2021-2022年高二数学排列组合的混合应用题同步教案新人教A版

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高中数学新人教版A版精品教案《排列与组合》

《排列与组合》教学设计与教学反思应用创新点1利用爱剪辑视频软件制作的视频使课堂更生动。

课堂通过丰富的数学知识情境，让学生感受从情境中抽象出数学模型的过程，让学生在解决问题过程中运用类比迁移，归纳总结，转化等数学方法，培养学生的数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

2学生提出问题，解决问题，总结问题，亲身经历问题发生、发展、解决的全部过程，学生成为课堂的主角，让课堂成为学生心情愉悦的学习场所，让学生慢慢地体会学习的乐趣。

3手触屏和教师平板，既能实现在黑板上的板演功能又能随时身处学生中间，了解身边学生的学情，更轻松地与学生交流互动。

4学生的表演加深了学生的印象，使课堂更生动，让课堂气氛更轻松活跃，同时使难点形象化，降低了思维难度，同时激发学生更积极深入地思考。

5数据分析更快捷，使学情反馈更清晰，老师的讲解更具有针对性。

6课堂气氛活跃，有丰富的课堂生成，学生乐于表达自己的想法，意见,学习的主动性好。

充分体现了生本教育理念。

7．课堂软件的随机回答，抢答等功能设置，满足学生的不同需要。

随机回答体现课堂公平，抢答体现学生的积极性。

8 利用平板终端，课堂提问，学生涂鸦等环节使学生的展示与思路呈现更快捷直观。

9小组合作，小组交流，生教生，学生间的相互提问效果好。

学生没有老师提问的压力，又能很好完成知识的复习与学习。

10课后，老师根据学生网上数据反馈针对性从题库中选择练习。

学生根据自己的错题，从题库中选取同类型题目进行巩固。

11课前导学本的微课学习为学生的个性化学习创造了条件，通过智学网的学情反馈，让教师掌握了学生对知识的真实掌握情况，课前准备针对性更强,使课堂能够始终对焦学生问题。

教材分析排列组合是高中数学选修2-3的第一章第2节的内容。

它是在学生学习了两种计数原理后对计数问题的进一步加深，也为后面第3节二项式定理的学习，以及整个第二章的学习奠定基础。

他提供了解决生活中很多计数问题，排序问题，组合问题的方法。

高二数学《排列与组合》组合数学教案

高二数学《排列与组合》组合数学教案一、教学目标：1. 掌握组合数学的基础概念，包括排列、组合以及其计算方法；2. 理解组合数学在实际问题中的应用，并能正确运用于问题求解；3. 提升学生分析和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 概念讲解：排列与组合；计算方法；2. 基础练习：计算排列与组合的数量；3. 真实问题应用：将组合数学应用于实际问题的解决。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如从8个人中选取3位代表参加会议的问题，引发学生对组合数学的思考。

2. 概念讲解（15分钟）教师介绍排列与组合的定义和区别，并通过具体例子对两者进行解释。

在讲解计算方法时，教师可以使用二项式定理进行阐述。

3. 基础练习（20分钟）教师设计一系列基础练习题，要求学生计算给定情境下的排列和组合的数量。

学生可以尝试使用排列公式和组合公式进行计算，提高他们的计算能力。

4. 真实问题应用（20分钟）教师提供一些与生活紧密相关的问题，如选择班级干部、购买彩票等，要求学生运用组合数学的知识进行解决。

这样的应用问题可以培养学生的问题解决能力和创新思维。

5. 拓展练习（15分钟）教师设计一些较难的组合数学题目，提供给有能力的学生进行挑战，激发他们对数学的兴趣并促使他们深入思考。

6. 总结归纳（10分钟）教师对本节课的重点知识进行总结，并提醒学生在课后复习巩固。

四、课堂互动：1. 教师与学生之间的互动，及时解答学生对概念、方法的疑问；2. 学生之间的合作互动，进行组合数学的计算与讨论；3. 学生思考和解答教师提出的实际问题。

