九年级数学根与系数的关系

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九年级上册数学根与系数的关系

九年级上册数学根与系数的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊九年级上册数学里超有趣的根与系数的关系，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？你知道吗？一元二次方程的根与系数之间藏着神秘的联系呢。

比如说，对于方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0），如果它有两个根 x_1 和 x_2 ，那么就有 x_1 + x_2 = \frac{b}{a} ，x_1x_2 =\frac{c}{a} 。

这是不是很神奇？就好像是数学给我们开的一个小秘密通道。

比如说，给你一个方程 x^2 5x + 6 = 0 ，咱们很快就能知道它的根的和是 5，根的积是 6 。

然后一分解，嘿，原来方程的根就是 2 和3 。

这在解题的时候可太有用啦！有时候题目不给咱具体的根，只给方程的系数，让咱求根的和或者积，咱们用这个关系就能轻松搞定。

而且哦，根与系数的关系还能帮我们检验算出的根对不对。

算完根之后，代入这两个关系式看看，对得上就是正确的，对不上那可得重新算啦。

怎么样，是不是觉得根与系数的关系就像一个神奇的魔法棒，能在数学的世界里帮我们解决好多难题呀！稿子二哈喽呀，小伙伴们！今天咱们来唠唠九年级上册数学里那个有点神秘但又超级好玩的根与系数的关系。

想象一下，一元二次方程就像一个藏着宝贝的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的钥匙。

比如说，对于方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0），一旦知道了 a 、b 、c 的值，咱们就能通过神奇的公式算出根之间的关系。

你看哈，如果方程有两个根 x_1 和 x_2 ，那么 x_1 + x_2 = \frac{b}{a} ，x_1x_2 = \frac{c}{a} 。

这可太酷了！咱们来举个例子感受一下。

比如方程 2x^2 3x 5 = 0 ，咱们一下子就能算出根的和是 \frac{3}{2} ，根的积是 \frac{5}{2} 。

有时候做题，题目会故意不直接告诉我们根是多少，而是让我们通过根与系数的关系去推理、去计算。

根与系数的关系知识点总结

根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。

那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。

根与系数的关系公式8个

根与系数的关系公式8个根与系数之间存在以下8个关系公式：1.二次方程的根与系数的关系公式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，它的两个根可以通过以下公式表示：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.一元三次方程的根与系数的关系公式：对于一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0，它的根可以通过三角恒等式表示：x = (√3 R cos(θ/3) - b)/(3a), (√3 R cos((θ+2π)/3) -b)/(3a), (√3 R cos((θ+4π)/3) - b)/(3a)其中 R = ∛(q + √(q^2 + p^3)), q = (3ac - b^2)/(9a^2), p = (9abc - 27a^2d - 2b^3)/(54a^3)3.一元四次方程的根与系数的关系公式：对于一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a ≠ 0，它的根可以用四舍五入的方法获得。

但在实际情况中，它的根通常是通过数值方法，如牛顿迭代法等获得。

4.一元五次方程的根与系数的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。

5.一元二次方程的系数与根的关系公式：如果一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根为 p 和 q，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q)c = pq6.一元三次方程的系数与根的关系公式：如果一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的根为 p，q 和 r，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r)c = pq + qr + rpd = -(pqr)7.一元四次方程的系数与根的关系公式：如果一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 的根为 p，q，r 和 s，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r+s)c = pq + qr + rs + spd = -(pqr + qrs + rsp + spq)e = (pqr)s8.一元五次方程的系数与根的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。

九年级数学一元二次方程的根与系数的关系

九年级数学一元二次方程的根与系数的关系1. 引言大家好，今天我们来聊聊一元二次方程的根和系数之间的关系。

听起来有点儿高深对吧？别担心，我们会把这个看似复杂的概念讲得简单易懂，就像聊聊天儿一样。

没错，就是那种能让你瞬间从“啥？”到“哦，我懂了！”的感觉。

2. 一元二次方程的基本概念2.1 什么是“一元二次方程”？首先，我们得搞清楚什么是一元二次方程。

一元二次方程其实就是形如 ( ax^2 +bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数，( x ) 是我们要求解的变量。

