【高中数学】2018-2019学年人教B版高中数学-选修4-5教学案-第二章-最大值与最小值问题优化的数学模型
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课讲义新人教B版选修4_5
第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称， 可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高， 求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2， 由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。
最新人教B版高中数学选修4-5《绝对值不等式的解法》教学设计
《绝对值不等式的解法》（第一课时）教学设计一、教学内容解析《绝对值不等式的解法》是选修4-5第一章第三节内容，我们这里讲解第一课时。
该内容是在初中学习了绝对值的概念，学习了一元一次不等式；高中必修1学习了绝对值函数图像的画法，必修5学习了一元二次不等式的基础上展开的。
通过本节课可渗透数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法，因此它是本章的重点之一，在整个数学学科中占有重要地位。
解含绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为同解的不含绝对值符号的一般不等式去解.而去绝对值的方法主要有定义法（分类讨论法）、平方法、几何法、图像法等，实际上，这四种方法也是解绝对值不等式问题的基本思路，为下一节学习含有两个绝对值的不等式的解法做好铺垫.而本节的重点是运用绝对值的几何意义去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解，并从中总结规律，形成解绝对值不等式的规律公式及口诀。
本节课在求解过程中也是对集合知识的应用和巩固，同时，为以后不等式的学习打下了基础，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
二、教学目标设置【教学目标】1、知识与技能：使学生熟练掌握()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；2、过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，渗透数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法；培养学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
3、情感态度价值观：向学生渗透“具体-抽象-具体”辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质。
感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美。
【教学重点与难点】重点：()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；难点：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式。
三、学生学情分析学生在初中已经学过绝对值的定义，在高中必修1中，也会画简单的绝对值函数的图像，也接触过两边平方的方法。
高中数学教材新课标人教B版目录完整版
高中数学（B版）必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ）高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学（B版）选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.2 空间向量在立体几何中的应用高中数学（B版）选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数 1.2 导数的运算1.3 导数的应用 1.4 定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（B版）选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理 1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列 2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征 2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验 3.2回归分析高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程 2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式 2．2 排序不等式 2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
2018-2019学年人教版选修4 第2章第3节 化学平衡——等效平衡 教案
第3节化学平衡——等效平衡教学目标1.构建等效平衡的模型，掌握等效平衡在解题中的应用2.通过对化学反应进行方向及其应用的学习，提高运用比较、归纳的能力，培养学生学习化学思维能力，以及应用理论解决实际问题能力3.建立化学平衡的观点，并通过分析化学平衡的建立，增强学生的归纳和形象思维能力教学重点等效平衡教学难点等效平衡教学过程一、导入水往低处流，而不会自发的向上流；一般在室温下，冰块会融化，铁器在潮湿空气中会生锈，甲烷与氧气的混合气体遇明火就燃烧，这些过程都是自发的。
这些不用借助于外力就可以自动进行的自发过程的共同特点是，体系会对外部做功或释放热量，即体系趋向于从高能状态转变为低能状态。
那是否就意味着放热反应自发进行，吸热反应就是非自发进行呢？二、知识讲解等效平衡对于一些学生理解起来不是特别容易，希望老师在讲解此内容的时候多一些耐心，重点讲典型例题和习题。
考点1 等效平衡含义及原理1．含义在一定条件下(等温等容或等温等压)，对同一可逆反应体系，起始时加入物质的物质的量不同，而达到化学平衡时，同种物质的百分含量相同。
2．原理同一可逆反应，当外界条件一定时，反应无论从正反应开始，还是从逆反应开始，最后都能达到平衡状态。
其中平衡混合物中各物质的含量相同。
由于化学平衡状态与条件有关，而与建立平衡的途径无关。
因而同一可逆反应，从不同的状态开始，只要达到平衡时条件(温度、浓度、压强等)完全相同，则可形成等效平衡。
考点2 等效平衡规律对于可逆反应aA(g)＋bB(g)cC(g)＋dD(g)三、例题精析使用建议说明：此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。
例题1 一定温度下，在3个体积均为1.0 L 的恒容密闭容器中反应2H 2(g)+CO(g)CH 3OH(g) 达到平衡。
下列说法正确的是A ．该反应的正反应放热B ．达到平衡时，容器Ⅰ中反应物转化率比容器Ⅱ中的大C ．达到平衡时，容器Ⅱ中c(H 2)大于容器Ⅲ中c(H 2)的两倍D ．达到平衡时，容器Ⅲ中的正反应速率比容器Ⅰ中的大【答案】AD【解析】A 项，根据Ⅰ、Ⅲ中数据可知反应开始时Ⅰ中加入的H 2、CO 与Ⅲ中加入甲醇的物质的量相当，平衡时甲醇的浓度：Ⅰ＞Ⅲ，温度：Ⅰ＜Ⅲ，即升高温度平衡逆向移动，该反应正向为放热反应，所以A 项正确。
(完整版)人教版选修4-5全套教案.doc
来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；
不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、
数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。
代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。 这些技巧是极为重要的， 但对大多数学生来 说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对
选修 4--5 不等式选讲
一、课程目标解读
选修系列 4-5 专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、
不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系
和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了
a， b 都是实数，而
后者要求 a， b 都是正数 .
3）“当且仅当”的含义是充要条件 . 4）几何意义 . 二、例题讲解： 例 1 已知 x， y 都是正数，求证：
（ 1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝ y 时，和 x＋ y 有最小值 2 P ； （ 2）如果和 x＋ y 是定值 S，那么当 x＝ y 时，积 xy 有最大值 1 S2
2 ≥ ab
a ＋b 显然，当且仅当 a＝ b 时， 2 ＝ ab
说明：
1）我们称
a ＋b 2
为
a，b 的算术平均数，称
ab 为 a，b 的几何平均数，因而，此
定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
.
