3、因动点产生的直角三角形问题

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(中考数学)动点问题经典例题

（中考数学）动点问题经典例题
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律是初中数学的重要内容。

动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系。

那么我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析。

Part 1
应用勾股定理建立函数解析式
Part 2
应用比例式建立函数解析式
Part 3
应用求图形面积的方法建立函数关系式
专题二函数中因动点产生的相似三角形
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径：
①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

专题三中考动点题目练习
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2018年中考数学挑战压轴题(含答案)

2018年挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．因动点产生的等腰三角形问题8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK ⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c 经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．因动点产生的直角三角形问题13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan ∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C 在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．因动点产生的平行四边形问题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x 轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P 右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F 在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x 轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．因动点产生的梯形问题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．因动点产生的面积问题24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC 于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M 作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；=3S△EBC？若存在求出点（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBCF的坐标，若不存在请说明理由．30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B （1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．31．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD 上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H 在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M 从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．因动点产生的相切问题34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD 向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B 位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C 同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．因动点产生的线段和差问题39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；=S△PAQ，求m的值；（2）若两个三角形面积满足S△POQ（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：的长与的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°=，cos55°=）46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得．故直线AB的解析式为y=x+2；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．设Q（m，m2），则C（m，m+2）．∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=AE=，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，∴a+a=，解得PT=a=﹣1，∴OT=OP﹣PT=3﹣，∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；（2）解：连接AB、AF，如图1所示，∵AO是半径，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴=，。

全等三角形之动点问题(简单题)

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm.(1)求AB的长;(2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形?二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求：(1)△PAB为等腰三角形的t值;(2)△PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且∠ABM=45。

，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?;(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。

五、相遇问题：因动点产生的相遇问题5.如图，在△ABC中，AB= BC= AC= 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的三边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M.N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M.N运动几秒后，可得到等边△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间.六、最值问题：因动点产生的最值问题6.如图K 13一6，点P,Q分别是△ABC的边AC,AB上的定点，请你在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.。

中考专题动点产生的直角三角形和平行四边形

＆1.3因动点产生的直角三角形问题例13.（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ= AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．例14（2011•温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．例15设直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．(1) 已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C（0,2）．则直线和是点C的直角线(填序号即可)；(2) 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A（3,0）、B（2,7）、C（0,7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、PP的直角线，求直线l1与l2的解析式．A x。

第14讲.期末复习之图形中的动点问题.目标班.学生版

我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.知识互联网思路导航题型一：点运动产生函数14期末复习之图形的动点问题B【例1】⑴如图，BC是D的直径，A为圆上一点．点P从点A出发，沿AB运动到B点，然后从B点沿BC运动到C点．假如点P在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P与点D的距离随时间变化的图象大致是（）时间A．B．C．D．⑵如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿线段OC CD--线段DO的路线作匀速运动．设运动时间为t秒，APB∠的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．⑶如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，2AB=设弦AP的长为x，APO△的面积为y，则下列图象中，能表示yx的函数关系的图象大致是（）DCBA⑷如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，G为半圆中点, 当点C在AG上运动时，设AC的长典题精练POD CBAB为x ，CF +DE = y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A B C D【例2】如图1，已知△ABC 中，AB=10cm ，AC =8cm ，BC =6cm ．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（04t ≤≤）．解答下列问题：图1图2（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ．（2）设△AQP 面积为S （单位：cm 2），当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．题型二：点运动与面积变化【例3】已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A 、C 两点的坐标分别为(42)A ，，(2)C n -，（其中0n >），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O A B C ---的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P移动的路径的长为1，POC △的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．⑴ 结合以上信息及图2填空：图2中的______m =；⑵ 求B 、C 两点的坐标及图2中OF 的长；⑶ 若OM 是AOB ∠的角平分线,且点G 与点H 分别是线段AO 与射线OM 上的两个动点，直接写出HG AH +的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由.图2S图3PN CBA1. 因动点产生的等腰三角形问题【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，43AB AD ==，，动点M 从D 点出发以1个单位/秒的速度沿DA 向终点A 运动，动点N 从A 点出发以2个单位/秒的速度沿AB 向终点B 运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N 作NP AB ⊥交AC 于点P ，连接MP ．已知动点运动了x 秒．⑴ 请直接写出PN 的长；（用含x 的代数式表示） ⑵ 试求MPA △的面积S 与时间x 秒的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；⑶ 在这个运动过程中，MPA △能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x 的对应值；若不能，请说明理由．典题精练题型三：点运动产生特殊图形2. 因动点产生的直角三角形问题【例5】如图，已知A B 、是线段MN 上的两点，4MN =，11MA MB =>，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC △，设AB x =． ⑴求x 的取值范围；⑵若ABC △为直角三角形，求x 的值； ⑶探究：ABC △的最大面积是多少？3. 因动点产生的特殊四边形问题【例6】如图，在矩形ABCD 中，20cm BC =，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若cm BQ x =()0x ≠，则2c mA P x =，CM =3x cm ，2cm DN x =． ⑴当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；⑵当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．NMQP DCBA【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y +的图象与x 轴交于点A ，与y轴交于点B ，点C 的坐标为()30，，连结BC ． ⑴求证：ABC △是等边三角形；⑵点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点E ，分别连结EA 、EP ．①若6CP =，直接写出AEP ∠的度数；②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），AEP ∠的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出AEP ∠的度数；⑶ 在⑵的条件下，若点P 从C 点出发在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC 与AP 交于点F ，设AEF △的面积为1S ，CFP △的面积为2S ，12y S S =-，运动时间为()0t t >秒时，求y 关于t 的函数关系式．训练1. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于Q ．探究：设A 、P 两点间的距离为x ．⑴当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；⑵当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围； ⑶当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．思维拓展训练(选讲)Q PDC BA训练2.如图，在梯形ABCD中，3510∥，，，，梯形的高为4．动点M===AD BC AD DC BC从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．⑴当MN AB∥时，求t的值；⑵试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．BC训练3.在ABC∆中，90C∠=︒，4cmAC=，5cmBC=，点D在BC上，且3cmCD=，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ．设动点运动时间为x秒．⑴用含x的代数式表示AE、DE的长度；⑵当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ△的面积为2(cm)y，求y与时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；⑶当x为何值时，EDQ△为直角三角形．EP Q CDBA训练4.如图，平行四边形ABCD中，8AD=，4CD=，60D∠=°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P与点Q 同时出发，设运动时间为t，CPQ△的面积为S．⑴求S关于t的函数关系式；⑵求出S的最大值；⑶t为何值时，将CPQ△以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．B题型一点运动产生函数巩固练习【练习1】如图，直线4y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，边长为2的正方形OCEF 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为()04a a ≤≤，正方形OCEF 与△AOB 重叠部分的面积为S ．则表示S 与a 的函数关系的图象大致是（）（石景山期末）D.42 D.4aD.aD.【练习2】如图，在半径为1的O 中，直径AB 把O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点（C 与点A 、B 不重合），过点C 作弦CD AB ⊥，垂足为E ，OCD ∠的平分线交O 于点P ，设C E x A P y==，，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（）（昌平一模）A ．复习巩固PO E DCBA题型二点运动与面积变化巩固练习【练习3】已知：如图，在Rt ACB △中，90C ∠=°，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： ⑴当t 为何值时，PQ BC ∥？⑵设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式； ⑶是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.题型三点运动产生特殊图形巩固练习【练习4】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：⑴过P 作PM AD ∥，交AB 于M ．当t 为何值时，四边形AMPE 是平行四边形？⑵设y =EQ PQ ⋅（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式，并求t 为何值时，y 有最大值，最大值是多少；⑶连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．AFE D C【练习5】已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．⑴求直线BC 的解析式；⑵动点P 在线段OA 上移动，t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？⑶动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；⑷当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．（此图备用）第十七种品格：成就小纸条成就爱马仕1920年，埃米尔·查尔斯·爱马仕新婚后不久,即搬入了代表继承人资格的爱马仕家的老屋。

