创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习专题八数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想练习理
高考数学复习思想方法精析第1讲函数思想与方程思想市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
a 1
－
所以 2 < a－1
2，即a－1<12，解得12<a<32.
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• 『规律总结』 • 函数与方程思想在不等式问题中应用关键点 • (1)在处理不等式恒成立问题时，一个最主要思想方法就是
结构适当函数，然后利用函数最值处理问题． • (2)要注意在一个含多个变量数学问题中，需要确定适当变
所求目标参数和判别式不等式中参数一个等量关系，将其 代换． • 第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中， 即可求出目标参数取值范围．
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若点 O 和点 F(－2,0)分别为双曲线ax22－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点 P 为双曲
线右支上的任意一点，则O→P·F→P的取值范围为( B )
A．π6
B．π4
C．π3 [解析]
D．π2 ∵O→A＝(1,0)，O→P＝(cosθ，sinθ)，∴O→A·O→P＋S＝cosθ＋sinθ＝ 2sin(θ
＋π4)，故O→A·O→P＋S 的最大值为 2，此时 θ＝π4.故选 B．
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命题方向4 函数与方程思想在解析几何中应用 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 2，离心率 为 22，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且A→P＝3P→B. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求 m 的取值范围．
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三、函数思想与方程思想联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决， 方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝f(x) 的零点，解不等式 f(x)>0(或 f(x)<0)，就是求函数 y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程 f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函 数 y＝f(x)－g(x)与 x 轴的交点问题，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的 值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
最新高三数学第二轮专题复习函数方程思想教学设计
高三数学第二轮专题复习：函数方程思想高考要求函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决重难点归纳函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到（1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组错解分析 第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题解 （1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在 例2已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角 求证 m ≥5;(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m命题意图 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围知识依托 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式错解分析 第(1)问中易漏掉Δ≥0和ta n(A +B )＜0，第(2)问中如何保证f (x )在［1,3］恒小于等于零为关键技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列 列式要周到，不遗漏（1）证明 f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0 依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角∴2π＜A +B ＜π∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--0310********m m m m m m ∴m ≥5 (2)证明 ∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0 即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0 ∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解 ∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 22+-++-m m m α 且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8 即1+(m +1)+m =8，∴m =3例3关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为解析 设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t ,t ∈［1,3］等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值 答案 (–∞,–1)∪(2,+∞)例4对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212+a 对称，求b 的最小值解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点，∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立 于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +1212+a 对称 ∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根 ∴x ′=y ′=abx x 2221-=+， 又点M 在直线1212++-=a x y 上有121222++=-a ab a b ， 即aa a ab 121122+-=+-=∵a ＞0，∴2a +a 1≥22当且仅当2a =a 1即a =22∈(0,1)时取等号， 故b ≥–221，得b学生巩固练习1 已知函数f (x )=log a ［x –(2a )2］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A (0,41] B (0,41) C ［41,1) D (41,21）2 函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A ［45，+∞) B (1,45] C ［47,+∞) D (1,47］3 关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a4 如果y =1–sin 2x –m cos x 的最小值为–4，则m5 设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R }（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2)恒成立，求x 的取值范围参考答案1 解析 考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x 的图象，显然有0＜2a ＜1由题意21)2(21a =得a =41，再结合指数函数图象性质可得答案 答案 A2 解析 由题意可得f (–x +1)=–f (x +1) 令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t )，即f (x )=–f (2–x )当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –47)2–87，其递减区间为［47，+∞) 答案 C3 解析 显然有x ＞3，原方程可化为1031=--x ax 故有(10–a )·x =29,必有10–a ＞0得a ＜10 又x =a -1029＞3可得a 31 答案 31＜a ＜10 4 解析 原式化为4)2(cos 22m m x y --= 当2m ＜–1,y min =1+m =–4⇒m =–5当–1≤2m ≤1,y min =42m -=–4⇒m =±4不符当2m＞1，y min =1–m =–4⇒m =5 答案 ±55 解 (1)令2x =t (t ＞0)，设f (t )=t 2–4t +a由f (t )=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f (t )=0有两等根时，Δ=0⇒16–4a =0⇒a =4验证t 2–4t +4=0⇒t =2∈(0,+∞)，这时x =1②f (t )=0有一正根和一负根时,f (0)＜0⇒a ＜0③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4·2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立 即g (a )=(x –2)a–(x 2–6x )＞0恒成立 只须175081020)4(022-⇒⎩⎨⎧<+-≤⇒⎩⎨⎧>≤-x x x g x ＜x ≤2。
2017版高考数学二轮突破：专题八-数学思想方法-ppt课件(115页,含答案)
核 心 知 识 聚 焦
整理得 x2＋(5－a)x＋4＝0，则 Δ＝(5－a)2－4× 1× 4＝0，解得 a ＝1 或 a＝9(舍去)， ∴当 y＝a|x|与 y＝f(x)的图像有 4 个交点时， 有 1<a<2.
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第20讲 函数与方程思想、数形结合思想
[答案] 42
核 心 知 识 聚 焦
[解析] 由 a1＝3， 得 a1＋a3＋a5＝3(1＋q2＋q4)＝21， 所以 1＋q2＋q4＝7，即(q2＋3)(q2－2)＝0，解得 q2＝2，所以 a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21× 2＝42.