这里的“二次”指的是 ( x ) 的最高次数是 2。

所以，只要我们看到 ( x^2 ) 这个东西，就知道它是一元二次方程了。

2.2 例子来帮忙比如说，我们有个方程 ( 2x^2 4x + 1 = 0 )。

这就是一个典型的一元二次方程。

你看， ( a = 2 )、( b = 4 )、( c = 1 )，就是这么简单。

3. 根与系数的关系3.1 根的定义接下来，我们来说说“根”是什么。

根就是方程的解，也就是使方程成立的 ( x ) 值。

换句话说，如果你把这些 ( x ) 值代入方程，方程的左右两边会等于零。

比如在 ( 2x^24x + 1 = 0 ) 这个方程里，我们求出的 ( x ) 就是它的根。

3.2 根与系数的关系好了，重点来了。

根和系数之间有一些特别的关系，我们用它们可以很快搞清楚方程的根。

这些关系叫做“根与系数的关系”，听起来有点儿高深，其实很简单！3.2.1 关系式一：根的和如果 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 是方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的两个根，那么它们的和是( frac{b}{a} )。

简单来说，就是把 ( b ) 除以 ( a )，然后再取相反数。

举个例子，假如我们有方程 ( 2x^2 4x + 1 = 0 )，这里 ( a = 2 )、( b = 4 )。

根与系数的关系-初中数学知识点

1 / 1 根与系数的关系
1．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1 ，常用以下关系：1x ，2x 是方程2
0x px q ++=的两根时，12x x p +=- ，12x x q =，反过来可得()12p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=- ，12c x x a =，反过来也成立，()12b x x a =-+ ,12=c x x a
．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③
不解方程求关于根的式子的值，如求，2212x x +等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足
的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑()0a ≠，0∆≥ 这两个前提条件．。

初中数学九年级专题复习专题04 根与系数关系

专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题 04 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -<例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的方程组得1(4038A =-例 4.0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==-例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0c =，得0b ca a =，即)12120x x x x +=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x 21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =+=++=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

九年级根与系数的关系教案

九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数之间的联系。

2. 培养学生运用根与系数的关系解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：理解并掌握根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。

2. 教学难点：根与系数的关系在实际问题中的应用。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、发现、总结根与系数的关系。

2. 运用案例分析法，让学生通过实际问题理解并掌握根与系数的关系。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数的关系。

四、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，以便在教学中引导学生进行探索和分析。

2. 准备多媒体教学设备，以便进行数形结合的教学。

五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考根与系数的关系。

2. 探索与发现：让学生通过分组讨论、探索，发现根与系数之间的关系。

3. 总结与讲解：引导学生总结根与系数的关系，并进行讲解。

4. 案例分析：分析实际问题，运用根与系数的关系解决问题。

5. 练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结反馈，查漏补缺。

六、教学内容与要求1. 教学内容：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式，理解根与系数在解方程中的应用。

2. 教学要求：学生能够运用根的判别式判断方程的根的情况，能够将实际问题转化为方程求解，并运用根与系数的关系进行分析。

七、教学步骤1. 回顾与导入：复习一元二次方程的基本概念，引入根与系数的关系。

2. 探索与发现：引导学生通过具体的一元二次方程，探究根与系数之间的关系。

3. 讲解与总结：讲解根的判别式，总结根与系数之间的关系，并进行例题解析。

4. 应用与拓展：提供几个实际问题，让学生运用根与系数的关系进行求解。

5. 巩固与练习：布置相关的练习题，让学生进行巩固练习。

人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件(共19张PPT)

的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.

B.

a≠b，则 + 的值是( A )

−

C.

D.

−

解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，

∴

+ =

+

=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

人教版九年级数学课件《一元二次方程根与系数的关系》

知识精讲
人教版数学九年级上册
解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0;
(2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0
a b c 两根
x1 x2
关系
1 3 -4 -4 1 x1+x2=_-_3_；x1 ·x2=__-4_.
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
典例解析
人教版数学九年级上册
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解： a = 1 , b = 7 , c = 6.
解： a = 2 , b = -3 , c = -2.
二、常见的求值应用
1. 1 1 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 =(x1-x2 )2 +2x1x2;
3. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
人教版数学九年级上册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 =
3 2
, x1 x2 = -1 .
典例解析
人教版数学九年级上册
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根
及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程的根与系数的关系课件

解：原方程可化为：
x2 + kx- 6 =0 55
想一想，
设方程的另一根是x1 ，那么
2x1 =-56,∴x1
=-3 5
还有其他方法吗？
又∵ （-53）+2=-5k，∴k=-5[53()-+2]=-7
答：方程的另一个根是
-
3 5
，k 的值是 -7。
还可以把 x=2代入方程的两边，求出k。
我能行3 例3、不解方程，求一元二次方程22 x+3x -1=0
两个根的①平方和；②倒数和。
解：设方x程1+的x两2=根-是3 2,xx11 ,x•2x,2那=-么1 2
① ∴ ( x 1 21 + + x x x 2 22 = ) 2 ( = 1 x + x 1 2 x + 2 2 ) 21 -x 2 x 2+ 1 x x x 2 2 2
∴ x1 2+x2 2=(-3 2) 2-2× (-1 2)=1 43
9．已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0 ，问：是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由。不存在
10．已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-
1=O。
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相
等的实数根； (2)若方程两根为x1、x2，且满足求m的值。
2
如果方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是x , 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
1
想一想，还有其他方法吗？

