《机械振动学基础-功率谱分析》讲稿

《机械振动学基础》
第12章 功率谱分析
概述

在前面我们研究振动系统在任意激励的情况下的 瞬态相应时，提到两种方法：脉冲响应方法和傅 氏变换方法。在实际的振动分析中，我们非常关 心频率结构问题，因为振动响应的大小与激励的 频率结构和系统的频率响应函数非常相关。那么， 在随机振动研究中，我们采用的是功率谱分析的 方法。
第12章 功率谱分析
Rx ( ) S 0 e
f2 f2 i 2f
例3：如图12-8的自功率谱函数，求其自相关函数。
df
若f2趋于无穷大，则为一个白噪声随机过程：

S0
sin 2f 2
Rx ( ) S 0 e


i 2f
df S 0 ( )
第12章 功率谱分析
第12章 功率谱分析
12-1自功率谱密度函数 1.定义和意义：自相关函数的傅氏变换 即：
S x ( f ) Rx ( )e


i 2f
d
Rx ( ) S x ( f )e


i 2f
df
第12章 功率谱分析

性质：
实偶函数：


振动是一种普遍现象 证明：
S x ( f ) R x ( )e
0
T
i 2ft
d
1 2 S x( f ) X ( f ,T ) T
由此，可以看出，自谱当然是非负函数。
第12章 功率谱分析
l 单边谱 工程实际中，负频率时没有意义的，为此将负半轴的能量折叠到 正半轴上就成为单边谱。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2S x ( f )
Gx ( f )
(f<0)
（f≥0）
0
第12章 功率谱分析


i 2 ( f )
d
R x ( )e


i 2f ( )
d ( )
R x ( )e
'

i 2f '
d
'
Sx ( f )
第12章 功率谱分析
均方谱密度
Rx (0) S x ( f )e


i 2f 0
典型随机过程的自功率谱图形：如图12-3
第12章 功率谱分析
12-2 互功率谱密度函数 1. 定义和意义：互相关函数的傅氏变换 即：
S xy ( f ) Rxy ( )e


i 2f
d
Rxy ( ) S xy ( f )e


i 2f
df
第12章 功率谱分析
2
第12章 功率谱分析
12-3 功率谱的应用 汽车平顺性评价 汽车平顺性：是汽车的重要性能之一，影响疲劳、 货物损坏、零部件使用寿命画一个轿车和驾驶员 的图
1 ISO2631 国际标准 : 疲劳降低功效极限图的说明： 人体对水平和垂直振动的反应不一样；
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人体振动反应对频率敏感； 垂直振动敏感区域4~8HZ,水平是2HZ以下； 纵轴是加速度均方根值； 8H等几根线的意义：时间越长人体能够不疲劳 地承受的加速度均方根值就越小。 1/3倍频带定义： 每一频带上限频率与下限频率之比为。
第12章 功率谱分析
推导中注意极限放在外面来和共厄复数的说明。 所以互相关函数表示两个随机过程中相同频率成 分傅氏变换模乘积的大小和相位差，者是自功率 谱没有的。
第12章 功率谱分析
性质： 1.是复数 2. S yx ( f ) 与 S xy ( f ) 为共厄复数 3.取值有
S xy ( f ) S x ( f ) S y ( f )
第12章 功率谱分析
例2：如图12-5的自功率谱函数，求其自相关函数。
R x ( ) S 0 ( e
f2
f1
i 2f
df e
f1
f2
i 2f
df )

2S 0

sin ( f 2 f1 ) cos ( f1 f 2 )
由于f2和f1相差很小，因此是频率非常低正弦波， 且除以以后就变为类似指数衰减的曲线，最大幅 值为。因为
1 T i 2f S xy ( f ) [ lim x ( t ) y ( t ) dt ] e T 2T T T 1 T i 2ft i 2f ( t ) lim x ( t ) e dt y ( t ) e d (t ) T T 2T T 1 lim X * ( f , T )Y ( f , T ) T 2T 1 i[ y ( f ) x ( f )] lim X ( f ,T ) Y ( f ,T ) e T 2T
第12章 功率谱分析
第i频带的均方根值计算：首先采样加速度信号然 后求自功率谱，然后：

i

x

i f上
i f下
S ( f )df
x
df S x ( f )df E[ X ]
2

可见：自谱曲线与横坐标轴间围成的面积就是 随机过程的能量（X代表位移），或者是功率 （X代表电流）。这就是能量谱或功率谱简称 自谱的由来。
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T是截取的时间长度，而且为提高精度往往截取 多段，然后平均。
X ( f , T ) x(t )e
同样：
S yx ( f ) R yx ( )e


i 2f
d
R yx ( ) S yx ( f )e


i 2f
df
第12章 功率谱分析
2. 物理意义： 对于各态历经的平稳随机过程有：
1 Rxy ( ) lim T 2T


T
T
x(t ) y (t ) dt
计算： 例1：有各态历经随机过程其中是取值在 0~范围的 等概率密度的随机变量，求自谱。 由前面自相关函数的求解方法得：
2 x0 Rx ( ) cos 2f 0 2
量
2 2 x0 x Sx ( f ) cos 2f 0e 2fi d 0 [ ( f f 0 ) ( f f 0 )] 2 4