高考数学创新大一轮复习江苏专用课件：第七章第41讲简单的线性规划

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《高考数学第一轮复习课件》第41讲不等式的性质与基本不等式及应用

(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３推论３:a>b>0 14
3.基本不等式基本不等式定理1:如果、 ∈ 那么那么a 定理如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不了解现实世界与日常生活中的不等关系，了解不等式(组的实际背景的实际背景. 等关系，了解不等式组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌掌握并能运用不等式的性质，掌握并能运用不等式的性质握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等掌握基本不等式，掌握基本不等式式解决简单的最大（值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮总复习
理数
第六单元不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系不等关系. 不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二会解一元二次不等式，会解一元二次不等式次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图

2020年江苏省高中数学一轮复习南方凤凰台基础版课件第七章第41课数列的综合应用

(1) 求证：等差数列{an}是“P(3)数列”；【解答】因为{an}是等差数列，设其公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d，从而，当 n≥4 时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d ＝2an，k＝1,2,3，所以 an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”．
人民币总数为___________p____________元．
【解析】由题意知，到 2016 年 1 月 1 日可取回钱的总数为 a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋… ＋a(1＋p)＝a1＋p[1p＋p8－1].
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高考总复习一轮复习导学案 ·数学
第七章数列、推理与证明
知识梳理 1. 数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活运用等差数列、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键． 2. 解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步： (1) 根据题意建立数列模型； (2) 运用数列知识求解数列模型； (3) 检验结果是否符合题意，给出问题的答案.
1 22 343 4774 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 …
第 3 题
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高考总复习一轮复习导学案 ·数学
第七章数列、推理与证明
【解析】设第 n 行的第 2 个数为 an(n≥2)，由图可知 a2＝2，且当 n≥3 时，an＝ an－1＋(n－1)，所以 an－an－1＝n－1，累加得 an－a2＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2，所以 an ＝n2－2n＋2，又当 n＝2 时，a2＝2 也满足此式，所以 an＝n2－2n＋2.

