2018-2019学年山东省济宁市微山县高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年山东省济宁市微山县高一下学期期末数学试题一、单选题 1．已知353πα=-，则下列4个角中与角α终边相同的是（ ） A.43π B.23π C.3πD.3π-【答案】C【解析】先写出与角α终边相同的角的集合，再给k 取值得解. 【详解】由题得与角α终边相同的集合为35{|2,}3k k Z ββππ=-+∈, 当k=6时，=3πβ.所以与角α终边相同的角为3π. 故选：C 【点睛】本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．若2sin 3α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A．B． CD． 【答案】D【解析】试题分析：∵α为第四象限角，，∴cos 3α===，2sin tan cos 5ααα-===-．故选D ．【考点】同角间的三角函数关系．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．3．为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验，先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读取（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ )A.548B.443C.379D.217【答案】D【解析】利用随机数表写出每一个数字即得解. 【详解】第一个号码为439，第二个号码为495，第三个号码为443，第四个号码为217. 故选：D 【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为95y x ∧=+.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（ )A.65B.60C.55D.50【答案】B【解析】求出样本中心点的坐标，代入线性回归方程求解． 【详解】设表中看不清的数据为a ， 则3455855x ++++==，2834567219055a ay +++++==，代入ˆ95yx =+，得1909555a+=⨯+，解得60a =． 故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 5．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】根据题意，建立a 与b 的关系，即可得到夹角. 【详解】因为()a b b -⊥，所以()=0a b b -⋅，则2=0a b b ⋅-，则222cos =0b θb -，所以1cos =2θ，所以夹角为π3故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.6．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则线段BD 的长为（ )A.3B.3.5C.4D.4.5【答案】A【解析】设BD x =，可得2AD x =+，求得120ADB ∠=︒，在ABD ∆中，运用余弦定理，解方程可得所求值． 【详解】设BD x =，可得2AD x =+， 且18060120ADB ∠=︒-︒=︒，在ABD ∆中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠， 即为22149(2)2(2)()2x x x x =++-+-，化为22150x x +-=， 解得3(5x =-舍去）， 故选：A ．【点睛】本题考查三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7．若[0,]x π∈，则函数()cos f x x x =的单调递增区间为（ )A.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2π,π3轾犏犏臌C.50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题意利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论． 【详解】函数1()cos 2(cos )2cos()23f x x x x x x π===+，令223k x k ππππ-+剟，求得42233k x k ππππ--剟， 可得函数的增区间为4[23k ππ-，2]3k ππ-，k Z ∈． 再根据[0x ∈，]π，可得增区间为2[3π，]π， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，考查余弦函数的单调性，属于基础题． 8．如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =uuu r（ ）A ．1122AB AC - B ．1122AB AC + C ．1124AB AC -D ．1124AB AC +【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质可得E 是AC 的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果. 【详解】因为1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥ 所以E 是AC 的中点， 可得()11112222DE DA DC DC CA DC =+=++ 111222DC AC AB AC =-=-，故选A .【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 9．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】B【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ． 【考点】三角函数图象.10．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，且12,120e e <︒>=，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.假设OP 在坐标系xOy 中的坐标为()2,1-，则||OP =（ )【答案】D【解析】可得2||4OP OP ==【详解】向量122OP e e =-，则2||4OP OP ===故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量模的运算和向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．11．如图，A ，B 是半径为1的圆周上的定点，P 为圆周上的动点且APB β∠=，02πβ<<，则图中阴影区域面积的最大值为（ )A.cos ββ+B.sin ββ+C.22cos ββ+D.44sin ββ+【答案】D【解析】由题意可得22AOB APB ∠=∠=β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值． 【详解】由题意可得22AOB APB ∠=∠=β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥， 即有2QO =，Q 到线段AB 的距离为22cos β+， 22sin 4sin AB ββ==，扇形AOB 的面积为12442ββ=， ABQ ∆的面积为1(22cos )4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 22βββββββ+=+=+，14sin 2sin 222sin 24sin 2AOQ BOQ S S ββββ∆∆+=+-=， 即有阴影区域的面积的最大值为44sin ββ+． 故选：D ． 【点睛】本题考查扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题． 12．如图所示，等边ABC △的边长为2、M 为AB 的中点，且AMN 也是等边三角形，若AMN 以点A 为中心按逆时针方向旋转23π后到达AM N ''△的位置，则在转动过程中CM BN ⋅的取值范围是（ )A.11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】设BAN θ∠=，(0)3πθ剟，则CAM θ∠=，则()(BN CM AN AB ⋅=-⋅)AM AC -，将其展开，运用向量的数量积的定义，化简得到52cos 2θ-，再由余弦函数的性质，即可得到范围. 