2） a 2＋ b 2≥ 2ab
a ＋b 和2
≥
ab 成立的条件是不同的：前者只要求
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数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
2017-2018学年人教B版高中数学选修4-5全册同步教学案
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5全册同步配套教学案目录第一章1．1 1．1.1不等式的基本性质第一章1．1 1．1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法第一章1．2 基本不等式第一章1．3绝对值不等式的解法第一章1．4绝对值的三角不等式第一章1．51．5.1比较法第一章1．51．5.2综合法和分析法第一章1．51．5.3反证法和放缩法第一章章末小结知识整合与阶段检测第二章2．1 柯西不等式第二章2．2 排序不等式第二章2．3～2.4 平均值不等式（选学）最大值与最小值问题优化的数学模型第二章章末小结知识整合与阶段检测第三章3．1 数学归纳法原理第三章3．2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式第三章章末小结知识整合与阶段检测1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．1.1 不等式的基本性质[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系 设a ，b ∈R ，则 ①a ＞b ⇔a －b ＞0； ②a ＝b ⇔a －b ＝0； ③a ＜b ⇔a －b ＜0. 2．不等式的基本性质[小问题·大思维]1．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤ay ＞bx这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？ 提示：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，则∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④. 2．若a <b ，一定有1a >1b吗？提示：不一定．如a ＝－1，b ＝2.事实上， 当ab >0时，若a <b ，则有1a >1b ；当ab <0时，若a <b ，则有1a <1b；当ab ＝0时，若a <b ，则1a 与1b 中有一个式子无意义．[对应学生用书P2][例1] x ∈R ，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x 3－1与2x 2－2x 的大小．[精解详析] (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34＞0， ∴当x ＞1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＞0. 即x 3－1＞2x 2－2x ；当x ＝1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＝0， 即x 3－1＝2x 2－2x .当x ＜1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＜0， 即x 3－1＜2x 2－2x .(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：作差→变形→定号→结论，其中变形是关键，定号是目的．(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．1．当a ≠0时，比较(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)与(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)的大小． 解：两式作差得(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)－(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1) ＝[(a 2＋1)2－(2a )2]－[(a 2＋1)2－a 2]＝－a 2. ∵a ≠0，∴－a 2<0.∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)<(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1).[例2] 下列命题中正确的是( ) (1)若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c ； (2)若a ＞b ，则lg ab ＞0；(3)若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； (4)若a ＞b ＞0，则1a <1b ；(5)若a c ＞bd，则ad ＞bc ；(6)若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c . A ．(1)(2) B ．(4)(6) C ．(3)(6)D ．(3)(4)(5)[思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．[精解详析] (1)错误．因为当取a ＝4，b ＝2，c ＝6时，有a ＞b ，c ＞b 成立，但a ＞c 不成立．(2)错误．因为a 、b 符号不确定，所以无法确定a b ＞1是否成立，从而无法确定lg ab ＞0是否成立．(3)错误．此命题当a 、b 、c 、d 均为正数时才正确．(4)正确．因为a ＞b ，且a 、b 同号，所以ab ＞0，两边同乘以1ab ，得1a ＜1b .(5)错误．只有当cd ＞0时，结论才成立．(6)正确．因为c ＞d ，所以－d ＞－c ，又a ＞b ， 所以a －d ＞b －c . 综上可知(4)(6)正确． [答案] B运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．2．若m ，n ∈R ，则1m >1n 成立的一个充要条件是( )A ．m >0>nB ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn >0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0.答案：D[例3] 已知π<α＋β<4π3，－π<α－β<－π3，求2α－β的取值范围．[思路点拨] 解答本题时，将α＋β，α－β看作整体，再求出2α－β的取值范围． [精解详析] 设2α－β＝A (α＋β)＋B (α－β)， 则2α－β＝(A ＋B )α＋(A －B )β.比较两边系数得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝2，A －B ＝－1⇒⎩⎨⎧A ＝12，B ＝32.∴2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．∵π2<12(α＋β)<23π， －3π2<32(α－β)<－π2， ∴－π<2α－β<π6.故2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π，π6.(1)若已知某两个代数式的取值范围，求另一个代数式的取值范围时，应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示，进而利用同向不等式的可加性求其范围，否则可能导致所求代数式范围变大．(2)同一问题中应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则可能导致范围扩大．3．若已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (－2)的范围． 解：法一：∵f (x )过原点，∴可设f (x )＝ax 2＋bx .∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b . ∴⎩⎨⎧a ＝12[f (1)＋f (－1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4. ∴6≤f (－2)≤10. 法二：设f (x )＝ax 2＋bx ， 则f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .令m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4， ∴6≤f (－2)≤10.[对应学生用书P3]一、选择题1．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a －c >b －d ，c >d ⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要而不充分条件．答案：B2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab ＞0，则下面推理中正确的是( ) A ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2 B ．a c ＞bc ⇒a ＞bC ．a 3＞b 3⇒1a ＜1bD ．a 2＞b 2⇒a ＞b解析：对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c ＜0，则不成立；对于C ，a 3－b 3＞0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＞0，∵a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b 2)2＋34b 2＞0恒成立，∴a －b ＞0.∴a ＞b .又∵ab ＞0，∴1a ＜1b .∴C 成立．对于D ，a 2＞b 2⇒(a －b )(a ＋b )＞0，不能说a ＞b . 答案：C3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0解析：∵a －|b |>0，∴a >|b |>0.∴不论b 取任何实数不等式a ＋b >0都成立． 答案：D4．如果a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2解析：∵a 2＋a ＜0，即a (a ＋1)＜0，可得，－1＜a ＜0， ∴－a ＞a 2＞0，∴0＞－a 2＞a . 综上有－a ＞a 2＞－a 2＞a . 答案：B 二、填空题5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )． 解析：f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1＞0，∴f (x )＞g (x )． 答案：＞6．已知12<a <60,15<b <36，则a －b 的取值范围分别是________． 解析：∵12<a <60，－36<－b <－15，∴－24<a －b <45. 答案：(－24,45)7．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中能推出log b 1b ＜log a1b ＜log a b 成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)解析：∵log b 1b ＝－1，若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a ＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a .∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1，∴log a 1b＞0，log a b ＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②8．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 满足的条件是________________． 解析：∵x >y ，∴a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝a 2＋4a ＋4＋a 2b 2－2ab ＋1 ＝(a ＋2)2＋(ab －1)2>0. ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－2. 三、解答题9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围．解：∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋β2<π2.又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.∴－π2≤α－β2<π2.又∵α＜β，∴α－β2＜0.∴－π2≤α－β2＜0.即α＋β2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，α－β2∈⎣⎡⎭⎫－π2，0. 10．已知a ，b ∈{正实数}且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：∵⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)(a －b )ab ，＝(a －b )2(a ＋b )ab ，又∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0， ∴a 2b ＋b 2a>a ＋b . 11．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋u (α＋2β) ＝(λ＋u )α＋(λ＋2u )β.比较α，β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋u ＝1，λ＋2u ＝3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，u ＝2.由题意得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 故α＋3β的取值范围是[1,7]．1．1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系[小问题·大思维]1．“若ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是空集，则a、b、c满足的关系是b2－4ac<0且a>0”是否正确？提示：当Δ＝0时，易知ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集也是∅，从而满足的条件应为“a>0且b2－4ac≤0”．2．当a<0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|α<x<β}．3．一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．[对应学生用书P5][例1] 不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <2且x ≠1}C ．{x |－1<x <2且x ≠1}D ．{x |x <－1或1<x <2}[思路点拨] 根据不等式性质把ba <0转化为ab <0，再求解．[精解详析] 因为不等式x －2x 2－1<0，等价于(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}． [答案] D解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即f (x )g (x )≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0⇒f (x )·g (x )＞0或f (x )＝0.f (x )g (x )＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＞0g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0g (x )＜0⇒f (x )·g (x )＞0.1．解不等式：x ＋1x －2≤2.解：∵x ＋1x －2≤2，∴x ＋1x －2－2≤0.即－x ＋5x －2≤0.∴x －5x －2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x <2或x ≥5. 即原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}.[例2] 解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. [思路点拨] 由于a ∈R ，故分a ＝0，a >0，a <0讨论． [精解详析] 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1<0，即x >1.若a <0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 即x <1a或x >1.若a >0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0 (*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故(1)当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅； (2)当a >1时，由(*)式可得1a <x <1；(3)当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．