72与三角形有关的角

合集下载

专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)

专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==；五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==；六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠．【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒，由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案．【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可．【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数）．。

巧数角的方法

巧数角的方法巧数角，顾名思义，就是指能够被一个非常简单的正整数除尽的角度。

与其他角度不同，巧数角能够被完美地划分成一个或多个相等的部分，这使得我们在进行角度测量和角度运算时非常方便。

在本文中，我们将探讨一些常见的巧数角及其相关的计算方法。

一、30度角30度角是最基本的巧数角之一，它可以被3整除，因此可以被划分为三个相等的部分。

我们可以利用这一特性，快速、准确地计算出一些相关问题的答案。

比如说，我们要计算正三角形的内角和，可以将它分割为3个相等的30度角，然后利用三角形内角和等于180度的公式，求出三个角的度数之和，即：3 × 30 = 90三角形内角和 = 180三个角的度数之和 = 180 - 90 = 90因此正三角形的内角和为90度。

当我们需要将一个60度角划分为两个相等的部分时，也可以利用30度角的特性。

我们只需要将60度角的两条边之一与一个30度角的边平行，然后连接另一个30度角的两条边，就可以得到两个相等的30度角。

二、45度角45度角可以被2整除，因此也是一个巧数角。

它可以被划分为两个相等的部分，即22.5度角。

45度角在几何学中广泛应用，它可以用来构造等腰直角三角形、正方形等。

当我们需要将一个90度角划分为两个相等的部分时，也可以利用45度角的特性。

我们只需要将90度角的两条边之一与一个45度角的边平行，然后连接另一个45度角的两条边，就可以得到两个相等的45度角。

三、60度角60度角可以被6整除，因此它可以被划分为六个相等的部分，即10度角。

60度角也是一个非常重要的巧数角，它在等边三角形、正六边形等几何图形中经常出现。

当我们需要将一个120度角划分为两个相等的部分时，也可以利用60度角的特性。

我们只需要将120度角的两条边之一与一个60度角的边平行，然后连接另一个60度角的两条边，就可以得到两个相等的60度角。

四、72度角72度角可以被5整除，因此它可以被划分为五个相等的部分，即14.4度角。

72度角的等腰三角形边长关系(一)

72度角的等腰三角形边长关系(一)
72度角的等腰三角形边长关系
背景介绍
•什么是等腰三角形？
•什么是72度角？
等腰三角形定义
•等腰三角形是指两边长度相等的三角形
•具有两个等分角的特点
72度角的特点
•72度角是一个锐角，小于90度
•又被称为黄金角，是黄金分割比例中的一个重要角度
等腰三角形边长关系
•在一个等腰三角形中，72度角的大小不变
•由于等腰三角形的两边长度相等，根据三角形内角和定理可知，其他两个角度也是相等的
•根据角度比例关系，72度角对应的两边长度的比例关系为1：（约为黄金分割比例）
解释说明
•72度角被广泛应用在艺术、建筑、设计等领域，被认为是一种美学上的完美比例
•在设计建筑物时，可以使用72度角来构建各种黄金比例的形状和结构
•在绘画和摄影中，黄金角度的运用可以使画面更加和谐、美观•在金融和经济学中，黄金分割比例也有着重要的应用，被认为是一种趋势线的预测工具
总结
•72度角的等腰三角形边长关系是一种特殊的比例关系，即1：（黄金分割比例）
•这种比例关系在美学、建筑、设计、绘画等领域被广泛运用
•了解和应用这种关系可以帮助创作者创造更具吸引力和和谐美感的作品。

2011中考数学真题解析72 三角形内角和,直角三角形两锐角互余(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编三角形内角和，直角三角形两锐角互余一、选择题1.（2011江苏苏州，2，3分）△ABC的内角和为（）A、180°B、360°C、540°D、720°考点：三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理直接得出答案．解答：解：三角形的内角和定理直接得出：△ABC的内角和为180°．故选A．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理，此题比较简单注意正确记忆三角形内角和定理．2.（2011•台湾7，4分）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A、36B、72C、108D、144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角。

专题：计算题。

分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B 的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，故选C．点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．3.（2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6 C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°考点：三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。

分析：根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角，∵∠1＝∠AOB，∵∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠4＋∠6＝180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．4.（2011新疆建设兵团，3，5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°考点：平行线的性质．分析：由∠A ＝40°，∠AOB ＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B 的度数，又由AB ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C 的值．解答：解：∵∠A ＝40°，∠AOB ＝75°．∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠AOB ＝180°﹣40°﹣75°＝65°， ∵AB ∥CD ， ∴∠C ＝∠B ＝65°．故选B ．点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．5. （2010重庆，4，4分）如图，AB ∥CD ，∠C ＝80°，∠CAD ＝60°，则∠BAD 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ． 45°D ． 40° 考点：平行线的性质分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．解答：解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选D ．点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．6.（2011•河池）如图，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，∠A=30°，∠COD=105°．则∠D 的大小是（）ABD C4题图A、30°B、45°C、65°D、75°考点：平行线的性质；三角形内角和定理。

72度角的等腰三角形边长关系(二)

72度角的等腰三角形边长关系(二)
72度角的等腰三角形边长关系
1. 引言
•介绍72度角的等腰三角形的背景和问题
2. 定义
•说明等腰三角形的定义和性质
•解释72度角的特殊性，并与等腰三角形结合起来
3. 边长关系
等腰三角形的等边关系
•解释等腰三角形中两个边相等的性质
•提及72度角的等腰三角形也满足这一性质
三角函数的应用
•介绍正弦、余弦和正切的基本概念和公式
•探讨如何利用正弦函数求解等腰三角形的边长关系
边长关系的推导
•使用正弦函数的公式推导72度角的等腰三角形边长关系的表达式
•展示推导过程中的关键步骤和计算方法
4. 结论
•总结72度角的等腰三角形边长关系的表达式
•强调其实用性和重要性
5. 应用
•举例展示72度角的等腰三角形边长关系在实际问题中的应用情景
•比如建筑设计、地理测量等领域
6. 结语
•总结文章内容，强调该边长关系的价值和启示
•鼓励读者进一步研究和应用相关知识
注：本文假设读者具备基本的三角函数和几何知识，如果对这些概念不熟悉，请参考相关教材或学习资源进行补充。

初一数学与三角形有关的角试题

初一数学与三角形有关的角试题1.一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角．【答案】，【解析】本题主要考查了三角形内角和. 根据三角形内角和是180°即可解决问题．解：如果一个三角形中出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于180°，不符合三角形内角和是180°，如果一个三角形中出现2个或3个直角，再加上第三个角，那么三角形的内角和就大于180°，也不符合三角形内角和是180°，所以，三角形中最多有一个钝角或直角，最少有两个锐角，一个三角形中最多有3个锐角，如锐角三角形，∴一个三角形最多有1钝角；最多有3个锐角．2.如图，_____．【答案】【解析】本题主要考查三角形的内角和定理. 连接∠2和∠4的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．解：连接∠2和∠4的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．3.如图，已知折线，且．说明：．【答案】证明见解析【解析】本题考查的是三角形内角和定理.根据三角形内角和定理和平行线的判定求证解：连结BD在△BDC中，∠BDC+∠DBC+∠C=180°∵∴∠ABD+∠EDB =180°∴4.在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则∠C等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】C【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理.依据三角形内角和定理得，∠C+∠C+∠C=180°，解得∠C=90°5.一个三角形的内角中，至少有（）A．一个钝角B．一个直角C．一个锐角D．两个锐角【答案】D【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理. 根据三角形的内角和等于180°，而直角与钝角都不小于90°，所以最多只能有一个，所以至少有两个锐角．解：∵三角形的内角和等于180°，∴直角或钝角至多有一个，∴锐角至少有两个．故选D．6.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（）A100° B.180° C.360° D.无法确定【答案】C【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理.作如图辅助线，这样把∠1、∠2、∠3、∠4四个角的和转化为两个三角形的内角和，即2×180°=360°故选C7.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 .【答案】300°【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理. 根据三角形的内角和等于180°求解∵∠1+∠2=180°-30°=150°，∠3+∠4=180°-30°=150°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=150°+150°=300°8.如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB 上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数.【答案】120°【解析】本题主要考查了三角形内角和定理.根据三角形内角和等于180°求解解：因为BD，CE分别是AC，AB 上的高，所以∠ADB=∠BEH=90°，所以∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-60°=30°，因此∠BHC=∠BEH+∠ABD=90°+30°=120°9.如图，______．【答案】【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理．运用了三角形的内角和定理计算解：∵∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°．10.已知∠A的两边与∠B的两边互相垂直，若∠A=80º，则∠B的度数是 .【答案】80º或100º【解析】本题主要考查角的概念若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，即可得到结果．两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，∠A=80º，∠B80º或100º。

