2018高考数学异构异模复习第四章三角函数4.3三角恒等变换课件文
2018高考数学(文提高)题型归纳课件：第四章 第三节 三角恒等变换
三角恒等变换
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[图文]2018高考数学异构异模复习第四章三角函数4.2.1三角函数的图象及变换课件文-
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【解题法】三角函数解析式的求法和图象变换技巧 (1已知图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ＋B(A>0，ω>0的方法 M－m M＋m ①求 A，B，已知函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝， B＝ . 2 2 ②求ω，已知函数的周期 T，则ω＝③求φ，常用方法有： a．代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B 已知，或代入图象与直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间．φ 作为突破口，具体如下：－， 0 b．五点法：确定φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点ω 2π . T “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点为ωx＋φ＝0，“第二点”(即图象的“峰π 点”为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点” 2 为ωx＋φ＝3π ；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 2
(2关于三角函数的图象变换的方法①平移变换 a．沿 x 轴平移：由 y＝f(x变为 y＝f(x＋φ时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移． b．沿 y 轴平移：由 y ＝f(x变为 y＝f(x＋k 时，“上加下减”，即 k>0，上移；k<0，下移．②伸缩变换a．沿 x 轴伸缩：由 y＝f(x变为 y＝f(ωx时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1 倍．|ω| b．沿 y 轴伸缩：由 y＝f(x变为 y＝Af(x时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．。
2018高考数学异构异模复习第四章三角函数4.2.2三角函数的性质及应用课件文
对称轴是 x＝kπ (k∈Z)， 对称中心是 kπ＋π2，0
对称中心是 k2π，0 (k∈Z)
(k∈Z)
注意点 正切函数的单调区间
正切函数 y＝tanx 在定义域上不是单调函数，但存在单调区间，即－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 为其单调 递增区间.
1．思维辨析 (1)正弦函数 y＝sinx 在其任一周期内都只有一个增区间，一个减区间．( × ) (2)余弦函数 y＝cosx 的对称轴是 y 轴．( × ) (3)正切函数 y＝tanx 在定义域内是增函数．( × ) (4)若非零实数 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(k 是非零整数)也是函数 f(x)的周期．( √ )
(3)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 ①若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝kπ＋π2(k∈Z)，同时当 x＝0 时，f(x)取得最大或最小值．若 f(x) ＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则 φ＝kπ(k∈Z)，同时当 x＝0 时，f(x)＝0. ②求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋ φ)的形式，再分别应用公式 T＝|2ωπ|，T＝|2ωπ|，T＝|ωπ|求解． ③对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函 数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判 断．
在 －π2＋kπ，π2＋kπ (k∈Z)上是递增函数
当且仅当 x＝π2＋2kπ
(k∈Z) 当且仅当 x＝2kπ (k∈Z)
最值
时，取得最大值 1；当且仅
时，取得最大值 1；当且仅
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 理
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C.答案 C2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )． A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5 解析 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2， 解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B6．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．100解析 由sin π7＝－sin 8π7，sin 2π7＝－sin 9π7，…，sin 6π7＝－sin 13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S 13＝S 14＝0. 同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0，共14个，所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C 二、填空题7．已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析 由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125，则tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案 1258．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析 依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sinα＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案 －14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解析 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23.12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2. (1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 法二 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
高考数学复习第四章三角函数解三角形4.6三角恒等变换市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
自测点评
1.求三角函数式最值,经常经过三角恒等变换化简成只含有一个三角函数
代数式,在化简过程中往往用到公式asin x+bcos
x=
2
+
2 sin(x+φ),其中
sin φ=
2
2 +
,cos φ=
2
.
2 +
倍角,4θ是2θ倍角,45°是22.5°倍
2
2.倍角形式是多样,比如:2α是α倍角,α是
= 1+
3
4
∴
cos2
π
sin -4
=
=
7
,
2
(cos+sin)(cos-sin)
2
(sin-cos)
2
=- 2(sin α+cos α)=-
14
.
2
13/36
-14考点1
考点2
考点3
解题心得1.三角函数式化简、求值普通思绪:异名三角函数化为同名三角
函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角三角函数互化.
