必修一函数定义域 求法
有关高一数学必修一函数知识点总结4篇
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下面就让小编给大家带来高一数学必修一函数知识点总结，希望大家喜欢! 高一数学必修一函数知识点总结篇1知识点总结本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。
函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。
所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。
一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。
四、常见考法本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。
选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。
在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。
多考查函数的单调性、最值和图象等。
五、误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。
4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。
5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。
高一数学必修一函数知识点总结篇2一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
高中数学函数定义域的求法
高中数学函数定义域的求法
求函数定义域的方法有以下几种：
1. 根据函数的解析式确定：
- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得
有理式的分母不为零的实数值。
- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得
无理式的被开方数不小于零的实数值。
- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域
就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。
2. 根据函数的图象确定：
- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就
是曲线所覆盖的所有实数值。
- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就
是这些点的横坐标所组成的集合。
3. 根据问题的实际意义确定：
- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那
么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。
需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。
同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。
函数定义域的几种求法
函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。
求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。
例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。
2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。
例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。
3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。
4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。
例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。
根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。
所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
函数的定义域及求法讲解
函数一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、定义域的相关求法：利用函数的图象或数轴法；利用其反函数的值域法；6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．例题：1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lgmx2-4mx+m+3的定义域为R,求实数m的取值范围．解析：利用复合函数的定义域进行分类讨论当m=0时,则mx2-4mx+m+3=3,→ 原函数的定义域为R；当m≠0时,则 mx2-4mx+m+3＞0,①m＜0时,显然原函数定义域不为R；②m＞0,且△＝-4m2-4mm+3<0 时,即０＜m＜１,原函数定义域为R, 所以当m∈0,1 时,原函数定义域为R．4、求函数y=logx + 1 x≥4 的反函数的定义域．2解析：求原函数的值域由题意可知,即求原函数的值域,x≥2∴y≥3∵x≥4,∴log2所以函数y=logx + 1 x≥4 的反函数的定义域是3,+∞．2x的定义域．5、函数f2x的定义域是-1,1,求flog2解析：由题意可知2-1≤2x≤21→ fx定义域为1/2,2→ 1/2≤logx≤2→ √￣2≤x≤4．2x的定义域是√￣2,4．所以flog2二、函数的值域及求法1、一次函数y=kx+bk≠0的值域为R；2、二次函数的值域：当a＞0时,y≥-△/4a ,当a＜0时,y≤-△/4a ；3、反比例函数的值域：y≠0 ；4、指数函数的值域为0,+∞；对数函数的值域为R；5、正弦、余弦函数的值域为-1,1即有界性；正切余切函数的值域为R；6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．例题：：求下列函数的值域解析：1、利用求反函数的定义域求值域先求其反函数：f-1x=3x+1/x-2 ,其中x≠2,由其反函数的定义域,可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}2、利用反比例函数的值域不等于0由题意可得,因此,原函数的值域为1/2,+∞4、利用分离变量法和换元法设法2x＝t,其中t＞0,则原函数可化为y=t+1/t-1 → t=y+1/y-1 ＞０∴y>1或y<-1 5、利用零点讨论法由题意可知函数有3个零点-3,1,2, ①当x<-3时,y=-x-1-x+3-x-2=-3x ∴y>9 ②当-3≤x<1时,y=-x-1+x+3-x-2=-x+6 ∴5<y≤9 ③当1≤x<2时,y=x-1+x+3-x-2=x+4 ∴5≤y<6 ④当x ≥2时,y=x-1+x+3+x-2=3x ∴y≥6 综合前面四种情况可得,原函数的值域是5,+∞6、利用函数的有界性三、函数的单调性及应用1、 A为函数fx定义域内某一区间,2、单调性的判定：作差fx1-fx2判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：fx,gx 同增、同减,fgx 为增函数,fx,gx一增、一减,fgx 为减函数．