第二讲-波动_光学

第二讲波动光学基础由电磁波动方程及相应的物质方程，原则上可以得到任意边界条件下光波场的解。

然而对于较为复杂的边界条件，这种解可能极为复杂而无法得到实际的解析解。

同时，根据被动的线性叠加原理，任何复杂形式的光波场总是由一些简学形式的光波场的线性叠加构成，如平面波、球面波等，因此，讨论电磁场的平面波解和球面波解具有非常重要的意义。

本章主要内容：1.在充满均匀各向同性介质的无限大空间中，几种简单的光波场：平面波、球面波、柱面波和高斯球面波的传播特性；2.光波场的色散规律；群速度与相速度§2-1单色平面波的波函数平面波的特点是其场量 E 和 B 在垂自于传播方向的平面上各点的振幅和相位取相同值。

其中和分别表示正向和反向传播的平面波。

显然，这是一对复振幅互为共轨的平面波，故称之为相位共扼波.如前图，若设单色平面波沿x 方向传描，则 E 和B 仅与x 和t 有关，而与y , z 无关，代入亥姆霍兹方程得:解得考虑到时间变化部分，一个沿正向传播的单色平面波场电矢量E （t ）所满足的亥姆霍兹方程的解的完整形式可表示为：一般地，当平面波沿任意方向传播时，其正向传播的电矢量可表示为：或同样也可以将磁矢量B（t）所满足的亥姆程兹方程的解表示为：ikr E r E e 0（）＝E r E cos kr 0（）＝（）§2-1-2 单色平面波的等相面与相速度波矢量k与位置坐标矢量r的点乘k.r反映了电磁波在空间传播过程中的相位延迟大小，故通常将k.r为常数的空间点的集合称为等相(位)面。

等相面沿其法线方向移动的速度称为相速度，其大小为：显然平面波的等相面在空间是一簇平行平面，且与波矢量k 方向处处正交，故其相速度的方向与k 相同，大小为：由此时见，平面波的相速度就是波动方程中出现的光速，不过需要注意的是，只有在各向同性的均匀介质中，光速才和相速度相等。

φνφνν§2-1-3 场矢量k 、E 、B 之间的关系上式表明平面波的电场强度矢量E 与波矢量k 正交，故平面电磁波是横波。

由麦克斯书方程组，对于无源介质空间的平面波解，可得：或同样可得：故有：可见磁感应强度B 也与与波矢量k 正交，也表明平面电磁波是横磁波。

由前面可知E ，B 同相，二者振幅比为：而 E 与 B 也正交，表明平面电磁波是横电磁波。

E，B，k三者相互正交，构成右手螺旋关系。

由于光速数值很大，故在真空或电介质中光波场的E 矢量的振幅远大于B矢量，因而对探测器起作用的主要是光波场的E 矢量。

通常我们讲光振动矢量实际上就是指电场强度矢量E ，其振动方向就是光波的偏振方向。

§2-1-4 平面波的能量密度与能流密度上式表明尽管电矢量与磁矢量的振幅相差很大，但平面电磁波的电场能量与磁场能量相等，各占总能量的一半。

对于瞬态平面光波场，可得其瞬时能量密度为：均匀各向同性介质中平面光波的能量密度为：相应地在一个时间周期T内的平均值为：上式表明，在自由空间中，平面光波的能流密度S 的大小等于其能量密度乘以其相速度，方向与波矢量k 一致。

也可得平面光波的平均能流密度大小为：同理，可得平面光波的能流密度表达式为：上式表明，自由空间中，平面光波的平均能流密度正比于电场强度振幅的平方。

在同一介质中只关心光强度的相对分布时，上式中的比例系数可以不考虑，此时往往把光的强度I 以相对强度表示，即写成电场强度振幅的平方：在光频波段，通常把平均能流密度称作光强度，并以I表示。

