正多边形与圆的试题
24.3 正多边形和圆》测试题
《24.3正多边形和圆》1.各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．2. 把一个圆分成n (n ≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3. 一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．4. 正n 边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．5. 设正n 边形的半径为R ，边长为a n ，边心距为r n ，则它们之间的数量关系是______．这个正n 边形的面积S n =________．6. 正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．7. 正六边形的边长a ，半径R ，边心距r 的比a ∶R ∶r =_______．8. 同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．9. 等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的( )．a) A ．3倍 B ．5倍 C .4倍 D ．2倍10. 已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式是( )．a) A ．x y 42= B ．x y 82= b) C ．x y 21=D ．x y 22= 11. 有一个长为12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是( )．a) A ．10cm B ．12cm C ．14cm D ．16cm12. 已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8内接于半径为R 的⊙O ．a) 求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O 的面积；(3)求此正八边形的面积S ．13.14.已知：如图，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形.求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．。
人教版九年级上册数学正多边形和圆测试题
人教版九年级数学考试题测试题人教版初中数学24.3 正多边形和圆1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4) 2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:1 4． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB BA 11的值为（ ）A ．21B ．22OBCD AEF EDCBAOC ．41D ．428．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。
2023年中考数学一轮专题练习 ——正多边形和圆(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——正多边形和圆一、单选题（本大题共8小题）1. （上海市2022年）有一个正n 边形旋转90后与自身重合，则n 为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．15 2. （湖南省邵阳市2022年）如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，若AB =3，则⊙O 的半径是（ ）A．32 B ．C D ．523. （四川省雅安市2022年）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A ．3B ．32CD ．34. （四川省南充市2022年）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠ 5. （四川省内江市2022年）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ）A ．4，3πB ．πC ．43πD ．32π6. （四川省成都市2022年）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）AB ．C ．3D ．7. （广西玉林市2022年）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A 处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )A ．4B ．C ．2D ．08. （河南省2022年）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF 的中心与原点O 重合，AB x ∥轴，交y 轴于点P ．将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A 的坐标为（ ）A ．)1-B ．(1,-C ．()1-D ．( 二、填空题（本大题共5小题）9. （辽宁省营口市2022年）如图，在正六边形ABCDEF 中，连接,AC CF ，则ACF ∠= 度．10. （江苏省宿迁市2022年）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB =6，点M 在边AF 上，且AM =2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是 ．11. （吉林省长春市2022年）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC 和等边三角形DEF 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若27AB =厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．12. （吉林省2022年）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角()0360αα︒<<︒后能够与它本身重合，则角α可以为 度．（写出一个即可）13. （黑龙江省绥化市2022年）如图，正六边形ABCDEF 和正五边形AHIJK 内接于O ，且有公共顶点A ，则BOH ∠的度数为 度．三、解答题（本大题共1小题）14. （浙江省金华市2022年）如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；②以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接,,AM MN NA ．(1)求ABC ∠的度数．(2)AMN 是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．参考答案1. 【答案】C【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90一致或有倍数关系的则符合题意．【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90是30的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．2. 【答案】C【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠B =60°，∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∵∠D =∠B =60°，则∠DAC =30°，∴CD =12AD ， ∵AD 2=CD 2+AC 2，即AD 2=(12AD )2+32，∴AD∴OA =OB =12AD 故选：C ．3. 【答案】C【分析】 利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG ．【详解】∵圆O 的周长为6π，设圆的半径为R ，∴26R ππ=∴R =3连接OC 和OD ，则OC=OD=3∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠COD =360606︒=︒， ∴△OCD 是等边三角形，OG 垂直平分CD ， ∴OC =OD =CD ，1322CG CD ==∴OG =故选 C4. 【答案】C【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵多边形ABCDE 是正五边形，∴该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =， ∴5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ∵ABF 是正三角形，∴60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，∴1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；∵AB AE =，AB AF FB ==，∴AE AF =，故A 选项正确；∵60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，∴F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．5. 【答案】D【分析】连接OC 、OB ，证出BOC ∆是等边三角形，根据勾股定理求出OM ，再由弧长公式求出弧BC 的长即可．【详解】解：连接OC 、OB ，六边形ABCDEF 为正六边形，360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆为等边三角形，6BC OB ∴==，OM BC ⊥，132BM BC ∴==，OM ∴==BC 的长为6062180ππ⨯==． 故选：D ．6. 【答案】C【分析】连接OB ，OC ，由⊙O 的周长等于6π，可得⊙O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB ，OC ，∵⊙O 的周长等于6π，∴⊙O 的半径为：3，∵∠BOC 61=⨯360°＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF 的边长为3，故选：C ．7. 【答案】B【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，∴67461122,20226337÷=⋅⋅⋅⋅⋅÷=，∴经过2022秒后，红跳棋落在点A 处，黑跳棋落在点E 处，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，如图所示：在正六边形ABCDEF 中，2,120AF EF AFE ==∠=︒， ∴1,302AG AE FAE FEA =∠=∠=︒， ∴112FG AF ==，∴AG =∴AE =故选B ．8. 【答案】B【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴，∴AP ＝1， AO ＝2，∠OPA ＝90°，∴OP ＝∴A（1第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，第3次旋转结束时，点A 的坐标为（1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1，∵将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，9. 【答案】30【分析】连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，先求出360606AOF ︒∠==︒，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．【详解】连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，在正六边形ABCDEF 中，360606AOF ︒∴∠==︒， OA OC =OAC OCA ∴∠=∠2AOF OAC ACF ACF ∠=∠+∠=∠30ACF =∴∠︒，故答案为：30．10. 【答案】【分析】如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM DOH MOF CHO S S S S ,OM OH = 可得直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ， 由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM DOH MOF CHO S S S S ,OM OH =∴直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，由正六边形的性质可得：AOF 为等边三角形，60,AFO 而6,AB =6,3,ABAF OF OA AP FP 226333,OP2,AM 则1,MP22OM13327,MH OM247.故答案为：11. 【答案】54【分析】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．【详解】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，∵六边形MNGHPO是正六边形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FNM=60°，∴△FMN是等边三角形，同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等边△ABC≌等边△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案为：54．12. 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】 解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角3601606︒∠==︒， 0360α︒<<︒，∴角α可以为60︒或120︒或180︒或240︒或300︒，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．13. 【答案】12【分析】连接AO ，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．【详解】连接AO ，如图，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =360°÷6=60°，∵多边形AHIJK 是正五边形，∴∠AOH =360°÷5=72°，∴∠BOH =∠AOH -∠AOB =72°-60°=12°，故答案为：12．14. 【答案】(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．(1)解：∵正五边形ABCDE ．∴BC CD DE AE AB ====， ∴360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ∵3AEC AE =，∴AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ∴1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； (2)解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,∵ON OF =，∴ON OF FN ==，∴OFN △是正三角形，∴60OFN ∠=︒，∴60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，∴60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，∴AMN 是正三角形；(3)∵AMN 是正三角形，∴2120A N A N M O =∠=︒∠．∵2AD AE =，∴272144AOD ∠=⨯︒=︒，∵DN AD AN =-，∴14412024NOD ∠=︒-︒=︒， ∴3601524n ==．。
中考复习专题32正多边形与圆
正多边形与圆一.选择题1．（2015•广东广州,第9题3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A． 3B． 9C． 18D．36考点：正多边形和圆．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．解答：解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．2. （2015•浙江金华，第10题3分）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是【】A. B. C. D. 2【答案】C.【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.【分析】如答图，连接，与交于点.则根据对称性质，经过圆心，∴垂直平分，.不妨设正方形ABCD的边长为2，则.∵是⊙O 的直径，∴.在中，，.在中，∵，∴.易知是等腰直角三角形，∴.又∵是等边三角形，∴.∴.故选C.3. （2015山东济宁，7，3分）只用下列哪一种正多边形，可以进行平面镶嵌( )A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形【答案】B考点：正多边形的内角，平面镶嵌4. （2015•四川成都,第10题3分）如图，正六边形内接于圆，半径为，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为（A）、（B）、D（C）、（D）、。