例题：2、设a＞0且a≠1,试求函数y=loga4+3x-x2的单调递增区间．解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可得原函数的定义域是－１,４,设u=4+3x-x2 ,其对称轴是 x=3/2 ,所以函数u=4+3x-x2 ,在区间－１,3/2 上单调递增；在区间3/2 ,4上单调递减．u 在其定义域内为增函数,由x↑→u↑→y↑ ,得函数①a＞１时,y=loga4+3x-x2的单调递增区间．u=4+3x-x2的单调递增区间－１,3/2 ,即为函数y=loga②０＜a＜１时,y=logu 在其定义域内为减函数,由x↑→u↓→y↑ ,得a4+3x-x2的单调递增区间．函数u=4+3x-x2的单调递减区间3/2 ,4,即为函数y=loga2-ax 在0,1上是x 的减函数,求a的取值范围;3、已知y=loga解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可知,a＞０．设u＝gx=2－ax,则gx在０,１上是减函数,且x=１时, =2-a ．gx有最小值umin=2-a＞０则可,得a＜２．又因为u＝gx＝2－ax＞０,所以, 只要 umin又y=log2-ax 在0,1上是x 减函数,u＝gx在０,１上是减函数,au是增函数,故a＞１．即x↑→u↓→y↓ ,所以y=loga综上所述,得１＜a＜2．４、已知fx的定义域为０,＋∞,且在其上为增函数,满足fxy=fx+fy,f2=1 ,试解不等式fx+fx-2<3 ．解析：此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值由题意可得,f4=f2+f2=2 ,3=2+1=f4+f2=f4×2=f8又fx+fx-2=fx2-2x所以原不等式可化成fx2-2x<f8所以原不等式的解集为｛x|2<x<4｝四、函数的奇偶性及应用1、函数fx的定义域为D,x∈D ,f-x=fx → fx是偶函数；f-x=-fx→是奇函数2、奇偶性的判定：作和差f-x± fx=0 判定；作商fx/f-x= ±1,fx≠0 判定3、奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、函数的图象关于原点对称奇函数；函数的图象关y轴对称偶函数5、函数既为奇函数又为偶函数 fx=0,且定义域关于原点对称;6、复合函数的奇偶性：奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇．例题：解析：①利用作和差判断由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,即,fx = -fx ,∴原函数是奇函数．②利用作商法判断由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,２∵fx 的图象关于直线x=1对称,∴ f1-1-x＝f1+1-x ,x∈R ,即fx ＝f2-x ,又∵ fx在R上为偶函数,→ f-x＝fx＝f2-x＝f2+x∴ fx是周期的函数,且2是它的一个周期．五、函数的周期性及应用1、设函数y=fx的定义域为D,x∈D,存在非0常数T,有fx+T=fx → fx为周期函数,T为fx的一个周期；2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π,函数y=Asinωx+φ和y=Acosωx+φ的最小正周期是T = 2π/|ω| ；3、正切、余切函数的最小正周期为π,函数y=Atanωx+φ和y=Acotωx+φ的周期是T=π/|ω| ；4、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；5、一般地,sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半,tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ,y=|cotx|的周期是π．例题：1、求函数 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期．解析：利用周期函数的定义y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cosx + π/2|+|sinx + π/2|即对于定义域内的每一个x,当x 增加到x + π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2 ．3、 求函数y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期．解析：最小公倍数法和公式法,设fx 、gx 是定义在公共集合上的两上三角周期函数,T 1、、T 2分别是它们的周期,且T 1≠T 2,则fx± gx 的最小正周期等于T 1、、T 2的最小公倍数．注：分数的最小公倍数 = 分子的最小公倍数/分母的最大公约数．由题意可知,sin3x的周期是T1= 2π/3,tan2x/5的周期是T2=5π/2,∴原函数的周期是T=10π/1 =10π ．4、求函数y=|tanx|的最小正周期．解析：利用函数的图象求函数的周期函数y=|tanx|的简图如图：由函数y=|tanx|的简图可知,其最小正周期是π．5、设fx是-∞,+∞上周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=x,求f解析：利用周期函数的定义由题意可知,f2+x = fx∴ f ＝f ＝f ＝－f ＝－０.５。
数学必修一函数知识点
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。
接下来小编在这里给大家分享一些关于数学必修一函数知识点，供大家学习和参考，希望对大家有所帮助。
数学必修一函数知识点篇一1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高一数学必修一函数定义域值域解析式求法综合练习
函数定义域、值域、解析式综合练习一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为 ；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼y = ⑽4y =⑾y x =6、已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x = ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
高一数学必修1复合函数定义域的求法
解:
由y
k
x2
kx 7 4kx
3
的定义域为一切实数, 可知
分母kx2 4kx 3 0对x R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0,解得: 0 k 3 4
综上(1),(2)知,当0 k 3 时 4
y
Байду номын сангаас
kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0,2],求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}
2
2
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