五、教学辅助手段：1. 教学PPT：用于呈现概念讲解和例题练习；2. 教学练习册：配合PPT进行基础练习和拓展练习；3. 黑板、彩笔：记录学生的思路和解题过程。

六、教学评价：1. 通过学生课堂表现、课后作业的完成情况，进行总体评价；2. 针对学生的学习情况，提供个别辅导或额外练习。

高二数学1.2.5排列组合习题课学案新人教A版选修2-3

故选
C.
2． 4 名同学到某景点旅游，该景点有 4 条路线可供游览，其中恰有 1 条路线没有被这 4 个
同学中的任何 1 人游览的情况有 ( D)
A． 36 种 B ． 72 种 C ． 81 种 D ． 144 种解析：由题意可知 4 人选择了 4 条线路中的 3 条，不同的游览情况共有
C24C34A33＝ 144( 种 ) ．故
A25－ 2＝ 20 － 2＝ 18( 个) ，故选 C.
9
13
2． 5 人排成一排，其中甲不排在两端，也不和乙相邻的排法种数为
( D)
A． 84 种 B ．78 种 C ． 54 种 D ． 36 种
解析：按先排甲再排乙的顺序列式为 C13C12A33＝ 36.
3．男、女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，
a， b，共可得到 lg a
－lg b 的不同值的个数是 ( C)
A． 9 个 B ． 10 个 C ． 18 个 D ． 20 个
a 解析：由于 lg a－ lg b＝ lg b( a>0， b>0) ，从 1， 3， 5， 7，9 中任取两个作为
a b有
A25种，又
1 3
3
39
与相同，与相同，所以 lg a－ lg b 的不同值的个数有
选 D.
3．用 0， 1，…， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A． 243 个 B ． 252 个 C ． 261 个 D ．279 个解析：三位数个数为 9×10×10＝ 900( 个) ．没有重复数字的三位数有有重复数字的三位数的个数为 900－ 648＝ 252( 个 ) ．故选 B.

人教版本高中数学《排列组合》学习教案.doc

人教版高中数学《排列组合》教案排列与组合一、教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点：加法原理，乘法原理。

解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．2.难点：加法原理，乘法原理的区分。

解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．三、活动设计1.活动：思考，讨论，对比，练习．2.教具：多媒体课件．四、教学过程正1．新课导入随着社会展，先技，使得各种解决方法多化，高准要求，使得商品生工序复化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个程才能完成。