因动点产生的相似三角形问题---专题

因动点产生的相似三角形问题关键词：动点、相似三角形动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个，定理1：两个角对应相等，两三角形相似 ‘AA ” 定理2：两边对应成比例且夹角相等 “SAS ” 定理3：三边对应成比例。

“SSS ”相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．两个直角三角形相似的判定方法（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。

题型一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似或者通过动点产生相似解决有关问题一般以大题为主，也有出现在填空后两题。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

因动点产生的相似三角形问题

函数图象中点的存在性问题一、因动点产生的相似三角形问题分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1 ：直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标； (2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．例2：Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan∠A ＝时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．例3：如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、113y x =-+(0)ky k x =≠12A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例4 ：如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．例5：如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．22y mx mx n =++例6：如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A＝．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan∠ABO ＝，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．3102tx y -=OCOB OA ⋅=223练习题：1.如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]

因动点产生的相似三角形问题例1（2011年上海市闸北区中考模拟第25题）直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3B Q B A =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13B Q B A=时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x =+=±．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°．在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110∠=．①当3B Q B A=时，310B Q =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13B Q B A=时，1103B Q =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2（2011年上海市杨浦区中考模拟第24题）Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x =≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222B D E H m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F（0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当E A EF A O F P =时，2552FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当E A F P A OE F=时，2525F P =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图5例3（2010年义乌市中考第24题）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2）梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4G A F ∠=，tan 5DQ t PQD QPt∠==-，所以345t t=-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4（2010年上海市宝山区中考模拟第24题）如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =．(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45．如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B MB A=，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''A B B C A C B D =时，55'35B D=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''A B B D A CB C=时，5'355B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△ABB ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．例5（2009年临沂市中考第26题）如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAO PMAM ，那么214)4)(1(21=----xx x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xx x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m mm ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m mDE m m2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m mS DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ．由于225212-+-=m mn ，所以m m S 42+-=．例6（2009年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310A HA B=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以A B A CD BE C=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以D E A EB C A C=，M N A NB C A C=，即|3|53D E x-=，1|3|253xM N-=．因此5|3|3xD E-=，圆心距5|6|6xM N-=．图2 图3 图4在⊙M中，115226Mr B D y x===，在⊙N中，1122Nr C E x==．①当两圆外切时，5162x x+5|6|6x-=．解得3013x=或者10x=-．如图5，符合题意的解为3013x=，此时5(3)15313xD E-==．②当两圆内切时，5162x x-5|6|6x-=．当x＜6时，解得307x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xD E-==；当x＞6时，解得10x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xD E-==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534B F =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例7（2008年杭州市中考第24题）如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB tb ，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb )( +t tb )|-=2|t22|OA ttb ==．即22b t t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2O A A B O O B∠==，得23O B O A =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．。