题型(二):已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ax2 ax 1 0恒成立，
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a
0
时
函数定义域值域求法 全十一种
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式或组即得原函数的定义域;例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域;解：要使函数有意义,则必须满足 由①解得 3x -≤或5x ≥; ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5;故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且; 例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域;解：要使函数有意义,则必须满足由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分你会吗 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况; （1）已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域;（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是a,b 求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域;例3 已知)x (f 的定义域为－2,2,求)1x (f 2-的定义域;解：令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-; 2已知)]x (g [f 的定义域,求fx 的定义域;其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,即所求fx 的定义域;例4 已知)1x 2(f +的定义域为1,2,求fx 的定义域; 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，; 即函数fx 的定义域是}5x 3|x {≤≤; 三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围;特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决;例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围;分析：函数的定义域为R,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项的系数是m,所以应分m=0或0m ≠进行讨论; 解：当m=0时,函数的定义域为R ；当0m ≠时,08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要条件是综上可知1m 0≤≤;评注：不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题;例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R,求实数k 的取值范围; 解：要使函数有意义,则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立,因为)x (f 的定义域为R,即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时,0k 34k 162<⨯-=∆恒成立,解得43k 0<<； ②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立; 综上k 的取值范围是43k 0<≤;四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识;例7 将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域;解：设矩形一边为x,则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积;ax 21x 2+-=;由问题的实际意义,知函数的定义域应满足2a x 0<<⇒; 故所求函数的解析式为ax 21x y 2+-=,定义域为0,2a ;例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并求定义域;解：由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图;因为CD=AB=2x,所以x CD π=⋂,所以2xx 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂, 故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= 根据实际问题的意义知故函数的解析式为Lx x )22(y 2+π+-=,定义域0,2L+π; 五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论;例9 已知)x (f 的定义域为0,1,求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域;解：因为)x (f 的定义域为0,1,即1x 0≤≤;故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a1x a 即两个区间－a,1－a 与a,1+a 的交集,比较两个区间左、右端点,知 1当0a 21≤≤-时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-； 2当21a 0≤≤时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {-≤≤； 3当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时Fx 不能构成函数; 六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集;因此,求函数的单调区间,必须先求定义域;例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间;解：由03x 2x 2>++-,即03x 2x 2<--,解得3x 1<<-;即函数y 的定义域为－1,3;函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的;4)1x (3x 2x t 22+--=++-=,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数,而t log y 2=在其定义域上单调增； 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- ,所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数,在区间)31[，上是减函数;函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到; 例1. 