概率统计习题课2

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概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2

第二章随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案

1 3
解: 知识点： P43均匀分布函数及其概率密度函数。由题意知, X ∼ U (2, 5), 从而， X 的概率密度函数为 { 1 , x ∈ (2, 5); 3 f (x) = 0, 其他.
2 X 落在(3, 5]之间的概率为 3 ，
f (x) dx √ c dx 1 − x2
X 落在(2, 3]之间为 1 3 从而，至少有两次观测值大于3的概率为 P = = = 19. 题目见课本P57. 解: 知识点： P24伯努利概型、 P37二项分布概念、 P45指数分布及其概率密度函数。 X 表示顾客在某银行窗口等待服务的时间。 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。由于他一个月去银行5次 1 2 2 3 2 · ( )3 C3 · ( )2 · + C3 3 3 3 4 8 + 8 27 20 27
3 从5只球中取出3只，取出的总数为C5 。
= 1，
从而得到， a = 1。 (2)由离散概率分布的性质可知 ∑∞ a k=1 2k = 1，因此有 a·
1− 1 2
1 2
由题知，X 表示所取出3只球中的最大号码，所以X 的可能取值为分别为3, 4, 5。当X = 3时，其它两个球只能是1, 2, 故 P (X = 3) =
由于某人的成绩为78分因此高于78分人数的概率为px781???781?700276?789992002909令p1为某单位的录取率又由于某单位招聘155人有526人报名因此52602947进一步由于px7802909p102947录取率为p1155故此人能够被录取
概率论与数理统计课后习题
第 2 章
=
3 10
当X = 4时，其它两个球只能是从1, 2, 3, 4中任取2个，故 C2 6 P (X = 5) = 4 = 3 C5 10 因此， X 的分布列为 X P 3. 题目见课本P56。解: 知识点：P7古典概率定义、 P35超几何分布概念。 X 表示取出四只中所含次品的只数。由于有3件次品，则X 可能取值为 0, 1, 2, 3，进而由古典概率定义和超几何分布，得 P (X = k ) =

《概率论与数理统计》习题二

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《概率论与数理统计》课后习题答案2

1．试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2．试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间（0，+∞）3．设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数．解由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格．现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张，求余下的卡片中最大号码的概率分布．解设X 为余下的卡片的最大号码，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2）计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ．解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1）求X 的概率分布；（2）计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布．解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值．解因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1）求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2）若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。

中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)说课讲解

中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1.设X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=111000)(2x x Ax x x F确定A 并求{}7.03.0≤<X P 。

解：由()F x 的右连续性得()11lim ()1x A F F x →+==={}()()220.30.70.70.30.70.30.4P X F F <≤=-=-=2. 检查下面数列，指出哪个是分布律，并说明理由,若是分布律,写出其分布函数. (1)5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p ；解：由55()115x x xp x ====∑∑及 ()()00,1,,515xp x x =≥=L 知5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p 是分布律。

分布函数为0,11/15,123/1523()6/153410/154515x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩(2)3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 。

解：由253(3)06p -=<知 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 不是分布律。

3. 设离散型随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.04.03.0101,求：(1)X 的分布函数；解：010.310()0.70111x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩(2) }21{≤≤-X P 。

解：{12}P X -≤≤()()()21110.30.31F F P X =-+=-=-+=4.某射手的射击命中率为p ，现对一目标连续射击，直到第一次击中为止。

令X 表示到第一次击中为止所用的射击次数，试求X 的概率分布。

解：设i A ={第i 击中目标}，1,2,i =L()()11P X P A p === ()()()12111,1,2,k k k P X k P A A A A p p k --===-=L L5. 已知随机变量X 的密度函数为,01,()(2),12,0,kx x f x k x x <<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.试求:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）常数k ；解：1211()d d (2)d f x x kx x k x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰22k kk =+= 即 1k =（2）X 的分布函数；解： ()()dt x F x f t -∞=⎰()()010112100dt01dt 2dt 12dt 2dt 2xxx t x t t x t t x ≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨+-<≤⎪⎪⎪+->⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 22000122112212x x x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪--<≤⎪⎪>⎩（3）13{}22P X <<。

概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第二

概率论与数理统计（理工类，第四版）吴赣昌主编课后习题答案第二随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. ③随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题2试述随机变量的分类. 解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量. 习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,?,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率. 解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3 则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10, P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10, P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ. 解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ22e-λ, 解得λ=2. 习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5, 试求(1)P{12<x> (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X3}. </x>解答：(1)P{12<x> 52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} </x>=115+215+315=25;(3)P{X3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X1OX≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125. 由条件概率知P{X1OX≠0}=P{X1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0} =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32. 习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110, P{X=4}=C32?1C53=310, P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律为X 3 4 5 pk 1/10 3/10 3/5 习题5 某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X 10 20 30 40 pi 0.15 0.25 0.45 0.15 求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率. 解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X60}, 即P{X20}, P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6. 就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6. 习题6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X 的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,?;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m 件，则m应满足P{X≥m}=0.6, 即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5. 习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布. 解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6. 则随机变量的分布律为X 0 1 P 0.4 0.6 习题8 某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布. 解答：设X 表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=*****, P{X=1}=C73C31C103=*****, P{X=2}=C71C32C103=*****, P{X=3}=C33C103=1120. X的分布律为X 0123 P ***-********-*****120 习题9 一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布. 解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,?,k,?.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×?×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,?. 习题10设随机变量X～b(2,p),Y～b(3,p), 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}. 解答：因为X～b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9, 所以p=1/3.因为Y～b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27. 习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率. 解答：以X记纺锭断头数，n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381. 习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率. 解答：\\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2,∴P{X=0}=e-2, ∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x-20.4,-2≤x01,x≥0, 是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量. 习题2设F(x)={0x0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数. 解答：首先，因为0≤F(x)≤1,?x∈(-∞,+∞). 其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1, 且F(-∞)=0,F(+∞)=1, 所以F(x)是随机变量的分布函数. 习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形. 解答：由题意知X的分布律为：X 135 Pk 0.30.50.2 所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x10.3,1≤x30.8,3≤x51,x≥5. F(x)的图形见图. 习题4 设离散型随机变量X的分布函数为F(x)={0,x-10.4,-1≤x10.8,1≤x31,x≥3, 试求：(1)X的概率分布；(2)P{X2OX≠1}. 解答：(1) X -113 pk 0.40.40.2 (2)P{X2OX≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23. 习题5 设X的分布函数为F(x)={0,x0x2,0≤x1x-12,1≤x1.51,x≥1.5, 求P{0.4<x≤1.3},p{x> 0.5},P{1.7 <x≤2}. 解答：p{0.4<x≥1.3}="P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6," p{x> 0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P{1.7 <x≤2}=f(2)-f(1.7)=1-1=0. 习题 6 设随机变量x的分布函数为f(x)="A+Barctanx(-∞<x<+∞),"></x≤2}=f(2)-f(1.7)=1-1=0.> </x≤2}.> </x≤1.3},p{x>。