人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案1.若正多边形的一个外角为72︒，则这个正多边形的中心角的度数是( )A.18︒B.36︒C.72︒D.108︒2.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,点M在AF上( )A.60︒B.45︒ C.30︒ D.15︒3.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为( )A.4B.5C.6D.74.如图，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，⊥DG PC垂足为G，则∠PDG等于( )A.72°B.54°C.36°D.64°5.如图，正六边形ABCDEF内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )A.3B.2C.22D.236.如图是半径为4的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是( )O OA.23B.3C.2D.37.如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为( )A.32 πB.332 πC.332 2π3D.33 π8.如图,正三角形ABC 和正六边形ADBECF 都内接于,O 连接,OC 则∠+∠=ACO ABE ( )A.90︒B.100︒C.110︒D.120︒9.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠=CPD ________°.10.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长等于6π，则正六边形的边长为______.11.早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为_________________.12.如图，圆内接正六边形ABCDEF的半径为2，则该正六边形的面积是_________________.13.有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的面积.（结果保留根号）14.如图，O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于O.（1）求圆心O 到AF 的距离.（2）求正六边形ABCDEF 的面积.参考答案及解析1.答案：C 解析：正多边形的一个外角为72︒∴正多边形的边数为360725︒÷︒=∴这个正多边形的中心角的度数是360572︒÷=︒故选：C.2.答案：C解析:连接OC ,OD多边形ABCDEF 是正六边形60∴∠=︒COD1302∴∠=∠=︒CMD COD故选:C.3.答案：C解析：内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等∴正n 边形的中心角为60︒360606︒÷︒=∴n 的值为6故选：C.4.答案：B解析：正五边形ABCDE 内接于O∠CPD 与所对的弧相同1362∴∠=∠=︒CPD COD故选：B.5.答案：B解析：如图，连结OA ，OBABCDEF 为正六边形1360606∴∠=︒⨯︒=AOB∴AOB △是等边三角形正六边形的周长是1211226∴=⨯=AB2∴===AO BO AB故选B.6.答案：A解析：如图，做⊥OM AB 于点M360725COD ︒∴∠==︒COD ∠180903654PDG ∠=︒-︒-︒=∴︒正六边形ABCDEF 外接半径为4的O4∴==OA OB 360606︒∠==︒AOB 1302∴∠=∠=∠=︒AOM BOM AOB122∴===AM BM OA2223∴=-=OM OA AM ∴圆心O 到边AB 的距离为23故选：A.7.答案：D解析：连接OB 、OC六边形ABCDEF 为正六边形360606︒∴∠==︒BOC 。
中考一轮复习 数学专题14 圆与正多边形(学生版)
专题14 圆与正多边形一、单选题1．（2022·贵州铜仁）如图，,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若80AOB ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．（2022·四川雅安）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A ．B ．32CD ．33．（2022·四川广元）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，若⊙CAB ＝65°，则⊙ADC 的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°4．（2022·浙江嘉兴）如图，在⊙O 中，⊙BOC ＝130°，点A 在BAC 上，则⊙BAC 的度数为（ ） 本号资料皆*来@源于微信：数学A ．55°B ．65°C ．75°D ．130°5．（2022·浙江宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．236πcm B．224πcm C．216πcm D．212πcm6．（2021·广西桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则⊙C的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．（2021·内蒙古呼伦贝尔）一个正多边形的中心角为30，这个正多边形的边数是（）A．8B．12C．3D．68．（2021·吉林）如图，四边形ABCD内接于O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若120B∠=︒，则APC∠的度数可能为（）A．30B．45︒C．50︒D．65︒9．（2021·广西贺州）如图，在边长为2的等边ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（）A．π6B．π3C．π2D．2π310．（2021·吉林长春）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若35BAC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒11．（2021·湖南长沙）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒12．（2020·广西）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若⊙O ＝130°，则⊙BAC 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°13．（2020·重庆）如图，AB 是O 的切线，A 切点，连接OA ，OB ，若20B ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°14．（2020·四川巴中）如图，在O 中，点、、A B C 在圆上，45,ACB AB ︒∠==O 的半径OA 的长是（ ）AB ．2C ．D ．315．（2020·四川广安）如图，点A ，B ，C ，D 四点均在圆O 上，⊙AOD =68°，AO //DC ，则⊙B 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．56°D ．68°16．（2020·广西柳州）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若⊙BOC ＝70°，则⊙A 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．55°D ．70°17．（2020·辽宁鞍山）如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为2cm ，若2cm BC =，则A ∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．15°D ．10°18．（2020·江苏镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，⊙ADC ＝106°，则⊙CAB 等于（ ）A ．10°B ．14°C ．16°D ．26°19．（2020·四川雅安）如图，ABC 内接于圆，90ACB ∠=︒，过点C 的切线交AB 的延长线于点28P P ∠=︒，．则∠=CAB （ ）A ．62︒B ．31︒C ．28︒D ．56︒20．（2020·山东淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图⊙滚动（无滑动）到图⊙，再由图⊙滚动到图⊙．若半径OA ＝2，⊙AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．52πD ．52π+221．（2021·贵州黔西）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA 和OB 的夹角为150︒，OA 的长为30cm ，贴纸部分的宽AC 为18cm ，则CD 的长为（ ）A ．5πcmB ．10πcmC ．20πcmD ．25πcm22．（2021·山东青岛）如图，AB 是O 的直径，点E ，C 在O 上，点A 是EC 的中点，过点A 画O 的切线，交BC 的延长线于点D ，连接EC ．若58.5ADB ∠=︒，则ACE ∠的度数为（ ）A ．29.5︒B ．31.5︒C ．58.5︒D ．63︒23．（2021·四川内江）如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．C ．3 D24．（2021·山东滨州）如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是O 的直径．若10CD =，弦6AC =，则cos ABC ∠的值为（ ）A ．45B ．35C ．43D ．3425．（2021·辽宁鞍山）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（ ）A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒26．（2021·江苏镇江）如图，⊙BAC ＝36°，点O 在边AB 上，⊙O 与边AC 相切于点D ，交边AB 于点E ，F ，连接FD ，则⊙AFD 等于（ ）A ．27°B ．29°C ．35°D ．37°27．（2021·湖南湘潭）如图，BC 为⊙O 的直径，弦AD BC ⊥于点E ，直线l 切⊙O 于点C ，延长OD 交l 于点F ，若2AE =，22.5ABC ∠=︒，则CF 的长度为（ ）A ．2B ．C ．D ．428．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm29．（2022·广西河池）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°30．（2022·内蒙古包头）如图，,AB CD 是O 的两条直径，E 是劣弧BC 的中点，连接BC ，DE ．若22ABC ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．44︒31．（2022·辽宁锦州）如图，线段AB 是半圆O 的直径。
正多边形与圆练习
正多边形与圆练习基础过关1．一个外角等于它的一个内角的正多边形是________．2．一个正多边形的中心角为20°，则它是正_____形．3．若正多边形的每个内角为144°，则它的中心角是_____．4．外角大于内角的正多边形是________．5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）个．①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形A．3B．4C．5D．66．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（）．A．226°B．144°C．120°D．72°7．下列命题正确的是（）．A．各边相等的多边形是正多边形B．各内角分别相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形8．已知正多边形的每个内角均为108°，则这个正多边形的边数为（）．A．3 B．4C．5D．69．若正三角形的外接圆半径为6cm，则此三角形的内切圆半径为_____cm．10．边心距为5cm的正四边形的面积为_______．11．同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为_________．12．边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为_______．13．若正六边形的边长为8cm，则它的边心距为（）．A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 14．如图所示，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为（）．A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm能力提升15．已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．16．试比较如图中两个几何图形的异同，分别写出它们的两个相同点和两个不同点．例如：相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等．不同点：正方形是中心对称图形，正多边形不是中心对称．相同点：（1）__________；（2）____________．不同点：（1）__________；（2）____________．聚沙成塔如图所示，图①，②，③，……，n，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON．（1）求图①中∠MON的度数；（2）图②中∠MON的度数是_______，图③中∠MON的度数是_______；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）。
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：________________一、填空题1．已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_______，面积为_______．2．正十二边形的中心角是_____度．二、解答题3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图①，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A'、D的位置时，你能求出①A'、①D、①1与①2之间的数量关系吗？并说明理由．4．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2，正五边形ABCDE 内接于①O ，AB ＝2，求对角线BD 的长．5．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．6．如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ．（1）求证：AC ①ED ；（2）求证：ME ＝AE ．7．如图1，正五边形ABCDE 内接于①O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；①以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与①O 交于点M ，N ；①连接,,AM MN NA ．(1)求ABC∠的度数．(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在①O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．8．如图，ABC是等边三角形，点D、E、G分别在边AB、AC、BC上，且AD CE BG==，BE、CD、AG分别相交于点F、P、Q．求证：①PQF是等边三角形．9．如图，在圆内接正三角形ABC中,若①DOE保持120°角度不变，求证：当①DOE绕着O点旋转时，由两条半径和①ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是①ABC的面积的13．10．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．三、单选题11．如图，已知①O 的半径为1，AB 是直径，分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧．两弧相交于C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．52π-B ．56πC ．53πD ．83π-12．对于等边三角形的性质，下列说法不正确的是（ ）A ．等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等；B ．