【详解】设BAN θ∠=，(0)3πθ剟，则CAM θ∠=，则()(BN CM AN AB ⋅=-⋅)AM AC AN AM AB AM AN AM AB AC -=⋅-⋅-⋅+⋅=11cos=⨯⨯12cos(3π-⨯⨯)21cos(3π-⨯⨯)22cos3π+⨯⨯52(32π=-115cos cos )2cos 222θθθθθ+-=-， 由于03πθ剟，则1cos 12θ剟，则1532cos 222θ-剟． 故选：D【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题.二、填空题 13．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos()πα+的值为________． 【答案】35-【解析】由题意利用诱导公式求得cos α的值，可得要求式子的值． 【详解】3sin()cos 25παα-==，则3cos()cos 5παα+=-=-，故答案为：35-． 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．14．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 【答案】53. 【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.15．已知α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，则αβ+=__________．【答案】34π【解析】由题意求得tan tan tan tan 1αβαβ+=-，再利用两角和的正切公式求得tan()αβ+的值，可得αβ+ 的值．【详解】αQ ，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，即tan tan tan tan 1αβαβ+=-，tan tan tan()11tan tan αβαβαβ+∴+==--．再结合(0,)αβπ+∈，则34αβπ+=， 故答案为：34π． 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．16．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则ABD △的面积是_____．【答案】2425【解析】过B 作BM AC ⊥于M ，设BM h =，运用勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求值． 【详解】过B 作BM AC ⊥于M ，设BM h =，5AB =，125BM =，165AM =， 又45BDC ∠=︒，可得125DM BM ==，即有45AD AM DM =-=， 可得ABD ∆的面积为14122425525⨯⨯=．故答案为：2425．【点睛】本题考查解三角形，考查勾股定理的运用，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -.（Ⅰ)求AB 的坐标及||AB uu u r；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +.【答案】（Ⅰ)(2,1)AB =-，||5AB =；（Ⅱ)3t = 【解析】（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB uu u r ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．【详解】（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =-∴2||2AB ==（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()tOC OB AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．18．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位：分钟)，从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.（Ⅰ)求a ，b 的值；（Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表).【答案】（Ⅰ)0.010.03a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ)中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a ，b ；（Ⅱ）由频率分布直方图，能估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值． 【详解】 （Ⅰ)由题意得(0.00520.020.025)101(0.005)100.45a b a b ++++⨯=⎧⎨++⨯=⎩，解得0.010.03a b =⎧⎨=⎩ （Ⅱ)设该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为x ，则(0.0050.010.03)100.025(30)0.5x ++⨯+⨯-=解得：32x =.该校学生每天课外阅读时间的平均数估计值为：50.05150.1250.3350.25450.2550.132.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.答：该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为32，平均数估计值为32.5. 【点睛】本题考查频率、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和02πββαπ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点P 、Q 两点，点P .（Ⅰ)求2sin 2sin cos 21ααα++的值；（Ⅱ)若23OP OQ ⋅=，求cos β的值.【答案】（Ⅰ)49-；（Ⅱ 【解析】（Ⅰ）由题意知sin α的值，可求得cos α和tan α的值，即得所求式子的值；（Ⅱ）由题意知OP 的值，由OP OQ 的值求得cos β的值． 【详解】（Ⅰ)由题意可得sin α，cos 5α=-，1tan 2α=-∴222sin 22sin cos sin cos 21sin 2cos ααααααα=+++22tan 4tan 29αα==-+ （Ⅱ)因为||2cos |(|)3OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅-=即2cos()3αβ-=，∵02πβαπ<<<<，∴0αβπ<-<，∴sin()αβ-=∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=⋅-+⋅-23==【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题20．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且满足cos sin 3a b C B =+. （Ⅰ)求角B ；（Ⅱ)若ABC △，a c +=b .【答案】（Ⅰ)3B π=；（Ⅱ)b =【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan B =(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得：5ac =，进而根据余弦定理可得b 的值． 【详解】（Ⅰ)由cos sin 3a b C c B =+得：sin sin cos sin 3A B C C B =+∴sin()sin cos cos sin sin cos sin sin 3B C B C B C B C C B +=+=+∴cos sin sin B C C B =又sin 0C >∴cos B B =，即tan B =又()0,B π∈，∴3B π=（Ⅱ)∵ABC △，∴11sin sin 223ac B ac π===∴5ac =又22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==，a c +=∴227101102b --=，即b =【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想． 