规格求积
《求积公式》PPT课件
Ak
b
lk (x)dx
a
b a
(x x0 ) (xk x0 )
(x xk1)(x xk1) (xk xk1)(xk xk1)
(x xn ) dx (xk xn )
n 0
hnt(t
1)
(t k 1)(t k 1) (1)nk hn (n k)!k !
(t n) hdt
(1)nk h n
特斯系数表4-1：
1结6 束
n 1 1/2 1/2
表4-1
C (n) k
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
I
1 0
4 1 x2 dx
I
1 0 2
4 1 02
4 112
1 2
(4 2)
3.
4.2.2 抛物形（辛卜生）公式
取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得
A0
(1)2 h 2!
2
(t -1)(t -2)dt
h
2
h.
0
23 3
1结3 束
A1
(1) 1!
h
Rn[qn1(x)] 0
也就是说，当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的 多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到n+1.正是基 于这种考虑，当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而 在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式 (n=2)等.
求积的近似值
求积的近似值简介在数学中，我们经常需要求解各种复杂函数的积分问题。
然而，很多函数的积分并不能直接求得解析解，而需要借助数值计算方法来获得近似值。
本文将介绍几种常用的数值计算方法，以及它们在求积的近似值问题上的应用。
数值积分方法矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它将函数曲线划分成若干个等宽的矩形，计算每个矩形的面积，并将这些面积相加以获得近似的积分值。
常见的矩形法有矩形左端点法、矩形右端点法和矩形中点法。
以矩形左端点法为例，算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于每个小区间，计算函数在左端点的函数值，并用矩形面积公式 S = h *f(a) 进行近似计算。
3.将所有小区间的矩形面积相加，得到最终的近似积分值。
矩形法的优点是简单易懂，容易实现，但精度较低，对于曲线弯曲较大的函数不够准确。
梯形法梯形法是一种改进的数值积分方法，它在矩形法的基础上增加了两个端点的高度值，从而得到更精确的近似积分值。
算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于每个小区间，计算左右两个端点的函数值，并用梯形面积公式 S = h *(f(a) + f(b)) / 2 进行近似计算。
3.将所有小区间的梯形面积相加，得到最终的近似积分值。
梯形法相较于矩形法具有更高的精度，适用于各种类型的函数。
然而，对于复杂函数的积分，仍然需要更高级的方法来获得准确的近似值。
辛普森法则辛普森法则是一种使用二次多项式来逼近被积函数曲线的方法，它提供了更高级的数值积分精度。
算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于奇数编号的小区间，使用辛普森公式 S = h * (f(a) + 4f(a + h) + f(a + 2h)) / 3 进行近似计算；对于偶数编号的小区间，使用梯形法进行近似计算。
gauss型求积公式
gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。
1. 定义。
- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。
对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。
这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。
2. 特点。
- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。
对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。
这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。
- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。
这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。
例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。
二、求积节点与求积系数。
1. 求积节点的确定。
- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。
勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。
通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。
2. 求积系数的计算。
- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。
一种常见的方法是利用正交性条件。
对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。
数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
