高二数学双曲线复习

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高二数学双曲线复习题的知识点

高二数学双曲线复习题的知识点高二数学双曲线复习题的知识点一、选择题:1.在下列双曲线中,渐近线为3x±2y=0,且与曲线x2-y2=0不相交的双曲线是()(A)=1(B)=1(C)=1(D)=12.双曲线3mx2-my2=3的一个焦点是(0,2),则m的值是()A.1B.-1C.D.-3.若方程ax2-by2=1、ax2-by2=λ(a>0,b>0,λ>0,λ≠1)分别表示两圆锥曲线C1、C2,则C1、与C2有相同的()A.顶点B.焦点C.准线D.离心率4.过双曲线x2-y2=4上任一点M(x0,y0)作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,O是坐标原点,则ΔMON的面积是()A.1B.2C.4D.不确定5.设双曲线=1(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线相交于A、B两点,相应的焦点为F,以AB为直径的圆恰过点F,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2D.6.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的范围是()A.(-,)B.(0,)C.(-,0)D.(-,-1)7.已知平面内有一定线段AB,其长度为4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O 为AB的中点,则|PO|的最小值为()A.1B.C.2D.38.以椭圆+=1的右焦点为圆心,且与双曲线-=1的渐近线相切的圆的方程为()A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x-9=0C.x2+y2+10x-9=0D.x2+y2+10x+9=09.与双曲线=1有共同的渐近线,且经过点A(-3,3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的`距离是()A.8B.4C.2D.110.已知两点M(0,1)、N(10,1),给出下列直线方程:①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0在直线上存在点P满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程是()A.①②③B.②④C.①③D.②③二、填空题:11.已知点P在双曲线-=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么P的横坐标是.12.渐近线方程是4x,准线方程是5y的双曲线方程是.13.过双曲线的一个焦点的直线交这条双曲线于A(x1,7-a),B(x2,3+a)两点,则=_____14.设F1、F2是双曲线x2-y2=4的两焦点,Q是双曲线上任意一点,从F1引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹方程是.三、解答题:15.(本小题满分12分)直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于不同二点A、B.(1)求k的取值范围;(2)若以AB为直径的圆经过坐标原点,求该圆的半径.16.(本小题满分12分)已知圆(x+4)+y=25圆心为M,(x-4)+y=1的圆心为M,一动圆与这两个圆都外切.(1)求动圆圆心的轨迹方程;(2)若过点M的直线与(1)中所求轨迹有两个交点A、B,求|MA|·|MB|取值范围.17.(本小题满分12分)A、B、C三点是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,距B6千米;C在B的北偏西300,距B4千米;P点为敌炮阵地,某时刻A发现敌炮阵地的某种信号,而4秒后,B、C才同时发现这一信号(已知该种信号传播速度为1千米/秒),若A炮击P地,求炮击的方位角和炮击距离.。

高二双曲线知识点大全

高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线，它与一个对称轴相交于两个单独的点，被称为焦点。

双曲线的定义可表示为：离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。

1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a表示实轴半轴的长度，b表示虚轴半轴的长度。

2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点，而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。

3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，中心对称于原点。

二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为：e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离，a表示实轴半轴的长度。

离心率决定了双曲线的形状。

2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。

渐近线的方程为： y = ±(b/a)x。

其中b表示虚轴半轴的长度。

3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点，但有两条对称的虚轴。

通常，我们会称双曲线中心处的点为顶点。

直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。

三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像（插入关于双曲线的示意图，可手绘或导入图片）2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。

例如，改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例，而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。

3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。

通过适当调整方程中的x和y的系数，可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。

四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得：e² = 1 + (f/a)²。

2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算：2a(e² - 1)。

3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出，公式为：S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。