2．若k ∈R ，求解关于x 的不等式：x 22－x <(k ＋1)x －k2－x.解：不等式x 22－x <(k ＋1)x －k2－x 可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x <0，即(x －2)(x －1)(x －k )>0.当k <1时，x ∈(k,1)∪(2，＋∞)； 当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1<k <2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)； 当k ≥2时，x ∈(1,2)∪(k ，＋∞).[例3] 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销售将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R 应怎样确定？[思路点拨] 由题意求出在此项经营中所收附加税金，建立不等关系转化为不等式问题求解．[精解详析] 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元， 从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R ， 由题意得70(100－10R )R %≥112， 整理，得R 2－10R ＋16≤0.∵Δ＝36＞0，方程R 2－10R ＋16＝0的两个实数根为x 1＝2，x 2＝8.然后画出二次函数y ＝R 2－10R ＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R |2≤R ≤8}． 答：当2≤R ≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x ，用x 来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．3．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a 元(a >0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解：(1)根据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0,50]． (2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则 y ＝(100－x )×3 000×(1＋2x %)＋3 000ax 100＝－60x 2＋3 000(a ＋1)x ＋300 000100＝－35[x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)．①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值； ②若25(a ＋1)>50，即a >1， 则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．[对应学生用书P6]一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则∁U M ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤3} B ．{x |－3≤x ≤1} C ．{x |x <－3或x >1}D ．{x |x <－1或x >3}解析：因为M ＝{x |－1≤x ≤3}，全集U ＝R ， 所以∁U M ＝{x |x <－1或x >3}． 答案：D2．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1. 答案：C3．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2， 则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2. 答案：C4．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数， 记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 有f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②解得x <1或x >3.故选C. 答案：C 二、填空题5．若不等式－x 2＋2x －m >0在x ∈[－1,0]上恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：由m <－x 2＋2x 知m 只需小于u ＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,0]的最小值即可． 又∵u 在[－1,0]上递增， ∴u min ＝－1－2＝－3. ∴m <－3.答案：(－∞，－3)6．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是______________． 解析：由题意知，k 2－6k ＋8≥0， 即(k －2)(k －4)≥0，∴k ≥4或k ≤2，又∵k ≠0，∴k 的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)7．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________________．解析：(等价转化法)将原不等式化为： m (x 2－1)－(2x －1)<0. 令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )<0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)<0，f (2)<0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧－2(x 2－1)－(2x －1)<0，2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得－1＋72<x <1＋32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋328．已知方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m 的取值范围为________．解析：设函数f (x )＝x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15， 则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m －3)2－4(m 2－15)＞0，f (－2)＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12m ＋69＞0，m 2－4m －5＜0. ∴－1＜m ＜5. 答案：(－1,5) 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R? 解：(1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0， 即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0. 若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意知，日利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500， 由日利润不少于1 300元， 得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故当该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解：(1)对任意的x 1，x 2∈R ， f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0. 由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0， 解得A ＝⎝⎛⎭⎫－1a ，0. (2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a. 解得0<a ≤－2＋ 5.即a 的取值范围是(0，－2＋5]．1．2基本不等式[对应学生用书P7][读教材·填要点]1．定理1设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式)如果a ，b a ＝b 时，等号成立．即：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式)如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立．4．定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式) 如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 a 1＋a 2＋…＋a nn≥ 并且当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[小问题·大思维]1．在基本不等式a ＋b2≥ab 中，为什么要求a ，b ∈(0，＋∞)?提示：对于不等式a ＋b2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且a ，b 至少有一个为0时，不能称ab 为几何平均(或等比中项)，因此规定a ，b ∈(0，＋∞)．2．满足不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的a ，b ，c 的范围是什么？提示：a ，b ，c 的范围为a ≥0，b ≥0，c ≥0.[对应学生用书P8][例1] 已知a ，b ，c 为正实数，且abc ＝1 求证：(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8.[思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘．[精解详析] ∵a ，b ，c 为正实数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， b ＋c ≥2bc ＞0， c ＋a ≥2ca ＞0， 由上面三式相乘可得 (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥8ab ·bc ·ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8.(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式．1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. 证明：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab >0，① 当且仅当a ＝b 时取等号． 1a ＋1b≥21ab>0，② 当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时取等号．①×②，得(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号． ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.[例2] (1)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.(2)设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.[思路点拨] 本题考查平均不等式的应用．解答(1)题时可重复使用均值不等式，(2)题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明．[精解详析] (1)a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥33a 2b 2c 2＋931a 2·1b 2·1c 2≥233a 2b 2c 2·931a 2·1b 2·1c 2＝63，当且仅当a ＝b ＝c ＝43时等号成立． (2)∵⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3·m ＝(a 1＋a 2＋a 3)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥33a 1·a 2·a 3·3 31a 1·1a 2·1a 3＝9·3a 1·a 2·a 3·1a 1·1a 2·1a 3＝9.当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m3时等号成立．又∵m >0，∴1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．2．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a ＋b ＋c ≥33abc >0.∴(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c2>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2 ＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27.[对应学生用书P9]一、选择题1．设x 、y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．x ＋y ≤2(2＋1) C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．x ＋y ≥(2＋1)2解析：x ＞0，y ＞0，xy －(x ＋y )＝1⇒xy ＝1＋(x ＋y )⇒1＋(x ＋y )≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22⇒x ＋y ≥2(2＋1)．答案：A2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 则由题意得：4r ＋2h ＝6，即2r ＋h ＝3， 于是有V ＝πr 2h ≤π·⎝⎛⎭⎫r ＋r ＋h 33＝π⎝⎛⎭⎫333＝π，当且仅当r ＝h 时取等号． 答案：B3．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D ．[3lg 2，＋∞) 解析：∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2(当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立)． 答案：B4．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，则x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，18 B.⎣⎡⎭⎫18，1 C ．[1,8)D ．[8，＋∞)解析：∵x ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ＝1－a a ·1－b b ·1－c c ＝(b ＋c )·(c ＋a )·(a ＋b )abc ≥2bc ·2ca ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8. 答案：D 二、填空题5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0， 所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝ xy3，即 xy3≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3. 答案：36．设a >1，t >0，则12log a t 与log a t ＋12的大小关系为12log a t ________log a t ＋12(填“<”“≥”或“≤”)．解析：因为12log a t ＝log a t ，又t >0又t ＋12≥ t . 而a >1，∴log a t ＋12≥log a t ，故填“≤”．答案：≤7．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)有最大值________，此时x ＝________.解析：∵x ≠0，∴x 2>0.∴y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2≤12x 2·9x2＝16， 当且仅当x 2＝9x 2，即x 4＝9，x ＝±3时取等号，即当x ＝±3时，y max ＝16.答案：16±38．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则abc 的最大值是________． 解析：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc . 0＜abc ≤⎝⎛⎭⎫133＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：127三、解答题9．求函数y ＝2x 2＋3x (x >0)的最小值．