excel中横向求积
excel中横向求积横向求积是Excel中一项非常有用的功能，它可以在横向维度上计算数据的乘积。
在本文中，我将详细介绍如何使用Excel中的横向求积功能，并说明其应用场景和注意事项。
让我们来了解一下什么是横向求积。
横向求积是通过使用乘法运算符（*）来计算一行数据中各个单元格的乘积。
例如，如果我们有一个包含数值的行，如A1、A2、A3、A4，我们可以使用横向求积将它们的乘积计算出来。
在Excel中，要使用横向求积功能，我们可以使用乘法运算符（*）或者使用PRODUCT函数。
无论使用哪种方法，我们都需要在单元格中输入相应的公式或函数。
下面是使用乘法运算符的示例：在B1单元格中输入公式：=A1*A2*A3*A4按下回车键后，B1单元格将显示A1、A2、A3和A4单元格的乘积。
如果我们使用PRODUCT函数，可以将上面的公式改写为：在B1单元格中输入函数：=PRODUCT(A1:A4)同样，按下回车键后，B1单元格将显示A1、A2、A3和A4单元格的乘积。
横向求积在许多场景中都非常有用。
例如，在财务建模中，我们可以使用横向求积来计算某个时间段内的销售额或利润。
在统计分析中，我们可以使用横向求积来计算样本数据的乘积，以便进行概率分析或建模。
除了基本的横向求积功能，Excel还提供了一些相关的函数和工具，以进一步扩展其应用。
例如，我们可以使用SUMPRODUCT函数来计算多个数组的乘积之和。
这在处理多个数据集或进行复杂的统计分析时非常有用。
Excel还提供了其他一些功能，如条件求积和动态求积。
条件求积是指根据某些条件选择要参与乘积计算的单元格。
动态求积是指在数据发生变化时，自动更新乘积结果。
这些功能进一步提高了Excel 横向求积的灵活性和实用性。
在使用Excel的横向求积功能时，我们需要注意一些事项。
首先，如果单元格中包含空值或文本，横向求积将返回错误值。
为了避免这种情况，我们可以使用IF函数或其他方法来处理空值或文本。
excel求积的函数
excel求积的函数Excel是一款功能强大的电子表格软件，除了进行数据的输入、整理和分析，它还提供了一些有趣、实用的功能，比如求积。
求积是一个常用的操作，可以用来对数据进行一些统计计算，比如计算多个数据的乘积。
如果你还不太熟悉Excel的求积函数，那么请继续阅读本文，下面我们将为大家介绍Excel中求积函数的使用方法。
一、求积函数（PRODUCT）的基本用法Excel中求积函数的名称为PRODUCT，它的基本语法如下：=PRODUCT(number1,[number2],[...])其中number1、number2、...表示需要进行乘积计算的数字或则范围，可以是单个数字，也可以是单元格、数列或者数组。
下面我们来看一个简单的例子：假设我们有几个数字需要相乘，如下图所示：现在我们希望求出这些数字的积，可以在任意一个单元格中输入如下公式：=PRODUCT(A2:A5)这个公式的意思是：将A2、A3、A4、A5这些数字相乘，求出它们的积。
按下回车键后，就可以得到所求的结果了。
为了方便操作，我们还可以在单元格中直接输入数字，如下图所示：在这个例子中，我们把每个数字单独放在一个单元格里，然后用公式求出这些数字的积。
需要注意的是，用求积函数计算乘积的时候，单元格里的数字不能包含文本、空值或含有FALSE或TRUE等逻辑值。
Excel中的求积函数不仅可以计算数列的乘积，还可以对多个范围进行求积，或者将多个数列进行分组计算。
下面我们分别介绍一下这些高级用法的具体操作：1.对多个范围进行求积有时候我们需要对不同的数列进行求积，比如需要计算A1:A5和B1:B5这两个数列的乘积，此时可以使用多个参数来表示这些数列，如下图所示：在这个例子中，我们分别将A1:A5和B1:B5中的数值相乘，然后再将它们的积相乘，求出最终的结果。
需要注意的是，在计算各个数列的乘积时，如果某个数列中包含空单元格，那么这个空单元格的值将视为1处理。
4。4高斯型求积公式
华长生制作
19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
15
华长生制作
Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的 节点和系数。
华长生制作 22
4. 高斯-埃尔米特求积公式
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
华长生制作
0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
机械求积公式
说明：（1）式的特点是用求积节点处的函数值的 线性组合来计算定积分的近似值。
数值求积方法是近似方法，为保证精度，希望所 提供求积公式对于“尽可能多”的函数准确成立。
【定义1】 如果公式(1)对于所有次数不超过m的多 项式都能准确成立，而对于某个(m+1)次多项式等式 不能准确成立，则称公式(1)具有m阶代数精度。
———Cotes公式
代数精度为5 阶
说明：
(1) P 157 表1列出了 n:1-8 时 Cotes系数;
n
(2) Cotes系数之和等于1,即 ci(n) 1 i0
(3) Cotes系数越接近越好, 如果Cotes系数 出现负数,舍入误差增长很快,公式不宜采用.
例3 设 f ( x) x3 5x2 6x , 分7 别用梯形公式
于所求曲边梯形的面积。
取 a,b内若干个节点 xk 处的高度 f xk ，通过加权平均
的方法生成平均高度 f ，这类求积公式称机械求积公式：
b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )(b a)
i f ( xi ).........1()
i0
i0
xi 求积节点
i 求 积 系 数 ， 也 称 伴 随 节点xi的 权
例1 建立[-1,1]上以节点 x0 1, x1 0.5, x1 1 的数值积分公式.
