Rel第4章控制系统数学模型描述

du(t ) u(t ) RC r (t ) dt
把上述公式中的u换成c表示，则有
dc(t ) c(t ) RC r (t ) dt dc(t ) RC c(t ) r (t ) dt
连续系统的微分方程模型一般形式如下：
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 ... an 1 an n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr(t ) b0 b1 ... bm 1 bm m m 1 dt dt dt
4( s 2)( s 2 6s 6) 2 G( s) s( s 1)3 ( s 3 3s 2 2 s 5)
》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1]conv([1,1],[1,3,2,5])))); % conv内部只能含2个变量，但可以嵌套使用
式中 a, b 为实常数，m <= n
二、脉冲传递函数模型
C ( z ) b0 z m b1 z m 1 ... bm 1 z bm G( z) R( z ) a0 z n a1 z n 1 ... an 1 z an
此为上述差分方程进行z变换后对应的脉冲传递函数 通用模型，与连续系统中的G(s)完全类似。 连续系统和离散系统可以通过Matlab互相转换。即
求得传递函数

• 把上述推导传递函数公式中的U换成C表示，则有
U( s ) 1 G(s) R ( s) 1 RCs C( s) 1 G(s) R ( s) 1 RCs 1 C( s) 1 G( s) .......... .( 4) R ( s) RCs 1 Ts 1
k为系统增益，zi为零点，pj为极点 在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,k]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] k=[k] 注意：分子分母都是因式相乘的形式简称为zpk型
四、部分分式展开
• 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解， 使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 0.25i 0.25i 2 G( s) 2 s 2i s 2i s 1 • 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开， 以及把传递函数分解为微分单元的形式。 • 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开 后，余数返回到向量 r，极点返回到列向量 p，常数项返 回到 k。 • [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式之比 p(s)/q(s)。（与residue(b,a)互为逆转换） • residue 数学术语-余数、留数。 • 部分分式形式可简称为rpk型。注意！勿与zpk型混淆。
原式：
4( s 2)( s 2 6 s 6)2 G( s ) s( s 1)3 ( s 3 3s 2 2 s 5)
3) 零极点增益模型2： 借助ZPK(z,p,k)函数来处理
( s 0.1)( s 0.2) G( s) ( s 0.3) 2
》z=[-0.1,-0.2]; p=[-0.3,-0.3]; k=1;
4）部分分式展开处理：
用函数residue处理
2s 3 9s 1 G( s ) 3 s s 2 4s 4
》num=[2,0,9,1]; 》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》 r= p= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000
在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。
常用格式：sys=ss(a,b,c,d)
对应A,B,C,D
sys=ss(a,b,c,d,’Pt1’,Val1,’Pt2’,Val2….) 状态空间模型一般简称为SS型
六、传递函数描述综合例
1）分子分母多项式型
12 s 3 24 s 2 20 G( s ) 4 2s 4s 3 6s 2 2s 2
4.3 线性定常离散系统描述
一、差分方程模型 a 0c(k n) a1c(k n 1) ...
an 1c(k 1) anc( k ) b 0 r (k m) b1r ( k m 1) ... bm 1r (k 1) bmr (k )
》sys1=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: (s+0.1) (s+0.2) --------------(s+0.3)^2 零极点形式 >> sys2=tf(sys1) Transfer function: s^2 + 0.3 s + 0.02 -----------------s^2 + 0.6 s + 0.09 多项式形式
式中 a, b 为实常数，m <= n
二、连续系统的传递函数模型 对微分方程（3）两端做Laplace变换（参见下表）
du(t ) L r (t ) L u (t ) RC dt U ( s )(1 RCs) R ( s ) U ( s) 1 R ( s ) 1 RCs U (s) 1 G(s) R ( s ) 1 RCs
k= 2
0.25i 0.25i 2 结果表达式： G ( s) 2 s 2i s 2i s 1
5) 状态空间模型
1 6 9 10 4 6 3 12 6 8 2 4 x u x 4 7 9 11 2 2 5 12 13 14 1 0 0 0 2 1 y x 8 0 2 2 用Matlab建立状态空间模型 》a=[1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14]; 》b=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; 》c=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; 》d=0; 》sys=ss(a,b,c,d) 结果见ess1.m实际运行
注意：1.式中正斜两种字体Байду номын сангаас和R的含义是不同的; 2.T=RC=1.4 x 0.32=0.448
连续系统LTI的传递函数模型一般形式如下：
C ( s ) b0 s m b1s m 1 ... bm 1s bm G( s) R( s ) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an
G(s)G(z)
与LTI系统完全类似，MATLAB传递函数 模型生成命令中用是否包含采样周期选项来区 分所处理的系统是不是脉冲传递函数，即离散 系统。 在离散系统中，若没有指定采样周期，则 应用-1或[ ]来代替，不能空缺。
例：4.2六1）中的传递函数例题
12 s 3 24 s 2 20 G( s ) 4 2s 4s 3 6s 2 2s 2
例
电路图如下，R=1.4欧，C=0.32法，初始状态： 电流i（t）为零，电容电压u（t）为0V，t=0时刻 接通电压r（t），求出系统微分方程和传递函数。
微分方程
u (t ) r (t ) Ri(t )......... .(1) du(t ) i (t ) C .......... ......( 2) dt (2) (1) du(t ) u (t ) r (t ) RC dt du(t ) u (t ) RC r (t ).....( 3) dt
• 对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a0不等于零， 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构 成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和 den表示。 num=[b0,b1,…,bm-1,bm] （numerator） den=[a0,a1,…,an-1,an] （denominator） 注意：1.它们都是按s的降幂进行排列的。
4.1
控制系统的分类
• 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散 系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 • 按控制目标分：定值系统和随动系统 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程 的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化， 则为时变系统。我们讨论的系统主要以线性连续定常(时不 变）系统（LTI）为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号 为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线 性的系统。 4、随动系统：仿形加工，跟踪系统（循迹、清淤、雷达）
五、状态空间模型
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称 为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输出关 系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程 来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态对系统性 能的影响。u-输入变量，y-输出变量，x-状态变量
x Ax Bu
y Cx Du
第四章 控制系统数学模型的描述
控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的 地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学 模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系 统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使 得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。
在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函 数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模 型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都 有着内在的联系，可以相互进行转换。
2.分子分母都是多项式的形式简称为 t f 型
三、零极点增益模型