2020年1月9日福建省高2020届高2017级高三宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学试题及参考答案
福建省宁德市2019-2020学年高三第一次质量检查试卷文科数学
宁德市2020届普通高中毕业班第一次质量检查试卷文科数学注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B =（ ）A. (2,1)-B. (1,2)C. (1,2)-D. (1,1)-2.已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则21z z+=（ ） A.1i 2+ B. 1i 2- C. 1i +D. 1i -3.已知双曲线222:14xy C b-=的焦距为 ）A. 8B. 6C.D. 44.设向量,a b 满足r r r r+=-=a b a b a b ⋅=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考.“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是（ ） A.14B.13C.12D.236.已知公比为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的前n 项和为n T ,若有345610a b b a +++=，则88S T +=（ ）A. 80B. 40C. 20D. 107.若实数,,x y z 满足23log log 2z x y ==，则,,x y z 的大小关系是（ ） A. z x y <<B. x y z <<C. x z y <<D. z y x <<8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n =（ ）A. 20B. 30C. 75D. 809.将函数1()cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是（ ） A.13B. 2C. 3D. 610.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A. 16B. 20C. 16+D. 20+11.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a +=的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F ∆的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为（ ） A.17B.13C.12D.2312.已知函数33,0,(),0,x x x f x ax x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是（ ） A. 当0a >时，至少有2个零点 B. 当0a >时，至多有9个零点 C. 当0a <时，至少有4个零点D. 当0a <时，至多有4个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为_______.14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y=+最大值是_______.15.在边长为2的菱形ABCD 中，3ABC π∠=，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B '的位置，且点B '在面ACD 内的正投影为ACD ∆的重心G ,则B ACD '-的外接球的球心O 到点G 的距离为_______.16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121nn a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围． 18.如图，矩形ABCD ⊥平面BCE ，1,2AB BC BE ===且2π3EBC?，,M N 分别为,AB CE 的中点.（1）证明：//MN 平面AED ； （2）求几何体A MND -的体积.19.某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i =的数据进行了统计，得到如下数表：（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时，公司月利润的预报值最大？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221niii n ii x ynx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-$$参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑20.已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF =.（1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.21.已知函数2()1(0)x f x ax e a =-?．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值. 23.已知11212x x m ++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围.宁德市2020届普通高中毕业班第一次质量检查试卷文科数学注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B =（ ）A. (2,1)-B. (1,2)C. (1,2)-D. (1,1)-【答案】B 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 再求交集即可.【详解】由题{}{}2131A x x x x =+>=>,{}{}{}220(2)(1)012B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<.故{}12A B x x ⋂=<<. 故选：B【点睛】本题主要考查了一次二次函数表达式的求解以及交集的运算,属于基础题型. 2.已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则21z z +=（ ） A.1i 2+ B.1i 2- C. 1i + D. 1i -【答案】A 【解析】【分析】 将1z i =-代入21z z +再化简求解即可. 【详解】由题()222211122211i 22221z i i i i i z i i i +-+--+=====+---. 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题型.3.已知双曲线222:14xy C b-=的焦距为 ）A. 8B. 6C. D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据焦距为,c b ,再利用焦点到渐近线的距离为b 求解即可.【详解】由题焦距为c =,故(222416b b +=⇒=,故4b =.故焦点到渐近线的距离为4b =. 故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与知识点焦点到渐近线的距离为b ,属于基础题型.4.设向量,a b 满足r r r r+=-=a b a b a b ⋅=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】将r r r r +=-=a b a b .【详解】由题()()2215,7+=-=r r r r a b a b ,故22+215+?r r r ra b a b,22-27+?r r r r a b a b,两式相减有48a b ⋅=.故2a b ⋅=. 故选：C【点睛】本题主要考查了向量模长的运用,一般将两边平方进行化简,属于基础题型.5.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考.“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的方法,考虑在选择历史的情况下再枚举求解即可. 【详解】先考虑选择历史的概率为12,在此基础上所有选取的情况可能有（化学,生物）, （化学,地理）, （化学,政治）, （生物,地理）, （生物,政治）,（地理,政治）共6个, 其中选政治的基本事件有3个, 历史和政治均被选择到的概率是131264⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型的基本方法,需要根据题意枚举所有的基本事件即可.属于基础题型. 6.已知公比为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的前n 项和为n T ,若有345610a b b a +++=，则88S T +=（ ）A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】B 【解析】 【分析】根据等差等比数列与前n 项和的性质求解即可.【详解】由345610a b b a +++=中等比数列{}n a 公比为1-可知3633(1)a a a =⋅-=-.故360a a +=.故4510b b +=,又811888451(1)8()04()401(1)2a b b S T b b 轾--+犏臌+=+=++=--. 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的性质与求和公式运用,属于中等题型. 7.若实数,,x y z 满足23log log 2z x y ==，则,,x y z 的大小关系是（ ） A. z x y <<B. x y z <<C. x z y <<D. z y x <<【解析】 【分析】令23log log 20z x y m ===>,再分别表示,,x y z 进行比较即可. 【详解】令23log log 20z x y m ===>,则22,3,log mmx y z m ===. 由函数图像,当0m >时2log 23mmm <<.即z x y <<故选：A【点睛】本题主要考查了指对数函数的互化与图像性质,属于基础题型.8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n =（ ）A. 20B. 30C. 75D. 80【答案】C【分析】分析程序框图的功能再列式计算即可.【详解】由框图易得,该框图设大僧为m 人,小僧为n 人,功能为计算小僧的人数n .故10033300820033*********m n m n n nn m m +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩,解得75n = 故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的功能,属于基础题型. 9.将函数1()cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是（ ） A.13B. 2C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先求出平移后的函数表达式,再根据与原图象有相同的对称中心列式分析即可. 【详解】1()cos sin 226f x x x x ωωωπ=+=+⎛⎫⎪⎝⎭. 又向左平移3π个单位长度后与原函数的对称中心相同.故当正实数ω的最小值时, 3π为()f x 的半个周期.即12332ππωω=⨯⇒=. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数图像的性质,重点抓住平移的长度与周期的关系即可.属于基础题型. 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A. 16B. 20C. 16+D. 20+【答案】D【解析】【分析】 由题可得该几何体为长方体被与底面成一定角度的平面截取后的几何体.画出图像逐个面求解即可.【详解】画出该几何体的主观图,由三视图知2AB BC CD AD ====,11B D BD ==11113,2,1AA BB DD CC ====,11AC ===. 故224ABCD S ==,1111(23)252ABB A ADD A S S +⨯===,1111(12)232BCC B DCC D S S +⨯===,11112A B C D S ==故表面积4523220S =+⨯+⨯+=+故选：D【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积问题,需要根据三视图画出主观图进行分析,属于中等题型.11.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a +=的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F ∆的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为（ ） A. 17 B. 13 C. 12 D. 23【答案】B【解析】【分析】由椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等可知点P 的纵坐标,再根据焦点三角形的面积列式即可求得a ,进而求得离心率.【详解】因为点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等,故点P 在OA 的中垂线上,又点(0,8)A 故点P 的纵坐标为4.故1212442PF F S c c ∆=⨯⨯=.又12PF F ∆的内切圆半径为1. 故()1212212PF F S a c a c ∆=⨯+⨯=+.故14,3c a c c a +==.即离心率13e =. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆中上点的问题以及焦点三角形与内切圆的问题,属于中等题型. 12.已知函数33,0,(),0,x x x f x a x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是（ ） A. 当0a >时，至少有2个零点B. 当0a >时，至多有9个零点C. 当0a <时，至少有4个零点D. 当0a <时，至多有4个零点【答案】B【解析】【分析】画出()f x 的图像,再分0a >,0a <两种情况分析复合函数的零点个数即可.【详解】先分析33,0y x x x =-≤,2'33y x =-,令2'330,1y x x =-==±,故33,0y x x x =-≤在 1x =-处取最大值2.①当0a >时：要取得最少的零点个数,则1a >,此时()2,0a x x x +≥=>>.此时函数图像如图.故(())20y f f x =-=有(())2f f x =,故()1f x =-,由图得(())2y f f x =-零点个数为1.故A 错误.要取得最多的零点个数,则此时01a <<,此时()2,0ax x x +≥=<>.如图故(())20y f f x =-=有(())2f f x =,所以1()1f x =-,21()f x t =,32()f x t =.当12,2t t <<时, 1()1f x =-有一根, 21()f x t =,32()f x t =均有4根,一共有9个零点. 此时2at t +=即220t t a -+=在区间()2上有两根12,t t .故(()222202220240a a a ⎧-⨯>⎪⎪-⨯+>⎨⎪-->⎪⎩ .求解得16125a <<.故B 正确.②当0a <时,函数ay x x =+为增函数,画出图像有令(())20y f f x =-=有1()1f x =-,2()f x t =,其中2220a t t t a t+=⇒-+=,由图知0t >,故12t =+>.故1()1f x =-有2个零点, 2()f x t =有一个零点.故一共有3个零点.所以C,D 错误.【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数的零点个数的问题,一般方法是画出图像再分析内层函数的函数值,再当成函数值求零点个数.属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为_______.【答案】31y x =-【解析】【分析】求导代入1x =即可求得函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线斜率,再利用点斜式求解即可.【详解】'()21f x x =+,故在在点(1,(1))f 处的切线斜率为'(1)3f =,又(1)2f =.故函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x -=-,即31y x =-.故答案为：31y x =-【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型.14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5【解析】【分析】画出可行域分析最大值点即可.【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+,易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.15.在边长为2的菱形ABCD 中，3ABC π∠=，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B '的位置，且点B '在面ACD 内的正投影为ACD ∆的重心G ,则B ACD '-的外接球的球心O 到点G 的距离为_______.【解析】【分析】由题意得B ACD '-为正四面体,故B ACD '-的外接球的球心O 在'B G 上,再根据勾股定理列式求解即可.【详解】由题,因为点B '在面ACD 内的正投影为ACD ∆的重心G ,故B ACD '-为正四面体.故B ACD '-的外接球的球心O 在'B G 上.设B ACD '-的外接球半径为r .12sin 60AC GC =⨯=︒. '3B G ===又222OG GC OC +=,故2223r r ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭,解得r =故326OG =-=.即球心O 到点G的距离为6【点睛】本题主要考查了外接球的半径求法以及利用勾股定理求解空间几何体中的长度等.属于中等题型. 16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n naa +-= ②1111n n a a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.【答案】①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可.【详解】对①,因为2211n n a a +-=,且正项数列{}n a . 故()222211211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故11n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②, 1111111111n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++, 故22101111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +--=---++==<<+成立. 对③, 112221101111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭成立 对④, ()2222112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立.综上, ①②③④均正确.故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型.三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c =. （1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．【答案】(1)23π(2) 【解析】【分析】 (1)利用余弦定理222cos 2a c b B ac+-=化简整理再用角C 的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.(2)易得ABD ∆的周长等于2a b ++,再利用正弦定理将,a b 用角,A B 表示,再利用三角函数的值域方法求解即可.【详解】解法一：（1）根据余弦定理得222222a c b a b c ac+-+= 整理得222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-， ()0,C π∈ 23C π∴= （2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++由正弦定理2sin sin sin a b c A B C====， 所以2sin ,2sin a A b B ==， 24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin()3A A π=+-)6A π=+ 0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(,)662A πππ∴+∈， 1sin()(,1)62A π∴+∈， 2a b \+?，所以ABD ∆的周长的取值范围是．解法二：（1）根据正弦定理得2sin sin 2sin cos A B C B +=sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+,2sin cos sin B C B ∴=-,sin 0B ≠，1cos 2C ∴=-， ()0,C π∈，23C π∴= （2）同解法一 【点睛】本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型. 18.如图，矩形ABCD ⊥平面BCE ，1,2AB BC BE ===且2π3EBC?，,M N 分别为,AB CE 中点.（1）证明：//MN 平面AED ；（2）求几何体A MND -的体积.【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】【分析】(1) 取ED 中点H ,证明AMNH 为平行四边形即可.(2)以AMD 或者AMN 为底面,再证明线面垂直求高和体积即可.【详解】解法一：（1）证明：取ED 中点H ，连接,AH NH∵,N H 分别为,EC ED 的中点，∴NH 为ECD ∆的中位线∴//NH CD 且12NH CD =∵ABCD 为矩形，M 为AB 的中点∴//NH AM 且NH AM =∴四边形AMNH 平行四边形∴//MN AHMN EAD Ë平面,AH EAD Ì平面∴//MN 平面AED（2）过N 作NF BC ^于F∵平面ABCD ⊥平面EBC ，平面ABCD 平面EBC BC =， 又NF ⊂平面EBC∴NF ⊥平面ABCD在CNF D 中， ∵23EBC π?且BE BC = ∴6πECB ?12NF CN ==1122AMD S AM AD D ==g …1132A MND D AMN V V --==创 解法二：（1）取BE 中点G ，连接,MG NG在ABE ∆中，MG 为中位线， ∴//MG AE∵MG ⊄平面EAD ，AE ⊂平面EAD ∴//MG 平面EAD同理，//GN BC ，∴//GN AD∵GN Ë平面EAD ，AD ⊂平面EAD ∴//GN 平面EAD又MG GN G =I∴平面//MNG 平面EAD∵MN ⊂平面MNG∴//MN 平面EAD（2）∵平面ABCD ⊥平面EBC ，平面ABCD 平面EBC BC =，∴AB ⊥平面EBC∴AB CN ^∵BE BC =且N 为CE 的中点∴CN BN ^∵CN BN ^，CN AB ⊥，AB BNB ?则CN ⊥平面ABN即CN ⊥平面AMN∵//CD 平面AMN ，CNF D 中， ∵23EBC π?且2BE BC ==∴d CN == 1124AMN S AM BN D ==g∴1134A MND D AMN V V --==创 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明方法,同时也考查了求体积中利用线面垂直找高的方法,属于中等题型.19.某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i =的数据进行了统计，得到如下数表：（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时，公司月利润的预报值最大？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中1221ni i i n i i x y nx yb x nx ==-=-∑∑，a y bx =-$$参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑【答案】(1) 3.236.ˆ8y x =-+；(2) 是理想的；(3) 新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润【解析】【分析】(1)分别求出,x y ,再利用公式求解ˆb ,代入样本中心点求ˆa 即可.(2)代入7x =求残差的绝对值判断即可.(3)表达出销售利润关于x 的表达式,再利用二次函数在对称轴处取得最值求解即可.【详解】解：（1）因为1(88.599.510)95x =++++=，1(1110865)85y =++++=所以23505983.2407559ˆb -⨯⨯==--⨯．，则()8 3.2936.ˆ8a =--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为 3.236.ˆ8y x =-+；（2）当7x =时， 3.2736 4.4ˆ.81y =-?=，则14.814.40.40.5y y ∧-=-=<，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为M ，则()()5 3.236.8M x x =--+(511.5)x <<23.252.8184x x =-+-所以8.25x =时，M 取最大值．所以该新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法,同时也考查了建立函数模型分析最值的问题.属于中等题型.20.已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF =. （1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.【答案】(1) 24y x = 2t = (2) 2y x =-+或123y x =+ 【解析】【分析】(1)由1(2Q 在抛物线C 上,利用抛物线的定义求解即可.(2) 设直线l ：2(0)y kx k =+≠联立抛物线方程,再根据AOB MON S D D =转换成|||AB MN =,根据弦长公式求解斜率即可.【详解】解：（1）313||,2222p QF =\+=Q ， 2p ∴=抛物线C 的方程为：24y x =将1(2Q 代入24y x =得2t = （2）设1122(,),(,),A x y B x y 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2(0)y kx k =+≠，联立242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得224(1)40k x k x --+=， 22Δ16(1)160k k =-->Q ，得12k <且0k ≠， 1212224(1)4,k x x x x k k -∴+==，ΔΔ,|||AOB MON S AB MN =\=Q ，1200x -=-，即120x x x -=，N Q 是AB 的中点，1202x x x +∴=， 22121212()()434x x x x x x +\+-=?，整理得21212()16x x x x += 2224(1)64[]k k k -\=，解得1211,3k k =-=， ∴直线l 的方程为：2y x =-+或123y x =+ 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系,需要将题目中的面积关系翻译成弦长的关系,再联立方程根据弦长公式进行列式,代入韦达定理再化简求斜率即可.属于中等题型.21.已知函数2()1(0)x f x ax e a =-?．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．【答案】(1)见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)求导后分0a >和0a <两种情况进行讨论即可.(2)由题函数()f x 没有零点,转换为2()x g x x e =与1y a=在[1,)+∞无交点,再求导分析()g x 的单调性与最值,进而求得a 的取值范围.再代入2(1)(()1)ln x f x x x -+≥,构造函数分析单调性与最值证明即可.【详解】解法一：（1）2'()2x x f x ax e ax e =+(2)x ae x x =+当0a >时，令'()0f x >得0x >或2x <-；令'()0f x <得20x -<<．∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-当0a <时，令'()0f x >得20x -<<；令'()0f x <得0x >或2x <-．∴函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.综上所述,当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.（2）函数()f x 在[1,)+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+∞无解则2()x g x x e =与1y a =在[1,)+∞无交点2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+∞上单调递增min ()g x e =，∴1e a < 则1a e >由（1）得()f x 在[1,)+∞上单调递增()(1)10f x f ae ≥=->要证 2(1)(()1)ln x f x x x -+≥即证 22(1)ln x x ax e x x -≥即证 (1)ln x a x e x -≥即证 (1)ln 0x a x e x --≥令()(1)ln x g x a x e x =--1'()(1)x x g x ae a x e x =+--1x ae x x =-21xax e x -=()0f x x =>()g x ∴在[1,)+∞时单调递增，()(1)g x g ∴≥0=所以原不等式成立．解法二：（1）同解法一（2）函数()f x 在[1,)+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+∞无解则2()x g x x e =与1y a =在[1,)+∞无交点2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+∞上单调递增min ()g x e =，∴1e a< 则1a e> 要证2(1)(()1)ln x f x x x -+≥，即证22(1)ln x x ax e x x -≥，即证(1)ln x a x e x -≥ 因为11(1)(1)(1)(1)x x x a x e x e x e x e-->-=-≥-， 所以只需证 1ln x x -≥，即证 1ln 0x x --≥，令 ()1ln g x x x =--11'()10x g x x x-=-=≥， ()g x ∴在[1,)+∞时单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，所以原不等式成立．【点睛】本题主要考查了分参数情况讨论函数的单调性问题,同时也考查了利用函数的单调性,分情况讨论与构造函数求最值,进而分析求证不等式的方法.属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b +=-,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b +=-将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立，∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b +=-．0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--，32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b -=--=-+--．当01b <<时，011b <-<，2a b -? 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =-时取“=”； 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =+“=”．所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学答案
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5- 14．12 15．35- 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17． 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，……………………………… 2分又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分 所以12n a n = ．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++．………………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． （1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．…………………… 1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分 所以//AF MN ，……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．………………………5分 （2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ， 矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量， 因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--， 所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．………………………………12分解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ． 又矩形ABCD 中，M 为AB 中点， 所以//,AM DF AM DF =， 所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ， 所以//MF 平面AED ．………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ， 所以//FN 平面AED ．……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分 又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ， 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH ∴⊥又EG GH G =，AH ∴⊥平面EGH ， EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分 因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -……………1分 又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos 2A =0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--=⋅……………………1分 整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b ⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE . 则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==. 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分 即2244+8AD b b =+，所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分 ∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，………………………………8分设1t =，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分 （注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分） 21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a ea a ++-+=，即1(1)(2)0a ea +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 （2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e+=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。
福建省宁德市2017届高三第一次(3月)质量检查理数试题
1 xA
4k 2 12k 3 3 4k2 ，
4k 2 12k 3
3
xA
3 4k 2 , yA k xA 1 2
12k 2 6k 3
3 4k 2
，又 PM PN 2
, 直线 PB
的斜率为 k .
