应用统计学第3章抽样分布
抽样与抽样分布
抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。
有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
统计学抽样与抽样分布
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。
概率与统计中的抽样分布与假设检验
概率与统计中的抽样分布与假设检验概率与统计是一门研究随机事件及其规律的学科，其中抽样分布与假设检验是概率与统计学中至关重要的概念。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性，并探讨假设检验的原理和应用。
一、抽样分布在统计学中，抽样是指从总体中选取一部分样本进行观察和测量，通过对样本的分析和推断，得出对总体特征的结论。
而抽样分布则是在多次抽取样本的基础上得到的一组统计量的概率分布。
抽样分布的重要性在于它为统计推断提供了理论基础。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
这意味着通过对样本数据的分析，我们可以对总体特征进行合理的推断和估计。
二、假设检验假设检验是概率与统计学中常用的分析方法，用于检验关于总体参数的某种假设。
它基于样本数据，通过比较样本统计量与假设值之间的差异，来判断是否拒绝或接受某个假设。
假设检验的基本步骤包括：1. 建立原假设（H0）和备择假设（H1）：原假设通常是关于总体特征的某种陈述，而备择假设则是与原假设相对立的假设。
2. 选择适当的检验统计量：根据具体问题选择合适的统计量进行计算和分析。
3. 确定显著性水平（α）：显著性水平是进行假设检验时预先设定的一个界限，用来判断是否拒绝原假设。
通常将显著性水平设定为0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：通过对样本数据进行计算，得到实际的检验统计量的值。
5. 判断检验统计量的观察值是否落在拒绝域内：拒绝域是指在显著性水平下，根据分布函数得到的一组临界值。
如果观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
6. 得出结论：根据判断结果，对于原假设的合理性进行结论。
假设检验在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用假设检验来判断新药物是否对疾病有显著疗效；在工商管理中，可以使用假设检验来判断某种市场策略是否能够提高销售业绩。
总结：概率与统计中的抽样分布与假设检验是概率与统计学的重要概念。
3-理论分布与抽样分布
68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张 下一张 主 页 退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张 下一张 主 页 退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)
3 理论分布与抽样分布
【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
统计学-抽样分布与抽样方法
5.1 抽样调查的概念、特点和作用【P33】
二、抽样调查的特点 （一）按照随机原则抽取总体中的一部分单位
进行调查：
随机原则是指在抽取样本单位时完全排除调查者的主观判断 ，使各总体单位都有同等的被抽中的机会。只有严格遵循 随机原则，才能使样本的内部结构类似于总体的结构分布 特征，对总体具有充分的代表性。
❖ 一般采用抽样调查进行统计推断
统计研究的主要内容
研究数据
单位 总体
部分 总体
总体 之间 关系
总体 时间 变化
综合指标 推断统计
相关与 回归
指数、 时间序列
推断统计学
统计推断的过程
总体均值、 比例、方差
总体
样 描述 本 统计
样本统计量
（样本均值、比 例、方差）
第四章
概率基础【略】
掌握：正态分布与二项分布
性的产品检验，矿藏资源的调查等等，只能用抽样调 查。有些调查则需要受过专业训练的人员或专用设备 来获得有关数据，也只能用抽样调查方法。此外当要 调查的是无限总体时，就更不可能进行全面调查。 (4)准确度高
由于抽样调查的工作较全面调查大大减少，调查人员 可以经过专门训练，因此可能取得更准确的结果。例 如对人口普查、统计报表制度等获得的全面调查结果 ，通常需要采用抽样调查进行验证或修正。
、物力、财力，获得得事半功倍的效果。 (2)速度快 调查和综合样本资料要比收集和综合全面调查的资料
更快。当有些资料具有很强的时效性时，全面调查 只能获取陈旧的信息，而抽样调查可以获得及时的 信息。
5.1 抽样调查的概念、特点和作用【P33】
四、抽样调查的优点（续）：
(3)适用面广 许多社会经济现象不可能采用全面调查方法，如破坏
数据模型决策-统计学3-参数估计
均值和方差
若T ~ t(n) ，则 E(T ) = 0
D(T ) = n (n > 2) n−2
第3t 分章布与参正数态分估布计的比较
第3章 参数估计
(4) t分布（Students 分布）
性质:
当n很大时，
lim f (t) =
n→∞
1
− t2
e2
2π
此时，tα/2≈uα/2，t 分布近似标准正态分布
2分布，即
V ~ χ 2 (n1) , W ~ χ 2 (n2,)
则随机变量 F = V / n1 W / n2
服从F分布, n1，n2分别是它的第一自由度和第二自由度，
且通常记为 F ~ F (n1, n2 )
第3章 参数估计
第3章 参数估计