二次函数动点问题专题

二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

挑战中考数学压轴题(全套)

分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那
么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3(m
1)．
3
所以OB2＝BM2＋OM2＝(5
m)21(m
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
挑战中考系列(数学)
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝3
(－2x2－6x)＝3(x
3
)2
27．
2
2
4
例2
P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心
O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分
线上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以
AP为
自变量，求S的函数关系式．图文解析
问题1，为什么设
AP＝2m呢？这是因为线段A以减少一些分数运算．这不影响求
S的最小值．
问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？
如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是
FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．
x的值；若不
存在，请说明理由；图1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为
S1、S2，若S＝S1＋

二次函数压轴题第五讲因动点产生的直角三角形问题

第五讲因动点产生的直角三角形问题【知识要点】求直角三角形的存在性方法:（1）几何法：一个圆两条线；（2）代数法：盲解【典型例题】例1．如图，y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)（1）求抛物线的解析式；（2）若点N是对称轴上一动点，且△NAC是直角三角形，求点N的坐标；例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．例3．如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线k x a y +-=2)2(经过A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ，（1）求a ，k 的值；（2）在图中求一点Q ，A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q 的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周长；若不存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N ，使△ABN 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出N 点的坐标，若不存在，请说明理由．例4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

中考数学压轴专练专题03 因动点产生的直角三角形问题(学生版)

【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】例1 如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B 关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2例2如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q2个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例3 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1例4如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1例5如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例6如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1【变式训练】1．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在矩形中，是边上的一个动点，当点在（不含两点）上运动时，若是以为斜边的直角三角形，则等于（）A．B．或C．D．或3．如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，24．如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为A．B．1 C．或1 D．或1 或5．若D点坐标(4，3)，点P是x轴正半轴上的动点，点Q是反比例函数12(0)y xx=>图象上的动点，若△PDQ为等腰直角三角形，则点P的坐标是________．6．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE的长为______．7．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=________s时，△POQ是等腰三角形；当t=_______s时，△POQ是直角三角形．8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=6cm，AC=8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为___________．9．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.10．如图所示，已知抛物线经过点A （－2，0）、B （4，0）、C （0，－8），抛物线y ＝a x 2 ＋b x ＋c （a≠0）与直线y ＝x －4交于B ，D 两点．（1）求抛物线的解析式并直接写出D 点的坐标；（2）点P 为抛物线上的一个动点，且在直线BD 下方，试求出△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点Q 是线段BD 上异于B 、D 的动点，过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点G ．当△QDG 为直角三角形时，求点Q 的坐标．11．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．12．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x ﹣4交于B，D两点（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．13．如图，抛物线与直线交于A 、B 两点.点A 的横坐标为－3，点B 在y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D . （1）求抛物线的解析式；（2）当m 为何值时，；（3）是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.14．（本小题满分12分）已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．15．如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ．（1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明△MDE 是等腰三角形；（2）△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． 16．如图，直线与抛物线相交于和，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作轴于点D ，交抛物线于点C ．求抛物线的解析式；是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；连接AC ，直接写出为直角三角形时点P 的坐标． yx O DEA BC17．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的对称轴和线段AB的长；（2）如图1，已知点D（0，﹣），点E是直线AC上访抛物线上的一动点，求△AED的面积的最大值；（3）如图2，点G是线段AB上的一动点，点H在第一象限，AC∥GH，AC=GH，△ACG与△A′CG关于直线CG对称，是否存在点G，使得△A′CH是直角三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知，是边长的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．请分别解决下面四种情况：（）如图，设点的运动时间为，那么__________时，是直角三角形；（）如图，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是直角三角形？（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于．如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是等腰三角形？（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于，连接．如果动点、都以的速度同时出发．请你猜想：在点、的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y 轴上运动．（1）求直线AB的函数解析式；（2）动点M在y轴上运动，使MA+MB的值最小，求点M的坐标；（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．。