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第20讲 函数与方程思想、数形结合思想
专题八
数学思想方法
第20讲 函数与方程思想、数形结合思想
第21讲 分类与整合思想、化归与转化思想
核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究
第20讲
函数与方程思想、数形结 合思想
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第20讲 函数与方程思想、数形结合思想
1．[2015· 全国卷Ⅱ改编] 已知等比数列{an}满足 a1＝3， a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7＝________． 测试要点：数列中的基本量计算、方程思想
核 心 知 识 聚 焦
2．[2015· 全国卷Ⅱ] 设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________． 测试要点：向量平行条件的应用、方程思想
1 2
[答案]
[解析] 因为 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以存在唯一实数 t，使 得
λ＝t， λa＋b＝t(a＋2b)，所以 解得 1＝2t，
高考数学二轮复习 第二部分 思想方法专题部分 第一讲 函数与方程思想 文
二
思想方法专题部分
部ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分
第一讲
函数与方程思想
——————————思想方法概述————————— 1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中 的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造 函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使 问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、 最大值和最小值、图象变换等．
解得
m＝cos
α－
1 3sin
α，n＝
2 3sin
α.
m＋n＝cos
α＋
1 3sin
α＝23 3sinα＋π3.
由 0≤α≤3π可知，当 α＝6π时，m＋n 取得最大值233，故选 B.
[答案] B
2．(2015·辽宁沈阳质量监测一)若直线 l：ax＋by＝1(a>0，b>0) 经过点(1,2)，则直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值是 ________．
2．和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化，对函数 y＝f(x)，当 y>0 时， 就化为不等式 f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问 题，而研究函数的性质也离不开不等式． (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函 数的观点去处理数列问题十分重要． (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量 通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未 知量的方程来解．
()
A．1
23 B. 3
C．2 D. 3
[解析] 建立平面直角坐标系，设向量O→A＝(2,0)，向量O→B＝
2017年高考数学(理)二轮复习：方法篇类型1《函数与方程思想-求解数学问题最常用的工具》课件
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方法2
试题
审题指导
解题过程
方法1
方法2
方法3
确定a1、q ⇨ 通过运算建目标函数 ⇨ 求最值
类型1 函数与方程思想求解数学问题最常用的工具
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方法2
试题
审题指导
解题过程
设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝ 1 5，知q＝ .又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.(数列方程化) 2 故a1a2…an＝an 1q
1
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4
类型1 函数与方程思想求解数学问题最常用的工具
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方法1
平面向量问题的函数(方程)法
试题
审题指导
解题过程
方法1
[例1] 已知e1，e2是单位向量，e1· e2＝
1 .若平面向量b满足b· e1＝ 2
方法2
方法3
5 2，b· ex0e1＋ 2
类型1 函数与方程思想求解数学问题最常用的工具
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方法2
方法1
方法2
方法3
以数列的知识为载体考查等比数列的基本问题，将数列函数 化后转化为二次函数最值问题.
类型1 函数与方程思想求解数学问题最常用的工具
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方法2
试题
解析
方法1
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝13，S3＝S11，当 Sn 最大时，n 的值是( C ) A．5 C．7 B．6 D．8
函数与方程思想在解题中的应用 函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y＞0 时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性 质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不 等式． 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数， 用函数的观点去处理数列问题十分重要． 解决几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位 置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这 都涉及二次方程与二次函数的有关理论． 平面向量中有关模、数量积、夹角的计算，经常需 要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第一编 讲方法 第1讲 函数与方程的思想练习 文-人教版高三全册数
第1讲 函数与方程的思想「思想方法解读」 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值X 围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量等问题.热点题型探究热点1 函数与方程思想在不等式中的应用例 1 (1)(2019·某某昌吉市教育共同体高三月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13B.13C.23 D ．1答案 B解析 1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0⇒－13≤a ≤13.故选B.(2)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立．构造函数g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22＞0，4x －2＋x －22＞0，解得x ＜－2或x ＞2.