区间估计公式整理

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区间估计和误差计算

区间估计和误差计算

(二)区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。

在进行区间估计的时候,根据所给定的条件不同,总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择: 第一套:给定置信度要求,去推算抽样误差的可能范围。

第二套:根据已给定的抽样误差范围,求出概率保证程度。

1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式,根据置信度F t ()的要求,估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ,并指出估计区间(置信区间)。

具体步骤是:(1)抽取样本,并根据调查所得的样本单位标志值,计算样本平均数x ;计算样本标准差;在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。

(2)根据给定的置信度F t ()的要求,查《正态分布概率表》,求得概率度t 值。

(3)根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆,并据以计算置信区间的上下限。

例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额(元)如下,求在概率95%的保证下,顾客平均消费额的置信区间。

15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步:根据样本计算样本平均数和标准差:x x n ==∑32 (元) S n x x ==-∑2945().(元),用样本标准差代替总体标准差σ=945.(元) 样本平均误差 x n μσ===94549135..(元)第二步:根据给定的置信度F t ()=95%,查概率表得t =196. 第三步:根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。

65.235.196.1=⨯==∆μxx t (元) 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明,以95%的概率保证,麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。

区间估计公式

区间估计公式

区间估计公式区间估计公式是指一种统计方法,用于估计未知参数的范围。

它是根据给定的数据集以及其参数的极限均值推断出的。

这样可以对参数的正确取值作出一个初步的估算。

一、经典区间估计公式1、样本均值估计法根据“大数定律”,当一个随机变量X的抽样样本个数n(→∞)时,X的样本均值的分布收敛到N(μ,σ2/n),可使用样本均值估计法来估计参数μ的值,即令μ = X的样本均数。

2、样本标准差估计法根据中心极限定理,当样本量趋于无穷的时候,样本标准差的分布符合t分布。

令特定的置信度α代替t值,可求得标准差的估计值,即σ^2 '= n·D / (tα/2)^2二、偏态分布估计量偏态分布估计量是一种分布估计法,它采用具备偏态分布特征的数值来估算参数μ和σ。

偏态分布是所有概率分布中最广泛应用的分布之一,它把参数μ和σ拆分成三部分:偏态参数γ,偏度参数ω和尾部形状参数λ。

从而可以从偏态分布中估计出μ、σ和γ、ω、λ的参数值。

三、无偏估计量无偏估计量是另一种用于估算量的分布。

它使用极值法,即按照某种规则,从一系列有限但不受限制的抽样样本中挑选某个值作为未知数的无偏估计值。

最常用的无偏估计量有方差法和方差除以样本数法。

方差估计量是一种比较简单的无偏估计量,它可用以下公式计算:σ^2 = 1 / n*Σ(xi - X)^2其中n是样本量,xi代表每个样本取值,X表示样本均值。

而另一种常用的无偏估计量就是方差除以样本数的方法,它的公式为:σ^2 = Σ(xi - X)^2 / n - 1四、交叉验证法交叉验证是一种分布估计法,它可以用来预测参数μ和σ,以便获得更准确的估算结果。

交叉验证首先将样本随机分为若干组,然后在每一组中利用其他组的信息来估计参数。

估计出的参数值在另外一组中进行验证,以期往复进行,直到每个组都意义数次验证。

然后再求出每次验证的参数的平均值以求得参数的最终估计值。

五、bootstrap法bootstrap是一种分布估计的方法,它可以用来估计三种不同的参数:均值、标准差和相关系数等。

第2节 区间估计

第2节  区间估计


2
~ (n 1)
2
在给定的置信度1 下,由
P{12 2 (n 1) 2 22 (n 1)} 1

2 的置信区间为:
2 (n 1) S 2 (n 1) S , 2 2 (n 1) 1 (n 1) 2 2
即 P X u X u 1 n 2 n 2 置信度为1 的置信区间是 ( X u , X u )
n
2
n
2
例1 包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单 位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,
2 ( n 1) S n 11 0.04 2 0.0224 2 (n 1) 19.675
故所求置信区间为: (0.0224, 0.0962)
二、两个正态总体均值差与方差比的置信区间 1、二总体均值差
1 2 的区间估计
2 X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) 设两总体
n2
n2
Yi 2
2
) 2 ~ 2 ( n2 )
1 故F