等边三角形的边都等于60，角都等于60°；C ．等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点；D ．等边三角形具有等腰三角形的所有性质；132，则这个多边形的内角和为（ ）A ．720︒B ．360︒C ．240︒D ．180︒14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A．6B．8C．10D．1215．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分①CHEC．整个图形不是中心对称图形D．CEH△是等边三角形参考答案及解析：1．1)a22)a【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可；利用正八边形的面积等于正方形的面积减去剪掉的四个等腰直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，∴正方形边长为a，如图所示，设正八边形的边长为x，在Rt AEL 中，LE x =,AE AL x ==，2x x a ∴+=，解得：1)x a =，即正八边形的边长为1)a ．2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=正方形正八边形．故答案是：1)a ，22)a ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程．2．30 【分析】根据正多边形的中心角公式：360n计算即可 【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式3．（1）2①A ＝①1+①2；见解析；（2）2①A ＝①1﹣①2；见解析；（3）2（①A +①D ）＝①1+①2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，①3=EDA '∠=12（180-①1），①4=DEA '∠=12（180-①2），①①A +①3+①4=180°，①①A +12（180-①1）+12（180-①2）=180°，整理得，2①A =①1+①2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180+①2），①①A+①3+①4=180°，①①A+12（180-①1）+12（180+①2）=180°，整理得，2①A=①1-①2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180-①2），①①A+①D+①3+①4=360°，①①A+①D+12（180-①1）+12（180-①2）=360°，整理得，2（①A+①D）=①1+①2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．4．（1）AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅；（2）1【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接,AD AC ，根据圆周角与弦的关系可得AD AC BD ==，设BD x =，在四边形ABCD 中，根据托勒密定理有，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，建立方程即可求得BD 的长【详解】（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接,AD AC ，五边形ABCDE 是正五边形，则E ABC BCD ∠=∠=∠,2AB BC CD ===AD AC BD ∴==设BD x =，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅即2222x x =⨯+解得1211x x ==1BD ∴=+【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．5．(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)3+【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，；（2）易求D（6，0），E（8，，待定系数法求出DE的解析式为y﹣次函数即可求点Q．（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，①P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，①BP＝4，G是CD的中点，①sin604PG BO BC==⋅︒==①P（4，，①P在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，①k＝①反比例函数解析式为y由正六边形的性质可知，A（2，，①点A在反比例函数图象上；（2）解：由（1）得D （6，0），E （8，，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，①608m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①y﹣由方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x＝3，①Q点横坐标为3+．．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒，由①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，得到①EAC ＝1144722⨯︒=︒，同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，则 ①EAC +①AED ＝180°，即可证明ED∥AC ；（2）由①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，得到①AEB =36°，则①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，可推出①EAM ＝①EMA ＝72°，即可证明 EA ＝EM ．【详解】解：①正多边形必有外接圆，①作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒， ① ①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，① ①EAC ＝1144722⨯︒=︒， 同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，① ①EAC +①AED ＝180°，① ED∥AC ；（2）①①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，①①AEB =36°，①①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，① ①EAM ＝①EMA ＝72°，① EA ＝EM ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．7．(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．（1）解：①正五边形ABCDE ．①BC CD DE AE AB ====， ①360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ①3AEC AE =，①AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ①1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； （2）解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,①ON OF =，①ON OF FN ==，①OFN △是正三角形，①60OFN ∠=︒，①60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，①60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，①AMN 是正三角形；（3）①AMN 是正三角形，①2120A N A N M O =∠=︒∠．①2AD AE =，①272144AOD ∠=⨯︒=︒，①DN AD AN =-，①14412024NOD∠=︒-︒=︒，①3601524n==．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．8．见解析【分析】先根据“SAS”证明△ACD①△CBE，得到①ACD=①CBE，结合三角形外角的性质可证①BFD=①60°，进而可证△PQF是等边三角形．【详解】证明：①△ABC是等边三角形，①①A=①BCE=60°，AC=CB，又①AD=CE，①△ACD①△CBE（SAS）；①①ACD=①CBE，①①ACB=①ACD+①BCF=60°，①①BFD=①CBE+①BCF=①ACD+①BCF =60°，同理可得，①APE=60°，①△PQF是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．9．见解析【分析】连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得：①OAB①①OBC①①OCA．则①1＝①2，再证明①OAG①①OCF，即可求解．【详解】如图：连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得①OAB①①OBC①①OCA．①①1＝①2．设OD 交BC 于F ，OE 交AC 于G ，则①AOC ＝①3+①4＝120°，①DOE ＝①5+①4＝120°，① ①3＝①5．∴在①OAG 和①OCF 中2135OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，① ①OAG ①①OCF ．① ΔAOC ΔABC 13OFCG S S S ==四边形． 【点睛】本题考查了正多形和圆的性质，全等三角形的判定和性质，将阴影部分的面积转化为固定的三角形面积是解题关键．10．(1)2(3)-【分析】（1）根据题意可得GE DC ∥，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AG AD AE AC ==根据旋转的性质可得DAG CAE ∠=∠，进而证明GAD EAC ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明①ADG ①①ACE ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1） 解：正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ，点G 在AD 上，F 在AB 上，GE DC ∴∥AG AE DG EC ∴= EC AE DG AG∴= 四边形AFEG 是正方形 ∴AE =∴2DG AGE === （2）解：如图，连接AE ，正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，DAG CAE ∴∠=∠AG AD AE AC ==GAD EAC ∴∽∴AC CE DG AD= （3） 解：①如图，AB =AG AD =，AD AB ∴==8AG ==,16AC ==， ,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC ==8CE GC GE ∴=-=，由（2）可知GAD EAC ∽，∴CE AC DG DA==()816DA CE DG AC ⋅∴==4==． ①如图：由（2）知△ADG ①①ACE ，①DG AD CE AC ==，①DG ， ①四边形ABCD 是正方形，①AD =BC ，AC 16，①AG ，①AG =8， ①四边形AFEG 是正方形，①①AGE =90°，GE =AG =8，①C ，G ，E 三点共线．①①AGC =90°①CG①CE =CG +EG，①DG =综上，当C ，G ，E 三点共线时，DG 的长度为-【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接AC 、BC ，如图，先判断△ACB 为等边三角形，则①BAC ＝60°，由于S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，所以图中阴影部分的面积＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O ，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【详解】解：连接BC ，如图，由作法可知AC ＝BC ＝AB ＝2，①①ACB 为等边三角形，①①BAC ＝60°，①S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，①S 阴＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O＝4（S 扇形BAC ﹣S △ABC ）+2S △ABC ﹣S ⊙O＝4S 扇形BAC ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O＝42602360π⨯⨯-222﹣π×12 53=π﹣ 故选：A ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．12．B【分析】根据等边三角形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ． 等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等，故该选项正确，不符合题意；B ． 等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，不一定等于60，故该选项不正确，符合题意；C ． 等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点，故该选项正确，不符合题意；D ． 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．A【分析】设AB 是正多边形的一边，OC①AB ，在直角①AOC 中，利用三角函数求得①AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：①2，①2，设AB 是正多边形的一边，OC①AB ， 2OC OA OB k ===，，在直角①AOC 中，OC cos AOC AO ∠== ①①AOC=30°，①①AOB=60°， 则正多边形边数是：360660︒︒=， ①多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．14．D【分析】连接,,AC OD OF ，先根据圆内接正多边形的性质可得点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，从而可得1145,3022CAD BAD CAF EAF ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据角的和差可得15DAF ∠=︒，然后根据圆周角定理可得230DOF DAF ∠=∠=︒，最后根据正多边形的性质即可得．【详解】解：如图，连接,,AC OD OF ，四边形ABCD 为O 的内接正四边形，AEF 为O 的内接正三角形，∴点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，90,60BAD EAF ∠=︒∠=︒，1145,3022CAD BAD CAF EAF ∴∠=∠=︒∠=∠=︒， 15DAF CAD CAF ∴∠=∠-∠=︒，230DOF DAF ∴∠=∠=︒， DF 恰好是圆O 的一个内接正n 边形的一边，3603601230n DOF ︒︒∴===∠︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．15．D【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．【详解】解：A ．① 根据正八边形的性质， 四边形ABCH 与四边形EFGH 能够完全重合，即四边形ABCH 与四边形EFGH 全等①四边形ABCH 与四边形EFGH 的周长相等，故选项正确，不符合题意；B ．连接DH ，如图1，① 正八边形是轴对称图形，直线HD 是对称轴，① HD 平分①CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．①八边形ABCDEFGH是正八边形，① B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，①DOE＝360=45 8︒︒①OE＝OH①①OEH＝①OHE＝12①DOE＝22.5°①①CHE＝2①OHE＝45°①①HCE＝①HEC＝12（180°－①CHE）＝67.5°①CEH△不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．。
正多边形与圆(八大题型)( 原卷版)
A．1B．2C． D．
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3D．2
正多边形.
◆2等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n为偶数时，正n边形为中心对称图形.
