高中一年级数学必修一函数的定义域和值域

《函数的概念和图像》授课方案
课 题 函数的概念和图像
授课日期及时段
教学目的
1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域
2.能用描点法画函数的图像
3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法
4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法
5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法
6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值
7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处
教学内容
1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别
2.思考：对于不同的函数如：①x x y 22
-= ②1-=x y ③1
1+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定
3.通常表示函数的方法有：
4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。

函数是增函数， 函数是减函数， 函数是奇函数， 函数是偶函数。

讲授新课： 一、函数的判断
例1.<1>下列对应是函数的是
注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应） ①x y y x =→: ②12
++→x x x <2>下列函数中，表示同一个函数的是：（ ）
注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数 A.()()()2
,x x g x x f =
= B.()()2,x x g x x f =
=
C.()()2
4
,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f ==
练习：
1.设有函数组：①2,x y x y ==②33
,x y x y ==③x x
y x y =
=,④()()x x y x x y =<>⎩
⎨⎧-=,0011
其中表示同一函数的是 。

二：函数的定义域
注：确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式，则定义域为R.
(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合
(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域：
（1）2
322---=
x x x
y （2）x x y -⋅-=
11
（3）x
y --=
113 （4）2253x x y -+-=
（5）()⎪⎩⎪
⎨⎧--=x
x x x f 2341 （6）t 是时间，距离()t t f 360-=
2.已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。

练习：
1.求下列函数的定义域：
（1）()142
--=x x f ； （2）()2
14
32-+--=
x x x x f
（3）()x
x f 11111++
=
； （4）()()x
x x x f -+=
1
2.已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭
⎫
⎝⎛++=3
42
x f x
f y 的定义域。

三、函数值和函数的值域
例1、求下列函数的值域：（观察法）
（1）2415+-=x x y （2）1
23422--+-=x x x x y
例2.求函数3
27
4222++-+=x x x x y 的值域（反解法）
例3.求函数12--=x x y 的值域（配方换元法）
例4.求函数()22
415≥+-=
x x x y 的值域（不等式法）
例5.画出函数[]5,1,642
∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

（图像法）
1.求下列函数的值域:
(1)23+=x y (2)x x f -+=42)(
(3)1+=x x y (4)x
x y 1+=
2.求下列函数的值域：
（1）242
-+-=x x y （2）12++=x x y （3）3
221
2
2+-+-=x x x x y
四、函数解析式：
例1、已知11
112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
x
x f ，求()x f 的解析式。

（换元法）
例2.设二次函数()x f y =的最小值等于4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式。

（待定系数法）
1.已知(
)
x x x f 21+=+，求()x f 。

2、已知)(x f 是一次函数，且()()14-=x x f f ，求)(x f 的解析式。

3、求函数21-++=x x y 的值域。

五、单调性：
例1.证明：()13
+-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数。

（定义法）
2.证明：函数()x
x x f 1
+=在(]1,0上是减函数
例2.画出函数()342
+-=x x x f 的图像，并由图像写出函数)(x f 的单调区间。

3、复合函数 注：定义域相同时：
()x f 1 ()x f 2 ()()()
x f x f x g 21±=
增 增 增 减
减
减
()x g u =
()u f y =
()()x g f y =
增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增
减
例：已知函数()2
28x x x f -+=，()(
)2
2x
f x
g -=，试求()x g 的单调区间。

练习：
1.确定函数()x
x f 211-=
的单调性。

2 已知()32
++=ax x x f 在区间[]1,1-上的最小值为-3，求实数a 的值。

六、奇偶性
例.判断函数奇偶性： （1）()x x x f -+-=
22；
（2）()1122-+
-=x x x f ；
（3）()()R a a x a x x f ∈--+=
（4）()2
212
-+-=x x x f
练习：
判断函数的奇偶性：
（1）()()x
x x f 2212
+=
；
（2）()(
)
1lg 2++
=x x x f ；
（3）()22
1
lg
lg x
x x f +=； （4）()()
x
x
x x f -+-=111； （5）()()
()
002
2<≥⎩⎨⎧++-=x x x
x x
x x f
例.奇偶性的应用
1.已知()q
x px x f ++=32
2是奇函数，且()352=f 。

（1）求实数q p ,的值；
（2）判断函数()x f 在()1,-∞-上的单调性，并加以证明。

2.已知函数()()
()2112
2
++-+-=n x m x m x f ，则当n m ,为何值时，)(x f 是奇函数？
练习：
1.已知)(x f 是奇函数，且0>x 时，(),2-=x x x f 求0<x 时，求)(x f 的解析式。

函数的值域
姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______
1、函数y=-x 2
-4x +1,x∈[-3,3]的值域是_______
2、函数y=x 2-x （-1≤x≤4,x∈Z）的值域是_______
3、函数y=3x-4的值域为[-10，5]，则其定义域是_______
4、设函数21
()1
f x x =+的定义域为R,则它的值域为______
5、函数{1,(1,2,3})y x x =-+∈的值域是______
6、已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>+=0,30,00,32)(2x x x x x f 则f(1)=____,f(-1)=_____,f[f(-1)]=_____
7、已知函数⎩
⎨
⎧<+≥-=0,50
,63)(x x x x x f
（1）求f[f(1)]的值； （2）求f(x)的值域； （3）已知f(x)=-10,求x 的值。

8、分别在下列范围内求函数f(x)=x 2
-2x-3的最值 (1)0≤x≤2; (2)0≤x≤4; (3)2≤x≤3.
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..下载可编辑.. 参考答案
1、[-20，5]
2、{2,0,6,12}
3、[-2,3]
4、(0,1]
5、{0,-1,-2}
6、5,3,21
7、解：（1）f(1)=-3,f[f(1)]=f(-3)=2
(2)由图象可知，x≥0时，f(x) ≥-6
x<0时，f(x)<5
所以y∈R
8、解：由函数y=f(x)的图象可知，
（1）y∈[-4,-3] （2）y∈[-4,5] （3）y∈[-3,0]。