2020年中考数学压轴解答题02 因动点产生的直角三角形问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02 因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根．一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1,点C在垂线上,垂足除外．如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外．如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个．如图4,已知A(3, 0),B(1,－4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标．我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB．设OC＝m,那么341mm-=．这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】【例1】如图1,已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由；（3）如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2【例2】已知在平面直角坐标系xOy中,直线l别交x轴和y轴于点A（－3,0）,B（0,3）．（1）如图1,已知⊙P经过点O,且与直线l1相切于点B,求⊙P的直径长；（2）如图2,已知直线l2：y＝3x－别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线l2上的一个动点,以Q为圆心,22为半径画圆．①当点Q与点C重合时,求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M,N两点,连结QM,QN．问：是否存在这样的点Q,使得△QMN是等腰直角三角形,若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．【例3】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝13,CD//AB,点E为射线CD上一动点（不与点C重合）,联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时,求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x,AE＝y,当CG＝2GB时,求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长．图1【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观,折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B′落在矩形ABCD所在平面内,B′C和AD相交于点E,连接B′D．解决问题(1)在图1中,①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开,得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图2所示,结论①和结论②是否成立,若成立,请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中,若∠B=30°,AB=43,当△AB′D恰好为直角三角形时,BC的长度为．【例5】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点,试判断△BCD的形状,并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位,平移后的直线与抛物线交于M,N两点（点M在y轴的右侧）,当△AMN为直角三角形时,求t的值．【例6】如图,抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y＝﹣x 与该抛物线交于E,F两点．（1）求点C坐标及抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值．（3）以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点D,使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在,直接写出D点坐标；若不存在,请说明理由．【变式训练】1．如图,点M是直线y=2x+3上的动点,过点M作MN垂直于x轴于点N,y轴上是否存在点P,使得△MNP为等腰直角三角形,则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图,已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0,8）,点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点,CF＝10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是（）A．817B．717C．49D．593．如图,在△ABC中,AB=2,AO=BO,P是直线CO上的一个动点,∠AOC=60°,当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时,AP的长为（）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．,24．如图,是的直径,弦,是弦的中点,．若动点以的速度从点出发沿着方向运动,设运动时间为,连结,当是直角三角形时,（s）的值为A．B．1 C．或1 D．或1 或5．若D点坐标(4,3),点P是x轴正半轴上的动点,点Q是反比例函数12(0)y xx=>图象上的动点,若△PDQ为等腰直角三角形,则点P的坐标是________．6．如图,长方形ABCD中,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,AB=CD=6,AD=BC=10,点E为射线AD上的一个动点,若△ABE与△A′BE关于直线BE对称,当△A′BC为直角三角形时,AE的长为______．7．如图,AB 为O e 的直径,C 为O e 上一点,过B 点的切线交AC 的延长线于点D ,E 为弦AC 的中点,10AD =,6BD =,若点P 为直径AB 上的一个动点,连接EP ,当AEP ∆是直角三角形时,AP 的长为__________．8．如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=5,点D 是BC 边上一点且CD=1,点P 是线段DB 上一动点,连接AP,以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时,点O 的运动路径长为_____．9．如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=6cm ,AC=8cm ．若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动,点Q 以1cm/s 的速度从A 点出发沿着A→C 的方向运动,当点P 到达点A 时,点Q 也随之停止运动．设运动时间为t(s),当△APQ 是直角三角形时,t 的值为___________．10．定义：在平面直角坐标系中,对于任意两点A （a ,b ）,B （c ,d ）,若点T （x ,y ）满足x ＝3+a c ,y ＝3+b d那么称点T 是点A ,B 的融合点．例如：A （﹣1,8）,B （4,﹣2）,当点T （x ,y ）满足x ＝143-+＝1,y ＝8(2)3+-＝2时,则点T （1,2）是点A ,B 的融合点．（1）已知点A （﹣1,5）,B （7,7）,C （2,4）,请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图,点D （3,0）,点E （t ,2t +3）是直线l 上任意一点,点T （x ,y ）是点D ,E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时,求点E 的坐标．11．如图,在矩形ABCO 中,AO=3,tan ∠ACB=43,以O 为坐标原点,OC 为x 轴,OA 为y 轴建立平面直角坐标系．设D,E 分别是线段AC,OC 上的动点,它们同时出发,点D 以每秒3个单位的速度从点A 向点C 运动,点E 以每秒1个单位的速度从点C 向点O 运动,设运动时间为t 秒．（1）求直线AC 的解析式；（2）用含t 的代数式表示点D 的坐标；（3）当t 为何值时,△ODE 为直角三角形？（4）在什么条件下,以Rt △ODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线？并请选择一种情况,求出所确定抛物线的解析式.12．如图,顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ,()1,0B -两点,与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y 轴上是否存在一点P ,使得PAM ∆为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ,满足DA OA =,过D 作DG x ⊥轴于点G ,设ADG ∆的内心为I ,试求CI 的最小值．13．如图,在等腰Rt ABC V 中,90,142ACB AB ∠==o ．点D,E 分别在边AB,BC 上,将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1,若AD BD =,点E 与点C 重合,AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =．（2）已知点G 为AF 的中点．①如图2,若,2AD BD CE ==,求DG 的长．②若6AD BD =,是否存在点E,使得DEG △是直角三角形？若存在,求CE 的长；若不存在,试说明理由． 14．已知在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1,已知P e 经过点O ,且与直线1l 相切于点B ,求P e 的直径长；(2)如图2,已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ,点Q 是直线2l 上的一个动点,以Q 为圆心,22为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时,求证: 直线1l 与Q e 相切；②设Q e 与直线1l 相交于,M N 两点, 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ,使得QMN ∆是等腰直角三角形,若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.15．如图1,已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点,（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点,过M 作x 轴的垂线交BC 于H ,过M 作MQ ⊥BC 于Q ,求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ,使|AR ﹣MR |最大,求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点,将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ,是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形,若存在请求出BT 的长,若不存在,请说明理由．16．在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A,B 两点,点A 在点B 的左侧．（1）如图1,当k=1时,直接写出A,B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2,抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）,在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°？若存在,请求出此时k 的值；若不存在,请说明理由． 17．在平面直角坐标系中,抛物线223y x x =--+与x 轴交于A,B 两点（A 在B 的左侧）,与y 轴交于点C,顶点为D ．（1）请直接写出点A,C,D 的坐标；（2）如图（1）,在x 轴上找一点E,使得△CDE 的周长最小,求点E 的坐标；（3）如图（2）,F 为直线AC 上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由．18．如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.19．已知：如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0,6）,B （6,0）,C （﹣2,0）,点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时,△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线,交线段AB 于点D,再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．20．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0,3)、B （1,0）,其对称轴为直线l ：x=2,过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C,∠AOB 的平分线交线段AC 于点E,点P 是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上,连结PE 、PO,当m 为何值时,四边形AOPE 面积最大,并求出其最大值；（3）如图②,F 是抛物线的对称轴l 上的一点,在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在,请说明理由.21．如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 为x 轴上两点,C 、D 为y 轴上的两点,经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0,）,点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC 的面积最大？若存在,求出△PBC 面积的最大值；若不存在,请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时,求m 的值．22．如图,矩形OABC 中,点O 为原点,点A 的坐标为（0,8）,点C 的坐标为（6,0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点,与AB 边交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合）,点Q 为线段AC 上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式,并求出m 为何值时,S 取得最大值；②当S 最大时,在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F,使△FDQ 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在,请说明理由．。

