武汉市2019届毕业生二月调研测试理科数学(解析版)

湖北武汉2019年高三二月调研考试试题(数学理)word版

湖北武汉2019年高三二月调研考试试题（数学理）word 版本试卷三大题22小题。

全卷共150分。

考试用时120分钟。

本卷须知1、答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。

并将准考证叼条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上无效。

3、非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷上无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

参考公式：球的体积公式：334R V π=〔其中R 表示球的半径〕球的表面积公式S=4πR 2〔其中R 表示球的半径〕线性回归方程ˆˆˆybx a =+中系数计算公式121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑，其中,x y 表示样本均值。

【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项满足题目要求的。

1、复数4212ii+-=〔〕A 、4-5iB 、4+5iC 、-2iD 、2i2、函数21()log f x x x=-的零点所在区间是〔〕A 、1(0,)2B 、1(,1)2C 、(1,2)D 、〔2，3〕3、执行右边的程序框图，假设输出的S 是126，那么条件①能够为〔〕A 、5n ≤B 、6n ≤C 、7n ≤D 、8n ≤4、如图是一正方体被过棱的中点M 、N ，顶点A 和N 、顶点D 、C 1的两上截面截去两个角后所得的几何体，那么该几何体的正视图为〔〕5、由直线6x π=-，曲线cos y x =及x 轴、y 轴所围图形的面积为〔〕A 、2π B 、2C 、2D 、126、非零向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，向量a ，b 的夹角为120︒，且||2||b a =，那么向量a 与c 的夹角为〔〕A 、60°B 、90°C 、120°D 、150°7、函数2()sin cos 2f x x x x =+-的一个单调递减区间是〔〕A 、2[,]33ππ-B 、7[,]1212ππ-C 、7[,]1212ππ D 、2[,]63ππ-8、将n 个不同的小球放入n 个不同的盒子里，恰好有一个空盒的放法种数是〔〕A 、1211n n n n C C A --B 、1111n n n n C C A --C 、111n n n A A --D 、211n n n C A --9、假设直线l 被圆22:2C x y +=所截得的弦长不小于2，那么l 与以下曲线一定有公共点的是〔〕A 、22(1)1x y -+= B 、2212x y += C 、2y x =D 、221x y -=10、定义在R 上的函数()f x 满足以下三个条件：①1(3);()f x f x +=-②对任意12,[3,6]x x ∈，当12x x ≤时，都有12()();f x f x <③(3)y f x =+的图象关于y 轴对称，那么以下结论正确的选项是〔〕A 、(3)(7)(4.5)f f f <<B 、(3)(4.5)(7)f f f <<C 、(7)(4.5)(3)f f f <<D 、(7)(3)(4.5)f f f <<【二】填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分。

湖北省武汉市2019年高三二月调考数学试卷(理科) Word版含解析

湖北省武汉市2018-2019学年高三调考数学试卷（理科）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅3．（5分）若函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，则实数a的取值范围为（）A．a=1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≥04．（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π5．（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1 C．﹣1 D．2﹣7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β8．（5分）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）A．B．C．D．或10．（5分）已知点P为曲线xy﹣x﹣2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．12．（5分）（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为．13．（5分）已知向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），若存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，则实数λ为．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则⊙O的半径R=．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．在极坐标系中，点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．18．（12分）已知{a n}是由正数组成的数列，其前n项和S n与a n之间满足：a n+=（n≥1且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=（）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是△A1B1C1的中心O．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．20．（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=（Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（．精确到0.01）．21．（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求四边形ABF2F1的面积．22．（14分）已知e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）求证ln2＞；（Ⅲ）求证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：复数﹣==﹣1+i的共轭复数为﹣1﹣i，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可．解答：解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}，∴A=（0，+∞）∵B={y|y=（）x，x＞1}，∴B=（0，）∴A∩B=（0，）故选A．点评：本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域．3．（5分）若函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，则实数a的取值范围为（）A．a=1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≥0考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，解参数即可．解答：解：∵函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，∴ax﹣2≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≥在[2，+∞）恒成立，∵0＜≤1，∴a≥1，故选：C．点评：本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的定义域是解决本题的关键．4．（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥被轴截面截去一半所剩的几何体，结合数据求出该几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．故选：B．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．5．（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，在第一次抽到次品后，还有有2件次品，7件正品；则第二次抽到正品的概率为P=．故选：B．点评：本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制．6．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1 C．﹣1 D．2﹣考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可解答：解：∵==cosx﹣sinx，∴dx=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=+﹣0﹣1=﹣1故选：C点评：本题考查了定积分的计算和三角函数的化简，属于基础题7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断．解答：解：A不正确，比如教室的一角三个面相互垂直；B不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；C不正确，由线面平行的性质定理知可能n⊂α；D正确，由m∥n，m⊥a得n⊥α，因n⊥β，得α∥β故选D．点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感．8．（5分）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．解答：解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则有•=•+•=+=﹣（m2﹣4n2）=﹣×4=﹣．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）A．B．C．D．或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式变形后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答：解：∵在△ABC中，b2+a2=c2+ab，即b2+a2﹣c2=ab，∴cosC==，则C=，故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知点P为曲线xy﹣x﹣2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A．B．C．D．考点：两点间的距离公式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据两点间的距离公式，利用配方法进行转化即可得到结论．解答：解：设P（x，y），则|OP|===≥，当且仅当，即取等号，故|OP|的最小值是，故选：A．点评：本题主要考查两点间的距离的求解，利用配方法将式子进行配方是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a＞31，a=2不满足条件a＞31，a=4不满足条件a＞31，a=8不满足条件a＞31，a=16不满足条件a＞31，a=32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．12．（5分）（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为﹣75．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：把（1﹣x）10按照二项式定理展开，可得（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数．解答：解：（1+x）（1﹣x）10=（1+x）（1﹣•x+•x2﹣•x3+…+•x10），故（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为﹣+=﹣75，故答案为：﹣75．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．（5分）已知向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），若存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，则实数λ为．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直关系可得（﹣λ）•=0，由坐标运算可得λ的方程，解方程可得．解答：解：∵向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），∴﹣λ=（2+2λ，﹣7+4λ），∵存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，∴（﹣λ）•=﹣2（2+2λ）﹣4（﹣7+4λ）=0，解得λ=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．若a=0，则目标函数为z=﹣x，即x=﹣z，此时满足目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，若a≠0，则由z=（a﹣1）x+ay得，y=x，若a＜0，此时目标函数的斜率k=＜0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点A（﹣1，0）时，直线截距最小，z最大，若a＞0，要使目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则满足目标函数的斜率k=≥1，即a≤，此时满足0≤a≤，综上a≤，故实数a的取值范围是（﹣∞，]故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则⊙O的半径R=5．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：过点O作OC⊥AB，交AB于点C，连结OA，由垂径定理和勾股定理求出OC⊥AB，PC=PA﹣AC=，OC=，由此能求出⊙O的半径R．解答：解：过点O作OC⊥AB，交AB于点C，连结OA，∵AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，∴OC⊥AB，PC=PA﹣AC=4﹣=，∴OC===，∴R=OA===5．故答案为：5．点评：本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理和勾股定理的合理运用．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．在极坐标系中，点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离是3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，﹣）化为P，即P．直线l：ρsin（θ﹣）=1化为：=1，x﹣y+2=0．∴点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离==3．故答案为：3．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由已知可得2sin cos（﹣）+asin=，从而解得a=1，由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+，由周期公式即可求最小正周期T．（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥﹣，由正弦函数的图象解得2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z），即可得f（x）≥0的解集．解答：解：（1）函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，），则有：2sin cos（﹣）+asin=，故解得：a=1，∴f（x）=2sinx•cos（x﹣）+sin（2x+），=2sinx（cosxcos+sinxsin）+sin2xcos+cos2xsin，=2sin2xcos+（2sin2x+cos2x）sin，=sin2x+sin，=sin2x+，∴最小正周期T=…6分（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥﹣，∴2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z），∴f（x）≥0的解集为：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）已知{a n}是由正数组成的数列，其前n项和S n与a n之间满足：a n+=（n≥1且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=（）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由a n+=（n≥1且n∈N*），两边平方化为．当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1．可得a n﹣a n﹣1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）b n=•a n=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）∵a n+=（n≥1且n∈N*），两边平方化为．∴，a1＞0，解得a1=1．当n≥2时，，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}为等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（II）b n=•a n=，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+，∴=+…+，∴=++…+﹣，∴T n=1++…+﹣=﹣=．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是△A1B1C1的中心O．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得B1C1⊥A1O，AO⊥B1C1，由此能证明B1C1⊥面A1AO，从而得到B1C1⊥AA1．（Ⅱ）过B1作B1D⊥AA1，交AA1于D，连结DC1，由已知得∠B1DC1是二面角B1﹣AA1﹣C1的平面角，由此能求出二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵A在底面△A1B1C1上射影是下底面正△A1B1C1的中心O，∴B1C1⊥A1O，又AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，∴B1C1和两相交直线AO，A1O均垂直，∴B1C1⊥面A1AO，又AA1⊂面A1AO，∴B1C1⊥AA1．（Ⅱ）解：过B1作B1D⊥AA1，交AA1于D，连结DC1，∵AA1⊥B1C1，AA1⊥DB1，∴AA1⊥面DB1C1，∴AA1⊥DC1，∴∠B1DC1是二面角B1﹣AA1﹣C1的平面角，又A在底面A1B1C1上的投影是△A1B1C1的中心，∴AA1=AB1=2a，在△AA1B1中，由AA1=AB1=2a，，由面积法知：=，同理DC1=，在△C1DB1中，由余弦定理得cos∠B1DC1==，∴二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．20．（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=（Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（．精确到0.01）．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）利用每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=，结合相互独立事件的概率公式，求这个车间一天内可能获取利润的均值．解答：解：（Ⅰ）∵一天中每台机器发生故障的概率为0.1，∴某一天中有两台机器发生故障的概率为=0.0729；（Ⅱ）∵每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=又P0==0.95，P1==0.5•0.94，∴这个车间一天内可能获取利润的均值P0•12+P1•9+P2•6+（P3+P4+P5）•（﹣6）=P0•12+P1•9+P2•6+（1﹣P0﹣P1﹣P2）•（﹣6）=18P0+15P1+12P2﹣6≈10.42万元．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查相互独立事件的概率公式，正确运用相互独立事件的概率公式，是关键．21．（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求四边形ABF2F1的面积．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对于（Ⅰ），由焦距得c的值，由长轴长得a2的值，结合b2=a2﹣c2，即可得椭圆C 的方程．对于（Ⅱ），延长AB，与x轴交于点M，由BF2为△MAF1的中位线，得M的坐标，由此设直线AB的方程，联立椭圆+=1，消去x，得到关于y的一元二次方程，由韦达定理，得y1+y2及y1y2，又由=2，得y1与y2的关系式，于是得y1，y2，m的值，继而求得x1的值，可得AF1的斜率，即可得直线AF1的方程．对于（Ⅲ），易知四边形ABF2F1为梯形．由（Ⅱ）得x2的值，从而得到|AF1|及|BF2|，再计算点M到直线AF1的距离，即可根据梯形的面积公式计算出梯形ABF2F1的面积．解答：解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意，得，即，从而b2=a2﹣c2=5，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），延长AB，与x轴交于点M，由=2知，BF2为△MAF1的中位线，∴|MF2|=|F1F2|，得M（6，0），如右图所示．设直线AB的方程为x=my+6，联立，消去x，整理，得（9+5m2）y2+60my+135=0，由韦达定理，得．…①又由=2，得（﹣2﹣x1，﹣y1）=2（2﹣x2，﹣y2），∴y1=2y2．…②联立①、②，得，从而，于是AF1的斜率，∴直线AF1的方程为．（Ⅲ）易知四边形ABF2F1为梯形．由（Ⅱ）知，，从而|AF1|==，|BF2|==．又点F2（2，0）到直线AF1：的距离，∴．点评：1．本题综合性较强，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的相交关系及四边形面积的求法等，充分挖掘图形的几何特征是求解本题的突破口．2．对于相交弦问题，常利用根与系数的关系（即韦达定理）探究坐标之间的关系；对于向量共线问题，常共线的充要条件转化为坐标之间的关系．3．对于四边形面积的求解，一般先判断四边形的形状，再确定求解方式，或将四边形转化为两个三角形处理．22．（14分）已知e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）求证ln2＞；（Ⅲ）求证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知可得f′（x）=﹣1+x，当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，得函数f（x）在[0，+∞）上单调性，即可得到函数的最小值；（Ⅱ）可用分析法证明ln2＞；（Ⅲ）亦可用分析法证明ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=ln（x+1）﹣x+，则f′（x）=﹣1+x=，故当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，则函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，故函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值为0；（Ⅱ）证明：要证ln2＞，只需证ln4＞，只需证ln＞，而由（Ⅰ）知ln（x+1）≥x﹣（x≥0）所以ln[1+（﹣1）]≥（﹣1）﹣只需证（﹣1）﹣＞，即需证明4（e﹣1）＞0.9e2而e=2.71828…是自然对数的底数，故4（e﹣1）＞0.9e2恒成立，从而ln2＞得证；（Ⅲ）要证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）成立，只需证ln（n+1）＞﹣（﹣）（n≥1，n∈N）恒成立，只需证2xln（x+1）+＞x（x≥1）恒成立，令g（x）=2xln（x+1）+﹣x（x≥1），则g′（x）=2ln（x+1）+2x•﹣﹣=2ln（x+1）﹣﹣+（x≥1），故g′（x）在[1，+∞）上是增函数所以g′（x）≥g′（1）=2ln2﹣1﹣+＞﹣1﹣+=＞0，故g′（x）在[1，+∞）上是增函数，故g（x）≥g（1）=2ln2+﹣＞+=0，从而2xln（x+1）+＞x（x≥1）恒成立，即ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）成立．点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，解题时要注意导数性质的合理运用以及不等式证明中的分析法的应用．。