1
2 1 i 1 n2
(X
i
n1
i
1 )
2
2
n1 ~F (n1 , n2 ) n2
( , ) 即是 的置信度为 1 的置信区间
正态总体参数的区间估计
一、单总体均值与方差的区间估计
二、双总体均值差与方差比的区间估计
三、小结
一、单正态总体均值与方差的区间估计 1.单总体均值 的置信区间 X ~ N ( , 2 ), 2 已知时 (1)设

单组数据的位置参数置信区间估计

单组数据的位置参数置信区间估计

单组数据的位置参数置信区间估计《单组数据的位置参数置信区间估计》在统计学中,位置参数是描述数据集中心值的统计量。

当我们只有一组数据时,我们想要估计这个数据集的位置参数时,可以使用置信区间估计。

置信区间估计是通过估计数据集的中心值,并给出一个置信水平,用以表示我们估计的值在给定范围内的可能性。

首先,我们需要确定置信水平。

常用的置信水平有90%、95%和99%。

置信水平越高,估计的范围将会越宽。

然后,我们需要选择一个适当的统计量来估计数据集的中心值。

常见的统计量有样本均值和中位数。

样本均值是指一组数据的平均值,而中位数是指将数据从小到大排列后,位于中间的数值。

接下来,我们使用适当的公式来计算置信区间。

对于样本均值来说,置信区间的计算可以使用以下公式:置信区间 = 样本均值 ± t值 ×标准误差其中,t值可以从t分布表中查找,与选择的置信水平和样本大小有关。

标准误差是样本标准差除以样本大小的平方根。

对于中位数来说,由于计算的复杂性,我们一般使用非参数方法来估计置信区间。

其中一个常用的方法是基于百分位数的置信区间。

最后,我们将计算出来的置信区间进行解释。

例如,如果我们得出的置信区间是(10, 20),意味着我们有95%的置信水平认为这个数据集的中心值在10到20之间。

同时,这也意味着我们有5%的可能性认为中心值不在这个区间内。

需要注意的是,单组数据的位置参数置信区间估计有一些假设前提,如数据满足正态分布、样本大小足够大等。

如果数据不满足这些假设,我们需要使用其他方法进行估计。

综上所述,《单组数据的位置参数置信区间估计》是一种通过计算置信区间来估计数据集中心值的方法。

通过选择适当的置信水平和统计量,我们可以在给定范围内估计数据集的位置参数,并对结果进行解释。

这种方法可以帮助我们在没有大样本量的情况下,对单组数据进行较为准确的估计。

参数的区间估计

参数的区间估计

参数的区间估计1. 参数的概念参数是指一种描述总体特性的量,通常用符号表示。

以样本均值为例,我们通常用$\bar{x}$表示样本均值,用$\mu$表示总体均值,$\bar{x}$就是关于$\mu$的一个参数。

2. 区间估计的基本思想区间估计是通过样本的统计量来估计总体的参数,因为样本数据毕竟是有限的,所以估计值与真实值之间必然存在误差。

为了消除这种误差,我们采用确定一个区间的方法,即“置信区间”。

置信区间是指用样本数据计算出来的一个范围,其含义是真实的总体参数值有一定的置信水平(置信度)落在这个区间内。

①确定信赖水平(置信度)$1-\alpha$,$\alpha$称为显著性水平。

②根据样本均值选择合适的经验公式或理论公式来计算样本估计量的标准误差。

③根据置信度$1-\alpha$,查找$t$分布表或正态分布表,得到置信水平为$1-\alpha$的$t$值或$z$值。

④根据样本容量和总体方差是否已知,确定区间估计公式。

⑤根据置信度和样本数据计算出置信区间。

下面具体介绍区间估计的步骤:A. 确定总体所服从的概率分布总体可以服从正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布,其中正态分布是最为常用的一种分布。

B. 确定样本容量$n$样本容量$n$的大小直接影响到置信区间的精度,当样本容量越大,置信区间的长度就越短。

一般观测数据越多,则样本容量越大。

C. 确定置信度$1-\alpha$置信度是指总体参数落在某一特定区间内的概率,一般取$95\%$或$99\%$。

D. 求出样本均值$\bar{x}$样本均值$\bar{x}$是样本中所有元素值的总和除以样本容量$n$,即$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$E. 求出样本方差$s^2$若总体标准差未知,用样本标准差$s$代替,$S(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$G. 选择合适的分布当总体服从正态分布,$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布;当总体未知且样本容量$n$较小($n<30$),$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$服从$t$分布。