与三角形有关的角(2)-人教版八年级数学上册教材知识点变式提高培训系列

人教版八年级数学上册教材知识点变式提高培训系列11.2 与三角形有关的角（1）知识点三：表示方位的角方位角是指以南北方向为准，向两边偏的角度大小，即“南偏东 x”“南偏西 x”“北偏东45称为西北方向。

x”“北偏西 x”，我们通常把南偏东45称为东南方向，北偏西【例题3】如图所示，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是多少度？【练习】1.如图所示，有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C，在北偏东15°方向上，试求∠ABC内角的度数．知识点四：三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.(2)三角形外角的特点：∠顶点在三角形的一个顶点上；∠一条边是三角形的一边；∠另一条边是三角形某条边的延长线.(3)三角形的外角性质：∠三角形的外角和为360°.∠三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.∠三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【例题1】1．如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．140°2．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【练习】1．在∠ABC 中，∠A=35°，∠B=72°，则与∠C 相邻的外角为．2．如图，在∠ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，点F 在BC 的延长线上，DE∠BC ，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．3．在∠ABC 中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B 相邻的外角的度数为．4．在∠ABC 中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B 相邻的外角的度数为．附解析：知识点三：表示方位的角方位角是指以南北方向为准，向两边偏的角度大小，即“南偏东 x ”“南偏西x ”“北偏东 x ”“北偏西 x ”，我们通常把南偏东 45称为东南方向，北偏西 45称为西北方向。

72与三角形有关的角-721三角形的内角教案人教新课标七年级下

7.2与三角形有关的角
7.2.1三角形的内角
教学目标
1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理
2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
重点：三角形内角和定理
难点：三角形内角和定理的推理的过程
课前准备
每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形
教学过程
一、做一做
1在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码
2 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD ∠的度数，可得到
180=∠+∠+∠ACB B A
3 剪下A ∠，按图（2）拼在一起，从而还可得到
180=∠+∠+∠ACB B A
图2
4 把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量MAN ∠的度数，会得到什么结果。

二想一想
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？已知ABC ∆，说明
180=∠+∠+∠C B A ，你有几种方法？结合图（1）、图（2）、图（3）
能不能用图（4）也可以说明这个结论成立
二、例题如图，C 岛在A 岛的北偏东 50方向，B 岛在A 岛的北偏东
80方向，C 岛在B 岛
的北偏西 40方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角ACB 是多少度？
练习：课本P80，练习1，2
作业：P81
1，2，3，4，5
补充练习
1 三角形中最大的角是 70，那么这个三角形是锐角三角形（）
2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（）
3 一个等腰三角形一定是锐角三角形（）
4 一个三角形最少有一个角不大于 60（）。

人教版八年级上册数学与三角形有关的角含答案

11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°. （法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°. 所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=1∠ACB=34°．2∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（∠B－∠A）．（2）∠DCE=126．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。

与三角形有关的角

第2讲与三角形有关的角一、知识重点1．三角形内角和定理(1）定理：三角形三个内角的和等于180°.(2）证明方法：(3)理解与延伸:因为三角形内角和为180°,所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．（4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理,应用非常广泛．【例1】填空：（1)在△AB C中，若∠A＝80°,∠C＝20°,则∠B＝__________°;(2）若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；（3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5,则∠B＝__________°，∠C＝__________°.2．直角三角形的性质与判定(1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示,在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°。

【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（)．A．43°B．47°C．30°D．60°。

答案：B(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°,即△ABC是直角三角形．【例2－2】如图所示，AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于点E，F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．（2）特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角,这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.4。

7.2与三角形有关的角习题精选

与三角形有关的角习题精选（一）一、选择题1．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（）A.45B.60C.30D.12．下列命题中，不正确的为（）A．钝角三角形是斜三角形B．在一个三角形中至多有一个内角不小于60C．三角形的没有公共顶点的两个外角的和大于平角D．三角形的外角中，最小的一个是钝角，那它一定是锐角三角形3．以下命题正确的是：（）A.三角形三个外角的和是360B．三角形一个外角大于它的两个内角的和C.三角形的外角都不大于90D．三角形中的内角没有大于120的4．下列说法正确的是（）A.一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C.一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形5．三角形的三个外角中，钝角的个数最少是：（）A．3 B．2 C．1 D．0∆中，AD是BC边上中线，AE是BD边的中线，AF是DC边的中线，且AB<AC，则下列6．如图，ABC结论中错误的是：（）∠∠∠∠A．1>2>3>CB．BE=ED=DF=FC∠∠∠∠C．1>4+5+CD．AE=AF7．锐角三角形中，两个锐角的和必大于（）A．120 B．110 C．100 D．908．如图，在△ADE中，引线段EB与EC，下列各等式中，正确的是（）A．A+1+7=D+3+6∠∠∠∠∠∠B．1+5=2+7∠∠∠∠C．6+A=2+7∠∠∠∠D．A+5+7=2+8+6∠∠∠∠∠∠9．若一个三角形的三个外角的度数之比为2:3:4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A．4:3:2 B．3:2:4C．5:3:1 D．3:1:510．如图，已知1=60,A+B+C+D+E+F∠∠∠∠∠∠∠（）A．360 B．540。

C．240 D．280。

11．a , b ,c 是ABC ∆的三边长，且22(a b)(b c)+=+，则ABC ∆一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．钝角三角形12．已知等腰三角形周长为20，则腰长x 的范围是（） A ．0<x<10 B ．5<x<10 C ．0<x<5 D ．0<x<20 二、填空题13．在ABC ∆中是的2倍，比还大12，则这个三角形是_________三角形。