用 k 代替 k ，得 xB
4k2 12k 3 3 4k2 , yB
12k 2 6k 3 4k2
3， 2
12k 2 6k 3 12k 2 6k 3
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x 2 x 1 x 2 的最小值为 m .
（1）求实数 m 的值； （2）若 a, b, c 均为正实数，且满足 a b c m ，求证 : b 2 c2 a 2 3 .
abc
福建省宁德市 2017 届高三第一次（ 3 月）质量检查数学理
一、选择题
1-5:BCAAD 二、填空题
5
13.
2
三、解答题
试题参考答案
6-10: CDDAA
11-12： DC
4
14.
3
15. 4 2 2
1
16.
8
2b 3c cosC
2sin B 3 sin C cosC
17. 解： (1) 因为
，所以
，
3a cos A
3 sin A
cos A
所以 2sin B cos A 3cos Asin C 3sin A cosC ，
(2) 将
a
44
为中点的弦长为（
）
A．1
B． 2
8. 执行如图所示的程序框图，若输入
C. 3 t 的值为 5 ，则输出 s 的值为（
D． 4
福建省宁德市2017届高三3月第一次质检理综生物试题及答案
2017年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科综合第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 •下列关于细胞的叙述，错误的是A. 减数分裂过程中可发生染色体变异B.细胞周期的长短不受细胞器的影响C.具有细胞结构的生物遗传物质都是DNAD.内质网可参与物质合成和物质运输2 •关于物质运输的叙述，错误的是A. 生长素以自由扩散的方式从顶芽运输到侧芽B. 不同细胞吸收葡萄糖的跨膜运输方式可能不同C. 载体蛋白的数量和被运输物质的浓度都会影响协助扩散D. 胰岛细胞以胞吐方式分泌胰岛素的过程需消耗能量3. 有关酶和ATP的叙述，正确的是A. 酶和ATP只能在细胞内起作用B. 某些情况下溶酶体内所含的酶能破坏细胞自身结构C. 生物合成ATP的能量只能来自光合作用或呼吸作用D•若用淀粉、蔗糖和淀粉酶来探究酶的专一性，可用碘液对实验结果进行检测4. 下列与人体神经调节有关的叙述，正确的是A. 在突触后膜上可发生“电信号一化学信号”的转换B. 刺激反射弧上任意部位，由效应器产生的反应都称为反射C. 神经元产生兴奋时钠离子内流属于逆浓度梯度的主动运输D. 某些神经递质能调节某些腺体的分泌活动5. 人类社会在不断发展进步的同时，对生态环境造成更大压力。
下列叙述错误的是A•人类活动会影响-一些种群基因频率改变的方向B. 人类活动能影响群落演替的方向和速度C. 人为补充物质和能量可影响某些生态系统的结构和功能D. 易地保护是对生物多样性最有效的保护6. 黏多糖贮积症H型(缺少黏多糖水解酶)患者均为男性且少年期死亡，患者的母亲都是携带者。
下列叙述错误的是A .该病遗传方式可能为伴X染色体隐性遗传B. 该患者的致病基因不可能来自父亲C. 调查该病的发病率要保证调查的患者家系群体足够大D. 该病说明基因可通过控制酶的合成间接控制生物性状29. (10分)芒萁是我省广泛分布的一种阴生蕨类植物，喜生长于酸性红壤中，是重要的酸性土壤指示植物。
【1月质检试卷】2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷文科数学试卷及答案
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷文 科 数 学本试卷共5页，满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{}2213,20A x xB x x x =+>=--<，则A B I =A.(2,1)-B.(1,2)C.(1,2)-D.(1,1)- 2.已知复数1i z =-，其中i 是虚数单位，则21z z+=A.1i 2+ B.1i 2- C.1i + D.1i -3.已知双曲线222:14xy C b-=的焦距为A. 8B. 6C.D. 44.设向量,a b 满足+=-=a b a b ?a bA.4B.3C.2D.15.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考。
“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是 A.14B.13C.12D.236.已知公比为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的前n 项和为n T ,若有345610a b b a +++=，则88S T +=A.80B.40C.20D.10 7.若实数,,x y z 满足23log log 2z x y ==，则,,x y z 的大小关系是A.z x y <<B.x y z <<C.x z y <<D.z y x <<8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一 百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各 几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行右图的程 序框图，则输出n =A.20B.30C.75D.80 9.将函数31()sin cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是A.13 B.2 C.3 D.6 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的表面积为A.16B.20C.1626+D.2026+11.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a +=的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F D 的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为A.B.C.D.12.已知函数33,0,(),0,x x x f x a x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是 A.当0a >时，至少有2个零点 B.当0a >时，至多有9个零点17131223C.当0a <时，至少有4个零点D.当0a <时，至多有4个零点 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是.15.在边长为2的菱形ABCD 中，π3ABC ?，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B ¢的位置，且点B ¢在面ACD 内的正投影为ΔACD 的重心G ,则B ACD '-的外接球的球心O 到点G 的距离为 .16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n n a a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-= 则D 型数列{}n a 的序号为 .三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.(12分)ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．18.(12分)如图，矩形ABCD ^平面BCE ，1,2AB BC BE ===且2π3EBC?，,M N 分别为,AB CE 的中点.（1）证明：//MN 平面AED ； （2）求几何体A MND -的体积.19.(12分)某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i =的数据进行了统计，得到如下数表：月销售单价i x （元/件）8 8.5 9 9.5 10 月销售量iy （万件） 11 10865（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时，公司月利润的预报值最大？ （注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ni ii n i i x ynx yb x nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$ 参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑20. (12分) 已知抛物线2:2C y px =的焦点为F，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF =. （1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.21. (12分) 已知函数2()1(0)x f x ax e a =-?．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半 轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程； （2）若||||AB OP ⋅α的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知11212x x m++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围.宁德市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. B2. A3. D4. C5. A6. B7. A8. C9. C 10. D 11. B 12. B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．31=-14．51516．②③④y x三、解答题：本大题 共6小题，共70分．17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）根据余弦定理得222222a c b a b cac+-+=整理得222a b c ab +-=-，………………………………………………………3分2221cos 22a b c C ab +-∴==-，(0,)C π∈Q ，23C π∴=……………………………………………………………………………5分（2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++………………………………………………………………6分由正弦定理2sin sin sin a b c A B C====，所以,2sin 2sin b a A B ==，24sin 2sin a b A B +=+ (8)分4sin 2sin()3A A π=+-)6A π=+………………………………………………………10分(0,)3A π∈Q ，(,)662A πππ∴+∈，1sin()(,1)62A π∴+∈，2(3,23)a b \+?，……………………………………………………………11分所以ABD ∆的周长的取值范围是(2333)．………………………………12分解法二：（1）根据正弦定理得2sin sin 2sin cos A B C B += (2)分sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+Q ,………3分2sin cos sin B C B \=-,sin 0B ≠Q ，1cos 2C ∴=-，…………………………………………………………………4分(0,)C π∈Q ， 23C π∴=……………………………………………………………………………5分（2）同解法一．18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（1）证明：取ED 中点H ，连接,AH NH ……………………………………1分∵,N H 分别为,EC ED 的中点，∴NH 为ECD D 的中位线 ∴//NH CD且12NH CD =……………………2分∵ABCD 为矩形，M 为AB 的中点 ∴//NH AM 且NH AM = (3)分∴四边形AMNH 为平行四边形∴//MN AH ………………………………4分MN EAD Ë平面,AH EAD Ì平面 (5)分∴//MN 平面AED (6)分（2）过N 作NF BC ^于F ………………………………………………………………7分∵平面ABCD ^平面EBC ， 平面ABCD Ç平面EBC BC =，又NF Ì平面EBC∴NF ^平面ABCD ……………………………………9分 在CNF D 中，∵23EBC π?且BE BC = ∴6πECB? 132NF CN ==…………………………………………………………………10分 1122AMD S AM AD D ==g ……………………………………………………………11分 113332A MND D AMNV V --==创= (12)分解法二：（1）取BE中点G，连接,MG NG………………………………………………1分在ABED中，MG为中位线，∴MG AE……………………………………2分//∵MGË平面EAD，AEÌ平面EAD∴//MG平面EAD………………………………3分同理，//GN ADGN BC，∴//∵GNË平面EAD，ADÌ平面EAD∴//GN平面EAD………………………4分又MG GN GI=∴平面//MNG平面EAD……………5分∵MNÌ平面MNG∴//MN平面EAD…………………………………………………………………6分（2）∵平面ABCD^平面EBC，平面ABCDÇ平面EBC BC=，又AB BC^∴AB^平面EBC∴AB CN^………………………………………………7分∵BE BC=且N为CE的中点∴CN BN^…………………………………………8分∵CN BN^，CN AB?^，AB BN B则CN^平面ABN即CN^平面AMN…………………………9分∵//CD 平面AMN ， ∴D 到平面AMN 的距离d CN=在CNF D 中， ∵23EBC π?且2BE BC == ∴d CN ==……………………………………………………………………10分1124AMN S AM BN D ==g ……………………………………………………………11分∴1134A MND D AMN V V --==创 (12)分19. 本小题主要考查了回归直线方程,函数等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.解：（1）因为1(88.599.510)95x =++++=， (1)分1(1110865)85y =++++=…………………………………………………………2分所以23505983.2407559ˆb-创==--?．，则()8 3.2936.ˆ8a=--?， (4)分于是y 关于x 的回归直线方程为 3.236.ˆ8y x =-+； ………………………………5分（2）当7x =时， 3.2736 4.4ˆ.81y=-?=，则14.814.40.40.5y y Ù-=-=<，……………………………………………………7分所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；…………………………………8分（3）令销售利润为M ，则()()5 3.236.8M x x =--+(511.5)x <<………………………9分23.252.8184x x =-+-……………………………………10分所以8.25x =时，M取最大值．………………………………………………………11分所以该新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润.……………………………12分20. 本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（1）313||,2222p QF =\+=Q ，………………………………………………………1分2=∴p …………………………………………………………………………………2分抛物线C的方程为：x y 42= (3)分将1(2Q 代入24y x=得2t = (4)分（2）设),,(),,(2211y x B y x A 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：)0(2≠+=k kx y ，………………………………5分联立⎩⎨⎧+==242kx y x y ，消去y 得04)1(422=+--x k x k ， (6)分22Δ16(1)160k k =-->Q ，得21<k 且0≠k ， 2212214,)1(4k x x k k x x =-=+∴， (7)分ΔΔ,|||AOB MON S AB MN =\=Q ，|0|13||102212-+=-+∴x k x x k ，即||3||021x x x =-， (8)分N Θ是的中点，2210x x x +=∴， (9)分22121212()()434x x x x x x +\+-=?，整理得2122116)(x x x x =+，………………………10分2224(1)64[]k k k -\=，解得31,121=-=k k ，………………………………………………11分∴直线l 的方程为：2+-=x y 或231+=x y (12)分21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（1）2'()2x x f x ax e ax e =+g g(2)x ae x x =+ (1)分当0a >时，令'()0f x >得0x >或2x <-；令'()0f x <得20x -<<．∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，AB单调递减区间为(2,0)-． (3)分当0a <时，令'()0f x >得20x -<<；令'()0f x <得0x >或2x <-．∴函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞ (5)分综上所述,当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.（2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+?无解则2()xg x x e =与1y a=在[1,)+?无交点……………………………………………………6分2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+?上单调递增 min ()g x e =，∴1e a< 则1a e>………………………………………………………………………………………7分由（1）得()f x 在[1,)+?上单调递增()(1)10f x f ae ≥=->……………………………………………………………………8分要证 2(1)(()1)ln x f x x x -+≥ 即证 22(1)ln x x ax e x x -≥即证 (1)ln x a x e x -≥即证 (1)ln 0x a x e x --≥ (9)分令()(1)ln x g x a x e x =--1'()(1)x x g x ae a x e x=+--1x ae x x=-21x ax e x-=()0f x x=>()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分()(1)g x g ∴≥0=所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 解法二：（1）同解法一（2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+?无解则2()xg x x e =与1y a=在[1,)+?无交点……………………………………………………6分2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+?上单调递增 min ()g x e =，∴1e a< 则1a e>………………………………………………………………………………………7分要证2(1)(()1)ln x f x x x -+≥， 即证22(1)ln x x ax e x x -≥，即证(1)ln x a x e x -≥， (8)分因为11(1)(1)(1)(1)x x x a x e x e x e x e-->-=-≥-， 所以只需证 1ln x x -≥， 即证1ln 0x x --≥，………………………………………………………………………9分 令 ()1ln g x x x =--11'()10x g x x x-=-=≥，………………………………………………………………10分()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分()(1)0g x g ∴≥=，所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=，………………………1分将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， (3)分所以120sin cos 2ρρραα+==+， (4)分所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈． (5)分（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅……………6分|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=， (7)分所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，………………………………8分 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=，……………………………………………………9分 即12πα=或512πα=…………………………………………………………………………10分解法二：（1）因为P 为AB 中点， 所以CP AB⊥于P ， (1)分 故P的轨迹是以OC为直径的圆（在Ce 的内部），………………………………………2分其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………3分即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈． (5)分（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅………………6分|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=， (7)分令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=， (8)分即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去），所以21sin 212t α=-=，又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈，所以26πα=或526πα=，……………………………………………………………………9分即12πα=或512πα=．………………………………………………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，Q 1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立，∴min 1()2f x m ≥-，…………………………………………………………………………1分又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，………………………………………………………………3分∴min 3()2f x =，∴2m ≤，……………………………………………………………………4分∴m的最大值2M =． (5)分（2）由（1）得2M =，故121a b +=-． 0,0a b >>Q ， 1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<．……………………………………………………………………6分 故112222(1)11a b b b b b-=--=-+--． (7)分当01b <<时，011b <-<，2a b -?当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =-时取“=”； (8)分当32b >时，112b ->，高三数学(文科)试卷 共5页 第21页122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =+时取“=”．…………………………………9分所以2a b -的取值范围是(,)-?+?U ．………………………………10分。
宁德市2020届高三1月质量检查(数学文)
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷文 科 数 学本试卷共5页，满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B I = A.(2,1)- B.(1,2) C.(1,2)- D.(1,1)-2.已知复数1i z =-，其中i 是虚数单位，则21z z+=A.1i 2+B.1i 2- C.1i + D.1i -3.已知双曲线222:14x yC b -=的焦距为A. 8B. 6C.D. 44.设向量,a b 满足+=-=a b a b ?a bA.4B.3C.2D.15.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考。
“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是 A.14 B.13 C.12 D.236.已知公比为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的前n 项和为n T ,若有345610a b b a +++=，则88S T +=A.80B.40C.20D.107.若实数,,x y z 满足23log log 2z x y ==，则,,x y z 的大小关系是 A.z x y << B.x y z << C.x z y << D.z y x << 8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一 百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各 几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行右图的程 序框图，则输出n =A.20B.30C.75D.80 9.将函数1()cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是A.13B.2C.3D.6 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的表面积为A.16B.20C.16+D.20+11.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a +=的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F D 的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 12.已知函数33,0,(),0,x x x f x ax x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是 A.当0a >时，至少有2个零点 B.当0a >时，至多有9个零点C.当0a <时，至少有4个零点D.当0a <时，至多有4个零点 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 .15.在边长为2的菱形ABCD 中，π3ABC?，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B ¢17131223的位置，且点B ¢在面ACD 内的正投影为ΔACD 的重心G ,则B ACD '-的外接球的球心O 到点G 的距离为 .16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n n a a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-= 则D 型数列{}n a 的序号为 .三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.(12分)ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c （1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．18.(12分)如图，矩形ABCD ^平面BCE ，1,2AB BC BE ===且2π3EBC ?，,M N 分别为,AB CE 的中点.（1）证明：//MN 平面AED ； （2）求几何体A MND -的体积.19.(12分)某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i =的数据进行了统计，得到如下数表：（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？ （3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时，公司月利润的预报值最大？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑20. (12分)已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF =.（1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.21. (12分)已知函数2()1(0)x f x ax e a =-?． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．。
福建省宁德市2020届高三第一次质量检查1月数学理Word版含答案