求函数x1y =的值域;解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域; 解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域;解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是：4,8 3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域;解：原函数化为关于x 的一元二次方程 1当1y ≠时,R x ∈解得：23y 21≤≤ 2当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域;解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++- 1 ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由 0≥∆求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; ∵2x 0≤≤21y ,0y min +==∴代入方程1 解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时,原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域;例6. 求函数6x 54x 3++值域;解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=,其定义域为：53x ≠故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域;例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域;解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域;解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-,可化为：即1y y 3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤- 解得：42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法 例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域;解：令1x log y ,2y 325x 1-==- 则21y ,y 在2,10上都是增函数 所以21y y y +=在2,10上是增函数 当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时,339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域;解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值222= 显然0y >,故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用;例11. 求函数1x x y -+=的值域; 解：令t 1x =-,)0t (≥ 则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知当0t =时,1y min = 当0t →时,+∞→y 故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域;解：因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域; 解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x ,则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2当82k π-π=β时,41y max =当82k π+π=β时,41y min -=而此时βtan 有意义;故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域;解：)1x )(cos 1x (sin y ++=令t x cos x sin =+,则)1t (21x cos x sin 2-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x可得：2t 22≤≤ ∴当2t =时,223y max +=,当22t =时,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243; 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域;解：由0x 52≥-,可得5|x |≤ 故可令],0[,cos 5x π∈ββ= ∵π≤β≤0当4/π=β时,104y max += 当π=β时,54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目;例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域;解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,)8(B -间的距离之和; 由上图可知,当点P 在线段AB 上时,10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域; 解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞ 例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域;解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差;即：|BP ||AP |y -=由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点'P ,则构成'ABP ∆,根据三角形两边之差小于第三边,有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-2当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述,可知函数的值域为：]26,26(- 注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A 、B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B 两点在x 轴的同侧;如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,)1,2(--,在x 轴的同侧；例18的A,B 两点坐标分别为3,2,)1,2(-,在x 轴的同侧; 9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧; 例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域;解：原函数变形为： 当且仅当x cot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈,等号成立 