专题72 三角形中的新定义问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-新定义问题

例题精讲【例1】．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1；（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2；（3）如图，已知cos A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．（3）如图，过B作BD⊥AC于D．在Rt△ABD中，cos A＝＝．设AD＝4k，AB＝5k，则BD＝3k，∴DC＝5k﹣4k＝k．在Rt△BDC中，BC＝＝k，∴sadA＝＝．变式训练【变1-1】．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为4或2．解：∵△ABC是“倍角三角形”，∴分四种情况：当∠A＝2∠B＝90°时，∴∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴AB＝AC＝＝＝2，∴△ABC的面积＝AB•AC＝×2×2＝4；当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得：△ABC的面积为4；当∠B＝2∠C时，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝2∠C，∴∠C＝30°，∠B＝60°，∵BC＝4，∴AB＝BC＝2，AC＝AB＝2，∴△ABC的面积＝AB•AC＝×2×2＝2；当∠C＝2∠B时，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠C＝2∠B，∴∠B＝30°，∠C＝60°，∵BC＝4，∴AC＝BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积＝AB•AC＝×2×2＝2；综上所述：△ABC的面积为4或2，故答案为：4或2．【变1-2】．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD为“奇妙三角形”．（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此证得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；综上得出：∠C的度数为80°或100°．【例2】．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．【解决问题】（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；（2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，∴分两种情况：当∠C﹣∠A＝60°时，∴∠C＝∠A+60°＝95°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；当∠C﹣∠B＝60°时，∵∠A＝35°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，∴2∠B＝85°，∴∠B＝42.5°；综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2，∵△BCD是“准等边三角形”，∴分两种情况：当∠C﹣∠CBD＝60°时，∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，∴BD＝2CD，∵CD2+BC2＝BD2，∴CD2+（1+）2＝（2CD）2，解得：CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BD＝2CD＝；当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴2∠BDC＝150°，∴∠BDC＝75°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE＝DE，BD＝DE，设DE＝BE＝x，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴AE＝DE＝x，∵BE+AE＝AB，∴x+x＝2+2，解得：x＝2，∴BE＝DE＝2，∴BD＝DE＝2；综上所述：BD的长为或2．变式训练【变2-1】．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此时AC的长为3．解：如图，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝90°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝3，BP＝AP＝3，∵AF、BE是中线，∴AE＝CE，点P为△ABC的重心，∴PE＝BP＝，在Rt△APE中，AE＝＝，∴AC＝2AE＝3．故答案为3．【变2-2】．【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．【理解运用】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；（3）在（2）的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．解：（1）△ABC是半线三角形，理由如下：取BC得中点D，连接AD，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB，∴△ABC是半线三角形．（2）过点A作AN⊥AM交MC于点N，如图，∵MD为△MBC的BC边的半线，∴MD＝BC＝BD＝CD，∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，∴∠BMC＝90°，同理∠BAC＝90°，又∵∠MOB＝∠AOC，∴∠MBA＝∠MCA，∵∠MAN＝∠BAC＝90°，∴∠MAB＝∠NAC．∵AB＝AC，∴△MAB≌△NAC（ASA），∴AM＝AN，又∵∠MAN＝90°，∴∠AMC＝∠ANM＝45°．（3）由题意可知，BC＝2MD＝3，由（2）知△MAB≌△NAC（ASA），∴MB＝NC，AM＝AN＝1，∴MN＝，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，∴MB2+（+MB）2＝32，解得，MB＝2﹣（负值舍去）．故MB的值为2﹣．1．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为42°或84°或92°．解：①42°角是α，则友好角度数为42°；②42°角是β，则α＝2β＝84°，∴友好角α＝84°；③42°角既不是α也不是β，则α+β+42°＝180°，所以，α+α+42°＝180°，解得α＝92°，综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．故答案为：42°或84°或92°．2．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°．解：由题意得：①当60°的角为“奇妙角”时，有另一个角为30°，∴第三个内角为180°﹣60°﹣30°＝90°；②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2，有∠1+∠2+60°＝180°，即2∠2+∠2＝120°，解得：∠2＝40°，故∠1＝80°．综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°．故答案为：30°，90°或40°，80°．3．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为4或．解：在Rt△ABC中，∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，若PB＝PA，连接PA，设PC＝x，则PA＝PB＝8﹣x，在Rt△PAC中，∵PA2＝CP2+AC2，∴（8﹣x）2＝x2+62，∴x＝，即PC＝，若PB＝PC，则PC＝4，若PA＝PC，由图知，在Rt△PAC中，不可能，故PC的长为：4或．故答案是：4或．4．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形ABC的每条边上各取一点D，E，F，△DEF称为△ABC的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC上的动点，AB＝AC＝5，BC＝6，则△DEF周长的最小值为．解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝CE＝3，∴AE＝＝4，∵CD⊥AB，BF⊥AC∴DE＝EF＝BC＝3，＝AC•BF＝BC•AE，∵S△ABC∴BF＝，∴CF＝＝，∴AF＝，∵△ADF∽△ABC，∴＝，∴DF＝，∴△DEF的周长的最小值＝3+3+＝．故答案为：．5．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB ＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1．（2）sad90°＝．（3）如图②，已知sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．解：（1）sad60°＝1；（2）sad90°＝；（3）设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a，在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，如图所示：则DE＝AD•sin A＝4a•＝，AE＝AD•cos A＝4a•＝，CE＝4a﹣＝，a，∴sadA＝．6．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断△DAB与△EBC是否相似：是（填“是”或“否”）；（2）如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线的长为和．解：（1）是，故答案为：是；（2）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y＝2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x＝（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．故答案为：和．7．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．动手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB 的度数．解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD为角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝50°+65°＝115°，当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，∴∠ACB＝，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x+50°＝x，解得，x＝，∴∠ACD＝180°﹣2x＝，∴∠ACB＝，综上所述：∠ACB的度数为100°或115°或或．8．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假（填“真”或“假”）命题．（2）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程.（1）解：在类勾股△ABC中，ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：b2+a2＝c2，∴ab+a2＝b2+a2，∴a＝b，∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，故答案为：假；（2）解：∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°；（3）证明：∵AD＝CD，∴∠ACD+∠A，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CE⊥AB，∴DE＝BE＝（c﹣a），∴AE＝AD+DE＝a+（c﹣a）＝（a+c），在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝b2﹣[（c+a）]2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2＝a2﹣[（c﹣a）]2，∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．9．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．解：（1）若∠A＝90°，，则△ABC的正度为，故答案为：；（2）用尺规作出等腰△ACD，如图1，作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．∵△ACD的正度是，∴，∴，∴．在Rt△ADE中，设AD＝x，AE＝x，∴．∴DE＝AE．∴△ADE是等腰直角三角形．∴∠A＝45°．（3）存在点D，使△ACD具有正度．∵△ABC的正度为，△ABC的周长为22，∴．设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．∵△ABC的周长为22，∴3x+5x+3x＝22．∴x＝2．∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，∴AH＝．①当AD＝DC时，如图2所示，设AD＝DC＝y，则HD＝5﹣y，由AH2+HD2＝AD2，得11+（5﹣y）2＝y2．解得y＝，即AD＝．∴△ACD的正度为．②当AC＝DC＝6时，如图3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，∴DA＝．∴△ACD的正度为．综上所述，△ACD的正度为或．10．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填写序号）．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．（1）解：若顶角是30°的等腰三角形，∴两个底角分别为75°，75°，∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三个角分别为45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一个是30°的直角三角形，∴另两个角分别为60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案为：②③；（2）①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如图，若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．11．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S N．①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映S n﹣1，S n，S n+1之间关系的等式．（不必证明）解：（1）如图：割线CD就是所求的线段．理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB．（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为，∴S n＝．当n＝5时，S5＝≈9.77，当n＝6时，S6＝≈2.44，当n＝7时，S7＝≈0.61，∴当n＝6时，2＜S6＜3．②S n2＝S n﹣1×S n+1．12．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；（2）△ABC中，BC＝7，，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD 的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．解：（1）如图1，斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD'的垂足D'均为AB边长的“好点”．（2）如图2，作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tan B＝，∴设AE＝3a，BE＝4a，tan C＝，∴CE＝AE＝3a，∴3a+4a＝7，∴a＝1，∴AE＝CE＝3，BE＝4，∴AB＝5，设BD＝x，∴DE＝|4﹣x|，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＝DE2+AE2＝（4﹣x）2+32，∵点D是BC边上的“好点”，∴AD2＝BD•CD＝x•（7﹣x），∴x•（7﹣x）＝（4﹣x）2+32，∴x1＝5，x2＝，即BD＝5或．（3）如图3，①证明：∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•HD，∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴CH•HD＝AH•BH，∴BH2＝AH•BH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②连接AD，设OH＝a，则OA＝3a，由①知，OH⊥AB，又∵OH∥BD，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴OA＝OD＝3a，在Rt△AOH中，由勾股定理得，AH＝，∵AH＝BH＝，OA＝OD，∴BD＝2a，在Rt△BDH中，由勾股定理得，DH＝＝，由BH2＝CH•DH得：，∴CH＝，∴．13．定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．（1）如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；（2）如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．