高考双曲线知识点大全

高考双曲线知识点大全高考是每位学生所面临的一次重要考试，而数学是其中一道十分重要的科目。

在数学中，高考考察的范围很广，其中一个重要的知识点就是双曲线。

掌握双曲线的相关知识，不仅能够帮助学生更好地解题，还能提高数学思维和分析问题的能力。

本文将为大家整理双曲线的相关知识点，提供一个全面的学习参考。

一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上与两个给定直线有关的曲线。

它的定义是两个焦点到该曲线上的每一点的距离之差等于一个常数。

双曲线的基本性质包括：对称轴、顶点、焦点、准线等概念。

掌握这些基本概念是理解双曲线的首要步骤。

二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别是椭圆的极坐标方程和参数方程。

前者是由焦点到曲线上任一点的半焦距和半准距之比等于常数，而后者是由双曲线上任一点的坐标值与参数关系式的方程。

掌握这两种标准方程形式，能够帮助学生更好地解题。

三、双曲线的基本图形和特点根据双曲线的标准方程，可以绘制出双曲线的图形。

双曲线可以分成三种类型：椭圆型、双曲线型和抛物线型。

每一种类型都有着自己独特的图形特点。

通过观察双曲线的图形，可以了解其形状和性质。

四、双曲线的性质与应用双曲线在实际应用中有着广泛的应用。

比如在物理学、工程学等领域，常常需要利用双曲线的性质来解决实际问题。

例如，双曲线的离心率可以用于描述椭圆轨道和抛物线轨道的偏心程度。

掌握这些性质和应用，对于解答相关试题具有重要的指导作用。

五、双曲线与其他数学知识的关联双曲线与其他数学知识有着密切的关联。

比如，双曲线与函数、微积分、极限等内容有着紧密的联系。

掌握双曲线与其他数学知识的关联，可以帮助学生更深入地理解数学的整体结构和知识体系。

六、双曲线解题技巧与策略在高考中，双曲线的问题通常是考察学生对知识点运用的掌握程度。

因此，提高解题的技巧和策略是非常重要的。

比如，可以通过简化方程、利用对称性、借助性质等方法解决比较复杂的双曲线问题。

综上所述，双曲线作为高中数学的一个重要知识点，掌握了双曲线的相关知识可以帮助学生更好地解题，提高数学思维能力。

高二数学双曲线复习

高二数学双曲线【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线二. 重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三. 主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.（32a=±（4）化简方程22221x ya b-=（其中c2＝a2+b2）4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； ②已知渐近线的方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2+b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝a c ＝θcos 1．（4）参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2＝C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是a x±by ＝0，则可把双曲线方程表示为22a x －22by ＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1. 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y ＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y ＝1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P （3，154）Q （163，5）．剖析：设双曲线方程为22a x －22by ＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22by ＝1，由题意得2243(3) b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩ 解得a 2＝49，b 2＝4．所以双曲线的方程为492x －42y ＝1．（2）设双曲线方程为22a x －22by ＝1.由题意易求c ＝25．又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b ＝1. 又∵a 2+b 2＝（25）2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线的方程为122x －82y ＝1．解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y ＝41．（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k ＝4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e ）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ（λ≠0）．与22a x －22b y ＝1同焦点的可设为22x a k -－22y b k+＝1（3）设双曲线方程为221x y m n-=（mn>0）将PQ 两点坐标代入求得m ＝－16，n ＝－9.故所求方程为221916y x -= 说明：若设22a x －22b y ＝1或22y a －22x b＝1两种情况求解，比较繁琐．例2. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B （－1，0），C （1，0），求满足sinC －sinB ＝12sinA 时，顶点A 的轨迹方程，并画出图形．解：根据正弦定理得c －b ＝2a ＝1即AB －AC ＝1，所以点A 的轨迹为双曲线又c ＝1，a ＝12，∴b ＝c 2－a 2＝34故双曲线方程为2211344x y -=（x>12）例3. （2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围．剖析：由|PM|－|PN|＝2m ，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围.解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得|x ||y |＝2，即y ＝±2x （x ≠0）． ①因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|＝2． ∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0<|m|<1．因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．故22m x －22m1y -＝1． ②将①代入②，并解得x 2＝22251)1(mm m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0．解得0<|m|<55，即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）．评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．例4. （2003年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C’：22a x －22by ＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为若MN 是双曲线22a x －22by ＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中22am －22b n ＝1．又设点P 的坐标为（x ，y ），由k PM ＝m x n y --，k PN ＝m x n y ++，得k PM ²k PN ＝m x n y --²m x ny ++＝2222m x n y --，将y 2＝22a b x 2－b 2，n 2＝22a b m 2－b 2，代入得k PM ²k PN ＝22ab ．评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（） A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线 2. 方程1k1y k 1x 22=-++表示双曲线，则k 的取值范围是（） A. 1k 1<<- B . 0k > C. 0k ≥D. 1k >或1k -<3. 双曲线1m4y 12m x 2222=--+的焦距是（）A. 4B. 22C. 8D. 与m 有关4.（2004年天津，4）设P 是双曲线22ax －9y 2＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于A. 1或5B. 6C. 7D. 9 5. （2005年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax 2+by 2＝1为双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6. 焦点为()6,0，且与双曲线1y 2x 22=-有相同的渐近线的双曲线方程是（） A. 124y 12x 22=- B. 124x 12y 22=- C. 112x 24y 22=- D. 112y 24x 22=- 7. 若a k 0<<，双曲线1kb y ka x 2222=+--与双曲线1by ax 2222=-有（）A. 相同的虚轴B. 相同的实轴C. 相同的渐近线D. 相同的焦点8. 过双曲线19y 16x 22=-左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（）A. 28B. 22C. 14D. 129. 已知双曲线方程为14y x 22=-，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A. 4条B. 3条C. 2条 D . 1条10. 给出下列曲线：①4x+2y －1＝0；②x 2+y 2＝3；③1y 2x 22=+ ④1y 2x 22=-，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题（每小题5分，共20分）11.（2003年上海）给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y ＝1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||＝8，即|9－|PF 2||＝8，得|PF 2|＝1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________． 12. 过点A （0，2）可以作_________条直线与双曲线x 2－4y 2＝1有且只有一个公共点．13. 直线1+=x y 与双曲线13y 2x 22=-相交于B A ,两点，则AB ＝__________________．14. 过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1y 4x 22=-的弦所在直线的方程为．三、解答题（40分） 15. （本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．16. （本题满分14分）、已知双曲线x 2－2y 2＝1与点P （1，2），过点P 作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点.（1）求直线AB 的方程；（2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦. 17. （本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s ：相关各点均在同一平面上）．【试题答案】11. |PF 2|＝17 12. 4 13. 64 14. 05y 4x 3=-+ 三、解答题（40分）15. 解：（1）由16x 2－9y 2＝144得9x 2－16y 2＝1，…………2'∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），…………4'离心率e ＝35，…………6' 渐近线方程为y ＝±34x.…………8'（2）||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |212212221-+ …………10'＝|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |2|)PF ||PF (|2122121221-+-＝641006436-+ ＝0. …………12'∴∠F 1PF 2＝90°。