(3) F分布
F分布查表
∞
∫ P(F > Fα ) = Fα f (x)dx = α (0 <α < 1)
第3章 参数估计
抽样与抽样分布 点估计 区间估计 样本容量的确定
第3章 参数估计
3.1 抽样与抽样分布
总体由研究对象的全体所组成。 样本是总体中的部分元素所组成的集合。
有限总体和无限总体 无放回抽样和有放回抽样
简单随机抽样（x1, x2,…, xn）:
简单随机抽样是指从总体中抽取样本容量为n 的样本时，x 1, x2,…, xn这n个随机变量必须具备以下两个条件：
与 t 分布有关的理论通常称为“小样本理论”
查表问题： P{t(n) > tα (n)} = α
第3章 参数估计
P(t(7)>1.8946)=0.05
第3章 参数估计
（5） 样本平均数的抽样分布
统计学中的抽样分布与中心极限定理
统计学中的抽样分布和中心极限定理是两个关键概念，对于统计学的理解和应用有着重要的意义。
抽样分布是指从总体中随机抽取样本所得到的各项统计量的分布。
而中心极限定理则是指在很多样本的情况下，样本均值的分布会趋于正态分布。
这两个概念的理解和应用对于进行有效的统计推断和参数估计至关重要。
抽样分布是统计学中非常重要的一个概念。
在实际应用中，我们往往无法获取全部的数据，而是通过抽样的方法获取部分样本进行分析。
抽样分布描述了从总体中抽取样本所得到的统计量的分布情况，比如样本平均数、样本方差等。
通过了解抽样分布的特点，我们可以对整个总体的特征进行推断和估计。
中心极限定理是统计学中的重要原理之一。
它指出，当样本容量较大时，各项样本的均值会呈现出近似正态分布的特点。
这意味着样本均值的分布会集中在总体均值附近，并且随着样本容量的增加，靠近总体均值的概率会越来越大。
中心极限定理的应用非常广泛，可以用于参数估计、假设检验以及构建置信区间等。
通过中心极限定理，我们可以对总体的均值和方差进行估计，并对统计量的分布进行推断。
抽样分布和中心极限定理的关系密切。
通过了解抽样分布，我们可以评估不同样本容量下的样本均值的分布情况。
而中心极限定理告诉我们，随着样本容量的增加，样本均值的分布会趋于正态分布。
这一定理对于统计推断的准确性提供了保证。
通过大量实验证据的支持，中心极限定理已经成为统计学中的核心原理之一。
抽样分布和中心极限定理的应用不仅仅局限于理论研究，也广泛应用于实际问题的解决中。
例如，在市场调研中，我们往往只能通过抽样调查获取少量数据。
通过抽样分布的分析和中心极限定理的应用，可以对大量样本数据进行推断和分析。
同时，在质量控制和现场实验中，通过抽样分布和中心极限定理的应用，可以对产品质量进行评估和改善。
总而言之，统计学中的抽样分布和中心极限定理是两个核心概念，对于理解和应用统计学具有重要的意义。
抽样分布描述了从总体中抽取样本所得到的统计量的分布情况，而中心极限定理则告诉我们样本均值的分布会趋于正态分布。
理论分布与抽样分布
统计学证明，服从二项分布B(n,p)旳随
机变量之平均数μ、原则差σ与参数n、p有
如下关系：（即次数平均数、原则差）
当试验成果以事件A发生次数k表达时
μ=np
σ2= npq
(3-7)
σ= npq
当试验成果以事件A发生旳频率k／n或
百分数表达时（即样本平均数、原则差）
p p ( pq) / n
xpx qnx
n
x0
c c c
0 6
0.850
0.156
1 6
0.851
0.155
2 6
0.852
0.154
c c
3 6
0.853
0.153
4 6
0.854
0.152
0.22350
二项分布旳应用条件有3点：
（1） 一对互斥事件 （2） （p+q=1），P是稳定值。 （3） n次成果相互独立
1.1.4二项分布旳平均数与原则差
由图2-6做100听罐头净重资料旳频率分 布直方图 ，能够设想 ，假如样本取得越来 越大(n→+∞)，组分得越来越细(i→0)，某一 范围内旳频率将趋近于一种稳定值 ── 概率。 这时 ， 频率分布直方图各个直方上端中点 旳联线 ── 频率分布折线将逐渐趋向于正态 分布曲线。
上一张 下一张 主 页 退 出
（1）随机单位时间和单位空间旳稀有事件; （2）在n→∞,p→0， 且 n p =λ(较小常数)情 况下 ，二项分布 趋于泊松分布; （3）每次试验成果相互独立。 对于在单位时 间、单位面积或单位容积内，所观察旳事物 因为某些原因分布不随机时，不是泊松分布。 （Such as contagion, Bacteria Group in milk)
数理统计第3章 随机抽样与抽样分布
E ( X i ) = E ( X ) = µ , D( X i ) = D( X ) = σ 2 , i = 1,2,L , n
1 n 1 n 所以 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = µ , n i =1 n i =1
1 1 . D ( X ) = D( ∑ X i ) = 2 ∑ D( X i ) = n n i =1 n i =1
11
它反映了总体 二、样本数字特征 均值的信息 它反映了总体 1 n 样本均值 X = ∑Xi 方差的信息 n i=1 1 n 1 n 2 2 2 2 样本方差 S = ∑( Xi − X) = n −1 ∑Xi − nX n −1 i=1 i =1
推导： 推导：
( Xi − X)2 = ∑( Xi2 − 2Xi X + X 2 ) ∑
因此, 应视为一组随机变量, 因此,抽样值 ( x1 , x2 ,L, xn ) 应视为一组随机变量,我们把 的一个样本 子样), 样本( ),其中 称为该样本的容量 容量。 它称为总体 X 的一个样本(或子样),其中 n 称为该样本的容量。
7
二、简单随机抽样