概率论与数理统计习题二及答案

2
此时， PX
2
62
1 2 2
1 62 2
65 2!
1 6 2
15 64
。
5. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数 4 的泊松分布，
问在月初进货时，要进多少才能以 99％的概率充分满足顾客的需要？
解：设至少要进 n 件物品，由题意 n 应满足 PX n 1 0.99, PX n 0.99,
pi
i 1 25
(i 1, 2,3, 4,5) 。
解：要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 pi 是否满足下列二
个条件：其一条件为 pi 0,i 1,2,，其二条件为 pi 1。
i
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量
的分布律，因为
PX
10
10
1 5
x
e 5 dx
e2
；
（2）设 Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则 Y 服从 n 5, p e2 的二项
分布，所求概率为
PY 1 PY 0 PY 1
5 0
e
2
0 1 e2
5
5 1
e
2
1 e2
4
1 4e2 1 e2 4
12. 设随机变量 X 服从 N (0,1) ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X 2.2) ;
P(0 X 1) ；（ 3） X 的分布函数。
解：（ 1）系数
A必须满足
Ae
x
dx
1，由于
e
x
为偶函数，所以
Ae
x
dx
20

概率论与数理统计许承德习题二课后答案

习题二1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+ 所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+= 131()()0.6P A A P A == 故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则345A B B B =++，所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++.5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -. 解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P A B P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

《概率论与数理统计》课后习题答案

21《概率论与数理统计》课后习题答案chapter2习题2.1解答1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。

从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量X 、Y 如下：⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第11,0;,1X ⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第22,0;,1Y试就下面两种情况求),(Y X 的联合概率分布和边缘概率分布。

（1）第1次抽取后放回；（2）第1次抽取后不放回。

解（1）依题知),(Y X 所有可能的取值为)1,1(),0,1(),1,0(),0,0(. 因为； 254104104)0|0()0()0,0(1101411014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 256106104)0|1()0()1,0(1101611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 256104106)1|0()1()0,1(1101411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 259106106)1|1()1()1,1(1101611016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：（2）类似于（1），可求得； 15293104)0|0()0()0,0(191311014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15496104)0|1()0()1,0(191611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15494106)1|0()1()0,1(191411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15595106)1|1()1()1,1(191511016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品。

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

于是， X 的分布律为
P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ， k 2,3, ．
7．随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X 1) P ( X 2) ，求 P ( X 4) 及 P ( X 1) ．
3
解： P ( X 1) P ( X 2) ，
(3) 方法 1： P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ．方法 2： P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 ． 4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是 0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达 40000 元；当第二组成功时，每年的销售额可达 60000 元，若失败则分文全无．以 X 记这两种新药的年销售额，求 X 的分布律．解：设 Ai {第 i 组取得成功}， i 1,2 ，由题可知， A1 ， A2 相互独立，且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：A1 A2 ，A1 A2 ，A1 A2 ，
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ，
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律．解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…，设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
1 ln 3) ；(3) 分布函数 F ( x) ． 2

习题课2

e−5 ⋅ 5k ≈∑ ≈ 0.986305. k! k=0
点评: 点评保险业是概率论的生长点和重要应用领域之一. 本例为简化起见, 不计利息与管理费. 域之一本例为简化起见不计利息与管理费
13
设随机变量X 在区间[2，上服从均匀例7 设随机变量在区间，5]上服从均匀分布，现对X 次独立观测，分布，现对进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率的概率。两次观测值大于的概率。设随机变量Y 解设随机变量是3次独立观测中观测值大次独立观测中观测值大的次数, 于3的次数则 Y ~ B(3, p),其中p是X大于3的概率. 的次数由题意知 X 的概率密度为
P( Ak ) = P( X = k) =
1 k 对k ≥ 1, P(B Ak ) = ( ) , 2 λk −λ 1 k P( Ak B) = P( Ak )P(B Ak ) = e ⋅ ( ) , k! 2
10
k!
e , k = 0,1,2,⋯
∴P(B) = P ∑Ak B = ∑P( Ak B) k=1 k=1
X − 200 P( A ) = P{X ≤ 200} = P ≤ −0.8 1 25 =φ−0.8) = 0.212; ( φ P( A2 ) = P{200 ≤ X ≤ 240}= 2 (0.8) − 1 = 0.576;
15
P( A3 ) = 1 − P( A ) − P( A2 ) = 0.212. 1
1
一般要学会做三类习题：一般要学会做三类习题： ①利用某些已知条件求出随机变量的分布律或密度函数；密度函数；利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率； ②利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率；利用分布律或密度函数，求出分布函数。 ③利用分布律或密度函数，求出分布函数。 4. 二维随机变量及其联合分布函数；二维随机变量及其联合分布函数；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维连续型随机变量及其联合概率密度。二维连续型随机变量及其联合概率密度。 5. 二维随机变量的边缘分布和条件分布。二维随机变量的边缘分布和条件分布。 6. 随机变量的相互独立性。随机变量的相互独立性。 7. 随机变量函数的分布。随机变量函数的分布。