排列合一章都是的数，而排列、合的基就是基本原理，用好基本原理是排列合的关．2．新我先看下面两个．(l)从甲地到乙地，可以乘火，也可以乘汽，可以乘船．一天中，火有 4xx，汽有 2xx ，船有 3xx ，一天中乘坐些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板：因一天中乘火有 4 种走法，乘汽有 2 种走法，乘船有 3 种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐些交通工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3=9 种不同的走法．一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有 n 法，在第一法中有 m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法，⋯⋯，在第 n 法中有 mn种不同的方法．那么完成件事共有N＝m1十 m2 十⋯十 mn种不同的方法．(2)我再看下面的：由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C村的道路有 2 条．从 A 村 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？板：里，从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法，按 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后，再从 B村到 C村又有 2 种不同的走法．因此，从A村 B 村去 C村共有 3X2=6 种不同的走法．一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，⋯⋯，做第n 步有mn种不同的方法．那么完成件事共有 N＝m1m2⋯mn种不同的方法．例1 架上放有 6 本不同的数学，下放有 5 本不同的文．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学与文各一本，有多少的取法？解：（ 1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从 6 本书中任取一本，有 6 种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从 5 本书中任取一本，有 5 种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6 十 5=11．答：从书架 L 任取一本书，有11 种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有 6 种方法；第二步取一本语文书，有5 种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30 种不同的方法．练习：一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2 ）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2：(1) 由数字 l ，2，3，4，5 可以组成多少个数字允许重复三位数？(2) 由数字 l ，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字 0，l ，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要成一个三位数可以分成三个步完成：第一步确定百位上的数字，从5 个数字中任一个数字，共有5 种法；第二步确定十位上的数字，由于数字允重复，仍有 5 种法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有 5 种法．根据乘法原理，得到可以成的三位数的个数是 N=5X5X5=125．答：可以成125 个三位数．：1、从甲地到乙地有 2 条路可走，从乙地到丙地有 3 条路可走，又从甲地不乙地到丙地有 2 条水路可走．（1）从甲地乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游．在一个口袋中装着 2Oxx分有数1、2、⋯、19、20 的卡片，从中任抽一 xx，把上面的数作被加数；在另一个黄口袋中装着 10xx 分有数 1、2、⋯、 9、1O的黄卡片，从中任抽一 xx，把上面的数作加数．名儿童一共可以列出多少个加法式子？3． 2 的形4．由 0－9 10 个数字可以成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习练习1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有5 人会用第一种方法完成，另有 4 人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．在读书活动中，一个学生要从 2 本科技书、 2 本政治书、 3 本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3．乘积（ a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4．从甲地到乙地有 2 条 xx，从乙地到丙地有 3 条 xx；从甲地到丁地有 4 条 xx，从丁地到丙地有 2 条 xx．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5．一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（ 1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（ 2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？作：排列【复基本原理】1. 加法原理做一件事，完成它可以有n 法，第一法中有 m1种不同的方法，第二法中有 m2种不同的方法⋯⋯，第 n 法中有mn种不同的方法，那么完成件事共有N=m1+m2+m3+⋯mn种不同的方法 .2. 乘法原理做一件事，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，⋯⋯，做第 n 步有mn种不同的方法， . 那么完成件事共有N=m1m2m3⋯mn种不同的方法 .3.两个原理的区：【 1】1.xx 、xx 、xx 三个民航站之的直达航，需要准多少种不同的机票？2.由数字 1、2、3 可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出 .【基本概念】1.什么叫排列？从 n 个不同元素中，任取 m() 个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列2.什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列 .4.什么叫一个排列？【例题与练习】1.由数字 1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的三位数？2. 已知 a、b、c、d 四个元素，①写出每次取出 3 个元素的所有排列；②写出每次取出 4 个元素的所有排列 .【排列数】1.定义：从 n 个不同元素中，任取 m() 个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m元素的排列数，用符号表示 .用符号表示上述各题中的排列数.2.排列数公式： =n(n-1)(n- 2) ⋯(n -m+1)；；；；算： =； = ；=；【后】1.写出：①从五个元素 a、b、c、d、exx 任意取出两个、三个元素的所有排列；②由 1、2、3、4 成的无重复数字的所有 3 位数 .③由 0、1、2、3 成的无重复数字的所有 3 位数 .2.算：①②③④排列：排列的用 (1)目的：一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个算公式，会用排列数公式算和解决的．程：一、复：（引学生上所学知行复整理）1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；2．排列数的定义，排列数的计算公式或（其中 m≤n m,nZ ）3．全排列、阶乘的意义；规定0!=14．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．二、新授：例1：⑴ 7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作： 7 个元素的全排列——＝ 5040⑵ 7 位同学站成两排（前 3 后 4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝ 7！＝ 5040⑶7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的 6 个元素的全排列—— =720⑷ 7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的 5 名同学进行全排列有种则共有=240种排列方法⑸7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选 5 位进行排列（全排列）有种方法所以一共有＝2400种排列方法．解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋ =2400种．小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．例2 ： 7 位同学站成一排．⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5 个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝1440⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有＝720 种．⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960 种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，若丙站在排头或排尾有 2 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的 5 个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有＝ 960 种方法．小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例3： 7 位同学站成一排．⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法．⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝ 1440 种．小结三：对于不相邻问题，常用“插空法” （特殊元素后考虑）．三、小结：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．四、作业：《课课练》之“排列课时 1—3”课题：排列的简单应用(2)目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．过程：一、复习：1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；2．常见的排队的三种题型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．3．分类、分布思想的应用．二、新授：示例一：从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）解法二：（从特殊元素考虑）若选：若不选：则共有＋＝136080解法三：（间接法） 136080示例二：⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余进行全排列．所以一共有＝ 5760 种方法．⑵不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b 两种商品必须排在一起，而 c, d 两种商品不排在一起 ,则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b 捆在一起与 e 进行排列有；此时留下三个空，将 c, d 两种商品排进去一共有；最后将 a, b“松绑”有．