武汉市2019届高三毕业生二月调研测试理科数学试题及答案

武汉市 2019 届毕业生二月调研测试理科数学参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
A
C
A
C
B
D
A
C
13
−12
14
e
15
2n −1
17．解析：（1）由 sin 2C + sin A = 0 ，知 2sin C cos C + sin A = 0 ，
10
11
12
C
D
B
5
16
3
2c a2 + b2 − c2 + a = 0,c(a2 + b2 − c2 ) + a2b = 0 ，而 a = 2,b = 3，c(4 + 9 − c2 ) +12 = 0 ， 2ab
18．解法一：（1）Q BDD1B1 为矩形，且平面 BDD1B1 ⊥ 平面 ABCD ，
BB1 ⊥ 平面 ABCD, DD1 ⊥ 平面 ABCD ，在 Rt△DD1C 中， D1C = 5, AD1 = 2, AB1 = 2 ，
在梯形 ABCD 中， DAB = 90, AD = AB = 1, DC = 2, AC = 5, BC = 2 ，从而 B1C = 3 ．
3x y = 0 ，则 b = （
）
A． 2 3
B． 3
C． 3 2
5．执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（
）
A．5
B．12
C．27
开始
D．12 D．58
k = 1, s = 1 k = 2k + 1
k<30? 是 s = s + k 否

武汉市2019届毕业生二月调研测试理科数学(教师版)