概率论与数理统计第二章习题课

y 1 e
2 x单调，反函数为：1 x ( y ) ln(1 y ) 2 1 x ( y ) 2(1 y )
1 2e ln(1 y ) 2(1 y ) 0 1 0 y 1 其它 0
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0 y 1 其它
下页
结束

（二）概率分布已知，相关问题的计算４．设离散型随机变量Ｘ的概率分布为
X p 0 0.25 1 0.2 3 α 7 0.3
求（１）α；（２）分布函数；（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝
解：(1)由 pk 1
k
得α＝0.25
x0 0 0.25 0 x 1 0.45 1 x 3 0.7 3 x 7 x7 1
典型例题
一、离散型随机变量（一）求概率分布 1.一批零件有９件合格品，３件次品，安装机器时，从中任取一个，直到取到正品，就下列两种取样方式 a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数Ｘ的概率分布．
2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次，求试验次数Ｘ的概率分布．
3. 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p (0＜p＜1），
(3) f ( x) F ( x)
x 2 xe , x 0 x0 0,
2
解：(1)利用F(+∞)=1,及F(x)
在x=0处的连续性得： A=1 A+B=0 所以Ａ＝１，B= -1
１－e 即：F ( x) 0,
x2 2
,x0 x0
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, k 2,3,
3. 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p (0＜p＜1），
设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。

概率论与数理统计(经管类)课后习题_第二章

解:
1
C=
3. 将一枚骰子连掷两次,以 X 表示两次所得的点数之和,以 Y 表示两次出现的最小点数,分别求 X,Y 的分布律.
注: 可知 X 为从 2 到 12 的所有整数值．可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故 P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是 1) P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1)) P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)) P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)) P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)) P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧) P(X=8)=5*(1/36)＝5/36 P(X=9)=4*(1/36)＝1/9 P(X=10)=3*(1/36)＝1/12 P(X=11)=2*(1/36)＝1/18 P(X=12)=1*(1/36)＝1/36 以上是 X 的分布律
C53 0.3 3 0.7 2 C54 0.3 4 0.7 1 C55 0.3 5 0.7 0 0.1323 0.02835 0.00243 0.163
2 OF 18
2 PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2
1 C70 0.3 0 0.7 7 C71 0.3 1 0.7 6 C72 0.3 2 0.7 5 1 0.0824 0.2471 0.3177 0.353
4. 如下 4 个函数,哪个是随机变量的分布函数:
0,
2
(1) F x
,2x0
2, x 0

概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案

习题二1. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1,63,21,31,1,10,41,0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及)1(<X P ，)1(≤X P ，)3(>X P ，)3(≥X P . 解: 随机变量X则 4)0()1(==<P X P ； 3)1()1()0()1(==+=≤F P P X P ； 21)6()3(==>P X P ； 322161)6()3()3(=+=+=≥P P X P .2. 设离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=.2,,21,32,11,,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X P ，试求a ，b 和X 的分布列. 解：由分布函数的定义可知 1=+b a又因为21)2(==X P ，则6722132)02()2()2()2()2(=+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--=<-≤==b a a b a F F X P X P X P故 61=a ， 65=b .3. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F试求)5.2(<X P ，)5.30(≤<X P ，)5.25.1(<<X P . 解: 根据题意X 为连续型随机变量，则2ln 5ln )5.2()05.2()5.2(-==-=<F F X P ，1)0()5.3()00()5.3()5.30(=-=--=≤<F F F F X P ，3ln 5ln )5.1()5.2()05.1()05.2()5.25.1(-=-=---=<<F F F F X P 。

