数列的最大与最小项问题
高考数学压轴数列的最值题型分类专题
高考数学压轴数列的最值题型分类专题题型一、求数列n a 的最大项、最小项求解数列的最大项最小项通常采用 ①利用均值不等式求最值②解不等式组 1+≥n n a a ，1-≥n n a a ③构造函数利用单调性法④根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项.1. 基本不等式法例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a2.解不等式组例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a变式练习：（1） 已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（2）已知等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且15,1054≤≥T T ,求的最大值4a（3）已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（4）已知数列}{n a 的通项公式nn n n a 11)1(10+=，试求出该数列的最大项.3.构造函数利用单调性 （若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列）例 1 数列}{n a 中，20172016--=n n a n ,则该数列中的最大项与最小项分别是__________例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2x x 2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f na==（1）求n a 。
（2）求{}n a 的最小项变式练习： （1）已知)N n (98n 97n a n*∈--=则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是_____。
（2） 已知)N n (n131211S n *∈++++= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。
（3） 已知数列)N n (156n n a 2n*∈+=，则该数列中的最大项是第几项？（4） 已知无穷数列{}n a 的通项公式nn n 10)1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。
高三数学数列试题答案及解析
高三数学数列试题答案及解析1.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为________【答案】【解析】由题意，，，所以，则时，，两式相减得，，也适合此式，故.【考点】新定义与数列的通项公式.2.已知数列的通项公式an＝ (n∈N*)，求数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为a10，最小项为a9【解析】∵an ＝1＋，∴当n≤9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10≤n≤30时，a n 随着n的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a10，最小项为a9.3.（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的的值.（Ⅲ）记，是否存在实数M，使得对一切恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由。
【答案】，2/9【解析】19. 解：（Ⅰ）当时，，由，得．当时，，，∴，即．∴．∴是以为首项，为公比的等比数列．故．………………6分（Ⅱ），，………………8分………10分解方程，得………………12分（2）解法一：，由错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，当，又故存在实数M，使得对一切M的最小值为2/9。
4.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如题15图所示的数表，其中的第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为则_____________.【答案】【解析】略5.设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】在等差数列中，成等差数列。
因为，，所以。
故选Ｂ。
【考点】等差数列的性质点评：在等差数列中，成等差数列。
6.（本小题满分14分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为。
（1）求数列的通项公式；（2）证明：。
【答案】（1）；（2）证明见解析。
【解析】（1）设直线：，联立得：，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即。
数列的最大与最小项问题
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
一、研究 an+1与 an的关系：
(1)作差法,主要是作差之后的变形,与零的大小比较是关键,
(2)作商法,主要是作商后能够约掉因式进行变形,再与1比较
（III）指出 S1 , S2 , , Sn 中哪一个最小？说明理由.
a1 a2
an
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
三．研究数列 an f (n) 的正数与负数项的情况，分类或缩小范围研究，这是
求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最大值或最小值的一种重要方法.
3．已知数列 {an } 的通项公式为 an
n n
2002 2003
,
则{an
}中
，下列说法正确的是
___A____
A．存在最大项与最小项.
B．存在最大项,不存在最小项.
C．存在最小项，不存在最大项. D．既不存在最大项，也不存在最小项.
4．数列 {an
100n n!