所以一共有＝ 24 种方法．⑶6xx 同排连号的电影票，分给 3 名教师与 3 名学生，若要求xx相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有；若第一个为学生则有所以一共有 2＝72 种方法．示例三：⑴由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：⑵由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字，并且比 13 000 大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为 1 时，十位必须大于等于 3 有种方法；另一类是首位不为1，有种方法．所以一共有个数比13 000 大．解法二：（排除法）比 13 000 小的正整数有个，所以比 13 000 大的正整数有＝ 114 个．示例四：用 1，3，6，7，8，9 组成无重复数字的四位数，由小到大排列．⑴第 114 个数是多少？⑵ 3 796是第几个数？解：⑴ 因为千位数是1 的四位数一共有个，所以第114 个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12 个，所以第114 个数的前两位数必然是“ 39”, 而“ 3 968 ”排在第 6 个位置上，所以“ 3 968 ”是第 114 个数．⑵由上可知“ 37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84 个，而 3796 在“ 37”开头的四位数中排在第 11 个（倒数第二个），故 3 796 是第 95 个数．示例五：用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中⑴能被 25 整除的数有多少个？⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？解：⑴能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25，50 两种，末尾为 50 的四位数有个，末尾为 25 的有个，所以一共有＋＝ 21 个．注：能被 25 整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00 四种情况．⑵用 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，一共有个．因为在这 300 个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有个．三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．四、作业：“ 3＋X”之排列练习组合⑴课题：组合、组合数的概念目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．过程：一、复习、引入：1．复习排列的有关内容：定特相公义点同排列式排列以上由学生口答．2．提出问题：示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例 1xx 不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的．引出课题：组合问题．二、新授：1．组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合．注： 1．不同元素 2 ．“只取不排”——无序性 3 ．相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴从 A、B、C、D四个景点选出 2 个进行游览；（组合）⑵从甲、乙、丙、 xx 四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数．用符号表示．例如：示例 2 中从 3 个同学选出 2 名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有种组合．又如：从 A、B、C、D四个景点选出 2 个进行游览的组合： AB，AC，AD，BC，BD，CD一共 6 种组合，即：在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算呢？3．组合数公式的推导⑴提问：从 4 个不同元素 a，b，c，dxx 取出 3 个元素的组合数是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：组合排列abc abc , bac , cab , acb , bca , cbaabd abd , bad , dab , adb , bda , dbaacd acd , cad , dac , adc , cda , dcabcd bcd , cbd , dbc , bdc , cdb , dcb由此可知：每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有个；② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以：．⑵推广：一般地，求从n 个不同元素xx 取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从 n 个不同元素 xx 取出 m个元素的组合数；② 求每一个组合 xxm个元素全排列数，根据分布计数原理得：＝⑶ 组合数的公式：m A n m n(n 1)(n 2) (n m 1)C nA m mm!或⑷ 巩固练习：1．计算：⑴⑵2．求证：3．设求的值．解：由题意可得：即： 2≤x≤4∵∴x=2 或 3 或 4当 x=2 时原式值为 7；当 x=3 时原式值为 7；当 x=2 时原式值为11．∴所求值为 4 或 7 或 11．4．例题讲评例1． 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？略解：例2．4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形： 3 男， 2 男 1 女， 1 男2 女，分别有，，，所以一共有 ++＝100 种方法．解法二：（间接法）5．学生练习：（课本 99 练习）三、小结：定特相公义点同组合式排列组合此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．四、作业：课堂作业：教学与测试75 课课外作业：课课练课时 7 和 8组合⑵课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．过程：一、复习回顾：1．复习排列和组合的有关内容：强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习一：练习 1：求证：．（本式也可变形为：）练习 2：计算：①和；②与；③答案：① 120 ，120② 20 ，20③ 792（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）3．练习二：⑴平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？⑵平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴（组合问题）⑵（排列问题）二、新授：1．组合数的性质1：．理解：一般地，从 n 个不同元素中取出 m个元素后，剩下 n m 个元素．因为从 n 个不同元素中取出 m个元素的每一个组合，与剩下的 n m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n m 个元素的组合数，即：．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵又∴注： 1 我们规定2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化．例如：＝＝ =2002．4或2．示例一：（课本101 例 4）一个口袋内装有大小相同的7 个白球和 1 个黑球．⑴从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴⑵⑶引导学生发现：．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球，可以分为两类：一类含有 1 个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从这 n+1 个不同元素中取出 m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n 个元素中取出 m 1 个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n 个元素中取出 m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的性质2：＝+．证明：n! (n m 1) n! mm!(n m 1)!(n m 1 m)n!m! ( n m 1)!( n 1)!m! (n m 1)!C n m 1∴＝ +．注：1 公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与高的相同的一个组合数．2此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．示例二：⑴ 计算：⑵求证：＝ ++⑶xx ：⑷ xx ：⑸ 计算：和推广：5．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：⑴ （讲解）⑵ （练习）⑶6．处理《教学与测试》 76 课例题三、小结： 1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．四、作业：课堂作业：《教学与测试》76 课课外作业：课本习题10.3 ；课课练课时 9组合⑶课题：组合、组合数的综合应用⑴目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．过程：一、知识复习：1．复习排列和组合的有关内容：依然强调：排列——次序性；组合——无序性．2．排列数、组合数的公式及有关性质性质 1：性质 2：＝ +常用的等式：3．练习：处理《教学与测试》76 课例题二、例题评讲：例 1．100 件品中有合格品 90 件，次品 10 件，从中抽取 4 件．⑴ 都不是次品的取法有多少种？⑵至少有 1 件次品的取法有多少种？⑶ 不都是次品的取法有多少种？解：⑴ ；⑵ ；⑶ ．例 2．从号 1，2，3，⋯， 10，11 的共 11 个球中，取出 5 个球，使得5 个球的号之和奇数，一共有多少种不同的取法？解：分三： 1 奇 4 偶有；3 奇 2 偶有； 5 奇 1 偶有所以一共有 ++．例 3．有 8 名青年，其中有 5 名能任英翻工作；有 4 名青年能任德翻工作（其中有 1 名青年两工作都能任），在要从中挑 5 名青年承担一任，其中 3 名从事英翻工作， 2 名从事德翻工作，有多少种不同的法？解：我们可以分为三类：① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有．所以一共有 ++＝42 种方法．例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有．所以一共有 +＝42 种方法．例5．6 本不同的书全部送给 5 人，每人至少 1 本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步将 5 个“不同元素（书）”分给 5 个人有种方法．根据分步计数原理，一共有＝ 1800 种方法．变题 1：6 本不同的书全部送给 5 人，有多少种不同的送书方法？变题 2： 5 本不同的书全部送给 6 人，每人至多 1 本，有多少种不同的送书方法？变题 3： 5 本相同的书全部送给 6 人，每人至多 1 本，有多少种不同的送书方法？答案： 1．； 2 ．； 3 ．．三、小结： 1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质；2．组合的应用：分清是否要排序．四、作业：《 3+X》组合基础训练《课课练》课时10 组合四组合⑷课题：组合、组合数的综合应用⑵目的：对排列组合知识有一个系统的了解，掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题．过程：一、知识复习：1．两个基本原理；2．排列和组合的有关概念及相关性质．二、例题评讲：。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《1.2.2 组合》