初中数学几何思路集锦：因动点产生的直角三角形问题

因动点产生的直角三角形问题一．解答题（共7小题）1．如图所示,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上）,当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN,过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4．试问x为何值时,△PQW为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2,并求当x为何值时,MN2最小？求此时MN2的值．2．已知,△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发,沿线段AB向点B运动．（1）如图1,设点P的运动时间为t（s）,那么t=_________（s）时,△PBC是直角三角形；（2）如图2,若另一动点Q从点B出发,沿线段BC向点C运动,如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s）,那么t为何值时,△PBQ是直角三角形？（3）如图3,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s）,那么t为何值时,△DCQ是等腰三角形？（4）如图4,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D,连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中,△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．3．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图）,若斜边所在的直线为y=﹣2x+4．点B'是OA上的动点,折叠直角三角形纸片OAB,使折叠后点B与点B'重合,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D．（1）若B'与点O重合,直接写出点C、D的坐标；（2）若B'与点A重合,求点C、D的坐标；（3）若B'D∥OB,求点C、D的坐标．4．如图,在平面直角坐标系中,A（﹣3,0）,点C在y轴的正半轴上,BC∥x轴,且BC=5,AB交y轴于点D,．（1）求出C的坐标．（2）过A,C,B三点的抛物线与x轴交于点E,连接BE,若动点M从点A出发沿x轴正方向运动,同时动点N从点E 出发,在直线EB上作匀速运动,运动速度为每秒1个单位长度,当运动时间t为多少时,△MON为直角三角形．5．（2009•衡阳）如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60度．（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点,连接CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t（s）（0＜t＜2）,连接EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形．6．如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA上,且DO平行于⊙O 的弦MB,连DM并延长交x轴于点C．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系,并给出证明；（2）设点D的坐标为（﹣2,4）,①求MC的长；②若动点P从点A出发向点D匀速运动,速度是每秒1个单位长；同时点Q从点D出发向点C匀速运动,速度是每秒2个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束．连接PQ交OD 于点H,当△PDH为直角三角形时,求点P的坐标．7．已知点M,N的坐标分别为（0,1）,（0,﹣1）,点P是抛物线y=上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证：∠PNM=∠QNM；（3）是否存在这样的点P,使得△PMN为等腰直角三角形？若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．答案与评分标准一．解答题（共7小题）1．如图所示,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上）,当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN,过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4．试问x为何值时,△PQW为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2,并求当x为何值时,MN2最小？求此时MN2的值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理。

因动点产生的直角三角形问题)

1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB=时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n=-+，代入点C(0，－3)，得4n=-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x=--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x=--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为y kx b=+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k bb+=⎧⎨=-⎩解得1k=，3b=-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==． ②1(12,2)P --，265(1,)22P --．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例2 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6．如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例3 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=．解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =．如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =．如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例4 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ．因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．（3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）．当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(．同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）．易知此时22<S ．综合①②得，△ABC 的最大面积为22 考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-．整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫⎝⎛--=．因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ．。