}(n
1,2,3,
)
的最大项是a_9_9___a_10_0__.19090!99
例：首项为负数的等差数列 {an}，它的前4项之和与前11项之和 相等，问此数列前多少项之和最小？
变式：设等差数列{an } 的前 n 项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0,
（I）求公差 d 的取值范围；
（II）指出 S1, S2 , , Sn 中哪一个最大？说明理由；
若求最大项,则 an 满足
第二章 专题突破二数列的单调性和最大(小)项
专题突破二 数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二 设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1 ＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *，∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项． 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值． 解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为 ． 答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1， ∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－11，－9)解析 根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列 答案 C解析 令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项B ．第3项C ．第2项或第3项D ．不存在 答案 C解析 易知，a n ＝1n ＋6n.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减． 又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第 项． 答案 5解析 易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小． 又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．答案 (2,3)解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上． 因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)． 三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围． 解 因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1， 故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n .(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0， 当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0， 即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减， n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生． 由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第 项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *， 所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值． 解 列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n≤5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．。
第二章 数列 专题突破二 数列的单调性和最大(小)项
专题突破二 数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二 设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *， ∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项． 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值． 解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为 ． 答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－11，－9)解析 根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D 解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上． ∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列 答案 C解析 令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项B ．第3项C ．第2项或第3项D ．不存在 答案 C解析 易知，a n ＝1n ＋6n.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减． 又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第 项． 答案 5解析 易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小． 又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．答案 (2,3)解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上． 因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3， 故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围． 解 因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1， 故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n. (1)判断{a n }的单调性；(2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *， 当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第 项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *， 所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值． 解 列表图象如图所示．由数列的图象知， 当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。
数列中的最大最小项问题20题解析
