湖北2007年高2第9单元第9节课—数学_充分条件与必要条件2

2014版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（1）四种命题（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析〖例1〗设原命题是“已知p 、q 、m 、n 是实数，若p=q ，m=n ，则p ＋m=q ＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p ＋m=q ＋n ，则p=q ，m=n(假)．原命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p≠q ，m≠n ，则p ＋m≠q ＋n”(假)逆否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m≠q＋n ，则p≠q 或m≠n”(真) 注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q 或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n ，②p=q 但m≠n，而不含p≠q 且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q ，m=n ．”应理解为“若p=q 且m=n ，”而这一语句的否定应该是“p≠q 或m≠n”．〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ；分析：首先应当把原命题改写成“若p 则q ”形式，再设法构造其余的三种形式命题． 解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论．所以：逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”；否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”(注意“a ＝b ，c ＝d ”的否定是“a ≠b 或c ≠d ”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ≠b 或c ≠d ”．逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定 1、相关链接 （1）利用定义判断①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．ⅱ③若p q ⇒且q p ⇒，p 是q 的充要条件； ④⑤p 是q 的必要而不充分条件．⑥（2）利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若,A B ⊆则p 是q 的充分条件;若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；若,A B p q ⊇则是的必要条件；若BA ，则p 是q 的必要不充分条件；若A=B ，则p 是q 的充要条件；注：p 与q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。

2、例题解析 〖例1〗 “21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B ； 解析：当12m =时两直线斜率乘积为1-从而可得两直线垂直,当2m =-时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此12m =是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。

注：对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =-②12,k k 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。

〖例2〗已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的[ ]A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换．解析：∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．三、充要条件的证明〖例1〗（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.分析：（1）讨论a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a的取值范围.解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=12-,方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1, 方程只有一个负根。

当a<0时，Δ=4（1-a）>0,方程有两个不相等的根，且1a<0,方程有一正一负根。

必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。

当a=0时，适合条件。

当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则Δ=4（1-a）≥0，∴a≤1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则11aa<⎧⎪⎨<⎪⎩∴a<0综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。

证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。

〖例1〗给出下列各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[ ]A．1组B．2组C．3组D．4组分析：使用方程理论和不等式性质． 解析： (1)p 是q 的必要条件 (2)p 是q 充要条件 (3)p 是q 的充分条件 (4)p 是q 的必要条件．选A ．说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．【感悟高考真题】〖例1〗（2011·安徽高考理科·Ｔ7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的整数都是偶数 （B ）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的整数是偶数 （D ）存在一个不能被2整除的整数不是偶数【思路点拨】此命题为全称命题，全称命题的否定为相应的特称命题.【精讲精析】选D. 全称命题的否定为相应的特称命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定.〖例2〗（2011·福建卷理科·Ｔ2）若a ∈R ，则“a =2”是“（a -1）（a -2）”=0的( ) (A).充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C).充要条件 (D).既不充分又不必要条件【思路点拨】解决本题的关键是判断“a =2”与“（a -1）（a -2）=0”两者之间满足怎样的推出关系. 【精讲精析】选A .由(1)(2)0a a --=得1a =或2a =，所以2(1)(2)0a a a =⇒--= 而(1)(2)a a --=0 ⇒2a =，故2a =是(1)(2)0a a --=的充分而不必要条件.〖例3〗（2011·江西高考理科·Ｔ8） 已知123,,ααα是三个相互平行的平面，平面12,αα之间的距离为1d ，平面23,a α之前的距离为2d ，直线l 与123,,ααα分别相交于123,,P P P .那么“1223PP P P =”是“12d d =”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【思路点拨】先根据面面平行的性质定理得出，线线平行，再根据平行线分线段成比例这一性质，易得两者之间的关系.【精讲精析】选C.如图所示，由于231323121122312232//,P P N P M //P N,P P d,P P P P d d .P P d ==αα=⇔同时被第三个平面所截，故有再由平行线分线段成比例易得，因此〖例4〗（2011·山东高考理科·Ｔ5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴对称”是“y=f（x ）是奇函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【思路点拨】考察充分必要条件【精讲精析】选B.“y=f （x ）是奇函数”，图象关于原点对称，所以“y=|f(x)|的图像关于y 轴对称” “y=|f(x)|的图像关于y 轴对称”， y=f （x ）的图象关于y 轴对称或者关于原点对称，所以y=f （x ）不一定为奇函数〖例5〗（2010湖南文数）2. 下列命题中的假命题．．．是 A. ,lg 0x R x ∃∈= B. ,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D. ,20x x R ∀∈> 【答案】C【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C 〖例6〗（2010陕西文数）6.“a ＞0”是“a ＞0”的[A](A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断00,00>⇒>>⇒>a a a a ，∴ a ＞0”是“a ＞0”的充分不必要条件〖例7〗（2010浙江文数）（6）设0＜x ＜2π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，结合xsin 2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答天姿国色黑岩 雁门关外 /seshu/31888/index.html 案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题【考点模拟演练】（1）（（2011届·成都高三摸底（理）））已知命题p ：若x ＝y(A )命题p 正确，其逆命题也正确 (B )命题p 正确，其逆命题不正确 (C )命题p 不正确，其逆命题正确 (D )命题p 不正确，其逆命题也不正确答案：C（2）（2011届·湖南省长沙市一中高三月考（理））5．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<使”是假命题，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．13a ≤≤B ．11a -≤≤C ．33a -≤≤D ．13a -≤≤答案：D（3）记等比数列{}n a 的公比为q ，则“1q >”是“*1()n n a a n N +>∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：D解析：可以借助反例说明：①如数列：1,2,4,8,---- 公比为2，但不是增数列； ②如数列：1111,,,,248---- 是增数列，但是公比为112<． （4）（2011届·长沙市一中高三月考（文））已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1，+∞）上是增函数，命题q ：关于x 的函数(21)xy a =-在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是 （ ）A ．23a ≤B ．102a <<C ．1223a <≤ D ．112a << 答案：C（5）（2011届·湖南嘉禾一中高三学情摸底）“x>1”是“x x >2”成立的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：C（6）（2011届·湖南省长沙市一中高三月考（理））若集合2{1,},{2,4},"2"A m B m ===则是"{4}"A B ⋂=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A（7）2011届·温州市高三八校联考（文） “2a =”是“直线2()0a a x y -+=和直线210x y ++=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A（8）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】显然，充分性不成立.又，若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b 即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”（9）”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A解析：△＝2a －4＜0时，－2＜a ＜2，因为”“22≤≤-a 是“－2＜a ＜2”的必要不充分条件，故选A（10）2011届·汕头华侨中学高三摸底（理）已知1a >，22x xf (x )a +=，则1f (x)<成立的一个充分不必要条件是( ) A ．01x <<B ．10x -<<C ．20x -<<D ．21x -<<答案：B（11）（2011届·怀柔区一模(理)）若＝(1,2,－3)，＝(2,a －1,a 2－31)， 则“a ＝1”是“⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案:A（12）（2011届·东城区一模（文））给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，则这两个平面互相平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面.其中为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④答案：D二、填空题 （1）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,21 （2）（2011届·湖北监利一中高三月考（文））若:(3)(1)0p x x -+< ，:12q x -<，则p 是q 的______________ 条件。