由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统 计推断， 计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的 信息，必须考虑抽样方法 信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“ 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 它要求抽取的样本满足下面两点: 样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 代表性： 有相同的分布. 有相同的分布 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量 独立性： 是相互独立的随机变量. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本 简单随机样本， 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本， 今后如不加声明，均指简单随机样本。 今后如不加声明，均指简单随机样本。
概率统计基础：第 3 章 随机变量及抽样分布
这一过程称为抽样 , X1 , X2 , , Xn 称为容量为n的样本.
抽样的特点 在相同条件下对总体X进行n次重复、独立观察
要求各次取样的结果互不影响 每次取出的样品与总体有相同的分布
样本的特点
观察前:X1 , X2 ,, Xn 是相互独立,与总体同分布的随机 变量
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2
n=5
n = 10
0.1
n = 15
5 10 15 20 25
设 c 2 ~c 2 (n) X i ~ N (0,1) i 1, 2, , n
则
E(X i ) 0,
D( X i ) 1,
E
(
X
2 i
)
1
E c 2
E
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x4e
1. 期望为：E(c2)=n，方差为：D(c2)=2n(n为自
由度)
2. 可加性：若U和V为两个独立的c2分布随机变 量，U~c2(n1)，V~c2(n2),则U+V这一随机变 量服从自由度为n1+n2的c2分布
总体
样本
计算样本统计量 如：样本均值、 比例、方差
几个重要分布 c2-分布(c2-distribution)
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海 尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分 别于1875年和1900年推导出来
定义: 设 X 1 , X 2 , , X n相互独立,都服从正态
个体：随机变量X的值
总体
应用统计学(第三版袁卫-庞皓-曾五一-贾俊平主编)各章节课后习题答案
附录1：各章练习题答案第1章绪论（略）第2章统计数据的描述2.1 （1）属于顺序数据。
（2）频数分布表如下：服务质量等级评价的频数分布服务质量等级家庭数（频率）频率%A1414B2121C3232D1818E1515合计100100（3）条形图（略）2.2 （1）频数分布表如下：（2）某管理局下属40个企分组表按销售收入分组（万元）企业数（个）频率（%）先进企业良好企业一般企业落后企业11119927.527.522.522.5合计40 100.0 2.3 频数分布表如下：某百货公司日商品销售额分组表按销售额分组（万元）频数（天）频率（%）25～30 30～35 35～40 40～45 45～5046159610.015.037.522.515.0合计40 100.0 直方图（略）。
2.4 （1）排序略。
（2）频数分布表如下：100只灯泡使用寿命非频数分布按使用寿命分组（小时）灯泡个数（只）频率（%）650~660 2 2660~670 5 5670~680 6 6680~690 14 14690~700 26 26700~710 18 18710~720 13 13720~730 10 10730~740 3 3740~750 3 3合计100 100 直方图（略）。
2.5 （1）属于数值型数据。
（2）分组结果如下：分组天数（天）-25~-20 6-20~-15 8-15~-10 10-10~-5 13-5~0 120~5 45~10 7合计60（3）直方图（略）。
2.6 （1）直方图（略）。
（2）自学考试人员年龄的分布为右偏。
2.7 （1（2）A 班考试成绩的分布比较集中，且平均分数较高；B 班考试成绩的分布比A 班分散，且平均成绩较A 班低。
2.82.9 （1）x =274.1（万元）；Me=272.5 ；Q L =260.25；Q U =291.25。
（2）17.21=s （万元）。
2.10 （1）甲企业平均成本＝19.41（元），乙企业平均成本＝18.29（元）；原因：尽管两个企业的单位成本相同，但单位成本较低的产品在乙企业的产量中所占比重较大，因此拉低了总平均成本。
三大抽样分布的定义及应用
三大抽样分布的定义及应用三大抽样分布是指正态分布、t分布和卡方分布。
它们在统计学中具有重要的应用，并且广泛地被用于估计和推断总体参数。
正态分布是指具有钟形曲线的连续概率分布，其概率密度函数的形状由均值和标准差决定。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述许多自然现象，例如人的智力分布、心脏跳动的间隔时间等等。
