天体在空间中的运动軌跡，特别是高精度的行星运动，比如太阳系中的行星，可以用圆锥曲线来描述它们运行的轨迹。
此外，圆锥曲线在许多工程和数学计算中也被广泛使用，比如机械制造、建筑设计等等。
综上，圆锥曲线是一种重要的椭圆形，通过它的离心率e和半正焦弦p两个不变量，可以很好地描述天体在空间中运动的轨迹，也常用于工程设计和数学计算中。
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x2 y2 8．已知双曲线 2 2 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双 a b
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 C A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
4.
x2 y 2 (2012· 新课标全国卷)设 F1 ，F2 是椭圆 E： 2 ＋ 2 ＝ a b
B
A.(1,3) ) C.(3,+
A.(1,3)
B. 1,3 B. 1,3
C.(3,+ )
D. D. 3,
D. 3,
课堂训练与检测
1, [2010·辽宁]设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果
直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( A. C. 2 3＋1 2 B. D. 3 5＋1 2
围为 A.(1,3)
2 xx 2 y 2 y2 x2 y 2 2 1 双曲线 2 2 2 2 2 1 （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,若 为其上一点，且 双曲线 2 P 2 1（a＞0,b x a yb a b 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|= a b 双曲线
C
问题二，构造a,c的齐次式求圆锥曲线的离心率
2 2
x y ：设双曲线 2 2 1 （ 0 a b ）的半焦距为 c ， a b 3 ，直线 L 过 a,0 ， 0, b 两点.已知原点到直线的距离为 c
，则双曲线的离心率为( A
A. 2
)
4
2 B. 3 3 2 3 D. 2或 3
问题一，定义法求圆锥曲线的离心率
x2 y2 4 1,已知双曲线 － ＝1 的一条渐近线方程为 y＝ x，则该双 m n 3 5 5 或 . 曲线的离心率为________． 3 4
1 5、已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 2， 2 ＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率——— 心率为 。
课堂小结：
本节课学习的求离心率的方法有哪些？ 1，定义法求圆锥曲线的离心率 2，构造a,c的齐次式求圆锥曲线的离心率 3，运用数形结合建立a,c的不等关系求 圆锥曲线离心率的范围
作业：
1，完成课后演练提升1-7 2，预习圆锥曲线的定义和几何性质
C.
2
2,
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，
)
则该椭圆的离心率是( B
4 A. 5
3 B. 5
2 C. 5
1 D. 5
已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0 的点 M 总
1 B． (0, ] 2 2 C． (0, ) 2 2 D． [ ,1) 2
x2 y2 3， 4．[2012·浙江金华十校模拟]若在双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b
的右支上到原点 O 和右焦点 F 的距离相等的点有两个，则双曲线的 离心率的取值范围是( A．e> 2 C．e>2
C
)
B．1<e< 2 D．1<e|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范 围为
3a 的左、右焦点，P 为直线 x＝ 上一点，△F2PF1 是底角为 30° 2 的等腰三角形，则 E 的离心率为( 1 A. 2 2 B. 3
C )
3 C. 4 4 D. 5
x 2 y2 4 3．[2012·山东聊城]已知二次曲线 ＋ ＝1，则当 m∈[－2， 4 m －1]时，该曲线的离心率 e 的取值范围是( C ) 2 3 A．[ ， ] 3 2 5 6 C．[ ， ] 2 2 2 6 B．[ ， ] 2 2 3 6 D．[ ， ] 2 2
预习检测
1,如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ C ） A.
3 2
B.
6 2
3 C. 2
D 2
2, (05全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,
若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ） A. 2 2 B. 2－1 2 C. 2－ 2 D. 2－1
3a 1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x＝ 上一点，△F2PF1 是底角 2 为 30° 的等腰三角形，则 E 的离心率为( 1 A. 2 2 B. 3 3 C. 4
C )
4 D. 5
揭示目标并导入新课：
1，定义法求圆锥曲线的离心率
2，构造a,c的齐次式求圆锥曲线的离心率
3，运用数形结合建立a,c的不等关系求 圆锥曲线离心率的范围
问题三；运用数形结合建立a,c的不等关系求 离 心率范围
的点 M 总在椭圆内部 则椭圆离心率的取值范围是（ C）
A． (0,1)
x2 y 2 2,点 F 是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点 E 是双曲 a b 线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点， 若△ABE 是锐角三角形， 则双曲线的离心率 e 的取值范围是( B ) A. (1，＋∞) B. (1，2) C. (1，1＋ 2) D. (2，1＋ 2)
D
)
2. 设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1，F2.若曲线 Γ 上存在点 P
满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线 Γ 的离心率等于( A ) 1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2 2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2
3
x2 y2 (2012· 新课标全国卷)设 F1， 2 是椭圆 E：2＋ 2＝1(a>b>0) F a b