总体均值的区间估计公式

总体均值的区间估计公式

2.总体均值的区间估计
总体均值的区间估计公式: S X ± Z (1-α) √n 其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-α) 为置 信度是1-α所对应的 Z 值. n为样本规模.
计算练习:
调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作 为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准 差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均 工资的置信区间是多少.
42 1.96× √900
Z 检验表
P≤ 0.10 0.05 0.02 0.01 │Z│≥ 一端 1.29 1.65 2.06 2.33 二端 1.65 1.96 2.33 2.58
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为: P(1—p) P±Z(1-α)
n
这里,P为样本的百分比 。 例题: 从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下,估计全厂工人中女工比例的置信区间。
1.假设检验的依据

假设检验所依据的是概率论中的“小概率
原 理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的 原 理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢? 一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了, 另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而
3.假设检验的步骤:
①建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设. ②根据需要选择适当的显著性水α(即 小概率的大小).通常α=0.05或α=0.01等. ③根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值. ④将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.

总体参数的区间估计公式

总体参数的区间估计公式

总体参数的区间估计公式在进行区间估计时,我们首先需要收集到一个样本,并根据样本对总体参数进行估计。

然后根据样本的统计量,结合分布的性质和抽样方法,建立置信区间。

设总体参数为θ,我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。

置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度,一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。

参数估计的方法有很多,具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。

常见的参数估计方法有:1.总体均值的区间估计:假设总体呈正态分布,样本大小为n,则总体均值的区间估计公式为:[样本均值-Z值(α/2)*总体标准差/√(n),样本均值+Z值(α/2)*总体标准差/√(n)]其中Z值(α/2)为标准正态分布的分位数,可以从标准正态分布表中查得。

2.总体比例的区间估计:假设总体为二项分布,样本大小为n,成功的次数为x,则总体比例的区间估计公式为:[样本比例-Z值(α/2)*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值(α/2)*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值(α/2)为标准正态分布的分位数,可以从标准正态分布表中查得。

3.总体方差的区间估计:假设总体呈正态分布,样本大小为n,则总体方差的区间估计公式为:[(n-1)*样本方差/卡方分布(α/2),(n-1)*样本方差/卡方分布(1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布,可以从卡方分布表中查得。

以上是常见的总体参数区间估计公式,这些公式是根据统计学理论推导而来的,适用于不同情况下的参数估计。

在实际应用中,我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法,计算置信水平的区间估计,从而对总体参数进行估计和推断。

区间估计

区间估计
事 先 给 定 的 , 0 1, 存 在 两 个 统 计 量, 使 得:
P{ ( X1, X 2 ,...,X n ) ( X1, X 2 ,...,X n )} 1
则称区间 , 为 的置信度为1 的置信区间,
和 分 别 为 置 信 下 限 和 置 信上 限,1 为 置 信 水 平.
例:设有一批胡椒粉,每袋净重 X(单位:克)服 从正态分布.从中任取8袋,测得净重分别为: 13.1, 11.9, 12.4, 12.3, 11.9, 12.1 12.4, 12.1 . 试求μ 的置信 度 为 0.99 的置信区间.
解 n 8, 经计算得 x 12.15, s2 0.04
对于给定的置信度1 ,怎样根据样本来确定未知
参数θ 的置信区间 ˆ1,ˆ2 呢? 步骤如下:
(1)构造样本函数Y Y ( X1, X2,, Xn; ) ,且已知其分布. 简记:Y Y ( )
(2) 由 Y( ) 的 分 布 定 出 : 分 位 点 a 和 b , 使 得
二.正态总体方差的区间估计
均值已知时方差的区间估计(自学)
设( X1, X 2,...,X n )是取自正态总体N(, 2 )的样本,
0为已知常数,要求 2的置信度为1的置信区间.
由于这时
n
(Xi 0 )2
2 i1 2
~ 2(n)
对 于 给 定 的 置 信 度1 , 查 2分 布 表 得 两 个 分 位 点
Pa Y ( ) b 1 (置信度 1 )
(3)从不等式 a Y( ) b 中解出θ ,得出其等价形式
ˆ1X1, X2,, Xn ˆ2X1, X2,, Xn

