中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案
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中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案
一、相似
1.已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EH•EA;
(3)若⊙O的半径为,sinA= ,求BH的长.
【答案】(1)证明:如图,
∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,
∴∠ODB=∠ABC,
∵OF⊥BC,
∴∠BFD=90°,
∴∠ODB+∠DBF=90°,
∴∠ABC+∠DBF=90°,
即∠OBD=90°,
∴BD⊥OB,
∴BD是⊙O的切线
(2)证明:连接AC,如图2所示:
∵OF⊥BC,
∴,
∴∠CAE=∠ECB,
∵∠CEA=∠HEC,
∴△CEH∽△AEC,
∴,
∴CE2=EH•EA
(3)解:连接BE,如图3所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵⊙O的半径为,sin∠BAE= ,
∴AB=5,BE=AB•sin∠BAE=5× =3,
∴EA= =4,
∵,
∴BE=CE=3,
∵CE2=EH•EA,
∴EH= ,
∴在Rt△BEH中,BH= .
【解析】【分析】(1)要证BD是⊙O的切线,只需证∠OBD=90°,因为∠OBC+∠BOD=90°,所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC,则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD,由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°;
(2)连接AC,要证CE2=EH•EA;只需证△CEH∽△AEC,已有公共角∠AEC,再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB,即可证△CEH∽△AEC,可得比例式求解;
(3)连接BE,解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。
2.如图所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,EC的延长线交BD于点P.
(1)把△ABC绕点A旋转到图1,BD,CE的关系是(选填“相等”或“不相等”);简要说明理由;
(2)若AB=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转,当∠EAC=90°时,在图2中作出旋转后的图形,求PD的值,简要说明计算过程;
(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为________,最大值为________.
【答案】(1)解:相等
理由:∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
∴BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE;
(2)解:作出旋转后的图形,若点C在AD上,如图2所示:
∵∠EAC=90°,
∴CE= ,
∵∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,
∴△PCD∽△ACE,
∴,
∴PD= ;
若点B在AE上,如图2所示:
∵∠BAD=90°,
∴Rt△ABD中,BD= ,BE=AE﹣AB=2,
∵∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,
∴△BAD∽△BPE,
∴,即,
解得PB= ,
∴PD=BD+PB= + = ,
(3)1;7
【解析】【解答】解:(3)如图3所示,以A为圆心,AC长为半径画圆,当CE在⊙A下方与⊙A相切时,PD的值最小;当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时,PD的值最大.
如图3所示,分两种情况讨论:
在Rt△PED中,PD=DE•sin∠PED,因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小.
①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时,
在Rt△ACE中,CE= =4,
在Rt△DAE中,DE= ,
∵四边形ACPB是正方形,
∴PC=AB=3,
∴PE=3+4=7,
在Rt△PDE中,PD= ,
即旋转过程中线段PD的最小值为1;
②当小三角形旋转到图中△AB'C'时,可得DP'为最大值,
此时,DP'=4+3=7,
即旋转过程中线段PD的最大值为7.
故答案为:1,7.
【分析】(1)BD,CE的关系是相等,理由如下:根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE,根据等腰直角三角形的性质得出BA=CA,DA=EA,从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE,根据全等三角形对应边相等得出BD=CE;
(2)作出旋转后的图形,若点C在AD上,如图2所示:首先根据勾股定理算出CE的
长,然后判断出△PCD∽△ACE,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解得出PD的长;若点B在AE上,如图2所示:根据勾股定理算出BD的
长,然后判断出△BAD∽△BPE,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解得出PB的长,根据线段的和差即可得出PD的长;
(3)如图3所示,以A为圆心,AC长为半径画圆,当CE在⊙A下方与⊙A相切时,PD 的值最小;当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时,PD的值最大.
如图3所示,分两种情况讨论:在Rt△PED中,PD=DE•sin∠PED,因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小.①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时,根据勾股定理算出CE,DE的长,根据正方形的性质得出PC=AB=3,进而得出PE的长,根据勾股定理算出PD 的长,即旋转过程中线段PD的最小值为1;②当小三角形旋转到图中△AB'C'时,可得DP'为最大值,此时,DP'=4+3=7,即旋转过程中线段PD的最大值为7.
3.如图,在Rt△ABC中,,角平分线交BC于O,以OB为半径作⊙O.
(1)判定直线AC是否是⊙O的切线,并说明理由;
(2)连接AO交⊙O于点E,其延长线交⊙O于点D,,求的值;
(3)在(2)的条件下,设的半径为3,求AC的长.
【答案】(1)解:AC是⊙O的切线
理由:,
,
作于,