对于大样本量的情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布可以近似服从正态分布。
因此，正态分布在统计推断中起到了至关重要的作用，例如用于构建置信区间、假设检验、回归分析等。
t分布是由英国统计学家威廉·戴韦提出的，是用来处理小样本量情况下的统计推断问题的一种概率分布。
t分布与正态分布相似，但是其概率密度函数的形状更加平坦，有更宽的尾部。
t分布的自由度是影响其形状的一个参数，自由度越小，尾部越厚重。
在小样本量的情况下，使用t分布进行统计推断可以更准确地估计总体参数。
例如，当样本量较小时，使用t分布来计算置信区间或进行假设检验，可以避免过度自信导致错误的推断结果。
卡方分布是由皮尔逊提出的，是应用在统计推断中的一种概率分布。
卡方分布常用于分析分类数据的相关性以及拟合度。
在这两个统计问题中，卡方分布提供了一个用于检验观察值与期望值之间的差异程度的方法。
卡方分布的自由度取决于数据的维度。
在统计推断中，卡方分布被广泛用于拟合度检验，例如用于检验样本的观察频数与理论频数是否有显著差异。
正态分布、t分布和卡方分布的应用在各个领域和学科中都非常广泛。
在医学研究中，这些分布被用于分析临床试验的数据，进行数据建模以及推断总体参数。
在市场研究中，这些分布被用于对市场数据进行概率分析和预测。
在财务管理中，这些分布被用于分析股价的波动性和风险评估。
在工程领域中，这些分布被用于分析产品的可靠性和质量控制。
总之，正态分布、t分布和卡方分布是统计学中的三大抽样分布，它们在统计推断中具有重要的应用价值。
通过使用这些分布进行数据分析和推断，我们可以准确地估计总体参数，进行假设检验，以及进行优化和决策制定等重要统计任务。
统计学中的抽样分布理论
统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。
本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。
一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。
但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。
这就是抽样的概念。
抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。
常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。
比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。
二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。
这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。
参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。
统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。
样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。
抽样分布不同于总体分布。
总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。
抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。
这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。
在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。
具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。
然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。
若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。
这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。
三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。
抽样分布的概念及重要性
抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。
在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。
抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。
一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量的取值也会有所不同。
抽样分布描述了样本统计量的所有可能取值及其对应的概率分布。
常见的样本统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。
以样本均值为例，假设总体均值为μ，样本均值为x̄，抽样分布描述了在相同样本容量的情况下，样本均值的所有可能取值及其对应的概率分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
二、抽样分布的重要性抽样分布在统计学中具有重要的意义，它对统计推断和假设检验提供了理论基础，具体体现在以下几个方面：1. 参数估计：抽样分布可以用于估计总体参数。