4. 若α-=≥1)(1x X P ，β-=≤1)(2x X P ，其中21x x <，试求)(21x X x P <<. 解: )()()(1221x X P x X P x X x P <-≤=<<)](1[)(12x X P x X P ≥--≤= αβαβ--=----=1)]1(1[1.5. 一只口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.从中任意取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码. (1)求X 的分布列；(2)写出X 的分布函数，并作图.解：(1)根据题意X 表示取出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5，故其分布列为351121)(C C C k X P p k k -===，5,4,3=k . 即(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1,54,52,43,101,3,0)(x x x x x F作图略.6. 有三个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球,以X 表示所取到的白球数.(1)试求X 的概率分布列；(2)取到的白球数不少于2个的概率为多少？解：(1)根据题意X 表示所取到的白球数，则其可能取值为3,2,1,0，故其分布列为353233533235341313131)(C C C C C C C C C k X P p k k k k kk k ---++===，3,2,1,0=k . 即(2) 31)3()2()2(==+==≥X P X P X P . 7. 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布. 解：以X 表示骰子点数出现6的次数，则)61,4(~B X 故其分布列为kkk k C k X P p -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛===4461161)(，4,3,2,1,0=k .即8. 量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求5件中不合格品数X 的分布列；(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？解：(1)以X 表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为0，1，2，4，5.故其分布列为510059010)(C C C k X P p k k k -===，5,4,3,2,1,0=k . (2)根据题意，所求概率为4162.0)0(1)0(1)0(=-=≤-=>P X P X P .9. 设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20次，试写出目标被击中次数X 的分布列. 解：以X 表示目标被击中的次数，则)8.0,20(~B X 故其分布列为kk k k C k X P p -===2020)2.0()8.0()(，20,,2,1,0 =k .10. 某车间有5台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有10分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求(1)同一时刻至少有3台车床用电的概率； (2)同一时刻至多有3台车床用电的概率.解：以X 表示同一时刻用电车床的台数，则)61,5(~B X 故其分布列为kkk k C k X P p -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===556561)(，.5,,2,1,0 =k(1)根据题意所求概率为0355.0)5()4()3()3(==+=+==≥X P X P X P X P ； (2)根据题意所求概率为9967.0)5()4(1)3(1)3(==-=-=>-=≤X P X P X P X P .11. 某优秀的射击手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率？解：以X 表示射击手命中环10的次数，则)7.0,3(~B X 故其分布列为kk k k C k X P p -===33)3.0()7.0()(，3,2,1,0=k .根据题意所求概率为784.0)1()0(1)2(1)2(==-=-=<-=≥X P X P X P X P . 12. 设随机变量X 和Y 均服从二项分布，即),2(~p B X ，),4(~p B Y .若98)1(=≥X P ，试求)1(≥Y P ?解：根据题意随机变量),2(~p B X ，则kkkp p C k X P --==22)1()(，2,1,0=k .又因为98)1(=≥X P ，则3298)1(1)0(1)1(1)1(22=⇒=--==-=<-=≥p p p C X P X P X P . 则 )32,4(~B Y .故 818031321)0(1)1(1)1(4004=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=<-=≥C Y P Y P Y P . 13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8次呼唤的概率； (2)每分钟呼唤次数大于8的概率.解：以X 表示交换台每分钟的呼唤次数，则)4(~P X 故其分布列为4!4)(-===e k k X P p k k ，.,2,1,0 =k(1)根据题意所求概率为0298.0!84)8(488====-e X P p ；(2)根据题意所求概率为021.0979.01)8(1)8(=-=≤-=>X P X P .14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品300件中次品数大于5的概率为多少？解：以X 表示300件产品中的次品数，则)01.0,300(~B X用参数为301.0300=⨯==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为0839.09161.01!31)5(1)5(503=-=-=≤-≈>∑=-k k e k X P X P .15. 保险公司在一天内承保了5000份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率. 解：以X 表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则)0015.0,5000(~B X 用参数为5.70015.05000=⨯==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为8622.0!5.7)9985.0()0015.0()10(105.710105000=≈=≤∑∑=-=-k k k kk k e k CX P .16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？解：以X 表示该汽车站每天出事故的车辆数，则)0001.0,1000(~B X 用参数为1.00001.01000=⨯==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为0!1.01)2(1)2(21.0=-≈≤-=>∑=-k k e k X P X P . 17. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，则失败的概率为p q -=1 )10(<<p .(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数X 的分布列.(2)将试验进行到第r 次成功为止，求所需试验次数Y 的分布列.（此分布被称为负二项分布）解：(1)根据题意，以X 表示试验第一次成功为止所需试验次数，则X 服从参数为p 的几何分布，其分布列为1)1()(--===k k p p k X P p ，)10(,,2,1<<=p k(2)根据题意，以Y 表示试验第r 次成功为止所需试验次数，则Y 的可能取值为 ,,,1,m r r r ++，（即在k 次伯努利试验中，最后已此一定是成功，而前面1-k 次中一定有1-r 次是成功的，由二项分布得其概率为r k r r k p p C -----)1(111，再乘以最后一次成功的概率p ），则其分布列为rk r r k k p p C k X P p ----===)1()(11，)10(,,1,<<+=p r r k .18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他首次投中时累计已投篮次数X 的分布列，并计算X 为偶数的概率.解：根据题意，以X 表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为1)45.01(45.0)(--===k k k X P p ， ,2,1=k故篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为3548.0)45.01(45.0)2(1121=-===∑∑∞=-∞=k k k k X P p .19. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=.,0,21,2,10,)(其它x x x x x f试求)5.1(≤X P .解：由概率密度函数的定义可知875.0)2()()5.1(5.11105.1=-+==≤⎰⎰⎰∞-dx x xdx dx x f X P .20. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.2,0,2,cos )(ππx x x A x f 试求：(1)常数A ; (2)X 落在区间)4,0(π内的概率.解：(1)由概率密度函数的正则性可知212cos )(122=⇒===⎰⎰-+∞∞-A A xdx A dx x f ππ； (2)根据题意，所求概率为42cos 21)()40(44===≤≤⎰⎰πππxdx dx x f X P . 21. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x Ax x x F试求：(1)常数A ；(2)X 落在区间)7.0,3.0(内的概率； (3)X 的概率密度.解：(1)由分布函数的连续性可知11)1(lim )(lim )01(211=→⇒=====---→→A F A Ax x F F x x ；(2)根据题意，所求概率为4.0)3.0()7.0()7.03.0(=-=≤≤F F X P ； (3)由分布函数和密度函数的关系可知⎩⎨⎧≤≤='=.,0,10,2)()(其它x x x F x f 22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,1000,100105.0)(4其它x x x f 试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？解：设该油站的储油罐容量为a 升)0(>a ，以X 表示该加油站每周油品销售量，则根据题意05.010********.0)(05.0)(5100<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒<>⎰⎰∞+a dx x dx x f a X P a a4605.01005=⇒->⇒a a .23. 在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标.设该质点落在区间],0[a 中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求X 的分布函数和概率密度. 解：设X 的分布函数为)(x F ，则当0<x 时，因为}{x X ≤是不可能事件，所以0)()(=≤=x X P x F ；当a x ≥时，因为}{x X ≤是必然事件，所以1)()(=≤=x X P x F ；当a x <≤0时，有kx x X P x X P x F =≤≤=≤=)0()()(，其中k 为比例系数，由分布函数的右连续性可知，ak ka x F a F a F a x 1)(lim )0()(1=⇒==+==+→则X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,,0,0)(a x a x axx x F由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=.,0,0,1)(其它a x a x f24. 设随机变量X 服从区间)10,0(上的均匀分布，求对X 进行4次独立观测中，至少有3次的观测值大于5的概率？解：根据题意，随机变量)10,0(~U X ，则其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=.,0,100,101)(其它x x f故对X 进行独立观测中观测值大于5的概率为⎰⎰===>=+∞10555.01.0)()5(dx dx x f X P p以Y 表示对X 进行独立观测中观测值大于5的次数，则),4(~p B Y故所求概率为3125.0)5.0()5.0()5.0()4()3()3(4441334=+==+==≥C C X P X P X P . 25. 设随机变量)5,0(~U K ，求方程02442=+++K Kx x 无实根的概率和有实根的概率.解：根据题意，随机变量U(0,5)~K ，则其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=.,0,50,51)(其它x x f根据韦达定理可得，当 2103216162<<-⇒<--=∆K K K 时，方程无实根，其概率为⎰⎰--===<<-21216.02.0)()21(dx dx x f X P ；当 103216162-≤⇒≥--=∆K K K 或2≥K 时，方程有实根，其概率为4.0)21(1})2{}1({=<<--=≥-≤X P X X P .26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,2.0)(2.0x x e x f x某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他便离开，他每月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率.解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间X 服从指数分布，则等候时间超过10分钟的概率为⎰⎰+∞--+∞===>=1022.0102.0)()10(e dx e dx x f X P p x以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，则),5(~2-e B Y 故所求概率为5167.0)1()(1)0(1)1(1)1(520205=--==-=<-=≥--e e C X P X P X P 。

