《二次函数的图象与一元二次方程(1)》教学设计

5.6 二次函数的图象与一元二次方程（1）
教学目标1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
2．理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图象交点的横坐标．
教学重点经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．
教学难点准确理解二次函数与一元二次方程的关系．
教学过程（教师）学生活动设计思路复习旧知，明确结论
通过观察一次函数y＝x＋1的图象，可以发现并归
纳一次函数与一元一次方程之间存在联系：
从“数”的方面看，当一次函数y＝x＋1的函数值y ＝0时，相应的自变量的值即为方程x＋1＝0的解；
从“形”的方面看，函数y＝x＋
1与x轴交点的横坐标即为方程x＋1
＝0的解．
实际上，这也反映了一般函数
与方程的关系：一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点的横坐标即y＝0的值就是方程ax＋b＝0的根．
（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y＝x＋1的图象，并指出
函数y＝x＋1的图象与x轴有几个交点．
（3）一元一次方程x＋1＝0与一次函数y
＝x＋1有什么联系？
让学生通过对旧知识的回顾
及对新知识的思考，梳理旧知识，
起到承上启下之效，同时通过老师
的引导，培养学生的形成解决一类
问题的通用方法的思维品质．
情境
打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：
米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数：
y＝－5x2＋20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到40m？
进入状态，兴致盎然．
图象上每个点的横、纵坐标含义是什
么？
你是如何解决的，与同伴进行交流．
问题的设置从生活情境引入，
激发学生学习数学的欲望．
探索活动探索一
二次函数y＝x2＋2x与一元二次方程x2＋2x＝0有怎样的关系？
1．从关系式看二次函数y＝
积极思考，回答问题．
从“函数值何时为0”着手，
沟通二次函数与相应的一元二次
方程的关系；通过函数图象揭示相
应的一元二次方程的解的几何意
义．
x
y
–1
–21
–1
1
2
3
O
x 2＋2x成为一元二次方程x2＋2x＝0的条件是什么？
2．反应在图象上：观察二次函数y＝x2＋2x的图象，你能确定一元二次方程x2＋2x ＝0的根吗？
用同样的方法探索
二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？
二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？仿照上面解决问题的方法，得出结果．
学生对二次函数与一元二次
方程的联系从特殊到一般性结论
的讨论，逐步提高学生从旧知识中
“类比猜想”“观察发现”“归纳概
括”最后得出“结论”的从感性到
理性的抽象思维能力．
3．结论
一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点（x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1、x＝x2，反过来也成立．
学生对结论的归纳与提炼．完成一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数与二次函数
y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点的个数的讨论，
使学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻
理解．
得出一般结论，以引导学生作
进一步的观察、探索和归纳．
探索二
观察下列图象：
（1）观察二次函数图象与x轴的公共点的个数；
（2）判断函数值为0时一元二次方程根的情况；
（3）你能找到它们之间的联系吗？
师生共同总结．
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数可
由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况说
明：
1．当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0有两个不相等的实数根，抛物线y＝
ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
2．当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0有两个相等的实数根，抛物线y＝ax2
＋bx＋c与x轴只有1个交点；
3．当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0没有实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c
与x轴没有交点．
结论由学生自己得出并完善，
提高学生分析和解决问题的能力．
例题精讲
1．不画图象，你能判断函数的图象y ＝x 2＋6x －6与
x 轴是否有公共点吗？请说明理由．
2．已知二次函数y ＝x 2
－4x ＋k ＋2与x 轴有公共点，
求k 的取值范围．
3．打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛
物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y （单位：米）与飞行距离x （单位：百米）之间具有关系： y ＝－5x 2＋20x ，想一想：球的飞行高度能否达到40m ？
先独立完成，然后互助交流，进一步理解
函数与方程互相转化的思想． 理解一元二次方程的根就是
二次函数与y ＝h (h 是实数)的交点的横坐标．
进一步提升学生对于实际问
题中的二次函数与一元二次方程的关系的理解应用，用于解决实际问题．求二次函数与一次函数图象交点问题的理解，其本质就是求方程根的问题．
课堂练习
1．方程x x 2＋4－5＝0的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ．
2．方程x x -2＋10－25＝0的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ．
3．下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ）
A ．y x x 2＝－
B ．y x 2＝－2
C ．y x x -2＝＋6－9
D ．y x x 2＝－＋2
4．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k ＋2与x 轴有公共点，求k 的取值范围． 学生独立完成，小组交流所做结果，巩固
对知识的理解．
通过巩固练习加深学生对知
识的理解．
课堂小结
1．一元二次方程的两个根即二次函数图象与x 轴两
个交点的横坐标，因此方程的根的情况决定着有无交点
及交点的个数．
2．“给定函数值求自变量问题”转化为“解方程的问题”． 师生共同构建．
用精炼的语言，使得学生记忆
简便，而且印象加深，同时让学生
在总结中反思，完成升华．
课后作业
课本P49习题5.6第1，3题．。