2021年高考数学大一轮复习第七章第41课数列的递推关系与求和要点导学

2021年高考数学大一轮复习第七章第41课数列的递推关系与求和要点导学数列的递推关系已知数列{an }中,其中Sn为数列{an}的前n项和,并且Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1.(1) 设bn =an+1-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列;(2) 设数列{cn }满足cn=(n∈N*),求证:数列{cn}是等差数列.[思维引导](1) 首先条件中Sn+1=4an+2如何处理,通常要归一,即一是转化为相邻三项的关系;二是转化为和之间的关系,这里是转化为相邻三项的关系,接下来根据等比数列的定义,易得数列{bn}是等比数列;(2) 根据等差数列的定义,结合(1)不难证明数列{bn}是等比数列.[证明](1) 因为Sn+1=4an+2,所以Sn+2=4an+1+2,两式相减得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an),因为bn =an+1-2an,则有bn+1=2bn(n∈N*),又a1=1,S2=4a1+2a2=5,从而b1=a2-2a1=5-2=3≠0,由此可知,数列{bn}是公比为2的等比数列.(2) 由(1)知bn=3·2n-1,因为cn=,所以cn+1-cn=-==,将bn =3·2n-1代入得cn+1-cn==(n∈N*),由此可知,数列{cn }是公差为、首项c1==的等差数列.在数列{an }中,已知a1=1,an+1=,求an.[思维引导]对递推关系的两边取倒数,可以得到与之间的递推关系.运用累加法公式,先求出的通项公式,再求出an的通项公式,这体现了转化思想的运用.[解答]原式可化为-=n,所以-=n-1,-=n-2,…, -=1,累加得-=(n-1)+(n-2)+ (1)所以=+1,所以an=.[精要点评]求数列的通项公式,特别是由递推公式给出数列时,除迭加、迭代、累乘外,还应注意配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列,然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.证明问题,可根据递推公式写出前几项,由此猜测归纳出通项公式,再证明.利用裂项相消法求数列的和在等比数列{an }中,已知S3=,S6=.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 记bn =log4a3+log4a4+…+log4an+2,且cn=,试比较与4的大小.[思维引导]构造方程求数列{an }的首项与公比,然后求通项公式;由an求bn,再求c n ,求cn的和时,因出现式子,故可用裂项相消法求和.[解答](1) 若q=1,则S6=2S3,这与已知S3=且S6=不符,所以q≠1.因此有3161(1-)7,1-2(1-)63,1-2a qqa qq⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化简得1+q3=9,即q=2,所以a1=,则数列{an}的通项公式为an=×2n-1=2n-2.(2) bn=log4a3+log4a4+…+log4an+2=(log2a3+log2a4+…+log2an+2)=(1+2+3+…+n)=,所以cn===4,则=4=4=.又-4=<0,所以.[精要点评]裂项求和法是求数列各项之和的常用方法.一般地,对于首项与公差均不为0的等差数列{an },有=,则==,以及有结论=.特别地,对于an=,有ai=;对于an=,有在等差数列{an }中,a7=4,a19=2a9.(1) 求{an}的通项公式;(2) 设bn =,求数列{bn}的前n项和Sn.[解答](1) 设等差数列{an }的公差为d,则an=a1+(n-1)d.因为所以解得a1=1,d=.所以{an }的通项公式为an=.(2) bn===-,所以Sn=++…+=.利用错位相减法求数列的和设数列{an }的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,n=1,2,3,….(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 若数列{bn }满足b1=1,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式;(3) 设cn =n (3-bn),求数列{cn}的前n项和为Tn.[思维引导]求通项公式时,要根据递推关系进行;再由an 求出bn的通项公式;对于cn ,由于cn=2n,是等差数列与等比数列乘积的形式,故可采取错位相减法求和.[解答](1) 当n=1时,a1+S1=a1+a1=2,所以a1=1.因为Sn=2-an,即an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2.两式相减得an+1-an+Sn+1-Sn=0,即an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an.因为an≠0,所以=(n∈N*).所以数列{an}是首项a1=1、公比为的等比数列,且an=(n∈N*).(2) 因为bn+1=bn+an,所以bn+1-bn=,从而有b2-b1=1,b3-b2=,b4-b3=,…,bn-bn-1=(n=2,3,…).将这n-1个等式相加,得bn-b1=1+++…+==2-2.又因为b1=1,所以bn=3-2(n=1,2,3,…).(3) 因为cn=n (3-bn)=2n,所以Tn=2. ①Tn=2. ②①-②,得Tn=2[+++…+]-2n.故Tn=4-4n=8--4n=8-(n=1,2,3,…).[精要点评](1) 考查了根据an 与Sn的关系求通项公式an.在已知Sn求an,或是由an与Sn 的关系式求an时,往往要先考虑n=1的特殊情况,然后再结合an=Sn-Sn-1求通项公式.(2) 考查了累加法求通项公式an .在出现关系an=an-1+2n或an=an-1+2n或类似关系时,常考虑累加法求通项,必要时还要考虑累乘法.(3) 在求数列的和时采取了错位相减法.当数列是由一个等差数列与一个等比数列进行对应相乘时,可采取这种方法求数列的和.(xx·淮安、宿迁摸底)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和S n =(an-1)(an+2),n∈N*.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 设bn=(-1)n an,求数列{bn}的前2n项和T2n.[规范答题](1) 当n=1时,S1=(a1-1)(a1+2),解得a1=-1或a1=2.因为a1>0,所以a1=2.(2分)当n≥2时,Sn=(an-1)(an+2),Sn-1=(an-1-1)(an-1+2).两式相减得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.(6分)又因为an>0,所以an+an-1>0,所以an-an-1=1.所以an=n+1.(8分)(2) T2n =-a1a2+a2a3-a3a4+a4a5-a5a6+…+a2n-2a2n-1-a2n-1a2n+a2na2n+1=2(a2+a4+…+a2n).(11分)又a2,a4,…,a2n是首项为3、公差为2的等差数列,所以a2+a4+…+a2n==n2+2n.故T2n=2n2+4n(14分)1. 在数列{an }中,a1=1,an+1=(n=1,2,3,…),则a10=.[答案][解析]对an+1=取倒数,得=+1,即-=1,由此可知数列是以为首项、1为公差的等差数列,从而=+9×1=10,因此a10=.2. 已知等差数列{an }的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为.[答案][解析]由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)=n,所以==-,所以++…+=-+-+…+-=1-=.3. 在数列{an }中,a1=1,an+1=2an+2n,则数列{an}的通项公式是an=.[答案]n·2n-1[解析]因为an+1=2an+2n,同除以2n+1,得=+,即-=,所以数列是首项为、公差为的等差数列,所以=,所以an=n·2n-1.4. 已知正项数列{an }满足-(2n-1)an-2n=0.(1) 求数列{an }的通项公式an;(2) 令bn =,求数列{bn}的前n项和Tn.[解答](1) 由-(2n-1)an -2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正项数列,所以an=2n.(2) 由(1)知an=2n,故bn===,所以Tn===.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第81-82页).23919 5D6F 嵯}26067 65D3 旓32234 7DEA 緪,639100 98BC 颼k Z36783 8FAF 辯,)39016 9868 顨34466 86A2 蚢。