武汉市2019届毕业生二月调研测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(34i)7i z +=+，则z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+1．答案：B 解析：7i (7i)(34i)2525i1i 34i (34i)(34i)25z ++--====-++-． 2．已知集合{}240,{|0}A x x x B x x =-=>≤，则A B =（）A ．(0,4]B ．[0,4]C ．[0,2]D ．(0,2]2．答案：A解析：由240x x -≤，得240x x -≤，即()40x x ⋅-≤，所以4,44x x -≤≤≤，即[4,4],(0,),(0,4]A B AB =-=+∞∴=．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 的公差d =（） A ．2 B ．32C ．3D ．43．答案：C 解析：515456010902S a d d ⨯=+=+=，解得3d =．4．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>0y ±=，则b =（）A ． BC D ．124．答案：A解析：由双曲线方程可知其渐近线方程为2b y x =±，又渐近线方程为y =，所以2bb ==． 5．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（） A ．5B ．12C ．27D ．585．答案：C解析：11371527s =++++=． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A ．23πB ．43π C ．2πD ．6．答案：B解析：该几何体有两个圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r =，高2h =，所以该几何体的体积为2142(1)233V ππ=⨯⨯⨯⨯=．7．已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是（） A ．35B ．45C ．720D ．13207．答案：D解析：恰有两种颜色的概率1221212123232131366313132020C C C C C C C C P C ++++++===．也可以从反面考虑：11132313366113112020C C C C P C ++=-=-=． 8．在ABC △中，0,4,5,AB AC AB BCD ⋅===为线段BC 的中点，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则AE CB ⋅=（） A ．72B ．74C ．74-D ．78．答案：A22AC BC AB =-=)272CB AD CBAC ⋅=⋅=0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为（）C ．2D ．4解析：当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，则由题意可得842πππω+≤，解得2ω≤，即ω的最大值为2．10．已知,A B 为抛物线24yx =上两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则AB 的最小值为（） A ． B ．C ．8D ．10．答案：C解析：设221122(,2),(,2)A t t B t t ，则21212()40OA OB t t t t ⋅=+=，解得120t t =（舍去）或124t t =-，所以AB ===8=，当且仅当214t =时等号成立，所以AB 的最小值为8．解法2：特值法，当OA OB =，即直线OA 的倾斜角为45︒时，AB 取得最小值，联立24y x y x=⎧⎨=⎩，得(4,4)A ，同理可得(4,4)B -，所以8AB =．11．若,x y 满足约束条件22236x y y x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤，则(1)x y +的取值范围为（）A ．[3,0]-B ．93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．93,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．答案：D解析：由22236x y y x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤，得2226236x y y x -+⎧⎨--⎩≤≤≤≤，作可行域如图所示，其中331,,(2,0),1,,(2,0)22A B C D ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)z x y=+表示以点(,)x y 和(1,0)-的连线段为对角线的长方形的面积（可为负值），当(,)x y 位于线段3:2202AD x y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≤≤时， 2(1)(23)23z x y y y y y =+=-+=-+，因为302y ≤≤，所以90,8z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当(,)x y 位于线段36:(12)2x CD y x -=≤≤时，23(1)(2)[3,0]2z x y x x =+=--∈-；当(,)x y 位于线段3:2202BC x y y ⎛⎫=---⎪⎝⎭≤≤时，21(1)(21)23,8z x y y y y y ⎡⎤=+=--=--∈-⎢⎥⎣⎦；当(,)x y 位于线段36:(21)x AB y x +=--≤≤时，233(1)(32),0z x y x x ⎡⎤=+=++∈-．所以22121(1)2z t t z t -⎧=⎪+⎪⎨⎪-=-+⎪⎩，解得1298t z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即max 98z =，当1z y x =+过点31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值min 3(11)32z ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭．综上可知，(1)z x y =+的取值范围是93,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．12．已知函数()ln()(0)x f x e a ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．2(0,]e B ．2(0,)eC ．2[1,]eD ．2(1,)e12．答案：B解析：函数()f x 的定义域为(1,)+∞，由()ln()0xf x e a ax a a =--+>，得1ln()xe ax a a+>-，函数1xe y a =-与函数ln()y ax a =-互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以要使得()0f x >恒成xx x 则2(2)()(1)x e x g x x -'=-，可知当2x =时，2(0,)e ．项的系数为．13．答案：12-解析：展开式中含7x 的项为161777(2)212x C x x x ⋅-+=-，故展开式中7x 项的系数为12-．14．函数ln()y x x a =+在点(0,0)处的切线方程为y x =，则实数a 的值为． 14．答案：e 解析：ln()xy x a x a'=+++，当0x =时，ln 1y a ==，解得a e =． 15．已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为n a = ． 15．答案：21n -解析：当2n =时，221224(3)16,4,3S a S a =+=∴==；当3n =时，232334(3)36,9,5S a S a =+===，当4n =时，243334(3)64,16,7S a S a =+===，猜想得21n a n =-，经验证，当21n a n =-时，2123,n n a n S n -=-=，满足214(3)n n S a -=+．故21n a n =-，下面用数学归纳法证明：①11a =，23a =，满足21n a n =-，②设n k ≤时，结论成立，即21k a k =-，2k S k =，则22222211114(3)(22)4(1),(1),(1)21k k k k k k S a k k S k a S S k k k ++++=+=+=+∴=+=-=+-=+2(1)1k =+-，也满足21n a n =-，结合①②可知，21n a n =-．16．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点A 关于平面1BDC 的对称点为M ，则M 到平面 1111ABCD 的距离为．16．答案：53解析：将正方体1111ABCD A BC D -再叠加一个正方体，构成如图所示的正四棱柱11112222A B C D A B C D -，则平面1BDC 即为平面21A BC D ，连接2AC ，与平面2A BD ，平面22B CD 交于,P Q 两点，易证得平面2//A BD 平面22B CD ，且2AC ⊥平面2A BD ，2AC ⊥平面22B CD ，且,P Q 两点是线段2AC 的两个三等分点，所以点Q 即为点A 关于平面1BDC 的对称点为M ，易知点Q 平面1111A B C D 的距离为53．AC A 12A三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2,3,sin 2sin 0a b C A ==+=．（1）求c ；（2）求ABC △的面积． 17．解析：（1）由sin 2sin 0C A +=，知2sin cos sin 0C C A ⋅+=，222222220,()02a b c c a c a b c a b ab+-∴⋅+=∴+-+=，而2,3a b ==，2(49)120c c ∴+-+=，即313120,(1)(3)(4)0c c c c c --=∴++-=，而0,4c c >∴=．…………………………………6分（2）在ABC △中，由余弦定理得：22211cos ,sin 216a c b B B ac +-==∴=，所以ABC △的面积11sin 2422164S ac B ==⨯⨯⨯=．……………………………………12分解法2：192,3,4,()22a b c p a b c ====++=，由海伦公式得： ABC △的面积S ===12分 18．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 为梯形，11//,90,AB CD DAB BDD B ∠=︒为矩形，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，又11,2AB AD BB CD ====．（1）证明：11CB AD ⊥；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．ABCB 1D D 118．解法一：（1）11BDD B 为矩形，且平面11BDD B ⊥平面ABCD ，1BB ∴⊥平面1,ABCD DD ⊥平面ABCD ，在1Rt DD C △中，111DC AD AB 在梯形ABCD中，90,1,2,DAB AD AB DC AC BC ∠=︒===∴=1BC =．在11B D C △中，1111DC B D BD BC ==111B C B D ⊥，在1B CA △中，11BC AB AC ===11B C AB ⊥，又1111B D AB B =，1B C ∴⊥平面11B D A ，又1AD ⊂平面1111,B D A CB AD ∴⊥．……………………………………6分（2）取1AD 的中点E ，连接1,B E CE，由111B D AB ==知11B E AD ⊥，由1CD AC ==1CE AD ⊥，1B EC ∴∠为二面角11B AD C --的平面角．由（1）知1B C ⊥平面11B D A ，190CB E ∴∠=︒，又1B E =，2CE ==，11cos 3B E B EC CE ∴∠==．ABCB 1D D 1E 解法二：（1）11BDD B 为矩形，且平面11BDD B ⊥平面ABCD ，1BB ∴⊥平面ABCD ，又AD DC ⊥，所以可以以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,1,1),(0,0,1)A B C D B D ，111111(1,1,1),(1,0,1),110(1)110,CB AD CB AD CB AD =-=-⋅=-⨯+⨯-+⨯=∴⊥．（2）111(1,0,1),(1,1,0),(1,2,0)AD D B AC =-==-，设平面11AD B 的法向量为111(,,)m x y z =，则111111100m AD x z m D B x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，得(1,1,1)m =-．设平面1ADC 的法向量为222(,,)n x y z =，则12222020n AD x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，得(2,1,2)n =．cos ,33m n m n m n⋅===⨯⋅，因为二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为3． 19．（本小题满分12分）（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：10101114.45,27.31ii i i xy ====∑∑，ˆ0.850,1.042, 1.222b===，②参考公式：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑． 19．解析：（1）由已知条件得：0.85ˆ 1.220.9971.042r b==⨯=，这说明y 与x 正相关，且相关性很强．……………………………………………………………………5分（2）①由已知求得ˆˆ1.445, 2.731, 2.731 1.222 1.4450.965x y ay yx ===-=-⨯=，所以所求回归直线方程为ˆ 1.2220.965yx =+．……………………………………………………8分 ②当 1.98x =时， 1.222 1.980.965 3.385y =⨯+=（万元），此时产品的总成本为3.385万元．……………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的长轴长为4，离心率为2．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）过(1,0)P 作动直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点，Q 为平面上一点，直线,,QA QB QP 的斜率分别为120,,k k k ，且满足1202k k k ++，问Q 点是否在某定直线上运动，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．20．解析：（1）依题意，24,2a a =∴=，而2c e c b a ==∴=== 从而椭圆的方程为22142x y +=．…………………………………………………………………………4分（2）方法1：当直线AB 的斜率存在时，设直线:(1)AB y k x =-与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，设00(,)Q x y ，将(1)y k x =-代入22240x y +-=，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，显然0∆>．212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩①②，由已知条件1202k k k ++，得010200102021y y y y y x x x x x --+=---，即010020010020011y y y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，将1122(1),(1)y k x y k x =-=-代入，整理得：100200010020(1)()(1)()0()(1)()(1)x y kx k x y kx k x x x x x x --+--++=----，而000y kx k -+≡/，所以120102110x x x x x x --+=--，即：012120(1)()220x x x x x x ++--=，220022424(1)2201212k k x x k k-∴+⋅-⋅-=++，即2220000(1)448240,4x k k x k x x +⋅-+--=∴=．当直线AB 的斜率不存在时，经检验符合题意．综上，点Q 的轨迹方程为：4x =．……………………………………………………………………12分方法2：当直线AB 的斜率存在时，设直线:(1)AB y k x =-与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，设00(,)Q x y ，将(1)y k x =-代入22240x y +-=，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，显然0∆>．212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩①②，直线AQ 的斜率1010001101010(1)y y k x y kx k y k k x x x x x x -----===+---，同理00220kx k y k k x x --=+-，120120000210201201202112()2()()x x x k k k kx k y k kx k y x x x x x x x x x x ⎛⎫+-∴+=+--⋅+=+--⋅ ⎪---++⎝⎭③，将①②代入③，由1202k k k ++，得：220000222200042(21)22()244(21)1k x k y k kx k y k k x x k x -++--⋅=--++-，所以2000002220002(1)()2(1)41k x x y k kx k y k x x x --+--⋅=⋅-+--， 200000002220002(1)()2(1)41k x x y kx x kx k y k x x x ------⋅=⋅-+--，又00(1)y k x ≡-/，2002220002(1)12(1)41k x x k x x x ---=⋅-+--，222222000002(1)2(1)4k x x x k x x ∴---+=--+-， 04x ∴=．当直线AB 的斜率不存在时，经检验符合题意．综上，点Q 的轨迹方程为：4x =．……………………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数2()()(0)x f x ax x e a =-≥．（1）若函数()f x 在区间[2,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点为1221,()x x x x >，证明：当5a ≥时，12()()0f x f x +>．（附注：ln11 2.398≈） 21．解析：（1）由2()()x f x ax x e =-，得22()(2)()[(2)]x x x f x a x e ax x e x a x a e '=-+-=----， 22(2)4()40a a a ∆=---=+>，2(2)x a x a ∴---有两个不同的实根1212,()x x x x <，122222a a x x --+==，所以函数()f x 在1(,]x -∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，在2[,)x +∞上单调递减．所以要()f x 在[2,)+∞上单调递减，只需2222a x -+=≤6a -， 224(6)60a a a ⎧+-∴⎨->⎩≤，从而83a ≤．所以所求a 的取值范围是80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………………6分（2）解：212()[(2)],,x f x x a x a e x x '=-+-+是()f x 的极值点12()x x <，12,x x ∴是关于x 的方程2(2)0x a x a ---=两个实根，12122,x x a x x a ∴+=-=-，又1222121122()()()()x xf x f x ax x e ax x e +=-+-， 221111111212(2)022(2)2x a x a ax x x a x x x x x ---=⇒-=-=-++=--，222222221221(2)022(2)2x a x a ax x x a x x x x x ---=⇒-=-=-++=--，12121221()()(2)(2)x x f x f x x x e x x e ∴+=--+--，又12211212211221()()0(2)(2)0(2)(2)0x x x x f x f x x x e x x ex x x x e -+>⇔--+-->⇔--+-->，令21t x x =-，则21125t x x =-==，从而只需(2)(2)0t t t e -++->对125t ≥恒成立．令()(2)(2)t h t t t e =-++-，而()1(1)t h t t e '=-+-在12,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 121212555127122222()10,()11555555h t h e h t h e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''∴>=-+>∴=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，又12512ln11 2.398 2.4,11,()05e h t ≈<=∴<∴>．………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线21:4sin 30C ρρθ-+=，曲线2:sin 042C πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与y 轴交于,A B 两点，P 为2C 上任一点，求PA PB +的最小值．22．解析：（1）由21:4sin 30C ρρθ-+=，得22430x y y +-+=，即1C 的直角坐标方程为22430x y y +-+=；由2:sin 04C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0,10222y x ρθρθ⋅-⋅+=∴-+=，即2C 的直角坐标方程为10x y --=．………………………………………………………………5分（2）22430x y y +-+=与y 轴交于点(0,3),(0,1)A B ，而(0,1)B 关于直线1y x =-的对称点为(2,1)B '-，10分（2）若关于x 的不等式()f x x ≥在R x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围．23．解析：（1）当1a =时，由()0f x >，得211x x +>-，224(1)(1)x x ∴+>-，(31)(3)0x x ∴++>，解得3x <-或13x >-，所以()0f x >的解集为1(,3),3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．……5分（2）()21f x x x a x =+--≥对R x ∈恒成立，即21x a x x -+-≤，即2121x x x a x x -++-+-≤≤，22121x x a x ∴-++≤≤对R x ∈恒成立，显然()min 210x +=，令()221g x x x =-+，则42,1()2,1x x g x x +-⎧=⎨->-⎩≤，()g x 在(,1]-∞-单调递增，max [()]2g x ∴=-， 20a ∴-≤≤．………………………………………………………………………………………………10分。