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》
圆与正多边形试题
1．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）. 2．边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.3．正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于______.正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ） 4．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）. 5．下列命题正确的是（ ）A ．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1；B ．正六边形的边长等于其外接圆的半径；C ．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍；D ．各边相等的圆的外切四边形是正方形。
6．同一圆的内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，周长最大的是（ ） 7．⊙O 的内接正三角形与正六边形面积之比为（ ）8．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ） 9.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ）10.如图1、2、3、…、n ，M 、N 分别是⊙O 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE…的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连结OM 、ON.⑴求图1中∠MON 的度数；⑵图2中∠MON 的度数是___________,图3中∠MON 的度数是___________； ⑶试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.11．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向行走。
按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是 （ ）12．如图，在126 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A 的半径为1⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 个单位。
13．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和3,如果它们既不相交又不相切,那么它们的圆心距d 的取值范围是 。
《正多边形和圆》模拟试题
《正多边形和圆》模拟试题（答题时间：70分钟）（一）一.选择题（每题6分，共30分）1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比为（）A.扩大了一倍B. 扩大了两倍C. 扩大了四倍D. 没有变化2.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）A.3：2：1B. 4：3：2C. 4：2：1D. 6：4：33.一个正方形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆的面积之比为（）A.3：2B. 2：1C. 9：4D. 25：94.同圆的内接正三角形面积与内接正六边形面积之比是（）: D. 1：3A.1：2B. 1：2C. 235.若大圆的周长是小圆的周长的3倍，那么大圆面积是小圆面积的（）A.3倍B. 3π倍C. 6倍D. 9倍二.填空题（每题6分，共30分）1.正五边形共有_______条对称轴，正六边形共有_______条对称轴。
2.边长为n的正六边形中较长的对角线为_______，面积为_______。
3.圆内接正n边形的边长为a，则同圆外切正n边形的边长为_______。
4.一圆的内接正三角形的面积为82cm，则此圆的外切正三角形的面积为_______。
5.同一圆中的内接正六边形和外切正六边形的周长比为_______，面积比为_______。
三.解答题（每题10分，共40分）1.已知圆内接正方形的面积是8，求此圆的内接正六边形的面积。
2.若正六边形的面积为63，求此正六边形内切圆的内接正三角形的面积。
3.圆内接正五边形ABCDE的对角线长为l，求它的边长。
4.如图7—19，PA、PB切圆O于A、B，若∠=︒APB60，圆O的半径等于3，求阴影部分的面积。
A.36 B. 34 C. 33 D. 322.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S S S 346、、之间的大小关系是（ ）A.S S S 346>>B. S S S 643>>C. S S S 634>>D.S S S 463>> 3.两圆半径分别为R 、r ，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4倍，则这大圆的半径为（ ） A.12()R r + B. 1222()R r + C. 1222R r + D. 222R r +4.若两圆半径分别为R 与r （R r ≠），圆心距为d ，且d R r Rd 2222+-=，则两圆位置关系为（ ）A.外离B. 外切或内切C. 相交D. 外切5.已知圆O 与圆O'内切于A 点，圆O 弦BC 过圆O'圆心O'交圆O'于D 、E ，若圆O 的直径为6，且有BD DE EC ::::=342，则圆O'的半径长为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4二.填空题（每题6分，共30分）1.正十边形的半径等于10，则边长等于_______。
秋季初三正多边形与圆15题
2017秋季初三正多边形与圆（15题）一．选择题（共9小题）1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2 D．23．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.55．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm6．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．7．如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A1B1C1D1．称为第一次数学操作，解下列，作正方形A1B1C1D1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A2B2C2D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n次数学操作后，得到正方形A n B n C n D n，则的值为（）A．（）n B．（）n C．（）n D．（）n8．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S19．如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示．若图中阴影部分的面积为S1，两个空白三角形的面积为S2．则=（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共4小题）10．正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．11．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．12．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=．13．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=°．三．解答题（共2小题）14．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．15．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=（用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．2017秋季初三正多边形与圆（15题）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选A．【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．2．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是（）A．B．2 C．2 D．2【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵正六边形的周长是12，∴BC=2，∴⊙O的半径是2，故选B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．3．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【解答】解：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：×1×=．故选：A．【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．4．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，故选C．【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．5．（2017•安次区二模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a 的值应是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD==60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6．（2017•和平区三模）如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．【分析】过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，再求得DE，BC的长，根据三角形的面积公式即可得出△DEF和△ABC的面积．【解答】解：过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，∵∠ODM=∠OBN=30°，∴OB=4，DM=，DE=2，BN=2，BC=4，∴S=×4×6=12，△ABC∴S=×2×3=3，△DEF∴==4．故选A．【点评】本题考查了正多边形和圆，以及勾股定理、垂径定理，直角三角形的性质，明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键．7．（2017•江西模拟）如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A1B1C1D1．称为第一次数学操作，解下列，作正方形A1B1C1D1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A2B2C2D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n次数学操作后，得到正方形A n B n C n D n，则的值为（）A．（）n B．（）n C．（）n D．（）n【分析】根据正多边形的特点，构建直角三角形来解决．【解答】解：图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似，OF，OC1分别是两个正方形的边心距，△OC1F是等腰直角三角形，因而OF：OC1=，则的值为，当完成第n次数学操作后，得到正方形A n B n C n D n，则的值为（）n．故选A．【点评】此题考查了正多边形和圆的知识，边数相同的正多边形一定相似，边心距的比，半径的比都等于相似比．8．（2016•太谷县校级模拟）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S1【分析】根据三角形、正方形、正六边形的周长相等可设出三角形的边长，再求出S1，S2，S3，的值进行比较即可．【解答】解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；∵正三角形的边长为a，∴其高为，∴S1=a×=；S2=（）2=；∵正六边形的边长为，∴把正六边形分成六个三角形，其高为，∴S3=6×××=．∵S1==，S3==，＜＜，∴S1＜S2＜S3．故选C．【点评】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法，属中等难度题目．9．（2016•盘锦一模）如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示．若图中阴影部分的面积为S1，两个空白三角形的面积为S2．则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．【解答】解：如图，∵三角形的斜边长为a，∴两条直角边长为a，a，∴S2=a•a=a2，∵AB=a，∴OC=a，∴S=6×a•a=a2，正六边形∴S1=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，∴==5．故选C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．二．填空题（共4小题）10．（2017•毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为96cm2．【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD==60°；∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=×=4cm，∴S△OCD=CD•OE=×8×4=16cm2．∴S正六边形=6S△OCD=6×16=96cm2．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，把正六边形的面积化为求三角形的面积解答．11．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．【分析】由五边形ABCDE可得出，AB=BC=CD=DE=EA=1、∠A=∠D=108°，利用弧长公式可求出、的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴==•πAB=π，∴C阴影=++BC=π+1．故答案为：π+1．【点评】本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式求出、的长度是解题的关键．12．（2017•凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=72°．【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．【解答】解：连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，在△OBP和△OCQ中，，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=72°．故答案为：72°．【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．13．（2017•张店区一模）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=54°．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4=×360°=108°，∴∠A4A1A7=×108°=54°．故答案为：54．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．三．解答题（共2小题）14．（2015•铁西区一模）如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD 上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．【分析】（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．【解答】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．【点评】本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．15．（2015秋•镇海区期末）教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=a（用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为等边三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．【分析】（1）根据折叠的性质即可得到结论；（2）根据折叠的性质即可得到结论；（3）由（2）知△CDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到结论．【解答】解：（1）∵正三角形ABC的边长为a，由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，∴CO=a；故答案为：a；（2）△CDE为等边三角形；故答案为：等边；（3）由（2）知△CDE为等边三角形，∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．【点评】本题考查了正多形与圆，折叠的性质，三角形的重心的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．。
九下第2章圆2-7正多边形与圆习题新版湘教版
如图，⊙O 的半径为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形
面积近似估计⊙O 的面积，可得 π 的估计值为323，若用圆 内接正十二边形作近似估计，可得 π 的估
计值为( )
A． 3
B．2 2
C．3
D．2 3
【点拨】 如图，AB 是正十二边形的一条边，点 O 是正十二边形的
中心，OA＝OB＝1. 过 A 作 AM⊥OB 于 M，在正十二边形中， ∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝12OA＝12，∴S△AOB＝ 12OB·AM＝12×1×12＝14. ∴正十二边形的面积为 12×14＝3，∴3≈12×π.∴π≈3. ∴π 的估计值为 3. 【答案】C
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再 依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【解】连接 OD，如图． ∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝ON＝144°－120°＝24°. ∴360°÷24°＝15，即 n 的值是 15.
如图，延长HC交AD于B， ∵多边形是正六边形， ∴∠ACB＝60°. ∵BC∥直线l， ∴易得∠ABC＝90°. ∴∠α＝30°.