初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式

初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式一、介绍在初中数学的学习中，根与系数的关系和完全平方公式是一个重要且基础的内容。

掌握了这两个概念和方法，可以帮助学生更好地解决代数题目，提高解题效率和准确率。

本文将分别介绍根与系数的关系和完全平方公式的相关知识，并共享解题方法，帮助学生更好地理解和运用这两个重要的数学概念。

二、根与系数的关系1. 什么是根与系数？在代数中，一个一元二次方程可以用一般形式表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。

方程的根指的是能够使方程成立的未知数的值，不同的根可以使方程等式成立。

而系数则是指在方程中与未知数相关的常数。

2. 根与系数的关系根与系数之间存在着重要的关系，这一关系可以通过韦达定理来描述。

设一元二次方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下结论：（1）根的和与系数的关系x₁+x₂=-b/a根的和等于一次项系数b的相反数除以二次项系数a的负数。

（2）根的积与系数的关系x₁x₂=c/a根的积等于常数项c除以二次项系数a。

通过根与系数的关系，我们可以利用方程的系数来求解方程的根，或者根据已知的根来推导方程的系数，从而更好地理解方程的性质和特点。

三、完全平方公式1. 什么是完全平方公式？在代数运算中，完全平方公式是指一个代数式能够被一个一元二次不等式平方并展开成二次式的方法。

对于一元二次不等式(a+b)²，根据完全平方公式展开后得到a²+2ab+b²。

2. 完全平方公式的应用完全平方公式在代数运算中有着广泛的应用，尤其是在解决代数方程或不等式的过程中。

通过完全平方公式，我们可以将一个一元二次不等式进行因式分解，从而更好地理解并解决数学问题。

四、解题方法1. 根与系数的关系的解题方法（1）已知方程的系数求根当已知一元二次方程的系数时，我们可以通过根与系数的关系来求解方程的根。

九年级上根与系数的关系及其应用

根与系数的关系及其应用(1)(1)如果一元二次方程如果一元二次方程如果一元二次方程ax ax 2＋bx bx＋＋c=0(a c=0(a≠≠0)0)的两根为的两根为的两根为x x 1，x 2，那么，那么反过来，如果反过来，如果x x 1，x 2满足满足x x 1+x 2=p =p，，x 1x 2=q =q，则，则，则x x 1，x 2是一元是一元二次方程二次方程x x 2-px+q=0-px+q=0的两个根．的两个根．的两个根．一元二次方程的韦达定理，一元二次方程的韦达定理，一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．个有用的工具．（2）构造新方程）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

一、例题1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3 3 设方程设方程设方程4x 4x 2-2x-3=0-2x-3=0的两个根是的两个根是α和β，求，求44α2＋2β的值．的值．4：已知已知α，β分别是方程分别是方程x x 2＋x-1=0x-1=0的两个根，求的两个根，求的两个根，求22α5+5β3的值．的值．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x 6x＋＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为的值为_________ _________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x 7x＋＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，，x 1·x 2＝，，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x 2)x－－3=0的两根是1和－和－33，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m +2(m－－1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;二、例题5、已知关于、已知关于x x 的二次方程的二次方程x x 2－2(a 2(a－－2)x+a 2－5=05=0有实数根，且两根之积等于两根之和的有实数根，且两根之积等于两根之和的有实数根，且两根之积等于两根之和的22倍，求倍，求a a 的值。

人教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》PPT

3、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
4、 3x2 = 4
x1+x2=0
x1x2=-1
1
x1x2= 4
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
根与系数关系小结
对于一元二次方程
的两根
1、已知方程的一个根求另一个根及未知数（也可以用根的定义求解）
2、求关于两根的代数式的值如:两根的平方和、两根的倒数和等
-
2
,
x1
·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1
x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
练习1
已知关于x的方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程的两根互为倒数.
分析:1. x1 x2 m 1 0
3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。
求：(1)
1 1 x1 x2
(2) x12+x22
解：由题意可知x1+x2=
-
2 3
, x1 ·x2=-3
(1) 1 1 = x1 x2
x1 x2
x1 x2
=
2 3
1
2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则: a2 a 2 0
求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
练习4 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根

人教版九年级数学上册《根与系数的关系》课件(共24张PPT)

求证：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
bb24a cbb24a c x1x2 2a 2a
b b24acb b24ac
2a
2b 2a
b a
x1x2b2 b a 24a cb2 b a 24ac
b2
b24ac 4a2
4 ac 4a2
c a
如果一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么：
分所即由得别以：于：是：kx =xx12-1 7•x 1xx2 、2 53x2 22 x，2(其5 3)56中xk 5 1 2
。
答：方程的另一个根是 3 ，k=-7
5
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
a2xb xc0(a0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
xbb24ac(b24a c0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b24ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x23x40 4 1
例6 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时, 方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数
∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.