故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域; 解：x cos x sin x sin 4y = 当且仅当x sin 22x sin 22-=,即当32x sin 2=时,等号成立;由2764y 2≤可得：938y 938≤≤-故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法原理：因为)0c (d cx bax y ≠++=在定义域上x与y 是一一对应的;故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围; 例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域;解：∵定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-=故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-=解得23y 23y ->-<或 故函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种方法综合运用例22. 求函数3x 2x y ++=的值域;解：令)0t (2x t ≥+=,则1t 3x 2+=+1当0t >时,21t 1t 11t t y 2≤+=+=,当且仅当t=1,即1x -=时取等号,所以21y 0≤< 2当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元,后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域;解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=令2tan x β=,则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1∴当41sin =β时,1617y max =当1sin -=β时,2y min -=此时2tan β都存在,故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用βsin 的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法;。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。
| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。
③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。
故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。
例 2 求函数1ysin x的定义域。
216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。
（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。
2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。
2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。
（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。
例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。
求函数定义域的方法
求函数定义域的方法（一）1。
使分式的分母不为零的x的取值是函数定义域的一部分；2。
偶次根式中，使被开方数非负的x的取值是函数定义域的一部分；3。
使对数的真数大于零的x的取值是函数定义域的一部分；4。
使对数的底数大于零且不等于1的x的取值是函数定义域的一部分；5。
正切函数tanf(x)中，使f(x)不等于k*180度+90度的x的取值是函数定义域的一部分；6。
[ f(x)]0中使f(x)不等于零的x的取值是函数定义域中的一部分；7。
抽象函数求定义域的方法：（1）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求f（x2+1）的定义域。
（其中x2表示x的平方）（2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0，1），求f（1-3x）的定义域。
解：（1）∵函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴f（x2+1）的定义域为{0}（2）∵函数f（2x-1）的定义域为[0，1），即0≤x＜1∴-1≤2x-1＜1∴f（x）的定义域为[-1，1），即-1≤1-3x＜1∴0＜x≤2/3 ∴f（1-3x）的定义域为（0，2/3]现在我的问题是：为什么函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x？说解此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约的条件是一致的，即都在同一取植范围内。
那么，这个对应法则是什么，又是如何产生这个对应法则的？抽象函数的意思就是对应法则没有给出。
你所注意的是函数的定义域和值域。
比方说，函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x，这是因为此时对应法则施加的对象是x2+1而不是x！！所以此时可以将x2+1看成是一个整体，令x2+1=t,则f(x2+1)=f(t),此时可以把f(x2+1)看成关于变量t的函数。
实际上，这是一个复合函数即y=f(t),t=g(x)=x2+1，以后你会学到的。
所以，这里说的整体法很重要，跟参考书上是一个意思。
1函数定义域值域求法总结
x 1
x
x
0
x
0
∴定义域为：x | x 1或 1 x 0
⑤要使函数有意义,必须：
x2 30
3x 7 0
xxR73
即 x< 7 或 x> 7
3
3
∴定义域为:{x | x 7} 3
例3
若函数 y
ax2 ax 1 的定义域是Ｒ,求实数 a
的取值范围 新疆 王新敞
奎屯
a
解：∵定义域是Ｒ,∴ ax2 ax 1 0恒成立， a
∴这个函数的定义域是{ x | x 1且 x 2 }
同时有意义,
另解：要使函数有意义,必须:
x 1 0 x 1
2 x 0
x
2
例 2 求下列函数的定义域：
① f (x) 4 x2 1
1 函数定义域值域求法总结 ② f (x) x2 3x 4 x 1 2
③ f (x) 1 1 1 1 1 x
（注意：f(x)中的 x 与 f(2x-1）中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同。) 解：∵ｆ(x)的定义域为[－1，1], ∴－1≤2ｘ－1≤1,解之 0≤x≤１, ∴f（2ｘ-1)的定义域为[０,1］。
例 6 已知已知 f(x）的定义域为[-1，1]，求 f(x2)的定义域。 答案:-１≤x2≤1 x２≤1 -1≤x≤1
4
∴函数 y
f (x
1) 4
f
(x
1 4
)
的定义域为：
x
|
3 4
x
3
4
例 5 已知 f(x）的定义域为[－1，１]，求 f（2ｘ－１）的定义域。 分析：法则 f 要求自变量在[－1,1]内取值,则法则作用在 2x－1 上必也要求２x－1 在 [-1,１]内取值， 即－1≤2x－１≤1，解出ｘ的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考ｆ(2x-1）中 2x－１与 f(ｘ)中的 x 位置相同,范围也应一样，∴-1≤2x-１≤1,解出 x 的取值范围就是复合函 数的定义域。