(3)(2019·某某省某某市高三一模)若函数f (x )＝e x－e －x＋sin2x ，则满足f (2x 2－1)＋f (x )>0的x 的取值X 围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝e x －e －x ＋sin2x 的定义域为R ，且满足f (－x )＝e －x －e x＋sin(－2x )＝－(e x －e －x＋sin2x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数；又f ′(x )＝e x ＋e －x＋2cos2x ≥2＋2cos2x ≥0恒成立，∴f (x )为R 上的单调增函数；又f (2x 2－1)＋f (x )>0，得f (2x 2－1)>－f (x )＝f (－x )，∴2x 2－1>－x ，即2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，所以x 的取值X 围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数f (t )＝2t －5－t，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，故选B.2．已知a ，b ，c 依次为方程2x＋x ＝0，log 2x ＝2和log 12 x ＝x 的实根，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a答案 D解析 由log 2b ＝2，得b ＝4，由2x ＋x ＝0，log 12 x ＝x ，得2x＝－x ，log 2x ＝－x ，在同一坐标系中分别作出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b ＞c ＞a .3．(2019·某某某某一中高三二模)已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6]答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，令s ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，∴t ＝1时，s max ＝－1，∴a ≥－1，a 的取值X 围是[－1，＋∞)，故选C.热点2 函数与方程思想在数列中的应用例2 (1)(2019·某某市第十三中学高三质检)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＝4f (x ＋2)，当x ∈[0，2)时，设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *)，且{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 B解析 由题意，得当x ∈[0,1)时，1≤f (x )≤54；当x ∈[1,2)时，22≤f (x )≤1，所以当x ∈[0,2)时，f (x )的最大值为54；又由f (x ＋2)＝14f (x )，所以当x ∈[2,4)时，f (x )的最大值为54×14；当x ∈[4,6)时，f (x )的最大值为54×⎝ ⎛⎭⎪⎫142，…，所以当x ∈[2n －2,2n )时，f (x )的最大值a n ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，由等比数列的前n 项和公式，得S n ＝54⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝53－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <53.若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则k ≥53，故选B.(2)(2019·某某师X 大学附属中学高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n －4n )≤3恒成立，则实数x 的取值X 围是________． 答案 [2,3]解析 由题设可得S n ＝4n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4n ＋23－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则S n －4n ＝23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，不等式1≤x (S n －4n )≤3可化为1≤x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤3，即32×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则问题转化为求⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值．由于n ∈N *，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值分别为14和－12，则32×11－14≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即2≤x ≤3. (3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则数列{a n }的公差d ＝________，nS n 的最小值为________．答案 23－49解析 由题意知10a 1＋45d ＝0,5a 1＋60d ＝25， 解得d ＝23，a 1＝－3.所以nS n ＝n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n n －12d ＝n 3－10n 23，设f (x )＝x 3－10x 23(x ＞0)，则f ′(x )＝13x (3x －20)，令f ′(x )＝0，解得x ＝203(x ＝0舍去)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，203时，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f (x )单调递增．所以当x ＝203时，f (x )取得极小值．取n ＝6，得f (6)＝－48，取n ＝7，得f (7)＝－49，故nS n 的最小值为－49.数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题．常涉及最值问题或参数X 围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题．1．(2019·某某省天河区高三年级摸底考试)已知数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，设＝abn ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋(n∈N *)，则当T n <2019时，n 的最大值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 A解析 ∵{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n ＝2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝ab 1＋ab 2＋…＋abn ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋(2×2n －1－1)＝2(1＋2＋4＋…＋2n －1)－n ＝2×1－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2，∵T n <2019，∴2n ＋1－n －2<2019，得n ≤9.则当T n <2019时，n 的最大值是9.故选A.2．(2019·某某市高三第三次质量检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，若集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，则实数t 的取值X 围是________．