区间估计

区间估计

S 12 S 12 1 1 2, 2 F1 α (m 1, n 1) S 2 Fα (m 1, n 1) S 2 2 2
由样本观测值
n1 = 18 , n2 = 13 ,
2 s1 = 0.34 , 2 s2 = 0.29 ,
又由 1 α = 0.90 ,得 1 α = 0.95 , α = 0.05 2 2 查表, 查表,得 Fα (m 1, n 1) = F0.05 (17, 12) = 2.59
1 1 n 2 1 n
置信区间与置信度的意义
95 如 :( , 为未知参数 的置信度为 % 的置信区间 θ θ) θ
若重复抽样 次 , 则在得到的 个区间中包含 100 100 个左右, θ 真值的有95个左右 , 不包含 真值的有5个左右. θ
θ真值落在每个区间的概 率是95%
求置信区间的步骤
不是随机区间
x ( 样本观察值为 = 5.2, 则得到区间 4.71,5.69)
若反复抽样多次, 若反复抽样多次,每个 这些区间中, 这些区间中,包含 样本值确定一个区间, 样本值确定一个区间,
%,不包含 的约占 95%,不包含 的约占 5%, 95%”
5 “( 4 . 71,. 69)属于那些包含 的区间的可信程度为
两样本相互独立。 X 分别为两样本的均值, 两样本相互独立 。 设 , Y 分别为两样本的均值 ,
2 S12 , S 2 分别为两样本的方差
σ1 求
2
σ2
2
1 的置信水平为 -α的置信区间
若1, 2未知
构造统计量
σ
2 S 12 S 2 2 1
σ
2 2
~ F ( n1 1, n 2 1 )
2 S 12 S 2 P F1α 2 ( n1 1, n2 1) < 2 2 < Fα 2 ( n1 1, n2 1) = 1 α σ1 σ2

浙大四版概率论与数理统计 《0-1分布参数的区间估计》

浙大四版概率论与数理统计 《0-1分布参数的区间估计》

n 100,
1 0.95,
2 则 a n z / 2 103.84,
2 2 b ( 2nX z ) ( 2 n x z /2 / 2 ) 123.84,
c nX nx 36,
2 2
b b 2 4ac 0.50, 于是 p1 2a b b 2 4ac p2 0.69, 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac , , 2 a 2 a
2 2 2 其中 a n z , b ( 2 n X z ), c n X . /2 /2
推导过程如下: 因为(0–1)分布的均值和),
p 的置信水平为0.95的置信区间为 (0.50, 0.69).
例2 设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求这批产品的次品率 p 的置信水平为0.90的置信 区间. 9 0.09, 1 0.90, 解 n 120, x 100
2 则 a n z 2 122.71, 2 2 b ( 2n X z ) ( 2 n x z 2 2 ) 24.31,
设 X 1 , X 2 ,, X n 是一个样本, 因为容量n较大,
由中心极限定理知
X i np
i 1
n
nX np np(1 p ) np(1 p )
近似地服从 N (0,1) 分布,
nX np P z / 2 z / 2 1 , np(1 p)
c n X nx 2 0.972,
2
b b 4ac 0.056, 于是 p1 2a
2
b b 4ac 0.143, p2 2a

置信区间长度计算公式(一)

置信区间长度计算公式(一)

置信区间长度计算公式(一)置信区间长度简介置信区间是统计学中的一个概念,用来对一个总体参数的范围进行估计。

置信区间长度是指置信区间的上限和下限之间的差值。

在进行统计推断时,我们通常希望置信区间长度越短越好,因为这意味着我们对总体参数的估计更加精确。

计算公式置信区间长度的计算取决于所使用的估计方法和数据情况,下面列举了一些常用的计算公式。

1. 正态分布的置信区间对于一个服从正态分布的总体,置信区间的计算可以使用下面的公式:置信区间上限 = 样本均值 + Z值 * 标准误差置信区间下限 = 样本均值 - Z值 * 标准误差其中,Z值是对应于所选置信水平的标准正态分布的分位数,标准误差是总体标准差的估计量。

2. 二项分布的置信区间对于一个服从二项分布的总体,置信区间的计算可以使用下面的公式:置信区间上限 = 样本比例 + Z值 * 标准误差置信区间下限 =样本比例 - Z值 * 标准误差其中,样本比例是成功事件发生的次数与总试验次数之比,Z值是对应于所选置信水平的标准正态分布的分位数,标准误差是二项分布方差的估计量。