考点2
考点3
解题心得1.处理“给角求值”问题普通思绪:“给角求值”问题普通所给出角
都是非特殊角,从表面上来看是极难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一
定关系,解题时,要利用观察得到关系,结合公式转化为特殊角而且消除非特
殊角三角函数而得解.
2.解“给值求角”问题普通思绪:先求角某种三角函数值,再依据已知条件确
tan310°)=
.
sin10°
sin 50°
(1+ 3tan 10°
)=sin 50°
·1 + 3·cos10°
五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：4.3 三角恒等变换 精品
2
3
2
9
9
解法二:sin 2θ=-cos
2
4
θ
=2sin2
4
θ
-1=
2 9
-1=-
7 9
.
方法2 辅助角公式的应用
例3 (2014浙江教育考试院数学样卷,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C满足4sin Asin C-2cos(A-C) =1. (1)求角B的大小; (2)求sin A+2sin C的取值范围. 解析 (1)因为4sin Asin C-2cos(A-C)=4sin Asin C-2cos Acos C-2sin Asin C=-2(cos Acos C-sin Asin C)=-2cos(A+C),
(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·α
2
β
,
α
2
β
=
α
β 2
-
α 2
β
等.
突破方法
方法1 三角函数的化简与求值问题
1.要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角之间关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,正确 选用公式,灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等. 2.求值题常见类型 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察会发现非特殊角 与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角的三角函数,然 后求值. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变 角”,使角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再结合角的范围求 解.
=17 2 .
高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 第3讲 三角函数的恒等变换课件 文
第五页，共四十六页。
(必修 4 P127 练习 T2 改编)已知 cos α＝－53，α 是第三象限角，
则 cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
2 10
72 C. 10
D．－7102
12/11/2021
第六页，共四十六页。
解析：选 A.因为 cos α＝－35，α 是第三象限角，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－－352＝－54，
12/11/2021
第二十一页，共四十六页。
③cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ④sin2α＝1－c2os 2α，cos2α＝1＋c2os 2α； ⑤tan2α＝1－t2atnan2αα.
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第二十二页，共四十六页。
【对点通关】
1．(必修 4 P146A 组 T8(3)改编)化简ssiinn 3αα－2cos 2α 等于(
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第十一页，共四十六页。
【解析】 (1)因为 cos(x－π6)＝cos[(x＋π3)－π2]＝sin(x＋π3)，所 以 f(x)＝65sin(x＋π3)，于是 f(x)的最大值为65，故选 A. (2)法一：原式＝11－ ＋ttaann 1155° °＝1t＋anta4n5°45－°ttaann1155°°
α π αsin4cos
α＋cosπ4sin
α2
＝（（1c－os2tαa－n αs）in2（α）co（s α1＋＋stiannαα））2
＝（1－cocssoi2nsα－αα（sinc2oαs）α＋1＋sincsoiαns）αα2 ＝1.
12/11/2021
第二十七页，共四十六页。
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 简单的三角恒等变换课件
第三十四页，共三十七页。
易错防范 在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函 数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数． (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦 函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．
第四章 三角函数(sānjiǎhánshù)、解三角 形
第4讲 简单(jiǎndān)的三角恒等变换
12/11/2021
第一页，共三十七页。
三角函数式的化简
（1＋sin θ＋cos θ）sin
化简：(1)
2＋2cos θ
θ2－cos
θ 2(0<θ<π)；
1 (2)tan
α－tan 2
α2·1＋tan α·tan
设 α，β 是锐角，sin α＝473，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3. 证明：由 0<α<π2，0<β<π2， 知 0<α＋β<π， 又 cos(α＋β)＝－1114， 故 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β） ＝ 1－－11142＝5143.
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第十四页，共三十七页。
答案：4sin α
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第七页，共三十七页。
2．化简：2t2acnos4π4x－－x2csoins22xπ4＋＋12x. 解：原式＝ －2sin2xcos2x＋12
2sinπ4－xcos2π4－x cosπ4－x
＝ 12（1－sin22x） 2sinπ4－xcosπ4－x
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高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第5节三角恒等变换课件理ppt版本
n
4.(2016 高安中学模拟)已知 cos α = 1 ,cos(α -β )= 13 ,且 0<β <α < π ,β
7
14
2
等于( C )
(A) π 4
(B) π 6
(C) π 3
(D) 5 π 12
解析:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β),
2
2
2
故- π <α-β< π .又 sin(α-β)=- 3 ,得 cos(α-β)= 4 .