对于光频波段及非铁磁介介：。

因此由上式可将平面光波的强度表示为：然而在比较两种介质中光的强度大小时，则必须注意到，比例系数中还有一个与介质有关的量——折射率n。

§如图所示，若以( )表示某一单色k对照振动周期T 和频率v 的关系可以看出，矢量的大小等于波长的倒数，反映了波动的空间频率(波长即空间周期)，故称为平面光波的空间频率矢量。

注意：与振动频率不同，这里的空间频率是矢量．其方向代表该平面光波的传播方向。

波长相同但传播方向不同的平面光波，其空间频率矢量也不同。

利用空间频率的概念．也可以将平面光波的电场强度矢量表示为下面的形式：f f f x y z i2f t f t f t E r E e π（＋＋）0（）＝x y z E r E f t f t f t cos π0（）＝【2（＋＋）】§§2-2 -1 球面波代入亥姆霍兹方程得：方程有如下可能解：自源点向外发散的球面波，向源点会聚的球面波它们是一对相位共轭波考虑到球面波的空间对称性，在球坐标系中描述球面光波最为简便。

在以波源点为坐标原点的球坐标系中，波矢量k 总是与矢径r 同向，并且各场量仅与矢径大小r有关，而与方位角无关。

因而有：实际中严格的“点状”(光)振动源是不存在的，因而理想的球面波或平面波也是不存在的。

按照经典辐射理论，产生电磁辐射的原子或分子可看作是一个振荡着的电偶极子，该偶极子在振荡的过程中，向周围空间辐射电磁波(光波)。

可以证明通过求解有源空间的达朗贝尔方程，得到电偶极辐射场的电场强度矢量和磁感应强度矢量分别为：式中矢量p 表示偶极矩，分别表示球面坐标系中径向和纬向坐标的单位矢量。

电偶极辐射场是一个近似的单色球面偏振波。

磁矢量B的振动方向垂直于传播方向，且位于与偶极矩垂直的平面内，即磁力线为纬线圆周，磁矢量B恒正交于波矢量k，故磁场是横向的，电矢量E由于要在空间满足关系，因而电力线必须是经面上的闭合曲线，且在两极处满足E=0 ，也就是说此处的电矢量E并不是严格横向的，除了赤道线之外，在其它区域必含有纵向分量。

因此电偶极辐射是空间中的TM(横磁)波，只有当传播到远场时才近似为TEM(横电磁)波。

§2-2 -2 柱面波求解柱面波场宜采用圆柱面坐标，并且由于其轴对称性，相应的亥姆霍兹方程变为：并且当r 足够大时，其解有如下两种可能形式：发散柱面波会聚柱面波相互共轭柱面波是一个振幅相同且无限长的线光源发出的光波，它的波面具有柱面的形状，其等相位面和等幅面均为对称于轴线的圆柱面，故称为柱面波。

§2-2 -3 高斯球面波假设光波能流主要沿z方向传播，考虑到其电场强度矢量的复振幅E 沿z 轴缓慢变化，且在与z 轴垂直的平面内沿径向非均匀分布，则上式的解可近似表示为：将此解代回上式，并略去对坐标z 的二阶导数，可得：如果在柱面坐标系中，一列偏振方向恒定的单色光波的电矢量复振幅分布具有轴对称性，即仅与径向位置r和轴向位置z有关，与轴向方位角无关，并且沿轴向缓慢变化，则相应的亥姆霍兹方程具有如下标量形式：θ其解为：为表征高斯光束的发散程度，定义光束在远场的光斑直径对束腰中心所张角为基模高斯光束的发散角，即，由于基模高斯光束具有最简单的横向光场分布和极高的时空相干性，因此被广泛用于各种相干光学系统中作为理想的信息载体。

θ§2-2 –3 光波场的色散按照洛伦兹的色散模型，色散现象可以解释介质中带电粒子在光波电场作用下作受迫振动时产生的一种效应，即色散现象的实质是光波电磁场与介质分子作用的结果。