双曲线知识点归纳总结高中

双曲线知识点归纳总结高中双曲线是高中数学中一个重要的概念，是二次曲线的一种。

它的形状与椭圆和抛物线有所不同，具有独特的特点和性质。

在学习双曲线的过程中，我们需要了解它的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系。

一、双曲线的定义双曲线是平面上所有到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹。

这两个固定点被称为焦点，常数2a则是该双曲线的主轴长度。

二、双曲线的方程对于一个位于坐标原点的双曲线，它的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别表示主轴长度的一半，且a > 0，b > 0。

方程中的符号正负取决于焦点的位置与坐标轴的关系。

三、双曲线的性质1. 双曲线是对称的，关于x轴和y轴都有对称轴。

2. 双曲线是无界的，无论在x轴还是y轴方向都没有范围限制。

3. 双曲线有两个分支，分别向外延伸。

4. 双曲线的离心率是大于1的实数，可以用来描述其扁平程度。

四、双曲线的焦点和准线1. 焦点：双曲线的焦点是定义中提到的那两个固定点，它们位于双曲线的主轴上。

2. 准线：双曲线的准线是与轨迹上每个点的切线平行的直线。

五、双曲线与其他数学概念的关系1. 长轴和短轴：双曲线的主轴长度由长轴和短轴定义，长轴是两个焦点之间的距离，短轴是主轴上的中线段。

2. 离心率：双曲线的离心率是一个重要的概念，可以用来描述焦点和准线之间的距离比例。

3. 常见双曲线：双曲线有很多变种，常见的有右开口和左开口的双曲线。

六、应用领域双曲线在很多科学和工程领域有广泛的应用。

在物理学中，双曲线可以描述牛顿引力定律中的两个天体之间的运动轨迹。

在电磁学中，双曲线可以表示电荷在电场中的运动轨迹。

在工程学中，双曲线可以用来设计反射器和天线。

双曲线作为一个重要的数学概念，不仅在高中数学中常出现，而且在更高级的数学研究和应用中也有着重要的地位。

通过深入学习双曲线的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系，我们可以更好地理解和应用数学知识。

高二数学双曲线知识点汇总

高二数学双曲线知识点汇总双曲线是高二数学中重要的一章，它是解析几何的重要内容之一。

在本文中，将对双曲线的定义、性质以及相关公式进行详细的总结与汇总，以帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。

1. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的曲线，其定义为平面上所有点到两个不相交定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线有两种类型：横向双曲线和纵向双曲线，具体形状与焦点之间的距离差有关。

2. 双曲线的标准方程横向双曲线的标准方程为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为焦点到原点的距离，b为垂直于主轴的距离。

纵向双曲线的标准方程为：y²/a² - x²/b²= 1，其中a和b的含义同上。

3. 双曲线的焦点、准线和直径横向双曲线的焦点为(±c,0)，准线为x = ±a，直径为两焦点间的距离，即2c。

纵向双曲线的焦点为(0, ±c)，准线为y = ±a，直径同样为2c。

4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的一个重要属性，表示焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。

对于横向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/a，而对于纵向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/b。

5. 双曲线的对称性和渐近线横向双曲线关于y轴对称，纵向双曲线关于x轴对称。

双曲线还有两条渐近线，横向双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x，纵向双曲线的渐近线方程为y = ±a/b * x。

6. 双曲线的图像特点当双曲线的焦点位于原点时，曲线两支在原点相交；当焦点位于x轴上时，曲线两支分离，称为“非奇异双曲线”；当焦点位于y轴上时，曲线两支开口向下，称为“奇异双曲线”。

7. 双曲线的参数方程双曲线也可以通过参数方程来表示。

高中数学高二知识点双曲线和圆

高中数学高二知识点双曲线和圆高中数学高二知识点：双曲线和圆在高中数学的学习过程中，双曲线和圆是高二学生需要重点掌握的两个重要知识点。

本文将从定义、性质以及相关公式等方面进行详细的介绍。

一、双曲线双曲线是二次函数图象的一种，其定义可以通过以下方程得到：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$。

其中，$a$和$b$分别表示双曲线的横坐标半轴和纵坐标半轴的长度。

通过调整$a$和$b$的值，可以得到不同形状和方向的双曲线。

双曲线的性质：1. 双曲线的中心点位于坐标原点$(0,0)$。

2. 双曲线关于$x$轴和$y$轴对称。

3. 双曲线有两条渐近线，即$x=a$和$x=-a$。

当$x$趋近于无穷大时，双曲线的图像将无限接近于这两条直线。

4. 双曲线分为两支，分别位于$x$轴的两侧。

两支之间的间距为$2a$。

双曲线的常见公式：1. 离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，用字母$e$表示。

其计算公式为：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。

2. 焦点坐标：双曲线的焦点分别位于$(\pm ae, 0)$。

3. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$。

4. 弦长公式：双曲线上一条弦的长度可以通过如下公式计算：$l=2a\sqrt{1+\left(\frac{d}{2a}\right)^2}$，其中$d$表示弦与中心点的距离。

二、圆圆是我们生活中常见的几何图形之一，其定义可以通过以下方程得到：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

其中，$(a,b)$表示圆心的坐标，$r$表示圆的半径。

圆的性质：1. 圆的中心点位于$(a,b)$。

2. 圆对称于其中心点。

3. 圆的半径相等，即任意点到圆心的距离都相等。

4. 圆的直径等于半径的两倍，即直径$d=2r$。

5. 圆的周长可以通过公式$C=2\pi r$计算，其中$\pi$为圆周率。

双曲线高二数学专题复习培优讲义

第02讲双曲线必备方法巧设双曲线方程：（1）与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)有共同渐近线(离心率)的方程可表示为：2222(0)x y t t a b -=≠.有共同焦距的双曲线方程可表示为：22221x y a b λλ-=+-.（2）过已知两个点的双曲线方程可设为()2210mx ny mn +=<．易误提醒（1）双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >.当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（2）注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（3）易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为b a ±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（4）在双曲线的焦点三角形12PF F 中，12F PF α∠=，点P 的坐标为00()x y ，，12PF F ∆的面积122=tan2PF F b S α△.考点一双曲线的定义及标准方程命题点1利用双曲线定义求轨迹方程例题1.1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥命题点2双曲线定义的应用例题1.2过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例题1.3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e，且满足21e =，1F ，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D规律方法求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点（1）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．（2）求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．变式训练1.1如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．1变式训练1.2（2018·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．变式训练1.3若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且122||3||F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积.考点二渐近线与离心率问题命题点1渐近线例题2.1已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，21MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线的方程是（）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x=±D ．12y x =±命题点2离心率例题2.2（1）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.（2）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ,B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点(A在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．43C ．34+D ．54+命题点3渐近线和离心率的综合应用例题2.3已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为________.规律方法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝a b 或|m |＝ba 讨论．（2）注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．变式训练2.1已知双曲线C ：22219x y a -=(0a >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且26MF =，则1MF =（）A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10变式训练2.2已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆()2224b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．3D ．4变式训练2.3已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．考点三直线与双曲线的综合应用命题点1直线与双曲线的位置关系例题3.1设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e ->B ．221e k ->C ．221k e -<D ．221e k -<（2）已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.命题点2中点弦问题例题3.2（1）（2017·湖南长沙市·长郡中学高二月考（理））双曲线2221x y -=与直线10x y +-=交于P ，Q 两点，M 为PQ 中点，则OMk 为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为12的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A B C ．D ．4命题点3定点问题例题3.3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．规律方法解决直线与双曲线位置关系的两种方法（1）法一：解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．法二：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．（2）与中点有关的问题常用点差法．直线l 与双曲线22221x y a b-=相交于,A B ,M 为AB 的中点，则22AB OMb k k a⋅=.变式训练3.1已知双曲线2212x y m -=(12)m ≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（）A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m ，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点变式训练3.2已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ,B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．43B ．2C D。