(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为___2__3___(结果保 留根号)．
【点拨】 如图，取中间正六边形的中心为O，过点O作ON垂直
直线l于点N，交CH于点M，延长AD 交直线l于E，延长CH交GK于点F， 连接AG，易得AG∥BF，AB∥GF， ∠GFH＝90°，
2.7 正多边形与圆
1 [2023·河北]如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若 △P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下 列正确的是( ) A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较
【点拨】
正多边形与圆(基础篇)(专项练习)
专题2.11 正多边形与圆（基础篇）（专项练习）一、单选题1．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．82．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A．4B．5C．6D．73．如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，则正五边形的中心角COD的度数是（）A．72°B．60°C．48°D．36°4．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6B．12C．24D．485．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是()A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120°C．∠CAD+∠B =180°D．无法确定6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（）A ．72°B ．70°C ．60°D ．45°7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF ，若对角线AD 的长约为8mm ，则正六边形ABCDEF 的边长为（ ）A ．2mmB ．C ．D ．4mm8．有一题目：“已知；点O 为ABC ∆的外心，130BOC ∠=︒，求A ∠．”嘉嘉的解答为：画ABC ∆以及它的外接圆O ，连接OB ，OC ，如图．由2130BOC A ∠=∠=︒，得65A ∠=︒．而淇淇说：“A ∠还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）A ．淇淇说的对，且A ∠的另一个值是115°B ．淇淇说的不对，A ∠就得65°C ．嘉嘉求的结果不对，A ∠应得50°D ．两人都不对，A ∠应有3个不同值9．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．h R r =+B ．2R r =C ．r =D ．R =10．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD ＝130°，则∠A 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．115°D ．130°二、填空题11．如图，若以AB 为边长作⊙O 的内接正多边形，则这个多边形是正______边形．12．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝32°，则∠B+∠E ＝_____°．13．如图，四边形ABCD 为O 的内接正四边形，AEF 为O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为_________．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为______cm．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧BC上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝________．16．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠=︒，则这个正多边形的边数为_______．ADB1817．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为cm．18．六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．三、解答题19．如图，ABCDE是O的内接正五边形．求证：AE BD.20．已知正六边形ABCDEF内接于O，图中阴影部分的面积为O的半径为多少？21．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．22．完成下表中有关正多边形的计算：23．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，已知13CF BC =，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1) 在图1中的边DE 上求作点G ，使DG CF =； (2) 在图2中的边DE 上求作点H ，使EH CF =．24．如图，已知O ． 求作：O 的内接等边ABC ． 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：①作直径AD ；②作半径OD 的垂直平分线，垂足为E ，交O 于B C 、两点； ③连接AB ，AC ．所以ABC 即为O 的内接等边三角形． ∵在O 中，BC 垂直平分OD ∴CD CO =，BE CE = ∵OD BC ∴AB AC =（①） ∵CD OC OD == ∴ODC △为等边三角形 ∴60ODC ∠=︒∴60B ODC ∠=∠=︒（②） ∴ABC 为O 的内接等边三角形．（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）参考答案1．C 【分析】如图（见分析），先根据等边三角形的判定与性质可得60AOB ∠=︒，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．解：如图，由题意得：OA OB AB ==，AOB ∴是等边三角形，60AOB ∴∠=︒，则这个正多边形的边数为360606︒÷︒=， 故选：C ．【点拨】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．2．C【分析】根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为60︒，由36060︒÷︒可得结果．解：内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，∴正n边形的中心角为60︒，360606︒÷︒=，∴n的值为6，故选：C．【点拨】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键．3．A【分析】360 n ︒计算即可．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360725︒=︒，故选：A．【点拨】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360n︒是解题的关键．4．C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．解：连接OC，∵AB 是⊙O 内接正六边形的一边， ∴∠AOB ＝360°÷6＝60°，∵BC 是⊙O 内接正八边形的一边， ∴∠BOC ＝360°÷8＝45°，∴∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝60°－45°＝15° ∴n ＝360°÷15°＝24． 故选：C ．【点拨】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键． 5．C 【分析】还原点A 折叠前的位置，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质得到结论． 解：如图，点A '为点A 折叠前的位置， ∵折叠，∴CAD CA D '∠=∠，∵四边形A CBD '是O 的内接四边形， ∴180CA D B '∠+∠=︒， ∴180CAD B ∠+∠=︒． 故选：C ．【点拨】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质． 6．A【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，ACB∠的度数即可解决问题．解：在正五边形ABCDE中，∠B=∠BCD=15×（5-2）×180=108°，AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=12（180°-108°）=36°，∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．故选：A．【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．7．D【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=12AD，即可得到答案．解：连接CF与AD交于点O，∵ABCDEF为正六边形，∴∠COD= 3606︒=60°，CO=DO，AO=DO=12AD=4mm，∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形ABCDEF的边长为4mm故选：D．【点拨】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．8．A【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．解：如图所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A 还应有另一个不同的值∠A′与∠A 互补．故∠A′＝180°−65°＝115°．故选：A ．【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．9．C【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A 正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B 正确,利用勾股定理求出r 和R,即可判断C 、D ．解： 如图所示,标上各点，AO 为R ，OB 为r ，AB 为h ，从图象可以得出AB=AO+OB ，即h R r =+，A 正确；∵三角形为等边三角形，∴∠CAO=30°，根据垂径定理可知∠ACO=90°，∴AO=2OC ，即R=2r ，B 正确；在Rt △ACO 中，利用勾股定理可得：AO 2=AC 2+OC 2，即22212R a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由B 中关系可得：()222122r a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得=r ，则R =， 所以C 错误，D 正确；【点拨】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形． 10．C【分析】先根据圆周角定理求出BCD ∠的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果． 解：∵130BOD ∠=︒， ∴1652BCD BOD ∠=∠=︒， ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ∠+∠=︒，∴115A ∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．11．六【分析】根据题意可得OA AB OB ==，进而证明OAB 是等边三角形，得到60AOB ∠=︒，即可证明出这个多边形是正六边形．解：如图，连接OB ，∵OA AB OB ==，∴OAB 是等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴360606︒÷︒=，∴这个多边形是正六边形．故答案为：六．【点拨】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出60AOB ∠=︒．12．212连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD＝32°，然后求解即可．解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝32°，∴∠B+∠E＝∠B+∠AEC +∠CED =180°+32°＝212°．故答案为：212．【点拨】本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理．作出辅助线，构造出圆内接四边形是解题的关键．13．12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算36030︒︒即可得到n的值．解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD=3604︒=90°，∠AOF=3603︒=120°，∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，∴n=36030︒︒=12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．【点拨】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．14．12【分析】连接OC，OD，证出△COD是等边三角形即可求得答案．解：∵多边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD＝360°×16＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∵OC长为2cm，∴CD＝2cm，∴正六形ABCDEF的周长为2×6＝12（cm），故答案为：12．【点拨】本题考查的是正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键．15．36°##36度【分析】连接OC、OD，求出∠COD的度数，再根据圆周角定理解答即可．解：连接OC、OD，正五边形ABCDE内接于⊙O，360725COD，1362CPD COD，故答案为：36°．【点拨】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，准确作出辅助线并熟练掌握知识点是解题的关键．16．10【分析】连接AO,BO ，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解． 解：如图，连接AO,BO ，∴∠AOB=2∠ADB=36° ∴这个正多边形的边数为36036=10 故答案为：10．【点拨】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．17．【分析】圆心为A ，设半径为R ，大正方形边长是2x ，根据图形可得AE =BC =x ，CE =2x ，EF =DF =4，利用勾股定理列出方程求解，然后代入勾股定理计算即可得出结果． 