通过抽取样本并计算样本统计量，我们可以对总体参数进行估计。
例如，通过计算样本均值来估计总体均值，通过计算样本比例来估计总体比例等。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，帮助我们确定估计值的可信度和置信区间。
2. 假设检验：抽样分布可以用于假设检验。
在假设检验中，我们通常需要比较样本统计量与假设值之间的差异，以判断差异是否显著。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，可以帮助我们计算出观察到的差异在抽样误差范围内的概率，从而判断差异是否显著。
3. 抽样方法选择：抽样分布可以帮助我们选择合适的抽样方法。
不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生不同的影响。
通过了解抽样分布的特点，我们可以选择合适的抽样方法，以提高样本统计量的准确性和可靠性。
4. 统计推断：抽样分布是统计推断的基础。
统计推断是指通过样本数据对总体特征进行推断。
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min(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
)
，1
2
4 i 1
X
2 i
，|
X4
X1 |中哪些是统计量，哪
些不是统计量，为什么？
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第三章 抽样分布
第三章 抽样分布
主
第一节 随机样本
要
第二节 抽样分布
内
容
本章小节
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第三章 抽样分布
第一节 随机样本
在统计学中，我们研究的问题一般集中在研究对 象的某一数量指标。 比如某型号的电子元器件的寿 命、一批某种产品的合格率等。因而，需要考虑通过 与这一数量指标相联系的随机试验，来对这一数量指 标进行试验或观测。
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第三章 抽样分布
4. F 分布
P(F F ) F f (x)dx (0 1)
F分布图 上一页
F
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第三章 抽样分布
5. 基4于.正3 态样总本体平样均本数的的均抽值样与方分差布的分布
有限总体
有限总体若采取有放回抽样，则与无限总体等价。有限 总体容量为N而采取无放回抽样，且n/N≤0.1，仍可视 为无限总体，而当n/N>0.1时则
第三章 抽样分布
3.t 分布
设 X ~ N(0,1) ，Y ~ 2 (n)，且设X与 Y 独立，则称统 计量
T X Y /n
为服从自由度为n 的 t 分布，记为t ~ t(n) 。 可以证明，当 n 充分大时，t 分布趋向于标准正
态分布。
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第三章 抽样分布
3. t分布（Students 分布）
计量
2
X
2 1 n
为服从自由度为n 的 2 分布，记为 2 ~ 2(n)
2 的一个重要性质：可加性
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第三章 抽样分布
2. χ 2分布
χ2分布图 上一页
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第三章 抽样分布
查表：
2. χ 2 分布
对于给定的α，0<α<1，可在 χ分2 布表中查得，即
为样本方差，称统计量 S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
为样本标准差；统计量
Ak
1 n
n
X
k i
,
k
i 1
1,2,
称为样本 k 阶原点矩；统计量
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X)k ,k
2,3,
称为样本的 k 阶中心矩。
这些统计量的观测值分别为
(3.2.3) (3.2.4)
x
1 n
n i 1
xi
， s2
1n n 1 i1 (xi
x)2
，s
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
，
ak
1 n
n i 1
xik
（ k 1,2,
）， bk
1 n
n
(xi
i 1
x)k
（ k 2,3,
）。
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第三章 抽样分布
第二节 抽样分布
二、几个常用的抽样分布
抽样分布的定义 统计量的分布称为抽样分布。 来自正态总体的几个常用统计量的分布，已 有一些重要的结果（人们已经获得这些统计量 的具体的分布密度函数）。下面介绍来自正态 总体的几个常用统计量的分布。
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第三章 抽样分布
（四）基于正态总体样本的均值与方差的分布
设 X1, X 2, , X n 来自正态总体 N (, 2 )的样本， X , S 2 分别为样本的均值和方差。则
X ~ N (, 2 );
n
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1); 2