数列中的最大最小项问题20题一、单选题1．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且11a >，202120221a a >，20212022101a a -<-，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．2021202210S S ->C ．2022T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值2．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a --<，则下列选项错误的是（）A ．01q <<B ．202020211S S +>C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >【答案】D【分析】根据题意，分析可得20201a >，20211a <，从而有11a >，01q <<，则等比数列{}n a 为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可．【详解】等比数列{}n a 的公比为q ，若202020211a a >，则2019202024039111()()()()1a q a q a q =>，由11a >，可得0q >，则数列{}n a 各项均为正值，若20202021(1)(1)0a a --<，当1q ≥时，由11a >则1n a >恒成立，显然不适合，故01q <<，且20201a >，202101a <<，故A 正确；因为202101a <<，所以20202020202120211S S a S +>+=，故B 正确；根据122020202110a a a a >>⋯>>>>⋯>，可知2020T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确；由等比数列的性质可得21404124040202020222021a a a a a a a ==⋯==，202101a <<所以4041404112404120211T a a a a =⋯=<，故D 错误．故选：D ．3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10n n a n == ，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（）A ．()9102,2B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,24．（2021·北京房山·高三开学考试）已知等比数列{}n a 中，1n n a q +=，那么“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质判断即可【详解】当01q <<时，可知1n n a q +=递减，所以1a 为数列{}n a 的最大项，当1a 为数列{}n a 的最大项时，则12a a >，所以23q q >，解得1q <且0q ≠，所以“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的充分而不必要条件，故选：A二、多选题5．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（）A ．20192020S S <B ．2019202110a a ⋅-<C ．2020T 是数列{}n T 中的最大值D ．若1n T >，则n 最大为4038．【答案】ABD【分析】先根据题意可确定01q <<，根据20200a >可判断A ；根据等比数列的性质结合6．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论其中正确的结论是（）A ．01q <<B ．10010110a a -<C ．100T 的值是n T 中最大的D ．T 99的值是Tn 中最大的7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211a a a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>，则（）A ．20211a >B ．当2021n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=8．（2023·全国·高三专题练习）设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT 的最大值【答案】BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，9．（2022·山东·邹平市第一中学高三期中）已知等差数列{}n a ，前n 项和为202312022,0,1n a S a a ><-，则下列结论正确的是（）A ．20220a >B ．n S 的最大值为2023S C ．n a 的最小值为2022a D ．40440S <10．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）公差为d 的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列选项，正确的有（）A ．d ＞0B ．0n a >时，n 的最大值为9C ．n S 有最小值D ．0n S >时，n 的最大值为1711．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为67,n S S S <，且78S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【答案】AD【分析】根据67S S <，且78S S >，可推出70a >，8780a a a <>，，故0d <，可判断AD 正确，B 错误，结合等差数列的性质可判断103770S S a -=>，判断C.【详解】{}n a 为等差数列，∵67S S <，且78S S >，∴7678787800S S a S S a a a -=>-=<>，，，即0d <，∴{an }是递减等差数列，1a 最大，当7n ≤时，0n a >，当8n ≥时，0n a <，故AD 正确，B 错误，10310987654770S S a a a a a a a a ++++=++-=>，则103S S ≠，故C 错误，故选：AD ．12．（2022·河北·石家庄二中高二期末）等差数列{}n a 中，6778,S S S S <>，则下列命题中为真命题的是（）A ．公差0d <B ．96S S <C ．7a 是各项中最大的项D ．7S 是n S 中最大的值【答案】ABD【分析】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，所以870d a a =-<，且各项中最大的项为1a ，故A 正确，C 错误；96987830S S a a a a -=++=<，所以96S S <，故B 正确；因为780,0a a ><，等差数列{}n a 递减，所以7S 最大，故D 正确；故选：ABD13．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，若981a a <-，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则下列结论正确的是（）A ．{}n a 中的最大值为8aB ．n S 的最大值为8SC ．170S >D ．160S <14．（2022·黑龙江·哈九中高二期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，70a <，则（）A ．60a >B ．43d -<<-C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项15．（2021·全国·高二专题练习）已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，0d <，则（）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 没有最小值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值16．（2020·江苏省句容高级中学高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的首项是正数，记n S 为数列的前n 项和，若1232020a a a S ++=，则下列结论中正确的有（）A ．0d <B ．20230S =C ．{}n a 是先增后减数列D ．10111012S S =且为n S 的最大值三、填空题17．（2021·全国·高二课时练习）已知{an }是等差数列，d 为其公差，Sn 是其前n 项和，若只有S 4是{Sn }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d >0②a 4<0③a 5>0④S 7<0⑤S 8>018．（2020·广东·大沥高中模拟预测）已知等差数列{}n a 的通项公式为31()n a tn t Z =-∈，当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 最大.则当10k S =-时，k =___________.19．（2020·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若180S >，190S <，当n S 取得最大值时，n 的值为_______．20．（2020·江西·宜丰中学高二开学考试（文））等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，且10a >，311S S =，则当n 为______时，n S 最大.【答案】7【分析】方法一:因为公差不为零的等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数,由311S S =可知对称轴为7n =,又开口向下,即可得出结果.方法二:由311S S =,10a >可得780+=a a ,0d <,则70a >，80a <,即可得出结果.【详解】解法一：由于()2f x ax bx =+是关于x 的二次函数，且(),n n S 在二次函数()f x 的。