2
2
5
5
cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=- 3 × 4 + 1 ×(- 3 )=- 4 3 3 .
2 52
5
10
反思归已纳知三角函数值,求三角函数式值的一般思路 (1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是
0,
π 2
,选正、余
弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为
π 2
,
π 2
,
选正弦函数较好.
【即时训练】(1)(2016 金华模拟)设α ,β 为钝角,且 sin α = 5 ,cos β 5
(2)两角和与差的正弦公式
sin(α +β )= sin α cos β +cos α sin β
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高考数学异构异模复习第四章三角函数4.2.1三角函数的图象及变换撬题理24
2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.2.1 三角函数的图象及变换撬题 理1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位．故选B.2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sin x ＋cos x 答案 A解析 采用验证法．由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.3.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 由最小正周期为π，可得ω＝2，又x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，故可令φ＝π6，得函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6，由正弦函数易得f (0)>f (－2)>f (2)．故选A.5.若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案3π8解析 把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －φ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象．由于f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象关于y 轴对称，所以－2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.6．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形44三角恒等变换课件文
四
三角函数 解三角形
章
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第一页，共三十六页。
第四节
三角恒等变换
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第二页，共三十六页。
高考概览 1.巧变角：三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察 角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换， 化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问 题顺利获解．对角变换时：(1)可以通过诱导公式、两角和与差的 三角公式等；(2)注意倍角的相对性；(3)注意拆角、拼角技巧，例 如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋2 β－ α－2 β＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，
＝－2 5 5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又 A，B 都为钝角，即 A，B∈π2，π，所以 A＋B∈(π，2π)，
故 A＋B＝74π，选 C. [答案] C
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(1)本例 2－3 中根据 A，B 都为钝角可知 A＋B∈(π，2π)，显
然若求出 sin(A＋B)的值，则 A＋B 有两个值满足条件，此时易产
生增解，而余弦函数在区间(π，2π)上是单调递增 的，所以利用 A
＋B 的余弦值求角就不会出现增解．
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角
求值 函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数
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类型
要点
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的 给值
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2018年高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.4 简单的三角恒等变换讲义 文 新人教A版
角度一 给值求值 [典题 2] 设 θ 为第二象限角，若 tanθ＋4π＝12，则 sin θ＋cos θ＝__－___51_0__.
[解析]
tan θ＝tan θ＋π4－4π＝121－ ＋112＝－13，
∴sin θ＝－13cos θ，将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得190cos2θ＝1，
[典题 1] (1)[2017·湖北随州模拟]已知 α∈0，2π，且 2sin2α －sin α·cos α－3cos2α＝0，则sin 2sαi＋nαc＋os4π2α＋1＝___82_6____.
[解析] 由 2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，得(2sin α－3cos
∴cos2θ＝190，
又易知 cos θ<0，∴cos θ＝－130 10，∴sin θ＝ 1100，
故 sin θ＋cos θ＝－
10 5.
角度二
给角求值
[典题 3] 4cos 50°－tan 40°＝( C )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
[解析] 4cos 50°－tan 40°
证明：(1)由已知可得 4sin2β＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2γ，∴1 －sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)．
由此得 cos2γ＝2cos 2β，故要证的等式成立．
(2)把 5sin α＝3sin(α－2β)化成 5sin [(α－β)＋β]＝3sin[(α－β) －β]，得 5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)·cos β－ 3cos(α－β)sin β.
＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2αcos 2β
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2．(1)化简 cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( )
1
3
பைடு நூலகம்A.2
B. 2
C．－12
D．－
3 2
(2)1－tatna7n527°5°的值为(
)
A．2 3
23 B. 3
C．－2 3
D．－2 3 3
解析 (1)cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝21.故选 A. (2)由题意知tan1250°＝－2 3.
tanα＋tanβ tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ ；(Tα＋β)
tanα－tanβ tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ .(Tα－β)
2 二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；(S2α) cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；(C2α)
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
[心得体会]
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
sinα
1－cosα
tanα2＝ 1＋cosα ＝ sinα .