解：如图所示，圆心为A ，设半径为R ，大正方形边长是2x∵正方形的两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，∴AE =BC =x ，CE =2x ，∵小正方形的面积为16cm 2，∴小正方形的边长为EF =DF =4，由勾股定理得：22222R AE CE AF DF =+=+，即()2222444x x x +=++，解得：x =4，R ∴=故答案为：【点拨】题目主要考查圆的基本性质及勾股定理解三角形，正方形的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．18 【分析】由六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC 、△CDE 、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．解：如图所示，连接AC 、AE 、CE ，作BG ⊥AC 、DI ⊥CE 、FH ⊥AE ，AI ⊥CE ，在正六边形ABCDEF 中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF 为1，∴△ABC 、△CDE 、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形， ∵∠ABC =∠CDE =∠EF A =120︒，AB =BC = CD =DE = EF =F A =1，∴∠BAG =∠BCG =∠DCE =∠DEC =∠F AE =∠FEA =30︒，∴BG =DI = FH =12，∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH ∴AC =AE =∴由勾股定理得：AI=32，∴S =111332222⨯+=【点拨】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．19．证明见分析【分析】根据正五边形的性质求出108A ABC C ∠==∠=∠，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD 的度数，进而可得出∠ABD 的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．证明：∵ABCDE 是正五边形，∴()521801085A ABC C -⋅∠===∠=∠.又∵BC CD =， ∴180108362CBD CDB -∠=∠==， ∴1083672ABD ∠=-=，∴10872180A ABD ∠+∠=+=，∴AE BD .【点拨】本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键． 20．半径4OD =【分析】先根据三角形的面积求出它的边长，再根据正多边形与圆的关系即可求出．解：连接DO 并延长，交BF 于点G ．∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴阴影部分为正三角形，设边长是a ，则FG=12a ，，则面积是12解得则∴半径OD=23DG=6×23=4．【点拨】本题考查正多边形和圆，熟知正六边形的性质，得出阴影部分三角形的边长是解题的关键．21．（1）详见分析；（2）110°．【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角，可得AD⊥BC，再根据CD＝BD，故AD 垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得：AB＝AC，再根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E＝∠C；（2）根据内接四边形的性质：四边形的外角等于它的内对角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性质即可求出∠BDF.（1）证明：连接AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°﹣∠E，∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，由（1）得：∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．【点拨】此题考查的是(1)直径所对的圆周角是直角、垂直平分线的性质和同弧所对的圆周角相等；（2）内接四边形的性质.22．填表见分析．【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可． 解：如图（1）所示：中心角3601203BOC ==∠，内角∠A =60°∵1=302OBD ABC =∠∠，90ODB ∠=，BC =∴2BO OD =，222OB OD BD =+，12BD BC ==∴2243OD OD =+，∴1OD =，∴2OB =，∴周长为：3⨯132OD BC ⨯⋅=如图（2）所示：中心角360904BOC ==∠， 内角∠A =90° 由题意可得△BOC 和△OBE 都是等腰直角三角形，∵边心距为1∴22BC OE ==，OB =∴边长为2，半径为 ，∴周长为8，面积为4；如图（3）所示：内角为120°，中心角360606AOB ==∠， ∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOM =30°，AM =BM ，∴AO =2AM∴OM∵222AO AM OM =+，∴2243AM AM =+，∴1AM =，∴==2AO AB ，∴半径为2，边长为2，∴周长为12，面积162AB OM ⨯⋅=，故答案为：609090120【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．【分析】（1）连接AO并延长与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．(1)连接AO并延长与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；理由：∵⊙O为正五边形的外接圆，∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．∵点M在直线AO上，∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，∴CF与DG关于直线AO对称．∴DG=CF．(2)在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；【点拨】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．24．（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见分析【分析】（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据；（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可．解：（1）OD BC ，BE CE =，∴OD 为BC 的垂直平分线，因此AB AC =，理论依据为：垂直平分线的性质；ABC ∠和ODC ∠都是弦AC 所对的圆周角，因此ABC ODC ∠=∠，理论依据为：同弧所对的圆周角相等；（2）以圆周上一点D 为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点C ，再以点C 为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点E ，以此类推，依次得到点B F A 、、，则ABC ∆即为所求，如下图：【点拨】此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键．。
九年级数学周末练习8(圆和正多边形)
初三数学周末练习8（圆和正多边形）1. 如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个多边形是()A. 正八边形B. 正九边形C. 正七边形D. 正十边形2. 如果一个正多边形绕它的中心旋转60°才和原来的图形重合，那么这个正多边形是()A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形3. 如果一个四边形的外接圆和内切圆是同心圆，则这个四边形一定是()A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形4. 同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比是()A. 3：4B.C.D. 1：25. 正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是()A. B. C. 6 D.6. 周长相等的正三角形、正方形和圆，面积最大的是( )A. 正三角形B. 正方形C. 圆D. 不能确定7. 下列命题中，正确命题的个数是( )①正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1②正六边形的边长等于其外接圆的半径③圆外切正四边形的边心距等于边长的一半④各角相等的圆内接多边形是正多边形A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 在同一个圆中，作它的内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形，其中周长最大的是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形9. 一个圆的内接正三角形与内接正六边形的面积的比是()A. πB.C.D.10. 正n边形的内切圆与外接圆的面积之比是( )A. B. C. D.11. 一个凸多边形的内角和等其外角和，这个凸多边形是____边形。
12. 两个正六边形的边长分别是3和4，则这两个正六边形的面积之比是____。
13. 如图所示，圆内接正六形ABCDEF中，AC、BF交于点M，则S△ABM：S△AFM=____。
14. 同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是____。
15. 圆的外切正六边形的边长是，则该圆的内接正方形的边长是_____。
初中数学中考正多边形与圆的关系(含答案解析)
正多边形与圆的关系一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<b<a2.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为()A. √2B. 2√2C. √22D. 13.一个正方形的边长为a，则它的内切圆的面积为()A. 34a2π B. 14a2π C. 32a2π D. a2π4.若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是()A. 45°B. 60°C. 72°D. 90°5.有下列四个命题：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各角相等的圆外切多边形是正多边形．其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 46.下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是()A. 正三角形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形7.正六边形的半径与边心距之比为()A. 1：√3B. √3：1C. √3：2D. 2：√38.若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为()．A. 4√3B. 4C. 2√3D. 29.正四边形的边心距为1，则它的半径是A. 2√2B. √2C. 2D. 110.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠OCD的度数是()A. 60°B. 54∘C. 76°D. 72°二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON=120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点。
若多边形AMONF的面积为2√3，则正六边形ABCDEF的边长是____.12.半径为2的圆内接正六边形的边心距等于_____．13.圆内接正六边形的边长为10cm，它的边心距等于__________cm．14.正六边形的半径为1，则正六边形的面积为____________________；15.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接EA，则∠AED=____度；若OA=4，则该正六边形的面积为__________.16.半径为4的正n边形边心距为2√3，则此正n边形的边数为_____．17.已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．18.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是________．19.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是______°.20.半径为3的圆的内接正方形的边长是________．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．根据三角函数即可求解．【解答】解：设圆的半径为R，则正三角形的边心距为a=R×cos60°=12R.四边形的边心距为b=R×cos45°=√22R，正六边形的边心距为c=R×cos30°=√32R.∵12R<√22R<√32R，∴a<b<c，故选：A．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形和圆、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，属于中考常考题型．根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，AE2+OE2=AO2，∴OE=√22OA=√2．故选：A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，知道正方形的内切圆的直径等于正方形的边长是解题的关键.根据正方形的内切圆的直径等于正方形的边长求得圆的半径，最后再求出圆的面积即可．【解答】解：因为正方形的内切圆的直径等于正方形的边长，所以r=a2，所以正方形的内切圆的面积为πr2=π(a2)2=14a2π，故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定与性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的判定与性质来分析、解答．如图，作辅助线，由题意可得OA=OB= AB，从而得出△OAB是等边三角形，进而求出∠AOB的度数，问题即可解决．【解答】解：如图，连接OA、OB；AB为⊙O的内接正多边形的一边，∵正多边形的边长与半径相等，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，即这个正多边形的中心角为60°．故选B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理.根据命题的“真”“假”进行判断即可．【解答】解：①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；②各边相等的圆外切多边形不一定正多边形，比如菱形，所以错误；③各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，比如长方形，所以错误；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确．