解：由x >0知2x 2>0，32x >0，则y ＝2x 2＋3x ＝2x 2＋32x ＋32x≥332x 2·32x ·32x ＝3392.当且仅当2x 2＝32x ，即x ＝334时，y min ＝3392＝32336.10．已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12.∴1ab ≥4.∵a ＋b 2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋1a ＋b ＋1b 22＝⎝⎛⎭⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎫1＋21ab 22≥252.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．11．设a ，b ，c 为正实数， 求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.证明：因为a ，b ，c 为正实数，由算术—几何平均不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝63时，等号成立)．1．3绝对值不等式的解法[对应学生用书P10][读教材·填要点]1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．[小问题·大思维]1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．[对应学生用书P10][例1]解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3；(2)|2x ＋5|＞7＋x ； (3)1x 2－2≤1|x |. [思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax ＋b |＞c (c ＞0)或|ax ＋b |＜c (c ＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． 法二：原不等式可转化为：①⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1＜x －2≤3，或②⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1＜－(x －2)≤3，由①得3＜x ≤5，由②得－1≤x ＜1，所以原不等式的解集是{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． (2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 整理得x ＞2或x ＜－4.∴原不等式的解集是{x |x ＜－4或x ＞2}． (3)①当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2， 且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎩⎨⎧|x |＞2，x 2－2≥|x |等价，x 2－2≥|x |即|x |2－|x |－2≥0， ∴|x |≥2，∴不等式组的解为|x |≥2， 即x ≤－2或x ≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇒－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . ②当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )≠0.③当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义．(2)形如|f (x )|＜g (x )，|f (x )|＞g (x )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )，②|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )(其中g (x )可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂． (3)形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a . (4)形如|f (x )|＜f (x )，|f (x )|＞f (x )型不等式 此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f (x )|＞f (x )⇔f (x )＜0， |f (x )|＜f (x )⇔x ∈∅.1．设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1可化为|2x －3|≥1， 由此可得x ≥2或x ≤1.故不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}．(2)由f (x )≤0得|2x －a |＋5x ≤0，此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，2x －a ＋5x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，－(2x －a )＋5x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥a 2，x ≤a7或⎩⎨⎧x <a 2，x ≤－a3，因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≤－a 3.由题设可得－a3＝－1，故a ＝3.[例2] 解不等式|x ＋7|－|3x －4|＋3－22>0. [思路点拨] 先求出零点即x ＝－7，43，再分段讨论．[精解详析] 原不等式化为 |x ＋7|－|3x －4|＋2－1>0，当x >43时，原不等式为x ＋7－(3x －4)＋2－1>0，得x <5＋22，即43<x <5＋22； 当－7≤x ≤43时，原不等式为x ＋7＋(3x －4)＋2－1>0， 得x >－12－24，即－12－24<x ≤43；当x <－7时，原不等式为 －(x ＋7)＋(3x －4)＋2－1>0， 得x >6－22，与x <－7矛盾； 综上，不等式的解为－12－24<x <5＋22.(1)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．(2)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式．不妨设a ＜b ，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋b －c ， (x ≤a )，b －a －c ， (a ＜x ＜b )，2x －a －b －c ， (x ≥b ).这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．(3)形如|f (x )|＜|g (x )|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f (x )|＜|g (x )|⇔[f (x )]2＜[g (x )]2 ⇔[f (x )＋g (x )][f (x )－g (x )]＜0.2．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|. (1)解不等式f (x )≥4； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解：(1)由题意得，f (x )＝|2x ＋1|－|x －3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4， x <－12，3x －2， －12≤x ≤3，x ＋4， x >3，所以不等式f (x )≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，3x －2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，x ＋4≥4，解得x ≤－8或x ≥2.所以原不等式的解集为{x |x ≤－8或x ≥2}． (2)由(1)知，当x <－12时，f (x )＝－x －4，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减； 当－12≤x ≤3时，f (x )＝3x －2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，3上单调递增； 当x >3时，f (x )＝x ＋4，所以f (x )在(3，＋∞)上单调递增．故当x ＝－12时，y ＝f (x )取得最小值，此时f (x )min ＝－72.[例3] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. 如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[思路点拨] 本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a 进行分类讨论，求出函数f (x )的最小值，然后求a 的取值范围．[精解详析] 若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1，f (x )的最小值为1－a .若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a 进行讨论，得到关于参数a 的不等式(组)，进而求出参数的取值范围．3．(辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6， x ≤2，2， 2<x <4，2x －6， x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4， 解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ， x ≤0，4x －2a ， 0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[对应学生用书P12]一、选择题1．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6， 即－8＜ax ＜4. 又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合． 答案：C2．如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <－13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－13或x >13解析：解不等式1x <2得x <0或x >12；解不等式|x |>13得x >13或x <－13.如图所示：∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <－13.答案：B3．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案：D4．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[0，＋∞)解析：作出y ＝|x ＋1|与l1；y ＝kx 的图象如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]． 答案：C 二、填空题5．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．解析：原不等式即|2x ＋1|＞2|x －1|，两端平方后解得12x ＞3，即x ＞14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >146．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________．解析：|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.答案：(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤－2，－327．若不等式| x ＋1x | ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1x |≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.答案：1＜a ＜38．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立， a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值， ∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ，解得a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 三、解答题9．解不等式|2x －4|－|3x ＋9|＜1. 解：(1)当x ＞2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，(2x －4)－(3x ＋9)＜1， 解得x ＞2.(2)当－3≤x ≤2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤2，－(2x －4)－(3x ＋9)＜1， 解得－65＜x ≤2.(3)当x ＜－3时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－3，－(2x －4)＋(3x ＋9)＜1， 解得x ＜－12.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＜－12或x ＞－65.10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |. (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，原不等式可化为|2x －1|＋|x －2|≤3，当x >2时，得3x －3≤3，则x ≤2，无解；当12≤x ≤2时，得x ＋1≤3，则x ≤2，所以12≤x ≤2； 当x <12时，得3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12.综上所述，原不等式的解集为[0,2]． (2)原不等式可化为|x －2a |≤3－|2x －1|， 因为x ∈[1,2]，所以|x －2a |≤4－2x ， 即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x 对x ∈[1,2]恒成立．当1≤x ≤2时，3x －4的最大值为2,4－x 的最小值为2， 所以a 的取值范围为1.11．已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －a |(a >0)． (1)当a ＝4时，已知f (x )＝7，求x 的取值范围； (2)若f (x )≥6的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}，求a 的值．解：(1)因为|x ＋3|＋|x －4|≥|x ＋3－x ＋4|＝7，当且仅当(x ＋3)(x －4)≤0时等号成立． 所以f (x )＝7时，－3≤x ≤4，故x ∈[－3,4]． (2)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －3－2x ， x ≤－3，a ＋3， －3<x <a ，2x ＋3－a ， x ≥a ，当a ＋3≥6时，不等式f (x )≥6的解集为R ，不合题意；当a ＋3<6时，不等式f (x )≥6的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，a －3－2x ≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，2x ＋3－a ≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，x ≤a －92或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≥a ＋32.又因为f (x )≥6的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}， 所以a ＝1.1．4绝对值的三角不等式[对应学生用书P13][读教材·填要点]绝对值的三角不等式(1)定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |. 当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间．①推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b | ②推论2：||a |－|b ||≤|a －b |[小问题·大思维]1．|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |及|a |＋|b |分别具有什么关系？ 提示：|a |－|b |≤|a ＋b |，|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.2．不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0，且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．绝对值不等式|a －c |≤|a －b |＋|b －c |的几何解释是什么？提示：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|AC |＝|AB |＋|BC |；当点B 不在点A ，C 之间时，|AC |<|AB |＋|BC |.[对应学生用书P13][例1] (1)以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ②若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1； ③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12( lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a |＞|b |与|a |<|b |两类讨论．[精解详析] (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a | ＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确； 1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜13.又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23.③正确；⎝⎛⎭⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)， ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg|A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确． (2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0， ∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |. ∴必有|a ＋b ||a |－|b |≥1.即|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充分条件． 当|a ＋b ||a |－|b |≥1时，由|a ＋b |>0， 必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的必要条件． 故所求为：|a |>|b |. [答案] (1)A (2)|a |＞|b |。