届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷2018学数理科．页，满分150卷3至5卷两部分．第I卷1至2页，第II本试卷分第I卷和第II卷第I分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符小题，每小题5一、选择题：本大题共12 合题目要求的．????x212??2x?3B?xA?xx?AB 1，则，．已知集合)??(0,3][?1,,1)?1[0,3][ DA B C ．．．．开始(?1,1)zzz?z?2 2，，复数对应复平面上的点．已知复数满足2121n?1??2i||z 则2a?0 D B C A 10．．．．2102?1?????)tan(?cos2 3，则．若否100??n344334是?? D AB C ．．．．输出a15555)lg(1?a?a?n 4．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结束的值为a n?n?1lg101lg9910DA B C ．．．．22x?y?1?0,??x?1?0,yx,z?x?2y?5，则满足约束条件．设的取若目标函数的最小值大于5m??y?m?0，?值范围为1111????????3,??1,,23,2???B．C．DA．．????33????A,B,C,D,年在宁德召开．组委会预备在会议期间将6．福建省第十六届运动会将于2018 E,FA,B必须在同一组，这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求且每组至少2人，则不同的分配方法有3 B．18种种A．15种．22 D 20．种C212 7．一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为侧视图正视图?53??7474???BA ．．22??53??2177?? C D ．．22俯视图0.0.62lolog．已知，0.6． D B．C ．A．bc?a?cb??a?b?cc?ab?a?29l与抛物线相交于的焦点为点且倾斜角为．设抛物线，过的直线)?y?2px0(pFF4p(?,2) A,B，则该抛物线的方程为为直径的圆过点两点，若以AB22222 D C AB ．．．．xyy16??y8x?y4x?2x10“今有三女，长女五日一归，中女四日．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：”“一家出嫁的三个女儿中，大女一归，少女三日一归．问：三女何日相会？意思是：儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿”假如回娘家当天均回夫家，若当从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有C DA B 61595860．．．．2????xcos?f(x)?asinbx0?R,?a,b?x)??f(f(??x))11(，且对任意．函数，满足3?)(fx)?f(?R?x ，则以下结论正确的是，都有6)(x)?f(?fx?|f(x|a)??3 DCAB ．．．．b?3a max a x?1x1?xx1)x?1ae?e?ln((fx)? 12的取值范围是，则实数，且．设函数存在零点00,?eln2)(1?eln?)(??2,???(???,1eln2)(eln2,?)B ACD ．．．．2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学第II卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．b?2a?72b?2+a?b60__________，．，则，．已知向量13，的夹角为a C14的右焦点关于其中一条渐近线的对称点．若双曲线落在另一条渐近线上，则双曲PF eC=________ ．的离心率线?115CBABC?A，则该正三棱台和，高为．若正三棱台的上、下底面边长分别为332 _______．的外接球的表面积为2)(bf(a)?fx)?|fx?1|(?x2161b?a?数则对，任．，设，函若意的实数，c22)?)c?(b(a?c ______．的最小值为70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，满分）（1217．本小题满分分1S?a?20?a{a}S 已知数列，若和为，的前．n nnnnn}的通项公式；（Ⅰ）求数列{a na n T}{b．的前，求数列（Ⅱ）若项和?b n nn nn3）12．（18分本小题满分F3?2ADABCDAC?6ABCDAB沿，点上的动点．矩形如图，是中，现将矩形，??30D?BBAC?ACD?着对角线折成二面角，使得．?3AF?BCF?D 时，（Ⅰ）求证：当；??BAF?D?CF．的大小为的长，使得二面角（Ⅱ）试求4?D DC?FF C ?AABB）（1219．本小题满分分0A4010710CCC且距岛的北偏西海里．上午9如图，岛点整有一客轮在岛、相距BAAD9:3010测沿直线方向匀速开往岛海里的处，，在岛上午停留分钟后前往市．0 E70310CCC乘坐速度为此时小张从岛海里的得客轮位于岛的北偏西且距岛处，BA V 小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．/海里V?(0,30]，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅰ）若正北方向D 54E，（Ⅱ）现测得．已知速度为?sin?ACB??BACcos?A55CV?(0,30]V)小时海里/(的小艇每小时的总费用为B 12B50VV?? (直接乘小艇去市，)元，若小张由岛C2则至少需要多少费用？12（本小题满分分）20．22yx30)b?1(a??C:?P(0,)bk过的左、右焦点分别为F且斜率为,已知椭圆．F1222ab2M?C0Nk时，四边形MNF,F恰在以．当的直线与椭圆MF为直径，面相交于点l11225的圆上．积为?16C 的方程；（Ⅰ）求椭圆3l的方程．，求直线（Ⅱ）若MNPN?PM?71221．（本小题满分分）1?22)gx()g(x?R))?(?axa?lnxf(x(g)x)?x2?x?f(x 有最大值是，，且已知函数2 的导数．aⅠ的值；（）求1?03?(x)?x?x)g(x?g?x)gx(?Ⅱ．时，（）证明：当，2112212请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程xOy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线在平面直角坐标系x??4sin?MPOMCC上，的极坐标方程为，上异于极点的动点，点为曲线在射线11OP,25,OM成等比数列．且PC的直角坐标方程；的轨迹（Ⅰ）求点2D,E(0,3)AABB2CC两点，是曲线与上的一点且横坐标为,直线，交于已知（Ⅱ）12AD?AE的值．试求：不等式选讲5—4分）选修10（本小题满分．23．已知f(x)?g(x) Ⅰ4a??的解集；）若，求不等式（a)xg)?(f(x[0,3]?xⅡ的取值范围．（时，）若的解集为空集，求2018年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．2220?8 16．15．．13 14．附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．2??f(x)x?R,0))(??f(??x)??f(x. 11，都有的对称中心为．可知，函数对任意33??f(0)?0?(?)x?f(x)?fb=0 ．，故，可知，知对称轴是661?1x1x?ae1)x???ln(0xae?1)1??e?ln( 12，，得．令x e1?1(1,??))x?h(y1)ln(x??h(x)?ae?y 上有交点，，条件转化为设的图象在与x ex?x?1e11?[0,??))xh(0???hx()??上在，得xx(xe?1)xe?1为增函数，?1a?1?eln2ae(1)h??.，得．111) 1，整理．依题意可知：?AB1??ab，方程表示如图一段弧，22)c?(b(a?c)? y=-x的距离的平方，可表示弧上一点到直线22)c?(b?(a?c)? 8．的最小值是小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．三、解答题：本大题共617．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．21)a?S?(?412S?a?．………………………………1分解法一：（Ⅰ），nn nn2(a?S?1)4a?11n?．………………………………2时，分当，得11121)??(a4S2n?时，，当11n?n?221)??((a?1)a??4(SS)?，………………………………3分1n1?nnn?222a??2a?a?4a?a(a?a)(a?a)?2(a?a)，，即1nn?1nnn?1?nnnnnn?1?1?0,?a?a?2a．………………………………4分1n?nna?1}{a，公差为2数列，………………………………5分是等差数列，且首项为?1n?a?1?2(n?1)?2n?1．………………………………6分n1??1)?(2nb，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，nn31111?T?1??3??5??????(2n?1)?，——①………………………………7分nn23333311111T?1??3??????(2n?3)??(2n?1)?，——②………………………………8n12?nn333333分211111T??2(??????)?(2n?1)?………………………………9②得分①–n1n?2n333333311?111?2n33?(2n?1)??2??， (10)分11n?331?3n?1?T?1．化简得…………………12分nn3解法二：（Ⅰ）同解法一. 1b?1)?n(2?（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，nn3．1A1(1A31,?2,A??2A????解得??1.?1,B?3A?2B????11111……………………………，?1)n?n??(??(?n?1)??b??(2n?1)?(?n)?nnn?1nnn?133333 …9分b??????T?b?b nn12111111]1)??(n)??3???[?(1?n???2?)?(211?02nn13333331?n分………………………………12.?1?n3直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础本小题主要考查空间直线与直线、18．知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分分．12BFDF ，解:（Ⅰ）连结．DC623,CD??ADABCD,中，在矩形00303,?CAB??AC?460??DAC ………………………………1, 分．FABADF?3AF?,在中，∵2229DAC??cos??2DA??DFDA?AF?AF 分，． (2)222DA?3?AF??9DF ，∵?ACD?F?DF?AC 分，即．………………………………3ABF?中，又在?D22221??AFCAB?2AB?AF?BFcos?AB?分， (4)22222???BD(21)?F?FB?3D?FB?D,∴在中，FO CA?F?BF?D 分,………………………………5E F?ACFB,又??FDABC ．∴平面B?BCF?D ………………………………6∴分．EABDACODE?ACABCD沿着对角线于于，并延长交（Ⅱ）解：在矩形中，过作.翻折后，?ODOCOE,, 由（Ⅰ）可知，两两垂直，xyzO?OEO 的方向为以为原点，，则轴的正方向建立空间直角坐标系x3,0(3,(0,0,3)(1,0,0)(0,0,0)O ,………………………………7?FAD,平面?EO?(1,0,0)?OE?FAD 分为平面的一个法向量． (8)?),z,y,n?(xFBD 设平面的法向量为?3,0)23,t?BF?23,3),?(?BD??(?3,,0)(0,Ft, ，???，z?0?23yn?BD??0,3?3x??由得??0,??BFn，03)y??(t?2?3x????tz??t?23,x?n?(t?23,3,t)3,y?．………………………………10分则, 取?|OEn?|2|23|t?,?cos??,即42|n||OE|22(t?23)?9?t3??t．4?11 ?A?DF?B时，二面角分当的大小是．…………………123CF??4419．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（Ⅰ）如图，根据题意得：00030?40?DCE?70?．，，，7AC?CE10?31010?CD在中，由余弦定理得，CDE?22?2CD?CE?cos?DCEDE?CD?CE322?2?10?103?10??(103) 2, ………………………………2分10?所以客轮的航行速度（海里/小时）．………………………………3分20V?10?2?1030???DCE?DEC，因为，所以DE?CD00015030??AEC?180?．所以222?2AE?CE?AC?AEcos?CE?AECACE?，在中，由余弦定理得，2?30AE?400AE?0，整理得：AE?10AE??40（不合舍去）解得．或………………………………5分101AE小时，所用的时间所以客轮从处到岛?t?1220．17A小时．所用的时间至少为小张到岛??t23031，由于??tt126所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分54, 中，（Ⅱ）在，ABC???ACBsin??cos?BAC55253分．所以为锐角，，………………………………7ACB??cos?ACB?sin?BAC550所以)]ACBBAC?sin[180sinB???(?)?BAC?ACB?sin(?ACBBACsin??sin?BACcos?ACB?cos?32545 ????555525．………………………………8分?25BCAC,由正弦定理得，?BBACsinsin?3?1075?15BC?35,所以………………………………9分5225B的总费用为直接乘小艇去城市所以小张由岛C153511502 35165?)??)?50)1535(V?1(V?V?(fVV2V2V?(0,30]),………………………………10分(150f(V)?16535（元）时，当且仅当………………………………11，即10V??V min V2分B需少，市其费用接由若小张岛直乘小艇去至以所35165C 元． (12)分…．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推20考查考生分析问题和解决问题的化归与转化思想，考查函数与方程思想、理论证能力，能力，满分12分．xl0?k// 时，直线（Ⅰ）当解：轴，25MFMNFF?的圆上，为直径，面积为又四边形恰在以112165FMNF?MF．为矩形，且………………………………………………………1∴四边形2112．分b(c,)M．∴点………………………………………………………2分的坐标为a，又a2b3?．………………………………………………………3分∴a2a?2k,b?3k，则．设kc?3FF?2kFRt?MF，中，在，kMF?21212255∴，?MF?k122k?1．∴a?2,b?3，………………………………………………………5分∴22yx?1?C的方程为∴椭圆．………………………………………………………6分433y 22?kxy?l:03??x?12kx(3?4k) 与椭圆方程联立得（Ⅱ）将，2B M1312k),y)N(xM(x,y…………7，设分，得，．??xx?x?x?P 2121122122k4k3?3?422Ox0?x?1?k?PM?PN?1?k??x0 故21NB212 k3?42又2k3+32=x)x?(1?k 分． (9)2?k361922222MN?1?kx?x?1?k?(x?x)?4xx?1?k?，…………………2221112k43?……10分22?361923+3kk32??1?k?∴，22k?k4733?42271?k?192k?36，即11??k，解得11113x?y??l的方程为∴直线．………………………………12分211考查推理论证能21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、分．12数形结合思想等．满分．1?)(0,???ax)?f2(x)f(x ………………………………1Ⅰ分），解：（的定义域为．x?0)?(xf 0a?，当时，)?(0,)fx(………………………………2舍去；在上为单调递增函数，不合题意，无最大值，分1?0)f?(x 0?a?x?，，得当时，令a21?)xf(x()?f0 )(0,x??单调递增；，函数当时，a21?)xf((x)f?0 ………………………………3),?x(???分时，当单调递减，，函数a2111, ?f(xf()?)???ln??max a22a2111 ,………………………………4??ln????分22a21?a??………………………………5 分．212x?2x?g(x)?lnx, ⅡⅠ）可知，）由（（21?2?(x)?xg??．x1?(x)?0?g2?x?, ，x?g(x)(0,??) ………………………………6 分在上单调递增．33??)?g(xx?xg(x)?(1)?g, 且，又21122?0?x?1?x………………………………7 分．212?1x1??(x)?g1??,22xx????(x)g0)g?x(1x?,单调递增时，当，1???(2)x?x?2)g?(xx?g?g(x)x?，要证，只，即要即证2112212x?2?x (8)分．12．,，11?g(x)?g(2?x)??3?g(x)??3(g(2?x)?gx)————*, ……………9）所以只要证（11112分2)x(2?(x)?gG(x)?g?2x?2?lnx??xln(2?x), 1??x0）设（其中11??2??2x?G?(x) x2?x1?)[1]?2(1?x x(2?x)31)x?2(??0, x(x?2)?G(x)01, ………………………………11 分，）上为增函数在（13???G(1)?G(x)??)x?gx(………………………………………12*．从而，故（式成立，）212 分4?4；坐标系与参数方程．选修22本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．????)P(,)(,M）设（1解：，，1OP?OM?20OM2,5,OP，………………………………1分则由成等比数列，可得20???==20?．即………………………………2分，11?20?????4sin?4sin)M(?,，即又，………………………………3分满足11????5sin，………………………………4分∴y?5．化为直角坐标方程为………………………………5分?(2,5)BAB1k?，故………………………………6倾斜角为，（Ⅱ）依题意可得即直线，AB4 分?2?x,t??2AB 分………………………………7的参数方程为∴直线?2?,y?t?3?2?2，代入圆的直角坐标方程2?2t?3?t0，………………………………8分得?2?t?ttt??3?0，………………………………9，分故2121AD?AE?t?t?2．………………………………10∴分214?5：不等式选讲．选修23本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．2g(x)f(x)?4a??x?4?x?1?x?2…………1，时，解：(1)当化为分21??x x??1?60x?+2x?5x??1?6，或，解得当，不等式化为x??1?6；故…………2分22x??1?x??77?xx?7，或当时，不等式化为，解得x??；故…………3分2x??12x?02?x?3x?x?3 ，解得，不等式化为当或x?3；…………4分故??x?f(x)3?x61?xx|x??分…………5．解集为或所以)x?g(f(x)[0,3]x?分时，恒成立．…………6(2) 由题意可知，即为??222?0?x3?a?x1?x?a??3 分…………8；时，，得当min??2232?x?1?2?xx?a4???x??+2x1a，，得当时，min4?a?分综上，…………10．。
【数学】福建省宁德市2017届高三第一次(3月)质量检查(文)
福建省宁德市2017届高三第一次（3月）质量检查(文)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,0,1,2U =-，全集{}2|20A x x x =-=，则U A =ð（ ）A ． {}2,1-B ．{}2,0,1-C ．{}0,2D ．{}0,1 2.复数1i(i 1i+-为虚数单位）的虚部是 （ ） A ．1 B ． 1- C ．i D ． i -3. 从某学校随机抽取的5名女大学生的身高x 厘米）和体重y （公斤）数据如下表：x165 160 175 155 170 y5852624360根据上表可得回归直线方程为0.92y x a =+，则a =（ ）A ．96.8-B ．96.8C ．104.4-D ． 104.4 4. 若在区间[]0,e 内随机取一个数x ，则代表数x 的点到区间两端点距离均大于e3的概率为（ ） A ．14 B ．12 C. 13 D ．155. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则yx 的取值范围是 （ ）A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[)9,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C. (][),36,-∞+∞ D ．[]3,66. 已知21cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A ．13-B ．13 C.23- D ．237. 执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为5，则输出s 的值为（ ）A ．916 B ．54 C. 2116D ．118 8. 已知函数()()sin 2f x x θ=+，则“函数()f x 的图象关于直线3x π=对称”是“6πθ=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 9. 某几何体的三视图如图所示，则刻几何体的体积为（ ）A ．23 B ．43 C.53 D ．7310.已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以,44a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为 （ ）A ． 1B ．2 C.3 D ．411. 已知函数()=f x x x e e -+ ，则()'y f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．12. 已知函数()2,01,02x kx x f x x +≥⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()()302f f x -=在实数集范围内无解，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C. [)0,+∞ D ．11,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量()1,1a =-，向量()1,2b =-，则()2a b a += ． 14.已知正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在同一个球面上，且该正三棱柱的体积为32，三角形ABC 周长为3，则这个球的体积为 ．15. 已知双曲线221y x m-=的左右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1ABF ∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则12AF F ∆的面积为 ． 16.在平行四边形ABCD 中，若1,2,60,45,120AB BC B C D =====，则AD = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足112,21n n a a a +==-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 如图，在菱形ABCD 中，2,60,AB ABC BD AC O =∠==，现将其沿菱形对角线BD 折起得空间四边形EBCD ，使2EC =.（1）求证：EO CD ⊥； （2）求点O 到平面EDC 的距离.19. 交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km /h ）,现将其分成六组为[)[)[)[)[)[]60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90后得到如图所示的频率分布直方图.（1）某小型轿车途经该路段，其速度在70km /h 以上的概率是多少？（2）若对车速在[)[)60,65,65,70两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[)60,65内的概率.20. 已知椭圆 ()2222:10+=>>x y C a b a b的离心率为32，右顶点为A ，下顶点为B ，点3,04P ⎛⎫⎪⎝⎭满足 PA PB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）不垂直于坐标的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，以MN 为直径所的圆过原点，且线段MN 的垂直平分线过点P ，求直线l 的方程.21. 已知函数()1ln (2f x x ax a x=-+∈R). （1）当32a =-时，求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若()()()1g x f x a x =+-有两个零点12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线l 的参数方程的是32(12x t m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(),0P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求实数m 的值；（2）若,,a b c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证:2223b c a a b c++≥.参考答案一、选择题1-5:AAACA 6-10:BDBBD 11-12：DC 二、填空题13. 1 14. 32327π 15.422- 16.622- 三、解答题 17. 解：(1)()1121,121n n n n a a a a ++=-∴-=-,若10n a -=，则11n n a a +==，又1212,213,10n a a a a ==-=∴-≠112,1n n a a +-∴=∴-数列{}1n a -为以1为首项，2为公比的等比数列，()11112n n a a -∴-=-，121n n a -∴=+.(2)()1n n b n a =-,由（1）可知，1121,2n n n n a b n --=+∴=，又21123...,1+22+32+...+n 2n n n n S b b b b S -=++++∴=，① 23222232...2n n S n ∴=++++，② 由 ①-②，得()()2311121222...222212,12112n n n n n n n n n S n n n S n ---=+++++-=-=--∴=-+-18. 解：(1)四边形ABCD 为菱形，.,.AC BD BDAC O EO BD ∴⊥=∴⊥在菱形ABCD 中，2,60,2,1AB ABC AD CD BC AO OC =∠=∴=====，2,1EC CO EO ===，222EO OC EC ∴+=，EOC ∴∆为直角三角形，90,EOC EO OC ∠=∴⊥，又,,EO OC O BD OC =⊂平面,BCD EO ∴⊥平面BCD .又CD ⊂平面,BCD EO CD ∴⊥.(2)设点O 到平面ECD 的距离为h ，由（1）可知EO ⊥平面OCD .O CDE E OCD V V --= ，1133OCD ECD S EO S h ∆∆∴=.又在Rt ∆OCD 中，131,3,90,22OCD OC OD DOC S OC OD ∆==∠=∴==.在CDE ∆中，221272,2,22222CDEED DC EC S ∆⎛⎫===∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，217OCD ECD S EO h S ∆∆∴==. 即点O 到平面EDC 的距离为217. 19. 解：(1) 速度在 70km /h 以上的概率约为()50.0400.0600.0500.0200.85⨯+++=. (2)40辆小型轿车车速在 [)60,65范围内有2辆，在[)65,70范围内有4辆.用,A B 表示[)60,65范围内2辆小型轿车，用,,,a b c d 表示车速在[)65,70范围内有4辆小型轿车，则所有基本事件为,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ，,,,,,ab ac ad bc bd cd ，至少有一辆小型轿车车速在范围[)60,65内事件有,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ，所以所求概率93155p ==. 20. 解：(1) 依题意，得22222323344c aa b c a b ⎧=⎪⎪⎪⎪⎛⎫-=+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=-⎪⎪⎩，又0a b >>，所以解得21a b =⎧⎨=⎩，∴椭圆C的方程为2214x y +=. （2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx t M x y N x y =+，据2244y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得()222148440kxktx t +++-=，22212121212222284424,,,14141414kt t t t k x x x x y y y y k k k k ---∴+==+==++++，又由0∆>，得2241k t +>.① 因为以线段MN 为直径的圆过坐标原点，0OM ON ∴=， 222221212224440,541414t t k x x y y t k k k --∴+=+=∴=+++，② ①②，可得32t >或32t <-.设MN 的中点为(),D m n ，则224,1414kt tm n k k-==++.