20172018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学(理)试题解析版.doc

绝密★启用前湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。

2．设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a的取值范围为（）A. 56a ≤≤B. 56a <<C. 56a ≤<D. 56a <≤【答案】C【解析】输入0,1S i ==执行循环体1,12S S i i i =+==+=，不满足i a >继续执行循环体3,13S S i i i =+==+=，不满足i a >继续执行循环体6,14S S i i i =+==+=，不满足i a >继续执行循环体10,15S S i i i =+==+=，不满足i a >继续执行循环体15,16S S i i i =+==+=，由题可知满足6i a =>，输出15S = 故[)5,6a ∈故选C4．使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ）A. 23x ≤≤B. 63x -≤≤C. 53x -≤≤D. 62x -≤≤【答案】B【解析】解不等式14x +≤，可得414x -≤+≤，即53x -≤≤，故“63x -≤≤”是“53x -≤≤”的一个必要不充分条件，故选B.5．已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f （3）=3，可得f （1）和f （2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f （3）=3，则f （1）=3或f （1）=4；f （2）=3或f （2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6．在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8．若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2）故选：A ．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且,,a b c 成等比数列，且3B π=，则11tan tan A C+=（ ）A. B. 2 C. 3 D. 3【答案】C【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b a c =,利用正弦定理化简得： 2sin sin sin B A C =,又3B π=，所以原式=()2sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin 3A C A C C A C AB AC A C A C B B +++===== 所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值． 详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos ＜（+，＞=0，即为||=cos ＜+，＞，当cos ＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是． 故选：C ．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11．已知函数()y f x =的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是12y x =+2,则()()11f f +'的值等于( )A. 1B.52 C. 3 D. 0 【答案】C【解析】由导数的几何意义得()()1151,112.222k f f ===⨯+=' 所以()()11f f +'=15+=322，故选C. 12．设，则使得的的取值范围是（ ）A.B. C. D.【答案】B 【解析】分析：根据题意，由函数f （x ）的解析式分析可得函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，当x ≥1时，对函数f （x ）求导分析可得函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f （|x|）＜f （|2x ﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x ﹣3|，解可得x 的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2（e x ﹣1+e 1﹣x ）=﹣（x ﹣1）2﹣2（e x ﹣1+）+1， 分析可得：y=﹣（x ﹣1）2+1与函数y=2（e x ﹣1+e 1﹣x ）都关于直线x=1对称， 则函数f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2（e x ﹣1+e 1﹣x ）的图象关于直线x=1对称， f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2（e x ﹣1+e 1﹣x ），当x ≥1时，f ′（x ）=﹣2x +2﹣（e x ﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x ﹣1﹣），又由x ≥1，则有e x ﹣1≥，即e x ﹣1﹣≥0，则有f ′（x ）＜0，即函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，f （x+1）＜f （2x ﹣2）⇒f （|x+1﹣1|）＜f （|2x ﹣2﹣1|）⇒f （|x|）＜f （|2x ﹣3|）⇒|x|＞|2x ﹣3|，变形可得：x 2﹣4x+3＜0，解可得1＜x ＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B ．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则． 13．已知函数()2sin 20191x f x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()20182018f f +- ()()'2019'2019f f ++-=（ ）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得： ()() 2f x f x +-=∴函数()f x 的图象关于点()0,1中心对称，∴()()201820182f f +-=由()() 2f x f x +-=可得()()1?10f x f x -+--=∴()y 1f x =-为奇函数，∴()y 1f x =-的导函数为偶函数，即()y 'f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴()()'2019'20190f f +-=∴()()20182018f f +- ()()'2019'20192f f ++-=故选：A14．中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题16．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17．对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a 和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18．已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3， 解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题． 19．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________．【答案】9+【解析】因为()()()2cos 0,2sin f x x f x x x f x =->-=-+=-'，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()()()211212,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b + ()14242999b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当b =时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 20．已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题21．选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于两点，求的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C 的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得，整理得， ∵，于是点P 在AB 之间， ∴．点睛：过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为 (t 1＋t 2)22．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos a A b C c B =+. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线， 2,4AB BC ==，求AD 的长.【答案】(1) 3A π=；(2) AD =【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出1cos 2A =，从而得出A 的大小；（2）利用余弦定理求出AC ，根据BD 是ABC ∠的平分线，可得AD ABDC BC=，故而可求得结果. 试题解析：(1)在ABC ∆中，∵2cos cos cos a A b C c B =+,∴由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C C B B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∵()0A π∈，，∴3A π=. (2)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即21642AC AC =+-,解得1AC =或1AC = ∵BD 是ABC ∠的平分线， 2,4AB BC ==，∴12AD AB DC BC ==,∴13AD AC ==. 23．已知函数（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2)．【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e 时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R 递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln （-t ）时取得最小值为2，那么可知t 的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。