三、插值型求积公式
从 另 一 角 度 考 虑 ， 用 关于{ xi }ni0的 插 值 多 项 式 的 积分 值 作为f ( x)的 定积 分 的近 似 值 ， 即
b
b
nb
a f ( x)dx a Ln ( x)dx a li ( x) f ( xi )dx
高斯(Gauss)型求积公式
(6.13)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立， 只要 x0 , x1 和 A0 , A1 满足方程组
A0 A1 2
A0 x0
A1 x1
0
A0
x02
A0
x03
A 0
解之得
A0 A1 1
定义6.4 一个仅以区间-1,1上的高斯点
xk , (k 0,1,, n) 为零点的n+1次多项式 称为Legendre多项式。
定理6.6 若 xk , (k 0,1,, n) 是高斯点，则以这些点 为根的多项式 (x) 是最高次幂系数为1的勒让得多项
式 L~(n1) (x) ，即
(x) = L~(n1) (x)
其中
(x)
n k 0
(x
xk ), L~n1 (x)
(n 1)! d n1
(2n 2)!
(x 2 1) n1 dx n1
从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给 出当积分区间是-1,1时，2个点至5个点的高斯求积
公式的节点、系数和余项,其中 -1,1，需要时
可以查用。
三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似
值，将它们相加即得积分 值。
b
a
f
(x)dx
的近似
数值计算方法
数值计算方法
高斯（Gauss）型求积公式*
1.1 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计
算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后 再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的 精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插 值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要 问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若 有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个 例子：
(龙贝格求积)
针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数 变化的剧烈程度确定相应的步长.
这种方法称为自适应积分方法.
设给定精度要求 0，计算积分
b
I a f (x)dx
的近似值.先取步长 h b a ，应用辛普森公式有
I b f (x)dx S(a, b) b a ( h )4 f (4) (),
注意到每个子区间等分分为设将区间一次如果将求积区间再二分1个分点共有子区间上的积分值为用复化梯形公式求得该分点经过二分只增加了一个注意到不难导出下列递推公式逐次分半算法据梯形公式计算得9588510求出将区间二等分进一步二分求积区间9445135计算积分值8414709例题1精确至三位有效数字例题25695注意到57例如
例如：对区间[a, b], 令h b a构造梯形值序列{T2k }
h
T1
[ 2
f (a)
f
(b)]
逐次分半算法
把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a）/2，
于是
T2 =T1/2+[h/2]f(a+h/2） 把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/2 2 =（b-a）
/4，于是
T4 =T2/2+[h/22][f(a+h/4)+f(a+3h/4)]
················
把[a,b] 2k 等分，分点xi=a+(b-a)/ 2k ·i （i =0， 1，2 ···2k）每个小区间长度为(b-a)/ 2k ，由归
纳法可得
T T 1
2k 2
2 k1
ba 2k
注意到每个子区间
[ xk , xk1 ]经过二分只增加了一个分点
各种材料计算方法
各种材料计算方法地砖规格：1000*1000、800*800、600*600、500*500、400*400、300*300、200*200、100*100粗略计算法：用砖数量=房间面积/一块地砖的面积*1.1精确计算法：用砖数量=（房间面积/砖长）*（房间宽度/砖宽）*1.1 例:房间长5米，宽3米，砖规格400X400用砖数量=（15米/0.4米）*（3米/0.4米）*1.1=104块实木地板常用规格：900*90、750*90、600*90粗略计算法：使用地板块数=房间面积/一块地板的面积*1.08精确计算法：使用地板块数=（房间长度/地板长度）*（房间宽度/地板宽度）*1.08例：长5米，宽3米，地板规格750*90用板数量=（5米/0.75米）*（3米/0.09米）*1.08=239块注：实木地板在铺装中通常有8%的损耗复合地板常见规格：1.2米*0.19米粗略计算法：地板块数=房间面积/一块地板面积*1.05精确计算法：地板块数=（房间长度/地板长度）*（房间宽度/地板宽度）*1.05例：长5米，宽3米用板数量=（5米/1.2米）*（3米/0.19米）*1.05米约=70块注：通常有3%--5%的损耗按面积算千万不要忽视！涂料规格：5升、15升家装常用5升，5升涂料刷面积为35平方米（涂2面）计算方法：墙面面积=(长+宽)*2*层高顶面面积=长*宽、地面面积=长*宽总使用桶数=（墙面面积+顶面积+地面面积）/35平方米例：长5米，宽3米墙面积=（5米+3米）*2*2.85平方米=45.6平方米顶面面积=5米*3米=15平方米地面面积=5米*3米=15平方米涂料量=（45.6+15+15）平方米/35平方米=75.6平方米/35平方米=2桶注：以上只是理论上涂刷量，因在施工中要加入适量清水，所以以上用量只是最低涂刷量墙纸规格：每卷长10米，宽0.53米计算方法：墙纸总面积=地面面积*3 （地面积=长*宽）墙纸的卷数=墙纸总面积/（0.53米*10米）常见墙纸规格为每卷长10m，宽0.53m。
Gauss型求积公式
即可将区间[a,b]变换到[-1,1]上：
b
a
1 ba 1 ab ba f ( x )dx f( t )dt (t )dt 1 2 1 2 2
n 1 2 3
xk 0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
四、Gauss-Laguerre求积公式
区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为GaussLaguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.