又据题设分析知直线PD 与直线l 垂直，134PDn k k m -∴=-=-，2144k kt ∴+=-，③ 据② ③得22141k t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或225495k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，依③式可知直线l 的方程为115355351,1,,222525y x y x y x y x =-=-+=-=-+. 21.（1）当32a =-时，()()()2231321ln 0,'222x x f x x x x f x x x +-=++>∴=.令()'0f x =， 则11x =-（舍），213x =. x10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 131,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()'f x -+()f x极小值()f x ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 的极小值为12ln 33⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 无极大值.(2)根据题意，得()()1ln 02g x x a x x=+->.12,x x 是函数()1ln 2g x x a x=+-的两个零点，21211ln 0,ln 022x a x a x x ∴+-=+-=，两式相减可得112121212212ln ,22lnx x x x x x x x x x x x --=∴=，122112112211,2ln 2ln x x x x x x x x x x --∴==.令()1201x t t x =<<，则1211112ln 2ln ln t t t t x x t t t ---+=+=.记 ()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()()()221'.0,1,'0t h t t h t t-=∈∴>恒成立，()12ln h t t t t∴=--在()0,1上单调递增，故当()0,1t ∈时，()()1h t h <，即当()0,1t ∈时，12ln 0t t t --<，∴当()0,1t ∈时， 112ln t t t->，故121x x +>.22. 解：(1) 曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.直线l 的参数方程是32(12x t m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），消去参数t 可得直线l 的普通方程30x y m --=.(2) 将32(12x t m t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入方程()2211x y -+=，得22311122t m t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()223320t m t m m +-+-=.由0∆>，解得13m -<<.所以2122t t m m =-.2121,21PA PB t t m m ==∴-=±，解得12,1m =±.又满足0∆>，所以12m =-或1m =或12m =+.23. 解：（1）因为函数()212f x x x =++-，所以当1x <-时，()()()()21233,f x x x x =-+--=-∈+∞；当12x -≤<时，()()()[)21243,6f x x x x =+--=+∈；当2x ≥时，()()()[)21236,f x x x x =++-=∈+∞，综上，()f x 的最小值3m =.（2）据(1)求解知3m =，所以3a b c m ++==，又因为0,0,0a b c >>>，所以()2222222222b c a b c a b c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即222b c a a b c++()2a b c a b c +++≥++，当且仅当1a b c ===时，取“=” 所以222b c a a b c ++≥a b c ++，即2223b c a a b c++≥.安徽省江南十校2017年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，则|z |=（ ） A ． B ．1 C ．5 D ．252．设集合A ={x ∈Z ||x |≤2}，，则A ∩B =（ ） A ．{1，2}B ．{﹣1，﹣2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，2}3．已知平面向量=（1，m ），=（2，5），=（m ，3），且（+）∥（﹣），则m =（ ） A ．B ．C ．D ． 4．已知，则sin α（sin α﹣cos α）=（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．269．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，则的值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f（x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是．14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x 的次数为1的项的系数为．15．已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=k sin x cos x（k ＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：②记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，DE=BF= CG．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得GH=CG．（1）求证：PH⊥平面AEF；（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+ln x，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题1．B【解析】==，则|z|==1．故选：B．2．C【解析】A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥或x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选：C．3．D【解析】根据题意，向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），则；若（+）∥（﹣），（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1）解可得：；故选：D．4．A【解析】，故选：A．5．D【解析】模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．6．B【解析】质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．基本事件总数N=42=16，记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含听基本事件有：（1，1），（0，1），（1，0），共3个，∴事件A发生的概率为．故选：B．7．D【解析】由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：D．8．C【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．9．D【解析】在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，∴A=45°，B=60°，C=75°，那么△ABC的面积为S1=ac sin B=a2=a2外接圆面积为S2=πR2，R=，∴=．故选D．10．B【解析】由题意，x=0，y＜0，排除A，0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，D选项中，f（﹣2）=5，f（﹣3）=，不符合，排除D．故选：B．11．D【解析】∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，其体积为=，同理，故棱锥S﹣ABC的体积为．故选：D．12．C【解析】令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，经计算可得k P A=5，k PB=10，k PO=﹣1，k PC=﹣，∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．故选：C二、填空题13．5【解答】5 由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由解得M（﹣1，3），由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，故答案为：5．14．﹣7【解析】（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，令x=y=1，得23×（a+1）5=256，解得a=1，所以（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数为：．故答案为：﹣7．15．133【解析】双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，不妨设点P（x，y）在右支上，由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，即为=9，且﹣=1，解出x=2，y=±9，则x2+y2=52+81=133．故答案为：133．16．2+【解析】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x ﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=k sin x cos x=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．三、解答题17．（1）证明：当n=1时，a1=S1，S1﹣2a1=1﹣4，可得a1=3，S n﹣2a n=n﹣4转化为：S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4（n≥2），即S n=2S n﹣1﹣n+4，所以S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]注意到S1﹣1+2=4，所以{S n﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：，所以，于是==．18．解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，P（X=100）==0.2，P（X=106）==0.3，P（X=118）==0.4，P（X=130）==0.1，∴X的分布列为：X100 106 118 130P0.2 0.3 0.4 0.1E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．故推荐小明去美团外卖应聘．19．证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP∥DE，∴OP⊥面ABCD．∴∠P AO为AP与面ABCD所成角，∵AP与平面ABCD所成角为60°，∴∠P AO=60°．在Rt△AOP中，．Rt△AHC中，．梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2，∴AP⊥PH，又EH=FH，∴PH⊥EF，又AP∩EF=P，∴PH⊥面AEF．解：（2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，∴如图所示建立空间直角坐标系．G（0，0，），E（，0，），F（0，，），H（0，0，），P（，，），=（﹣，，0），=（﹣，0，），，∵PH⊥面AEF，∴面AEF的法向量为，设面EFG法向量为，则，取x=，得，设二面角A﹣EF﹣G的平面角为θ，由题意θ为钝角，则cosθ=﹣=﹣．故二面角A﹣EF﹣G的余弦值为．20．解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，将与联立，消去y得：，因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，所以实数m的范围组成的集合M是；（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，即k P A+k PB=0，令，所以，整理得：，由（1）知x1，x2是的两个根，所以，代入（*）化简得，由题意解得或所以定点P的坐标为或，经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，坐标为或．21．解：（Ⅰ）设曲线y=f（x）在Q（x1，y1）点处切线是y=x，则由于所以x1=1，y1=1，由题意知：，于是a=0．（Ⅱ）证明：令，当x∈（0，1）时，0＜e x﹣1＜1，所以，即，当x∈（1，+∞）时，1＜e x﹣1，所以，即，于是F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣ln x在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）﹣g（x）≥1，于是原不等式成立．（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣ln x﹣ax+a（x＞0），则函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）等价于函数G（x）有且只有一个零点x0，，注意到为（0，+∞）上的增函数且值域为R，所以在（0，+∞）上有唯一零点x1，且G'（x）在（0，x1）上为负，（x1，+∞）上为正，所以G（x1）为极小值，又函数G（x）有唯一零点x0，结合G（x）的单调性知x1=x0，所以，即，即，即．令，显然，x0是H（x）的零点，，H'（x）在（0，1）上为正，（1，+∞）上为负，于是H（x）在（1，+∞）上单调递减，注意到，所以H（x）在（1，2）内有一个零点，在[2，+∞）内无零点，所以H（x）的零点一定小于2，从而函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）时一定有x0＜2．22．解：由条件：．设点，点P到C2之距离。
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷3至5页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ABCD ．22．设集合201x A xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =A ．{}21x x -≤<-B ．{}11x x -<≤C ．{}21x x -≤<D ．{}11x x -≤<3．已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =A ．14±B ．14C ．116±D ．1164．已知变量x ，y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2x y +的最大值为A ．2B ．5C ．6D ．75．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图 如右图所示，则该几何体的体积为 A ．53π B ．7π C ．323π D ．13π 6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个， 大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的 一个算法．执行右图的程序框图，则输出的n = A ．25 B ．45 C ．60 D ．757．若a ，b 为空间两条不同的直线，α，β则a α⊥的一个充分条件是A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ 8．若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，z 的大小关系是A ．x <y <zB ．x <z <yC ．z <x <yD ．z <y <x9．已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为A ．3或13B ．0C ．13D ．310．已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为 A B ． C ．4 D ．8正视图侧视图11．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为A ．3B ．2 CD12．已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a =+-∈R ，以下四个命题： ①当e a ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为 A ．②③ B ．①④ C ．①② D ．③④2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m m =-b ，若//a b ，则⋅a b = ．14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则1115f f +()()= ．15．若sin()2cos )4αααπ++，则sin2α= ．16．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =， 23πEBC?，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．19．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．20．（12分）已知椭圆222210:()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．21．（12分）已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R ．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值； （2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<，直线l 交圆C 于A ，B 两点，P 为AB 中点．（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅α的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11212x x m ++-?在R 上恒成立． （1）求m 的最大值M ． （2）若a ，b 均为正数，且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围．。
2017.3宁德理科综合试卷 Word版含答案
2017年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科综合第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞的叙述，错误的是A．减数分裂过程中可发生染色体变异B．细胞周期的长短不受细胞器的影响C．具有细胞结构的生物遗传物质都是DNA D．内质网可参与物质合成和物质运输2．关于物质运输的叙述，错误的是A．生长素以自由扩散的方式从顶芽运输到侧芽B．不同细胞吸收葡萄糖的跨膜运输方式可能不同C．载体蛋白的数量和被运输物质的浓度都会影响协助扩散D．胰岛细胞以胞吐方式分泌胰岛素的过程需消耗能量3．有关酶和ATP的叙述，正确的是A．酶和ATP只能在细胞内起作用B．某些情况下溶酶体内所含的酶能破坏细胞自身结构C．生物合成ATP的能量只能来自光合作用或呼吸作用D·若用淀粉、蔗糖和淀粉酶来探究酶的专一性，可用碘液对实验结果进行检测4．下列与人体神经调节有关的叙述，正确的是A．在突触后膜上可发生“电信号一化学信号”的转换B．刺激反射弧上任意部位，由效应器产生的反应都称为反射C．神经元产生兴奋时钠离子内流属于逆浓度梯度的主动运输D．某些神经递质能调节某些腺体的分泌活动5．人类社会在不断发展进步的同时，对生态环境造成更大压力。
下列叙述错误的是A.人类活动会影响-一些种群基因频率改变的方向B．人类活动能影响群落演替的方向和速度C．人为补充物质和能量可影响某些生态系统的结构和功能D．易地保护是对生物多样性最有效的保护6．黏多糖贮积症Ⅱ型（缺少黏多糖水解酶）患者均为男性且少年期死亡，患者的母亲都是携带者。
下列叙述错误的是A．该病遗传方式可能为伴X染色体隐性遗传B．该患者的致病基因不可能来自父亲C．调查该病的发病率要保证调查的患者家系群体足够大D．该病说明基因可通过控制酶的合成间接控制生物性状7．化学与生产、生活、环境等密切相关。
下列叙述或做法正确的是A．合成纤维、光导纤维都是有机高分子材料B．生活垃圾常采用露天焚烧或深埋的方法处理C．工业废水经严格处理后可用于城市道路的保洁D．工业上常用NaOH溶液在玻璃器皿上蚀刻标记8．已知松油醇的结构简式如下，下列说法错误的是A．松油醇的分子式为C10H18OB．松油醇分子只含一种官能团C．松油醇能使酸性KMnO4溶液褪色D．松油醇能发生取代反应和加成反应9．设N A表示阿伏加德罗常数的值。
福建省宁德市2019-2020学年高三第一次质量检查试卷文科数学(解析版)
宁德市2020届普通高中毕业班第一次质量检查试卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B =（ ）A. (2,1)-B. (1,2)C. (1,2)-D. (1,1)-【答案】B 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 再求交集即可.【详解】由题{}{}2131A x x x x =+>=>,{}{}{}220(2)(1)012B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<.故{}12A B x x ⋂=<<. 故选：B【点睛】本题主要考查了一次二次函数表达式的求解以及交集的运算,属于基础题型. 2.已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则21z z +=（ ） A.1i 2+ B.1i 2- C. 1i +D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】 将1z i =-代入21z z +再化简求解即可. 【详解】由题()222211122211i 22221z i i i i i z i i i +-+--+=====+---. 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题型.3.已知双曲线222:14xy C b-=的焦距为 ）A. 8B. 6C. D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据焦距为,c b ,再利用焦点到渐近线的距离为b 求解即可.【详解】由题焦距为c =,故(222416b b +=⇒=,故4b =.故焦点到渐近线的距离为4b =. 故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与知识点焦点到渐近线的距离为b ,属于基础题型.4.设向量,a b 满足r r r r +=-=a b a b a b ⋅=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】将r r r r+=-=a b a b .【详解】由题()()2215,7+=-=r r r r a b a b ,故22+215+?r r r ra b a b,22-27+?r r r r a b a b,两式相减有48a b ⋅=.故2a b ⋅=. 故选：C【点睛】本题主要考查了向量模长的运用,一般将两边平方进行化简,属于基础题型.5.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考.“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是（ ）A. 14B. 13C. 12D. 23【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的方法,考虑在选择历史的情况下再枚举求解即可. 【详解】先考虑选择历史的概率为12,在此基础上所有选取的情况可能有（化学,生物）, （化学,地理）, （化学,政治）, （生物,地理）, （生物,政治）,（地理,政治）共6个, 其中选政治的基本事件有3个, 历史和政治均被选择到的概率是131264⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型的基本方法,需要根据题意枚举所有的基本事件即可.属于基础题型. 6.已知公比为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的前n 项和为n T ,若有345610a b b a +++=，则88S T +=（ ）A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】B 【解析】 【分析】根据等差等比数列与前n 项和的性质求解即可.【详解】由345610a b b a +++=中等比数列{}n a 公比为1-可知3633(1)a a a =⋅-=-.故360a a +=.故4510b b +=,又811888451(1)8()04()401(1)2a b b S T b b 轾--+犏臌+=+=++=--. 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的性质与求和公式运用,属于中等题型.7.若实数,,x y z 满足23log log 2zx y ==，则,,x y z 的大小关系是（ ）A. z x y <<B. x y z <<C. x z y <<D. z y x <<【解析】 【分析】令23log log 20z x y m ===>,再分别表示,,x y z 进行比较即可. 【详解】令23log log 20z x y m ===>,则22,3,log mmx y z m ===. 由函数图像,当0m >时2log 23mmm <<.即z x y <<故选：A【点睛】本题主要考查了指对数函数的互化与图像性质,属于基础题型.8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n =（ ）A. 20B. 30C. 75D. 80【解析】 【分析】分析程序框图的功能再列式计算即可.【详解】由框图易得,该框图设大僧为m 人,小僧为n 人,功能为计算小僧的人数n .故10033300820033*********m n m n n nn m m +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩,解得75n = 故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的功能,属于基础题型.9.将函数1()sin cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是（ ） A.13B. 2C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先求出平移后的函数表达式,再根据与原图象有相同的对称中心列式分析即可.【详解】1()cos sin 226f x x x x ωωωπ=+=+⎛⎫⎪⎝⎭. 又向左平移3π个单位长度后与原函数的对称中心相同.故当正实数ω的最小值时, 3π为()f x 的半个周期.即12332ππωω=⨯⇒=. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数图像的性质,重点抓住平移的长度与周期的关系即可.属于基础题型. 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A. 16B. 20C. 16+D. 20+【答案】D 【解析】 【分析】由题可得该几何体为长方体被与底面成一定角度的平面截取后的几何体.画出图像逐个面求解即可.【详解】画出该几何体的主观图,由三视图知2AB BC CD AD ====,11B D BD ==11113,2,1AA BB DD CC ====,11AC ===.故224ABCD S ==,1111(23)252ABB A ADD A S S +⨯===,1111(12)232BCC B DCC D S S +⨯===,1111A B C D S ==故表面积4523220S =+⨯+⨯+=+故选：D【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积问题,需要根据三视图画出主观图进行分析,属于中等题型.11.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a +=的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F ∆的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为（ ） A.17B.13C.12D.23【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等可知点P 的纵坐标,再根据焦点三角形的面积列式即可求得a ,进而求得离心率.【详解】因为点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等,故点P 在OA 的中垂线上,又点(0,8)A 故点P 的纵坐标为4.故1212442PF F S c c ∆=⨯⨯=.又12PF F ∆的内切圆半径为1. 