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法：
1、排序法：通过排序将原来的数列变成有序的，最大值及最小值项将
被排在序列最高或最低位置，从而确定最大最小值。
2、求和法：将原来的数列逐项累加得到总和，将总和减每项数值得到
剩余总和，再从中求出每项的数值，最大值最小值值也就有了。
3、差分法：将原来的数列逐步求出每相邻项之间的差值，每相邻差值
的和可以得出每项数值，最大最小值也就确定了。
4、假设法：假设某一项数值是最大或最小，找出其他各个项数值之和，若等于总和减去该值，则该值就是最大或最小值；若不等，则假定另
一项数值为最大或最小，重复上述操作，直至找出最大或最小值为止。
5、比较法：将原数列的每一项两两比较，较大的数值为最大值，较小
的数值为最小值，一直比较到数列的一头，最后即可得到最大最小值。
6、直接比较法：从原来数列中直接得出最大值或最小值，如从数列中
有一个数值大于或小于其他数，则可以直接得出该数值就是最大或最
小值。
数列的最大项与最小项
数列的最大与最小项问题学习要点： 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对)(n f 求导（因为只有连续函数才可导），而应先对)(n f 所在的函数)0)((>x x f 求导，得到)(x f 的最值，然后再分析)(n f 的最值.2．考察)(n f 的单调性：)0(0)()1(<>-+或n f n f ，然后根据)(n f 的单调判断)(n f 的最值情况.3．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记}{n a 的前n 项和为n S ，,114S S =∴,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或n n S n n n a n n a a n n na S a d d a d a ==∴+--=+-=-⨯-+=∴<-=⇒⨯+=⨯+∴ [解法二]由解法二知}{,0711n a a d ∴<-=是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，>>>==>>>∴=⇒=+++⇒=10988721811651140,0070a a a a a a a a a a a S S 而}{7a ∴中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而8787,S S S S 或∴=最大.[评析]解法一抓住了)(n f S n =是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{n a 的单调性与正、负项的情况得到最大项.[例2]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由； （III ）指出nn a S a S a S ,,,2211 中哪一个最小？说明理由. [解析]（I ）00)(32)(60767612112>+⇒>+=+⇒>a a a a a a S ①，001307713<⇒<⇒<a a S ②，由①、②得;3724407233-<<-⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a（II ）由①、②得}{,0,00776n a d a a a <⎩⎨⎧<>->而为递减数列，;,,,0687662187621最大故而S S S S S S S a a a a a >>><<<∴>>>>>>∴（III ）,014131287621 >>>>>>>><<<S S S S S S S S12128877,,,,}{a Sa S a S a S n n 只有中在∴这六项为负值，而其余各项均为正数，}{nna S ∴的最小项只可能是这六项中的一项，⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->>->->>>>0111012871287a a a S S S 012128877>->>->-a S a S a S7712128877,}{,0a S a S a S a S a S n n 中故在<<<<⇒最小. [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法.[例3]设∈n Z ，当n 是什么数时，|100||3||2||1|-++-+-+-=n n n n S n 取最小值，并说明理由.[解析]（1）当;5050100210=+++≥≤ n S n 时（2）当1≥n 时，考察}{n S 的单调性，|,100||)100||2||1(||)99||1||(|1--=-++-+---++-+=-+n n n n n n n n S S n n①当}{,0100,1001n n n S S S n >=-≥+时单调递增，;4950,100100=≥≥∴S S n n 时当②,1002,10011-=-<≤+n S S n n n 时当;}{,4911单调递减时当n n n S S S n <≤≤∴+}{,100261n n n S S S n ><≤+时当单调递增；而当504932101474849505051+++++++++++=== S S n 时 .25002515025049=⨯+⨯=综上，当n =50或n =51时，.2500)(min =n S[评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活. [例4]已知函数c x x g bx x x f +=++=5)(,13)(2是偶函数是奇函数，正数数列}{n a 满足：.1)()(,12111=+-+=++n n n n n a a a g a a f a（I ）若}{n a 的前n 项和为n n n S S ∞→lim ,求；（II ）若}{),()(21n n n n b a g a f b 求+-=中的项的最大值和最小值.[解析]（I ）由条件得,5)(,13)(,02x x g x x f c b =+=∴==由条件得0)(5)(32121=+-+++n n n n n a a a a a;31lim ,32}{,32,00))(23(0311112121=-=∴=∴=∴>=+-⇒=-+⇒∞→+++++qa S q a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n 是等比数列是公比（II ）,5483)185(6)()(2)(21+-=-==+n n n n n a a g a f a b ϕ,314)(,1,211850,10,)32(1max1===∴<<≤<∴=-b b b n a a n n n n n 即最大时当.243374)278()(,4,278,1624816245162322781858116,8116,278,94,32,1,,5,4,3,2,14min =====∴<<⇒<<∴==ϕb b n a a n n n n 时即当时当[评析]由于n b 是关于n a 的二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列}{n n n a =的最大项与最小项.[解析]通过计算可知：当3≥n 时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法：nn n n a a a a 11++-或却证明不了}{n a 的单调性.考察函数)3()(1≥=x x x f x的单调性，∵ln xx f 1)]([=ln x ，两边对x 求导得：,ln 1)(,ln 1)()(1212x x x x f x x x f x f x -⋅='∴-='⋅.1,3}{,,154321,3298,1543,)(,0)(31335433543==>>>><<∴<⇒<>>>>>∴<'≥∴a a a n x f x f x n n 最小项为的最大项为故又由单调递减时当[解法二]用数学归纳法证明当,131n n n n n <+≥+时2122121111134124123)1()2()1()2()2()2()1()1(,1)3(2;34348164,31++++++++++<+⇒+<+=+<++⇒<+<+≥=<⇒<⇒<=k k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k kk k k k k n n 即时假设当时当即1,1212+=∴+<+++k n k k k k 当时命题也成立，1543543>>>>∴ .