高考数学一轮复习第七章不等式简单的线性规划课件

学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第七章不等式
1 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第3讲简单的线性规划
2 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC 的面积为 S＝21×(2－1)×2＝1.
10 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．不等式组xx－－y3＋y＋2<6≥0 0，表示的平面区域是(
)
解析 x－3y＋6≥0 表示直线 x－3y＋6＝0 以及该直线下方的区域，x－y＋2<0 表示直线 x－y＋2＝0 上方的区域，故选 B.
含有两个未知数，并且未知数的次数都是 1 的不等式称为二元一次不等式．
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．二元一次不等式(组)的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合．
2 二元一次不等式表示的平面区域
菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩年种植成本/亩每吨售价
黄瓜 4 吨
1.2 万元 0.55 万元
韭菜 6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：
亩)分别为( )
A．50,0

高考数学大一轮复习第七章不等式第41讲简单的线性规划学案理

第41讲简单的线性规划考试要求 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义(A 级要求)；2.用平面区域表示二元一次不等式组(A 级要求)；3.从实际情况中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决(A 级要求).诊断自测1.(教材改编)已知点A (1，0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________.解析因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1，0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m >－122.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是________.解析不等式y ≤2x ＋1表示直线y ＝2x ＋1下方的平面区域及直线上的点，不等式x ＋2y >4表示直线x ＋2y ＝4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，x ＋2y >4所表示的平面区域. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，x ＋2y >43.(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________.解析可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 取到点(－6，－3)时，所求最小值为－15.答案－154.(必修5P95习题11改编)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0则z ＝x 2＋y 2的最小值是________.解析作出可行域如图中阴影部分所示，z ＝x 2＋y 2的最小值表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点(1，2)到原点的距离最近，故z ＝x 2＋y 2的最小值为12＋22＝5.答案 5知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示的直线是Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念3.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 4.判断区域方法(1)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方. (2)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2015·重庆卷改编)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________.(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43，∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案 (1)1 (2)73规律方法 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.【训练1】 (1)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________.(2)(2018·徐州四校模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是________.解析 (1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.(2)不等式x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5≤a <7. 答案 (1)1 (2)[5，7) 考点二求目标函数的最值问题【例2－1】 (1)(2015·山东卷改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1). 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a <0时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)或B (1，1)处取得最大值，最大值为z max ＝0或z max ＝a ＋1＝4，a ＝3，不满足题意；当a >0时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)或B (1，1)处取得最大值， ∴2a ＝4或a ＋1＝4，∴a ＝2，a ＝3(经检验舍去)，则a ＝2满足题意. (2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a （x －3），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.答案 (1)2 (2)12规律方法 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率. (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【例2－2】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，试求解下列问题.(1)z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)z ＝yx ＋2的最大值和最小值；(3)z ＝|3x ＋4y ＋3|的最大值和最小值.解作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A (1，1)，B (5，2)，C ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.(1)z ＝x 2＋y 2表示的几何意义是可行域中的点(x ，y )到原点(0，0)的距离，如图所示，z max ＝29，z min ＝ 2. (2)z ＝yx ＋2表示区域中的点(x ，y )与点M (－2，0)连线的斜率，如图所示.z max ＝k MC ＝2215，z min＝k MB ＝27.(3)z ＝|3x ＋4y ＋3|＝5·|3x ＋4y ＋3|5，而|3x ＋4y ＋3|5表示区域中的点(x ，y )到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，如图所示，z max ＝26，z min ＝10.规律方法 (1)此题中与z 有关量的几何意义不再是纵截距，而是点到点的距离、斜率、点到直线的距离.(2)在第(3)问中z5才是点到直线的距离. 考点三可转化线性规划的问题【例3】已知正数a ，b ，c 满足⎩⎪⎨⎪⎧5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba 的取值范围是________.