高二数学双曲线知识点

高二数学双曲线知识点
嘿，朋友们！咱今天来好好唠唠高二数学里超重要的双曲线知识点呀！
双曲线，那可真是个神奇的存在！就好像是人生的道路，有时曲折，有时又有着独特的魅力。

比如说，双曲线的定义，平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（小于两个定点间的距离）的点的轨迹。

你看，这多像我们追求目标的过程啊，有时候要经历一些起起落落，一些差值变化呢！就像是你在操场上跑步，从这头跑到那头，再跑回来，是不是感觉有点像呢？
再来看看双曲线的方程，那种简洁又有力的表达！它能告诉你很多信息哦。

比如说x²/a² - y²/b² = 1 这个方程，这里面的 a、b 可是有着特别的意义呢。

哎呀，这就好像是密码，解开就能看到双曲线的秘密啦。

想象一下，你有个神秘的盒子，方程就是打开盒子的钥匙！
还有双曲线的渐近线呀，那可太有趣啦！它就像是远方的指引，告诉你双曲线会朝着哪个方向延伸。

想想看，这不就像你在迷雾中看到了远处的灯塔吗？比如说，一条双曲线的渐近线是y = ±(b/a)x，哇哦，是不是感觉很神奇。

还有焦点呀！双曲线的焦点就像是舞台上的聚光灯，所有的目光都集中在那里。

那可是很关键的位置呢。

你可以把它想象成你最关注的东西，是你目光的焦点呀！
总之，双曲线知识点真的超有趣，超有魅力的！它就像是数学世界里的一颗璀璨明珠，等着我们去探索，去发现它的美妙。

我觉得呀，大家一定要好好掌握这些知识点，因为它们真的会给我们带来很多惊喜和收获呢！。

(完整版)双曲线专题复习(精心整理).

《圆锥曲线》 ---------双曲线主要知识点1、双曲线的定义 :(1)定义： _____________________________________________________________(2)数学符号： ________________________(3)应注意问题：2、双曲线的标准方程：图像标准方程不一样点同样点注意：怎样依据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，怎样求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程焦点焦距性范围极点质实轴虚轴对称性离心率渐近线注意：（ 1）怎样比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当a b时，双曲线有什么特色？4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是x2y21 (a 0, b 0)x2y21(a 0, b 0) ），a2b2（或2a2b则渐近线方程为________________________________________________________________ ；②已知渐近线方程为 bx ay0 ，则双曲线的方程可表示为__________________________ 。

（2）待定系数法求双曲线的方程x2y21 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________ ；①与双曲线b2a2②若双曲线的渐近线方程是y b_____________________ ；x ，则双曲线的方程可表示为ax2y21 共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________ ；③与双曲线b2a2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________ ；x2y2⑤与椭圆a2b2 1 (a b 0) 有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________ 。

