机械波课件

点的振动位移相同。 y
t1
t2
u
经过∆ t ，波向前传 播了l = u∆ t 的距离.
X
u∆t
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二、沿负x方向传播的平面简谐波 波沿 -x 方向传播，故+x处质点的振动在时间上比o 点的超前x/u，由此推出波动方程：
x y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] u
三、不同形式的波动方程
y
具体分析： 1.若 x 不变(令 x = x1)，则 y = y( t )：
y = A cos[ωt + (ϕ − ω x1 / u )] = A cos(ωt + ϕ1 )
● x 为定值时，波动方程代表该定值点的振动 方程。
x1 ϕ1 = ϕ − ω u
x1处质点振动的初位相， 比波源处落后 ω x1 / u.
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球面波：
平面波：
（a）
（b）
点波源在远处的一小部分可视为平面波：
（c） ◆在各向同性均匀媒质中，波线垂直于波面。
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五、波的传播速度（相速） 波速---单位时间内波所传播的距离。 ●波速由媒质的性质决定。 固体中的波速： 横波：u =
代表振动状 态的传播, 故称相速。
G
ρ
纵波： u =
Y
ρ
G：切变弹性模量
(3) x = 2m y = 0.3 cos(50πt − π ) ∴ϕ = π
23
11
●波线上各点都作同频率的简谐振动，但相位依次 落后。
当
∆x = x2 − x1 = λ , ω ∆ϕ = − λ = −2π
u
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = − ( x2 − x1 ) < 0 u
y
ω
x = x1
x = x2
t
两点振动状态相同。 2.若 t 不变(令 t = t1)，则 y = y( x )：
λ λ
λ
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波长的计算 等于振动的一个周期T 内，波所传播的距离：
λ = uT =
u
ν
波长也就是一个 完整波的长度。
波的频率 ◆单位时间内向前传播的完整波的数目。
1 ν′ = = λ T
由此可见：
u
ν ′ =ν
波频=波源的振动频率
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§5-2 平面简谐波及波动方程
(Harmonic Waves and the Equation )
第五章 机械波（Mechanic Waves） §5-1 机械波的形成 (Formation of Mechanical Waves) 一、波动 ●振动的传播过程叫波动。 机械波 ●机械振动在弹性媒质中的传播过程。 机械波产生的条件： 波源---激起波动的振动系统。 弹性媒质---能产生弹性形变的连续物质。
1
二、波的形成
◆某处质点的振动状态，由于弹性的作用而 在整个媒质中传播开来，形成波。 三、横波与纵波 横波---质点的振动方向与波的传播方向垂直的 波。
振动方向 传播方向(波线)
应用程序
2
纵波---质点的振动方向与波的传播方向平行的 波。
振动方向
传播方向(波线)
应用程序
讨论 ●横波只能在具有切变弹性的媒质中传播，即由 切变弹性产生。 (固体、稠液体) ●纵波由体变或长变弹性产生。 (存在于固体、 液体、气体各种媒质中。)
ωT / 4 + ϕ0 = 3π / 2 ⇒ ϕ0 = π
“1”点在T / 4时的相位为π，即
ωT / 4 + ϕ1 = π ⇒ ϕ1 = π / 2
“2”点在T / 4时刻的相位为 π / 2：
Y
u
1 2 3
t=T/4
ωT / 4 + ϕ 2 =
π
2
⇒ ϕ2 = 0
o
X
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“3”点在T / 4时刻波 u =
B
ρ
B：容变弹性模量
6
★区分波速与振动速度： 波速(相速)--- 振动的形式或状态在媒质中的传播 速度，完全由媒质的性质决定。 振动速度---振动质点离开平衡位置的位移的时间 变化率，由质点的振动规律决定。 六、波长与波的频率 波长---同一时刻沿波线上相位差为2π 的两质点间 的距离，用“λ”表示。 ●代表波线上振动状态相同的两个相邻质点之间的 空间距离。 λ
ωT / 4 + ϕ3 = 0 ϕ 3 = −π / 2
解法2： 先画出 t = 0 时刻的波形图，在t = 0至t =T / 4 时 间内波形向右传播 λ / 4 距离，如图所示，再求初 相。 各点的初相：
Y
u
1 2 3
ϕ 0 = π , ϕ1 = π / 2, ϕ 2 = 0, ϕ3 = −π / 2.