（1）解：如图3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝75°，∵EF∥CB，∴∠AEF＝75°，∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，∴∠AEF＝∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；（2）①证明：如图4中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∵CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，∵DB＝DC，∴DF＝DB＝DC，∴DF＝DB＝DE＝DC，∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∴DF，DE关于BC满足光学性质，∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝30°，∴∠DEF＝∠EDC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∴FE，DE关于AC满足光学性质，EF，DF关于AB满足光学性质，∴△DEF是为△ABC的光线三角形；②证明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，∴△DFE是顶角为120°，腰长为BC的一半的等腰三角形，∴△DEF是唯一确定的，∴△ABC的光线三角形是唯一的．14．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E 均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；（2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AG＝AH，∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AM平分∠BME．（3）∠B+∠C＝180°，理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△ADP为等边三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAP，在△BAD和△CAP中，，∴△BAD≌△CAP（SAS），∴∠B＝∠ACP，∵∠ACD+∠ACP＝180°，∴∠B+∠ACD＝180°．15．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．（1）定义应用如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为45°或72°；（2）性质探索小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出结论：如图1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB+AC）．下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法．已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求证：BC2＝AC（AB+AC）．证明：如图2，延长CA到D，使得AD＝AB，连接BD．∴∠D＝∠ABD，AB+AC＝AD+AC＝CD∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴∴BC2＝AC•CD∴BC2＝AC（AB+AC）根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：已知：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求证：BC2＝AC（AB+AC）．（3）性质应用已知：如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，则AC＝8；（4）拓展应用已知：如图4，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB的长．（1）解：当等腰三角形的内角分别为x，x，2x时，4x＝180°，解得x＝45°，当等腰三角形的内角分别为x，2x，2x时，5x＝180°，解得x＝36°，2x＝72°，∴底角的度数为45°或72°，故答案为45°或72°；（2）如图1，作AD平分∠BAC，交BC于D，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠BAD，∵∠BAC＝2∠B，∴∠ABC＝∠DAC＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠ABC＝∠DAC，∠ACD＝∠ACB，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝BC•CD，AC•AB＝BC•AD＝BC•BD，∴AC2+AC•AB＝BC•CD+BC•BD＝BC•（BD+CD），∴BC2＝AC（AC+AB）．（3）由性质探索可知：AB2＝AC（BC+AC），∴AC2+10AC﹣144＝0，解得AC＝8或﹣18（舍弃）．故答案为8；（4）如图3，作∠CBD＝∠A，交AC于点D，则∠ABD＝2∠A，∴△ABD是2倍角三角形．∴AD2＝BD（BD+AB），∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠A，∴∠BDC＝∠ABC＝3∠A，又∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴，∴CD＝，，∴AD＝AC﹣CD＝，设BD＝2x，则AB＝3x，∴（）2＝2x（2x+3x），∴x＝或x＝﹣（不合题意舍去），∴AB＝3x＝．16．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2，0），B（0，4），C（1，2），D（4，1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是A、B，“和谐距离”是2；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，直线y＝−x+b与x轴、y轴分别交于点H、G，点Q是线段HG上一点，若存在△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，直接写出b的取值范围．解：（1）根据题意得，当A（2，0），B（0，4）与原点O构成三角形时，AB边上的中线等于AB边的一半，即点A、B能与点O组成“和谐三角形”，∵AB＝＝2，∴“和谐距离”是，故答案为：A、B，；（2）根据题意作图如下：以BD为直径，线段BD的中点为圆心，过圆心作x轴的平行线交圆于点E和点E'，点E和E'在图中位置时为t的临界值，∵BD＝＝5，A（2，0），∴点E的横坐标为2﹣＝﹣，点E'的横坐标为+2＝，∴﹣；（3）当PQ为和谐边时，∠POQ＝90°，∵“和谐距离”是2，设PQ的中点为F，∴OF＝2，PQ＝4，∴OQ＝＝2，∴点Q在以O为圆心，2为半径的圆上，∵直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于点H、G，∴当直线GH与点Q所在的圆相切于点Q时，b取最值，∴GH＝2OQ＝4，∴OG＝OH＝4×sin45°＝2，当点Q在y轴上时，即点G处时，|b|＝2，∴b的取值范围是：2≤b≤2或﹣2≤b≤﹣2；当OQ为和谐边时，∠OPQ＝90°，∵“和谐距离”是2，设PQ的中点为F'，则点Q在以O为圆心，4为半径的圆上，即OQ＝4，当直线GH与该圆相切时，GH＝8，∴OG＝8×sin45°＝4，当点Q在y轴上时，即点G处时，|b|＝4，∴b的取值范围是：4≤b≤4或﹣4≤b≤﹣4；当OQ为和谐边时，∠OQP＝90°，∵OP＝2，∴OP边上的中线不可能是2，即“和谐距离”不为2，不符合题意；综上，b的取值范围为：2≤b≤2或﹣2≤b≤﹣2或4≤b≤4或﹣4≤b≤﹣4．17．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC ＝，则BD长为2，∠B的度数为45°．（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF ＝90°，AE交BC于点D，连结EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC 的智慧线．（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝．若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面积．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵CD＝1，AC＝，∴AD＝＝＝2，∵△ABC是智慧三角形，∴△ADB是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝2，∠B＝45°，故答案为：2，45°（2）证明：如图2中，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝135°，∴∠EBD＝90°，∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形，∵△EDB是直角三角形，∴△BEC是智慧三角形；（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是智慧三角形．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝2，∴AH＝＝＝，＝•BC•AH＝•AB•CD，∵S△ABC∴CD＝＝4，∴AD＝＝＝3，＝•BD•CD＝×8×4＝16，∴S△BCD∵∠ACD′＝90°，∠ADC＝∠CDD′＝90°，∴∠ACD+∠DCD′＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠DCD′，∴△ADC∽△CDD′，∴＝，∴＝，∴DD′＝，∴BD′＝BD+DD′＝8+＝，∴S＝××4＝，△CBD′解法二：设CD′＝x，DD′＝y，则有，解得，＝××4＝，可得S△CBD′综上所述，满足条件的△BCD的面积为16或．18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三＝S△BCD．角形”，并且S△ACD应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE ＝BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的，求出△ABC的面积．应用：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE＝OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝3，∴S△AOE∵△AOB与△AOE是友好三角形，＝S△AOE，∴S△AOB∵△AOE≌△FOB，＝S△FOB，∴S△AOE＝S△ABF，∴S△AOD＝S矩形ABCD﹣2S△ABF＝4×6﹣2××4×3＝12．∴S四边形CDOF探究：解：分为两种情况：①如图1，＝S△BCD．∵S△ACD∴AD＝BD＝AB＝4，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD＝A′D＝AB＝×8＝4，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，∴S△DOC∴DO＝OB，A′O＝CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC＝A′D＝4，过B作BM⊥AC于M，∵AB＝8，∠BAC＝30°，∴BM＝AB＝4＝BC，即C和M重合，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC＝＝4，∴△ABC的面积是×BC×AC＝×4×4＝8；②如图2，＝S△BCD．∵S△ACD∴AD＝BD＝AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD＝A′D＝AB＝×8＝4，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，∴S△DOC∴DO＝OA′，BO＝CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C＝BD＝4，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C＝4，∠DA′C＝∠BAC＝30°，∴CQ＝A′C＝2，＝2S△ADC＝2S△A′DC＝2××A′D×CQ＝2××4×2＝8；∴S△ABC即△ABC的面积是8或8．19．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝20°；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的长．解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝4，则BC＝5，则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，则CE＝4﹣＝；（3）①如图2所示，连接DE，当∠ACB+2∠DBC＝90°时，又∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠DBC＝β，∴AD＝DE，∵BD是直径，∴∠BAD＝∠BED＝90°，∴∠ADB＝∠BDE，∴AB＝BE，∴BD垂直平分AE，∴BF＝＝＝4，∵∠DAE＝∠DBE＝∠ABD，∠AFD＝∠AFB＝90°，∴△ADF∽△BAF，∴＝，∴＝，∴AD＝；②如图3所示，当2∠C+∠DBC＝90°时，又∵∠DBC+∠C+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C＝β，过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，∴AE＝AB＝5，∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝＝2k，∵AG＝3k，GH＝k，∴AH＝4k，∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，∴∠C＝∠BAH，∴tan C＝tan∠BAH＝tan∠ABD＝＝，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长为或．20．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN 是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝4，b＝4；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝20；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF 的长．解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，则PA＝PB＝c＝4，∵M、N分别为CB、CA的中点，∴MN＝AB＝2，MN∥AB，∴△APB∽△MPN，∴＝＝＝，∴PM＝PN＝2，∴BM＝＝2，∴a＝2BM＝4，同理：b＝2AN＝4，如图2，连接MN，在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，∴PB＝c＝1，∴PA＝＝，∴PN＝，PM＝，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝，b＝，∴a2+b2＝20，故答案为：4；4；20；（2）a2+b2＝5c2，理由如下：如图3，连接MN，设PN＝x，PM＝y，则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝2，b＝2，∴a2+b2＝20（x2+y2），∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），∴a2+b2＝5c2；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AHP∽△BHF，∴＝＝1，∴AP＝BF，∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，∴AE＝BF＝，∴PE＝FC，∴四边形PFCE为平行四边形，∵BE⊥CE，∴BG⊥FH，∵AE∥BF，AE＝BF，∴AG＝GF，∴△ABF为“中垂三角形”，∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（）2，解得：AF＝4．21．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°．（2）如图1，在▱ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍．①求证：∠C＝60°．②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数．解：（1）∵Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°，∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°，故答案为45°，45°或30°，60°．（2）如图1中，∵平行四边形ABCD中，∠C＝72°，∴∠D＝108°，由翻折可知：∠EFB＝72°，∵BF⊥AD，∴∠EFD＝18°，∴∠DEF＝54°，∴∠DEF＝∠D，即△DEF是半角三角形．（2）①如图2中，连接AN．∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B，∴△CMN∽△CBA，∴（）2＝，即＝，在Rt△ACN中，sin∠CAN＝＝，∴∠CAN＝30°，∴∠C＝60°．②∵△ABC是半角三角形，∠C＝60°，∴∠B＝30°或40°或80°或90°．22．定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，△ABC中，AD＝AD，AB＝AC，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD是邻等三角形．（1）如图2，⊙O中，点D是的中点，那么请判断△ABD与△ACD是否为邻等三角形，并说明理由．（2）如图3，以点A（2，2）为圆心，OA为半径的⊙A交x轴于点B（4，0），△OBC 是⊙A的内接三角形，∠COB＝30°．①求∠C的度数和OC的长；②点P在⊙A上，若△OCP与△OBC是邻等三角形时，请直接写出点P的坐标．解：（1）△ABD与△ACD是邻等三角形，理由如下：∵点D是的中点，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ABD与△ACD是邻等三角形．（2）①如图2，作AH⊥OB，连接AO，AB，∵OA＝OB，∴OH＝BH，∵点A的坐标是（2，2），∴AH＝OH＝BH＝2，∴∠OAB＝90°，∴∠C＝∠OAB＝45°，作BK⊥OC，在Rt△BOK中，OB＝4，∠BOK＝30°，∴BK＝2，OK＝2，在Rt△BKC中，∠C＝45°，。