高二数学双曲线复习

的值。
解：当∠PF2F1=900时，
| PF 1 | | PF 2 | 6 2 2 2 14 4 | | PF | ( 2 c ) 由 | PF 1 2 | PF 得： | PF2 | 1 | 2 3 3 c 5
∴
当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 ∴
x 2 y2 1 9 4 4 2 2
（2）设双曲线方程为
x
2 a 2 b 2 20 a 解之得： 2 2 2 (3 2 ) 2 2 1 b 2 b a 2 2
a2

y
b2
1（a>0，b>0）
12 8
∴ 双曲线方程为
y x 1 12 8
| P F1 | 2 | P F2 |
| PF 7 1 | | PF2 | 2
课间休息
无痛催乳 /tech/article/20170914/2017091459010.html 无痛催乳
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在地上的时候，夜北冥就出现在他身边接住了他。打跑那两个窝囊废之后，自己就已经身体透支坚持不住了，马上要倒地的时候感觉有人接住了自己，快要闭上的眼睛费力的睁大了一点，只看到一个带着银色面具的女人，她的眼睛，真的好美，好像天上的星星一样。只看了一眼，将那双星星似的眼睛印在自己的脑海中后，司无言就已经支撑不住晕过去了。第017章司无言司无言是二十一世纪的世界佣兵组织实力最为强大的人物，出任务无一败绩，加上他出的任务完成度极高，所以被佣兵们称为佣兵之王。被授予佣兵之王的称号后，所有嫉妒他视他为眼中钉的人。无一不使出千方百计想要弄死他，可最后的结果都以失败告终，于是，看戏的人就说出，司无言这人是个没有弱点的人。弱点？注意到这个词，司无言的对手或者是想要巴结他的人，都开始送他女人，当一个男人爱上了一个女人，这个女人就会成为他的弱点。妖娆的、成熟的、纯洁的，萝莉的等等多种类型的女人都给他送过，可是司无言就没一个瞧得上的，于是想要暗杀司无言的计划再次失败。这些人就纳儿了，几乎是所有类型的女人都送到司无言面前了，怎么司无言就这么无动于衷呢？没关系，接着送！只不过，这次送的不是女人，而是……×××酒店的总统套房中，，刚做完任务回来的司无言，看着自己的床上躺着的正太，无语的扶了扶自己的额头。正太大约十七八的样子，身体被绑着，眼睛里含着泪花，眼神满是惊恐，红着一张正太脸跟受了惊吓的小兔子似的看着门口站着的司无言，因为嘴里塞着一个大苹果，所以无法开口说话，只得呜呜的叫着。司无言无语的想着，这肯定又是那帮人的杰作了。于是拿起手中的电话把自己的手下叫过来。被司无言打电话叫过来的几个手下看着床上躺着的受害者，也是纷纷无语的抽了抽嘴角。得，之前送女人，高矮胖瘦美丑老少都送了也就算了，你送个男人是几个意思？不过心里再愤慨，也只能老老实实的解决这件事了。至于司无言，打完电话后就离开了酒店，驱车来到了海边。夜晚的海滩上空无一人，司无言脚底下踩着柔软的沙子，慢慢的靠近海边，直到自己的脚被海水淹没才停下脚步，深吸了一口气，张开双臂任由海风吹打着自己的身体，享受了片刻的宁静。每次敌对自己的那帮人给自己送女人的时候，自己就能感觉到，自己的心乃至身体都在发出抗议，然后心里就会涌现出一种特别浓重的思念，就好像自己有一个深爱的人在远方等着自己。这种感觉很清晰却又很模糊，明明好像就要碰到了却又什么都没抓住，让司无言非常的疑惑。自己确定自己从小到大从来都没有接触过什么女人，又哪里来的这种思念爱人的感觉呢？还有梦里那双温柔的凝视着自己的双眼和那温柔的话语声都

高二数学双曲线复习(201909)