概率统计教案2章习题课二

出版社，2015 年 8 月.
参 [3] 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘：概率论与数理统计教案、作业册与
考
试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8
文
月.
献 [4] 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术
出版社，2007 年 7 月.
联系方式：zhengone@
k
讲评这两条性质常用来判断一个数列{pk}是否是某个离散型随机变量的概率分布, 或者确定概率分布中的待定参数. 只有 pk同时满足上述两条性质, 数列{pk}才能作为某个离散型随机变量的分布律.
2. 伯努利概型在 n 重伯努利试验中, 事件 A 恰好发生 k 次的概率为
P{X=k}= Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n . 讲评 n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型. 它有广泛的应用, 是研究与应用最多的模型之一. 3. 分布函数设 X 是一个随机变量(包括离散型及非离散型). x 是任意实数, 定义
《概率论与数理统计》教案第二章习题课郑一，戚云松，陈倩华，陈健编著大连理工大学出版社出版
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题
第二章随机变量及其概率分布内容习题课
目
课时：2
与
课
时
(1) 熟练计算离散型随机变量及其概率分布问题；
教 (2) 熟练计算连续型随机变量及其概率密度问题；学 (3) 熟练计算随机变量的分布函数；目 (4) 熟练计算随机变量函数的概率分布问题。的
(4) 若 f (x) 在点 x 处连续, 则有 ′F x ( ) = f ( ) x ; (5) 对连续型随机变量 x，总有P{X =a} =0 < ∞ − ,a ∞+ <. 讲评性质(1)和(2)是连续型随机变量的概率密度 f (x) 必须具有的特性, 常用来检查某一函数 f (x) 是否是连续型随机变量的概率密度. 性质(3)和(4)是由概率密度的定义导出的性质. 性质(3)和(4)表明：随机变量 X 落在区间 (a,b] 内的概率等于曲线 y f (x) 与 x=a, x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积. 性质 (5)表明：对于连续型随机变量 X , 总有

概率论与数理统计第二次习题课解答

I−2+|u|≤v≤2−|u|dv
−∞
2 − |u| = 4 I|u|≤2.
然后，再象解法 1 中那样求出 FX+Y 。解法 3：直接计算 X + Y 的概率分布函数
FX+Y (z) = P∫ ∫(X + Y ≤ z) = fX,Y (x, y)dxdy
x+∫y∫≤z 1 + xy(x2 − y2)
题 3 求区间 [a, b] 上取值的随机变量可能达到的最大方差？何时达到？
题 4 设随机变量 X, Y 的联合概率密度函数为
1 + xy(x2 − y2)
fX,Y (x, y) =
, 4
求 X + Y 的概率分布函数 FX+Y 。
题 5 投掷一枚公平的硬币，记正面为 T 、反面为 T ，
|x| ≤ 1, |y| ≤ 1.
两个随机变量是二元正态分布时，不相关才与独立等价。）
题 7 设 X 为一连续型随机变量，求实数 c，使得 E|X − c| 达到最小.
题 8 设随机变量 X，Y 独立，都服从标准正态分布 N (0, 1)，(X, Y ) 的联合密度函数记为 f (x, y)；
{
xy
1. 证明；函数 g(x, y) =
∫∞
x
p(t)dt
=
∫∞
0
p(t)dt
∫t
0
nxn−1
dx
=
∫∞
0
tnp(t)dt
=
E (X n .)
题 3 求区间 [a, b] 上取值的随机变量可能达到的最大方差？何时达到？
解：E((X
−
E (X ))2
≤
E((X

概率统计第二章课后习题

y 1 2
(x)dx, ( y 1)
2
y1
2

fY
(
y)

FY (
y)

2
1
y1
e 4 , y 1
( y 1)
0,
其它
（2）.
FY ( y） P(| X | y) P( y X y),( y 0)

同理
fY
( y)

2
y2
从而X ~ N (70,10).
若录取155人，最低分数应为X 0, 则
PX

X0
155 526

0.295
P
X 0 70 10
进而，X 0 70 0.54,即 10
X 0 75.4,
根据 78 75.4, 故可以录取 .
26. 若随机变量X服从几何分布，证：
=1－{0.9772－0.0228}
=0.0456
23.某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩
X ~ N (, 2 ).已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，
某人成绩为78分，问此人能否录取？
解：X表示考试成绩，用已知信息确定正态分布的两个参数.
分布, 而每个蛋能孵化成小鸡的概率为 p. 试证 : 每只
母鸡有n 只小鸡的概率服从参数为 p 的松泊分布.
设X 蛋数, Y 鸡数 .
P(Y n) P( X n) P(Y n | X n)
P( X n 1)P(Y n | X n 1)

n
n!