湖北省武汉市2019高三二月调研测试数学理试题(解析版)

武汉市2019届毕业生二月调研测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(34i)7i z +=+，则z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+1．答案：B 解析：7i (7i)(34i)2525i1i 34i (34i)(34i)25z ++--====-++-． 2．已知集合{}240,{|0}A x x x B x x =-=>≤，则A B =（）A ．(0,4]B ．[0,4]C ．[0,2]D ．(0,2]2．答案：A解析：由240x x -≤，得240x x -≤，即()40x x ⋅-≤，所以4,44x x -≤≤≤，即[4,4],(0,),(0,4]A B AB =-=+∞∴=．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 的公差d =（） A ．2 B ．32C ．3D ．43．答案：C 解析：515456010902S a d d ⨯=+=+=，解得3d =．4．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>0y ±=，则b =（）A ． BC D ．124．答案：A解析：由双曲线方程可知其渐近线方程为2b y x =±，又渐近线方程为y =，所以2bb ==． 5．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（） A ．5B ．12C ．27D ．585．答案：C解析：11371527s =++++=． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A ．23πB ．43π C ．2πD ．6．答案：B解析：该几何体有两个圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r =，高2h =，所以该几何体的体积为2142(1)233V ππ=⨯⨯⨯⨯=．7．已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是（） A ．35B ．45C ．720D ．13207．答案：D解析：恰有两种颜色的概率1221212123232131366313132020C C C C C C C C P C ++++++===．也可以从反面考虑：11132313366113112020C C C C P C ++=-=-=． 8．在ABC △中，0,4,5,AB AC AB BCD ⋅===为线段BC 的中点，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则AE CB ⋅=（） A ．72B ．74C ．74-D ．78．答案：A22AC BC AB =-=)272CB AD CBAC ⋅=⋅=0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为（）C ．2D ．4解析：当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，则由题意可得842πππω+≤，解得2ω≤，即ω的最大值为2．10．已知,A B 为抛物线24yx =上两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则AB 的最小值为（） A ． B ．C ．8D ．10．答案：C解析：设221122(,2),(,2)A t t B t t ，则21212()40OA OB t t t t ⋅=+=，解得120t t =（舍去）或124t t =-，所以AB ===8=，当且仅当214t =时等号成立，所以AB 的最小值为8．解法2：特值法，当OA OB =，即直线OA 的倾斜角为45︒时，AB 取得最小值，联立24y x y x=⎧⎨=⎩，得(4,4)A ，同理可得(4,4)B -，所以8AB =．11．若,x y 满足约束条件22236x y y x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤，则(1)x y +的取值范围为（）A ．[3,0]-B ．93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．93,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．答案：D解析：由22236x y y x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤，得2226236x y y x -+⎧⎨--⎩≤≤≤≤，作可行域如图所示，其中331,,(2,0),1,,(2,0)22A B C D ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)z x y=+表示以点(,)x y 和(1,0)-的连线段为对角线的长方形的面积（可为负值），当(,)x y 位于线段3:2202AD x y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≤≤时， 2(1)(23)23z x y y y y y =+=-+=-+，因为302y ≤≤，所以90,8z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当(,)x y 位于线段36:(12)2x CD y x -=≤≤时，23(1)(2)[3,0]2z x y x x =+=--∈-；当(,)x y 位于线段3:2202BC x y y ⎛⎫=---⎪⎝⎭≤≤时，21(1)(21)23,8z x y y y y y ⎡⎤=+=--=--∈-⎢⎥⎣⎦；当(,)x y 位于线段36:(21)x AB y x +=--≤≤时，233(1)(32),0z x y x x ⎡⎤=+=++∈-．所以22121(1)2z t t z t -⎧=⎪+⎪⎨⎪-=-+⎪⎩，解得1298t z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即max 98z =，当1z y x =+过点31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值min 3(11)32z ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭．综上可知，(1)z x y =+的取值范围是93,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．12．已知函数()ln()(0)x f x e a ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．2(0,]e B ．2(0,)eC ．2[1,]eD ．2(1,)e12．答案：B解析：函数()f x 的定义域为(1,)+∞，由()ln()0xf x e a ax a a =--+>，得1ln()xe ax a a+>-，函数1xe y a =-与函数ln()y ax a =-互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以要使得()0f x >恒成xx x 则2(2)()(1)x e x g x x -'=-，可知当2x =时，2(0,)e ．项的系数为．13．答案：12-解析：展开式中含7x 的项为161777(2)212x C x x x ⋅-+=-，故展开式中7x 项的系数为12-．14．函数ln()y x x a =+在点(0,0)处的切线方程为y x =，则实数a 的值为． 14．答案：e 解析：ln()xy x a x a'=+++，当0x =时，ln 1y a ==，解得a e =． 15．已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为n a = ． 15．答案：21n -解析：当2n =时，221224(3)16,4,3S a S a =+=∴==；当3n =时，232334(3)36,9,5S a S a =+===，当4n =时，243334(3)64,16,7S a S a =+===，猜想得21n a n =-，经验证，当21n a n =-时，2123,n n a n S n -=-=，满足214(3)n n S a -=+．故21n a n =-，下面用数学归纳法证明：①11a =，23a =，满足21n a n =-，②设n k ≤时，结论成立，即21k a k =-，2k S k =，则22222211114(3)(22)4(1),(1),(1)21k k k k k k S a k k S k a S S k k k ++++=+=+=+∴=+=-=+-=+2(1)1k =+-，也满足21n a n =-，结合①②可知，21n a n =-．16．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点A 关于平面1BDC 的对称点为M ，则M 到平面 1111ABCD 的距离为．16．答案：53解析：将正方体1111ABCD A BC D -再叠加一个正方体，构成如图所示的正四棱柱11112222A B C D A B C D -，则平面1BDC 即为平面21A BC D ，连接2AC ，与平面2A BD ，平面22B CD 交于,P Q 两点，易证得平面2//A BD 平面22B CD ，且2AC ⊥平面2A BD ，2AC ⊥平面22B CD ，且,P Q 两点是线段2AC 的两个三等分点，所以点Q 即为点A 关于平面1BDC 的对称点为M ，易知点Q 平面1111A B C D 的距离为53．AC A 12A三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2,3,sin 2sin 0a b C A ==+=．（1）求c ；（2）求ABC △的面积． 17．解析：（1）由sin 2sin 0C A +=，知2sin cos sin 0C C A ⋅+=，222222220,()02a b c c a c a b c a b ab+-∴⋅+=∴+-+=，而2,3a b ==，2(49)120c c ∴+-+=，即313120,(1)(3)(4)0c c c c c --=∴++-=，而0,4c c >∴=．…………………………………6分（2）在ABC △中，由余弦定理得：22211cos ,sin 216a c b B B ac +-==∴=，所以ABC △的面积11sin 2422164S ac B ==⨯⨯⨯=．……………………………………12分解法2：192,3,4,()22a b c p a b c ====++=，由海伦公式得： ABC △的面积S ===12分 18．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 为梯形，11//,90,AB CD DAB BDD B ∠=︒为矩形，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，又11,2AB AD BB CD ====．（1）证明：11CB AD ⊥；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．ABCB 1D D 118．解法一：（1）11BDD B 为矩形，且平面11BDD B ⊥平面ABCD ，1BB ∴⊥平面1,ABCD DD ⊥平面ABCD ，在1Rt DD C △中，111DC AD AB 在梯形ABCD中，90,1,2,DAB AD AB DC AC BC ∠=︒===∴=1BC =．在11B D C △中，1111DC B D BD BC ==111B C B D ⊥，在1B CA △中，11BC AB AC ===11B C AB ⊥，又1111B D AB B =，1B C ∴⊥平面11B D A ，又1AD ⊂平面1111,B D A CB AD ∴⊥．……………………………………6分（2）取1AD 的中点E ，连接1,B E CE，由111B D AB ==知11B E AD ⊥，由1CD AC ==1CE AD ⊥，1B EC ∴∠为二面角11B AD C --的平面角．由（1）知1B C ⊥平面11B D A ，190CB E ∴∠=︒，又1B E =，2CE ==，11cos 3B E B EC CE ∴∠==．ABCB 1D D 1E 解法二：（1）11BDD B 为矩形，且平面11BDD B ⊥平面ABCD ，1BB ∴⊥平面ABCD ，又AD DC ⊥，所以可以以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,1,1),(0,0,1)A B C D B D ，111111(1,1,1),(1,0,1),110(1)110,CB AD CB AD CB AD =-=-⋅=-⨯+⨯-+⨯=∴⊥．（2）111(1,0,1),(1,1,0),(1,2,0)AD D B AC =-==-，设平面11AD B 的法向量为111(,,)m x y z =，则111111100m AD x z m D B x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，得(1,1,1)m =-．