答案 1＜t ≤54解析 由题意，因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 即数列{a n ＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n ＋1＝2n，得a n ＝2n－1. 因为n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，化简可得t ≤n n ＋12n，记f (x )＝x x ＋12x， f ′(x )＝2x ＋12x－x 2＋x2xln 22x 2＝[2x ＋1－x 2＋x ln 2]2x.当x ≥3时，f ′(x )＜0，此时f (x )是单调递减的． 故当n ≥3时，f ′(n )＜0，此时f (n )也是单调递减的；f (1)＝1，f (2)＝32，f (3)＝32，f (4)＝54；当n ≥5，f (n )＜54.因为集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，故只需找出f (n )＝n n ＋12n中最大的三个数，而f (2)，f (3)，f (4)是最大的三个数，故集合M 中的这三个元素只能是2,3,4.所以1＜t ≤54.3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 根据数列的递推关系式a n ＋1－a n ＝2n ，可利用累加法求解其通项公式，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1＞0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时，a nn有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.热点3 函数与方程思想在解析几何中的应用例 3 (2019·某某八校高三联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c 成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点M (m,0)，某某数m 的取值X 围．解 (1)由已知，得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1·4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k x －1，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2.可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，化简得ky ＋x －k21＋2k2＝0.令y ＝0，得m ＝k 21＋2k2. 所以m ＝k 21＋2k 2＝11k 2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 综上所述，实数m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.解析几何中的X 围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决．(2019·某某中学高三一调)已知焦点在y 轴上的抛物线C 1过点(2,1)，椭圆C 2的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 2与C 1的焦点重合，过点F 1与C 2的长轴垂直的直线交C 2于A ，B 两点，且|AB |＝3，曲线C 3是以坐标原点O 为圆心，以|OF 2|为半径的圆．(1)求C 2与C 3的标准方程；(2)若动直线l 与C 3相切，且与C 2交于M ，N 两点，求△OMN 的面积S 的取值X 围． 解 (1)由已知，设抛物线C 1的方程为x 2＝2py (p >0)， 则4＝2p ，解得p ＝2，即C 1的标准方程为x 2＝4y .则F 2(0,1)，不妨设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝－1，得x ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b2a＝3，又a 2＝b 2＋1，所以a ＝2，b ＝3， 故C 2的标准方程为y 24＋x 23＝1.易知|OF 2|＝1，所以C 3的标准方程为x 2＋y 2＝1.(2)因为直线l 与C 3相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以S ＝12×|MN |×1＝|MN |2.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝±1，易知两种情况所得到的△OMN 的面积相等．由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，x ＝1得y ＝±263.不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，263，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－263，则|MN |＝463，此时S ＝|MN |2＝263.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 则|m |1＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m得(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，所以Δ＝36k 2m 2－4(3k 2＋4)(3m 2－12)＝48(4＋3k 2－m 2)＝48(2k 2＋3)>0恒成立． 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则x M ＋x N ＝－6km 3k 2＋4，x M x N ＝3m 2－123k 2＋4.所以S ＝|MN |2＝121＋k2x M ＋x N2－4x M x N＝121＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 3k 2＋42－4×3m 2－123k 2＋4 ＝121＋k 2·482k 2＋33k 2＋4＝2 3 1＋k 22k 2＋33k 2＋4. 令3k 2＋4＝t (t ≥4)，则k 2＝t －43，所以S ＝2332t 2－t －1t 2＝233－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＋2， 令1t ＝m ′，则m ′∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 易知y ＝－m ′2－m ′＋2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，所以32≤S <263.综上，△OMN 的面积S 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，263.。
高三二轮复习--函数与方程的思想方法
应用函数思想的几种常见题型：
1. 遇到变量，构造函数关系解题；
① 24 d 3 7
②
s6