组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中表达出来的顺序教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯穿能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的方法加以鉴别学生易于区分组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步那么考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否那么是排列问题排列、组合问题大都情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班〞的处理问题的过程据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法〔很可能是有悖于常理或常规的做法〕要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，假设能借助适当的工具，模拟做事的过程，那么更能说明问题久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高教学过程：一、复习引入：1．排列的概念：从个不同元素中，任取〔〕个元素〔这里的被取元素各不相同〕按照一定的顺序．．．．．．．．．排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列2．排列数的定义：从个不同元素中，任取〔〕个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示3．排列数公式：〔〕4．排列数的另一个计算公式：=5提出问题：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察： 1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列〞，而2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排〞——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断以下问题是组合还是排列〔1〕在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？〔2〕高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？〔3〕从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？〔4〕10个人互相通信一次，共写了多少封信？〔5〕10个人互通一次，共多少个？问题：〔1〕1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？〔2〕什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．．．．用符号表示．3．组合数公式的推导：〔1〕从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：组合排列由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以，．〔2〕推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．〔3〕组合数的公式：或规定:三、讲解范例：例2．计算：〔1〕；〔2〕；〔1〕解：＝35；〔2〕解法1：＝12021 解法2：＝12021例3．一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规那么，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？2如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于〔1，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于〔 2 ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： 1〕由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 〔种〕2〕教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有种选法．所以教练员做这件事情的方法数有=136136〔种〕例4．〔1〕平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？2〕平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：1〕以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有〔条〕2〕由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有〔条〕五、小结：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理学生探究过程：〔完成如下表格〕六、课后作业：。