设平面1ADC 的法向量为222(,,)n x y z =，则12222020n AD x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，得(2,1,2)n =．cos ,33m n m n m n⋅===⨯⋅，因为二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为3． 19．（本小题满分12分）（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：10101114.45,27.31ii i i xy ====∑∑，ˆ0.850,1.042, 1.222b===，②参考公式：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑． 19．解析：（1）由已知条件得：0.85ˆ 1.220.9971.042r b==⨯=，这说明y 与x 正相关，且相关性很强．……………………………………………………………………5分（2）①由已知求得ˆˆ1.445, 2.731, 2.731 1.222 1.4450.965x y ay yx ===-=-⨯=，所以所求回归直线方程为ˆ 1.2220.965yx =+．……………………………………………………8分 ②当 1.98x =时， 1.222 1.980.965 3.385y =⨯+=（万元），此时产品的总成本为3.385万元．……………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的长轴长为4，离心率为2．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）过(1,0)P 作动直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点，Q 为平面上一点，直线,,QA QB QP 的斜率分别为120,,k k k ，且满足1202k k k ++，问Q 点是否在某定直线上运动，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．20．解析：（1）依题意，24,2a a =∴=，而2c e c b a ==∴=== 从而椭圆的方程为22142x y +=．…………………………………………………………………………4分（2）方法1：当直线AB 的斜率存在时，设直线:(1)AB y k x =-与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，设00(,)Q x y ，将(1)y k x =-代入22240x y +-=，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，显然0∆>．212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩①②，由已知条件1202k k k ++，得010200102021y y y y y x x x x x --+=---，即010020010020011y y y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，将1122(1),(1)y k x y k x =-=-代入，整理得：100200010020(1)()(1)()0()(1)()(1)x y kx k x y kx k x x x x x x --+--++=----，而000y kx k -+≡/，所以120102110x x x x x x --+=--，即：012120(1)()220x x x x x x ++--=，220022424(1)2201212k k x x k k-∴+⋅-⋅-=++，即2220000(1)448240,4x k k x k x x +⋅-+--=∴=．当直线AB 的斜率不存在时，经检验符合题意．综上，点Q 的轨迹方程为：4x =．……………………………………………………………………12分方法2：当直线AB 的斜率存在时，设直线:(1)AB y k x =-与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，设00(,)Q x y ，将(1)y k x =-代入22240x y +-=，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，显然0∆>．212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩①②，直线AQ 的斜率1010001101010(1)y y k x y kx k y k k x x x x x x -----===+---，同理00220kx k y k k x x --=+-，120120000210201201202112()2()()x x x k k k kx k y k kx k y x x x x x x x x x x ⎛⎫+-∴+=+--⋅+=+--⋅ ⎪---++⎝⎭③，将①②代入③，由1202k k k ++，得：220000222200042(21)22()244(21)1k x k y k kx k y k k x x k x -++--⋅=--++-，所以2000002220002(1)()2(1)41k x x y k kx k y k x x x --+--⋅=⋅-+--， 200000002220002(1)()2(1)41k x x y kx x kx k y k x x x ------⋅=⋅-+--，又00(1)y k x ≡-/，2002220002(1)12(1)41k x x k x x x ---=⋅-+--，222222000002(1)2(1)4k x x x k x x ∴---+=--+-， 04x ∴=．当直线AB 的斜率不存在时，经检验符合题意．综上，点Q 的轨迹方程为：4x =．……………………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数2()()(0)x f x ax x e a =-≥．（1）若函数()f x 在区间[2,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点为1221,()x x x x >，证明：当5a ≥时，12()()0f x f x +>．（附注：ln11 2.398≈） 21．解析：（1）由2()()x f x ax x e =-，得22()(2)()[(2)]x x x f x a x e ax x e x a x a e '=-+-=----， 22(2)4()40a a a ∆=---=+>，2(2)x a x a ∴---有两个不同的实根1212,()x x x x <，122222a a x x --+==，所以函数()f x 在1(,]x -∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，在2[,)x +∞上单调递减．所以要()f x 在[2,)+∞上单调递减，只需2222a x -+=≤6a -， 224(6)60a a a ⎧+-∴⎨->⎩≤，从而83a ≤．所以所求a 的取值范围是80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………………6分（2）解：212()[(2)],,x f x x a x a e x x '=-+-+是()f x 的极值点12()x x <，12,x x ∴是关于x 的方程2(2)0x a x a ---=两个实根，12122,x x a x x a ∴+=-=-，又1222121122()()()()x xf x f x ax x e ax x e +=-+-， 221111111212(2)022(2)2x a x a ax x x a x x x x x ---=⇒-=-=-++=--，222222221221(2)022(2)2x a x a ax x x a x x x x x ---=⇒-=-=-++=--，12121221()()(2)(2)x x f x f x x x e x x e ∴+=--+--，又12211212211221()()0(2)(2)0(2)(2)0x x x x f x f x x x e x x ex x x x e -+>⇔--+-->⇔--+-->，令21t x x =-，则21125t x x =-==，从而只需(2)(2)0t t t e -++->对125t ≥恒成立．令()(2)(2)t h t t t e =-++-，而()1(1)t h t t e '=-+-在12,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 121212555127122222()10,()11555555h t h e h t h e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''∴>=-+>∴=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，又12512ln11 2.398 2.4,11,()05e h t ≈<=∴<∴>．………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线21:4sin 30C ρρθ-+=，曲线2:sin 042C πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与y 轴交于,A B 两点，P 为2C 上任一点，求PA PB +的最小值．22．解析：（1）由21:4sin 30C ρρθ-+=，得22430x y y +-+=，即1C 的直角坐标方程为22430x y y +-+=；由2:sin 04C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0,10222y x ρθρθ⋅-⋅+=∴-+=，即2C 的直角坐标方程为10x y --=．………………………………………………………………5分（2）22430x y y +-+=与y 轴交于点(0,3),(0,1)A B ，而(0,1)B 关于直线1y x =-的对称点为(2,1)B '-，10分（2）若关于x 的不等式()f x x ≥在R x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围．23．解析：（1）当1a =时，由()0f x >，得211x x +>-，224(1)(1)x x ∴+>-，(31)(3)0x x ∴++>，解得3x <-或13x >-，所以()0f x >的解集为1(,3),3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．……5分（2）()21f x x x a x =+--≥对R x ∈恒成立，即21x a x x -+-≤，即2121x x x a x x -++-+-≤≤，22121x x a x ∴-++≤≤对R x ∈恒成立，显然()min 210x +=，令()221g x x x =-+，则42,1()2,1x x g x x +-⎧=⎨->-⎩≤，()g x 在(,1]-∞-单调递增，max [()]2g x ∴=-， 20a ∴-≤≤．………………………………………………………………………………………………10分。

2019届湖北省武汉市高中毕业生二月调研测试数学(理)试题(解析版)

【答案】
【解析】将正方体再叠加一个正方体，构成正四棱柱，则平面即为平面，连接与平面，平面交于两点，则点即为点关于平面的对称点为，利用正方体的性质可得结果.
【详解】
将正方体再叠加一个正方体，
构成如图所示的正四棱柱，
则平面即为平面，
连接与平面，平面交于两点，
则平面平面，且平面，平面，
3．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列的公差（）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】【详解】
因为等差数列的前项和为，且，
所以，解得，故选C．
【点睛】
本题主要等差数列的前项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.
4．已知双曲线的渐近线方程为，则（）
15．已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为 ______________．
【答案】
【解析】利用归纳推理，推猜出，再用数学归纳法证明即可.
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
② ，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
2．已知集合，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义可得结果.
【详解】
因为，
且，
，故选A.
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.