21．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50]95，内（单位：mm )，统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在[)80,85，[)85,90的苹果中随机抽取6个，则从[)80,85，[)85,90的苹果中各抽取几个？（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在[)85,90内的概率；（Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案A ：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B ：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在[)50,65内按35元/箱收购，在[)65,90内按45元/箱收购，在[]90,95内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案. 【答案】（Ⅰ)4个；（Ⅱ)25p =；（Ⅲ）方案是B 【解析】（Ⅰ）单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果中随机抽取6个，单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果分别抽取2个和4个；（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数2615n C ==，这两个苹果单果直径均在[85，90)内包含的基本事件个数246m C ==，由此能求出这两个苹果单果直径均在[85，90)内的概率；（Ⅲ）分别求出按方案A 与方案B 该合作农场收益，比较大小得结论． 【详解】（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在[80,85)，[85,90)的苹果分别为6个，12个，依题意知抽样比为616123=+，所以单果直径落在[80,85)的苹果抽取个数为1623⨯=个，单果直径落在[85,90)的苹果抽取个数为11243⨯=个（Ⅱ）记单果直径落在[80,85)的苹果为1a ，2a ，记单果直径落在[85,90)的苹果为1234,,,b b b b ，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：{}12,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}13,a b ，{}14,a b ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}23,a b ，{}24,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}14,b b ，{}23,b b ，{}24,b b ，{}34,b b ，即基本事件的总数为15个.这两个苹果单果直径均落在[85,90)内包含的基本事件个数为6个，所以这两个苹果单果直径均落在[85,90)内的概率为62155p ==. （Ⅲ）按方案A ：该合作农场收益为：5 5.527.5⨯=（万元）； 按方案B ：依题意可知合作农场的果园共有200.825=万箱，即8000箱苹果， 则该合作农场收益为：7403354555800080005313600505050⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯-⨯=⎪⎝⎭元，即为31.36万元 因为27.531.36<， 所以为该合作农场推荐收益最好的方案是B . 【点睛】本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．已知向量(sin ,1)u x ω=-，1sin cos ,(0)2v x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且函数()f x u v =⋅.若函数()f x 的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. （Ⅰ)求函数()f x 的解析式； （Ⅱ)若方程()(0)f x m m =>在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有两个不同实数根1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求出12x x +的值；（Ⅲ)若函数()sin 22x g x x af ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（Ⅰ)()sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ)122m <…1234x x π+=；（Ⅲ）4a =-或4a =【解析】（Ⅰ)根据三角恒等变换公式化简()f x ，根据周期计算ω，从而得出()f x 的解析式；（Ⅱ)求出()f x 在[0，]2π上的单调性，计算最值和区间端点函数值，从而得出m的范围，根据对称性得出12x x +的值；（Ⅲ）令sin c o s x x t -=，求出t 的范围和()g x 关于t 的二次函数，讨论二次函数单调性，根据最大值列方程求出a 的值． 【详解】（Ⅰ）∵()sin ,1u x ω=-，1sin cos ,2v x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴211()sin (sin cos )sin sin cos 22f x u v x x x x x x ωωωωαω=⋅=+-=+⋅-1cos 2111sin 2(sin 2cos 2)2222224x x x x x ωπωωωω-⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭若函数()f x 的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， 则函数()f x 的周期T π=，∴22ππω=，即1ω=，∴()sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（Ⅱ)由（Ⅰ)知，()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32444x πππ--剟∴若方程()f x m =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同实数根，则122m <…∴令2242x k πππ-=+，k Z ∈，则38x k ππ=+，k Z ∈， ∴函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴为38x π=，∵1x ，2x 是方程()f x m =，0m >的两个不同根， ∴1234x x π+=（Ⅲ）因为1()(sin 2cos 2)2f x x x =-，所以()sin 2(sin cos )2ag x x x x =+-， 令sin cos x x t -=，则2sin 21x t =-.∴222112416a a a y t t t ⎛⎫=-+=--++ ⎪⎝⎭又∵sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由42x ππ-剟得244x πππ--剟，∴1t .（1）当4a <a <-时，可知212ay t t =-++在[上为减函数，则当t =2max 11y =-+=-，由12-=，解得：a =->-.（2）当14a 剟，即4a -时，结合图象可知，当4a t =时，2max 116a y =+， 由21216a +=，解得4a =±，满足题意.（3）当14a>，即4a >时，知212a y t t =-++在[上为增函数，则1t =时，max 2a y =，由22a=得4a =，舍去 综上，4a =-或4a =为所求. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，三角函数最值的计算，考查换元法解题思想，属于中档题．。