中考数学第23题分类试题

中考数学第23 题的分类试题一、动点问题（一）、因动点产生的面积关系例 1、在平面直角坐标系中，△BCD的边长为3cm 的等边三角形,动点P、Q同时从点A、 O两点出发，分别沿AO、OB方向匀速挪动，它们的速度都是1cm/s,当点P抵达点O时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答以下问题 :(1)求 OA所在直线的分析式 ;(2)当 t 为什么值时 , △ POQ是直角三角形 ;(3) 能否存在某一时辰 t ，使四边形 APQB的面积是△ AOB面积的三分之二若存在 , 求出相应的 t 值 ; 若不存在，请说明原因．例 2、如图，边长为 1 的正方形的极点为坐标原点，点A在x轴的正半OABC O轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上．动点 D 在线段 BC上挪动(不与 B， C 重合)，连结于点 E，连结 OE．记 CD的长为 t ．yAPPO Q B x OD，过点 D作 DE⊥ OD，交边 AB(1)当 t ＝1时，求直线 DE的函数表达式；3(2)假如记梯形 COEB的面积为 S，那么能否存在 S 的最大值若存在，恳求出这个最大值及此时 t 的值；若不存在，请说明原因；（二）因动直线产生的面积关系例3．如下图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 经过点（ 1，－ 5）和（－ ?2 ， 4）．（1）求这条抛物线的分析式．（2）设此抛物线与直线 y=x 订交于点 A， B（点 B 在点 A 的右边），平行于 x? 轴的直线 x=m（0<m< 5 +1）与抛物线交于点M，与直线y=x 交于点 N，交 x 轴于点 P，求线段MN的长（ ? 用含 m的代数式表示）．（ 3）在条件（ 2）的状况下，连结 OM， BM，能否存在 m的值，使△ BOM的面积 S 最大若存在，恳求出若不存在，请说明原因．yx = mNOPAM m的值，y=xBx同步练习1、如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形， ? 点 C 的坐标为（ 4， 0），∠ AOC=60°，垂直于 x 轴的直线L 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1? 个单位长度的速度挪动，设直线 L 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M ，N （点M 在点 N 的上方）．（ 1）求 A ，B 两点的坐标；（ 2）设△ OMN 的面积为 S ，直线 L 的运动时间为 ts （0≤t ≤6），试求 S 与 t? 的函数表达式；（ 3）在（ 2）的条件下， t 为什么值时， S 的面积最大最大面积是多少2. 正方形 ABCD 的边长为４， BE ∥ AC 交 DC 的延伸线于 E 。

挑战中考数学压轴题详解(115页)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 上海市中考第24题例2 苏州市中考第29题例3 黄冈市中考第25题例4 义乌市中考第24题例5 临沂市中考第26题例6 苏州市中考第29题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 上海市虹口区中考模拟第25题例2 扬州市中考第27题例3 临沂市中考第26题例4 湖州市中考第24题例5 盐城市中考第28题例6 南通市中考第27题例7 江西省中考第25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 山西省中考第26题例2 广州市中考第24题例3 杭州市中考第22题例4 浙江省中考第23题例5 北京市中考第24题例6 嘉兴市中考第24题例7 河南省中考第23题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 上海市松江区中考模拟第24题例2 福州市中考第21题例3 烟台市中考第26题例4 上海市中考第24题例5 江西省中考第24题例6 山西省中考第26题例7 江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 上海市松江中考模拟第24题例2 衢州市中考第24题例4 义乌市中考第24题例5 杭州市中考第24题例7 广州市中考第25题1.6 因动点产生的面积问题例1 苏州市中考第29题例2 菏泽市中考第21题例3 河南省中考第23题例4 南通市中考第28题例5 广州市中考第25题例6 扬州市中考第28题例7 兰州市中考第29题1.7 因动点产生的相切问题例1 上海市杨浦区中考模拟第25题例2 河北省中考第25题例3 无锡市中考第28题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 天津市中考第25题例2 滨州市中考第24题例3 山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 宁波市中考第26题例2 上海市徐汇区中考模拟第25题例3 连云港市中考第26题例4 上海市中考第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 菏泽市中考第21题例2 广东省中考第22题例3 河北省中考第26题例4 淮安市中考第28题例5 山西省中考第26题例6 重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 南京市中考第26题例2 南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 上海市黄浦区中考模拟第24题例2 江西省中考第24题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题

抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析二次函数的图像与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一种重要形式.其呈现方式多以抛物线为载体、探索满足某种条件的三角形的存在性.这类试题旨在全面考查学生分析问题、解决问题的能力和创新思维能力.由于其涉及的知识面广,内容丰富,综合性和灵活性以及解题技巧性都较强,因而对大多数考生来说常感到束手无策.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的关系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一.一般步骤是：先假设其存在,再画出相应的图形,然后根据所画的图形进行解答,得出某些结论；最后,如果结论符合题目要求或定义、定理,则假设成立;如果出现与题目要求或定义、定理相悖的情况,则假设错误,所设不存在.一.由抛物线上的动点产生的等腰三角形用代数方法探求等腰三角形问题一般分三步：按腰相等分三种情况,再根据两点间距离列方程,解之并检验.有些等腰三角形当角度特殊时,三种情况下的动点可能会重合在一起.例1.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴相交于A,B 两点,点C 的坐标是(8,4),连接AC,BC ．(1)求过O,A,C 三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状；(2)动点P 从点O 出发,沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时,动点Q 从点B 出发,沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒,当t 为何值时,PA=QA ？(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)先确定出点A,B 坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP ≌Rt△ACQ ,得到OP=CQ 即可；(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可.【解答】(1)∵直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点,∴A(5,0),B(0,10).∵抛物线过原点, ∴设抛物线解析式为y=ax 2+bx,∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),∴2550,6484a b a b +=⎧⎨+=⎩ ∴16,56a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩图1∴抛物线解析式为y=16x 2﹣56x, ∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(8﹣5)2=100,AC 2=42+(8﹣5)2=25, ∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形．(2)如图2,当P,Q 运动t 秒,即OP=2t,CQ=10﹣t 时,由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中,,AC OA PA QA=⎧⎨=⎩ ∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ , ∴OP=CQ, ∴2t=10﹣t, ∴t=103, ∴当运动时间为103时,PA=QA ； (3)存在,∵y=16x 2﹣56x, ∴抛物线的对称轴为x=52, ∵A(5,0),B(0,10), ∴AB=55 如图3,设点M(52,m), 按边相等分为三种情况： ①当BM=BA 时, ∴(52)2+(m ﹣10)2=125, ∴m 1=205192+,m 2=205192-, ∴M 1(52,205192+),M 2(52,205192-). ②当AM=AB 时, ∴(52)2+m 2=125, ∴m 3=5192, m 4=﹣5192, ∴M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192). ③当MA=MB 时,∴(52﹣5)2+m 2=(52)2+(10﹣m)2, ∴m=5, ∴M 5(52,5),此时点M 恰为线段AB 的中点,构不成三角形,舍去. x OA 2M 1M C3M 4M B y 图3 图2∴综合上所述点M 的坐标为：M 1(52,205192+),M 2(52,205192-),M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192) 【点评】本题作为压轴题,立意新颖,具有较强的综合性.试题主要考查一次函数、二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,三角形全等的性质和判定,等腰三角形、直角三角形的性质.解本题第三问的关键是分情况讨论,这也是本题的难点．二.由抛物线上的动点产生的直角三角形对于直角三角形问题,若用代数方法探求,也需先按直角分三种情况,再根据两点间的距离列方程,然后解方程并检验.但下面例题中已指明斜边,故不需讨论.例2.如图4,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A(1,33),B(4,0)两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由；(3)点P 是线段AB 上一动点,(点P 不与点A 、B重合),过点P 作PM ∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M 作MC ⊥x 轴于点C,交AB 于点N,若△BCN 、△PMN 的面积S △BC N 、S △P MN 满足S △B C N =2S △PMN ,求出MN NC的值,并求出此时点M 的坐标．【分析】(1)由A 、B 两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)分D 在x 轴上和y 轴上,分别向不同的坐标轴坐垂线段.用点D 的坐标表示出AD 、BD ，列出关于d 的方程,即可求得D 点的坐标；(3)过P 作PF ⊥CM 于点F,利用Rt △ADO ∽Rt △MFP 以及三角函数,可用PF 分别表示出MF 和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a 表示出CN,再利用S △BC N =2S △PMN ,可用PF 表示出a 的值,从而可用PF 表示出CN,可求得MN NC的值；借助a 可表示出M 点的坐标,代入抛物线解析式可求得a 的值,从而可求出M 点的坐标．【解答】(1)∵A(1,33),B(4,0)在抛物线y=mx 2+nx 的图象上,∴33,1640m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得3,43m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线解析式为y=﹣3x 2+43x ；图4(2)存在三个点满足题意,理由如下：①当点D 在x 轴上时,如图4,过点A 作AD ⊥x 轴于点D,∵A(1,33), ∴D 坐标为(1,0)；②当点D 在y 轴上时（图略）,设D(0,d),则AD 2=1+(33﹣d)2,BD 2=42+d 2,且AB 2=(4﹣1)2+(33)2=36,∵△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,∴AD 2+BD 2=AB 2, 即1+(33﹣d)2+42+d 2=36,解得d=33112±, ∴D 点坐标为(0, 33112+)或(0, 33112-)；综上可知存在满足条件的D 点,其坐标为(1,0)或(0,33112+) 或(0,33112-)； (3)如图5,过P 作PF ⊥CM 于点F,∵PM ∥OA, ∴Rt △ADO ∽Rt △MFP,∴MF AD PF OA==33, ∴MF=33PF, 在Rt △ABD 中,BD=3,AD=33,∴tan ∠ABD=3,∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=3a,在Rt △PFN 中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan ∠PNF=33PF FN =, ∴FN=3PF, ∴MN=MF+FN=43PF,∵S △BC N =2S △P MN , ∴32a 2=2××43PF 2, 图5∴a=22PF,∴NC=3a=26PF,∴4326MN PF NC PF==2, ∴MN=2NC=2×3a=6a, ∴MC=MN+NC=(6+3)a, ∴M 点坐标为(4﹣a,(6+3)a),又M 点在抛物线上,代入可得﹣3(4﹣a)2+43(4﹣a)=(6+3)a, 解得a=3﹣2或a=0(舍去), OC=4﹣a=2+1,MC=26+3, ∴点M 的坐标为(2+1, 26+3)．