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5教学案：第二章 章末小结 知识整合与阶段检测
知识整合与阶段检测对应学生用书P36][对应学生用书P36]利用柯西不等式证明不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n.这里某一个b i 为零时，规定相应的a i 为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义． [例1] 若n 是不小于2的正整数，求证： 47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. [证明] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12n －2⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]≥n 2，于是1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≥n 2(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜(12＋12＋…＋12)⎣⎡⎦⎤1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＋…＋1(2n )2＜n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝22. [例2] 设a ，b ，c ∈R ＋，且满足abc ＝1，试证明：1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )≥32.[证明] ∵abc ＝1，则所求证的不等式变为 b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ＋a 2b 2ac ＋bc ≥32. 又(ab ＋bc ＋ca )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ac ＋bc ·ac ＋bc ＋bc ab ＋ac ·ab ＋ac ＋ac ba ＋bc ·ba ＋bc 2 ≤⎝⎛⎭⎫a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c2ba ＋bc [(ac ＋bc )＋(ab ＋ac )＋(ba ＋bc )]， ∴a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ≥12(ac ＋bc ＋ab )≥ 12·33a 2b 2c 2＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 原不等式得证.利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例3] 若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( )A ．78215B ．15782C ．3D ．253[解析] ∵⎝⎛⎭⎫253＋18＋495＋16(3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24) ≥⎝⎛⎭⎪⎫53×3x 1＋32×2x 2＋－75×5x 3＋4×x 42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2 ＝1，∴3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782. [答案] B[例4] 等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．[解] 分别取OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．则AB 的方程为x ＋y ＝1，记P 点坐标为P (x P ，y P )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2P ＋12y 2P ＋12(1－x P －y P )2， 2S ＝x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2.由柯西不等式，得[x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2](12＋12＋12)≥[x P ＋y P ＋(1－x P －y P )]2， 即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16.当且仅当x P 1＝y P 1＝1－x P －y P1时，等号成立，即x P ＝y P ＝13时，面积和S 最小，且最小值为16.从而P 点坐标为⎝⎛⎭⎫13，13时，这三个三角形的面积和取最小值16. [例5] 已知实数x 、y 、z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[解] 由柯西不等式：[x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132≥ ⎝⎛⎭⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2. 因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7，所以7a 6＝7，得a ＝36，当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．(2)注意等号成立的条件．[例6] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.[证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3，① 又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2.② 由①、②得原不等式成立.1．求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．[例7] 已知0＜x ＜13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )，∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0，x ＞0. ∴y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )≤13×⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－3x )22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x 即x ＝16，y 有最大值112.[例8] 若a >b >0，则代数式a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 依题意得a －b >0，所以代数式a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎡⎦⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b >0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C[例9] 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．对应学生用书P38]一、选择题1．若α为锐角，则⎝⎛⎭⎫1＋1sin α⎝⎛⎭⎫1＋1cos α的最小值为( ) A ．2＋3 3 B ．3＋2 2 C ．2D ．3解析：⎝⎛⎭⎫1＋1sin α⎝⎛⎭⎫1＋1cos α≥⎝⎛⎭⎫1＋1sin αcos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2. 答案：B2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56B ．65C ．2536D ．3625解析：2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝⎛⎭⎫12＋13·65≥65·⎝⎛⎭⎫2x 22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65. 答案：B3．设x 、y 、z ，满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A ．3 2 B ．4 C.322 D ．6解析：构造两组数：x ，2y ，3z 和1，2，3，由柯西不等式得[x 2＋(2y )2＋(3z )2][12＋(2)2＋(3)2]≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤18，∴x ＋2y ＋3z ≤32，当且仅当x ＝y ＝z ＝22时取等号． 答案：A4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花( )A ．17元B ．19元C ．21元D ．25元 解析：由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×3＋3×2＝17(元)． 答案：A 二、填空题5．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 解析：设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则0<1a n ≤1a n －1≤…≤1a 1，∵反序和≤乱序和≤顺序和，∴最小值为反序和a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n ＝n .答案：n6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的总时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41. 答案：417．函数y ＝2x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值为________．解析：y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x＝⎝⎛⎭⎫222x ＋321－2x [2x ＋(1－2x )] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ×2x ＋31－2x ×1－2x 2＝25， 当且仅当x ＝15时取等号．答案：258．已知a ，b ，x ，y ＞0，且 ab ＝4，x ＋y ＝1，则(ax ＋by )·(bx ＋ay )的最小值为________． 解析：[(ax )2＋(by )2]·[(bx )2＋(ay )2]≥(ax ·bx ＋by ·ay )2＝(ab ·x ＋ab ·y )2＝ab (x ＋y )2＝ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．答案：4 三、解答题9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 解：由柯西不等式得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时等号成立，此时最小值为16.10．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值． 解：(a ＋2b ＋3c )⎣⎡⎦⎤(3)2＋12＋⎝⎛⎭⎫132 ≥⎝⎛⎭⎫a ·3＋2b ·1＋3c ·132 ＝(3a ＋2b ＋c )2. ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323.∴3a ＋2b ＋c ≤1333.当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号．又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13.∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333.11．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋3z 对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．解：根据柯西不等式，有(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤1×14＝14， 则－14≤x ＋2y ＋3z ≤14.又∵|a －1|≥x ＋2y ＋3z 恒成立， ∴|a －1|≥14.则a －1≥14或a －1≤－14， 即a ≥1＋14或a ≤1－14. 所以a 的取值范围为(－∞，1－14]∪[1＋14，＋∞)．对应学生用书P51](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知a ，b 均为正实数，且a ＋2b ＝10，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．10 C ．20D ．30解析：根据柯西不等式有 (a 2＋b 2)(1＋22)≥(a ＋2b )2＝100.∴a 2＋b 2≥20，当且仅当a ＝b2＝2时取等号．答案：C2．已知x >0，y >0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由4x ＋3y ≥212xy ，∴12xy ≤6，∴xy ≤3，故选C. 答案：C3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4解析：x ＞1⇒x －1＞0，y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝⎛⎭⎫x －1＋1x －1＋6≥log 2(2＋6)＝log 28＝3.答案：B4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2C ．116D ．4936解析：设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足 a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116当且仅当x 1＝1，x 2＝2，x 2＝3时取等号．答案：C5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1 B ．10 C ．11D ．21解析：∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24时取等号．答案：D6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ． 2D ．16解析：因为(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时等号成立， 因此若不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则a ≤4，故应选B. 