湖北省武汉市2019届高中毕业生理数二月调研测试试卷

湖北省武汉市2019届高中毕业生理数二月调研测试试卷一、单选题 (共16题；共28分)1．（2分）已知复数z满足(3+4i)z=7+i，则z=（）A．1+i B．1−i C．−1−i D．−1+i2．（2分）已知集合A={x|x2−4x≤0}, B={x|x〉0}，则A∩B=（）A．(0,4]B．[0,4]C．[0,2]D．(0,2]3．（2分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=12, S5=90，则等差数列{a n}的公差d=（）A．2B．32C．3D．44．（2分）已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，则b=（）A．2√3B．√3C．√32D．125．（2分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．5B．12C．27D．586．（2分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2π3B．4π3C．2πD．2√5π7．（2分）已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是（）A．35B．45C．720D．13208．（2分）在△ABC中，AB⇀⋅AC⇀=0, |AB⇀|=4, |BC⇀|=5, D为线段BC的中点，E为线段BC 垂直平分线l上任一异于D的点，则AE⇀⋅CB⇀=（）A．72B．74C．−74D．79．（2分）已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)在区间(0,π8)上单调递增，则ω的最大值为（）A．12B．1C．2D．410．（2分）已知A,B为抛物线y2=4x上两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则|AB|的最小值为（）A．4√2B．2√2C．8D．8√211．（2分）若x,y满足约束条件{|x+2y|≤2|2y−3x|≤6，则(x+1)y的取值范围为（）A．[−3,0]B．[−3,94]C．[0,98]D．[−3,98]12．（2分）已知函数f(x)=e x−aln(ax−a)+a (a>0)，若关于x的不等式f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(0,e2]B．(0,e2)C．[1,e2]D．(1,e2)13．（1分）(x+2)(x−2)7展开式中x7项的系数为．14．（1分）函数y=xln(x+a)在点(0,0)处的切线方程为y=x，则实数a的值为．15．（1分）已知正项数列{a n}满足a1=1，前n项和S n满足4S n=(a n−1+3)2(n≥2,n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式为a n=．16．（1分）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1的对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为．二、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知a=2, b=3, sin2C+sinA= 0．（1）（5分）求c；（2）（5分）求△ABC的面积．18．（10分）如图，已知四边形ABCD为梯形，AB//CD, ∠DAB=90°, BDD1B1为矩形，平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB=AD=BB1=1, CD=2．（1）（5分）证明：CB1⊥AD1；（2）（5分）求二面角B1−AD1−C的余弦值．19．（10分）一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：（答案均精确到0.001）附注：①参考数据：∑10i=1x i=14.45, ∑10i=1yi=27.31，√∑10i=1x i2−10x̅2=0.850, √∑10i=1yi2−10y̅2=1.042,b̂=1.222，②参考公式：相关系数r=∑n i=1i i̅̅√(∑i=1x i−nx̅2)(∑i=1y i−ny̅2)，回归方程ŷ=â+b̂x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b̂=∑ni=1x i y i−nx̅⋅y̅∑n i=1x i2−nx̅2, â=y̅−b̂x̅．（1）（5分）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）（5分）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？20．（10分）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为√22．（1）（5分）求椭圆Γ的标准方程；（2）（5分）过P(1,0)作动直线AB交椭圆Γ于A,B两点，Q为平面上一点，直线QA, QB, QP的斜率分别为k1,k2,k0，且满足k1+k2=2k0，问Q点是否在某定直线上运动，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．21．（10分）已知函数f(x)=(ax−x2)e x (a≥0)．（1）（5分）若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；时，f(x1)+（2）（5分）设f(x)的两个极值点为x1, x2 (x2>x1)，证明：当a≥2√115f(x2)>0．（附注：ln11≈2.398）22．（10分）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1:ρ2−4ρsinθ+ 3=0，曲线C: ρsin(θ−π4)+√22=0．2（1）（5分）求C1, C2的直角坐标方程；（2）（5分）已知曲线C1与y轴交于A,B两点，P为C2上任一点，求|PA|+|PB|的最小值．23．（10分）已知函数f(x)=2|x+1|−|x−a|, a∈R．（1）（5分）当a=1时，求不等式f(x)>0的解集；（2）（5分）若关于x的不等式f(x)≥x在x∈R时恒成立，求实数a的取值范围．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为复数z满足(3+4i)z=7+i，所以z=7+i3+4i=(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25−25i25=1−i，故答案为：B.【分析】利用复数的乘除运算即可求出复数z的代数式.2．【答案】A【解析】【解答】因为A={x|x2−4x≤0}={x|0≤x≤4}，且 B={x|x〉0}，∴A∩B={x|0<x≤4}=(0,4]，故答案为：A.【分析】先求出集合A，再利用交集的运算即可得结果.3．【答案】C【解析】【解答】因为等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=12, S5=90，所以S5=5a1+5×42d=60+10d=90，解得d=3，故答案为：C．【分析】由已知等差数列{a n}的前n项和公式列式，即可求出公差d的值. 4．【答案】A【解析】【解答】因为双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±b2x，又渐近线方程为y=±√3x，所以b2=√3,b=2√3，故答案为：A．【分析】由已知双曲线的渐近线方程列式，即可求出b的值. 5．【答案】C【解析】【解答】第一次循环：s=2,k=3；第二次循环：s=5,k=7；第三次循环：s=12,k=15；第四次循环：s=27,k=31，退出循环，输出s=27，故答案为：C．【分析】由已知程序框图进行模拟运算，即可求出s的值.6．【答案】B【解析】【解答】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径r=1，高ℎ=2，所以该几何体的体积为：V=2×13×(π×12)×2=4π3，故答案为：B．【分析】由已知三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，利用圆锥的体积公式，即可求出该几何体的体积.7．【答案】D【解析】【解答】设2个红球编号为：1、2；3个白球编号为：A,B,C；1个蓝球为Y,任取3个球，可能有：12A,12B,12C,12Y,1AB,1AC,1AY,1BC,1BY,1CY，2AB,2AC,2AY,2BC,2BY,2CY，ABC,ABY,ACY,BCY，共20种，3种颜色的有：1AY,1BY,1CY,2AY,2BY,2CY，共6种只有1种颜色的有：ABC，共1种，所以，所求概率为P=20−720=13 20.故答案为：D.【分析】由已知得到任取3个球可能的种数，又得到3种颜色与只有1种颜色的种数，即可求出其中恰有两种颜色的概率 .8．【答案】A【解析】【解答】由AB⇀⋅AC⇀=0，得AB⊥AC，∵|AB|=4,|BC|=5，由勾股定理，得|AC|=3，因为E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，所以DE⇀⋅CB⇀=0，可得AE⇀⋅CB⇀=(AD⇀+DE⇀)⋅CB⇀=AD⇀⋅CB⇀+DE⇀⋅CB⇀=AD⇀⋅CB⇀=12(AB⇀+AC⇀)⋅(AB⇀−AC⇀)=12(AB⇀2−AC⇀2)=72，故答案为：A.【分析】由已知得到|AC|=3，利用DE→⋅CB→=0化简计算即可得结果. 9．【答案】C【解析】【解答】当x∈(0,π8)时，ωx+π4∈(π4,π8ω+π4)，因为函数f(x)=2sin(ωx+π4)在区间(0,π8)上单调递增，正弦函数在[−π2,π2]上递增，所以可得π8ω+π4≤π2，解得ω≤2，即ω的最大值为2，故答案为：C．【分析】由已知得到正弦函数在[−π2,π2]上递增，解得ω≤2，即可求出ω的最大值. 10．【答案】C【解析】【解答】设直线OA为：y=kx，因为OA⊥OB，所以，直线OB为：y=−1kx，{y=kxy2=4x，得：A(4k2,4k)，同理可得：B(4k2,−4k)，所以，|AB|=√(4k2−4k2)2+(−4k−4k)2=√16k4+16k4+16k2+16k2≥√2√16k4×16k4+2√16k2×16k2=8，当且仅当k2=1时，取等号，∴|AB|最小值为8，故答案为：C.【分析】由直线与抛物线方程联立，得到点A，B的坐标，代入两点间的距离公式，利用基本不等式即可求出|AB|的最小值 .11．【答案】D【解析】【解答】由{|x+2y|≤2|2y−3x|≤6，得{−2≤x+2y≤2−6≤2y−3x≤6，作可行域如图所示，其中A(−1,32), B(−2,0), C(1,−32), D(2,0)，(x+1)y的最优解在平行四边形的4个边上,当(x,y)位于线段AD: x=−2y+2 (0≤y≤32)时，z=(x+1)y=(−2y+3)y=−2y2+3y，因为0≤y≤32，所以z∈[0,98]；当(x,y)位于线段CD: y=3x−62 (1≤x≤2)时，z=(x+1)y=32(x2−x−2)∈[−3,0]；当(x,y)位于线段BC: x=−2y−2 (−32≤y≤0)时，z=(x+1)y=(−2y−1)y=−2y2−y∈[−3,18 ]；当(x,y)位于线段AB:y=3x+62(−2≤x≤−1)时，z=(x+1)y=32(x2+3x+2)∈[−38,0]．综上可知，z=(x+1)y的取值范围是[−3,98]，故答案为：D．【分析】由已知作可行域，得到(x+1)y的最优解在平行四边形的4个边上，分四种情况讨论，即可求出z=(x+1)y的取值范围.12．【答案】B【解析】【解答】其图象关于直线y=x对称，要使得f(x)>0恒成立，只需e xa+1>x恒成立，即a<e xx−1恒成立，利用导数求出exx−1的最小值即可得结果.函数f(x)的定义域为(1,+∞)，由f(x)=e x−aln(ax−a)+a>0，得e xa+1>ln(ax−a)，函数y=e xa+1与函数y=ln(ax−a)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，所以要使得f(x)>0恒成立，只需e xa +1>x恒成立，即a<exx−1恒成立，设g(x)=e xx−1，则g′(x)=e x(x−2)(x−1)2，g(x)在(1,2)上递减，在(2,+∞)递增，可知当x=2时，g(x)取得最小值e2，所以a<e2，又因为a>0，所以a的取值范围是(0,e2)，故答案为：B．【分析】由已知要使得f(x)>0恒成立，只需a<e xx−1恒成立，构造函数g(x)=exx−1，求导并利用导数研究函数的最小值，即可求出a的取值范围.13．【答案】−12【解析】【解答】(x−2)7的展开式的通项公式为T r+1=C7r x7−r(−2)r，令x的指数等于6或7，可得r的值为1或0，所以展开式中x6与x7的项的系数分别为C71(−2)1与C70，所以展开式中含x7的项为x⋅C71x6(−2)1+2x7=−12x7，故展开式中x7项的系数为−12，故答案为−12．【分析】先写出展开式的通项公式，可得r的值为1或0，再求出展开式中x7项的系数即可. 14．【答案】e【解析】【解答】因为y=xln(x+a)，所以y′=ln(x+a)+xx+a，当x=0时，y′=lna，因为函数y=xln(x+a)在点(0,0)处的切线方程为y=x，所以lna=1解得a=e，故答案为e．