4 辅助角公式
asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ) ，
其中 cosφ＝
a2a＋b2，sinφ＝
b a2＋b2.
5 角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝4π＋α－π4＝α－π3＋π3. (2)互余与互补关系 例如，π4＋α＋34π－α＝π， π3＋α＋π6－α＝π2. (3)非特殊角转化为特殊角 例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
(3)降幂公式
1－cos2α
1＋cos2α
sin2α＝
2
；cos2α＝
2.
(4)其他常用变形 2tanα
sin2α＝si2ns2iαn＋αccoossα2α＝ 1＋tan2α ；
1－tan2α cos2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝ 1＋tan2α ； 1±sinα＝ sinα2±cosα22 ；
(3)①f51π2＝Asin51π2＋π4＝32，
∴A·23＝23，A＝ 3.
②f(θ)＋f(－θ)
＝ 3sinθ＋π4＋ 3·sin－θ＋π4＝32，
∴
3
22sinθ＋cosθ＋
22－sinθ＋cosθ＝32，
∴ 6cosθ＝32，cosθ＝ 46，
命题法 利用基本公式及变形式进行化简和求值
典例 (1)cos130°－sin1170°＝( )
A．4
B．2 C．－2 D．－4
(2)设 α∈0，π2，β∈0，2π，且 tanα＝1＋cossiβnβ，则(
)
A．3α－β＝π2
B．2α－β＝π2
C．3α＋β＝π2
D．2α＋β＝π2
第四章 三角函数
第3讲 三角恒等变换
考点 三角函数的化简与求值
撬点·基础点 重难点
1 两角和与差的三角函数公式
sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ ；(Sα＋β) sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ .(Sα－β) cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ ；(Cα＋β) cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ .(Cα－β)
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．主要侧重于两角和与 差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值．利用同角三角函数的基本关系式
变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，常与三角函 数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查．
3．在△ABC 中，tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanA·tanB，则 C 等于( ) π 2π
A.3 B. 3 ππ
C.6 D.4
解析 由已知可得 tanA＋tanB＝ 3(tanA·tanB－1)， ∴tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝－ 3， 又 0<A＋B<π，∴A＋B＝23π，∴C＝π3.
2tanα tan2α＝ 1－tan2α .(T2α)
3 公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tanα＋tanβ＝ tan(α＋β)(1－tanαtanβ) ； tanα－tanβ＝ tan(α－β)(1＋tanαtanβ) ．
(2)升幂公式
1＋cosα＝ 2cos2α2 ；1－cosα＝ 2sin2α2 .
π 已知 α，β 为三角形的两个内角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，则 β＝___3_____.
[错解] [答案] π3或23π
[错因分析] (1)错解中没有明确 α＋β 的范围，导致求 cos(α＋β)时不能正确判断符号． (2)所求函数值不是 sinβ，而是 cosβ，导致在(0，π)中角 β 有两解的错误． [正解] 因为 0<α<π，cosα＝71， 所以 sinα＝ 1－cos2α＝47 3，故π3<α<π2， 又因为 0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5143< 23， 所以 0<α＋β<π3，或23π<α＋β<π， 由π3<α<π2知23π<α＋β<π， 所以 cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－1114， 所以 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5143×47 3＝12，又因为 0<β<π，所以 β＝3π.
(3)已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. ①求 A 的值； ②若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
[解析] (1)cos130°－sin1170°＝cos130°－sin110°＝ 3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4，故
注意点 先看角，再求值 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”.
1．思维辨析 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立．( √ ) (3)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意 α，β 都成 立．( × ) (4)存在实数 α，使得 tan2α＝2tanα.( √ ) (5)公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值有关．( √ )
2019/8/2
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又 θ∈0，π2，
∴sinθ＝ 1－cos2θ＝ 410，
∴f43π－θ＝
3sin(π－θ)＝
3sinθ＝
30 4.
【解题法】 三角函数的化简与求值方法 (1)三角函数式化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使 用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” 等． (2)三角函数求值的类型及方法 ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关 系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． ②“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”， 使其角相同或具有某种关系． ③“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示， 由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
2sin20°
2sin20°
选 D.
(2)由条件得csoinsαα＝1＋cossiβnβ，即 sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α，因为－π2＜α－β