答案：B7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．65B ．635C ．3635D ．6解析：由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y＋5×z )2×135＝62×135＝3635当且仅当x ＝y 3＝z 5＝635时取等号．答案：C8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5] 解析：|3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·(3)2＋(2)2≤10 ∴－10≤3x ＋2y ≤10.答案：C9．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( )A ． 5B ． 3C ．2 3D ．32解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13， ∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即所求最大值为 3.答案：B10．若a >0，b >0，c >0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A ．3－1B ．3＋1C ．23＋2D ．23－2解析：∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，且a ＋b >0，a ＋c >0，∴2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝24－23＝2(3－1)2＝2(3－1)(当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立)， ∴2a ＋b ＋c 的最小值为23－2，故选D.答案：D二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________．解析：y ＝2×4－2x ＋2x －3≤ [(2)2＋1](4－2x ＋2x －3)＝3，当且仅当x ＝53时取等号． 答案： 312．(湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：1213．已知x 2＋2y 2＝1，则x 2y 4－1的最大值是________．解析：∵x 2＋2y 2＝1，∴x 2＋y 2＋y 2＝1.又x 2·y 4－1＝x 2·y 2·y 2－1，∵x 2·y 2·y 2≤⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2＋y 233＝127， ∴x 2y 4－1≤127－1＝－2627. 即x 2y 4－1≤－2627当且仅当x 2＝y 2＝13时取等号． ∴x 2y 4－1的最大值是－2627. 答案：－262714．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________．解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.答案： 5三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，求证：1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc . 证明：设a ≥b ≥c >0，则a 3≥b 3，∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2b ＋b 2a ＝ab (a ＋b )，同理：b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )，∴1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1ab (a ＋b )＋abc ＋1bc (b ＋c )＋abc ＋1ca (c ＋a )＋abc＝1a ＋b ＋c ·⎝⎛⎭⎫1ab ＋1bc ＋1ca ＝1abc. 16．(本小题满分12分)已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． 解：(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎡⎦⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132≥⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2， ∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎡⎦⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132＝12. ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.18．(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn 满足α1＋α2＋…＋αn ＝1，求y ＝22－α1＋22－α2＋…＋22－αn－n 的最小值． 解：为了利用柯西不等式，注意到(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )＝2n －(α1＋α2＋…＋αn )＝2n －1，所以(2n －1)⎝⎛⎭⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn ＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )]·⎝⎛12－α1＋ ⎭⎫12－α2＋…＋12－αn ≥⎝⎛ 2－α1·12－α1＋2－α2· ⎭⎪⎫12－α2＋…＋2－αn ·12－αn 2＝n 2， 所以y ＋n ≥2n 22n －1，y ≥2n 22n －1－n ＝n 2n －1. 当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝1n 时等号成立，从而y 有最小值n 2n －1.。
2019-2020学年人教B版数学选修4-5讲义：第2章 2.3 平均值不等式(选学) Word版
姓名，年级：时间：2。
3 平均值不等式(选学）学习目标：1。
了解算术平均，几何平均，调和平均的概念。
2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程。
3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理平均值不等式1．（平均值不等式)设a1，a2，…，a n为n个正数，则错误!≥错误!，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.（推论1）设a1，a2，…，a n为n个正数，且a1a2…a n＝1，则a1＋a2＋…＋a n≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n＝1。
当n＝3时，这个结论的几何解释是:如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．(推论2)设C为常数,且a1，a2，…，a n为n个正数,则当a1＋a2＋…＋a n＝nC 时,a1a2…a n≤C n,且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.当n＝3时,这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．2．任意给定n个正数,先求它们倒数的平均错误!，然后再作这个平均值的倒数错误!，称其为a1，a2，…,a n的调和平均．(定理2)设a1，a2，…，a n为n个正数,则错误!≥错误!，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.3．（定理3)设a1，a2，…,a n为正数,则错误!≥错误!≥错误!，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n。
（推论3）设a1，a2，…，a n为n个正数，则(a1＋a2＋…＋a n)·错误!≥n2.1．设x，y，z为正数,且x＋y＋z＝6,则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是（）A．（－∞,lg 6]B．（－∞,3l g 2］C．［lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞）[解析］∵x，y,z为正数，∴xyz≤错误!错误!＝23。
∴lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．[答案] B2．若a,b，c,d为正数,则错误!＋错误!＋错误!＋错误!的最小值为_____________.[解析］由平均值不等式可得，错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥4 错误!＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．[答案] 4利用平均值不等式求最值错误![精彩点拨］根据函数的结构,采用平均值不等式求其最值．［自主解答] 根据平均值不等式错误!＋错误!＋(79－x2）≥3 错误!＝3错误!，即y2≤623×错误!.当且仅当错误!＝79－x2，即x2＝错误!时等号成立．这时y max＝错误!.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x，y，z∈错误!且x＋y＋z＝3，求y＝错误!＋错误!＋错误!的最大值．［解] 3x－2＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≤错误!＋错误!＋错误!＝错误!。
2018-2019学年同步指导人教B版数学选修4-5导学案：第二章 本章复习1 Word版含答案
本章复习课1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.3.了解排序不等式及平均值不等式.知识结构知识梳理1.二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维)：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a21＋a22)·(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.(2)(二维变式)：a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(3)定理2(向量形式)：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当α及β为非零向量时，上式中等号成立⇔向量α与β共线(或平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.(4)定理3(三角不等式)：设a1，a2，b1，b2为实数，则a21＋a22＋b21＋b22≥（a1＋b1）2＋（a2＋b2）2，等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使μa1＝λb1，μa2＝λb2.(5)三角变式：设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（b1－c1）2＋（b2－c2）2≥（a1－c1）2＋（a2－c2）2，等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)且μ(a2－b2)＝λ(b2－c2).(6)三角向量式：设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|.2.三维形式的柯西不等式：(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.3.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1，b2，b3，…，b n为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)12(b21＋b22＋…＋b2n)12≥|a1b1＋a2b2＋…＋a n b n|，其中等号成立⇔a1b1＝a2b2＝…＝a nb n.4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.5.排序不等式：设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n 为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.6.平均值不等式(1)定理1：设a1，a2，…，a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.(2)推论1：设a1，a2，…，a n为n个正数，且a1a2…a n＝1，则a1＋a2＋…＋a n≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n＝1.(3)推论2：设C为常数，且a1，a2，…，a n为n个正数，当a1＋a2＋…＋a n＝nC 时，则a1a2…a n≤C n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.(4)定理2：设a1，a2，…，a n为n个正数，则na1a2…a n≥n1a1＋1a2＋…＋1a n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.典例剖析知识点1利用柯西不等式证明不等式【例1】设a，b，c，d为正数，且不全相等，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋d＋。
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5教学案：第二章
§2排序不等式[对应学生用书P39][自主学习]1．顺序和、乱序和、逆序和的概念设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n，bj1，bj2，…，bj n(其中j1，j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式)，为b1，b2，…，b n的任一排列方式．则s1＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n称为顺序和；s2＝a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n称为乱序和；s3＝a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1称为逆序(倒序)和．2．排序不等式(1)定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc.此式当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号．(2)定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n.则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n≥(逆序和)a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1.其中j1，j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式，上式当且仅当a1＝a2＝…＝a n(或b1＝b2＝…＝b n)时取“＝”号．[合作探究]1．定理2中哪个和最大？哪个和最小？提示：顺序和最大，逆序和最小．2．设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，那么，它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？提示：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n.[对应学生用书P39][例1]已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)1bc ≥1ca ≥1ab； (2)a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. [思路点拨] 本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a ≥b ≥c ，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．[精解详析] (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b ，又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1ca. 同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c，∵a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab .从而1bc ≥1ca ≥1ab .(2)由(1)1bc ≥1ca ≥1ab ，于是由“顺序和≥乱序和”得，a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3(∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3)≥ c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c.