3. t分布的置信区间当样本数量较小且总体标准差未知时,可以使用t分布进行置信区间的计算。

公式如下:置信区间上限 = 样本均值 + t值 * 标准误差置信区间下限 =样本均值 - t值 * 标准误差其中,t值是与所选置信水平和样本量相关的t分布的分位数,标准误差是总体标准差的估计量。

示例说明为了更好地理解置信区间长度的概念,我们举一个例子进行说明。

假设我们想要估计某个城市的平均气温,按照统计学的方法,我们随机抽取了100个样本进行测量。

假设样本的均值为25摄氏度,标准差为2摄氏度。

首先,我们可以使用正态分布的计算公式计算出置信区间的上限和下限。

假设选择了95%的置信水平,对应的Z值为。

标准误差可以通过样本标准差除以样本量的平方根来估计。

假设总体标准差未知,我们使用样本标准差作为估计量。

通过代入计算,得到置信区间上限为摄氏度,下限为摄氏度。

《概率学》7.2区间估计

《概率学》7.2区间估计
S/ n
3
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
4 n ( X i )2 ~ 2 (n)
i1
证明2. 由于 X ~ N(, 2 ) ,
n 所以 X ~ N(0,1)
/ n

(n 1)
2
S
2
~
(2 n 1)
且与 X 相互独立
/ n

X
/ n
(n 1)S 2
2
/ (n 1)
( X ) ~ t(n 1)
区间估计:就是用样本来确定一个
区间,使这个区间以很大的概率包含所
估计的未知参数,这样的区间称为置信
区间.
3
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第2节 区间估计
第七章 参数估计
一、参数的区间估计法
设总体X的分布中含有未知参数θ , 若由来自总体X
的一个样本确定的两个统计量:
ˆ1 ˆ1(X1X2,..., Xn ) , ˆ2 ˆ2(X1X2,..., Xn ) ,
置信区间
X
u
2
n
X
t (n 1)
2
S
n
μ已知
σ2
μ未知
1
2
n
(Xi
i1
)2
~
2 (n)
n
(Xi )2
i1
2
2
(n)
,
n
(Xi
)2
i1
2 1
(n)
2
(n 1)S 2 2
~ 2 (n 1)
(n x2
1)S 2 (n 1)
,
2
(n 1)S 2
x12 2