高一数学必修一函数专题：定义域
例题二：已知：函数 f (x) (2x2 5x 2)0 。计算：函数 f (x) 的定义域。
解答：根据一个式子的零次方，这个式子不等于零得到： 2x2 5x 2 0 x 2 且 x 1 。 2
所以：函数 f (x) 的定义域： x (, 1 ) ( 1 ,2) (2,) 。 22
x2 2x 3 0 代表 x 轴下方的图像 x (,1) (3,) 。 （Ⅲ）二次函数 y 2x2 2x 1开口向上， (2)2 4 2 1 4 8 4 0 与 x 轴无交点。如下图所示：
2x2 2x 1 0 代表 x 轴上方和 x 轴上的图像 x R 。 （Ⅳ）二次函数 y x2 3x 4 开口向下， 32 4 (1) (4) 9 16 7 0 与 x 轴无交点。
第二部分：不等式解法
第一种不等式：一元一次不等式
例题：解下列一元一次不等式。
（Ⅰ） 2x 1 0
（Ⅱ） 2 3x 0
解答：（Ⅰ） 2x 1 0 2x 1 x 1 。 2
（Ⅱ） 2 3x 0 3x 2 x 2 。 3
（Ⅲ） 1 x 3 x 3 (2) x 6 。 2
x2 2x 0 代表 x 轴上方图像 x： x (0,2) 。
限制条件四：一个式子的零次方，这个式子不等于零
例题一：已知：函数 f (x) (x 2)0 。计算：函数 f (x) 的定义域。
解答：根据一个式子的零次方，这个式子不等于零得到： x 2 0 x 2 x 2 。 所以：函数 f (x) 的定义域： x (,2) (2,) 。
例题二：已知：函数
f
(x)
1 x 2x 1
。计算：函数
f
(x)
的定义域。
解答：根据分母不等于零得到： 2x 1 0 2x 1 ，1 20 2x 20 x 0 。
求函数定义域的方法步骤
函数定义域是函数的一个重要属性，它描述了函数自变量的取值范围。
求函数定义域是数学学习中的一项基本技能，也是解决许多数学问题的基础。
下面将详细介绍求函数定义域的方法步骤。
**步骤一：理解函数的形式**首先，我们需要理解函数的表达式，包括函数的形式、变量的取值范围、以及函数中涉及到的其他条件。
这些条件可能包括取绝对值时的正负号、对数函数的真数部分等。
**步骤二：确定变量取值范围**在理解了函数的形式后，我们需要确定各个变量在哪些范围内取值。
例如，对于二次函数y = x2，x 需要大于等于0；对于对数函数，x 需要在其定义域内（即大于0）；对于三角函数，需要考虑周期性以及各次方的取值范围等。
**步骤三：检查其他限制条件**有些函数可能涉及到其他限制条件，例如某些函数可能要求自变量在一定区间内连续，或者某些函数可能涉及到一些特定的运算规则，如除法、积分等。
这些限制条件也需要我们一一检查。
**步骤四：验证对应关系**有些函数可能涉及到对应关系，如反函数、映射等。
这些对应关系需要保证自变量在定义域内时，函数的值能够唯一确定。
**步骤五：整体考虑**在确定了以上所有条件后，我们需要将所有条件整体考虑，看是否存在矛盾。
例如，在解不等式组时，我们需要将所有不等式结合起来考虑，看是否能够构成集合。
**总结**总的来说，求函数定义域需要仔细理解函数的形式、变量的取值范围以及其他限制条件，并整体考虑是否存在矛盾。
掌握了这些方法步骤，我们就可以更好地解决数学问题，更好地理解数学概念和公式。
下面我们通过一个具体的例子来说明这些步骤的应用。
**例题**求函数f(x) = x3 - 3x2 + 2 在区间[-2, 4] 上的定义域。
**步骤应用**1. **理解函数形式**：f(x) = x3 - 3x2 + 2，这是一个三次函数。
2. **确定变量取值范围**：在区间[-2, 4] 上，x 可以取任意实数。
3. **检查其他限制条件**：由于f(x) 在定义域内是连续的，所以无需考虑其他限制条件。
必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 （2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零； ☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()f x =的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()1f x x =- 的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D : 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2, ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A 函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{ 10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ）A. []1,4-B. []0,16C. []2,2-D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A例7___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
高中数学必修一函数 解题方法
函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。
一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。
其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。
由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。
若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。
例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。
例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。
(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。
解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。
例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。
例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。
例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。
二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。
高一数学必修一函数知识点总结归纳
高一数学必修一函数知识点总结归纳（5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;２. 复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法:若已知的定义域为［a,b］,其复合函数f[g(ｘ）］的定义域由不等式ａg（x) b解出即可；若已知f［g（ｘ)］的定义域为［a,b］，求f（ｘ）的定义域，相当于x ［a,b]时，求g(x）的值域（即f （x）的定义域）;研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由同增异减判定;３。