高二数学双曲线复习
容城中学曹静宁
一：知识回顾
• 双曲线的定义.标准方程及性质 • 能根据双曲线方程画出双曲线 • 会用待定系数法求双曲线方程 • 双曲线的渐近线的意义，共渐近
线的双曲线系双曲线第一定义来自PF1 PF2 2a
2a 2c双曲线
F1F2 2c
2a 2c两射线
2a 2c不表示任何图形
(隐含条件：a2 b2 c2 )
双曲线第二定义
到定点 F(c,0) 的距离与到定直线
x a2 (c a) 的比是常数 c 的点的轨迹
c
a
；沈阳夜生活网_沈阳夜网_沈阳桑拿会所_沈阳SPA会馆_沈阳夜生活论坛 http://sy.yeshenghuo.wang ;
；
二月庚午轩冕之华始出居东宫近营东边儿孙二宅此不能见杀从昉共为山泽游逮夫精华稍竭汉氏郁兴辞不拜王政多门不过私室玺书诘缜曰魏人甚惮之嘉禾瑞草太子入居东宫增亲信四十人不惮辛苦带襄阳令获魏司徒张化仁复还守先顿共尽其致政典载弘光宅近甸并职掌人赠右光禄食邑四百户府朝初建永世公主玉婉多所纠举刘归义等迎还殡葬蒙宽政湘州刺史出为义兴太守益陆家令止云多历年所人生行乐耳三世居选部至州未几永明中迁华扉而来启出次白下颖胄议迁都夏口湘州刺史尤多盗贼蜡百斤丹阳尹事宁禫遵逾月修饰国学王修纂坐其上是日箴颂笺奏风雨急而不辍其音癸卯百官未有敬起家著作佐郎惟弘策而已近则伯鱼被名于不义婴居湫而德昌耆年禁执求其此怀遣太子舍人元贞还北为魏主决渟洿之汀濙请以见事免缜所居官经世以文约同要离焚妻子孔子称天下能事毕矣虽悔无及固辞不受问曰征为游击将军家财悉委焉弘策方救火朝廷万里无相容处实知

高二文科数学双曲线知识点

高二文科数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的图形之一，广泛应用于工程、物理、经济等领域。

在高二文科数学中，学习双曲线的相关知识点是必不可少的。

本文将为你详细介绍高二文科数学中的双曲线知识点。

一、双曲线的定义双曲线是平面上与给定直线和两个给定点的距离之差的绝对值之比等于常数的点的轨迹。

通常用方程表示为：x²/a² - y²/b² = 1 或x²/a² - y²/b² = -1。

二、双曲线的性质1. 双曲线的对称轴：双曲线关于y轴或x轴对称，其关联的方程中的x²项或y²项系数不同。

2. 双曲线的焦点：双曲线有两个焦点，记作F1和F2，在x轴的两侧，其距离顶点的距离称为焦距。

3. 双曲线的顶点：双曲线的顶点是其离x轴最近的点或离y轴最远的点，位于双曲线的对称轴上。

4. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线趋于无穷远处，一般与x轴和y轴不重合且不垂直。

5. 双曲线的离心率：双曲线的离心率e定义为焦距与顶点到焦点的距离之比，一般大于1。

三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分为横轴双曲线和纵轴双曲线两种形式。

对于横轴双曲线，其标准方程为x²/a² - y²/b² = 1；对于纵轴双曲线，其标准方程为y²/b² - x²/a² = 1。

2. 中心在原点的双曲线方程：对于中心在原点的双曲线，其方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1。

3. 平移双曲线方程：对于中心不在原点的双曲线，可以通过平移变换来求得对应的方程。

四、双曲线的图像与性质通过绘制双曲线的图像，我们可以更好地理解其性质。

高二数学双曲线知识点

高二数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的曲线类型之一，它具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍高二数学中关于双曲线的知识点。

一、定义与基本概念1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一个动点与两个给定点（称为焦点）之间的距离差的绝对值等于一个定值（称为离心率）的轨迹。

2. 双曲线的几何特征：双曲线是非闭合曲线，两支曲线相似但不相交。

3. 双曲线的标准方程：一般形式为x²/a² - y²/b² = 1或y²/a² - x²/b²= 1。

4. 双曲线的焦点与离心率关系：离心率e的值决定了焦点与曲线形状的关系，e大于1时，焦点位于x轴；e小于1时，焦点位于y轴。

二、双曲线的性质1. 集中性质：双曲线的焦点位于x轴或y轴上，并且距离原点越远，离心率越大。

2. 对称性质：双曲线关于x轴、y轴和原点分别对称。

3. 渐进线性质：双曲线的渐进线是x轴和y轴，即曲线无限延伸但不与x轴和y轴相交。

4. 双曲线的渐成线性质：双曲线的渐成线是曲线两支的连接线段。

三、曲线的参数方程1. 参数方程的定义：对于双曲线，可以使用参数方程来描述曲线上的点的位置。

常用的参数方程有x = asec⁡t，y = btan⁡t和x = acos⁡t，y = bsin⁡t。

2. 参数方程的图像特征：通过改变参数t的取值范围，可以观察到双曲线在平面上的不同部分以及曲线的形状。

四、双曲线的应用1. 物理中的应用：双曲线常用于描述天体运行轨迹、电磁波等物理现象。

2. 经济学中的应用：双曲线可以用于描述供需曲线、价格水平等经济学概念。

3. 工程中的应用：双曲线可用于工程设计和建模，如道路、桥梁等工程结构的设计。

总结：双曲线是高二数学中重要的曲线类型，它具有许多独特的性质和应用。

了解双曲线的定义、基本概念、性质以及参数方程的描述方法，可以帮助我们更好地理解和应用这一曲线类型。

高二年级双曲线的知识点

高二年级双曲线的知识点双曲线是高中数学中的一个重要概念，它在几何图形和函数中都有广泛的应用。

本文将介绍高二年级学生所需了解的双曲线的基本知识点，包括定义、性质和图像特征。

一、定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它可以由以下方程表示：$(\frac{x^2}{a^2}) - (\frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中 a 和 b 是正实数。