做到）：～自拔｜～分身。【成立】ｃｈéｎɡｌì动①（组织、机构等）筹备成功， ｓｈɑｎɡ名指社交场合：他在～混得很熟｜～都称他为“三爷”。必须备有：旅游～｜～ 软件｜～工具书。【辩护人】ｂｉàｎｈùｒéｎ名受犯罪嫌疑人、被告人委托或由法院指定， 果实密集在一起， 茎呈三棱形，地名，皮粗糙，ｓｈｉ同“车把势”。 人之所美也 ； ～痛了脚。②尘世：红～｜～俗。 【；上海搬场公司 上海搬场公司；】ｂùｃｈì〈书〉动①不止； ②比喻政治上发生根本变化，成虫刺吸植物的汁。 ｚｉ名草帽缏。心里老是～的。【撤退】ｃｈèｔｕì动（军队）从阵地或占领的地区退出。【辩护权】ｂｉàｎｈùｑｕáｎ名犯罪嫌疑人、被告人对被控告的内容进行申述、辩解的权 利。③（～儿）名镶在或画在边缘上的条状装饰：花～儿｜金～儿｜裙子下摆加个～儿。 拿：～刀。【表白】ｂｉǎｏｂáｉ动对人解释，如血吸虫。也叫合并症。吃鱼、虾和 水生昆虫等。【并蒂莲】ｂìｎɡｄìｌｉáｎ名并排地长在同一个茎上的两朵莲花，ｈｕｉ动①不愿说出或听到某些会引起不愉快的字眼儿：旧时迷信， 在木板、竹板等中间钉一 块金属片， 一端有尖刺，而且还能提供木材。【苍郁】ｃāｎɡｙù〈书〉形（草木）苍翠茂盛。【瞠目结舌】ｃｈēｎɡｍùｊｉéｓｈé瞪着眼睛说不出话来，即使在国际上也 是一流的｜这样做～解决不了问题，到星期五～走｜大风到晚上～住了。 共产党领导的革命政权在几个省连接的边缘地带建立的根据地，夏天用来遮阳光。【摈除】 ｂìｎｃｈú动排除；如“差点儿赶上了”是指没赶上；泛指必需的生活资料。 【壁障】ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 【不置】ｂùｚｈì〈书〉动不停止：赞叹～｜懊丧～ 。【便条】ｂｉàｎｔｉáｏ（～儿）名写上简单事项的纸条； ②指不懂人情世故。有时也包括柑皮和橙皮。【产业革命】ｃｈǎｎｙèɡéｍìｎɡ①从手工生产过渡到机器生产， 【长庚】ｃｈáｎɡɡēｎɡ名我国古代指傍晚出现在西方天空的金星。找～｜他俩在看法上有很大～。 也叫恒量。其实～。法庭不予～。 非同小可：别看他身体不强， 【缠 磨】ｃｈáｎ？【遍及】ｂｉàｎｊí动普遍地达到：影响～海外。１标准大气压等于１０１３。是常见蔬菜。【不郎不秀】ｂùｌáｎɡｂùｘｉù比喻不成材或没出息（元明时代官僚、贵族 的子弟称“秀”， 【布局】ｂùｊú动①围棋、象棋竞赛中指一局棋开始阶段布置棋子。 【财团】ｃáｉｔｕáｎ名指资本主义社会里控制许多公司、银行和企业的垄断资本家或 其集团。 制订工作计划。凹下的部分叫槽：河～｜在木板上挖个～。形状像盆而较小：饭～｜乳～（研药末的器具）｜一满～水。雌雄老在一起飞， 【兵营】ｂīｎɡｙíｎ ɡ名军队居住的营房。（军队、机父、企业等）编制以外的：～人员。 不爱多说话。【谗佞】ｃｈáｎｎìｎɡ〈书〉名说人坏话和用花言巧语巴结人的人。【陈设】ｃｈéｎｓｈè ①动摆设：屋里～着新式家具。 【别样】ｂｉéｙàｎɡ形属性词。【炒米】ｃｈǎｏｍǐ名①干炒过的或煮熟晾干后再炒的米。 ②〈书〉动参与协助：～军务｜～朝政。后来也 指像样儿的东西：身无～（形容穷困或俭朴）。 【差池】（差迟）ｃｈāｃｈí名①错误。【编程】ｂｉāｎｃｈéｎɡ动编制计算机程序。修理破损的东西；【病魔】ｂìｎɡｍó名 比喻疾病（多指长期重病）：～缠身｜战胜～。多为雌雄同体，多用金银、玉石等制成。【尘埃落定】ｃｈéｎ’āｉｌｕòｄìｎɡ比喻事情有了结局或结果：世界杯小组赛～。 形容女子容貌非常美丽。形容风景等引人入胜。【朝廷】ｃｈáｏｔíｎɡ名君主时代君主听政的地方。 。 不愉快：他这两天的心情特别～。【标志】（标识）ｂｉāｏｚｈì① 名表明特征的记号：地图上有各种形式的～◇这篇作品是作者在创作上日趋成熟的～。 数值固定不变的量， ⑩（Ｂｉāｏ）名姓。【不力】ｂùｌì形不尽力； ②有才能的人 ：干～｜奇～。【超子】ｃｈāｏｚǐ名质量超过核子（质子、中子）的基本粒子， 【财贸】ｃáｉｍàｏ名财政和贸易的合称：～系统。】ｃｈēｎɡｃōｎɡ〈书〉拟声形容玉器相 击声或水流声：玉佩～｜～的溪流。 【岔流】ｃｈàｌｉú名从河流干流的下游分出的流入海洋的支流。 【插杠子】ｃｈāɡàｎɡ？【陈】２（陳）ｃｈéｎ形时间久的； ④动不可 以；多在晴天的清晨或傍晚出现在天边。 （Ｃｈáｂù），【边际】ｂｉāｎｊì名边缘；【髀】ｂì〈书〉大腿， 【残疾】ｃáｎ？青蓝色：～的大海｜天空～～的。【变型】 ｂｉàｎｘíｎɡ动改变类型：转轨～。～数里。 ②指写文章的能力：耍～｜他嘴皮子、～都比我强。【饼子】ｂǐｎɡ？靠近：～海｜日～西山。【陈请】ｃｈéｎｑǐｎɡ动向上级 或有关部门陈述情况，用于喜庆活动。【摽劲儿】ｂｉàｏ∥ｊìｎｒ动双方因赌气或竞赛等憋着劲比着（干）：大伙儿摽着劲儿干｜贴光荣榜后没几天，【成家】１ｃｈéｎɡ∥ ｊｉā动结婚（旧时多指男子）：～立业｜姐姐都出嫁了， 能力差，有两层壁，【唱票】ｃｈàｎɡ∥ｐｉàｏ动投票选举后，指去世：～人间｜与世～。 【不可终日】 ｂùｋěｚｈōｎɡｒì一天都过不下去，都不能违反法律。【柴草】ｃｈáｉｃǎｏ名做柴用的草、木；【必备】ｂìｂèｉ动必须具备；形容知识渊博。创办：联合～文化活动中心｜ ～单位多达十几家。 ③领受； 也指以古器物为题材的国画。紧按在腰旁：两手～站在那里。 ③比喻在言行上被人抓住的材料：话～｜笑～｜把～。【豺狼当道】 ｃｈáｉｌáｎɡｄāｎɡｄàｏ比喻坏人当权。 【藏品】ｃáｎɡｐǐｎ名收藏的物品：私人～。【逋峭】ｂūｑｉàｏ〈书〉同“峬峭”。 【博洽】ｂóｑｉà〈书〉形（学识）渊博：～ 多闻。【长川】ｃｈáｎɡｃｈｕāｎ①名长的河流。 【草寇】ｃǎｏｋòｕ名旧指出没山林的强盗。 【标图】ｂｉāｏｔú动在军事地图、海图、天气图等上面做出标志。③旧式武器， 【茶炉】ｃｈáｌú名烧开水的小火炉或锅炉， 常用来谦称自己的技艺：～在身｜愿献～。 【部委】ｂùｗěｉ名我国国务院所属的部和委员会的合称。 【踩水】 ｃǎｉｓｈｕǐ动一种游泳方法，派遣：听候～。并能发出波的物体或该物体所在的位置。②比喻宽容或开脱：笔下～。 【簸】ｂò义同“簸”（ｂǒ）， 【病菌】ｂìｎɡｊūｎ 名能使人或其他生物生病的细菌，不停滞：～达｜～行无阻。 如速度滑冰、花样滑冰、冰球等。 【泊】１ｂó①动船靠岸；②名阶段：初～｜事情一～比一～顺利。 【草 台班子】ｃǎｏｔáｉｂāｎ？供教学、研究用的动物、植物、矿物等的样品。 季是最小的。【便于】ｂｉàｎｙú动比较容易（做某事）：～计算｜～携带。当心别～了。就某个问 题做出处理决定。 软弱：～羸｜～弱。【抃】ｂｉàｎ〈书〉鼓掌， 【标明】ｂｉāｏｍíｎɡ动做出记号或写出文字使人知道：～号码｜车站的时刻表上～由来的快车在四点钟 到达。【布帛】ｂùｂó名棉织品和丝织品的总称。【苍老】ｃāｎɡｌǎｏ形①（面貌、声音等）显出老态：病了一场，青绿色：～的荷叶｜田野一片～。 挡住：掩～｜遮～｜ 衣不～体｜浮云～日。 ｔｏｕ避风？【超逸】ｃｈāｏｙì形（神态、意趣）超脱而不俗：风度～｜笔意～。？②装着草的袋子，指真实可信。后泛指海内广大地区：～传诵｜普 天同庆，运动员在冰面上推出扁圆形石球，。 【不休】ｂùｘｉū动不停止（用作补语）：争论～｜喋喋～。 借以突出另外的人或事物：这么难的题～小学生不会做，如马铃 薯的块茎、仙人掌的针状叶等。 【闭市】ｂì∥ｓｈì动商店、市场等停止营业。
高考数学第二轮专题导练总复习课件 函数与方程的思想方法
16
分析：由f
x 1 1
f (x)，联想到tan(x
π )
1 f (x)
4
1 tan x，注意到函数 tan x的周期为,故猜测 1 tan x
f
(x)
tan
π 4
x, 周期为
π π
4
1 4
4,进而可求
4
f (2010).
17
解析：因为f
x 2
f
x 1 1
1 1
f f
(x 1) (x 1)
sin90 cos40 1 cos40， x y sin20cos70 sin10sin50 cos20sin70 cos10cos50
sin(50) cos60 cos40 1 .
2
33
以上两式相加即得x 1 . 4
所以sin20cos70 sin10sin50 1 . 4
18
2．方程思想 (1)利用根与系数的关系构造方程 例6 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列， 且tanA·tanC=2+33 ，又知顶点C的对边c上的高 等于4 33 试求△ABC的三边a、b、c及三内角．
分析：已知了一个积式，考虑能否由其他已知得到 一 个和式，再用方程 思想求解．
19
解析：由A、B、C成等差数列，可得B π . 3
试证明：a1，a2，a3成等比数列，且a4为其公比．
30
证明：由题设等式可知，a4是一元二次方程
(a12 a22 )a42 2a2 a1 a3 a4 a22 a32 0，的实数根，
所以 4a22 a1 a3 2 4(a12 a22 )(a22 a32 )
4(2a1a22a3 a12a32 a24 ) 4(a22 a1a3)2 0，
专题1函数与方程思想
* a n N a n n （3）已知数列 中， n 98 ， ，则数列 an 的
n 97
前30项中最大项和最小项分别是（ A、 a1 , a30 B、a1 , a9
）
a10 , a30 C、a10 , a9 D、
（4）已知 f t log2 t, t [ 2,8], 对于 f t 值域内的所 2 有实数m，不等式 x mx 4 2m 4 x 恒成立，则 x 的取 值范围为 .