X ~ t(n 1)
S/ n
如果Xi ~ N(i ,i2)(i 1,2,n), 且相互独立。 对于常数 ，有ai下式成立：
n
n
n
X i ~ N ( i , i 2 )
i1
i1 i1
aX i
~
N
(a
i
,
a
2
2 i
)
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第三章 抽样分布
2. 2 分布
设 X1,
X
2 ,
,
X
是来自总体
n
N (0,1)
的样本，则称统
P 2( n ) 2
f ( x,n )dx
x2
例如 即指
χ
2 0.1
(10)
15.987
P 2 (10 ) 15.978 f ( x;n )dx 0.1 15.978
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第三章 抽样分布
2 分布具有下面的性质：
1 2 分布的可加性
设 12
~
2
(n1
最常用的统计量是所谓的样本矩。设 X1, X 2 , , X n 是来自总体 X 的一
个样本， x1, x2 , , xn 是这一样本的观测值，称统计量
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值；称统计量
S 2
1n n 1 i1 ( X i
X )2
(3.2.1) (3.2.2)
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第三章 抽样分布
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第三章 抽样分布
几种与正态分布有关的概率分布
正态分布
几
种
χ 2 分布
概
率
分 布
F分布
t分布
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第三章 抽样分布
1. 正态分布
若随机变量X的概率密度函数
f (x)
1
e ,
(
x) 2 2
2
2
x
记为 X ~ N (, 2 )
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➢ 对于实际应用中的比率问题，给出了大样本下 的抽样分布。
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第三章 抽样分布
思考题
在总体 N(, 2 ) 中抽取样本 X1, X 2 , X 3, X 4 ，其中 已知而
4
2 未 知 。 在 样 本 的 函 数 ： X i ， X1 X 2 3 ， i 1
min(
因此采用简单随机抽样保证随机样本与总体具有 相同的概率分布。
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第三章 抽样分布
4.1 关于抽样的基本概念
样本统计量与抽样分布:
在简单随机抽样中，样本具有随机性，样本的
参数 x,s2等也会随着样本不同而不同，故它们是样
本的函数，记为g（x1, x2,……, xn），称为样本 统计量。
量，即
P{X x} p x (1 p)1x , x 0,1
(3.1.1)
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第三章 抽样分布
4.1 关于抽样的基本概念
从总体中抽取有限个个体对总体进行观测的过程叫做抽样。
在相同的条件下我们对总体 X 进行 n 次重复的、独立的观测，将 n 次观测结果按试验 的次序记为 X1, X 2 , , X n ，由于 X1, X 2 , , X n 是对随机变量 X 观测的结果，且每次观 测是在相同的条件下独立进行的，故可以认为 X1, X 2 , , X n 是相互独立的，且都是与总体 X 具有相同分布的随机变量。 这样得到的 X1, X 2 , , X n 称为来自总体 X 的一个简单随 机样本， n 称为这个样本的容量。 当 n 次观测结束后，我们就得到一组实数 x1, x2 , , xn ， 它们依此是随机变量 X1, X 2 , , X n 的观测值，称为样本值。
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第三章 抽样分布
设
X1, X 2 , , X n1
为来自正态总体
N
(1,
2 1
)
的样本，
Y1,Y2 , ,Yn2
为来自正态总体
N
(
2
,
2 2
)
的样本
，
X , S12
Y
,
S
2分别为两个样本的均值和方差。则
2
当 1 2 时，则
S12
2 2
/ S22
/ 12
~
F(n1 1, n2
统计量的概率分布称为抽样分布（Sample distribution）
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第三章 抽样分布
第一节 随机样本
例如，检验从某一条生产线上生产出来的产品是次品还是 正品，我们以 0 表示产品为正品，以 1 表示产品为次品。 假设
出现次品的概率为 p （常数），那么总体是由一些“0”和“1” 组成，这一总体对应一个具有参数为 p 的（0-1）分布的随机变
非标准正态分布向标准正态分布的转化
若 X ~ N(, 2 )
标准化因子
X
U
则U∽N（0，1）
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第三章 抽样分布
查表
1. 正态分布
当u大于零时，可查正态分布表
但如果u<0时，则可由式φ（-u）=1-φ(u)
求出
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