【分析】先求导，得到当x=0时，y′=lna，由函数在点(0,0)处的切线方程为y=x列式，即可求出a的值.15．【答案】2n−1【解析】【解答】当n=1时，a1=1；当n=2时，4S2=(a1+3)2=16, ∴S2=4, a2=3；当n=3时，4S3=(a2+3)2=36, S3=9, a3=5；当n=4时，4S4=(a3+3)2=64, S4=16, a4=7，猜想得a n=2n−1，故a n=2n−1，下面用数学归纳法证明：②a1=1，满足a n=2n−1，②假设n=k时，结论成立，即a k=2k−1，可得S k=k2，则4S k+1=(a k+3)2=(2k+2)2=4(k+1)2，∴S k+1=(k+1)2, a k+1=S k+1−S k=(k+1)2−k2=2k+1=2(k+1)−1，也满足a n=2n−1，结合①②可知，a n=2n−1，故答案为a n=2n−1．【分析】先由已知递推关系式求出前四项，猜想得a n=2n−1，再利用数学归纳法证明即可.16．【答案】53【解析】【解答】将正方体ABCD−A1B1C1D1再叠加一个正方体，构成如图所示的正四棱柱A1B1C1D1−A2B2C2D2，则平面 BDC 1 即为平面 A 2BC 1D ，连接 AC 2 与平面 A 2BD ，平面 B 2CD 2 交于 P,Q 两点，则平面 A 2BD// 平面 B 2CD 2 ，且 AC 2⊥ 平面 A 2BD ， AC 2⊥ 平面 B 2CD 2 ，且 P,Q 两点是线段 AC 2 的两个三等分点，所以点 Q 即为点 A 关于平面 BDC 1 的对称点为 M ，由正方体的性质可知 Q 是正三角形 B 2CD 2 的中心，也是重心，所以 Q 到平面 A 2B 2C 2D 2 的距离等于 C 到平面 A 2B 2C 2D 2 的距离的三分之一为 13，点 Q 到平面 A 1B 1C 1D 1 的距离为 2−13=53，即 M 到平面 A 1B 1C 1D 1 的距离为 53 ，故答案为 53．【分析】由已知构成正四棱柱，作辅助线可证 P,Q 两点是线段 AC 2 的两个三等分点，求出点 Q 到平面 A 1B 1C 1D 1 的距离即为所求.17．【答案】（1）由 sin2C +sinA =0 ，知 2sinC ⋅cosC +sinA =0 ，利用正弦定理边角互化,由余弦定理可得 2c ⋅a 2+b 2−c 22ab+a =0, ∴c(a 2+b 2−c 2)+a 2b =0 ，而 a =2,b =3 ， ∴c(4+9−c 2)+12=0 ，即 c 3−13c −12=0, ∴(c +1)(c +3)(c −4)=0 ，而 c >0, ∴c =4 ．（2）在 △ABC 中，由余弦定理得： cosB =a 2+c 2−b 22ac =1116, ∴sinB =√1−cos 2B =3√1516，所以 △ABC 的面积 S =12acsinB =12×2×4×3√1516=3√154．【解析】【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可得 c 3−13c −12=0，即可求出c 的值；（2）先利用余弦定理得到 cosB =1116, sinB =3√1516，再代入三角形的面积公式即可得结果.18．【答案】（1）∵BDD 1B 1 为矩形，且平面 BDD 1B 1⊥ 平面 ABCD ， ∴BB 1⊥ 平面 ABCD ，又AD ⊥DC ，所以可以以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,2,0),D(0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1) ，CB1⇀=(1,−1,1), AD 1⇀=(−1,0,1), CB 1⇀⋅AD 1⇀=−1×1+0×(−1)+1×1=0, ∴CB 1⊥AD 1 ．（2）AD1⇀=(−1,0,1), D 1B 1⇀=(1,1,0), AC ⇀=(−1,2,0) ，设平面 AD 1B 1 的法向量为 m ⇀=(x 1,y 1,z 1) ，则 {m⇀⋅AD 1⇀=−x 1+z 1=0m ⇀⋅D 1B 1⇀=x 1+y 1=0 ，令 x 1=1 ，得 m⇀=(1,−1,1) ．设平面 AD 1C 的法向量为 n ⇀=(x 2,y 2,z 2) ，则 {n ⇀⋅AD 1⇀=−x 2+z 2=0n ⇀⋅AC ⇀=−x 2+2y 2=0 ，令 y 2=1 ，得 n ⇀=(2,1,2) ． cosm ⇀,n⇀=m ⇀⋅n ⇀|m ⇀|⋅|n ⇀|=33×3=√33 ，因为二面角 B 1−AD 1−C 为锐角，所以二面角 B 1−AD 1−C 的余弦值为 √33．【解析】【分析】（1）由已知可证 BB 1⊥ 平面 ABCD ，建立空间直角坐标系，由 CB 1→⋅AD 1→=0，即可证明CB 1⊥AD 1.（2）先分别求出平面 AD 1B 1 与平面 AD 1C 的法向量，再代入向量的夹角公式，即可求出二面角 B 1−AD 1−C 的余弦值 .19．【答案】（1）由已知条件得： r =b̂⋅√∑10i=1x 2−10x ̅2√∑i=1y i −10y ̅2=1.222×0.8501.042=0.997>0.75 ，这说明 y 与 x 正相关，且相关性很强．（2）①由已知求 x ̅=1.445, y ̅=2.731, a ̂=y ̅−b ̂x ̅=2.731−1.222×1.445=0.965 ，所以所求回归直线方程为 ŷ=1.222x +0.965 ． ②当 x =1.98 时， y =1.222×1.98+0.965=3.385 （万元），此时产品的总成本为3.385万元．【解析】【分析】（1）由已知得到r=0.997＞0.75，即可说明 y 与 x 正相关，且相关性很强；（2） ①由已知求出 x ，y ，a ^，即可得月总成本y 与月产量x 之间的回归方程； ②当 x =1.98 时，代入①中回归方程，即可求出此时产品的总成本 .20．【答案】（1）依题意， 2a =4, ∴a =2 ，而 e =c a =√22, ∴c =√2, b =√a 2−c 2=√2 ，从而椭圆的方程为 x 24+y 22=1 ．（2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB: y =k(x −1) 与椭圆交于 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) ，设 Q(x 0,y 0) ，将 y =k(x −1) 代入 x 2+2y 2−4=0 ，得 (2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−4=0 ，显然 Δ>0 ．∴{ x 1+x 2=4k 22k 2+1 ①x 1x 2=2k 2−42k 2+1 ② ，由已知条件 k 1+k 2=2k 0 ，得 y 0−y 1x 0−x 1+y 0−y 2x 0−x 2=2y 0x 0−1 ，即 (y 0−y 1x 0−x 1−y 0x 0−1)+(y 0−y 2x 0−x 2−y 0x 0−1)=0 ，将 y 1=k(x 1−1), y 2=k(x 2−1) 代入，整理得： (x 1−1)(y 0−kx 0+k)(x 0−x 1)(x 0−1)+(x 2−1)(y 0−kx 0+k)(x 0−x 2)(x 0−1)=0 ，而 y 0−kx 0+k ≠0 ,所以 x 1−1x 0−x 1+x 2−1x 0−x 2=0 ，即： (x 0+1)(x 1+x 2)−2x 1x 2−2x 0=0 ， ∴(x 0+1)⋅4k21+2k2−2⋅2k 2−41+2k2−2x 0=0 ，即 (x 0+1)⋅4k 2−4k 2+8−2x 0−4k 2x 0=0, ∴x 0=4 ．当直线 AB 的斜率不存在时，经检验符合题意．综上，点 Q 的轨迹方程为： x =4 ．【解析】【分析】（1）由已知列式得到a ，b 的值，即可求出椭圆 Γ 的标准方程；（2）当直线 AB 的斜率存在时，先由直线方程与椭圆方程联立，得到 (x 0+1)(x 1+x 2)−2x 1x 2−2x 0=0 ，解得 x 0=4，当直线 AB 的斜率不存在时，经检验符合题意，综上，即可求出点 Q 的轨迹方程.21．【答案】（1）由 f(x)=(ax −x 2)e x ，得 f ′(x)=(a −2x)e x +(ax −x 2)e x =−[x 2−(a −2)x −a]e x ，Δ=(a −2)2−4(−a)=a 2+4>0 ， ∴x 2−(a −2)x −a 有两个不同的实根 x 1, x 2 (x 1<x 2) ，x 1=a−2−√a 2+42, x 2=a−2+√a 2+42，所以函数 f(x) 在 (−∞,x 1] 上单调递减，在 (x 1,x 2) 上单调递增，在 [x 2,+∞) 上单调递减．所以要 f(x) 在 [2,+∞) 上单调递减，只需 x 2=a−2+√a 2+42≤2 ，即 √a 2+4≤6−a ，∴{a 2+4≤(6−a)26−a >0，从而 a ≤83 ．所以所求 a 的取值范围是 [0,83] ．（2）f ′(x)=[−x 2+(a −2)x +a]e x , ∵x 1, x 2 是 f(x) 的极值点 (x 1<x 2) ，∴x 1, x 2 是关于 x 的方程 x 2−(a −2)x −a =0 两个实根， ∴x 1+x 2=a −2, x 1x 2=−a ，又 f(x 1)+f(x 2)=(ax 1−x 12)e x 1+(ax 2−x 22)e x 2 ，x 12−(a −2)x 1−a =0⇒ax 1−x 12=2x 1−a =2x 1−(x 1+x 2+2)=x 1−x 2−2 ， x 22−(a −2)x 2−a =0⇒ax 2−x 22=2x 2−a =2x 2−(x 1+x 2+2)=x 2−x 1−2 ，∴f(x 1)+f(x 2)=(x 1−x 2−2)e x 1+(x 2−x 1−2)e x 2 ，又 f(x 1)+f(x 2)>0⇔(x 1−x 2−2)e x 1+(x 2−x 1−2)e x 2>0⇔(x 1−x 2−2)+(x 2−x 1−2)e x 2−x 1>0 令 t =x 2−x 1 ，则 t =x 2−x 1=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 2+4≥125 ，从而只需 −(t +2)+(t −2)e t >0 对 t ≥125恒成立．令 ℎ(t)=−(t +2)+(t −2)e t ，而 ℎ′(t)=−1+(t −1)e t 在 [125,+∞) 上单调递增，∴ℎ′(t)>ℎ′(125)=−1+75e 125>0, ∴ℎ(t)≥ℎ(125)=−225+25e 125=25(e 125−11) ，又 ln11≈2.398<2.4=125, ∴11〈e 125, ∴ℎ(t)〉0 ．【解析】【分析】（1）先求导，利用导数研究函数的单调性，得到关于a 的不等式，即可求出实数 a的取值范围；（2）由已知利用韦达定理得到 f(x 1)+f(x 2)=(x 1−x 2−2)e x 1+(x 2−x 1−2)e x 2 ，可转化为−(t +2)+(t −2)e t >0 对 t ≥125恒成立，构造函数 ℎ(t)=−(t +2)+(t −2)e t ，求导并利用导数研究函数的单调性，求出最小值即可证明结论.22．【答案】（1）由 C 1:ρ2−4ρsinθ+3=0 ，得 x 2+y 2−4y +3=0 ，即 C 1 的直角坐标方程为 x 2+y 2−4y +3=0 ；由 C 2: ρsin(θ−π4)+√22=0 ，得 ρsinθ⋅√22−ρcosθ⋅√22+√22=0, ∴y −x +1=0 ，即 C 2 的直角坐标方程为 x −y −1=0 ．（2）x 2+y 2−4y +3=0 与 y 轴交于点 A(0,3), B(0,1) ，而 B(0,1) 关于直线 y =x −1 的对称点为 B ′(2,−1) ，∴|PA|+|PB|=|PA|+|PB ′|≥|AB ′|=√(2−0)2+(3+1)2=2√5 ．【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可求出 C 1, C 2 的直角坐标方程；（2）由已知得到点A ，B 的坐标，利用 B(0,1) 关于直线 y =x −1 的对称点为 B ′(2,−1) ，即可求出 |PA|+|PB| 的最小值 .23．【答案】（1）当 a =1 时，由 f(x)>0 ，得 2|x +1|>|x −1| ， ∴4(x +1)2>(x −1)2 ， ∴(3x +1)(x +3)>0 ，解得 x <−3 或 x >−13，所以 f(x)>0 的解集为(−∞,−3)∪(−13,+∞)（2）f(x)=2|x +1|−|x −a|≥x 对 x ∈R 恒成立，即 |x −a|≤2|x +1|−x ，即 −2|x +1|+x ≤x −a ≤2|x +1|−x ， ∴2x −2|x +1|≤a ≤2|x +1| 对 x ∈R 恒成立，显然 (2|x +1|min )=0 ，令 g(x)=2x −2|x +1| ，则 g(x)={4x +2, x ≤−1−2, x >−1 ， g(x) 在 (−∞,−1] 单调递增， ∴[g(x)]max =−2 ， ∴−2≤a ≤0 ．【解析】【分析】（1）先由已知绝对值不等式，转化为一元二次不等式，再解不等式即可求出解集；（2）先由已知不等式 f(x)≥x 在 x ∈R 时恒成立，转化为 2x −2|x +1|≤a ≤2|x +1| 对 x ∈R 恒成立，再构造函数 g(x)=2x −2|x +1| ，得到函数的最大值，即可求出实数 a 的取值范围 .。