经济数学基础——概率统计课后习题答案

经济数学基础——概率统计课后习题答案1⽬录习题⼀ (1)习题⼆ (16)习题三 (44)习题四 (73)习题五 (97)习题六 (113)习题七 (133)1习题⼀写出下列事件的样本空间：(1) 把⼀枚硬币抛掷⼀次；(2) 把⼀枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷⼀枚硬币，直到⾸次出现正⾯为⽌；(4) ⼀个库房在某⼀个时刻的库存量(假定最⼤容量为M ).解 (1) Ω={正⾯，反⾯}　△ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m }掷⼀颗骰⼦的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数⼩于5”，D ＝“⼩于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对⽴事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，C ?D.3. 事件A i 表⽰某个⽣产单位第i 车间完成⽣产任务，i ＝1，2，3，B 表⽰⾄少有两个车间完成⽣产任务，C 表⽰最多只有两个车间完成⽣产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且⽤A i (i ＝1，2，3)表⽰出来. 解 B 表⽰最多有⼀个车间完成⽣产任务，即⾄少有两个车间没有完成⽣产任务.313221A A A A A A B ++=B －C 表⽰三个车间都完成⽣产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB ⽤⼀些互不相容事件的和表⽰出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对⽴的区别何在，举例说明.解两个对⽴的事件⼀定互不相容，它们不可能同时发⽣，也不可能同时不发⽣；两个互不相容的事件不⼀定是对⽴事件，它们只是不可能同时发⽣，但不⼀定同时不发⽣. 在本书第6页例2中A 与D 是对⽴事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否⼀定互不相容?画图说明.解不⼀定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B).因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容，D ?A ?F ，A ?C.8. 袋内装有5个⽩球，3个⿊球，从中⼀次任取两个，求取到的两个球颜⾊不同的概率.解记事件A 表⽰“取到的两个球颜⾊不同”. 则有利于事件A 的样本点数⽬＃A ＝1315C C .⽽组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1 图1－22P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表⽰有利于A 的样本点数⽬与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有⿊球的概率.解设事件B 表⽰“取到的两个球中有⿊球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P － 10. 抛掷⼀枚硬币，连续3次，求既有正⾯⼜有反⾯出现的概率.解设事件A 表⽰“三次中既有正⾯⼜有反⾯出现”, 则A 表⽰三次均为正⾯或三次均为反⾯出现. ⽽抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开⼀个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表⽰“门锁能被打开”. 则事件A 发⽣就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对⽴事件概率⽐较⽅便.12. ⼀副扑克牌有52张，不放回抽样，每次⼀张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花⾊各异；(2)四张中只有两种花⾊.解设事件A 表⽰“四张花⾊各异”；B 表⽰“四张中只有两种花⾊”.，113113113113452##C C C C A ，　C Ω==）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P === 30006048＋74366##)(452　）（.C ΩB B P === 13. ⼝袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹⾓的概率. 解设事件A 表⽰“取出的5枚硬币总值超过壹⾓”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω　，　= 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝ 14. 袋中有红、黄、⿊⾊球各⼀个，每次任取⼀球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全⽩”，C ＝“全⿊”，D ＝“⽆红”，E ＝“⽆⽩”，F ＝“⽆⿊”，G ＝“三次颜⾊全相同”，H ＝“颜⾊全不相同”，I ＝“颜⾊不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝243271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. ⼀间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率.解设事件A 表⽰“有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C 0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +.解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ?A ，求证P (B )≥P (A ）.证∵B ?A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A )∵P (B -A )≥0∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋bP (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中⼀次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A 表⽰“取到废品”，则A 表⽰没有取到废品，有利于事件A 的样本点数⽬为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA －＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ?A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ?A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,?a ≥b ，⼜因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，⽐较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的⼤⼩(⽤不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ?A ?A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. ⼀个教室中有100名学⽣，求其中⾄少有⼀⼈的⽣⽇是在元旦的概率(设⼀年以365天计算).解设事件A 表⽰“100名学⽣的⽣⽇都不在元旦”，则有利于A 的样本点数⽬为＃A ＝364100，⽽样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P = 0.239923. 从5副不同⼿套中任取4只⼿套，求其中⾄少有两只⼿套配成⼀副的概率.解设事件A 表⽰“取出的四只⼿套⾄少有两只配成⼀副”，则A 表⽰“四只⼿套中任何两只均不能配成⼀副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职⼯订阅报纸，93％的⼈订阅杂志，在不订阅报纸的⼈中仍有85％的职⼯订阅杂志，从单位中任找⼀名职⼯求下列事件的概率：(1)该职⼯⾄少订阅⼀种报纸或期刊；(2)该职⼯不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表⽰“任找的⼀名职⼯订阅报纸”，B 表⽰“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学⽣们的数学与外语两科考试成绩，抽查⼀名学⽣，记事件A 表⽰数学成绩优秀，B 表⽰外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB P P (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB P P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独⽴，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ).解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B ) ? 0.7＝0.4＋0.6P ( B )P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，如果A 与B 独⽴，问它们是否互不相容，为什么?解因P ( A )，P ( B )均⼤于0，⼜因A 与B 独⽴，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电⼦元件的寿命在1000⼩时以上的概率为0.8，求3个这种元件使⽤1000⼩时后，最多只坏了⼀个的概率.解设事件A i 表⽰“使⽤1000⼩时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独⽴，事件A 表⽰“三个元件中最多只坏了⼀个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上⾯等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630. 加⼯某种零件，需经过三道⼯序，假定第⼀、⼆、三道⼯序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何⼀道⼯序是否出现废品与其他各道⼯序⽆关，求零件的合格率.解设事件A 表⽰“任取⼀个零件为合格品”，依题意A 表⽰三道⼯序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定⼆者独⽴，现在从外部打电话给该车间，求⼀次能打通的概率；第⼆次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解设事件A i 表⽰“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. ⼀间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每⼈任取⼀副眼镜，求每个⼈都没有拿到⾃⼰眼镜的概率.解设A i 表⽰“第i ⼈拿到⾃⼰眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表⽰“每个⼈都没有拿到⾃⼰的眼镜”. 显然B 则表⽰“⾄少有⼀⼈拿到⾃⼰的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i ) =)41(1213141≤≤=?j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j ) =41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3) =2411213141= 85241241121414)(3424=-?+?-?=C C B P 83)(1)(=-=B P B P 33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取⼀个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3).解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31 P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61 P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3) ＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=- 34. 甲、⼄、丙三⼈进⾏投篮练习，每⼈⼀次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有⼀⼈投中；(2)最多有⼀⼈投中；(3)最少有⼀⼈投中.解设事件A 、B 、C 分别表⽰“甲投中”、“⼄投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独⽴.设A i 表⽰“三⼈中有i ⼈投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452(1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212(3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较⼤，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表⽰“甲在第2n －1次投中”与“⼄在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独⽴.设事件A 表⽰“甲先投中”.+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较⼤.36. 某⾼校新⽣中，北京考⽣占30％，京外其他各地考⽣占70％，已知在北京学⽣中，以英语为第⼀外语的占80％，⽽京外学⽣以英语为第⼀外语的占95％，今从全校新⽣中任选⼀名学⽣，求该⽣以英语为第⼀外语的概率.解设事件A 表⽰“任选⼀名学⽣为北京考⽣”，B 表⽰“任选⼀名学⽣，以英语为第⼀外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个⾏政⼩区，其⼈⼝⽐为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个⼩区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰从A 地任选⼀名居民其为南、北、中⾏政⼩区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表⽰“任选⼀名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. ⼀个机床有三分之⼀的时间加⼯零件A ，其余时间加⼯零件B ，加⼯零件A 时，停机的概率为0.3，加⼯零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表⽰“机床加⼯零件A ”，则A 表⽰“机床加⼯零件B ”，设事件B 表⽰“机床停⼯”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=?+?= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个⼝袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取⼀个球，放⼊与球上号数相同的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，计算第⼆次取到⼏号球的概率最⼤，为什么?解设事件A i 表⽰“第⼀次取到i 号球”，B i 表⽰第⼆次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成⼀个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P 41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P 41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P 61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P 应⽤全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第⼆次取到1号球的概率最⼤.40. 接37题，⽤⼀种检验⽅法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即⼀个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对⽆甲种疾病的⼈⽤此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在⼀次健康普查中，某⼈经此检验法查为患有甲种疾病，计算该⼈确实患有此病的概率.解设事件A 表⽰“受检⼈患有甲种疾病”，B 表⽰“受检⼈被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应⽤贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 01.09965.095.00035.095.00035.0=＋ 25.0=41. 甲、⼄、丙三个机床加⼯⼀批同⼀种零件，其各机床加⼯的零件数量之⽐为5 : 3 : 2，各机床所加⼯的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加⼯好的整批零件中检查出⼀个废品，判断它不是甲机床加⼯的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰“受检零件为甲机床加⼯”，“⼄机床加⼯”，“丙机床加⼯”，B 表⽰“废品”，应⽤贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 7305020＋1030＋06.05.006.05.0== (7)4)|(1)|(11=-=B A P B A P 42. 某⼈外出可以乘坐飞机、⽕车、轮船、汽车4种交通⼯具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这⼏种交通⼯具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅⾏者误期到达，求他是乘坐⽕车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表⽰外出⼈“乘坐飞机”，“乘坐⽕车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表⽰“外出⼈如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0?+?+?+??==0.20943. 接39题，若第⼆次取到的是1号球，计算它恰好取⾃Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应⽤贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=?