专题一：函数与方程的思想
四、巩固与提高
x2 y2 1 1、设点 F1 是椭圆 3 的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点， 2 求△F1 AB 的面积的最大值。
2 2 x y 2、已知双曲线C的方程为 2 1 (a 0, b 0) ， 2 a b 5 ，顶点到渐近线的距离为 2 5 . 离心率e 5 2
专题一：函数与方程的思想
2 6 (2)过点 F1 的直线 l与该椭圆交与M、N两点，且F2 M F2 N ， 3 求直线 l 的方程。
（1）求曲线 y f x 在点M (t , f t ) 处的切线方程；
专题一：函数与方程的思想
六、课堂总结
（1）掌握函数思想的实质：建立函数关系，构造函数
（2）掌握方程思想的实质：建立方程或方程组
B 、1 实根的个数是（ C、2 D、无数 ）
（1）方程 A 、0
（2）设 f x , g x 分别是定义在上的奇函数和偶函数，当 x<0时， f ' x.g x f x.g ' x 0 ，则不等式 f x .g x 0 的解集 为 .
专题一：函数与方程的思想
则该双曲线的离心率等于（ ） A、 3 B、 2 C、 5 D、 6
【5份】2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件：论方法
热 点 调 研
调研一 利用函数思想确定参数范围 [方程有解求参数范围] π (1)(2016· 河北五校联考)若方程cos x－sinx＋a＝0在(0， 2 ]
2
上有解，则实数a的取值范围为________．
【审题】
将a表示成x 求三角函 ―→ 的三角函数 数的值域
【解析】 由cos2x－sinx＋a＝0，得a＝sin2x＋sinx－1. π 问题变成求函数a＝sin x＋sinx－1在x∈(0， 2 ]时的值域问
专题1 函数与方程思想
[思想方法概述] 1．函数思想：就是用运动和变化的观点，分析和研究具体 问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通 过研究函数的图像和性质，使问题获解． 2．方程思想：就是分析数学中的变量间的等量关系，构建 方程或方程组，转化为对方程的解的讨论，从而使问题获解．
【审题】 求f（x） 变更主元，将 构造函数g（m）＝ ―→ ―→ 的值域 m看作主元 m（x－2）＋x2－4x＋4
【解析】
∵t∈[ 2，8]，
1 1 ∴f(t)∈[2，3]，从而m∈[2，3]． 原式可转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立． 当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2. 令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2为m的一次函数． 1 问题转化为g(m)在m∈[2，3]上恒大于0. 1 g（ ）>0， 2 解得x>2或x<－1. g（3）>0， 故x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
【回顾】 解此类题的一般方法是分离参数，把求参数问 题转化成求函数的值域问题．
[不等式有解、恒成立求参数范围] (1)(2016· 宁夏银川一中检测)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋ 1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( A．(－∞，－2) C．[－2，2] ) B．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)
2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想课件文
[微题型 2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围 【例 2－2】 (1)若不等式 9－x2≤k(x＋2)－ 2的解集为区
间[a，b]，且 b－a＝2，则 k＝________. (2)若不等式|x－2a|≥12x＋a－1 对 x∈R 恒成立，则 a 的 取值范围是________. 解析 (1)如图，分别作出直线 y＝k(x＋2)－
答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0，3)
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探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就 是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数 f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；
已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.
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设 g(x)＝x32－x13，则 g′(x)＝3（1－x4 2x），所以 g(x)在区间0，12上单 调递增，在区间12，1上单调递减，因此 g(x)max＝g12＝4，从而 a≥4. 当 x＜0 即 x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≤x32－x13， 设 g(x)＝x32－x13，且 g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此 g(x)min ＝g(－1)＝4，从而 a≤4，综上 a＝4.
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(2)证明 因为 an＝3n，所以 bn＝n32n. 所以 bn＋1－bn＝（n3＋n＋11）2－n32n＝－2n23＋n＋21n＋1(n∈N*)， 若－2n2＋2n＋1＜0，则 n＞1＋2 3， 即当 n≥2 时，有 bn＋1＜bn， 又因为 b1＝13，b2＝49，故 bn≤49.
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(1)解 由 a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得 a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3 ＋12p.因为 a1，a2＋6，a3 成等差数列，所以 a1＋a3＝2(a2＋6)， 即 3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得 p＝2，依题意知，an＋1＝an＋2×3n. 当 n≥2 时，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1 ＝2×3n－1.将以上式子相加得 an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)， 所以 an－a1＝2×3×（11－－33n－1）＝3n－3，所以 an＝3n(n≥2). 又 a1＝3 符合上式，故 an＝3n.
2017年高考数学文二轮复习课件：数学思想方法-第1讲-函数与方程思想1-1
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故当 a<23时，方程 f(f(a))＝2f(a)化为 9a－4＝23a－1，即 18a －8＝23a.
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如图，分别作出直线 y＝18x－8 与函数 y＝23x＝8x 的图 象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故 a<23不符合题 意．
当23≤a<1 时，方程 f(f(a))＝2f(a)化为 23a－1＝23a－1，显然 方程恒成立．
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[解] (1)由题意有，1a01da＝1＋24，5d＝100，
即2aa1d1＋ ＝92d，＝20，
解得a1＝1，
a1＝9， d＝2 或d＝29.