故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆上等分点的尺规作图．根据尺规作图取圆的等分点的作法即可得出答案．【解答】解：取圆上一点为圆心，相同的长度为半径画弧，重复此种作法可得到圆的六等分点，据此可得圆的内接正六边形；在以上所得六等分点中，间隔取点，首尾连接可得圆的内接正三角形；由于圆的直径可以将圆二等分、两条互相垂直的直径可以将圆四等分，据此可作出圆的内接正四边形；综上可知，不可以用尺规作图作出的是圆的内接正五边形，故选C．7.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，要求学生熟练掌握应用.可设正六边形的半径为R，欲求半径与边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．解：如图所示，设正六边形的半径为R，又该多边形为正六边形，故∠OBA=60°，R，在Rt△BOG中，OG=√32∴边心距r=√3R2即半径与边心距之比2：√3，故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查正多边形与圆，用到的知识点为：n边形的中心角为360÷n，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．根据正六边形的边长等于正六边形的半径，即可求解．【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°．那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．∴它的外接圆半径是4．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的构造如图所示的直角三角形并求解．利用正四边形的外接圆的半径是边心距的√2倍计算．【解答】解：如图，∵正四边形的边心距为1，∴OB=1，∵∠OAB=45°，∴OA=√2OB=√2，故选：B．10.【答案】B【解析】【分析】是解题的关键．本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°n根据正多边形的中心角的计算公式：360°计算出∠COD，再由等腰三角形的性质可得．n【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，=72°，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°5∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCD=(180°−72°)÷2=54°．故选B．11.【答案】2【解析】略12.【答案】√3【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，AB=2，则AM=1，∴OM=OA⋅cos30°=√3∴正六边形的边心距是√3．故答案为√3．13.【答案】5√3【解析】【分析】本题考查的是正多边形与圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理直接计算即可．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG=60°，∴BG=5cm，OB=10cm，根据勾股定理可得：边心距OG=5√3cm；故答案为：5√3．14.【答案】3√32【解析】略15.【答案】90°；24√3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，属于中档题．六边形ABCDEF为正六边形，可得出∠AFE和∠FED的度数，进而得出∠AEF的度数，从而得出∠AED；连接OA，OF，过O作OG⊥AF于点G，先得出△AOF的面积，再乘以6，即可得出该正六边形的面积．【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AF=FE，且∠AFE=∠FED=(6−2)×180°=120°，6=30°，则∠AEF=180°−120°2∴∠AED=∠FED−∠AEF=120°−30°=90°，连接OA，OF，过O作OG⊥AF于点G，∵点O为正六边形ABCDEF的中心，∴∠OAF=60°，则△AOF为等边三角形，∠AOG=30°，(三线合一)在Rt△OGA中，GA=12OA=12×4=2，则OG=√OA2−AG2=√42−22=2√3，故该正六边形的面积为：6S△AOF=6×12×4×2√3=24√3．故答案为90°；24√3．16.【答案】6【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠AOB=60°是解题关键．由三角函数求出∠DAO=60°，得出∠AOD=30°，求出中心角∠AOB=60°，即可得出答案．【解答】解：如图所示AB为正n边形的边长，OA为半径，OD为边心距，∵半径为4的正n边形边心距为2√3，∴sin∠DAO=DO AO =2√34=√32，∴∠DAO=60°，∴∠AOD=30°，∴∠AOB=60°，∴n=360°60°=6故答案为6．17.【答案】12【解析】解：∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=2，正六边形的周长=6a=12，故答案为12．根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．18.【答案】72°【解析】【分析】本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用由正五边形的性质得出∠CDE=(5−2)×180°÷5=108°，AE=AB=BC，得出AE⏜= AB⏜=BC⏜，由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠CDE=(5−2)×180°÷5=108°，AE=AB=BC，∴AE⏜=AB⏜=BC⏜，×108°=72°；∴∠ADC=23故答案为72°．19.【答案】54【解析】【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C= 108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．【解答】解：连接AD，∵AF 是⊙O 的直径，∴∠ADF =90°，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠ABC =∠C =108°，∵BC =CD ，，∴∠ABD =72°，∴∠F =∠ABD =72°，∴∠FAD =18°，∴∠CDF =∠DAF =18°，∴∠BDF =36°+18°=54°，故答案为54．20.【答案】3√2 【解析】 【分析】该题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．画出图形，先根据题意首先求出BE 的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴∠OBE =45°；∵OE ⊥BC ，∴BE =CE ；又OB =3，∴sin45°=OE OB ，cos45°=BE OB ，∴OE =3√22，即BE =3√22，∴BC=3√2，故答案为3√2．。
专题24.8 正多边形与圆【十大题型】(人教版)(原卷版)
专题24.8 正多边形与圆【十大题型】【人教版】【题型1 正多边形与圆中求角度】 (1)【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 (3)【题型3 正多边形与圆中求半径】 (4)【题型4 正多边形与圆中求面积】 (5)【题型5 正多边形与圆中求周长】 (6)【题型6 确定正多边形的边数】 (6)【题型7 正多边形与圆中的实际应用】 (7)【题型8 正多边形与圆中的规律问题】 (8)【题型9 正多边形与圆中求最值】 (10)【题型10 正多边形与圆中的证明】 (11)【题型1 正多边形与圆中求角度】【例1】（2022春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM 的度数是（）A．36°B．45°C．48°D．60°̂上，则∠CMD的大小为【变式1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AF（）A．60°B．45°C．30°D．15°【变式1-2】（2022春•福州期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是．【变式1-3】（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【题型2 正多边形与圆中求线段长度】【例2】（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3√3B．32C．3√32D．3【变式2-1】（2022秋•西城区期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．2√2D．4√2【变式2-2】（2022•德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（）A．3−√13B．√13−1C．√13+1D．2√3−1【变式2-3】（2022•凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2√2：√3B．√2：√3C．√3：√2D．√3：2√2【题型3 正多边形与圆中求半径】【例3】（2022春•临海市期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，这两个圆的半径分别为OB，OC．则OA：OB：OC的值是（）A．3：2：1B．9：4：1C．√3：√2：1D．3：√6：√2【变式3-1】（2022•虹口区二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是．【变式3-2】（2022•钦州模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，已知AC＝6，则圆的半径是（）A．3B．6C．2√3D．4√3【变式3-3】（2022•碑林区校级模拟）如图：⊙O与正六边形ABCDEF的两边AB和EF相切于点B和点E 两点，若正六边形的边长是√3，则⊙O的半径长是（）A．1B．√3C．2D．3【题型4 正多边形与圆中求面积】【例4】（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（）A．8√3B．12√3C．16D．16√3【变式4-1】（2022秋•宣化区期末）如图，已知⊙O的周长等于6π，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．27√32B．27√34C．9√34D．27√3【变式4-2】（2022•庐阳区校级一模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为（）A．3√34B．√3C．5√34D．2√3【变式4-3】（2022秋•庐江县期末）⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（）A．√2B．√3C．2√2D．2√3【题型5 正多边形与圆中求周长】【例5】（2022•和平区一模）如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD 与正六边形AEFCGH的周长之比为（）A．2√2：3B．√2：1C．√2：√3D．1：√3【变式5-1】（2022•鼓楼区校级模拟）正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（）A．2√3B．3√3C．6√3D．6【变式5-2】（2022秋•梅河口市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为cm．【变式5-3】（2022•旌阳区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（）A．9+3√3B．12+6√3C．18+3√3D．18+6√3【题型6 确定正多边形的边数】【例6】（2022•宽城县一模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB̂上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 的值是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【变式6-1】（2022秋•滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式6-2】（2022•息烽县二模）如图，AB 、AC 分别为⊙O 的内接正方形、内接正三边形的边，BC 是圆内接正n 边形的一边，则n 等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．16【变式6-3】（2022秋•钢城区期末）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．15【题型7 正多边形与圆中的实际应用】【例7】（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm ，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（ ）A ．11.125mmB ．22.25mmC ．89√28mmD ．89√38mm【变式7-1】（2022秋•门头沟区期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是米．【变式7-2】（2022秋•东城区期末）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为尺．【变式7-3】（2022•清苑区一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是cm．（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为√13cm．【题型8 正多边形与圆中的规律问题】【例8】（2022秋•椒江区校级月考）已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点M 在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（ ）A ．2.2B ．﹣2.2C ．2.3D ．﹣2.3【变式8-1】（2022秋•铁锋区期末）如图，边长为1的正六边形ABCDEF 放置于平面直角坐标系中，边AB 在x 轴正半轴上，顶点F 在y 轴正半轴上，将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O 顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D 的坐标为 ．【变式8-2】（2022•江西模拟）如图，我们把先作正方形ABCD 的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A 1B 1C 1D 1．称为第一次数学操作，接下来，作正方形A 1B 1C 1D 1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A 2B 2C 2D 2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n 次数学操作后，得到正方形A n B n ⊙n D n ，则A n B n AB 的值为（ ）A ．