==B P A B P A P B A P 44. ⼀箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求⽽拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表⽰⼀箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表⽰“抽取的10件中⽆次品”，先计算P ( B )∑++?===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P 37.0)(31)|(0==B P B A P 45. 设⼀条昆⾍⽣产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, … 其中λ＞0，⼜设⼀个⾍卵能孵化为昆⾍的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独⽴的，问此⾍的下⼀代有k 条⾍的概率是多少?解设事件A n ＝“⼀个⾍产下⼏个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该⾍下⼀代有k 条⾍”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n ≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(＞其中q =1－p . 应⽤全概率公式有∑∑∞=∞===k n n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有,2,1,0e )(e e !)()(===--k k p k p B P p pq kk λλλλλ习题⼆1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.2. ⼀箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次⼀件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P m m 依次计算得X 的概率分布如下表所⽰：3. 上题中若采⽤重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取⼀件取到优质品的概率是1/4，取到⾮优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应⽤伯努利公式有{}1694302=??? ??==X P {}1664341112=??==C X P {}1614122=??? ??==X P 4. 第2题中若改为重复抽取，每次⼀件，直到取得优质品为⽌，求抽取次数X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表⽰抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431???? ??-n .因此X 的概率分布为{}?=??==-,2,143411n n X P n 5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次⼀个直到取得新球为⽌，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=?====X P X P {}22091091121233=??==X P {}2201991011121234===X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若⼀次取出3个，求取到的新球数⽬X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P {}2202713122319===C C C X P {}22010823121329===C C C X P {}22084331239===C C X P 7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑-==∞=111n n pp P 解上⾯关于p 的⽅程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n ， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=?+++p p p p p 解⽅程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值.解 ∑=+?++==10015050)10021(1n cc cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为⼀个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1, 且p n ＞0. 所以它可以是⼀个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均⼤于零且不相等并⼜组成等差数列，求X 的概率分布. 解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需⼤于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满⾜条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c .解 {}∑∑∞=-∞====11e !1m mm m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm m m m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ解得λ--=e 11c 13. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，直到有⼀⼈投中为⽌，假定甲、⼄⼆⼈投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)⼆⼈投篮总次数Z 的概率分布；(2)甲投篮次数X 的概率分布；(3)⼄投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表⽰在第i 次投篮中甲投中，j 表⽰在第j 次投篮中⼄投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独⽴.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1?+?=-n,2,13.07.01=?=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1?+=-n，2,13.042.01=?=-n n 14. ⼀条公共汽车路线的两个站之间，有四个路⼝处设有信号灯，假定汽车经过每个路⼝时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停⽌前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第⼀次停车之前已通过的路⼝信号灯数⽬X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864P { X ＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f 问f (x )是否为⼀个概率密度函数，为什么?如果 (1).π23 ,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠?x x ,1d sin 2π0=?x x ⽽在??π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是⼀个概率密度函数.16. ≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，⼜1d e 202=?-∞+x c x c x f (x )是⼀个密度函数 .17. +=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f 问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由.解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==??++a x x a a a a由于x x f d )(?+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ～f ( x )∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解 )arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+??+∞+∞ 解⽅程π2??a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b b arctan π2|arctan π2d )(000==?=＜＜解关于b 的⽅程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电⼦元件的寿命X 是随机变量，概率密度为≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f 3个这种元件串联在⼀个线路中，计算这3个元件使⽤了150⼩时后仍能使线路正常⼯作的概率. 解串联线路正常⼯作的充分必要条件是3个元件都能正常⼯作. ⽽三个元件的寿命是三个相互独⽴同分布的随机变量，因此若⽤事件A 表⽰“线路正常⼯作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=?∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }.解 A x A x A x x 2d e 2d e 10||=?=?=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}??---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的⼆次⽅程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解 4x 2+4xY +Y +2=0.有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，-=.,01||,1)(2其他，＜x x cx f确定常数c ，计算.21||≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x x c==-?=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=≤?-x x x X P23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1. =.,0,10,21)(其他＜＜x x x f{}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解 {}t x X P x F t x d e 21)(||-∞-?=≤=当t ≤ 0时，x t x t x F e 21d e 21)(=?=∞-当t ＞0时，t t t x F tx t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||?+?=?=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P .解 a x a x x a ==?+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12 因此a =1x x t t t x F ∞-∞-=?+=arctan π1d )1(π1)(2 x arctan π121+= {}?+=?+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：≤-=.2,02,1)(2x x x A x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A {}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜28. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee x x A -+确定A 的值；求分布函数F ( x ) . 解 ?+=?+=∞∞-∞∞--x A x A x x x x d e 1e d e e 12 A A x 2πe a r c t a n ==∞∞- 因此 A ＝π2， xtx t t t x F ∞-∞--=+=?e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ～f ( x )，=.,00,π2)(2其他＜＜a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==?= 因此，a = π当0＜x ＜π时，=x x t t x F 0222πd π2)( 其他≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax ++-≤=-求X 的概率密度并计算a X P 10＜＜.解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )≤=-.0,e 2,0,0)(23＞　x x a x x f ax(1010F a F a x P a x P -=≤=?＜＜＜08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X ＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,31=n nY =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31n ＝1 , 2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,a x y hb y a y h x y 1)(,)(1)(='='-==],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，⽆论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 ,2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ). 解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos y h′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π . 因此 -=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1 , f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有.,0,e 1,1)(其他　＜＜y y y f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z 36. 随机变量X ～f ( x ) ，≤=-0,00,e )(x x x f x ＞ Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z 21 ≤=-.0,00e 21)(z ，z z z f z z ＞ 37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X , Z = X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在?? -2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y yy f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布. z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-. 因此当z ＞0时， )1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-= ??≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z = X1 与X 同分布. 38. ⼀个质点在半径为R ，圆⼼在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) . 解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是⼀个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l R l f L M 点的横坐标X 也是⼀个随机变量，它是弧长L 的函数，且 X ＝ R cos θ＝ R cos RL 函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝ R arccos Rx 22xR R l x --=' 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(xR R x R R x f X -=?--= 当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=?+?+?=EX 亦可从X 服从超⼏何分布，直接计算2120521=?==N N n EX 在第3题中21161216611690=?+?+?=EX 亦可从X 服从⼆项分布(2，41)，直接⽤期望公式计算： 21412=?==np EX 在第5题中图2-1(1) 3.122014220934492431=?+?+?+?=EX (2) 3.022013220924491430=?+?+?+?=EY 在第6题中，25.2220843220108222027122010=?+?+?+?=EX 在第11题中，??+++ -=d 313312d 311EX 31 ｜＜d ＜｜0 d 22+= 40. P { X = n } =nc , n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX . 解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑?==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的⽐为1 : 2 : 3，计算EX . 解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 }＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=?+?+?-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞?收敛，因此0d e 5.0||=?=-∞+∞-x x EX x n n 当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-?=?=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=?=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，-≤≤=.,0,21,2,10,)(＜＜x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解 x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101?-+?=?=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f b b ,c 均⼤于0，问EX 可否等于1，为什么?其他其他。