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查待定系数法求函数解析式,相似三角形、全等三角形以及直角三角形的性质.本题已指明了直角三角形的斜边是线段AB,不需要讨论；但需按点D 的位置分类讨论,这是解本题（2）的关键,也是本题之难点所在.三.由抛物线上的动点产生的等腰直角三角形此类问题可仿问题一、二的方法讨论.例3.如图6,已知点A 的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C,连接AC,顶点为D 的抛物线y=ax 2+bx+c 过A 、B 、C 三点．(1)请直接写出B 、C 两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2),设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E,P 是第一象限内抛物线上一点,过点P 作x 轴的垂线,交线段BC 于点F,若四边形DEFP 为平行四边形,求点P 的坐标；(3)设点M 是线段BC 上的一动点,过点M 作MN ∥AB,交AC 于点N,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN 为等腰直角三角形？【分析】(1)由 y=﹣34x+3易得B 和C 的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x ﹣4),把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标；(2)若四边形DEFP 为平行四边形,则DP ∥BC,设直线DP 的解析式为y=mx+n,则m=﹣34,求出直线DP 的解析式后,联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；(3)由题意可知,0≤t≤6,若△QMN 为等腰直角三角形,则共有三种情况,①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．【解答】(1)B(4,O),C(0,3)．抛物线的解析式为233 3.84y x x =++顶点D 的坐标为)827,1( .(2)如图6,把x=1代入,49343=+-=y x y 得， 9(1,),4E ∴,8949827=-=∴DE 因点P 为第一象限内抛物线上一点,所以可设点P 坐标为),34383,(2++-x x m 点F 的坐标为(m,-43m+3)．若四边形DEFP 为平行四边形,则PF=DE. 即-83m 2+43m+3-(-43m+3)=89. 解之,得m 1=3,m 2=1(不合题意,舍去)．∴当点P 坐标为(3,815)时,四边形DEFP 为平行四边形. (3)设点M 的坐标为(m,-343+m ),MN 交y 轴于点G ． ,//AB MN ∴∆MNC ∽∆BAC, COCG AB MN =∴ ①如图图7-①,当∠QMN=90°,MN=MQ=OG 时,,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ⋅=-=∴38344),0.34(t Q 即 ②如图7-②,当∠QNM=90°,MN=NQ=OG 时∵,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ∴GM=43,NG=23, ⋅-)0,32(Q ⋅=--=∴314)32(4t ③如图7-③当∠MQN=90°,QM=QN 时,OG= QK= 21NM, ,32136MN MN -=∴解之,得MN=3．⋅=∴23OG ,23343=+-∴x 解之,得x=2,即).23.1(),23,2(-N M MN 的中点K 的坐标为⋅⋅)2321().0,21(Q ∴即.27214=-=t ∴当t 为38或314或27时,存在△QMN 为等腰直角三角形．图7-① G 图7-② G 图7-③ K G【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式,及一次函数中k 值和点的坐标的求法,抛物线的对称性,相似三角形、等腰直角三角形等知识. 是一道综合性较强的试题.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系．由于本题未指明三角形的直角,故需按直角分类讨论.例4.如图8,抛物线y=﹣53[(x﹣2)2+n]与x轴交于点A(m﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC．(1)求m、n的值；(2)如图9,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；(3)如图10,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)易知抛物线的对称轴为直线x=2,由对称性得2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m的值,即得A(﹣1,0),B(5,0),然后把A点坐标代入y=﹣35 [(x﹣2)2+n]可求n的值；(2)作ND∥y轴交BC于D,如图9,由抛物线解析式确定C(0,3),再利用待定系数法求出BC的解析式为y=﹣35x+3,设N(x,﹣35x2+125x+3),则D(x,﹣35x+3),根据三角形面积公式,利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣32x2+152x,然后利用二次函数的性质求解；(3)先由勾股定理求出BC=34,再分类讨论:当∠PMB=90°,则∠PMC=90°,△PMC为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BOC,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BCO,利用相似比求出BP的长,再计算OP后可得P点坐标．【解答】解：(1)∵抛物线的解析式为y=﹣35[(x﹣2)2+n]=﹣35(x﹣2)2﹣35n,∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵点A和点B为对称点, ∴2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m=1, ∴A(﹣1,0),B(5,0),把A(﹣1,0)代入y=﹣35[(x﹣2)2+n]得9+n=0,解得n=﹣9；图8(2)作ND ∥y 轴交BC 于D,如图9,抛物线解析式为y=﹣35[(x ﹣2)2﹣9]=﹣35x 2+125x+3, 当x=0时,y=3,则C(0,3),设直线BC 的解析式为y=kx+b,把B(5,0),C(0,3)代入得 50,3k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,53k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为y=﹣35x+3, 设N(x,﹣35x 2+125x+3),则D(x,﹣35x+3), ∴ND=﹣35x 2+125x+3﹣(﹣35x+3)=﹣35x 2+3x, ∴S △NBC =S △NDC +S △NDB =12•5•ND=﹣32x 2+152x=﹣(x ﹣52)2+758, 当x=52时,△NBC 面积最大,最大值为758； (3)存在．∵B(5,0),C(0,3),∴BC=223534,+=①如图10,当∠PMB=90°时,亦有∠PMC=90°,而MP=M,故△PMC 为等腰三角形,∴△PMC 为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠OBC, ∴△BMP ∽△BOC ,∴,PM BM BP OC OB BC == 即 34,3534t t BP -== 解得 334,8t =17,4BP = ∴OP=OB ﹣BP=5﹣174=34, 此时P 点坐标为(34,0)； ②如图11,当∠MPB=90°时,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠CBO, ∴△BMP ∽△BCO ,∴ ,MP BM BP OC BC BO == 即34,3534t t BP -== 图10 M 图11M解得10225t -= 345BP -=∴OP=OB ﹣BP=5 , 此时P 点坐标为,0). 综上所述,P 点坐标为(34,0)或 (34,0). 评析：本题中虽然有“△PCM 为等腰三角形”, 但结合”△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立”进行分析, 故不需对“等腰”分类,只需对“直角”讨论,解题过程迅速得以简化.通过对以上例题的分析与解答,我们对这类问题有了新的认识与了解,对解决抛物线中的等腰三角形及直角三角形问题寻求到了有效的解题途径,为今后九年级师生解决同类问题起到了抛砖引玉的作用.。