利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．1．设0<a 1≤a 2≤…≤a n,0≤b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的一组排列，证明：a 1b 1a 2b 2…a n b n ≥a 1c 1a 2c 2…a n c n ≥a 1b n a 2b n －1…a n b 1. 证明：因为0<a 1≤a 2≤…≤a n ， 所以ln a 1≤ln a 2≤…≤ln a n .又因为0≤b 1≤b 2≤…≤b n ；故由排序不等式得：b 1ln a 1＋b 2ln a 2＋…＋b n ln a n ≥c 1ln a 1＋c 2ln a 2＋…＋c n ln a n ≥b n ln a 1＋b n －1ln a 2＋…＋b 1ln a n 于是得：ln(a 1b 1a 2b 2…a n b n )≥ln(a 1c 1a 2c 2…a n c n )≥ln(a 1b n a 2b n －1…a n b 1)． 又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)为单调增函数，于是a 1b 1a 2b 2…a n b n ≥a 1c 1a 2c 2…a n c n ≥a 1b n a 2b n －1…a n b 1.[例2] 已知a ，b ，c ∈R ＋.求证： a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.[思路点拨] 解答此题需要假设a ≥b ≥c 推出a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a ，再利用排序不等式进行论证．[精解详析] 不妨设a ≥b ≥c ， 则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a .故由排序不等式，得a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，① a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c，② (①＋②)÷2可得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≥a ＋b ＋c .又∵a 3≥b 3≥c 3且1bc ≥1ac ≥1ab ，由排序不等式，得a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ac ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ，③ a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ，④ (③＋④)÷2可得a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ≥a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b. 综上可知，a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证．2．已知a ，b ，c ∈R ＋.求证：2⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋a 2＋c 2a ＋c ＋a 2＋b2a ＋b . 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， ∴a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c .∴a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1a ＋c ≥1a ＋b .由排序不等式得：a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2a ＋c ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2a ＋c ＋a 2a ＋b . 两式相加得：2⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋a 2＋c 2a ＋c ＋a 2＋b 2a ＋b . 3．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1， 则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n .∴原不等式成立．本课时考点常以解答题的形式考查排序不等式在证明不等式中的应用．[考题印证]设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . [命题立意]本题考查排序不等式及不等式的性质，证明不等式等基础知识，考查推理论证及求解能力． [自主尝试]由所证不等式的对称性，不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ， ∴a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序， 由“乱序和≥逆序和”得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n， 即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .[对应学生用书P41]一、选择题1．设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，P ＝a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．P ≥Q解析：设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0，可知a 21≥a 22≥…≥a 2n ，a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11.由排序不等式，得a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 21a －11＋a 22a －12＋a 2n a －1n ，即a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 1＋a 2＋…＋a n .∴P ≥Q ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＞0时等号成立． 答案：D2．设a ，b ，c 都是正数，M ＝bc a ＋ca b ＋abc ，N ＝a ＋b ＋c ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M ≥NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M ≤N解析：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知ab ·1c ＋ac ·1b ＋bc ·1a ≥ab ·1b ＋ac ·1a ＋bc ·1c ，即M ≥N .当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 答案：A3．已知a ，b ，c 都是正数，则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( ) A ．a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2a B ．a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a C ．a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2a D ．a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a解析：根据排序不等式，取两组数a ，b ，c 和a 2，b 2，c 2.不妨设a ≥b ≥c ，所以a 2≥b 2≥c 2.所以a 2·a ＋b 2·b ＋c 2·c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a .当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．答案：B4．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有 Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A ＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ≥R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c2＝P .答案：C 二、填空题5．设c 1，c 2，…，c n 为正数a 1，a 2，…，a n 的某一排列，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n与n 的大小关系是________．解析：不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n，因为c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2…，a n的一个排列，所以1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n 的一个排列，故由排序不等式：逆序和≤乱序和，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n ≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n ，即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n ≥n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＞0时等号成立．答案：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n≥n6．已知a ，b ，c 都是正数，则a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥________.解析：设a ≥b ≥c ≥0， 所以a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 所以1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序原理，知a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a b ＋a ，① a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ，② ①＋②，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 答案：327．设a ，b ，c 为正数，则a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ________a 10＋b 10＋c 10(填≥，>，≤，<)．解析：由对称性，不妨设a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab， 故由排序不等式“顺序和≥乱序和”，得 a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c.再次由排序不等式“逆序和≤乱序和”，得 a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a .② 由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10. 答案：≥8．设a ，b ，c ∈R ＋，则1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc __________1abc .解析：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2， ∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2·b ＋b 2·a ＝ab (a ＋b )． 同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， ∴1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc≤ 1ab (a ＋b )＋abc ＋1bc (b ＋c )＋abc ＋1ca (c ＋a )＋abc＝1a ＋b ＋c ·(1ab ＋1bc ＋1ca )＝1abc.答案：≤ 三、解答题9．在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.证明：不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC . 以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3，① 又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2.② 由①②得原不等式成立．10．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c≥(abc )3a b c++.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有： a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c ) 即lg(a a b b c c )≥a ＋b ＋c3·lg(abc )，故a a b b c c≥(abc )3a b c++.11．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)为增函数，y ＝cos x 在(0，π2)为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根据排序不等式“乱序和>逆序和”得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．。
高中数学人教B版选修4-5教学案第二章 2.3～2.4 平均值不等式(选学) 最大值与最小值问题优化的数学模型
．～平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型[读教材·填要点]．平均值不等式()定理(平均值不等式)：设，，…，为个正数，则≥，⇔＝＝等号成立＝.…①推论：设，，…，为个正数，且…＝，则＋＋…＋≥.⇔且等号成立＝＝…＝＝.②推论：设为常数，且，，…，为个正数；则当＋＋…＋＝时，…≤，且等号成立⇔＝＝＝….()定理：设，，…，为个正数，则≥，＝＝等号成立⇔…＝.()定理：设，，…，为正数，则≥≥，等号成立＝＝⇔…＝.推论：设，，…，为个正数，则(＋＋…＋)(＋＋…＋)≥.．最值问题≤，使得()∈()设为()的定义域，如果存在∈，)，()≥(()则称()为()在上的最大(小)值，称为()在上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最．大(小)值问题统称为最值问题[小问题·大思维]．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：()各项或各因式为正；()和或积为定值；()各项或各因式能取得相等的值．．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[例]已知＞，＞，且＋＝，求＋的最小值．[思路点拨]本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析]法一：∵＞，＞，＋＝，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋＝.当且仅当＝，又＋＝，即＝，＝时，上式取等号．故当＝，＝时，(＋)＝.()运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．()运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．．求函数()＝(＞)的最大值及此时的值．解：()＝－.因为＞，所以＋≥，得－≤－，因此()≤－，当且仅当＝，即＝时，式子中的等号成立．由于＞，因而＝时，等号成立．因此()＝－，此时＝.[例]已知为正实数，求函数＝(－)的最大值．。
【测控指导】高中数学人教B版选修4-5课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
2.1.2 柯西不等式的一般形式及 其参数配方法的证明
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D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
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题型一
题型二
题型三
利用柯西不等式证明不等式 【例1】 已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1.