平面简谐波： 若波源作简谐振动，而媒质均匀无吸收，则在该媒 质中传播的平面波称为平面简谐波。 波动方程---能够描述波线上任一质点的振动规律 的数学表达式。 波动方程建立的依据 ★波是振动状态的传播，后续质点依次落后地重复 前面质点的振动。 ★所以由波线上某一点的振动就可以推出其它点的 振动。◆该已知点可以不是振源。
1 2
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3. x、t 同时变，则 y = y( x, t )： ●表示一个固定的波形随时间往前移动---波的传播。
x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u ( x + u∆t ) = A cos{ω[(t + ∆t ) − ] + ϕ} u ● t + ∆t 时刻，x + u ∆t点的振动位移与 t 时刻，x
x1 x2
x y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] u 2π x) + ϕ ] = A cos[(ωt +
λ
t x = A cos[2π ( + ) + ϕ ] T λ
2π + ϕ ) =
×波程差
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四、同一时刻波线上两点间的相位差
∆ϕ = (ωt −
λ
2π + ϕ ) − (ωt −
相位差=
y
A o P
u
t=T/4
t=0
x
op = λ / 4
λ
t = 0时O点的振动经T/4传到P点，波形如图。
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由两时刻波形图得知： t=0，yP=0； t=T/4，yP=A。据此及谐振动的特点即 可作出P点的振动曲线。 (2) 设P点的振动方程为
y
y = A cos(ωt + ϕ )
∵ y t = 0 = 0, ∴ϕ = ±π / 2
2π
λ
λ
∆x
∆x → 波程差
2π
λ
五、平面简谐波的微分方程 对平面波方程分别求 x 和 t 的二阶微商：
∂ y x 2 2 = − A ω cos[ ω ( t − ) + ϕ ] = − ω y 2 ∂t u
2
∂ y x ω ω = − A 2 cos[ω (t − ) + ϕ ] = − 2 y 2 ∂x u u u
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一、沿正x方向传播的平面简谐波 设已知o点的振动方程：
y0 = A cos(ωt + ϕ )
o点的振动状态传 ∆t = x . 到P点所需时间: u
y
o
u
p x
x
◆ t 时刻P 处质点重复 t − ∆t时刻o点的振动。 ★故t 时刻P点的振动可由 t − x / u 时刻o点的 振动来表示： x P 为任意点
沿正 x 方向传播的 平面简谐波方程:
yP = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u
x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u
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x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u 平面简谐波方程的物理意义 ●方程反映 y、x、t 三者之间的关系，它描述了振 动在空间传播这样一个物理过程。
y = A cos[(ωt1 + ϕ ) − ω x / u ]
★表示在 t1 时刻波线上各质点振动的位移。 ★给出了 t1 时刻空间的波形。
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● t 为定值时，波动方程反映出整个媒质中各质点 在该时刻振动的全貌（波形方程）。 波形曲线：
t = t1
t = t2
波形曲线
X
x y t = A cos (ωt1 + ϕ ) − ω u x y t = A cos (ωt2 + ϕ ) − ω u
dy v= = − Aω sin( ω t + ϕ ) t = 0 > 0 dt ∴ϕ < 0 ⇒ ϕ = −π / 2
所求振动方程
o
T t= 4
t
2π π y = A cos( t− ) T 2
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课堂练习 已知: t = T / 4 时的波形图，且沿正x 方向传播, 求： o, 1, 2, 3 各点的初相 ϕ 0 , ϕ1 , ϕ 2 , ϕ3 . 解：o点在 t = T / 4 时刻过平衡位置向y轴正向 运动，其相位为3π / 2，即
t=T/4
X
o
t=0
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y = 0.3cos π (0.5 x − 50t ) 例: 一横波，其方程：
求：(1)波的振幅、波长、频率、周期及波速； (2)弦线中任一质点的最大振动速度； (3) x = 2m处质点的初相。（国际单位制） 解: (1)波动方程改写为
x y = 0.3 cosπ (0.5x − 50t ) = 0.3 cos 2π (25t − ) 4 1 −1 ∴ A = 0.3m, λ = 4m,ν = 25s , T = = 0.04s, ν ∂y （2）v = = −0.3 × 50π sin π ( 50t − 0.5 x ) ∂t ∴ vmax = 0.3 × 50π = 15π (m ⋅ s −1 )