下同解法一.[评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性.《训练题》一、选择题：1．数列),3,2,1}(!100{ ==n n a nn 中 （ ）A ．1a 最大，而无最小项B ．1a 最小，而无最大项C ．有最大项，但不是1aD ．有最小项，但不是1a2．已知}{),(1562n n a N n n na 则数列+∈+=的最大项是（ ）A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在3．数列}{n a 的通项公式是}{,32922n n a n n a 则++-=中最大项的值是 （ ）A ．83107B ．108C ．81108D ．1094．已知数列}{n a 的通项公式为中则}{,20032002n n a n n a --=（ ）A ．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B ．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C ．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D ．既不存在最大项，也不存在最小项5．设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（ ）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．n S S S 均为和76的最大值6．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则 （ ）A ．}{n a 递增，n S 有最小值B ．}{n a 递增，n S 有最大值C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值二、填空题：7．设1)32()(,,321+*+=∈++++=n nn S n S n f N n n S 则 的最大值为8．}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，,0,0983<>+S a a则在9321,,,,S S S S 中最小的是9．等比数列}{n a 中，首项用公比,21,15361-==q a n ∏表示它的前n 项的乘积，则n ∏)(*∈N n 最大时，n =10．设等差数列}{n a 满足：)(,,0,531138*∈>=N n S n S a a a n n 则项和为其前且最大时， n = 三、解答题：11．已知数列}{n a 的通项公式}{),510lg(15n n n a a 问数列-⋅=的前多少项之和最大？并求其最大值.（取3010.02lg =）12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知k k k S S S S S d a 2211221,,,,0,0,0,0 求<><>+中的最大值.13．数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，前n 项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项1a 和公比q . 14．已知数列}{n a 中：)(2,111++∈==N k a a a n n n ，（I ）求n a （II ）若}{),4(log 2n n nn b a b 求数列=最小项的值；（III ）设数列{n c }的前n 项为n b ，求数列{||n c }的前n 项和n S .15．数列}{n a 中，)(5431++∈-=+N n n a a n n . （I ）若}{,201n a a 求-=的通项公式n a ；（II ）设n n n S a n a S 求时当项和的前为,27,}{1->的最小值.《答案与解析》一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 二、7．5018．5S 9．12 10．20 11．]5lg )1(5[)5lg 5()510lg()510lg(1551n n a a n n n n -+--=⋅-⋅=---+ 05lg }{,5lg <-=∴-=d a n 是公差的等差数列，而∴>=,051a 所有的正数项之和最大，令15lg 55lg 505lg 505lg )1(5001+≤<⇒⎩⎨⎧<-≥-+⇒⎩⎨⎧<≥+n n n a a n n.428.205lg 27885,8}{,8153.8153.713010.0153010.0158=⨯-⨯=∴=⇒≤<⇒+-≤<-⇒S a n n n n 且项之和最大的前12．,00)(0)12(1112112⎩⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧>+=<+=+++++k k k k k k k k a a a a a k S a k S,0,0,021211 >>>>>>>∴<>++k k k a a a a a d ak k k k k S S S S S S S 故而,,2121 >>><<<∴++为最大值.13．812=-=nnn nS S S q （也可由公式得到），n a q ∴>∴,1为最大项，即.3,280,32,541111=====-q a S q a qa n n 得代入得 14．（I ）;22)1(1121--=⋅⋅⋅=n n n n n a a a a a a（II ）;3)(32,85)25(2125min 22-==∴--=-=n n b n n n n b 时或当（III ）,3-=n c n ①当3≤n 时，;252n n S n -=②当.21252,423+-=-=≥n n b b S n n n 时 15．（I ）,3,5135432121=-⎩⎨⎧-=+-=+++++n n n n n n a a n a a n a a 两式相减得,21,3,,,,,,,1642531-==∴a d a a a a a a 的等差数列都是与,312-=∴a ①当n 为奇数时，;24333)121(20-=⨯-++-=n n a n ②当n 为偶数时，;26833)12(31-=⨯-+-=n n a n （II ）①当n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++++++=- =（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n －1）－54]=3[1+3+5+…+（n －1）])()(,;243)(,18,243)18(4327435421321min 22n n n n a a a a a S n S n n n n n +++++=-==∴--=-=⨯-- 为奇数时当时当 .243)(18,;243216)(1917,43216)18(4341052743min 1min 1212-==->-==∴+--=++-=n n S n a S n a n a n n 时当综上时或当 ②。
数列的通项与最大小项
为单调数列，n∈N ，则实数 的取值范围是______
*
2n 5 3．已知数列{an}的通项公式是 an＝ 2n 7 ，求数列{an}的
最大项、最小项。
小结 (1)数列是特殊的函数，可以用函数思想，数形结合思想， 单调性等来处理。 (2)在利用二次函数的观点处理时，一定要注意二次函数对 称轴位置的选取． (3)易错点：忽略了数列的自变量是正整数．
变式训练 2： 已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，分别根据下 列条件求数列{an}的通项公式 若 Sn＝2n－1； （2）若 Sn＝（-1）n+1,求 a5 + a6 及 an （3） Sn Sn1 2(n 2), a1 2
（1）
*
探究提高
(1)已知{an}的前 n 项和 Sn， an 是一个重要 求
内容，求 an 时应注意以下三点： ①应重视分类讨论的应用，分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨 论；特别注意 an＝Sn－Sn－1 中需 n≥2. ②由 Sn－Sn－1＝an 推得的 an， n＝1 时， 1 也适合“an 当 a 式”，则需统一“合写”． ③由 Sn－Sn－1＝an 推得的 an， n＝1 时， 1 不适合“an 当 a 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即 an S1 (n＝1)， ＝ Sn－Sn－1 (n≥2).