总体方差的区间估计例题

总体方差的区间估计例题

总体方差的区间估计例题
假设我们有一个总体数据集X,我们想要估计它的总体方差。

1. 收集样本数据:从总体中随机抽取n个样本数据。

2. 计算样本方差s^2:根据样本数据计算样本方差s^2。

3. 确定置信水平:确定置信水平,例如95%置信水平。

4. 计算临界值:根据置信水平和自由度(n-1)来查找临界值。

可以使用t分布或卡方分布。

5. 计算置信区间:根据计算得到的临界值,可以构建一个置信区间来估计总体方差。

置信区间的计算公式为:
置信区间 = [(n-1)*s^2/临界值下限, (n-1)*s^2/临界值上限]
临界值下限和临界值上限分别为在分布表中查到的对应值。

6. 解释结果:根据置信区间,解释估计总体方差的区间。

例如,我们可以说我们有95%的置信水平认为总体方差在置信区间内。

需要注意的是,以上方法假设总体数据符合正态分布。

如果总体数据不符合正态分布,可以考虑使用非参数方法进行估计。

区间估计标准误

区间估计标准误

区间估计标准误
区间估计的标准误是指用于计算区间估计的标准差。

它是一个统计量,用于衡量样本数据的变异程度,从而评估估计值的准确性。

标准误的计算公式为:
标准误 = 样本标准差 / √样本容量
其中,样本标准差是样本数据的标准差,样本容量是样本数据的数量。

标准误的大小与样本容量有关,样本容量越大,标准误越小,估计值的准确性越高。

标准误还与样本数据的变异程度有关,样本数据的变异程度越大,标准误越大,估计值的准确性越低。

在进行区间估计时,常用标准误来计算置信区间。

置信区间是指对总体参数的估计范围,通常以估计值为中心,上下限分别为估计值加减一个倍数的标准误。

常见的置信水平有95%和99%。

第七章区间估计

第七章区间估计
由中心极限定理,可近似地视 X ~ N (, 2 )
n
若2已知时,则 的置信度为1- 的置信区间
可取为
X u
2n
若2未知时,则 的置信度为1- 的置信区间
可取为
X t S 2n
例5 设 X 服从参数为 p 的0-1分布, 样本为
X1, X2, , Xn ( n > 50 ).
求 p 的置信度为 1 的置信区间
解 10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10时, 1 0.95,
2 查表得 u /2 u0.05 1.645,
x
n u / 2 502.92
10 1.645 498.17, 12
x
n u / 2 502.92
10 1.645 507.67, 12
说明
1 置信区间的长度反映了估计精度
区间长度越小,估计精度越高.
2 反映了估计的可靠程度度, 越小,越可
靠, 越小,1- 越大,估计的可靠度越高,但,
这时区间长度往往增大,因而估计精度降低.
3 确定后,置信区间的选取方法不唯一,常选最
小的一个.
可靠度与精度是一对矛盾,一般是在保证可靠度的条 件下尽可能提高精度.
)
nE(
X
2
)
1
n
1
n i 1
[D( Xi
)
E( X i
)2 ]
n[D( X )
E
2
(
X
)]
n
1
1
n i 1
[
2
2
]
2
n n
2
பைடு நூலகம்
2,
于是

4.5 区间估计

4.5 区间估计
说明对虾体长有99%把握落在110.4mm~129.6mm 区间里
当两个样本为小样本,总体方差σ12和σ22未知,且两总体
方差不相等,即σ12 ≠ σ22时,可由两样本方差s12和s22对总体方
差σ12和σ22的估计而算出的t值,已不是自由度df=n1+n2-2的t 分布,而是近似的服从自由度df '的t分布,在置信度为P=1-α
在置信度为P=1-α下,两总体 频率差数p1-p2的区间估计为
ˆ1 p ˆ 2 ) u p ˆ1 p ˆ 2 ) u p [( p ˆ1 p ˆ2 , ( p ˆ1 p ˆ2 ]
其置信区间的下限L1和上限L2为:
ˆ1 p ˆ 2 ) u p ˆ1 p ˆ 2 ) u p [L1 ( p ˆ1 p ˆ 2 , L1 ( p ˆ1 p ˆ2 ]
P( 2.58 x x 2.58 x ) 0.99
P( x 2.58 x ) P( x 2.58 x ) 0.01
P( x 1.96 x x 1.96 x ) 0.95 P( x 2.58 x x 2.58 x ) 0.99
( L1 x u x , L2 x u x )
( L1 x u x , L2 x u x )
用样本平均数 x 对总体平均数μ的置信度为P=1-α 的区间估计。
L x u x
用样本平均数 x 对总体平均数μ的置信度为P=1-α 的点估计。
一、参数区间估计与点估计的原理
无论区间估计还是点估计,都与概率显著水平α的 大小联系在一起。 α越小,则相应的置信区间就越大,也就是说用样 本平均数对总体平均数估计的可靠程度越高,但这 时估计的精度就降低了。

区间估计

区间估计

5、变形可得 未知参数的置 信区间.
变形为
P{x

n
u1 2 x

n
u1 2 } 1
于是所求μ的置信度为1-α 的置信区间为
[x

n
u1 2 , x

n
u1 2 ]
也可简记为
σ [x u1 α 2 ] n
注:我们总是希望置信区间尽可能短.
例如: 设 X1,…, Xn 是取自 N ( , 2 ) 的样本, 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
1、明确问题,是求哪个参数的置信区间? 置信水平是多少?
解: 选
的点估计为 X ,
2、寻找未知 参数的一个良 好估计.
3、寻找一个待估参数和样本的函数,要求其 分布为已知.
x 105.36 。由于是正态总体,且方差已知。总 体均值 在 1- 置信水平下的置信区间为
x u1

2
10 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92 101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g。
25 1 93.21 2 25 1 93.21
12.4011
该企业生产的食品总体重量标准差的置信区 间为7.54g~13.43g。
估计总体均值时样本量的确定 (例题分析)
【例 4】拥有工商管理学士学位的大学毕业 生年薪的标准差大约为2000元,假定想要估 计年薪 95% 的置信区间,希望边际误差为 400元,应抽取多大的样本量?
(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
2 (n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 1 (n 1) (n 1) 2 2 注:两边开方即得到 的置信区间