[初二数学第2讲与三角形有关的角]讲义教师版

与三角形有关的角1.掌握三角形的内角及内角和、外角及外角和的性质，并能够进行相关的计算；2.掌握直角三角形的各个角的特点，并能够进行相关的角度计算；3.掌握折叠的规律，并能够在几何计算中熟练应用；4.会根据角的特点判断三角形的形状.1.三角形中，角的度数的综合计算问题；2.三角形形状的判断；3.几何找规律问题的理解.三角形的内角及其内角和1、三角形内角的概念三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．2、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．3、三角形内角和定理的证明证明方法不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中一般需要借助平行线．4、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．（1）直接根据两已知角求第三个角；（2）依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角.例1.如图，△ABC中，△A=60°，△B=40°，则△C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B【解析】解：由三角形内角和定理得，△C=180°﹣△A﹣△B=80°，故选：B．练习1.已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝____，∠C＝____.【答案】90°；50°【解析】解：由∠B－∠C＝40°得∠B＝40°＋∠C.根据三角形内角和是180°，列出等式∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋40°＋∠C＋∠C＝180°，把∠A＝40°代入，求得∠C＝50°，进而求得∠B＝90°.练习2.在△ABC中，△A+△B=134°，△B+△C=136°，则△ABC的形状是（）【答案】B【解析】解：△在△ABC中，△A+△B=134°，△B+△C=136°，△△A+△B+△B+△C=134°+136°=270°△，△△A+△B+△C=180° △，△﹣△得，△B=90°，△△ABC的形状是直角三角形，故选：B．已知一个三角形其中某两个角或者某一个角及其另外两个角的关系即可利用三角形内角和等于180°求解各个角的具体度数，其核心思想是三角形内角和等于180°为求解角度提供了一个等量关系.例2.一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，△这个三角形一定是直角三角形，故选：B．练习1.在△ABC中，△A，△B，△C的度数之比为2：3：4，则△B的度数为（）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【解析】解：△△A：△B：△C=2：3：4，△设△A=2x，△B=3x，△C=4x，△△A+△B+△C=180°，△2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，△△B的度数为：60°．故选C．练习2.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【答案】A【解析】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选A．已知三角形三个内角之间的比例关系，即可设出三个内角的度数（用未知数表示），体现了“见比设参”的思想，再利用三角形内角和等于180°，即可解出相应的未知数，从而求出各个内角的具体度数.例3.下列说法正确的是（）A．三角形的内角中最多有一个锐角B．三角形的内角中最多有两个锐角C．三角形的内角中最多有一个直角D．三角形的内角都大于60°【答案】C【解析】解：A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误；B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误；C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确；D、若三角形的内角都大于60°，则三个内角的和大于180°，这样的三角形不存在，故本选项错误．故选C．练习1.任何一个三角形的三个内角中至少有（）A．一个角大于60°B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角【答案】B【解析】解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除A；三个内角可以都是锐角，排除C和D；三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．故选B．考查三角形各个内角的特点及限定，需要根据三角形内角和对三个内角之间的影响进行分析推理，重点考查分析推理能力.三角形的外角及其外角和1、三角形外角的定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．在计算三角形外角和时，只计算其中的三个，即每个顶点取一个.2、三角形的外角性质（1）三角形的外角和为360°．（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质（2）将它们转化到一个三角形中去．4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质（3），先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．例1.如图所示，在△ABC中，下列说法正确的是（）A．△ADB＞△ADE B．△ADB＞△1+△2+△3C．△ADB＞△1+△2D．以上都对【答案】C【解析】解：A错误，△ADB+△ADE=180°，无法判断其大小关系；B错误，△ADB=△1+△2+△3；C正确，△△ADB=△1+△2+△3，△ADB＞△1+△2；D错误．故选C．练习1.下列图形中一定能说明△1＞△2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A中△1=△2，故错误；B中△1和△2的关系不能确定，故错误；C中△1＞△2，故正确；D中△1和△2的关系不能确定，故错误；故选：C．练习2.已知△2是△ABC的一个外角，那么△2与△B+△1的大小关系是（）A．△2＞△B+△1B．△2=△B+△1C．△2＜△B+△1D．无法确定【答案】A【解析】解：△△2＞△ADC，△ADC=△B+△1，△△2＞△B+△1，故选A．在判断角的不等关系时，常会用到“三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角”这一性质.例2.知，如图，△ABC中，△B=△DAC，则△BAC和△ADC的关系是（）A．△BAC＜△ADC B．△BAC=△ADC C．△BAC＞△ADC D．不能确定【答案】B【解析】解：由三角形的外角性质，△ADC=△B+△BAD，△△BAC=△BAD+△DAC，△B=△DAC，△△BAC=△ADC．故选B．练习1.如图，在△ABC中△A=80°．点D是BC延长线上一点，△ACD=150°，则△B=（）A．60°B．50°C．70°D．165°【答案】C【解析】解：由三角形的外角的性质可知，△B=△ACD﹣△A=70°，故选：C．练习2.如图，在△ABC中，AB=AC，△A=140°，延长BC至点D，则△ACD等于（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】D【解析】解：△AB=AC，△A=140°，△△B=△ACB=（180°﹣140°）=20°，△△ACD=180°﹣△ACB=180°﹣20°=160°．故选D．在三角形中“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质是计算角的度数中比较常用的一个典型知识，只要三角形中有外角出现，都有可能会用到这一性质.例3.如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】B【解析】解：△三角形三个外角度数之比是3：4：5，设三个外角分别是α，β，γ，则α=360°×=90°，△此三角形一定是直角三角形．故选：B．练习1.如果一个三角形的三个外角的度数之比是2：3：4，那么与之对应的三个内角的度数之比是（）A．1：3：5B．2：3：4 C．4：3：2D．5：3：1【答案】D【解析】解：设三个外角的度数分别是2x°，3x°，4x°，由题意得：2x+3x+4x=360，解得：x=40，则2x=80，3x=120，4x=160，故三个内角分别为：100°，60°，20°，而100°：60°：20°=5：3：1，故选：D．练习2.如图所示：△1=110°，△2=125°，那么△3=（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】A【解析】解：根据三角形的外角和可得，∠3的邻补角等于125°，所以∠3=55°，故选A.在三角形的角度计算中，如果涉及到的外角比较多时，常会考虑用“三角形的外角和等于360°”这一性质.直角三角形的性质1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．2、在直角三角形中，两个锐角互余．注：在进行角度的计算时，直角三角形锐角互余的性质也是一个常用的倒角方法.反之，我们也常用“两锐角互余”的性质来判定一个三角形是否是直角三角形.3、目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同时两个三角板的四个锐角的度数是固定的，分别为：45°、45°、30°、60°，在三角板中的角度计算类问题中要将以上度数当成已知度数来使用.例1.在Rt△ABC中，△C=90°，△A﹣△B=70°，则△A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解析】解：△△C=90°，△△A+△B=90°，又△A﹣△B=70°，△△A=（90°+70°）=80°．故选A．练习1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，△C=50°，求△BHD．【答案】解：△AD是△ABC的高，△△BHD+△HBD=90°，△BE是△ABC的高，△△HBD+△C=90°，△△BHD=△C，△△C=50°，△△BHD=50°．练习2.如图，在△ABC中，△BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E、F，则图中与△C（△C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：△AD是斜边BC上的高，DE△AC，DF△AB，△△C+△B=90°，△BDF+△B=90°，△BAD+△B=90°，△△C=△BDF=△BAD，△△DAC+△C=90°，△DAC+△ADE=90°，△△C=△ADE，△图中与△C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．在进行角度的计算时，直角三角形锐角互余的性质也是一个常用的倒角方法.例2.在下列条件中，△△A+△B=△C；△△A：△B：△C=1：2：3；△△A=△B=△C；△△A=△B=2△C；△△A=2△B=3△C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：△、△△A+△B=△C=90°，△△ABC是直角三角形，故小题正确；△、△△A：△B：△C=1：2：3，△△A=30°，△B=60°，△C=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；△、设△A=x，△B=2x，△C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故3x=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；△△设△C=x，则△A=△B=2x，△2x+2x+x=180°，解得x=36°，△2x=72°，故本小题错误；△△A=2△B=3△C，△△A+△B+△C=△A+△A+A=180°，△△A=°，故本小题错误．综上所述，是直角三角形的是△△△共3个．故选B．练习1.给定下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．