故()1212212PF F S a c a c ∆=⨯+⨯=+.故14,3c a c c a +==.即离心率13e =. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆中上点的问题以及焦点三角形与内切圆的问题,属于中等题型.12.已知函数33,0,(),0,x x x f x ax x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是（ ） A. 当0a >时，至少有2个零点 B. 当0a >时，至多有9个零点 C. 当0a <时，至少有4个零点 D. 当0a <时，至多有4个零点【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像,再分0a >,0a <两种情况分析复合函数的零点个数即可.【详解】先分析33,0y x x x =-≤,2'33y x =-,令2'330,1y x x =-==±,故33,0y x x x =-≤在1x =-处取最大值2.①当0a >时：要取得最少的零点个数,则1a >,此时()2,0a x x x +≥=>>.此时函数图像如图. 故(())20y f f x =-=有(())2f f x =,故()1f x =-,由图得(())2y f f x =-零点个数为1.故A 错误.要取得最多的零点个数,则此时01a <<,此时()2,0a x x x +≥=<>.如图故(())20y f f x =-=有(())2f f x =,所以1()1f x =-,21()f x t =,32()f x t =.当12,2t t <<时, 1()1f x =-有一根, 21()f x t =,32()f x t =均有4根,一共有9个零点. 此时2at t+=即220t t a -+=在区间()2上有两根12,t t .故(()222202220240a a a ⎧-⨯>⎪⎪-⨯+>⎨⎪-->⎪⎩.求解得16125a <<.故B 正确.②当0a <时,函数ay x x=+为增函数,画出图像有令(())20y f f x =-=有1()1f x =-,2()f x t =,其中2220at t t a t+=⇒-+=,由图知0t >,故12t =+>.故1()1f x =-有2个零点, 2()f x t =有一个零点.故一共有3个零点.所以C,D 错误.【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数的零点个数的问题,一般方法是画出图像再分析内层函数的函数值,再当成函数值求零点个数.属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为_______.【答案】31y x =- 【解析】 【分析】求导代入1x =即可求得函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线斜率,再利用点斜式求解即可.【详解】'()21f x x =+,故在在点(1,(1))f 处的切线斜率为'(1)3f =,又(1)2f =.故函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x -=-,即31y x =-.故答案为：31y x =-【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型.14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5 【解析】 【分析】画出可行域分析最大值点即可.【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+, 易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型. 15.在边长为2的菱形ABCD 中，3ABC π∠=，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B '的位置，且点B '在面ACD 内的正投影为ACD ∆的重心G ,则B ACD '-的外接球的球心O 到点G 的距离为_______.【解析】 【分析】由题意得B ACD '-为正四面体,故B ACD '-的外接球的球心O 在'B G 上,再根据勾股定理列式求解即可. 【详解】由题,因为点B '在面ACD 内的正投影为ACD ∆的重心G ,故B ACD '-为正四面体.故B ACD '-的外接球的球心O 在'B G 上.设B ACD '-的外接球半径为r .12sin 60AC GC =⨯=︒. '3B G ===又222OG GC OC +=,故222r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭,解得2r =.故326OG =-=.即球心O 到点G故答案为：6【点睛】本题主要考查了外接球的半径求法以及利用勾股定理求解空间几何体中的长度等.属于中等题型. 16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121nn a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可.【详解】对①,因为2211n n a a +-=,且正项数列{}n a .故()222211211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故11n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②,1111111111n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++,故22101111n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a +--=---++==<<+成立. 对③, 112221101111n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭成立 对④, ()2222112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立. 综上, ①②③④均正确. 故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型.三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c =（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围． 【答案】(1) 23π(2) 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理222cos 2a c b B ac+-=化简整理再用角C 的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.(2)易得ABD ∆的周长等于2a b +,再利用正弦定理将,a b 用角,A B 表示,再利用三角函数的值域方法求解即可.【详解】解法一：（1）根据余弦定理得222222a c b a b c ac+-+=整理得222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，()0,C π∈ 23C π∴=（2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++由正弦定理2sin sin sin 2a b cA B C====， 所以2sin ,2sin a A b B ==，24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin()3A A π=+-)6A π=+0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(,)662A πππ∴+∈，1sin()(,1)62A π∴+∈，2a b \+?，所以ABD∆的周长的取值范围是． 解法二：（1）根据正弦定理得2sin sin 2sin cos A B C B +=sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+,2sin cos sin B C B ∴=-, sin 0B ≠，1cos 2C ∴=-，()0,C π∈， 23C π∴=（2）同解法一【点睛】本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型.18.如图，矩形ABCD ⊥平面BCE ，1,2AB BC BE ===且2π3EBC?，,M N 分别为,AB CE 的中点.（1）证明：//MN 平面AED ； （2）求几何体A MND -的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 12【解析】 【分析】(1) 取ED 中点H ,证明AMNH 为平行四边形即可.(2)以AMD 或者AMN 为底面,再证明线面垂直求高和体积即可. 【详解】解法一：（1）证明：取ED 中点H ，连接,AH NH∵,N H 分别为,EC ED 的中点， ∴NH 为ECD ∆的中位线 ∴//NH CD 且12NH CD =∵ABCD 为矩形，M 为AB 的中点 ∴//NH AM 且NH AM =∴四边形AMNH 平行四边形∴//MN AHMN EAD Ë平面,AH EAD Ì平面∴//MN 平面AED （2）过N 作NF BC ^于F∵平面ABCD ⊥平面EBC ， 平面ABCD平面EBC BC =，又NF ⊂平面EBC ∴NF ⊥平面ABCD 在CNF D 中， ∵23EBC π?且BE BC = ∴6πECB ?12NF CN ==1122AMD S AM AD D ==g …1132A MND D AMNV V --==创 解法二：（1）取BE 中点G ，连接,MG NG在ABE ∆中，MG 为中位线， ∴//MG AE∵MG ⊄平面EAD ，AE ⊂平面EAD ∴//MG 平面EAD同理，//GN BC ，∴//GN AD ∵GN Ë平面EAD ，AD ⊂平面EAD ∴//GN 平面EAD 又MG GN G =I∴平面//MNG 平面EAD ∵MN ⊂平面MNG ∴//MN 平面EAD（2）∵平面ABCD ⊥平面EBC ， 平面ABCD平面EBC BC =，∴AB ⊥平面EBC ∴AB CN ^∵BE BC =且N 为CE 的中点 ∴CN BN ^∵CN BN ^，CN AB ⊥，AB BN B ?则CN ⊥平面ABN 即CN ⊥平面AMN ∵//CD 平面AMN ， CNF D 中，∵23EBCπ?且2BE BC ==∴d CN ==1124AMN S AM BN D ==g∴1134A MND D AMN V V --==创 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明方法,同时也考查了求体积中利用线面垂直找高的方法,属于中等题型.19.某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i =的数据进行了统计，得到如下数表：（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时，公司月利润的预报值最大？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-$$参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑【答案】(1) 3.236.ˆ8yx =-+；(2) 是理想；(3) 新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润 【解析】 【分析】(1)分别求出,x y ,再利用公式求解ˆb,代入样本中心点求ˆa 即可. (2)代入7x =求残差的绝对值判断即可.(3)表达出销售利润关于x 的表达式,再利用二次函数在对称轴处取得最值求解即可. 【详解】解：（1）因为1(88.599.510)95x =++++=，1(1110865)85y =++++= 所以23505983.2407559ˆb-⨯⨯==--⨯．，则()8 3.2936.ˆ8a =--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.236.ˆ8y x =-+； （2）当7x =时， 3.2736 4.4ˆ.81y=-?=，则14.814.40.40.5y y ∧-=-=<，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为M ，则()()5 3.236.8M x x =--+(511.5)x << 23.252.8184x x =-+-所以8.25x =时，M 取最大值．所以该新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法,同时也考查了建立函数模型分析最值的问题.属于中等题型.20.已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF =.（1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.【答案】(1) 24y x = 2t = (2) 2y x =-+或123y x =+ 【解析】 【分析】(1)由1(2Q 在抛物线C 上,利用抛物线的定义求解即可.(2) 设直线l ：2(0)y kx k =+≠联立抛物线方程,再根据AOB MON S D D =转换成|||AB MN =,根据弦长公式求解斜率即可.【详解】解：（1）313||,2222p QF =\+=Q ， 2p ∴=抛物线C 的方程为：24y x =将1(2Q 代入24y x =得2t =（2）设1122(,),(,),A x y B x y 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2(0)y kx k =+≠，联立242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得224(1)40k x k x --+=，22Δ16(1)160k k =-->Q ，得12k <且0k ≠， 1212224(1)4,k x x x x k k -∴+==，ΔΔ,|||AOB MON S AB MN =\=Q ，1200x -=-，即120x x x -=，N Q 是AB 的中点，1202x x x +∴=， 22121212()()434x x x x x x +\+-=?，整理得21212()16x x x x += 2224(1)64[]k k k -\=，解得1211,3k k =-=， ∴直线l 的方程为：2y x =-+或123y x =+ 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系,需要将题目中的面积关系翻译成弦长的关系,再联立方程根据弦长公式进行列式,代入韦达定理再化简求斜率即可.属于中等题型.21.已知函数2()1(0)xf x ax e a =-?．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导后分0a >和0a <两种情况进行讨论即可.(2)由题函数()f x 没有零点,转换为2()xg x x e =与1y a=在[1,)+∞无交点,再求导分析()g x 的单调性与最值,进而求得a 的取值范围.再代入2(1)(()1)ln x f x x x -+≥,构造函数分析单调性与最值证明即可. 【详解】解法一：（1）2'()2x x f x ax e ax e =+(2)x ae x x =+当0a >时，令'()0f x >得0x >或2x <-； 令'()0f x <得20x -<<．∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞， 单调递减区间为(2,0)-当0a <时，令'()0f x >得20x -<<； 令'()0f x <得0x >或2x <-． ∴函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-， 单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.综上所述,当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞. （2）函数()f x 在[1,)+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+∞无解 则2()x g x x e =与1y a=在[1,)+∞无交点 2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+∞上单调递增 min ()g x e =，∴1e a< 则1a e>由（1）得()f x 在[1,)+∞上单调递增()(1)10f x f ae ≥=->要证 2(1)(()1)ln x f x x x-+≥ 即证 22(1)ln x x ax e x x -≥即证 (1)ln xa x e x-≥即证 (1)ln 0x a x ex --≥ 令()(1)ln xg x a x e x =-- 1'()(1)x x g x ae a x e x=+-- 1x ae x x=- 21x ax e x-= ()0f x x=> ()g x ∴在[1,)+∞时单调递增，()(1)g x g ∴≥0=所以原不等式成立．解法二：（1）同解法一（2）函数()f x 在[1,)+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+∞无解则2()x g x x e =与1y a=在[1,)+∞无交点 2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+∞上单调递增min ()g x e =，∴1e a< 则1a e> 要证2(1)(()1)ln x f x x x -+≥，即证22(1)ln x x ax e x x -≥，即证(1)ln x a x e x -≥ 因为11(1)(1)(1)(1)x x x a x e x e x e x e-->-=-≥-， 所以只需证 1ln x x -≥，即证 1ln 0x x --≥，令 ()1ln g x x x =--11'()10x g x x x-=-=≥， ()g x ∴在[1,)+∞时单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，所以原不等式成立．【点睛】本题主要考查了分参数情况讨论函数的单调性问题,同时也考查了利用函数的单调性,分情况讨论与构造函数求最值,进而分析求证不等式的方法.属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. （1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=，即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b +=-,求2a b -的取值范围. 【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b +=-将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤， ∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b +=-． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--，32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b -=--=-+--． 当01b <<时，011b <-<，2a b -?当且仅当12(1)1b b -=-，即12b =-时取“=”； 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =+“=”．所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
福建省宁德市2019-2020学年高三第一次质量检查试卷文科数学(解析版)
宁德市2020届普通高中毕业班第一次质量检查试卷文科数学注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B =（ ） A. (2,1)-B. (1,2)C. (1,2)-D. (1,1)- 【答案】B【解析】【分析】分别解出集合,A B 再求交集即可. 【详解】由题{}{}2131A x x x x =+>=>, {}{}{}220(2)(1)012B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<. 故{}12A B x x ⋂=<<.故选：B【点睛】本题主要考查了一次二次函数表达式的求解以及交集的运算,属于基础题型.2.已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则21z z +=（ ） A. 1i 2+ B. 1i 2- C. 1i + D. 1i -【答案】A【解析】【分析】将1z i =-代入21z z +再化简求解即可. 【详解】由题()222211122211i 22221z i i i i i z i i i +-+--+=====+---. 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题型.3.已知双曲线222:14x yC b -=的焦距为 ）A. 8B. 6C.D. 4【答案】D【解析】【分析】根据焦距为,c b ,再利用焦点到渐近线的距离为b 求解即可.【详解】由题焦距为c =,故(222416b b +=⇒=,故4b =.故焦点到渐近线的距离为4b =.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与知识点焦点到渐近线的距离为b ,属于基础题型.4.设向量,a b 满足r r r r+=-=a b a b a b ⋅=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】将r r r r +=-=a b a b .【详解】由题()()2215,7+=-=r r r r a b a b ,故22+215+?r r r r a b a b ,22-27+?r r r r a b a b ,两式相减有48a b ⋅=.故2a b ⋅=.故选：C【点睛】本题主要考查了向量模长的运用,一般将两边平方进行化简,属于基础题型.5.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考.“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】A【解析】【分析】根据古典概型的方法,考虑在选择历史的情况下再枚举求解即可.【详解】先考虑选择历史的概率为12,在此基础上所有选取的情况可能有（化学,生物）, （化学,地理）, （化学,政治）, （生物,地理）, （生物,政治）,（地理,政治）共6个,其中选政治的基本事件有3个, 历史和政治均被选择到的概率是131264⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型的基本方法,需要根据题意枚举所有的基本事件即可.属于基础题型. 6.已知公比为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的前n 项和为n T ,若有345610a b b a +++=，则88S T +=（ ） A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】B【解析】【分析】 根据等差等比数列与前n 项和的性质求解即可.【详解】由345610a b b a +++=中等比数列{}n a 公比为1-可知3633(1)a a a =⋅-=-.故360a a +=.故4510b b +=,又811888451(1)8()04()401(1)2a b b S T b b 轾--+犏臌+=+=++=--. 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的性质与求和公式运用,属于中等题型.7.若实数,,x y z 满足23log log 2z x y ==，则,,x y z 的大小关系是（ ）A. z x y <<B. x y z <<C. x z y <<D. z y x <<【答案】A【解析】【分析】 令23log log 20z x y m ===>,再分别表示,,x y z 进行比较即可.【详解】令23log log 20z x y m ===>,则22,3,log m mx y z m ===.由函数图像,当0m >时2log 23m m m <<.即z x y <<故选：A【点睛】本题主要考查了指对数函数的互化与图像性质,属于基础题型.8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n =（ ）A. 20B. 30C. 75D. 80 【答案】C【解析】【分析】分析程序框图功能再列式计算即可.【详解】由框图易得,该框图设大僧为m 人,小僧为n 人,功能为计算小僧的人数n . 故10033300820033100310033m n m n n n n m m +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩,解得75n = 故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的功能,属于基础题型.9.将函数1()sin cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是（ ） A. 13B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】的先求出平移后的函数表达式,再根据与原图象有相同的对称中心列式分析即可.【详解】1()cos sin 226f x x x x ωωωπ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又向左平移3π个单位长度后与原函数的对称中心相同.故当正实数ω的最小值时, 3π为()f x 的半个周期.即12332ππωω=⨯⇒=. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数图像的性质,重点抓住平移的长度与周期的关系即可.属于基础题型. 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A. 16B. 20C. 16+D. 20+【答案】D【解析】【分析】 由题可得该几何体为长方体被与底面成一定角度的平面截取后的几何体.画出图像逐个面求解即可.【详解】画出该几何体的主观图,由三视图知2AB BC CD AD ====,11B D BD ==11113,2,1AA BB DD CC ====,11AC ===. 故224ABCD S ==,1111(23)252ABB A ADD A S S +⨯===,1111(12)232BCC B DCC D S S +⨯===,1111A B C D S ==故表面积4523220S =+⨯+⨯+=+故选：D【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积问题,需要根据三视图画出主观图进行分析,属于中等题型.11.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a +=的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F ∆的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为（ ） A. 17 B. 13 C. 12 D. 23【答案】B【解析】【分析】由椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等可知点P 的纵坐标,再根据焦点三角形的面积列式即可求得a ,进而求得离心率.【详解】因为点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等,故点P 在OA 的中垂线上,又点(0,8)A 故点P 的纵坐标为4.故1212442PF F S c c ∆=⨯⨯=.又12PF F ∆的内切圆半径为1. 故()1212212PF F S a c a c ∆=⨯+⨯=+.故14,3c a c c a +==.即离心率13e =. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆中上点的问题以及焦点三角形与内切圆的问题,属于中等题型.12.已知函数33,0,(),0,x x x f x a x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是（ ） A. 当0a >时，至少有2个零点B. 当0a >时，至多有9个零点C. 当0a <时，至少有4个零点D. 当0a <时，至多有4个零点【答案】B【解析】【分析】画出()f x 的图像,再分0a >,0a <两种情况分析复合函数的零点个数即可.【详解】先分析33,0y x x x =-≤,2'33y x =-,令2'330,1y x x =-==±,故33,0y x x x =-≤在 1x =-处取最大值2.①当0a >时：要取得最少的零点个数,则1a >,此时()2,0a x x x +≥=>>.此时函数图像如图. 故(())20y f f x =-=有(())2f f x =,故()1f x =-,由图得(())2y f f x =-零点个数为1.故A 错误.要取得最多的零点个数,则此时01a <<,此时()2,0a x x x +≥=<>.如图故(())20y f f x =-=有(())2f f x =,所以1()1f x =-,21()f x t =,32()f x t =.当12,2t t <<时, 1()1f x =-有一根, 21()f x t =,32()f x t =均有4根,一共有9个零点. 此时2a t t +=即220t t a -+=在区间()2上有两根12,t t .故(()222202220240a a a ⎧-⨯>⎪⎪-⨯+>⎨⎪-->⎪⎩.求解得16125a <<.故B 正确. ②当0a <时,函数a y x x =+为增函数,画出图像有令(())20y f f x =-=有1()1f x =-,2()f x t =,其中2220a t t t a t+=⇒-+=,由图知0t >,故12t =+>.故1()1f x =-有2个零点, 2()f x t =有一个零点.