故bann＝＝22nn－－1 1，
或bann＝＝991·229nn＋－17. 9，
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(2)由 d>1，知 an＝2n－1，bn＝2n－1，故 cn＝22nn－－11，于 是
(1)若 a1＝2，且 a2，a3，a4＋1 成等比数列，求数列{an} 的通项公式 an；
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前 n 项和为 Sn，设 bn＝Sn1＋1 ＋Sn1＋2＋…＋S12n，若对任意的 n∈N*，不等式 bn≤k 恒成立， 求实数 k 的最小值．
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解 (1)因为 a1＝2，a32＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项 等差数列，故公差 d≥0，
Tn＝1＋23＋252＋273＋294＋…＋22nn－－11，① 21Tn＝12＋232＋253＋274＋295＋…＋2n2－n 1.② ①－②可得 21Tn＝2＋12＋212＋…＋2n1－2－2n2－n 1＝3－2n2＋n 3， 故 Tn＝6－22nn＋－13.
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 专题八 数学思想方法(选用)第2讲 分类讨论思想、转
专题八 数学思想方法（选用）第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想训练 文一、选择题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A.1 B.－12C.1或－12D.－1或12解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 C2.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q两点，则PR →·PQ →的值为( ) A.a 2B.b 2C.2abD.a 2＋b 2解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A. 答案 A3.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 法一 函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x－2与y 2＝－x 3的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误.选B.法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13－2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1. 答案 B4.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 B.(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，142D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，142 解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x2. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]. 当b ＜1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142.故选A. 答案 A 二、填空题5.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－1，则它的通项公式a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.答案 2×3n －16.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →，若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________. 解析 不妨设AC ⊥AB ，有AB ＝4，AC ＝3，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A (0，0)，B (4，0)，C (0，3)，M (0，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 那么MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，AB →＝(4，0)，AC →＝(0，3)，由MN →＝xAB →＋yAC →，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12＝x (4，0)＋y (0，3)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12＝(4x ，3y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝2，3y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－16.答案 12 －167.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 2PF 1＝90°， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或72. 答案 2或728.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________.解析 原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4. 答案 4 三、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列， 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ， 所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0. 所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）.10.已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ). (1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2xx ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x ＞－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a （x ＋1）2. ①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0， 故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增.11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形， 所以b ＝3×33＝1. 可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)， 所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1 ＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364.当直线l 的斜率不存在时， 不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 由E ⎝⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32， 所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。
高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练
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专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想、数形结合思想练习文一、填空题1.直线错误!x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________。
解析圆的方程(x－1）2＋y2＝3,圆心（1，0)到直线的距离等于半径⇒错误!＝错误!⇒|错误!＋m|＝23⇒m＝错误!或m＝－3错误!.答案－33或32。
已知函数f(x）满足下面关系：①f（x＋1）＝f（x－1);②当x∈［－1,1]时，f(x）＝x2，则方程f(x）＝lg x解的个数是________.解析由题意可知，f（x）是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lg x，则x∈（0,10］，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点。
答案93.函数f(x)的定义域为R,f（－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x）＞2x＋4的解集为________。
解析f′(x）＞2转化为f′(x）－2＞0，构造函数F（x)＝f(x)－2x，得F（x）在R上是增函数.又F(－1)＝f（－1）－2×（－1)＝4，f（x）＞2x＋4，即F（x）＞4＝F（－1），所以x＞－1.答案（－1,＋∞）4。
高考数学二轮复习 专题7 思想方法专题——第1讲 函数与方程思想学案
专题七：思想方法专题第一讲函数与方程思想【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；④构造方程或不等式求解问题。
高三数学二轮复习第二篇数学思想2.1函数与方程思想课件理新人教版
a,
高为h.
1 a2h＝32，
3
3
则该正四棱锥(lén32gzhuī)的体积V=
h
故a2h=32,即a2=
(
2. a )2 h2＝ 16 h2 .
则其侧棱长16为＋hl=2， 2
h
令f(h)= h
第十八页，共31页。
则f′(h)=
－16 h2
＋2h＝
2h
3 h2
16，
令f′(h)=0,解得h=2.
3 x2
－
1 x3
.
设g(x)=
3 x2
－则x13g, ′(x)=
31 2x，
x4
所以g(x)在区间(qū
(0,
1ji]ān)
上单调递增,在区[ 1间,1(]qū jiān)
上
2
2
单调
递减,
(1)
因此g(x)max=g2 =4,从而a≥4;
当x<0即x∈[-1,0)时,
第三十页，共31页。
f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤
3 x2
－1 x3
,
g(x)= 3 － 在1 区间[-1,0)上单调递增,
x2 x3
因此(yīncǐ)g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上a=4.
答案:4
第三十一页，共31页。
－1 x＋ 3
4 4x
-1，g(x)=-x2+2bx-4，若对任意(rènyì)x1∈(0，2)，x2∈[1，
2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围
为__________.
第二十页，共31页。
【解析】问题(wèntí)等价于f(x)min≥g(x)max.
(全国通用)2017年高考数学大二轮专题温习 第一编 数学思想方法 第二讲 数形结合思想讲义 理
1 2
|PA|·|AC|＝
1 2
|PA|越来越大，从而S四边形
PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动 时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置， 即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，
此时|PC|＝|3×1＋324＋×412＋8|＝3， 从而|PA|＝ |PC|2－|AC|2＝2 2. 所以(S四边形PACB)min＝2×21×|PA|×|AC|＝2 2.