总体方差的区间估计例题

总体方差的区间估计例题

总体方差的区间估计例题
摘要:
1.总体方差的区间估计概念
2.区间估计的基本原理
3.计算总体方差区间估计的例题
4.例题解析
正文:
一、总体方差的区间估计概念
总体方差是指一个总体的所有观测值的离差平方和的平均值。

总体方差的区间估计,就是在没有给出总体方差的确切值的情况下,通过对样本数据的分析,得到一个包含总体方差真实值的区间范围。

二、区间估计的基本原理
区间估计是基于抽样分布理论的一种统计推断方法。

其基本原理是:由样本数据计算出某个统计量的抽样分布,然后根据这个分布的性质,确定出一个包含总体参数真实值的区间范围。

三、计算总体方差区间估计的例题
假设我们有一个包含n 个观测值的样本,其均值为μ,标准差为σ,我们要估计总体方差。

根据中心极限定理,样本均值的分布近似于正态分布,其方差为总体方差除以n。

因此,我们可以通过构建一个包含样本均值和标准差的区间,来估计总体方差。

具体的计算公式为:
方差区间= [μ- z*σ, μ+ z*σ]
其中,z 是标准正态分布的分位数,对应于1-α的置信水平。

α是显著性水平,一般取0.05。

四、例题解析
假设我们有一个包含5 个观测值的样本,其均值为10,标准差为3,我们要估计总体方差。

首先,计算z 值,对应于1-α=0.95 和n=5,查表得到z=1.96。

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區間估計公式整理 張翔 編
一、單一母體平均數之雙尾信賴區間
假設條件:2
X ,X ,,X ~iid N(,)µσ", 常態母體
假設條件:2
X ,X ,,X ~iid (,)µσ", 母體非常態或分配未知
二、單一母體變異數之雙尾信賴區間
假設條件: 2
X ,X ,,X ~iid N(,)µσ", 常態母體 *222211111X )X 2X S (µµµ===⎛⎞′=
−=−+⎜⎟⎝⎠
∑∑∑n
n
n
i i i i i i n n n 2
n
122
211
X 11S (X X)X 11===⎛

⎜⎟=−=−⎜⎟−−⎜⎟⎝

∑∑∑n n i
i i i i i n n n
,
三、單一母體比例之雙尾信賴區間
假設條件:
X ,X ,,X ~iid Ber()p ", 母體Bernoulli 分配 *其中 1
X
ˆi
i p n
==∑
四、兩獨立母體平均數差異之雙尾信賴區間
假設條件:
21211X ,X ,,X ~iid N(,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid N(,)n µσ", 常態母體
*其中 2
221122
12(1)S (1)S 2
p
n n S n n −+−=+−2212
12Welch
2222121212S S df S S 11
n n
n n n n ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠+−−,
假設條件: 21211X ,X ,,X ~iid (,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid (,)n µσ", 母體非常態或分配未知 *若12未知則以代入, 餘皆不變
12
五、兩相依母體平均數差異之雙尾信賴區間
假設條件:
2X ,X ,,X ~iid N(,)µσ", 2
Y ,Y ,,Y ~iid N(,)µσ", 常態母體 *其中, 故22D
1
1S (D D)1n
i i n ==−−∑D X Y i i i =−212D D
D ,D ,,D ~iid N(,)n µσ",
假設條件: 21211X ,X ,,X ~iid (,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid (,)n µσ", 母體非常態或分配未知 *其中, 故22D
1
1S (D D)1n
i i n ==−−∑D X Y i i i =−212D D
D ,D ,,D ~iid (,)n µσ",
六、兩獨立母體變異數比例之雙尾信賴區間
假設條件:
21211X ,X ,,X ~iid N(,)n µσ", 2
1222Y ,Y ,,Y ~iid N(,)n µσ", 常態母體 *其中12211111X )i i n S (µ=′=−∑22222121(Y i i n ,S )µ=′=−∑1221111X 1i i n ==−−∑S (,X)222
212
1Y Y)1i
i n ==−−∑S ( ,
七、兩獨立母體比例差異之雙尾信賴區間
假設條件:
X ,X ,,X ~iid Ber()p ", Y ,Y ,,Y ~iid Ber()p ", 常態母體 *其中 1
1
11
X
ˆX i
i p n ==
=∑2
1
22
Y
ˆY i
i p
n ===∑,。

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