∵a+b+c=1,∴a2+b2+c2≥3,
当且仅当 a=b=c= 时等号成立.
1 3
1
答案:C
-5-
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-2-
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定理(柯西不等式的一般形式)
(1)设
2 ������2
2 a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 为实数,则 (������1
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【做一做1】 已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则a2+b2+c2的最小 值为( )
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-5：不等式选讲 本章小结》3
选修4-5《不等式的基本性质和证明的基本方法》章末小结一．教学分析：本课是选修4-5第一章基本知识和方法的总结归纳。
从整体上把握本章，使知识网络化系统化。
本章内容包括：（1）不等式基本性质、一元一次不等式和一元二次不等式的解法；（2）基本不等式和绝对值不等式的解法（3）绝对值三角不等式和五种证明不等式的基本方法。
本章前两节内容是知识回顾，绝对值不等式和不等式的证明方法是本章重点内容。
通过第三部分巩固与提高中的练习题对本章知识作一个梳理。
让学生在综合运用知识解决问题能力进一步提高。
二．教学目标：1对全章知识进行一次梳理，找到解决问题正确的思维方法；会解决绝对值的三角不等式的相关问题，掌握不等式证明的五种基本方法，能够因题而异，找到合适的方法解题；2使学生提升解决高考选做题模块的能力。
3让学生对证明题有客观的认识，培养学生分析问题的能力，转化划归的能力，增强学生解决问题的自信心，从而激发学生学习数学的兴趣。
三．教学重点：总结归纳本章知识内容，形成知识系统和网络，并能很好的应用。
四．教学难点：能准确的应用合适的方法解决绝对值不等式综合问题和证明不等式。
五．教学环节六、板书设计：⎪⎩⎪⎨⎧−−−−←↑−−−−←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥+++≥+++≤+≥+⎩⎨⎧绝对值的三角不等式基本不等式不等式性质反证、放缩法、比较法、综合法、分析证明不等式绝对值三角综合函数、几何平方、分段讨论、构造或或绝对值不等式高次分式二次不等式一次不等式解不等式证明依据基本方法c b x a x c b x a x c b ax c b ax。
人教版选修4-5教案
选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
人教版B版高中数学选修4-5：绝对值的三角不等式_课件2
练
| x | 2 | y | 3 | z |
习
| x | , | y | , | z |
3
6
9
| x | 2 | y | 3 | z | 2 3
36 9
| x 2y 3z |
谢谢欣赏！
所以 a b 1 1 ab
已知 | x | , | y | , | z | .
3
6
9
求证：| x 2y 3z |
课
证明：| x 2y 3z || x | | 2y | | 3z |
后
| x | | 2 || y | | 3 || z |
课
证明：a b 1 ab
1
(a b)2 (1 ab)2
1
后
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
练
1 a2 b2 a2b2 0
习
(1 a2 )(1 b2 ) 0
由| a | 1, | b | 1,可知(1 a2 )(1 b2 ) 0 成立，
ab>0 x
ab<0 x
a+b b a O
x a O a+b x b
知识点拨
(1)当ab>0时，
a>0,b>0
a<0,b<0
a+b x a+b
O a
b
b
x
a
O
由图可得:
|a+b|=|a|+|b|
知识点拨
(2)当ab<0时，
a>0,b<0
a+b如果a,b,c是实数,则： |a-c||a-b|+|b-c|
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[例1]已知x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，
求x＋y的最小值．
[思路点拨]本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．
[精解详析]法一：∵x＞0，y＞0， ＋ ＝1，
∴x＋y＝( ＋ )(x＋y)＝ ＋ ＋10
2．3～2.4 平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型
[读教材·填要点]
1．平均值不等式
(1)定理1(平均值不等式)：
设a1，a2，…，an为n个正数，则
≥ ，
等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
①推论1：设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n.
且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.
②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数；则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，
a1a2…an≤Cn，
且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
(2)定理2：
设a1，a2，…，an为n个正数，则
≥ ，
等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
(3)定理3：
设a1，a2，…，an为正数，则
C．4D．2
解析：因为x，y为正实数，∴ ≤ .
∴ ≤ ＝10.∴xy≤100.
(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．
2．已知x为正实数，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．
解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)
＝x·x·(2－2x)×
≤ 3＝ × ＝ .
当且仅当x＝2－2x，即x＝ 时取等号．
此时，ymax＝ .
利用平均值不等式解应用题
≥6＋10＝16.
当且仅当 ＝ ，又 ＋ ＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．
(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．
1．求函数f(x)＝ (x＞0)的最大值及此时x的值．
∴y≤ .
∴y的最大值为 .
(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
＝ ，
∴r＝ (H－h)．
∴V圆柱＝πr2h＝ (H－h)2h(0＜h＜H)．
根据平均不等式可得
V圆柱＝ · · ·h≤ 3
＝ πR2H.
当且仅当 ＝h，即h＝ H时，V圆柱最大＝ πR2H.
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．
≥ ≥ ，
等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
推论：设a1，a2，…，an为n个正数，则
(a1＋a2＋…＋an)( ＋ ＋…＋ )≥n2.
2．最值问题
设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，
则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．
A．3 B．2
C．12D．12
解析：∵2x>0,4y>0,8z>0，
∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3
＝3 ＝3×4＝12.
当且仅当2x＝22y＝23z，
即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝ 时取等号．
答案：C
3．设x，y为正实数，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()
A．40B．10
[小问题·大思维]
1．利用基本不等式 ≥ 求最值的条件是什么？
提示：“一正、二定、三相等”，即：
2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.
解：f(x)＝1－ .
因为x＞0，所以2x＋ ≥2 ，
得－ ≤－2 ，
因此f(x)≤1－2 ，
当且仅当2x＝ ，即x2＝ 时，式子中的等号成立．
由于x＞0，因而x＝ 时，等号成立．
因此f(x)max＝1－2 ，此时x＝ .
利用平均值不等式求最值
[例2]已知x为正实数，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
＝ .
当且仅当 ＝1－x，即x＝ 时，等号成立．
所以当底面边长为 时，正六棱柱容器容积最大值为 .
[对应学生用书P35]
一、选择题
1．函数y＝3x＋ (x>0)的最小值是()
A．6B．6
C．9D．12
解析：y＝3x＋ ＝ ＋ ＋ ≥3 ＝9，
当且仅当 ＝ ，即x＝2时取等号．
答案：C
2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()
3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
解：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，
如图可知2h＋ x＝ ，
即h＝ (1－x)，
所以V＝S底·h＝6× x2·h
＝ x2· ·(1－x)＝2 × × × ×(1－x)≤9× 3
[例3]已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
[思路点拨]本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．
[精解详析]
设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得
[思路点拨]本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．
[精解详析]∵y＝x(1－x2)，
∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)· .
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤ 3＝ .
当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝ 时取“＝”号．