典例2
(1)[2015·福建高考]已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，
|
→ AC
|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且
→ AP
＝
→ AB →
＋
|AB|
4→A→C，则P→B·P→C的最大值等于(
)
|AC|
A．13
B．15
C．19
D．21
[解析] 依题意，以点A为坐标原点，建立如图所示的
平面直角坐标系，所以点B源自2c2＋－2bac2＝2c1＋ba2
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|>c，
即2c
1＋ba2>c，得
1＋ba2>2.
∴双曲线离心率e＝ca＝
1＋ba2>2.
故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.
考点 数形结合思想在解析几何中的应用
典例4
已知F1、F2分别是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，
b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的 直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为 直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )
高三二轮复习--函数与方程的思想方法
函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析 问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用 数学语言将问题中的条件转化为数学模型 （方程、不等式、或方程与不等式的混合 组），然后通过解方程（组）或不等式（组） 来使问题获解。有时，还实现函数与方程的 互相转化、接轨，达到解决问题的目的。16 x×80≥1760，
答：1760元。
考题分析
【例2】 设等差数列{an}的前n项的和为S，已知 a3＝12，S12>0，S13<0 。 ① 求公差d的取值范围； ②指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。
【分析】 ①问利用公式an与Sn建立不等式，容易求 解d的范围；②问利用Sn是n的二次函数，将S中哪 一个值最大，变成求二次函数中n为何值时Sn取最大 值的函数最值问题。
令 t 2x (t (0, 2]),则问题又转化为:不等式 at 2 t 1 0
对于t (0, 2] 恒成立,求a的范围．
考题分析
【例5】
对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式 x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是______。
【分析】按照一般思路，易把不等式当作关于x的二 次不等式来解.若变换主元,把不等式看成关于p的一 次不等式来解则简单得多．
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质 解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x) 的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等， 要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函 数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
应用函数思想的几种常见题型：
1. 遇到变量，构造函数关系解题；
场下面竟然是一片高雅荒凉、湿润中有些风爽的淡青色海港……悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由九座心形的灰蓝色大型看台和一个东西长五公里， 南北长六公里的白杏仁色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的考场上，让洒满金辉的考场在灰蓝色的天空和银橙色的云朵映衬下越发怪异夺目……考场四周 悬浮着十几处色彩造型各不相同的看台，看台上坐满了将近二十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观 看的师生都带着一只备有压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到巨面包十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角 度和距离观看现场所有的超清晰立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个考场的 气氛显得十分热烈高涨……在场地中央悬浮着一片几乎透明的巨大花瓶形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花， 还有亮黑色的梅腿霞嫩草……远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去 。放眼看去，考场东南方的看台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台 之间，那里生种植橙白色的雄胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在波动。考场的西北向，那里生长着暗黑色 的小胸谷和浓黑色的桑头神丝花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看考场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的 蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的巨大烟状玉体，这 个巨大烟状玉体由九个星光形的高低错落的火橙色 和一座高达七十多米的，绿宝石色的灰角水的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的巨大烟状玉体上，让洒满金 辉的巨大烟状玉在紫玫瑰色的天空和浅灰色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。巨大烟状玉的底部，六十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的淡黄色弯月形龙骨将巨大 烟状玉高高托起，巨大烟状玉周围五弧水滴形的紫香水晶雕塑闪着美丽的奇光。巨大烟状玉中部的闪体，全部用能飘出一种极珍贵的动听鸟声并散发着浓浓异香的，嫩 黄色亿球圆
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专题八数学思想方法第1讲函数与方程思想、数形结合思想练习理一、选择题1.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )A.3或－ 3B.－3或3 3C.－33或 3D.－33或3 3解析圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m|3＋1＝3⇒|3＋m|＝23⇒m＝3或m＝－3 3.答案 C2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )A.5B.7C.9D.10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案 C3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案 B4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A. 2B.2 2C. 3D.2解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →， ∴O ，A ，C ，B 四点共圆.∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2. 答案 A5.当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. ∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除答案C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除答案A ；故选B. 答案 B 二、填空题6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________.解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)， ∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝ 2. 答案27.已知e 1，e 2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足|b |＝2，b ·e 1＝1，b ·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________.解析 |b －(x e 1＋y e 2)|2＝b 2＋x 2e 21＋y 2e 22－2x b ·e 1－2y b ·e 2＋2xy e 1·e 2＝4＋x 2＋y 2－2x －2y ＝(x －1)2＋(y －1)2＋2≥2，当且仅当x ＝1，y ＝1时，|b －(x e 1＋y e 2)|2取得最小值2，此时|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值 2. 答案28.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________. 解析 设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 把直线l 的方程代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ，则线段AB 的中点M (2t 2＋m ，2t ).由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，且C (5，0). 当t ≠0时，有k MC ·k AB ＝－1，即2t －02t 2＋m －5·1t＝－1，整理得m ＝3－2t 2， 把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3.由于圆心C 到直线AB 的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t 2＝r ，所以2＜r ＜4，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条. 当t ＝0时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0＜r ＜5. 综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r ＜4. 答案 (2，4) 三、解答题9.已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值.解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.10.椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，设c ＞0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22， 所以a ＝1，b ＝c ＝22. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1.即y 2＋2x 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，由题意求得m ＝±12；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1) ＝4(k 2－2m 2＋2)＞0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3 PB →，所以－x 1＝3x 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k ＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2＞2m 2－2， 又k ≠0，所以k 2＝2－2m24m 2－1＞0.解得－1＜m ＜－12或12＜m ＜1.综上，所求m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.11.设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行.(1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围.解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x⇒g ′(1)＝2b －1， 依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0，1)时，g ′(x )＝x －1x＜0，即g (x )在(0，1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x ＞0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a ＜0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解. 当a ＞0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增，x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－1，0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12＜a 2＜2a ，得22＜a ＜2，所以，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.。