故一共有3个零点.所以C,D 错误.【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数的零点个数的问题,一般方法是画出图像再分析内层函数的函数值,再当成函数值求零点个数.属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为_______.【答案】31y x =-【解析】【分析】求导代入1x =即可求得函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线斜率,再利用点斜式求解即可.【详解】'()21f x x =+,故在在点(1,(1))f 处的切线斜率为'(1)3f =,又(1)2f =.故函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x -=-,即31y x =-.故答案为：31y x =-【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型.14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5【解析】【分析】画出可行域分析最大值点即可.【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+,易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.15.在边长为2的菱形ABCD 中，3ABC π∠=，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B '的位置，且点B '在面ACD 内的正投影为ACD ∆的重心G ,则B ACD '-的外接球的球心O 到点G 的距离为_______.【解析】【分析】 由题意得B ACD '-为正四面体,故B ACD '-的外接球的球心O 在'B G 上,再根据勾股定理列式求解即可.【详解】由题,因为点B '在面ACD 内的正投影为ACD ∆的重心G ,故B ACD '-为正四面体.故B ACD '-的外接球的球心O 在'B G 上.设B ACD '-的外接球半径为r .12sin 60AC GC =⨯=︒'3B G ===又222OG GC OC +=,故222r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭,解得2r =.故OG ==.即球心O 到点G故答案为：6 【点睛】本题主要考查了外接球的半径求法以及利用勾股定理求解空间几何体中的长度等.属于中等题型. 16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.【答案】①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可.【详解】对①,因为2211n n a a +-=,且正项数列{}n a .故()222211211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故11n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②, 1111111111n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++, 故22101111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +--=---++==<<+成立. 对③, 112221101111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭成立 对④, ()2222112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立.综上, ①②③④均正确.故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型.三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c =（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．【答案】(1)23π(2) 【解析】【分析】 (1)利用余弦定理222cos 2a c b B ac+-=化简整理再用角C 的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.(2)易得ABD ∆的周长等于2a b +,再利用正弦定理将,a b 用角,A B 表示,再利用三角函数的值域方法求解即可.【详解】解法一：（1）根据余弦定理得222222a c b a b c ac+-+= 整理得222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-， ()0,C π∈ 23C π∴= （2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++由正弦定理2sin sin sin 2a b c A B C====， 所以2sin ,2sin a A b B ==， 24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin()3A A π=+-)6A π=+ 0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(,)662A πππ∴+∈， 1sin()(,1)62A π∴+∈，2a b \+?，所以ABD ∆的周长的取值范围是．解法二：（1）根据正弦定理得2sin sin 2sin cos A B C B +=sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+2sin cos sin B C B ∴=-,sin 0B ≠，1cos 2C ∴=-， ()0,C π∈，23C π∴= （2）同解法一 【点睛】本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型. 18.如图，矩形ABCD ⊥平面BCE ，1,2AB BC BE ===且2π3EBC ?，,M N 分别为,AB CE 中点.（1）证明：//MN 平面AED ；（2）求几何体A MND -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1) 取ED 中点H ,证明AMNH 为平行四边形即可. ,的(2)以AMD 或者AMN 为底面,再证明线面垂直求高和体积即可.【详解】解法一：（1）证明：取ED 中点H ，连接,AH NH∵,N H 分别为,EC ED 的中点，∴NH 为ECD ∆的中位线∴//NH CD 且12NH CD = ∵ABCD 为矩形，M 为AB 的中点∴//NH AM 且NH AM =∴四边形AMNH平行四边形∴//MN AHMN EAD Ë平面,AH EAD Ì平面 ∴//MN 平面AED（2）过N 作NF BC ^于F∵平面ABCD ⊥平面EBC ，平面ABCD 平面EBC BC =，又NF ⊂平面EBC∴NF ⊥平面ABCD在CNF D 中，∵23EBCπ?且BE BC = ∴6πECB?12NF CN == 1122AMD S AM AD D ==g …1132A MND D AMN V V --==创 解法二：（1）取BE 中点G ，连接,MG NG在ABE ∆中，MG 为中位线，∴//MG AE∵MG ⊄平面EAD ，AE ⊂平面EAD∴//MG 平面EAD同理，//GN BC ，∴//GN AD∵GN Ë平面EAD ，AD ⊂平面EAD∴//GN 平面EAD又MG GN G =I∴平面//MNG 平面EAD∵MN ⊂平面MNG∴//MN 平面EAD（2）∵平面ABCD ⊥平面EBC ，平面ABCD 平面EBC BC =，∴AB ⊥平面EBC∴AB CN ^∵BE BC =且N 为CE 的中点∴CN BN ^∵CN BN ^，CN AB ⊥，AB BNB ?则CN ⊥平面ABN即CN ⊥平面AMN∵//CD 平面AMN ，CNF D 中， ∵23EBC π?且2BE BC ==∴d CN == 1124AMN S AM BN D ==g∴1134A MND D AMN V V --==创 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明方法,同时也考查了求体积中利用线面垂直找高的方法,属于中等题型.19.某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i =的数据进行了统计，得到如下数表：（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时，公司月利润的预报值最大？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221n i i i n i i x y nx y b x nx ==-=-∑∑，a y bx =-$$ 参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑【答案】(1) 3.236.ˆ8yx =-+；(2) 是理想；(3) 新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润【解析】【分析】 (1)分别求出,x y ,再利用公式求解ˆb ,代入样本中心点求ˆa 即可. (2)代入7x =求残差的绝对值判断即可.(3)表达出销售利润关于x 的表达式,再利用二次函数在对称轴处取得最值求解即可.【详解】解：（1）因为1(88.599.510)95x =++++=， 1(1110865)85y =++++= 所以2350598 3.2407559ˆb-⨯⨯==--⨯．，则()8 3.2936.ˆ8a =--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.236.ˆ8y x =-+； （2）当7x =时， 3.2736 4.4ˆ.81y =-?=，则14.814.40.40.5y y ∧-=-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为M ，则()()5 3.236.8M x x =--+(511.5)x <<23.252.8184x x =-+- 所以8.25x =时，M 取最大值．所以该新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法,同时也考查了建立函数模型分析最值的问题.属于中等题型.20.已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF =. 的（1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.【答案】(1) 24y x = 2t = (2) 2y x =-+或123y x =+ 【解析】【分析】(1)由1(2Q 在抛物线C 上,利用抛物线的定义求解即可.(2) 设直线l ：2(0)y kx k =+≠联立抛物线方程,再根据AOB MON S D D =转换成|||AB MN =,根据弦长公式求解斜率即可.【详解】解：（1）313||,2222p QF =\+=Q ， 2p ∴=抛物线C 的方程为：24y x =将1(2Q 代入24y x =得2t = （2）设1122(,),(,),A x y B x y 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2(0)y kx k =+≠，联立242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得224(1)40k x k x --+=， 22Δ16(1)160k k =-->Q ，得12k <且0k ≠， 1212224(1)4,k x x x x k k -∴+==，ΔΔ,|||AOB MON S AB MN =\=Q ，1200x -=-，即120x x x -=，N Q 是AB 的中点，1202x x x +∴=， 22121212()()434x x x x x x +\+-=?，整理得21212()16x x x x +=2224(1)64[]k k k -\=，解得1211,3k k =-=， ∴直线l 的方程为：2y x =-+或123y x =+ 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系,需要将题目中的面积关系翻译成弦长的关系,再联立方程根据弦长公式进行列式,代入韦达定理再化简求斜率即可.属于中等题型.21.已知函数2()1(0)x f x ax e a =-?．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．【答案】(1)见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)求导后分0a >和0a <两种情况进行讨论即可.(2)由题函数()f x 没有零点,转换为2()x g x x e =与1y a=在[1,)+∞无交点,再求导分析()g x 的单调性与最值,进而求得a 的取值范围.再代入2(1)(()1)ln x f x x x -+≥,构造函数分析单调性与最值证明即可.【详解】解法一：（1）2'()2x x f x ax e ax e =+(2)x ae x x =+当0a >时，令'()0f x >得0x >或2x <-；令'()0f x <得20x -<<．∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-当0a <时，令'()0f x >得20x -<<；令'()0f x <得0x >或2x <-．∴函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.综上所述,当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.（2）函数()f x 在[1,)+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+∞无解则2()x g x x e =与1y a=在[1,)+∞无交点 2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+∞上单调递增min ()g x e =，∴1e a< 则1a e> 由（1）得()f x 在[1,)+∞上单调递增()(1)10f x f ae ≥=->要证 2(1)(()1)ln x f x x x-+≥ 即证 22(1)ln x x ax e x x -≥即证 (1)ln x a x ex -≥ 即证 (1)ln 0x a x ex --≥ 令()(1)ln xg x a x e x =-- 1'()(1)x x g x ae a x e x=+-- 1x ae x x=- 21x ax e x-= ()0f x x=> ()g x ∴在[1,)+∞时单调递增，()(1)g x g ∴≥0=所以原不等式成立．解法二：（1）同解法一（2）函数()f x 在[1,)+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+∞无解则2()x g x x e =与1y a=在[1,)+∞无交点 2'()(2)x g x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+∞上单调递增min ()g x e =，∴1e a< 则1a e> 要证2(1)(()1)ln x f x x x -+≥，即证22(1)ln x x ax e x x -≥，即证(1)ln x a x e x -≥ 因为11(1)(1)(1)(1)x x x a x e x e x e x e-->-=-≥-， 所以只需证 1ln x x -≥，即证 1ln 0x x --≥，令 ()1ln g x x x =--11'()10x g x x x-=-=≥， ()g x ∴在[1,)+∞时单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，所以原不等式成立．【点睛】本题主要考查了分参数情况讨论函数的单调性问题,同时也考查了利用函数的单调性,分情况讨论与构造函数求最值,进而分析求证不等式的方法.属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. （1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b +=-,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b +=-将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b +=-． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b -=--=-+--． 当01b <<时，011b <-<，2a b -? 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =-时取“=”； 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =+“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
2020年1月福建省高2020届高2017级高三泉州市单科质检理科数学试题答题全析解答题部分
保密★启用前泉州市2020届高中毕业班单科质量检查理科数学2020．1注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，⊥PA 平面ABCD ，AE PD ⊥．（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）若AP AB =，求二面角D PC B --的余弦值．【命题意图】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．·········································································································1分又底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．·····································································2分又PA AD A = ，所以CD ⊥平面PAD ．······································································3分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥．···········································································4分又因为AE PD ⊥，CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ，·············································5分所以AE ⊥平面PCD ．·······························································································6分（2）因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD ⊥，分别以AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示）．······································································7分设1PA AB ==，则A 0,0,0（），B 1,0,0（），C 1,1,0（），D 0,1,0（），(0,0,1)P ，11(0,,)22E ，1,0,1PB =- （），1,1,1PC =- （），11(0,,22AE = ．··························································8分由（1）得11(0,,)22AE = 为平面PCD 的一个法向量．·······················································9分设平面PBC 的一个法向量为111()m x ,y ,z =．由0,0,PB m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,0,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令11x =，解得11z =，10y =．所以(1,0,1)m =．·····································································································10分因此112cos ,2m AEm AE m AE⋅===⋅．·······························································11分由图可知二面角B PC D --的大小为钝角．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）过点B 作BF 垂直于PC 于点F ，连接DF 、BD ．因为PB PD =，BC CD =，PC PC =，所以PBC PDC △≌△．······························································································7分因此易得090DFC BFC ∠=∠=，BF DF =．································································8分所以BFD ∠为二面角B PC D --的平面角．···································································9分设1PA AB ==，则BD =3BF DF ==．·························································10分在BDF △中，由余弦定理，得222222)133cos 2263BF DF BDBFD BF DF+-+-∠==-⋅．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分18．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2634n n n S a a =+-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）．································1分因为2634n n n S a a =+-①，所以当2≥n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①-②得2211633n n n n n a a a a a --=+--，······································································2分所以()()1130n n n n a a a a --+--=．················································································3分又0n a >，所以13n n a a --=．······················································································4分因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列．···································································5分故()43131n a n n =+-=+．························································································6分（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++，········································9分所以()33333392()2477103134434n nT n n n n n =+-+-+⋅⋅⋅+-=++++．····························12分19．（12分）ABC △中，60B =︒，2AB =，ABC △的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 边上的点（不包括端点），且120EDF ∠=︒，求DEF △面积的最小值．【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为60B =︒，2AB =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅⋅△13222BC =⨯⨯32BC =，·············································2分又ABC S =△，所以4BC =．···················································································3分由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅·······················································4分221242242=+-⨯⨯⨯12=，·························································································5分所以AC =········································································································6分（2）设BDE θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60CDF θ∠=︒-．在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，·························································7分即2sin(60)32θ=︒+，所以3sin(60)DE θ=︒+；···························································8分在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得30C =︒，即21sin(90)2DF θ=︒-，所以1cos DF θ=；·····································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△34sin(60)cos θθ=︒+⋅=········································································10分=，············································································11分当15θ=︒时，sin(260)1θ+︒=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）设CDF θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60BDE θ∠=︒-．在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，························································7分由（1）可得30C =︒，即21sin(30)2DFθ=︒+，所以()1sin 30DF θ=︒+；···························8分在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，即2sin(120)32θ=︒-，所以sin(120)DE θ=︒-；·························································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△()334sin 30sin(120)θθ=⋅︒+⋅︒-13312222=⎝⎭⎝⎭ (10)分=······················································································11分当45θ=︒时，sin 21θ=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，点32A 在E 上．（1）求E 的方程；（2）斜率不为0的直线l 经过点1(,0)2B ，且与E 交于Q P ,两点，试问：是否存在定点C ，使得QCB PCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标；若不存在，请说明理由．【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为椭圆E的离心率12e a ==，所以2234a b =①，··································1分点)23,3(A 在椭圆上，所以143322=+ba ②，·······························································2分由①②解得42=a ，32=b ．