函数图像（或方程曲线的对称性)(1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点对称中心（对称轴)的对称点仍在图像上;(２)证明图像C1与Ｃ2的对称性,即证明C1上任意点对称中心（对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然；(3)曲线C1:f(x,ｙ）=0,y=xa(y=-ｘa)的对称曲线C2的方程为ｆ(y—a,x ａ）=0(或f(-ｙa，—xａ)＝0）；（4）曲线C1:f(x,ｙ）=0点（a,b)的对称曲线C２方程为：f（2a—ｘ，2b-y）=0；(5）若函数y=f(x)对x R时，f（ax)=f(a-x)恒成立，则y=f（x）图像直线x=a对称；(６)函数ｙ=f(x-a）与y=f（b—ｘ）的图像直线x=对称;4．函数的（1）ｙ＝f（x)对x R时，f（x a）＝f（x-a）或f（x－2a )＝f(x)(ａ0）恒成立,则y=f（x）是周期为2a的周期函数;（2）若ｙ=ｆ(ｘ）是偶函数,其图像又直线ｘ=a对称，则f（x）是周期为２︱ａ︱的周期函数;(3）若ｙ=f(x）奇函数,其图像又直线x＝a对称，则f（x)是周期为4︱ａ︱的周期函数；(4）若y=f(ｘ）点（a,0),(b，0）对称，则ｆ（x）是周期为2 的周期函数；（５)y=f（x）的图象直线x=a，x=b(a b）对称,则函数y=f（ｘ）是周期为２的周期函数；（6）y＝f（ｘ)对ｘR时,ｆ（ｘa)=—f(x）（或f(xａ)＝,则y＝f(ｘ）是周期为２的周期函数；5。
函数定义域的求法
函数定义域的求法函数定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
在数学中，函数定义域是一个非常重要的概念，它的定义能帮助我们更好地理解和解决函数的问题。
本文将讨论函数定义域的求法以及定义域的特殊情况。
一、定义域的求法1、定义域的求法主要有三种：(1)式定义域。
即函数的变量可取的值集合是函数定义中定义明确的，在这种情况下，定义域就是函数定义中列出的取值范围。
例如：函数 f(x)=2x+3定义域为全体实数。
(2)式定义域。
此时函数的变量可取的值集合不能从函数定义中直接获取，它是由函数的不等式约束所决定的，即需要将函数的不等式解出取值范围，这就是函数的定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3>0定义域为x>3/2。
(3)合定义域。
当函数中既有显式定义域又有隐式定义域时，这种定义域叫做混合定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3，其定义域为x>3/2 且 x∈R，即混合定义域。
2、定义域特殊情况特殊情况一：当函数定义域为全体实数时，即f(x):R→R，其定义域为R。
特殊情况二：当函数定义域为实数正部分时，即f(x):R+→R+，其定义域为R+。
特殊情况三：当函数定义域为实数负部分时，即f(x):R-→R-，其定义域为R-。
二、定义域的示例下面给出三个定义域的示例：例1：f(x)=x+1，其定义域为R；例2：f(x)=2x+2，其定义域为R；例3：f(x)=√(x-1)，其定义域为x≥1。
三、结论从上面的内容可以看出，定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
定义域的求法主要有显式定义域、隐式定义域和混合定义域，它们对理解和解决函数的问题有重要意义。
高中数学知识点：函数定义域的求法
高中数学知识点：函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用()
f x表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。
在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
要点诠释：
求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
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数学学科导学案（第次课）
教师: 学生: 年级: 高一日期: 星期: 时段: 课题函数定义域
学情分析根据同学们的情况以及复习进度，安排函数概念的复习
教学目标理解函数的定义域，掌握函数定义域的求法
教学重点会正确应用函数概念以及定义域做题
考点分析理解函数的定义域，掌握函数定义域的求法
教学方法导入法、讲授法、归纳总结法
学习内容与过程
一、函数定义域
1.求函数的定义域时，一般要转化为解不等式或不等式组的问题，但应注意逻辑连结词的运用；
2．求定义域时最常见的有：分母不为零，偶次根号下的被开方数大于等于零，零次幂底数不为零等. 3．定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示
二、求函数定义域的几种题型：
（一）含分式的函数
在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域.
例1.求函数f(x)=
21
1
x
x
-
+
的定义域．
（二）含偶次根式的函数
（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；
（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.
例2. 求函数3
y ax
=-（a为不等于0的常数）的定义域.
（三）复合型函数
函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.
例3. 求函数 03(3)3223x y x x +=
-+- 的定义域．
（四）抽象函数
（1）、已知的定义域，求的定义域.
例4.已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.
（2）、已知
的定义域，求的定义域. 例5. 已知函数
的定义域为，则的定义域.
（3）、已知
的定义域，求的定义域. 例6. 函数
定义域是，则的定义域.
（五）、对于实际问题中函数的定义域 例7. 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若
矩形底边长为2x ，求此此框架围成图形的面积y 关于x 的函数关系式．
课内练习与训练
1.求下列函数的定义域.
1(1)||y x x =- （2）y=3102++x x ； 1(3)1||
y x =-； 2x
2.函数f(2x-1)的定义域为[1,3]，求函数f(x 2+1)的定义域.
3.已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域
4.已知函数)x (f 的定义域为（0，1），则函数)1_21(x f 的定义域是________.
5.已知函数)42( x f 的定义域为（0，1），则函数)x (f 的定义域是________.
6.已知f(2x-1)的定义域为[-1，1]，求)x (f 的定义域
学生对本次课的小结及评价
1、本次课你学到了什么知识
2、你对老师下次上课的建议
⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字：
课后练习：
教师签字：
审阅签字: 时 间:
教务主任签字: 时 间:。