高中数学 1.2 3排列组合应用题的教学设计教案新人教A版选修选修2-3

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《排列的应用（导学）》

1.2.2 排列的应用——自主学习课教学设计教学目标：摸索、掌握解排列问题的常用方法教学重点：掌握解排列问题的常用方法教学过程一、温故学案：温故目标：温故已学计数原理及排列数公式，预习排列应用题的类型，了解排列应用题的思考原那么和具体方法，能解较简单的排列应用题。

温故内容：1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有m1+m2+...+m n种不同的方法.2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有m1*m2*...*m n种不同的方法.3、排列的概念：从个不同元素中，任取〔〕个元素〔这里的被取元素各不相同〕按照一定．．的顺序．．．．．．．排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列说明：〔1〕排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；〔2〕两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同4、排列数的定义：从个不同元素中，任取〔〕个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列〞是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数〞是指从个不同元素中，任取〔〕个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列5、排列数公式及其推导：〔〕全排列数：〔叫做n的阶乘〕规定0！=1二、探究学案：学习目标：1. 进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算；2. 能用所学的排列知识和具体方法正确解决简单的实际问题。

3. 通过实例分析过程体验数学知识的形成和开展，总结数学规律，培养学习兴趣。

学习重点：排列应用题常用的方法：直接法〔包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法〕，间接法〔正难那么反〕学习难点：排列数公式的理解与运用师：同学们之前的温故学案大家做的都非常好，现在我们把所学的知识应该应用于现实生活中，大家知道前不久湖南卫视很红的歌手间PK类节目吗？生：知道，叫?我是歌手?。

1.2.1 排列教案 -2021-2022学年高二下学期人教A版数学选修2-3

1.2.1 排列（1）学习目标1.理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法．2.能用列举法、“树形图”表示出一个排列问题的所有的排列．3．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法:经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．教学重、难点:重点：排列、排列数的概念．难点：排列数公式的推导．教学模式与教法、学法：教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．教学过程:创设情境，探究新知:问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？解决这个问题，需分2个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法．根据分步计数原理，共有：3×2＝6种不同的方法．请写出所有的排法：解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143， 213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342， 412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．提出问题：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．幻灯片11从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作排列数定义:.m n A提出问题4：由以上两个问题我们发现：A23＝3×2＝6，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n 的意义和A2n的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，∴A2n＝n(n－1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A3n，A m n吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A3n可以按依次填3个空位来考虑，∴A3n＝n(n－1)(n－2)，求A m n可以按依次填m个空位来考虑：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．说明：(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当n＝m时即n个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！＝A n nA n－mn－m.设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．例1；例2分析规律方法：1.判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．2．排列数两个公式的选取技巧：(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N*，m≤n”的运用．[易错提醒]公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立.课堂小结：1.排列的定义；2.排列的相关计算及性质。