概率统计课后习题解答第2章

PX 1200 0.96.
P X 1600 1200 1600 0.96.
因此
400 0.96.
反查标准正态分布表，得
400 0.755 , 即 227.3
23．抽样调查结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩（即参数的值）为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的数学成绩在 60 分至 84 分之间的概率．解：由题意知，学生成绩 X 近似服从正态分布，即 X ~ N ( 72 , 2 ). 由
, 从而 b=1. 4
1 | x | e , x , 2
17．已知随机变量Ｘ的概率密度
f ( x)
试求Ｘ的分布函数．解：由于 F ( x )
F ( x)
x
x
f (t )dt , 因此当 x≤0 时，
x 1 1 t 1 e dt e t dt e x . 2 2 2 1 1 0 1 x 1 当 x＞0 时， F ( x ) e t dt 0 e t dt (2 e x ) 1 e x . 2 2 2 2
１由 C (1 e ) 1 解得 C＝ . １－e
9．设Ｘ服从参数的泊松分布，且 P(Ｘ=1)=P(Ｘ=2)，求 P(Ｘ≥1)及 P(0＜Ｘ2＜3)．解： PX k
e k , k 0 ,1,2, , k!
由 PX 1 PX 2, 即有因此
11．进行某种试验，设每次试验成功的概率为
3 ，以Ｘ表示首次成功所需试 4
验的次数，试求出Ｘ取偶数的概率．（原书此处有误） 12．盒内有 3 个黑球和 6 个白球，从盒内随机地摸取一个球，如果摸到黑球，则不放回，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取到白球为止，记Ｘ为抽取次数，求Ｘ的分布律及分布函数．解：抽取次数 X 的可能取值为 1，2，3，4，且 6 2 PX 1 , 9 3 3 6 1 PX 2 , 9 8 4 3 2 6 1 PX 3 , 9 8 7 14 3 2 1 6 1 PX 4 . 9 8 7 8 84 14. 设连续型随机变量 X 的分布函数为