△A=△B=2△C B．△A+△B=△CC．△A：△B：△C=1：4：5D．△A=37°，△B=53°【答案】A【解析】解：A、△△A=△B=2△C，△A+△B+△C=180°，△△A=△B=72°，△C=36°，△此时△ABC为锐角三角形；B、△△A+△B=△C，△A+△B+△C=180°，△△C=90°，△此时△ABC为直角三角形；C、△△A：△B：△C=1：4：5，△A+△B+△C=180°，△△A=18°，△B=72°，△C=90°，△此时△ABC为直角三角形；D、△△A=37°，△B=53°，△A+△B+△C=180°，△△C=90°，△此时△ABC为直角三角形．故选A．判断一个三角形是不是直角三角形的方法很多，就现学的知识而言，主要有：（1）两个内角之和为90°；（2）其中两个内角的和等于第三个内角；（3）其中某一个角等于90°；（4）三个内角的比例关系中，两个内角比例之和等于第三个内角所占的比例等.例3.将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则△α的度数是．【答案】75°【解析】解：△△DAC+△ACB=180°，△AD△BC，△△B=△DAE=30°，△△DEB=△D+△DAE=45°+30°=75°，即△α的度数是75°．故答案为：75°．练习1.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则△α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【答案】A【解析】解：给图中标上△1、△2，如图所示．△△1+45°+90°=180°，△△1=45°，△△1=△2+30°，△△2=15°．又△△2+△α=180°，△△α=165°．故选A．练习2.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则△1的度数为（）A．60°B．75°C．65°D．70°【答案】B【解析】解：△△2=90°﹣45°=45°（直角三角形两锐角互余），△△3=△2=45°，△△1=△3+30°=45°+30°=75°．故选B．目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同时两个三角板的四个锐角的度数是固定的，分别为：45°、45°、30°、60°，在三角板中的角度计算类问题中要将以上度数当成已知度数来使用.三角形倒角计算综合在三角形中计算角的度数是非常重要的一种题型，其中涉及到的知识点主要包括：角平分线的性质、两直线平行的性质、对顶角的性质、邻补角的性质、三角形的外角及其外角和、三角形的内角和等一系列倒角相关的知识，在分析此类几何题时，要首先从这些知识入手.通过倒角，可以计算角的度数，从而判断三角形的形状.折叠问题，也是倒角中常会考到的一个典型知识，其本质特征是：折叠前后的边和角的大小是完全相同的.例1.已知△ABC中，△A=20°，△B=△C，那么三角形△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形【答案】A【解析】解：△△A=20°，△△B=△C=（180°﹣20°）=80°，△三角形△ABC是锐角三角形．故选A．练习1.若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，△2x+7x+4x=180°，△7x≈97°，x=13.85°，7x=97°，△这个三角形是钝角三角形．故选：C．练习2.三角形的外角大于和它相邻的这个内角，这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【答案】D【解析】解：△三角形的一个内角和相邻的外角互补，三角形的外角大于和它相邻的这个内角，△这个三角形是锐角三角形，但是无法确定其他内角大小，故此三角形形状无法确定．故选：D．按照角度的大小来分类，三角形分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种类型.要判断三角形的具体形状，只需要找到三角形中最大的角是哪种类型的角（锐角、直角、钝角）即可.例2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则△A与△1+△2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．△A=△1+△2B．2△A=△1+△2C．3△A=2△1+△2D．3△A=2（△1+△2）【答案】B【解析】解：2△A=△1+△2，理由：△在四边形ADA′E中，△A+△A′+△ADA′+△AEA′=360°，则2△A+180°﹣△2+180°﹣△1=360°，△可得2△A=△1+△2．故选：B．练习1.如图，在△ACB中，△ACB=100°，△A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则△ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】D【解析】解：△△ACB=100°，△A=20°，△△B=60°，由折叠的性质可知，△ACD=△BCD=50°，△△B′DC=△BDC=70°，△△ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°，故选：D．练习2.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分△ABC，A'C平分△ACB，若△BA'C=110°，则△1+△2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】A【解析】解：连接AA′．△A'B平分△ABC，A'C平分△ACB，△BA'C=110°，△△A′BC+△A′CB=70°，△△ABC+△ACB=140°，△△BAC=180°﹣140°=40°，△△1=△DAA′+△DA′A，△2=△EAA′+△EA′A，△△DAA′=△DA′A，△EAA′=△EA′A，△△1+△2=2（△DAA′+△EAA′）=2△BAC=80°，故选A．折叠问题是初中几何中最典型的一种几何变换类型，折叠问题的典型特点是折叠前后的边和角的大小是完全相同的，而本节中只涉及到“折叠前后角的大小相同”这一性质的应用.例3.如图，在△ABC中，△BAC=56°，△ABC=74°，BP、CP分别平分△ABC和△ACB，则△BPC=（）A．102°B．112°C．115°D．118°【答案】D【解析】解：△在△ABC中，△BAC=56°，△ABC=74°，△△ACB=180°﹣△BAC﹣△ABC=50°，△BP、CP分别平分△ABC和△ACB，△△PBC=37°，△PCB=25°，△△BCP中，△P=180°﹣△PBC﹣△PCB=118°，故选：D．练习1.在△ABC中，△B，△C的平分线相交于点P，设△A=x°，用x的代数式表示△BPC的度数，正确的是（）A．B．C．90+2x D．90+x【答案】A【解析】解：△△A=x°，△△ABC+△ACB=180°﹣x°，△△B，△C的平分线相交于点P，△△PBC+△PCB=（180°﹣x°），△△BPC=180°﹣（180°﹣x°）=90°+x°，故选A．练习2.如图，在△ABC中，△A=40°，△B=60°，CD△AB于点D，CE平分△ACD，DF△CE 于点F，则△CDF的度数为（）A．70°B．80°C．85°D．78°【答案】B【解析】解：△△A=40°，△B=60°，△△ACB=180°﹣△A﹣△B=80°，△CE平分△ACB，△△ACE=△ACB=40°，△CD△AB于D，△△CDA=90°，△ACD=180°﹣△A﹣△CDA=50°，△△ECD=△ACD﹣△ACE=10°，△DF△CE，△△CFD=90°，△△CDF=180°﹣△CFD﹣△DCE=80°．故选B．练习3.如图，△ABC=△ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角△EAC、内角△ABC、外角△ACF．以下结论：△AD△BC；△△ACB=2△ADB；△△ADC=90°﹣△ABD；△△BDC=△BAC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：△△AD平分△ABC的外角△EAC，△△EAD=△DAC，△△EAC=△ACB+△ABC，且△ABC=△ACB，△△EAD=△ABC，△AD△BC，故△正确．△由（1）可知AD△BC，△△ADB=△DBC，△BD平分△ABC，△△ABD=△DBC，△△ABC=2△ADB，△△ABC=△ACB，△△ACB=2△ADB，故△正确．△在△ADC中，△ADC+△CAD+△ACD=180°，△CD平分△ABC的外角△ACF，△△ACD=△DCF，△AD△BC，△△ADC=△DCF，△ADB=△DBC，△CAD=△ACB，△△ACD=△ADC，△CAD=△ACB=△ABC=2△ABD，△△ADC+△CAD+△ACD=△ADC+2△ABD+△ADC=2△ADC+2△ABD=180°，△△ADC+△ABD=90°，△△ADC=90°﹣△ABD，故△正确；△△△BAC+△ABC=△ACF，△△BAC+△ABC=△ACF，△△BDC+△DBC=△ACF，△△BAC+△ABC=△BDC+△DBC，△△DBC=△ABC，△△BAC=△BDC，即△BDC=△BAC．故△错误．故选C．三角形中角的度数的计算是本节中的一个重要题型，其中涉及到角的大小的计算问题常会用到的知识有：角平分线的性质、两直线平行的性质、三角形内角和、三角形的外角的性质、三角形的外角和、互余与互补、对顶角的性质等与角的大小相关的性质及定理.较难的题型会涉及到多个知识的结合考查，需要在平时的练习中逐步建立几何分析能力.例4.如图，在△ABC中，△A=m°，△ABC和△ACD的平分线交于点A1，得△A1；△A1BC 和△A1CD的平分线交于点A2，得△A2；…△A2016BC和△A20l6CD的平分线交于点A2017，则△A2017=°．【答案】【解析】解：△A1B平分△ABC，A1C平分△ACD，△△A1BC=△ABC，△A1CA=△ACD，△△A1CD=△A1+△A1BC，即△ACD=△A1+△ABC，△△A1=（△ACD﹣△ABC），△△A+△ABC=△ACD，△△A=△ACD﹣△ABC，△△A1=△A，△A2=△A1=△A，…，以此类推可知△A2017=△A=（）°，故答案为：．练习1.（1）如图1，在△ABC中，点O是△ABC和△ACB平分线的交点，若△A=α，则△BOC=90°+；如图2，△CBO=△ABC，△BCO=△ACB，△A=α，则△BOC=（用α表示）（2）如图3，△CBO=△DBC，△BCO=△ECB，△A=α，请猜想△BOC=（用α表示）．【答案】120°+α 120°﹣α【解析】解：（1）如图2，在△OBC中，△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣（△ABC+△ACB）=180°﹣（180°﹣△A）=120°+△A=120°+α；（2）如图△，在△OBC中，△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣（△DBC+△ECB）=180°﹣（△A+△ACB+△A+ABC）=180°﹣（△A+180°）=120°﹣α；故答案为：120°+α；120°﹣α．练习2.如图，在△ABC中，△A=64°，△ABC与△ACD的平分线交于点A1，则△A1=；△A1BC与△A1CD的平分线相交于点A2，得△A2；…；△A n﹣1BC与△A n﹣1CD的平分线相交于点A n，要使△A n的度数为整数，则n的值最大为．【答案】32°6【解析】解：由三角形的外角性质得，△ACD=△A+△ABC，△A1CD=△A1+△A1BC，△△ABC的平分线与△ACD的平分线交于点A1，△△A1BC=△ABC，△A1CD=△ACD，△△A1+△A1BC=（△A+△ABC）=△A+△A1BC，△△A1=△A=64°=32°；△A1B、A1C分别平分△ABC和△ACD，△△ACD=2△A1CD，△ABC=2△A1BC，而△A1CD=△A1+△A1BC，△ACD=△ABC+△A，△△A=2△A1，△△A1=△A，同理可得△A1=2△A2，△△A2=△A，△△A=2n△A n，△△A n=（）n△A=，△△A n的度数为整数，△n=6．故答案为：32°，6．几何找规律问题，除了要从代数的角度理解数列的变化规律、找到通项公式，还需要能够从几何的角度发现几何图形的变化特点，找到几何变化规律，所以几何规律问题是初中找规律问题的重点，也是难点问题.本节主要的考查重点是与三角形相关的角度计算，其中倒角的常用方法是重中之重，倒角的技巧贯穿在整个初中的几何证明及计算中，是非常重要的几何知识.。