九年级根与系数的关系教案

九年级根与系数的关系教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握根与系数的关系，能够运用这一关系解决一些实际问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神。

二、教学内容：1. 根与系数的关系2. 运用根与系数的关系解决问题三、教学重点与难点：1. 教学重点：根与系数的关系，如何运用这一关系解决问题。

2. 教学难点：理解并掌握根与系数的关系，能够灵活运用。

四、教学方法：1. 采用问题导入法，引导学生思考和探索。

2. 运用案例分析法，让学生在实际问题中体会和理解根与系数的关系。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识和团队精神。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对根与系数关系的思考。

2. 新课导入：介绍根与系数的关系，引导学生理解并掌握。

3. 案例分析：分析一些具体的例子，让学生在实际问题中体会和理解根与系数的关系。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的看法和理解，培养合作意识和团队精神。

5. 总结与拓展：总结根与系数的关系，并引导学生思考如何运用这一关系解决更复杂的问题。

6. 课后作业：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。

九年级根与系数的关系教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握根与系数的关系，能够运用这一关系解决一些实际问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神。

二、教学内容：1. 根与系数的关系2. 运用根与系数的关系解决问题三、教学重点与难点：1. 教学重点：根与系数的关系，如何运用这一关系解决问题。

2. 教学难点：理解并掌握根与系数的关系，能够灵活运用。

四、教学方法：1. 采用问题导入法，引导学生思考和探索。

2. 运用案例分析法，让学生在实际问题中体会和理解根与系数的关系。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识和团队精神。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对根与系数关系的思考。

人教版九年级数学上册21.2.4根与系数的关系(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ钟）
今天的学习，我们了解了根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版九年级数学上册21.2.4根与系数的关系（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册21.2.4根与系数的关系：
1.掌握一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系；
2.了解根的判别式Δ=b^2-4ac与方程根的情况之间的关系；
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题；
4.内容包括：根与系数的关系推导、判别式的应用以及相关例题解析。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了根与系数的关系，这节课让我有了几点深刻的体会。首先，我发现学生们在理解根与系数之间的具体关系时，还存在一定的困难。尽管我们在课堂上进行了详细的推导和讲解，但仍有部分学生在实际应用时出现混淆。这说明我在教学中需要更加注重学生的实际接受情况，可能需要在课后增加一些针对性的辅导和练习。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系。
-通过具体例题，讲解和强调根与系数之间的具体关系，如：两根之和等于-b/a，两根之积等于c/a。
-判别式Δ=b^2-4ac的应用。
-讲解判别式与方程根的关系，如：Δ>0表示方程有两个不相等的实数根，Δ=0表示方程有两个相等的实数根，Δ<0表示方程没有实数根。

人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿

人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿一. 教材分析《根与系数关系》是人教版数学九年级上册第22章的一节内容。

本节课主要介绍了二次方程的根与系数之间的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。

教材中通过实例引导学生探究二次方程的根与系数之间的关系，并通过练习题巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次方程的基本概念和解法，对二次方程有一定的认识。

但是，学生可能对根与系数之间的关系理解不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。

此外，学生可能对数学符号和表达式的理解还不够熟练，需要教师在教学中进行引导和帮助。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解和运用二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和练习题进行教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次方程的根与系数之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。

2.探究：引导学生通过观察和分析实例，发现二次方程的根与系数之间的关系，并总结出规律。

3.讲解：教师对二次方程的根与系数之间的关系进行解释和讲解，引导学生理解和掌握。

4.练习：学生进行练习题，巩固对二次方程的根与系数之间关系的理解和运用。

5.应用：学生分组讨论和解决实际问题，运用二次方程的根与系数之间的关系进行分析和解答。

九年级数学根与系数的关系

九年级上册数学根与系数的关系

根与系数的关系知识点总结

根与系数的关系公式8个

九年级数学一元二次方程的根与系数的关系

根与系数的关系-初中数学知识点

初中数学九年级专题复习专题04 根与系数关系

九年级根与系数的关系教案

人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)

人教版九年级数学课件《一元二次方程根与系数的关系》

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程的根与系数的关系课件

初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式

九年级上根与系数的关系及其应用

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