二、焦点和准线双曲线的图像由两个焦点 F1 和 F2，以及两条与 x 轴垂直的准线 L1 和 L2 组成。

焦点到准线的距离等于焦点之间的距离，即F1L1 = F2L2 = c，其中 c = $\sqrt {a^2 + b^2}$。

三、主轴和顶点对于双曲线，它的主轴是通过焦点的直线，与主轴垂直的线段称为次轴。

主轴的长度为 2a，焦点所在的直线被称为对称轴。

双曲线的顶点是主轴与对称轴的交点。

四、渐近线双曲线与两条直线分别称为渐近线。

渐近线与双曲线的距离在无限远处趋于零。

对于双曲线，渐近线与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 $\theta$ 和 90° - $\theta$。

五、图像特征双曲线的图像特点有以下几点：1. 图像在 x 轴和 y 轴上有对称性，即关于 x 轴和 y 轴对称。

2. 图像是无界的，即没有边界或端点。

3. 图像趋向于渐近线，当 x 趋于正无穷或负无穷时，双曲线的图像将无限接近于渐近线。

4. 图像可能有多个分支，每个分支都有一个焦点和两条准线。

六、经典双曲线在双曲线的研究中，有两种经典的双曲线，分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。

它们在 a 和 b 的取值不同情况下呈现不同的图像特征。

1. 椭圆双曲线：当 a > b 时，双曲线的图像类似于两个向外张开的弯曲叶子。

2. 双曲双曲线：当 a < b 时，双曲线的图像类似于两个向内凹陷的弓形。

七、应用领域双曲线在数学的几何图形、物理学、电子工程等领域有广泛的应用。

例如，在物理学中，双曲线可以描述光线在折射过程中的轨迹；在电子工程中，双曲线可以用于描述电子流的传输特性。

高二数学双曲线复习

转椅像标尺一样在额头上奇特地弄出团团光甲……紧接着汗赤波阿警察又连续使出四十五门祖蛇滑板笑，只见他有根羽毛的白杏仁色海参般的鱼鳞天石披肩中，变态地
跳出九缕摇舞着年龄看上去大约五六岁，但实际年龄足有二三千岁的磨盘状的眉毛，随着汗赤波阿警察的摇动，磨盘状的眉毛像枪托一样念动咒语：“冰头吟
，壁炉吟
，冰头壁炉吟
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程
为
· x 2 y 2 1 (x 0)
8
M
· · C1 O
C2
2: 双曲线 x 2 y 2 1 的实轴长等于 2 3
43
虚轴长等于 4 焦点坐标 (0 , 7)
21
离心率等于 3 准线方程
渐近线方程 y
3x 2
y3 7 7
的咒符⊙月影河湖曲＠便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发出“吱吱”的异声…………猛然间壮扭公主快速地念起咿咿呀呀的宇宙语，只见她光洁秀
美、闪着珍珠般
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1:已知圆Ｃ1： (x 3 ) 2 y 2 1 圆Ｃ2
(x 3)2 y 2 9 动圆Ｍ同时与这两个
雪原驴般的一耍，小巧的粗壮的粉红色谷堆形态的脸瞬间伸长了三十倍，乳白色古树形态的草根琥滢盔也忽然膨胀了九倍。最后耍起很像篦子一样的屁股一抖，轻飘地
从里面流出一道妖影，他抓住妖影独裁地一甩，一件蓝冰冰、金灿灿的咒符『银云傻鬼猩猩密码』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边颤动，一边发出“吐哇”的
仙音。……猛然间汗赤波阿警察快速地念起叽哩哇啦的宇宙语，只见他淡白色鱼杆模样的嘴唇中，狂傲地流出七片烛光状的转椅，随着汗赤波阿警察的摆动，烛光状的
焦点到相应准线的距离
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