························································································3分故E 的方程为13422=+y x ．··························································································4分（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠．由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(,0)C m ．··························································5分因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=．·············6分设直线l 的方程为：21+=ty x ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得04512)1612(22=-++ty y t ，···············································7分2222(12)4(1216)(45)144180(1216)0t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+，····································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-mx y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，即0)21()21(1221=-++-+m ty y m ty y ．·························9分整理得121212()()02ty y m y y +-+=，所以0161212)21()161245(222=+-⨯-++-⨯t t m t t ，即01612)12)(21(902=+--+-t t m t ．·················10分所以0)21(1290=-+m t t ，即0)]21(1290[=-+t m ，对t ∈R 恒成立，即0)1296(=-t m 对t ∈R 恒成立，所以8=m ．·····························································11分所以存在定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．·······························································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································4分（2）若点C 存在，当直线PQ 垂直x 轴时，点C 必在x 轴上，如果直线PQ 不垂直x 轴，由对称性可知，点C 也必在x 轴上．···········································5分假设存在点)0,(m C ，使得QCB PCB ∠=∠，即直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，所以0=+QC PC k k ．····································································································6分设直线l 的方程为)21(-=x k y ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221(2143y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得0124)34(2222=-+-+k x k x k ，··········································7分22222(4)4(43)(12)1801440k k k k ∆=--⨯+-=+>，所以k ∈R ，2122443k x x k +=+，34122221+-=k k x x ，··············································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-m x y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，················9分即122111()()()022k x x m k x x m --+--=．整理得0]))(21(2[2121=+++-m x x m x x k ，··································································10分所以0]34421(34242[2222=++⨯+-+-m k k m k k k ，整理得0342432=+-⨯k m k ，对任意的k ∈R 恒成立，····························································11分所以8=m ，故存在x 轴上的定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．····································12分21．（12分）已知函数()2()1e xf x x ax =++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()2()1e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养．【试题解析】。
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查文科试卷及答案
cos C = − 1 ，…………………………………………………………………4 分 2
C (0, ) ，
C = 2 ……………………………………………………………………………5 分 3
（2）同解法一． 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几
b1
高三数学(文科)试卷 共 5 页 第5页
宁德市 2019—2020 学年度第一学期高三期末质量检测
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考
生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细 则．
何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化
月销售单价 xi （元/件） 8
8.5 9 9.5 10
月销售量 yi （万件）
11
10
8
6
5
高三数学(文科)试卷 共 5 页 第3页
（1）建立 y 关于 x 的回归直线方程； （2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为 7 元/件时，其月销售量达到 14.8 万件， 若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过 0.5 万 件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？ （3）根据（1）的结果，若该产品成本是 5 元/件，月销售单价 x 为何值时，公司月利润的 预报值最大？
（注：利润=销售收入-成本）．
n
xi yi −nx y
参考公式：回归直线方程 yˆ = bˆx + aˆ ，其中 b = i=1
，a = y −bx
2020年1月福建省宁德市普通高中2020届高三上学期第一次综合质检(一模)(期末考试)理综化学试题(解析版)
绝密★启用前福建省宁德市普通高中2020届高三毕业班上学期第一次综合质量检查(一模) (期末考试)理综-化学试题(解析版)2020年1月相对原子质量：H 1 N 14 O 16 S 32 Mn 551.清明上河图描绘了北宋都城的人世风物。
下列有关说法错误的是A. 刀剪铺里的铁器是合金制品B. 木质拱桥的材料属于有机高分子材料C. 酒香中含有酯类物质D. 布坊中丝绸的主要成份是纤维素【答案】D【解析】【详解】A.合金性能比各成分性能要好，为确保刀刃锋利,刀剪铺里的铁器是合金制品,故A 正确；B.木材的主要成分是纤维素,木质拱桥的材料属于有机高分子材料,故B正确；C. 酯类常有特殊的香味,酒香中含有酯类物质,故B正确；D. 布坊中丝绸的主要成份是蛋白质,故D错误；故选D。
2.对乙酰氨基酚是一种常用的退热和止痛药物,可通过下图路线合成,下列说法正确的是A. 丙的分子式为C8H10NO2B. 乙分子中的所有原子一定共平面C. 甲的苯环上的一氯代物有2种D. 由乙制备丙的反应类型为加成反应【答案】C【解析】【详解】A. 根据丙的结构简式可以推知丙的分子式为C8H9NO2,故A错误；B. N原子是sp3杂化,三角锥形,乙分子中的所有原子不可能共平面,故B错误；C. 甲的苯环上有一个对称轴,苯环上核磁共振氢谱有2种,甲的苯环上的一氯代物有2种,故C 正确；D.从流程过程可知, 由乙制备丙的反应类型为取代反应,故D错误；故选C。
3.W、X、Y、Z均为短周期元素且原子序数依次增大,W和X同族。
Y原子最外层电子数是W与X原子最外层电子数之和的3倍,是Z原子最外层电子数的2倍。
下列说法正确的是A. 离子半径：W－＜X+B. Z的最高价氧化物的水化物是强碱C. 化合物XZW4具有强还原性D. W与Y只能形成10电子化合物【答案】C【解析】【分析】W、X、Y、Z均为短周期元素且原子序数依次增大,W和X同族。
Y原子最外层电子数是W与X 原子最外层电子数之和的3倍,Y最外层电子是6,W和X同族是IA,是Z原子最外层电子数的2倍,Z最外层电子是3。
2017届福建省宁德市高三单科质量检测英语试题及答案
宁德市2017届普通高中毕业班单科质量检查英语试题说明：本试题分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
第一卷1至12页，第二卷13至14页。
满分150分。
答题时间120分钟。
第一卷（选择题共115分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How is the woman going to Fuzhou?A. By train.B. By taxi.C. By car.2. When will the man see the manager?A. At 6:00 pm.B. At 6:30.C. At 7:30.3. What is the probable relationship between the two speakers?A. Policeman and driver.B. Teacher andstudent. C. Judge and lawyer.4. What are they talking about?A. Holiday.B. Homework.C. Traveling.5. What does the woman think of Susan’s teacher?A. Gentle.B. Patient.C. Hard.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟，听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
2020年1月9日福建省高2020届高2017级宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学试题及参考答案
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分.第I 卷1至3页,第II 卷3至5页,满分150. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回 .第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数22i +1iz =+,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为D.22.设集合201x A xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,22{|log (23)}B x y x x ==--,则A B =A.{}21x x -≤<-B.{}11x x -<≤C.{}21x x -≤<D.{}11x x -≤<3.已知等比数列{}n a 满足118a =,243441a a a =-,则2a =A.14±B.14C.116±D.1164.已知变量x ,y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2x y +的最大值为A.2B.5C.6D.75.一个球体被挖去一个圆锥,所得几何体的三视图 如右图所示,则该几何体的体积为 A.53π B.7π C.323π D.13π6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个, 大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的 一个算法.执行右图的程序框图,则输出的n = A.25 B.45 C.60 D.757.若a ,b 为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面, 则a α⊥的一个充分条件是A.//a β且αβ⊥B.a β⊂且αβ⊥C.a b ⊥且//b αD.a β⊥且//αβ 8.若实数x ,y ,z 满足23log log 2z x y ==,则x ,y ,z 的大小关系是A.x <y <zB.x <z <yC.z <x <yD.z <y <x9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称,斜率为k 过点A 交l 于点C ,若ABC ∆的面积为2,则k 的值为A.3或13B.0C.13D.310.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C xpy p =>的焦点F ,与抛物线C 交于A ,B 两点,又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ,D 两点.若||3||AB CD =,则k 的值为 B. C.4 D.8正视图侧视图11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π,(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点,点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上,且满足212MN PN π⋅=,则A 的值为A.3B.212.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a =+-∈R ,以下四个命题： ①当e a ≤-时,函数()f x 存在零点； ②当0a <时,函数()f x 没有极值点；③当0a =时,函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时,()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立.其中的真命题为 A.②③ B.①④ C.①② D.③④2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量(1,2)=-a ,(,1)m m =-b ,若//a b ,则⋅a b = .14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-,且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则1115f f +()()= .15.若sin()2cos )4αααπ+=+,则sin2α= .16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ,1BB 的距离之差为2.设11C D 的中点为E ,则PE 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =,前n 项和为n S ,且2112n n n S S a +++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图,矩形ABCD ⊥平面EBC ,1AB =, 23πEBC?,且M ,N 分别为AB ,CE 的中点. （1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==,求二面角E AD B --的大小.19.（12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos c C -⋅,c = （1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形,D 为BC 中点,求AD 的取值范围.20.（12分）已知椭圆222210:()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有,试求出最大值；若没有,说明理由.21.（12分）已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R .（1）若0b =,曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行,求a 的值； （2）若2b =,且函数()f x 的值域为[)2,+∞,求a 的最小值.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆22:(1)(1)1C x y -+-=.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<,直线l 交圆C 于A ,B 两点,P 为AB 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅求α的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11212x x m ++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M . （2）若a ,b 均为正数,且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围.2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分. 1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.13.5- 14.12 15.35-三、解答题：本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等,满分12分.17. 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减,得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥,……………………………… 2分又0n a >,∴11(2)2n n a a n +-=≥,………………………………3分当1n =时,22122S S a +=且112a =, 故222210a a --=,得21a =（2102a =-<舍去）,∴2111122a a -=-=,………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列,公差为12,………………………………5分 所以12n a n = .………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅,………………………………8分所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++.………………………………12分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. （1）证明：取DE 中点F ,分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点,所以1//,2FN CD FN CD =,.…………………… 1分因为矩形ABCD 中,M 为AB 的中点,所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =,……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形,…………3分 所以//AF MN ,……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED , 所以//MN 平面AED .………………………5分 （2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC , 矩形ABCD 平面EBC BC =, AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC.………………………………6分 如图,以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -, 则(0,0,0)B ,(0,0,1)A ,(0,2,1)D ,1,0)E -,………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ,所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量,………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量,y因为(0,2,0)AD =,(3,1,1)AE =--, 所以220AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,得200y y z =⎧⎪--=,故可取2=n ,………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ,由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3π.………………………………12分 解法二：(1)取CD 中点F ,分别连结FM ,FN . 又矩形ABCD 中,M 为AB 中点, 所以//,AM DF AM DF =, 所以四边形AMFD 为平行四边形,所以//MF AD ,…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED , 所以//MF 平面AED .………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点.所以//FN DE ,又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED , 所以//FN 平面AED .……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=,所以平面//FMN 平面AED ,………………4分 又MN ⊂平面FMN ,所以//MN 平面AED .………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ,过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ,连结EH ,又因为平面ABCD ⊥平面EBC ,矩形ABCD 平面EBC BC =所以EG ⊥平面ABCD .EG AH ∴⊥又EG GH G =,AH ∴⊥平面EGH , EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角,………………………………10分因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠=………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3π.……………………12分19.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查应用意识.满分12分.解：（1）解法—：cos c C -=⋅,由正弦定理,sin cos B C A C -=……………1分又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-…………………………………2分sin sin 0A C C -=,…………………………………3分 因为0C π<<,所以sin 0C ≠所以cos 2A =又0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中,由正弦定理得sin sin c bC B=,所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，,所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点,所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅,由余弦定理,2222a b c c ab+--=⋅……………………1分 整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分 又0A π<<,所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=,又c =故2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形,所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩,即222222848884848b b b b b b b b⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ,使得DE AD =,连结BE ,CE .则四边形ABEC 为平行四边形,所以344ABE πππ∠=-=,BE AC b ==. 在ABE ∆中,2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠,………………………………9分即2244+8AD b b =+,所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，,所以AD的取值范围为.………………………………12分 20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分12分. 解：（1）离心率为12c e a ==,∴2a c =,………………………………1分 2ABF ∆的周长为8,∴48a =,得2a =,………………………………3分∴1c =,2223b a c =-=,………………………………4分因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.………………………………5分 （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ,∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅, 又22||||||8AF AB BF ++=,∴24ABF S r ∆=,要使2ABF ∆的内切圆面积最大,只需2ABF S ∆的值最大.………………………………6分设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线:1l x my =-, 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=, 易得0∆>,且122634m y y m +=+,122934y y m -⋅=+,………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=,………………………………8分设1t =,则2212121313ABF t S t t t∆==++,………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥,2130y t '=->,所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增,……………10分 所以当1t =,即0m =时,2ABF S ∆的最大值为3,………………………………11分 此时34r =,所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π.………………………………12分 （注：若讨论直线l 斜率存在或不存在,由此求得斜率不存在时面积最大值,酌情按步给分） 21.本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解：（1）当0b =时,21()ax f x x e ax +=-,1()(2)ax f x xe ax a +'=+-,………………………………1分由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=,………………………………2分 得1(2)(2)0a e a a ++-+=,即1(1)(2)0a e a +-+=,……………………………3分 解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时,0(1)12f e =+=,此时直线2y x =恰为切线,故舍去,……………………5分 所以2a =-.………………………………6分（2）当2b =时,21()2ln ax f x x ex ax +=--, 设21ax t x e +=,则ln 2ln 1t x ax =++,………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+.由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞,所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=,。