解析条件⎩⎪⎨⎪⎧5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c可化为⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋bc≥5，a c ＋bc ≤4，b c ≥e a c，设a c ＝x ，bc ＝y ，则题目转化为：已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x >0，y >0，求y x 的取值范围. 作出(x ，y )所在的平面区域如图中阴影部分所示.假设在y ＝e x上一点P (x 0，y 0)处yx取得最小值.则y 0x 0＝e x 0x 0，设g (x )＝e x x ，g ′(x )＝（x －1）e xx 2，易知x ＝1时，g (x )取得最小值，故此时y 0x 0＝e ，当(x ，y )对应点C 时，y x 取得最大值7，所以y x 的取值范围为[e ，7]，即b a的取值范围是[e ，7].答案 [e ，7]【训练2】若变量a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，ab 3≥81，a 3b ≤81，求u ＝a 2b 的最大值.解将不等式组中各不等式两边同时取以3为底的对数得⎩⎪⎨⎪⎧log 3a ≥0，log 3a ＋3log 3b ≥4，3log 3a ＋log 3b ≤4，再令x ＝log 3a ，y ＝log 3b ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，同时令z ＝log 3u ＝2log 3a －log 3b ＝2x －y ，题目就转化为：若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，求z ＝2x －y 的最大值.作出可行域如图中阴影部分所示，将z ＝2x －y 化为y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，当直线过点A 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，，解得A (1，1)，此时z max ＝2×1－1＝1，u max ＝3. 考点四线性规划的实际应用问题【例4】某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. ∴最优解为A (50，50)，此时ωmax ＝550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元. 规律方法解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解). (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验：根据结果，检验反馈.一、必做题1.若点(m ，1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________. 解析由2m ＋3－5>0，得m >1. 答案 (1，＋∞)2.(2017·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为________.解析画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2.当直线y ＝－12x ＋z2过C (3，3)时，z 取得最大值9.答案 93.直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个.解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分).直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0). 答案 14.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________.解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.答案 (0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 5.(2016·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y的最小值为________.解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小. 又知点A 的坐标为(3，0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6. 答案 66.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥02x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.解析已知不等式组所表示的平面区域如图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 7.(2018·苏北三市质检)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，3x －y ≥0，y ≥0，则|3x －4y －10|的最大值为________.解析作出实数x ，y 在约束条件下的平面区域(如图所示)，令z ＝3x －4y －10，则平移直线3x －4y ＝0经过点A (1，0)时，z max ＝3－10＝－7；平移直线3x －4y ＝0经过点B ⎝⎛⎭⎪⎫14，34时，z min ＝34－3－10＝－494，即－494≤z ＝3x －4y －10≤－7，从而7≤|3x －4y －10|≤494，所求的|3x －4y －10|的最大值为494.答案4948.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是________. 解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解. 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）>0，f （1）>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 9.(2016·浙江卷改编)在平面上过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则AB ＝________.解析已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示.因为l 与直线x ＋y ＝0平行.所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则AB ＝PQ .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0解得Q (2，－2).∴AB ＝PQ ＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2. 答案 3 210.某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6).由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小. 二、选做题11.若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________. 解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴6－x －3y >0，令t ＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |，当2x ＋y －2≥0时，t ＝x －2y ＋4.点(x ，y )可取区域Ⅰ内的点(含边界).通过作图可知，当直线t ＝x －2y ＋4过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45时，t 取最小值，∴t min ＝35－85＋4＝3. 当2x ＋y －2<0时，t ＝8－3x －4y ，点(x ，y )可取区域Ⅱ内的点(不含线段AB ). 通过作图可知，此时t >8－3×35－4×45＝3.综上，t min ＝3，即|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3. 答案 312.(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B .已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.图①(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一簇平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大.根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.图②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.。