公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 . 由
0 f ( x)dx 0 e e f ( x)dx
2 (1 xk ) Pn'1 ( xk ) 一点Gauss-Legendre求积公式为：
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
Ak
2
2
(k 0,1,, n)
1
1
1
f ( x )dx 2 f (0)
两点Gauss-Legendre求积公式为：
3 3 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )
故有
b
a
n1 ( x )P ( x )dx Ak n1 ( xk )P ( xk ) 0
k 0
n
充分性 ：
设a n1 ( x) P( x)dx 0 对于任意次数不超过 n 1 ( x)除f(x)的商为p(x),余 2n+1的多项式 f ( x), 设 项为q(x)。
x x
近似求积公式
近似求积公式在数学中，求解一个函数的积分是一项重要的任务。
但是，对于某些函数，我们可能无法找到其精确的积分，或者即使找到了，也不方便使用。
这时，我们可以使用近似求积公式来估算函数的积分值。
近似求积公式是一种数值积分方法，其基本思想是将要积分的函数在一定区间上近似为某个简单函数的和或积，然后计算这个简单函数的积分值，从而得到原函数的近似积分值。
这种方法常常用于数值计算和科学工程中。
常见的近似求积公式有梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等。
下面我们将分别介绍这些公式的原理和应用。
一、梯形公式梯形公式是最简单的近似求积公式之一，其基本思想是将要积分的函数在积分区间上近似为一个梯形，然后计算梯形面积得到近似积分值。
具体来说，梯形公式的计算公式为：∫a~bf(x)dx ≈ (b-a)×[f(a)+f(b)]/2其中，f(x)是要积分的函数，a和b分别是积分区间的下限和上限。
梯形公式的误差随着积分区间的缩小而减小，但随着步长的增加而增大。
因此，在实际应用中，我们需要根据所需的精度和计算资源，选择合适的步长来进行计算。
二、辛普森公式辛普森公式是一种二次近似求积公式，其基本思想是将要积分的函数在积分区间上近似为一个二次函数，然后计算二次函数的积分值得到近似积分值。
具体来说，辛普森公式的计算公式为：∫a~bf(x)dx ≈ (b-a)×[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6其中，f(x)是要积分的函数，a和b分别是积分区间的下限和上限。
辛普森公式的误差随着积分区间的缩小而减小，但随着步长的增加而增大。
因此，在实际应用中，我们需要根据所需的精度和计算资源，选择合适的步长来进行计算。
三、龙贝格公式龙贝格公式是一种多项式近似求积公式，其基本思想是将要积分的函数在积分区间上近似为一个多项式函数，然后计算多项式函数的积分值得到近似积分值。
具体来说，龙贝格公式的计算公式为：B(m,n) = (4^nB(m,n-1)-B(m-1,n-1))/(4^n-1)其中，m和n分别表示递归计算的次数和精度级别，B(m,n)表示第m次递归、精度为n的近似积分值。
Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和方法
Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和⽅法⽬录0、Gauss型积分通⽤形式1、Gauss–Legendre quadrature勒让德2、Gauss–Laguerre quadrature拉盖尔——积分区间[0，inf]3、Chebyshev–Gauss quadrature切⽐雪夫0、Gauss型积分通⽤形式The integration problem can be expressed in a slightly more general way by introducing a positive weight functionω into the integrand（被积函数）, and allowing an interval other than（除了，不同于） [−1, 1]. That is, the problem is to calculatefor some choices of a, b, and ω. For a = −1, b = 1, and ω(x) = 1, the problem is the same as that considered above（勒让德问题）. Other choices lead to other integration rules. Some of these are tabulated（列表） below.1、Gauss–Legendre quadrature勒让德——积分区间[-1，1]The most common domain of integration for such a rule is taken as [−1, 1], so the rule is