（√22）nB ．（12）nC ．（√32）nD ．（34）n 【变式8-3】（2022•威海）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．24329B．81√329C．8129D．81√328【题型9 正多边形与圆中求最值】【例9】（2022•南山区三模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为8π，MN＝2，则△AMN周长的最小值是（）A．6B．8C．9D．10【变式9-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A．2√11−2B．2√13−2C．6D．4√3【变式9-2】（2022•浙江自主招生）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF ＝90°，则△GBH周长的最小值为．̂上运动，【变式9-3】（2022秋•广陵区期末）如图，⊙O半径为√2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为．【题型10 正多边形与圆中的证明】【例10】如图，⊙O的内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点F．（1）求∠BAC的度数．（2）求证：四边形CDEF为菱形．【变式10-1】已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形．【变式10-2】（2022•河南模拟）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t＝s时，四边形PBQE为菱形；②当t＝s时，四边形PBQE为矩形．̂上一动【变式10-3】（2022•张家口一模）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为BC点，求证：P A＝PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB＝CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1＝∠2∴△ABE≌△CBP̂上一动点，求证：P A＝PC+√2PB．（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为BĈ上一动点，请探究P A、PB、PC三者（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为BC之间有何数量关系，直接写出结论．。
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正多边形与圆的试题（测试时间：45分钟；满分：100分）一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．正多边形的一个中心角与该正多边形的一个外角的关系是（ ）A ．互余B ．相等C ．互补D ．不能确定 2．如图，正六边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ADB 为（ ）A ．060 B ．045 C ．030 D ．05.223．如图是一个零件的示意图，A 、B 、C 处都是直角，MN 是圆心角为090的弧，则MN⌒ 的长为（ ）A ．πB ．π23C ．π2D ．π4 4．如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径r 与扇形半径R 之间的关系为（ ）A ．r R 2=B ．r R 49= C ．r R 3= D ．r R 4=5．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为3r 、4r 、6r ，则3r ：4r ：6r 等于（ ）A ．3:2:1B ．3 ：2：1C ．1：2：3D ．3：2：1 6．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，且AB=4，OP=2，连接OA 交小圆于点E ，则扇形OEP 的面积为（ ）A ．π41 B ．π31 C ．π21D ．π817．如图，⊙1O 的半径A O 1是⊙2O 的直径，⊙1O 的半径C O 1交⊙2O 于点B ，则AC ⌒ 和AB⌒ 长度的关系是（ ） A ．AC⌒ 较长 B ．AB ⌒ 较长 C ．两弧长度相等 D ．无法确定 第2题图第3题图第4题图8．如图，小华从一个圆形场地的点A 出发，沿着与半径OA 夹角为a 的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为a 的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于AB⌒ 上，此时∠AOE=056，则a 的度数是（ ） A ．052 B ．060 C ．072 D ．076二、细心填一填（每小题2分，共16分）9．要用一个圆形铁皮截出边长为4cm 的正方形铁片，则需选用的圆形铁皮的直径最少为 cm ．10．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知该圆锥的母线长是30cm ，底面圆的半径为24cm ，则圆锥的侧面积为 2cm ．11．如图，⊙O 的半径为9cm ，∠ACB=080，则劣弧AB 的长度为 cm ．12．如图，点M 、N 分别是正八边形相邻的边AB 、BC 上的点，且AM=BN ，点O 是正八边形的中心，则∠MON= ．13．如图，用一个半径为60cm ，圆心角为0150的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为 ．14．如图，从点P 引⊙O 的两切线PA 、PB ，A 、B 均为切点，已知⊙O 的半径为2，∠P=060，则图中阴影部分的面积是 ．15．如图是一个滑轮的起重装置，已知滑轮的半径为10cm ，一条半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转，当重物上升 5cm 时，则半径OA 转过的面积是 （假设绳索与滑轮之间没有滑动）．16．已知一个正n 边形的边心距为2cm ，周长为25cm ，则这个正n 边形的面积为 ．第6题图第7题图第8题图第11题图第12题图第13题图三、用心做一做（共60分）17．（8分）已知圆锥的底面圆的周长为 4cm ，母线长为3cm ．求它的侧面展开图的圆心角．18．（9分）如图，已知正三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径R=6cm ，求△ABC 的边长a ，周长P ，边心距r 和面积S ．19．（9分）如图是一个圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体上底面为底面，在其内部“掏出”一个与圆柱体等高的圆锥体而成的，其底面直径为12cm ，高为8cm ，求这个零件的全面积．20．（10分）如图，有一个直径为2m 的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角是090的扇形ABC ，且AB=AC ．（1）求被剪掉的阴影部分的面积；（2）用所留的扇形ABC 围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是多少？21．（12分）如图，把Rt △ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针防线在l 上转动两次，使它转到△////C B A 的位置．设AC=3，BC=1，则顶点A 运动到//A 时，点A 经过的路线与直线l 所围成图形的面积是多少？22．（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=090，O 为直角边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与斜边AB 相切于点D ，与BC 交于另一点E ．（1）求证：△AOC ≌△AOD ；（2）若BE=1，BD=3，求⊙O 的半径及图中阴影部分面积S ．能力提高1．如图，半圆的直径AB=10，P 为AB 上一点，点C 、D 为半圆第1题图第15题图第14题图第18题图第19题图第20题图第21题图第22题图E的三等分点，则图中阴影部分的面积等于2．如图，用一根细绳紧紧地捆绑着不同数量的圆木（圆木的半径为1），请你认真观察，计算捆绑六个这样的圆木需要细绳的长度为（ ）A ．122+πB ．12+πC ．142+πD ．14+π 3．如图是一纸杯，它的母线延长并相交后所形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图是扇形OAB ．经测量，杯口的直径为4cm ，母线EF=8cm ，求扇形OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积．章节同步测试题（七）参考答案一、1～4 BCCD ；5～8 ACCA ．提示：1．正多边形的一个中心角的度数为n 0360，∵正多边形的一个内角的度数为n n 0180)2(⨯-，∴它的一个外角为0180—n n 0180)2(⨯-=n0360．故正多边形的一个中心角与该正多边形的一个外角相等．2．连接OB ，∵ABCDE 是正六边形，∴∠AOB=00606360=，∴∠ADB=21∠AOB=030． 3．观察图形，不难发现MN⌒ 的所在圆的半径为4，∴MN ⌒ 的长=ππ2180490=⨯． 4．用扇形和圆形围成一个圆锥，应有扇形的弧长等于圆形的周长．即r Rππ218090=，解得r R 4=．5．设圆的半径为r ，画出图形，分别求出3r =r 21，4r =r 22，6r =r 23，∴3r ：4r ：6r =3:2:1．第3题图…第2题图6．∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ．又AP=AB 21=2，OP=2，∴∠EOP=045．扇形OEP 的面积=ππ213602452=⨯． 7．连接2BO ，设01n A CO =∠，A O 2=r ，则有∠A BO 2=0122n A CO =∠，A O 1=2A O 2=r 2．AC⌒ =901802r n r n ππ=⨯，AB ⌒ =901802r n r n ππ=⨯．∴AC ⌒ 的长=AB ⌒ 的长．8．∵OA=OB ，∴∠BAO=∠ABO=a ，∴∠AOB=a 21800-．同理∠BOC=∠COD=∠DOE=a 21800-．∴∠AOE=)2180(43600a --，解得a =052．二、9．24；10．720π；11．π8；12．045；13．25cm ；14．π34-34；15．π25；16．252cm ．提示： 9．如图，依题意，有BC=AC=4cm，则AB=22BC AC +=2244+=24cm ．10．根据圆锥侧面积的公式，可知圆锥的侧面积为=rl π=3024⨯⨯π=720π．11．连接OA 、OB ，有∠AOB=2∠ACB=0160．∴劣弧AB 的长=ππ81809160=⨯；12．连接OA 、OB ，有△AOM ≌△BON ，∴∠AOM=∠BON ，故∠MON=∠AOB=00458360=； 13．观察图形，知扇形的弧长等于围成圆锥的底面圆的周长．设底面圆的半径为r ，有r ππ218060150=⨯，解得25=r （cm ）． 14．连接OA 、OP ，OP 与⊙O 交于C 点，则有∠PAO=090，∠APO=030，∠AOP=060，∴OP=2OA=4．AP=22OA OP -=2224-=32．∴）（扇形阴影OAC PAO Rt S 2S S -=∆=）（360260-2322122⨯⨯⨯π=π34-34．15．∵重物上升π5cm ，∴点A 转动的弧长为π5cm ．∴半径OA 转过的面积=ππ251052121=⨯⨯=lr ． C第9题图16．∵正n 边形的周长为25cm ，∴边长为n25cm ，∴每个圆心角所夹正n 边形部分的面积为n 25221⨯⨯=n 25．又∵正n 边形共有n 个这样的三角形组成，∴这个正n 边形的面积为n25×n =252cm ．三、17．解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为0n ，∵圆锥的底面圆的周长等于侧面展开后扇形的弧长，∴ππ41809=⨯n ，解得80=n ． 故圆锥的侧面展开图的圆心角为080．18．36=a ，318=P ，3=r ，327=S ． 19．解：∵圆锥的母线长22r h a +==2268+=10．∴这个零件的全面积=2r rl ππ+=πππ9661062=⨯+⨯⨯．20．解：（1）连接BC ，∵∠BAC=090，∴BC 为⊙O 的直径．设AB=AC=x m ，在Rt △BAC 中，有222BC AC AB =+，即222)22(=+x x ，得x =2．∴阴影部分面积=ππ=⨯3602902（2m ）．（2）设圆锥的底面圆的半径为r m ，有r ππ2180290=⨯，解得21=r （m ）． 故圆锥的底面圆的半径为21m ． 21．解：在Rt △ABC 中，AB=22BC AC +=2．又∵∠C=090，且AB=2BC ，∴∠BAC=030，∠ABC=060．从A 到/A 时，A 经过的路线是以点B 为圆心，边AB 为半径，旋转度数为0120．∴扇形AB /A 的面积为36021202⨯⨯π=34π．从/A 到//A 时，/A 经过的路线是以点/C 为圆心，边/A /C 为半径，旋转度数为090．∴扇形/A /C //A 的面积为360)3(902⨯⨯π=π43．综上，顶点A 运动到//A 时，点A 经过的路线与直线l 所围城图形的面积=扇形AB /A 的面积+ Rt △/A B /C 的面积+扇形/A /C //A 的面积=34π+3121⨯⨯+π43=425π+23．22．解：（1）∵AB 是⊙O 的切线，∴∠ADO=∠ACO=090，又OD=OC ，OA=OA ，∴△AOC ≌△AOD ；（2）设⊙O 的半径为r ，则有OB=OE+BE=1+r ．在Rt △ODB 中，222OB BD OD =+，即222)1(3+=+r r ，解得4=r ．∵△AOC ≌△AOD ，∴AC=AD ． 设AC=x ，则AB=AD+BD=3+x ，在Rt △ACB 中，222AB BC AC =+，即222)3(9+=+x x ，解得12=x ．O 21S 圆阴影S S ACB -=∆=242191221⨯-⨯⨯π=π854-．能力提高1．625π． 提示：由题意知，无论P 点在AB 的哪一个位置，阴影部分的面积都不会发生变化．可设P 点与A 点重合，连接CD 、OC 、OD （如图）．∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=060．∴CO=DO=CD=AC=AO ，即四边形AODC 是菱形．这时会发现：阴影部分就等于扇形COD 的面积，而扇形COD 的面积又等于半圆面积的31， 于是阴影S =215312⨯⨯π=625π．2．A ．提示：捆绑2个圆木需要细绳的长度为4+π2；捆绑3个圆木需要细绳的长度为6+π2；捆绑4个圆木需要细绳的长度为8+π2；捆绑5个圆木需要细绳的长度为10+π2；故捆绑6个圆木需要细绳的长度为12+π2．3．解：由题意得AB ⌒ =π6，CD ⌒ =π4．设∠AOB=0n ，AO=R （cm ），则OC=（R —8）cm ． 由弧长公式得ππ6180=R n ，ππ4180)8(=-R n ， 解方程组⎩⎨⎧-=⨯=⨯n nR nr 818041806，得⎩⎨⎧==2445R n ．故扇形OAB 的圆心角为045．∵R=24cm ，R —8=16cm ． ∴ππ3216421OCD =⨯⨯=扇形S （2cm ），ππ7224621OAB =⨯⨯=扇形S （2cm ）， ∴=纸杯侧面积S OAB 扇形S —OCD 扇形S =πππ4032-72=（2cm ），ππ422=⨯=纸杯底面积S （2cm ）． ∴=纸杯表面积S πππ44440=+（2cm ）．。