届新课标一轮复习理科数学第41讲简单的线性规划问题PPT课件

2．设变量 x，y 满足x0－ ≤yx≤＋1y0≤，20，则 2x＋3y 的 0≤y≤15，
最大值为( D ) A．20 B．35 C．45 D．55
【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．不等式组表示的区域如图所示，所以过点 A(5，15)时 2x＋3y 的值最大，此时 2x＋3y＝55.
【知识要点】
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域
(半平面)，__不__包___括___边界直线．
不等式 Ax＋ By＋ C≥0 所表示的平面区域 (半平面 )
_包__括__边界直线．
作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由
图可知平面区域 D 为平行四边形，可求出 M(4，2)，
N(6，3)，故|MN|＝ 5.又 x－2y＝0 与 x－2y－3＝0 之
间的距离为
d＝
3 ，故平面区域 5
D
的面积为
S＝
5×
3 5
＝3.
二、简单线性规划问题例2已知xx－＋yy＋－24≥ ≥00 ，求：
合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
解线性规划问题的一般步骤：审题、设元——___列__出__约__束__条__件___(通常为不等式组)——建立___目__标__函__数__——作出___可__行__域____——求 __最__优__解__．
一、平面区域的确定与应用例1(1)已知函数 f(x)＝x2－5x＋4，则不等式组 f1（≤xx）≤－4 f（y）≥0，对应的平面区域为( C )

2017版高考数学一轮总复习课件：第七章第三节简单的线性规划

第四页，编辑于星期六：十九点五十八分。
►一个口诀：直线定界，特殊点定域；同侧同号，异侧异号. (1)已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________. 解析因为(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]＜0，即(a＋ 7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24. 答案 (－7，24)
名称
意义
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的线性约束条件
约束条件
目标函数关于x、y的解析式
线性目标函数关于x、y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或
第十六页，编辑于星期六：十九点五十八分。
常见的目标函数有
(1)截距型：形如 z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－abx＋bz，通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型：形如 z＝ x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，
（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离. (3)斜率型：形如yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，yx－－ba 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. 注意：转化的等价性及几何意义.
第十七页，编辑于星期六：十九点五十八分。
在通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b>0 时，截距bz取最大值时，z 也取最大值；截距bz取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距bz取最大值时，z 取最小值；截距bz取最小值时，z 取最大值.

高考数学人教版江苏专用新精准大一轮复习课件：第7章2第2讲直线、平面平行的判定与性质

栏目导引
第七章立体几何
连结 AC，交 BD 于点 O，连结 C1O，与 A1C 交于点 F，则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点．下面证明 A1E＝EF＝FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1＝EO1，平面 A1C1C∩平面 C1BD＝C1F，平面 AB1D1∥平面 C1BD，所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F 中，O1 是 A1C1 的中点，所以 E 是 A1F 的中点，即 A1E＝EF. 同理可证，OF∥AE，所以 F 是 CE 的中点，即 FC＝EF，所以 A1E＝EF＝FC.
第七章立体几何
第 2 讲直线、平面平行的判定与性质
第七章立体几何
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
如果平面外一条直线和 _这__个__平__面__内___的一条直判定线平行，那么这条直线定理和这个平面平行(线线平
行⇒线面平行)
符号语言
因为_l_∥__a__， _a_⊂_α___， __l⊄__α__，所以 _l_∥__α__
栏目导引
第七章立体几何
3.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：AP∥GH. 证明：如图所示，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 MO. 因为四边形 ABCD 是平行四边形．所以 O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点，所以 AP∥OM. 又 AP⊄平面 BMD，OM⊂平面 BMD，所以 AP∥平面 BMD. 又 AP⊂平面 PAHG，平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，所以 AP∥GH.

2015届高三数学(文)第一轮总复习课件第41讲简单的线性规划问题

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文数
x－y＋5≥0 所以，不等式组x＋y≥0 x≤3
表示的平面区域如图
所示． 5 结合图中可行域得 x∈[－，3]，y∈[－3,8]． 2
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文数
－x≤y≤x＋5 ②由图形及不等式组知 . －2≤x≤3，且x∈Z
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点；当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点；当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点；当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点；当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点；当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点．所以平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝ 42(个)． 5 ③由(1)知，x∈[－，3]，y∈[－3,8]， 2 1 5 121 所以 S＝ (3＋ )(3＋8)＝ . 2 2 4
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文数
解析：由已知两点在直线的两侧，则(2＋3＋m)(－8－2＋m)<0，即(m＋5)(m－10)<0，所以－5<m<10，选 C.
5
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x≥1 3．已知实数x、y满足 y≤2 x－y≤0
文数
，则此不等式组表示的平
面区域的面积是( A ) 1 A.2 C．1 1 B.4 1 D.8
21
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文数
(2)画出满足约束条件的平面区域，由图可知平面区域图形为边长为 2的正方形，故其周长为 4 2.
22
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文数
二
线性规划下的最值
x－y＋2≥0 【例2】已知x＋y－4≥0 2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．

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