stated aswhich is exact for polynomials of degree 2n − 1 or less. This exact rule is known as the Gauss-Legendre quadrature rule. The quadrature rule will only be an accurate approximation to the integral above if f(x) is well-approximated by a polynomial of degree 2n − 1 or less on [−1, 1]. The Gauss-Legendre quadrature rule is not typically used for integrable functions with endpoint singularities.（端点奇点）（1）基本概念注：P0没有根（与x轴⽆交点），P1有1个根（与x轴有⼀个交点），P2有2个根（与x轴有两个交点），。
求积公式
(4.10)
结束
这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，对梯形公式的误差 估计有如下定理： 定理 4.1 设f(x)为二阶连续可微函数，则梯形求积公式的 余项为 (证明)
R1
即
b
a
ba (b a)3 f ( x)dx f ξ f (a) f (b).1 求积公式
数值积分
对定义在区间［a,b］上的定积分
I [ f ] f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，F(x)为f(x)的原函数.但 有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难 于求出或计算.如被积函数为:
f ( x) x , 左边
3
0 右边 (1) 0 1
1 3 3 4 3 3 1 3
3
f ( x) x , 左边
4
15 ( 1)5 5
4 4 4 2 4 1 2 5 右边 1 ( 1 ) 0 1 3 3 3 3
结束
h 2 h 2 h A2 t (t -1)dt . 2! 0 2 3 3
所以抛物形公式为
a
b
h ab f ( x)dx f (a) 4 f f (b) 3 2
(4.12)
其中h=(b-a)/2,上式也可写成:
a
b
ba a b f ( x)dx f (a) 4f f (b) 6 2
b b
(4.7)
f ( n1) ( ) Rn [ f ] ( x)dx (n 1)! a
b
(4.8)
product条件求积
product条件求积【实用版】目录1.产品的概念和条件求积的定义2.条件求积的计算方法和示例3.条件求积的应用场景和实际案例4.条件求积的优缺点和未来发展方向正文1.产品的概念和条件求积的定义在现代社会中，产品的概念已经深入人心。
产品可以理解为一种能够满足人们需求的物品或者服务，它既可以是有形的，也可以是无形的。
例如，手机、电脑等高科技产品，以及各种服务行业提供的服务，都可以被视为产品。
条件求积，是数学中的一个概念，它是指在给定一定条件下，对所有可能的情况进行求和。
在实际应用中，条件求积常常被用于解决各种问题，例如统计学、概率论、经济学等领域。
2.条件求积的计算方法和示例条件求积的计算方法，通常是利用乘法原理和加法原理进行计算。
乘法原理指的是，如果一个事件可以被分解为若干个互不重叠的子事件，那么这个事件的概率就等于所有子事件概率的乘积。
加法原理指的是，如果一个事件可以被分解为若干个互不重叠的子事件，那么这个事件的概率就等于所有子事件概率的和。
例如，假设有一个产品，它的销售额取决于两个因素：产品的价格和销售量。
如果我们已经知道了产品的价格和销售量，那么我们可以通过条件求积来计算产品的销售额。
具体来说，我们可以将产品的销售额表示为价格和销售量的乘积，然后对所有可能的价格和销售量进行求和，即可得到产品的销售额。
3.条件求积的应用场景和实际案例条件求积在实际应用中，可以被用于解决各种问题。
例如，在经济学中，条件求积常常被用于计算产品的销售额、利润等指标。
在统计学中，条件求积常常被用于计算各种概率分布的期望值、方差等指标。
例如，假设一个企业生产了一种新产品，它的销售额取决于产品的价格和销售量。
如果产品的价格是随机的，销售量也是随机的，那么企业可以通过条件求积来计算产品的期望销售额和方差。
4.条件求积的优缺点和未来发展方向条件求积的优点在于，它可以在给定一定条件下，对所有可能的情况进行求和，从而得到一个比较精确的结果。
二次精度求积公式
二次精度求积公式二次精度求积公式在数学计算中可是个相当重要的角色呢！咱先来说说啥是二次精度求积公式。
简单来讲，它就是一种用于计算数值积分的工具，能够在一定程度上让积分的计算更加准确。
就拿我之前遇到的一件事儿来说吧。
有一次，我带着一群学生做数学练习题，其中就有涉及到用二次精度求积公式来计算图形面积的题目。
当时有个学生叫小明，他盯着题目愁眉苦脸的，怎么都搞不明白。