2019届湖北省高三2月份七校联考理科数学试卷【含答案及解析】

2019届湖北省高三2月份七校联考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．的实部为B ．的虚部为 C．D ．2. 已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A ．B ． ________C ．D ．3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A ．______________B ．______________C． D ．4. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为 ( )A ．___________B ．____________________________ C．________________________ D ．5. 以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位 : 分）6. ly:宋体; font-size:10.5pt">甲组乙组 9 0 9 2 1 5 8 7 4 2 47. 设实数列和分别是等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是（）A ．____________________B ．____________________C ．_________________________________ D ．8. 在中，点在线段上，且，点在线段上( 与点不重合 ). 若，则的取值范围是 (________ )A ．B ． ________C ． ________D ．9. 我国南北朝数学家何承天发明的“ 调日法” 是程序化寻求精确分数来表示数值的算法 , 其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值 . 我们知道，若令，则第一次用“ 调日法” 后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“ 调日法” 后可得的近似分数为（）A ． ___________B ． _________C ． _________D ．10. 已知若，则直线的倾斜角为（）A ． _________B ． _________C ．_________D ．11. 在平面直角坐标系中，点为双曲线的右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为（）A ．_________B ．_________C ．D ．12. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是（________ ）A ．___________________________________B ．_________C ．___________________________________D ．13. 已知函数的图像在点处的切线方程，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“ 转折点”. 已知函数在上存在一个“ 转折点” ，则的取值范围为（）A ． ______________B ． _________C ．________ D ．二、填空题14. 已知函数，则的值为______________ .15. 已知抛物线上一点到焦点的距离为 5 ，则的面积为________________________ .16. 若的展开式所有的系数之和为 81 ，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为____________________ .17. 已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是 ______ .三、解答题18. 已知数列的前项和为，且满足 .（ I ）求数列的通项公式； ( II ) 设，求数列的前项和 .19. 如右下图，在四棱锥中，直线平面 , ,，（ I ）求证：直线平面 .（ II ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值20. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30 女 20 ），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答 . 选题情况如下表：（单位：人）（ I ）能否据此判断有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（ II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在 6—8 分钟，现甲、乙各解同一道几何题 , 求乙比甲先解答完的概率．（ III ）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．附表及公式21. 已知圆圆动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线 .（ I ）求的方程 .（ II ）若直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有 ? 若存在，请说明理由 .22. 已知函数， .（ I ）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；（ II ）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明 .23. 如图，正方形边长为 2 ，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．（ I ）求证：；（ II ）求的值 .24. 在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．（ I ）求点的直角坐标；（ II ）设是圆上的任意一点，求的取值范围．25. 已知函数．（ I ）当时，求不等式的解集；（ II ）若的解集包含，求实数的取值范围 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019届武汉二月调研理科数学答案

—1 —武汉市2019届高中毕业生二月调研测试理科数学参考答案及评分细则13. -12 14. e 15.2n-l 16. f三、解答题17. 解：(1)由 sin2C + sinA =0 知 2sinC • cosC + sinA =0c(a 2 +b 2 -c 2) +弓2 • 6 = 0,而 a = 2,6 = 3, c(4+9-c 2) +12=0,BP c 3 -13c-12=0,(c + l)(c+3)(c -4) =0,而 c >0,「. c =4 .................................................. (6............................................................................................................... 分) (2)在AABC 中，由余弦定理得：cosB =- 益= #,•'• sing = A /1 - cos 2B = /1 - (|r)2 =2ac 16 y 16 lo/. △ABC 的面积 S = ^-acsinB3 /1516=空互 ....................................... (12分)418. 解庭内为矩形，且平面BDD l B 11平面ABCD,8乱 J_平面 ABCD,DD] _L 平面 ABCD在 Rt.D[DC 中,D]C =焰,AD[=尊,AB[=也,连 4C,在梯形 ABCD 中，LDAB =90。

,4〃 =曲=1 =2AC =B,BC 顼,从而 B 】C=B在4&D]C 中,D\C =以,B 、Di = BD =*,B& =后，可知在△务CA 中,8】C=O,4B] =—,AC=8,可知 B.C1AB.B l D 1 (1AB 1 =B Xa2+^2-c2-2ab+ a =0一 2 —. .8]C_L 面又 AD[U 面 BjDjA,.*. CB X 1_AD V ......................................... （6 ..................................................................................................................... 分）（2）取4□中点E,连B 】E,CE由 80]=何 2知 B l E±AD 1 由CD 】=AC 邙知CEj_AD] 由（1）知 B]Cj_ 面 BiQA 则乙&EC =90。