从现象来看，介质的色散表现为介质对不同频率的入射光波具有不同的传播相速度，因而具有不同的折射率。

由麦克斯韦电磁场理论可知，介质的折射率及光波在介质中的相速度均取决于介质的介电常数。

这就是说，色散介质中，并非是一个常数，而是入射光波频率的函数。

那么，色散产生的物理机制究竟是什么呢? 。

εεω§2-3-1 洛伦兹色散模型按照洛伦兹的观点，设电子(偶极振子)相对其平衡位置的振动位移为l ，质量为m ，则在无外场作用时电子的运动方程可表示为：洛伦兹认为，物质分子是由一定数量的重原子核和外围电子构成的复杂带电系统。

系统的特征是：一方面，正负电荷数目相等，但一般情况下各自中心不重合，相当于一个电偶极矩，另一方面，电子因受核子作用而被束缚于平衡位置，因而又相当于一个线性弹性振子。

这就是说，物质分子可看作是一系列线性弹性电偶极振子的组合。

式中g和h 均为与介质有关的常数。

从物理含义来看，第2项为阻尼力，产生了电子的辐射(加速运动时)和原子间的碰撞，大小正比于电子的振动速度；第3项为弹性恢复力，产生了核子对电子的束缚作用，大小正比于电子的振动位移。

显然，当g＝0时，电子将以圆频率作简谐振动≠当g 0时，电子作阻尼振动。

根据介质的不同，分两种情况讨论：当有光波进入介质时，由于光波电场的作用，介质内的束缚电子——偶极振子将作受迫振动。

同时，因电子运动速度v《c，而磁场作用力与电场作用力之比：v／c 《1．故可忽略磁场对电子的作用力。

设入射光波电场为：运动方程可表示为：根据受迫振动特点，上式的解可表示为：代回第一式得：§2-2 –3 光波场的色散可以看出，上式的结果与力学中质点作受迫振动的解的形式完全一致。

当时，受迫振动处于共振状态，振幅达到最大值。

因此且有因而介质原于或分子对光波能量的吸收最大。

这就是所谓的共振吸收或选择吸收，当时，受迫振动的振幅与光波频率及阻尼系数大小有关，且相对入射光波电场存在着大小等于的相位差。

ωγδ根据电位移矢量D的定义，应有：显然，这里的介电常数应是一个复数，为区别起见，将其表示为，则有：当＝0时，无阻尼受迫振动振幅为：由于电子的振动，原子或分子变成一个振荡的电偶极子，其偶极矩为ql。

假设介质单位体积内有N个原子或分子，则介质的电极化强度可表示为：γεε&&最后可得：由折射率的定义：得到色散公式为：上式表明，考虑介质吸收情况下，折射率也是一个复数，故可将其表示为：可见，复数折射率的实部反映了介质的色散特性，而虚部则反映了介质的损耗，即吸收特性。

吸收大小及区域分布由因子K决定。

当阻尼力较小同理可解得电子振动位移：当不考虑阻尼力时，有(2)介质为固体、液体或压缩气体等与稀薄气体相比，固体、液体或压缩气体的原子或分子之间的距离很近，其相互作用不可忽略。

也就是说，作用于电子上的电场，不仅仅是入射光波电场E ，而且还包含着周围分子产生的极化电场，即可将表示为：可得无阻尼时的介电常数于是电极化强度即即洛伦兹—洛伦茨公式由此得介质折射率：或对稀薄气体，，故洛伦兹—洛伦茨公式也适用因而可以认为是研究色散现象的基本关系式。

§2-3 –2 亥姆霍兹色散方程上面讨论中，我们实际上假定全部电子均受到相同的束缚作用，因而都具有相同的固有频率。

实际不同电子所受束缚作用可能不同，因此其固有频率也不尽相同。

假定一般情况下固有频率为的电子所占的比例(即概率)为，则色散方程可表示为：将带入上式得亥姆霍兹色散方程，0ωj ωj ρ亦可得色散曲线：当损耗较小时，可忽略，前面两式简化为：2k§2-3 –3 塞尔迈耶公式上式描述了介质的正常色散特性，称为塞尔迈耶公式。