福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理 数学【解析版】
福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理数学【解析版】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） A. 22 32 D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可． 【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i, 则|z|221+1=2故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( ) A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤ C. {}21x x -≤< D. {}11x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】 对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-， 所以{}21A B x x ⋂=-≤<-.故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14± B. 14 C. 116± D. 116【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】 画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，故选B. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 53πB. 7πC. 323πD. 13π【答案】C【解析】【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以23)31BD BD =⋅⇒=， 所以31222AD BDR ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图，解方程1003(100)3n n =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3n n =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环.故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ）A. //a β且αβ⊥B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ 【答案】D【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件，故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x 【答案】C【解析】【分析】令23log log 2(0)z x y k k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)zx y k k ，则2,3k k x y ==， 因为0k >，由2,3x x y y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2x y =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ，所以z x ，综上所述：z x y <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( )A. 3或13B. 0C. 13D. 3【答案】B【解析】【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x ，且||2AB = 点C 到直线AB 的距离231|3|1122|1|k k k k d k +--+++=+ 所以1222|1||1|022|1|k k k k ⋅=⇒-=+⇒=+. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( ) 2 B. 22 C. 4 D. 8 【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+， 所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+， 圆22222230()42p x y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p ，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以22262p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( )A. 3B. 2 32【答案】C【解析】【分析】 根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以3sin(2)332A A π⋅=⇒=故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点；②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为( )A. ②③B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D【解析】【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】因为'1(n )si x f x xx a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f x x =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ；对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x =+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A. 故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______．【答案】5-【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______． 【答案】12【解析】【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______． 【答案】35【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值. 【详解】因为sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+， 所以2222222αααα++，整理得：tan 3α=-， 所以sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______． 【答案】21 【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=， 所以PE 的最小值为21.21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，23)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =， 所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -， 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】【分析】（122cos b c a C -⋅中的边化成角得到2cos 2A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（122cos b c a C -⋅2sin 2cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+， 2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-=， 2sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以2cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =， 所以22)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，.因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD 的取值范围为(5,10). 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅， 又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+， 所以22121212121||||()42ABF S F F y y y y y y ∆=⋅-=+-⋅ 222223636121(34)34m m m m +=+++， 设211t m =+≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）e 【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xeax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=， 解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=， 故()h x 的单调递减区间为)e ，单调递增区间为,)e +∞，所以()h x 的最小值为e)eh = 故a 的最小值为e- 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. （1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||3AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以2]t ∈，则21sin 2t α-=， 所以2213t t -=224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b ,求2a b -的取值范围. 【答案】(1)2(2) (,22]2,)-∞-⋃+∞． 【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b ． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”； 当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,22][22,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
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2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分.第I 卷1至3页,第II 卷3至5页,满分150. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回 .第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数22i +1iz =+,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为D.22.设集合201x A xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,22{|log (23)}B x y x x ==--,则A B =A.{}21x x -≤<-B.{}11x x -<≤C.{}21x x -≤<D.{}11x x -≤<3.已知等比数列{}n a 满足118a =,243441a a a =-,则2a =A.14±B.14C.116±D.1164.已知变量x ,y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2x y +的最大值为A.2B.5C.6D.75.一个球体被挖去一个圆锥,所得几何体的三视图 如右图所示,则该几何体的体积为 A.53π B.7π C.323π D.13π6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个, 大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的 一个算法.执行右图的程序框图,则输出的n = A.25 B.45 C.60 D.757.若a ,b 为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面, 则a α⊥的一个充分条件是A.//a β且αβ⊥B.a β⊂且αβ⊥C.a b ⊥且//b αD.a β⊥且//αβ 8.若实数x ,y ,z 满足23log log 2z x y ==,则x ,y ,z 的大小关系是A.x <y <zB.x <z <yC.z <x <yD.z <y <x9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称,斜率为k 过点A 交l 于点C ,若ABC ∆的面积为2,则k 的值为A.3或13B.0C.13D.310.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C xpy p =>的焦点F ,与抛物线C 交于A ,B 两点,又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ,D 两点.若||3||AB CD =,则k 的值为 B. C.4 D.8正视图侧视图11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π,(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点,点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上,且满足212MN PN π⋅=,则A 的值为A.3B.212.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a =+-∈R ,以下四个命题： ①当e a ≤-时,函数()f x 存在零点； ②当0a <时,函数()f x 没有极值点；③当0a =时,函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时,()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立.其中的真命题为 A.②③ B.①④ C.①② D.③④2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量(1,2)=-a ,(,1)m m =-b ,若//a b ,则⋅a b = .14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-,且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则1115f f +()()= .15.若sin()2cos )4αααπ+=+,则sin2α= .16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ,1BB 的距离之差为2.设11C D 的中点为E ,则PE 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(12分)已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =,前n 项和为n S ,且2112n n n S S a +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(12分)如图,矩形ABCD ⊥平面EBC ,1AB =, 23πEBC?,且M ,N 分别为AB ,CE 的中点. (1)证明：//MN 平面AED ；(2)若2BC BE ==,求二面角E AD B --的大小.19.(12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos c C -⋅,c = (1)求A ；(2)若ABC ∆为锐角三角形,D 为BC 中点,求AD 的取值范围.20.(12分)已知椭圆222210:()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,2ABF ∆的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有,试求出最大值；若没有,说明理由.21.(12分)已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R .(1)若0b =,曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行,求a 的值； (2)若2b =,且函数()f x 的值域为[)2,+∞,求a 的最小值.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,圆22:(1)(1)1C x y -+-=.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<,直线l 交圆C 于A ,B 两点,P 为AB 中点.(1)求点P 轨迹的极坐标方程；(2)若||||AB OP ⋅=求α的值.23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知11212x x m ++-?在R 上恒成立. (1)求m 的最大值M . (2)若a ,b 均为正数,且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围.2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分. 1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.13.5- 14.12 15.35-三、解答题：本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等,满分12分.17. 解：(1)由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减,得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥,……………………………… 2分又0n a >,∴11(2)2n n a a n +-=≥,………………………………3分当1n =时,22122S S a +=且112a =, 故222210a a --=,得21a =(2102a =-<舍去),∴2111122a a -=-=,………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列,公差为12,………………………………5分 所以12n a n = .………………………………6分(2)由(1)及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅,………………………………8分所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++.………………………………12分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. (1)证明：取DE 中点F ,分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点,所以1//,2FN CD FN CD =,.…………………… 1分因为矩形ABCD 中,M 为AB 的中点,所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =,……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形,…………3分 所以//AF MN ,……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED , 所以//MN 平面AED .………………………5分 (2)因为矩形ABCD ⊥平面EBC , 矩形ABCD 平面EBC BC =, AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC.………………………………6分 如图,以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -, 则(0,0,0)B ,(0,0,1)A ,(0,2,1)D ,1,0)E -,………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ,所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量,………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量,y因为(0,2,0)AD =,(3,1,1)AE =--, 所以220AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,得200y y z =⎧⎪--=,故可取2=n ,………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ,由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3π.………………………………12分 解法二：(1)取CD 中点F ,分别连结FM ,FN . 又矩形ABCD 中,M 为AB 中点, 所以//,AM DF AM DF =, 所以四边形AMFD 为平行四边形,所以//MF AD ,…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED , 所以//MF 平面AED .………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点.所以//FN DE ,又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED , 所以//FN 平面AED .……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=,所以平面//FMN 平面AED ,………………4分 又MN ⊂平面FMN ,所以//MN 平面AED .………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ,过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ,连结EH ,又因为平面ABCD ⊥平面EBC ,矩形ABCD 平面EBC BC =所以EG ⊥平面ABCD .EG AH ∴⊥又EG GH G =,AH ∴⊥平面EGH , EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角,………………………………10分因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠=………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3π.……………………12分19.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查应用意识.满分12分.解：(1)cos c C -=⋅,由正弦定理,sin cos B C A C -=……………1分又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-…………………………………2分sin sin 0A C C -=,…………………………………3分 因为0C π<<,所以sin 0C ≠所以cos 2A =又0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分(2)由(1)知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中,由正弦定理得sin sin c bC B=,所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，,所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点,所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅,由余弦定理,2222a b c c ab+--=⋅……………………1分 整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分 又0A π<<,所以4A π=………………………………5分(2)由(1)知4A π=,又c =故2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形,所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩,即222222848884848b b b b b b b b⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ,使得DE AD =,连结BE ,CE .则四边形ABEC 为平行四边形,所以344ABE πππ∠=-=,BE AC b ==. 在ABE ∆中,2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠,………………………………9分即2244+8AD b b =+,所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，,所以AD的取值范围为.………………………………12分 20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分12分. 解：(1)离心率为12c e a ==,∴2a c =,………………………………1分 2ABF ∆的周长为8,∴48a =,得2a =,………………………………3分∴1c =,2223b a c =-=,………………………………4分因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.………………………………5分 (2)设2ABF ∆的内切圆半径为r ,∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅, 又22||||||8AF AB BF ++=,∴24ABF S r ∆=,要使2ABF ∆的内切圆面积最大,只需2ABF S ∆的值最大.………………………………6分设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线:1l x my =-, 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=, 易得0∆>,且122634m y y m +=+,122934y y m -⋅=+,………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=,………………………………8分设1t =,则2212121313ABF t S t t t∆==++,………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥,2130y t '=->,所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增,……………10分 所以当1t =,即0m =时,2ABF S ∆的最大值为3,………………………………11分 此时34r =,所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π.………………………………12分 (注：若讨论直线l 斜率存在或不存在,由此求得斜率不存在时面积最大值,酌情按步给分) 21.本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解：(1)当0b =时,21()ax f x x e ax +=-,1()(2)ax f x xe ax a +'=+-,………………………………1分由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=,………………………………2分 得1(2)(2)0a e a a ++-+=,即1(1)(2)0a e a +-+=,……………………………3分 解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时,0(1)12f e =+=,此时直线2y x =恰为切线,故舍去,……………………5分 所以2a =-.………………………………6分(2)当2b =时,21()2ln ax f x x ex ax +=--, 设21ax t x e +=,则ln 2ln 1t x ax =++,………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+.由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞,所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=,。