高考数学总复习组合应用题学案新人教A版

高考数学总复习组合应用题学案新人教A版新人教A版课前预习学案一、预习目标预习：（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题二、预习内容1、组合的定义：= = =3、课本几个组合应用题，并将24页的探究写在下面课内探究学案一、学习目标（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题学习重难点：解决一些简单的组合典型问题二、学习过程问题探究情境问题一：高一（1）班有30名男生，20名女生，现要抽取6人参加一次有意义的活动，问一下条件下有多少种不同的抽法？⑴只在男生中抽取⑵男女生各一半⑶女生至少一人问题二：10个不同的小球，装入3个不同的盒子中，每盒至少一个，共有多少种装法？合作探究：完成问题一问题二的方法总结① ② 典例分析例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端、变式练习1、、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻、例2、平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。

求：这些直线所交成的点的个数变式练习2、a, b是异面直线；a上有6个点，b上有7个点，求这13个点可确定平面的个数三、反思总结方法：① ② ③四、当堂检测1、从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（）A、140B、120C、35D、342、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A、210种B、420种C、630种D、840种3、(07重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种4、（09天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A、10种B、20种C、36种D、52种课后练习与提高1、从1，2，3，4，5中任取两个数分别作为底数和真数，则所有不同的对数值的个数是A ，20 B，16 C，13 D，122、已知x，y ∈N 且 Cnx = Cny ，则 A ，x = y B ，x + y = n C，x = y 或 x + y = n D，不确定3、从平面α 内取5点，平面β 内取4点，这些点最多能组成的三棱锥的个数是 A， C53C41 B， C94 C， C94 – C54 D， C53C41+C43C51+C52C424、在3000与8000之间有个无重复数字的奇数。

高二数学排列组合和概率 10.2 组合同步教案新人教A版

高二数学排列组合和概率 10.2 组合同步教案新人教A版【教学内容】第十章排列组合和概率10.2 组合要求：1、学习掌握组合、组合数概念和组合数的两个性质。

熟练运用这些基本概念和性质解题；2、掌握解排列组合题的思想方法，适当地分类，分步，构造恰当的解法解决问题；3、灵活运用有关概念；开拓解题思路，力争做到一题多解。

【学习指导】 1、掌握组合的概念：定义：从n 个不同元素中，取出m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

排列与组合的共同点，就是要“从n 个不同元素中，任取m 个元素”，而不同的是，对于所取出的m 个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”，即排列是有序的，而组合是无序的。

2、掌握组合数公式：123)2()1()1()2()1(⨯⨯⋅⋅⋅-⋅-⋅+-⋅⋅⋅-⋅-⋅==m m m m n n n n A A C m mm n m n另一个公式)!(!!m n m n C m n -=此公式的作用：当对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。

3、组合数性质1：mn n m n C C -= 组合数性质2：mn m n m n C C C 11+-=+通过本节的学习，要理解组合的意义，弄清排列与组合的联系与区别，掌握组合数的计算公式，并能解决相关的数学问题。

组合的应用题是本节教材的难点，它可分为无限制条件的组合、有限制条件的组合以及组合与排列的综合应用题三大类。

对于无限制条件的组合应用题，可应用组合数公式mn C 来计算；对于有限制条件的组合应用题及排列与组合的综合应用题，一般有正向思考与逆向思考两种思路，正向思考时常采用分步及乘法原理的方法或分类及加法原理的方法，逆向思考时常采用求补集的方法解决。