人教版九年级数学专题复习：和三角形有关的角

2020年中考数学人教版专题复习：与三角形有关的角一、学习目标：1. 了解与三角形有关的角（如内角、外角）；2. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°；3. 了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．二、重点、难点：重点：三角形内角和定理的运用和三角形内角与外角的关系．难点：证明的必要性和添加辅助线的方法．三、考点分析：三角形的内角和定理及三角形外角的性质在中考中多以填空题、选择题和计算题的形式出现，有时和其他知识结合在一起考查，一般情况下，题目的难度都不大．知识梳理知识点一：三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°．证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法：（1）如图①，过点A 作DE ∥BC ；（2）如图②，过BC 上任意一点，作DE ∥AC ，DF ∥AB ；（3）如图③，过点C 作射线CD ∥AB ．A BC AB C A B C D E D EF D ①②③知识点二：三角形的外角及其性质三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．ADBC典型例题知识点一：三角形的内角和定理例1.已知一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°思路分析：题意分析：看到题目中出现比例关系时，要想到按比例关系设未知数．解题思路：由于题目中出现比例“1∶5∶6”，我们可设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°，根据三角形内角和定理，三个内角的和为180°，列方程求解即可．解答过程：设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°，根据题意得：x°＋5x°＋6x°＝180°解得x＝15．则最大内角的度数为6x°＝90°．故选C．解题后的思考：出现与三角形的内角有关的题目时，注意题目中隐含着一个相等关系——三角形三个内角的和为180°．例2.如图所示，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．AB CD思路分析：题意分析：本题考查三角形内角和定理的应用．解题思路：由∠ADB 与∠ADC 互补可先求出∠ADB ，再根据三角形内角和定理在△ABD 中求出∠B ，在△ABC 中求出∠C ．解答过程：（1）因为∠ADC ＝80°，所以∠ADB ＝180°－∠ADC ＝100°．在△ABD 中，∠B ＋∠BAD ＋∠ADB ＝180°，则∠B ＝∠BAD ＝12（180°－∠ADB ）＝40°．（2）在△ABC 中，因为∠BAC ＝70°，所以∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝70°．解题后的思考：解答这类问题时注意角的多重属性（即属于一个三角形的内角还属于另一个三角形的内角）．例3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝40°，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，求∠DAE 的度数．AB CE思路分析：题意分析：此题综合考查了三角形的内角和定理、三角形角平分线和高的定义以及直角三角形两个锐角互余等知识．解答过程：因为AE 平分∠BAC ，∠B ＝60°，∠C ＝40°，所以∠CAE ＝12∠BAC ＝12（180°－∠B －∠C ）＝40°．又因为AD 是BC 边上的高，所以∠C ＋∠DAC ＝90°，所以∠DAC ＝90°－∠C ＝50°，所以∠DAE ＝∠DAC －∠CAE ＝10°．解题后的思考：通过本例题可以得出一个重要结论：从三角形一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另两个角的差的一半．例4. 如图所示，已知在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B 与∠C 的角平分线相交于点D ．求∠BDC 的度数．AB C D思路分析：题意分析：本题综合考查三角形内角和定理、三角形角平分线的性质．解题思路：要求∠BDC 的度数，需要利用三角形的内角和定理，设法沟通已知和未知的关系．解答过程：如图所示，在△BDC 中，∠BDC ＝180°－（∠DBC ＋∠DCB ）．因为∠DBC ＝12∠ABC ，∠DCB ＝12∠ACB ，所以∠DBC ＋∠DCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）．在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝180°－60°＝120°，所以∠DBC ＋∠DCB ＝12×120°＝60°．所以∠BDC ＝180°－（∠DBC ＋∠DCB ）＝180°－60°＝120°．解题后的思考：在三角形中，两内角的平分线相交构成的钝角等于90°加上第三个角的一半，即∠BDC ＝90°＋12∠A ．小结：三角形内角和等于180°，揭示了三角形三个内角之间的关系，同时为求角的问题提供了一个应用的平台，灵活而有技巧性地运用它，可以解决很多问题．知识点二：三角形的外角例5. 如图所示，△ABC 中，∠A ＝90°，∠D 是∠B 、∠C 的外角平分线的夹角，求∠D 的度数．ABCD EF 1234思路分析：题意分析：可用邻补角的性质解答．解题思路：要求∠D 的度数，只需要知道∠3＋∠4的度数，因为∠3、∠4不可能分别求出，故应将∠3＋∠4视为一个整体进行整体求值．解答过程：因为BD 和CD 分别是∠CBE 和∠BCF 的角平分线，所以2∠3＋∠1＝180°，2∠4＋∠2＝180°，又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠3＋∠4＝135°．所以∠D ＝180°－135°＝45°．解题后的思考：本题还可以应用三角形的外角性质来解答．例6. 如图所示，∠C ＝48°，∠E ＝25°，∠BDF ＝140°，求∠A 与∠EFD 的度数．ABC DE F思路分析：题意分析：∠BDF是△BCD的外角，也是△DEF的外角，无论运用哪种关系都可以求解．解题思路：由∠BDF是△BCD的一个外角，且∠C已知，可求∠CBD的度数．通过∠CBD是△ABE的外角，可求∠A，通过∠EFD是△ACF的外角可求∠EFD．解答过程：因为∠BDF＝∠C＋∠CBD，∠C＝48°，∠BDF＝140°，所以∠CBD＝92°，因为∠CBD＝∠A＋∠E，∠E＝25°，所以∠A＝67°，∠EFD＝∠A＋∠C＝115°．解题后的思考：求一个角的度数，应该首先弄清这个角在哪个三角形中，是外角还是内角，跟已知的角有什么联系．例7.如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E．求证：∠BAC＞∠B．ABCD E12思路分析：题意分析：解答涉及角的不等关系的问题时，要想到利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的性质．解题思路：要证∠BAC＞∠B，由于∠BAC、∠B在同一三角形中，没有直接的定理可用，必须通过其他的角进行转换．解答过程：在△ACE中，∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）．同理在△BCE中，∠2＞∠B，因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠B．解题后的思考：本题中∠1＝∠2的作用非常关键，它把∠B和∠2的不等关系与∠BAC和∠1的不等关系联系起来了．例8.（1）如图①所示，CD是直角三角形斜边AB上的高，图中有与∠A相等的角吗？为什么？（2）如图②所示，把图①中的CD 平移得到ED ，图中还有与∠A 相等的角吗？为什么？（3）如图③所示，把图①中的CD 平移得到ED ，交BC 的延长线于E ．图中还有与∠A 相等的角吗？为什么？A B C AB CA B C EE ①②③思路分析：题意分析：无论CD 移动到什么位置，与AB 的垂直关系不变．且△ABC 各内角的度数、∠BC （E ）D 的度数保持不变．解题思路：无论高CD 怎样移动，因为∠ACB ＝90°，∠BDC （E ）＝90°，所以总有∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠BC （E ）D ＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A ＝∠BC （E ）D ．解答过程：（1）有∠BCD ＝∠A ．理由：因为∠ACB ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°．因为CD ⊥AB ，所以∠BCD ＋∠B ＝90°，所以∠A ＝∠BCD ．（2）有∠A ＝∠BED ．理由：因为∠ACB ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°．因为DE ⊥AB ，所以∠BED ＋∠B ＝90°，所以∠A ＝∠BED ．（3）有∠BED ＝∠A ．理由：因为∠ACB ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°．因为DE ⊥AB ，所以∠BED ＋∠B ＝90°，所以∠A ＝∠BED ．解题后的思考：当图形中有线段运动时，要从变化中寻找不变量，这是解答此题的关键．小结：在有关三角形角度的计算中“外角等于和它不相邻的两个内角的和”这一性质经常起到桥梁的作用，它把三角形的内角和外角联系起来了．提分技巧和三角形有关的角的度数问题一般有两类：一类是求角的度数，解答这类问题时，通常要综合运用三角形的内角和定理、三角形外角的性质等．另一类是求证角之间的不等关系，解答这类问题时，应该依据“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”这一性质求解．分析解答这两类问题的共同之处是要分清已知角或所求角是哪一个三角形的内角，或是哪一个三角形的外角．同步测试一、选择题1. 在△ABC 中，∠A ＝2∠B ＝80°，则∠C 的度数为（）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°2. 一个三角形的三个内角中至多有（）A . 一个锐角B . 两个锐角C . 一个钝角D . 两个直角3. 如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 等于（）A . 480°B . 360°C . 240°D . 180°A BC D E F4. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 不确定5. 如图所示，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝115°，∠A ＝25°，则∠E ＝（）A . 70°B . 80°C . 90°D . 100° A BC D EF6. 如图所示，已知D 是△ABC 中BC 边上的一点，连接AD ，E 是AD 上的任意一点，连接CE ，则∠ADB 和∠DCE 的大小关系是（）A . ∠ADB ＝∠DCEB . ∠ADB ＞∠DCEC . ∠ADB ＜∠DCED . 大小关系不确定B C D E*7. 如图所示，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 等于（）A . 36°B . 18°C . 72°D . 28°AB C D**8. 如图所示，在直角△ADB 中，∠D ＝90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（）A . 10°B . 20°C . 30°D . 40°ABD C 6x二、填空题9. 如图所示，l 1∥l 2，∠α＝__________度．l 1l 2α25°120°10. 如图所示，用大于号“＞”表示∠A 、∠1、∠2三者的关系是__________．B C 1211. 在△ABC 中，∠A ∶∠B ＝2∶1，∠C ＝60°，那么∠A ＝__________．12. 如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度．40°1234**13. 三角形中至少有一个角不小于__________度．**14. 在△ABC 中，若∠A －∠B ＝50°，最小角为30°，则最大角为__________．三、解答题15. 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ．求∠A 、∠B 、∠C 的度数．16. 如图所示，∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角，试求∠BAF ＋∠CBD ＋∠ACE 的度数．123ABC E FD*17. 如图所示，P 是△ABC 中∠B 的角平分线与△ABC 的外角∠ACE 平分线的交点，则∠A ＝2∠P ，试说明理由．AB C EP18. 已知：如图所示，∠1是△ABC 的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．试说明∠1＞∠2的理由．AB C DE F 12345四、拓广探索19. （1）如图甲所示，在五角星中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．（2）把图乙、丙、丁叫做蜕化的五角星形，问它们的五角之和与五角星形的五角之和仍相等吗？A B CD E 甲A BC D E 乙A B C D E 丙ABC DE 丁试题答案一、选择题1. D2. C3. B 解析：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝180°×3－180°＝360°．4. C5. C6. B7. B 解析：因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，解得∠A＝36°．所以∠C＝2∠A＝72°．在△BCD中，∠DBC＝180°－90°－∠C＝18°．8. B 解析：因为∠ACB是△BCD的外角，所以∠ACB＝6x＞90°，即x＞15°．又因为∠ACB是一个钝角，所以6x＜180°，即x＜30°．所以x在15°到30°之间，故选B．二、填空题9. 3510.∠1＞∠2＞∠A11.80°解析：设∠B＝x，则∠A＝2x，则x＋2x＋60°＝180°，解得x＝40°，则∠A＝2x＝80°．12. 280解析：因为∠1＋∠2＋40°＝180°，∠3＋∠4＋40°＝180°，所以∠1＋∠2＝140°，∠3＋∠4＝140°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°．13. 60解析：因为三角形的三个内角之和等于180°，如果三角形的每个内角都小于60°，则三角形的三个内角之和一定小于180°，这就与定理矛盾了，所以三角形中至少有一个角不小于60°．14. 80°或100°解析：因为∠A－∠B＝50°，所以最小角有可能是∠B或是∠C．（1）若∠B是最小角，则∠A－30°＝50°，得∠A＝80°，则∠C＝180°－80°－30°＝70°，这个三角形的三个内角分别是80°、30°、70°，则最大角是80°．（2）若∠C是最小角，则∠A＋∠B＝180°－30°＝150°，又因为∠A－∠B＝50°，所以∠A＝50°＋∠B，即50°＋∠B＋∠B＝150°，解得∠B＝50°，所以∠A＝100°，这个三角形的三个内角分别是100°、50°、30°，则最大角是100°．综上所述，最大角为80°或100°．三、解答题15.解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝100°，所以∠C＝180°－100°＝80°，所以2∠B＝80°，所以∠B＝40°，所以∠A＝180°－40°－80°＝60°．16.解：由三角形的外角的性质可知：∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2．由此可将求三角形的三个外角和的问题转化为求三角形的内角和．解题过程如下：因为∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角，所以∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2，所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝2（∠1＋∠2＋∠3）．又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝360°．17.解：因为BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的平分线，所以∠ABC＝2∠PBC，∠ACE＝2∠PCE．又因为∠A＝∠ACE－∠ABC，所以∠A＝2（∠PCE－∠PBC）．又因为∠P＝∠PCE－∠PBC，所以∠A＝2∠P．18.解：因为∠1是△ABC的一个外角，所以∠1＞∠3．因为∠3是△DCE的一个外角，所以∠3＞∠2，所以∠1＞∠2．四、拓广探索19.解：（1）如图所示，标注两个字母．因为∠CGD是△ACG的一个外角，所以∠CGD＝∠A＋∠C，因为∠EFD是△EFB的一个外角，所以∠EFD＝∠B＋∠E．所以∠CGD＋∠EFD＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E．又因为∠CGD＋∠EFD＋∠D＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.（2）仍然相等，用类似于（1）中的方法可以证明．AB EGF。