我就走过去问他：“小明，咋啦？”他一脸苦恼地说：“老师，这个公式我就是弄不明白，感觉太复杂了。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”我拿起笔，在纸上画了一个简单的图形，然后给他解释：“你看啊，这个二次精度求积公式就像是一个魔法钥匙，能帮咱们打开计算面积的大门。
比如说这个图形，咱们把它分成几个小块，然后用这个公式就能把每一块的面积大概算出来，最后加在一起，就能得到整个图形的面积啦。
”小明听了，眼睛里还是有一些迷茫。
我又换了一种方式给他举例：“就好像你去买糖果，一颗糖果 5 毛钱，你买了 3 颗，那一共要花多少钱？这是不是很简单？那这个公式也是一样的道理，只不过它计算的不是买糖果的钱，而是图形的面积。
”经过我这么一番耐心地解释，小明好像有点开窍了，开始自己试着用公式去计算题目。
咱们再深入讲讲二次精度求积公式的具体形式和应用场景。
它常见的形式有辛普森公式等等。
这些公式在处理一些曲线形状的图形面积计算时特别有用。
比如说计算一个抛物线和坐标轴围成的面积，用二次精度求积公式就能比较准确地得到结果。
在实际的工程计算中，像计算一些不规则物体的体积、计算物理实验中的数据积分等等，二次精度求积公式都能派上大用场。
比如说在建筑设计中，要计算某个特殊形状的屋顶的面积，用这个公式就能给出一个比较靠谱的估计。
回到学习中，对于咱们学生来说，掌握二次精度求积公式不仅能帮助咱们解决数学作业里的难题，更重要的是能培养咱们的逻辑思维和数学应用能力。
就像搭积木一样，每一个公式都是一块积木，咱们掌握得越多，就能搭出更复杂、更漂亮的“建筑”。
高斯Gauss求积公式.ppt
数值分析
数值分析
例 : 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积
公式计算积分 1 x 1.5dx
解 :由三点高斯-勒让1 德求积公式有
1
x 1.5dx 1
0.555556( 0.725403 2.274596) 0.888889 1.5
数值分析
第四节 高斯(Gauss)求积公式
前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于
构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式
的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。
我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？
2.399709
由三点辛卜生求积公式有
1
1
x 1.5dx ( 0.5 4 1.5
1
3
2.5) 2.395742
该积分的准确值 1 x 1.5dx 2.399529
1
数值分析
数值分析
一般区间的Gauss - Legendre 求积公式
如果积分区间是[a,b]，用线性变换
x batab
1 (1 x2 ) xdx
1
1 (1 x2 )dx
0
1
同 理 求 出2 ( x)
x2
2 5
2 ( x)的零点为x0
2 5
,
x1
2 5
函数求积公式范文
函数求积公式范文函数求积公式是数学中常用的工具，用于计算函数在给定区间上的面积。
函数求积公式的基本原理是将区间划分为许多小的子区间，并在每个子区间上用矩形逼近函数曲线，然后将这些小矩形的面积相加即可得到近似的函数积分值。
根据不同的逼近方法和精度要求，现有多种函数求积公式可供选择，例如矩形法、梯形法、辛普森法等。
在后文中，我将介绍一些常用的函数求积公式，并详细解释它们的原理和计算步骤。
1.矩形法（矩形逼近法）：矩形法是最简单的函数求积公式，它将每个子区间上的函数值近似等于该子区间的高度与函数在该子区间中点的函数值的乘积。
具体计算步骤如下：1）将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
2）在每个小区间[i, i + 1]的中点xi处计算函数值f(xi)，将其作为该小区间上的高度。
3）计算每个小矩形的面积，即S = Δx * f(xi)，将所有小矩形的面积相加得到近似的函数积分值。
2.梯形法（梯形逼近法）：梯形法是通过用梯形逼近函数曲线来计算函数积分，相对于矩形法，梯形法可以提供更精确的结果。
具体计算步骤如下：1）将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
2）在每个小区间[i, i + 1]的两个端点处计算函数值f(xi)和f(xi+1)。
3）将每个小区间[i, i + 1]上的函数曲线近似为一个梯形，其上底边长度为f(xi)，下底边长度为f(xi+1)，高度为Δx。
4）计算每个梯形的面积，即Si = (f(xi) + f(xi+1)) * Δx / 25）将所有梯形的面积相加得到近似的函数积分值。
3.辛普森法：辛普森法是函数求积公式中最精确的一种方法，它使用了一个二次多项式逼近函数曲线，能够更好地拟合曲线的形状。
具体计算步骤如下：1）将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
2）在每个小区间[i, i + 1]的三个等分点xi，xi+1/2和xi+1处计算函数值f(xi)，f(xi+1/2)和f(xi+1)。