【典型例题分析】例1、某班有45名同学，在毕业典礼会上，每两人握一次手，总共能握多少次手？解：因为每两人握一次手是无序的，所以总共能握：124445245⨯⨯=C =990（次）例2、从5名男生4名女生中选出4人去参加数学竞赛。

高二数学排列组合的混合应用题同步教案新人教A版

高二数学（第30周）【教学内容】1、组合、组合数公式；2、组合数的两个性质；3、排列组合的混合应用题。

【教学目标】使学生能够正确地理解组合的概念，理解并掌握组合数的两个公式，同时能运用公式计算和证明一些组合问题和组合恒等式；能够正确的理解组合数的两个重要性质，并能比较熟练地运用这两个性质来证明一些恒等式；能够比较熟练地区分排列与组合，并能熟练地解决一些常见的排列组合混合应用题。

【知识讲解】1、组合、组合数的概念从n 个不同元素中任取m 个元素（m ≤n ）把它并成一组叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，这与排列有一定的区别，排列是将m 个元素取出后按一定的顺序排成一列称之为一个排列，也就是说，元素相同，组合只有一个，而排列的顺序不同，就是不同的排列。

只有当元素相同，而且排列的顺序也相同时，才是相同的排列。

而组合只要元素相同，不管排的顺序如何，都是同一个组合，只有两个组合中的元素不全相同时，才是不同的组合。

从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数。

记作mn C 。

mm m n m n AC A =，所以12)1()1()2)(1(⋅-+---== m m m n n n n A A C m m mn mn!)!(!m m n n -=2、组合数的两个性质：（1）mn nm n C C -= 它的实际意义是：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数mn C ，与从n 个不同元素中取出n －m 个元素的组合数m n n C -是一样多的，因而在计算m n C 时，当2n m >时，通常把它变形为m n n C -后计算，就比较简便。

（2）111+++=+m n m nm n C C C它的实际意义是：从n+1个不同元素a 1，a 2，a 3，……，a n+1中取出m+1个元素的组合数11++m n C ，可理解为两类组合数的和。

高中数学新人教版A版精品教案《1.2.2 组合》

组合与组合数公式教学目标:（一）知识和技能目标1、理解组合，组合数的概念；2、能应用计数原理，排列数公式推导组合数公式；（二）过程和方法目标理解组合与组合数的概念，由特殊到一般的方法合作探究出组合数公式，培养学生的实践能力和分析问题解决问题的能力；体会从特殊到一般，转化与化归及类比思想。

（三）情感价值目标学生感受到探究和协作精神的重要性，从而提高学习数学的兴趣。

教学重点:类比排列掌握组合与组合数公式。

教学难点:推导m m m n mn A C A ⨯=，进而得出组合数公式。

教学过程:一、问题引入问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任我班班委，其中1名担任我班班长，另1名担任学习委员，有多少种不同的排法？你能列举出来吗？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任我班班委，有多少种不同的选法？你能列举出来吗？思考：两个问题之间区别？（引出课题：组合）二、新课讲授（一）类比排列的定义给出组合的概念排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（1）思考：排列与组合的区别是什么？（类比得到）（2）定义巩固：判断下列问题哪些是排列问题，哪些是组合问题（二）组合数的概念从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号mn C 表示。

注意：组合数与组合的区别。

（三）组合数公式利用排列与组合之间的关系得到组合数公式，采用特殊到一般的方法（1）借助图形用列举法得出=24C 6（2）引导学生以“元素相同”为标准，把“从4个不同元素中任取2个的排列”进行分类，并以框图的形式直观表示，体会排列与组合之间的关系得出222424A C A ⨯=（3）类比上述方法分析4C 34=（4）进一步分析 222424A C A ⨯=的实际意义，发现排列可以分为“先取后排”两个步骤（5）将上述结果推广到一般情形，得出组合数公式一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，从这n 个不同元素中取出m 个元素，共有m n C 种不同的方法；第2步，将m 个元素做全排列，共有m m A 种不同排法。