(完整word版)4-2-2 巧求周长.教师版

一、基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式：①长方形的周长2=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽．②正方形的周长4=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长．三、常用方法：（1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．（2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．（3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．（4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．四、几个重要的解题思想 （1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的知识点拨4-2-2.巧求周长新图形，它的面积不变．（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．模块一、图形的周长和面积——割补法【例 1】 求图中所有线段的总长(单位：厘米)【考点】巧求周长 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB 、BC 、CD 、DE 四段，还包括AC 、BE 等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到，43=+=+AC AB BC ；3126=++=++=BE BC CD DE ，等等．因此，为了计算图中所有线段的总长，需要先计算AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段分别被累加了几次．这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由1段组成的线段共有4条，即AB 、BC 、CD 、DE ，而求和过程中AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段各被累加了1次．类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次, BC 、CD 各被累加了2次．由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次，BC 、CD 各被累加了2次．由4段组成的线段只有AE ，其中AB 、BC 、CD 、DE 各被计算了1次．综上所述，AB 、DE 各被计算了4次，BC 、CD 各被计算了6次．因而图中所有线段的总长度为：()()442631=48⨯++⨯+（厘米） 【答案】48【例 2】 如图所示，点B 是线段AD 的中点，由A 、B 、C 、D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB 的长度是 。

【考点】巧求周长 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第7题，10分 【解析】 线段所有长度包括AB 、BC 、CD 、AC 、BD 、AD 。

由于最后要求的是AB ，我们可用AB 和BC来表示这所有线段之积，为：()()()()31050022=⨯⨯-⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯-AB BC AB BC AB BC AB AB AB BC AB BC AB BC 对10500进行分解质因式，可得2310500=2357⨯⨯⨯所以AB 长度为5。

【答案】5例题精讲【例3】三只猴子走得一样快，所走的路线如下图。

哪只猴子先吃到桃子，就在它旁边的( )里画勾。

A ( )B ( )C ( )【考点】巧求周长【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第9题，12分【解析】猴子走的路线应该分为横向与竖向，两个纬度来看，横向看三只猴子所走路线是相同的，竖向看A 走的路程最少，所以A先吃到桃子。

【答案】A【例4】在一个长方形的面积为169平方厘米。

在这个长方形内任取一点P，则点P到长方形四边的距离之和最小值为_______厘米。

【考点】巧求周长【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第13题【解析】容易知道，无论点P在长方形内的位置在哪，P点到则点P到长方形四边的距离之和都为该长方形的“长+宽”，若“长+宽”最小，则长与宽的差要尽量小，即长=宽=13厘米时，P到长方形四边的距离之和最小，为26厘米。

【答案】26厘米【例5】边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？【考点】巧求周长【难度】2星【题型】解答【解析】想一想，把几个正方形拼合在一起，拼出的长方形的周长与所有正方形的周长相差多少呢？由3个大小相同正方形拼成一个长方形，只有一种拼法，就是把三个正方形排成一排．于是拼成的长方形的长是15345⨯=厘米，宽是15厘米．所以长方形的周长是：(长+宽)245152120（）(厘米)．⨯=+⨯=【答案】120厘米【巩固】用一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正方形的周长是多少分米？【考点】巧求周长【难度】3星【题型】解答【解析】两块边长4分米的正方形纸可以拼成一个长8分米，宽4分米的长方形纸板，与原有的一块8分米，宽4分米的长方形纸板的面积一样大，而且这两个长方形两条宽的和正好等于一条长．所以，拼法如图所示．然后运用正方形的周长计算公式很容易求出它的周长．拼成的正方形的周长是：8432⨯=(分米)【答案】32分米【例 6】 用7个长4厘米，宽3厘米的长方形拼成一个大长方形，在所有可能的拼法中，大长方形周长的最小值是 厘米。

【考点】巧求周长 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题 【解析】 这是一道几何问题，可以动手操作．要使所摆的大长方形的周长最小，应使7个小长方形有尽可能多的边重合．只有如下的3种摆法：图1图2图3图1的周长为(374)250⨯+⨯=厘米；图2的周长为(473)262⨯+⨯=厘米；图3的周长为(3443)238⨯++⨯=厘米;显然，在所有的拼法中，大长方形周长的最小值是38厘米．【答案】38厘米【巩固】 用6张边长为2厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是________厘米． 【考点】巧求周长 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛，第6题 【解析】 6张边长为2的正方形可以拼成的长方形有两种情况具体分析为：周长为()6212228⨯+⨯⨯=（厘米）周长为()3222220⨯+⨯⨯=（厘米）【答案】28或20厘米【巩固】 用6张边长为3厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是_______厘米。

【考点】巧求周长 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第2题 【解析】 可能拼出的长方形有如下两种可能，周长依次为42厘米，30厘米【答案】42或30厘米【例 7】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【考点】巧求周长【难度】3星【题型】解答【解析】大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个，而三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个．【答案】平行四边形40个，三角形40个【巩固】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【考点】巧求周长【难度】3星【题型】解答【解析】大平行四边形上、下两边的长为(23622)2116-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192+=个．÷=，所以有三角形19238⨯=个，小平行四边形38139【答案】三角形38个，平行四边形39个【例8】将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？【考点】巧求周长【难度】1星【题型】解答【解析】剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度即为所求．42=8⨯（厘米）。

【答案】8【巩固】把一个边长为a的正方形分成两个完全相同的长方形，则这两个长方形的周长的和是。

【考点】巧求周长【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，12题【解析】剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度为2a，所以这两个长方形的长度为+=a a a426【答案】6a【巩固】如图，两个长方形拼成了一个正方形。

如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少6厘米，则正方形面积是________平方厘米。

【考点】巧求周长【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛【解析】正方形的周长比两个长方形的周长的和少2个边长,2个边长是6厘米,则边长是3厘米,面积是9平方厘米.【答案】9平方厘米【巩固】两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？【考点】巧求周长 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 先想一想，减少的6厘米相当于正方形的几条边的边长呢？把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形的8条边减少了2条边(如图所示)而这两条边的和正好是减少的6厘米，所以，正方形的边长是623÷=厘米，原来一个正方形的周长是3412⨯=厘米．所以原来一个正方形的周长是：62412÷⨯=(厘米)【总结】通过这个例题，可以看出，求组合图形及一些特殊图形的周长与面积，一定要仔细观察，善于发现其中内在的联系，找出未知与已知的关系，将问题转化，从而得到解决．下面我们来学习几种求几何图形周长和面积的技巧．【答案】12厘米【例 9】 长方形ABCD 长为l0厘米，宽为4厘米．E 是BC 中点，四边形ADCE 的周长比三角形ABE 的周长多（ ）厘米．EDCBA【考点】巧求周长 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题 【解析】 通过比较得出，四边形ADCE 的周长比三角形ABE 的周长多的是AD 边，多10厘米。