7.2 与三角形有关的角(含答案)

7.2 与三角形有关的角一、选择题:1.如果三角形的三个内角的度数比是5:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形2.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°3.已知三角形的一个内角是另一个内角的3倍,是第三个内角的6倍,则这个三角形各内角的度数分别为( )A.18°,54°,108°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°4.若一个三角形的一个外角等于与它相邻的内角,则这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定5.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°6.已知三角形的三个外角的度数比为1:2:2,则它的最大内角的度数为( )A.90°B.110°C.108°D.120°7.已知三角形两个内角的和大于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形8.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ中( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角9.在△ABC中,∠A=2∠B=3∠C,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )11.如图所示,若∠A =30°,∠B =55°,∠C =40°,则∠DFE 等于( )A .120°B .125°C .110°D .105°F EDCBA654321FECBA第11题第12题 12.如图所示,在△ABC 中,E ,F 分别在AB ,AC 上,则下列各式不能成立的是( )A .∠BOC =∠2+∠6+∠A ;B .∠2=∠5－∠A ;C .∠5=∠1+∠4;D .∠1=∠ABC +∠4 二、填空题:1.三角形中,若最大内角等于最小内角的3倍,最小内角又比另一个内角小30°,则此三角形的最小内角的度数是________.2.在△ABC 中,若∠A +∠B =∠C ,则此三角形为_______三角形;若∠A +∠B <∠C ,则此三角形是_____三角形.3.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.4.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是250°,则与这个外角相邻的内角是____度.5.已知等腰三角形的一个外角为100°,则它的底角为_____.6.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.7.在△ABC 中,∠B ,∠C 的平分线交于点O ,若∠BOC =120°,则∠A =_______度.8.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A =35°,则∠BDC 的度数为________. 21DCB AEODCBA三、解答题1.如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,AE 平分∠BAC (∠C >∠B ), 试说明∠EAD =12(∠C －∠B ). E D CBA2. 如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC =63°, 求∠DAC 的度数.4321D CBA3.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C =32°,∠D =28°,求∠P 的度数.43P21DCBA4.如图所示,在△ABC 中,∠A =α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P , 且∠P =β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.(1)PCBA(2)PCBA(3)PCBA5.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.21C 'FEC BA参考答案一、选择题C B A A C C A C B C B C 二、填空题1.30°2.直角钝角3.14.110°5、80°或 50°6、36°7.60°8.80° 三、解答题 1.解:∵AD ⊥BC ,∴∠BDA =90°, ∴∠BAD =90°－∠B , 又∵AE 平分∠BAC , ∴∠BAE =12∠BAC =12(180°－∠B －∠C ), ∴∠EAD =∠BAD －∠BAE=90°－∠B －12(180°－∠B －∠C ) =90°－∠B －90°+12∠B +12∠C=12∠C －12∠B =12(∠C －∠B ). 2.2403.3004. 00111(1)90(2)(3)90222βαβαβα=+==-(说明略)5.解:∵∠1=180°－2∠CEF ,∠2=180°－2∠CFE ,∴∠1+∠2=360°－2(∠CEF + ∠CFE ) =360°－2(180°－∠C ) =360°－360°+2∠C =2∠C .。

36 72 72三角形三边关系(一)

36 72 72三角形三边关系(一)
36 72 72三角形三边关系
关系简述
•36 72 72三角形是指一个三角形，其中一个角的度数为36°，另外两个角的度数均为72°。

•这个三角形的三条边的关系具体为：边a与边b的比值为黄金比例的倒数（即b/a=），边b与边c的比值也为黄金比例的倒数。

解释说明
三角形角度关系
•一个三角形的三个内角的度数之和总是等于180°。

因此，36°+72°+72°=180°，符合三角形内角和定理。

三角形边长关系
•边a对应的角度为36°，边b对应的角度为72°，边c对应的角度为72°。

•根据正弦定理，三角形中的任意一条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。

因此，可以得到以下比例关系：
–a/sin(36°) = b/sin(72°) = c/sin(72°)
•根据黄金比例的定义，其值为(1+√5)/2≈。

因此，可以得到以下比例关系：
–b/a ≈
–c/b ≈
•综上所述，36 72 72三角形的边长关系为：b/a ≈ ，c/b ≈ 。

总结
•36 72 72三角形是一个具有特殊角度和边长关系的三角形。

•它的角度关系符合三角形内角和定理，边长关系与黄金比例相关。

•这个特殊的三角形在美术、设计等领域中有较多应用，可以带来视觉上的和谐感。