题型三 已知数列的递推公式求前 n 项或通项公式 例 3 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； n－1 (2)a1＝1，an＝ an－1 (n≥2)； n (3)已知数列{an}满足 an＋1＝an＋3n＋2，且 a1＝2，求 an.
题型四 数列的性质 例 4 已知数列{an}的前 n项和 Sn＝－n ＋24n (n∈N )． (1)求{an}的通项公式； (2)当 n为何值时，Sn 达到最大？最大值是多少？
题型04 等差数列前n项和最大最小问题(解析版)
秒杀题型一：等差数列前n 项和最大、最小值问题秒杀策略：处理思路有三种：①.当10,0a d ><时，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，可得n S 取到最大值时n 的值；当10,0a d <>时，解不等式组10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，可得n S 取到最小值时n 的值；②.找到数列中的正负(或负正)转化项，即令0n a =，求出n ，如n 为整数(即存在为零项)，则答案为两个，1,n n a a -，如n 不为整数(不存在为零项)，答案为一个，即[]0n n a ==(取整（或高斯)函数);③.利用bn an S n +=2(二次函数)来求最值，但注意n 取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴含有12时，答案有两个，其余为一个。
〖母题1〗（1）已知等差数列245,4,3,...77的前n 项和为n S ,求使得n S 最大的序号n 的值.【解析】：两种方法均可，4075+-=n a n ,08=a ,n S 最大的序号n 为7或8。
（2）已知数列{}211n -,那么n S 的最小值是()A.1S B.5S C.6S D.11S 【解析】：05<a ，06>a ，选B 。
（3）已知等差数列{}n a 中,1583,115,a a a =-=求前n 项和n S 的最小值.【解析】：52-=n a n ，最小值是42-=S 。
（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知14150,0S S ><,则此等差数列的前n 项和中,n 是多少时取得最大值?【解析】：0)78714>+=a a S （，087>+∴a a ，015815<=a S ，08<a ，07>a ，当7=n 时n S 最大。
1.(2010年新课标全国卷17)设等差数列{}n a 满足35a =,109a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值.【解析】：（1）2759310310-=--=--=a a d ，∴2d =-，∴211n a n =-+;（2）法一：二次函数法：代入等差数列求和公式，得210n S n n =-+，当5n =时取到最大。
数列中的最值问题
问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 题型一：求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156n n +=1156n n+,因为156n n +1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n ∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减；(2)求数列{a n }的最大项.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.题型二：数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A,B 为常数)．(3)利用⎩⎨⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【解析】 (2)方法一(通法)：由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫7－d 2n,设f(x)＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－d 2x,则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时S n 取得最大值,故7.5<12－7d <8.5,解得－1<d<－78.方法二(优法)：由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－78.【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C 【解析】117917917()17(2)000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>11889181091018()18()0000022a a a a S a a a ++<⇒<⇒<⇒+<⇒<,因此8910121289100,0,0,0,0,S S SS S a a a a a >>>><而1291289,S S S a a a a <<<>>>>,所以89121289S S S S a a a a <<<<,选C. 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列,若981a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取得最小正值时,n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【解析】∵数列{}n a 的前n 项和有最大值,∴数列{}n a 为递减数列,又981a a <-, 8900a a ><∴，且890a a +<,又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，,故当15n =时,n S 取得最小正值,故选C ．【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前项和为n T ,求使345n T >成立时的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,2211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知,()21110n n a a ++=+>, 得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==,所以,数列(){}3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为,公差为的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点． 【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前项和为n S ,若对任意的正整数,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为. 【答案】5【解析】要使216n n m S S ->恒成立,只需2min ()16n n m S S ->. 因2(1)1()n n S S ++-2222121221()()()n n n n n n n n n S S S S S S a a a +++++--=---=+-11111111022232222422224n n n n n n n n =+->+-=->++++++++,所以22113n n S S S S -≥-=,所以1161633m m <⇒<,m 所能取得的最大整数为5.题型五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆,以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆,计划以后每月比上一月多新购m 辆． （Ⅰ）求经过n 个月,两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标,求m 的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列,而乙方案能构成等差数列,利用等差等比数列的前n 项和公式分别求和,再相加即可；第二问,利用第一问的结论,得出3n =且(3)1000S ≥,直接解不等式即可得到m 的取值范围,并写出最小值.【解析】（Ⅰ）设a n ,b n 分别为甲省,乙省在第n 月新购校车的数量．依题意,{a n }是首项为10,公比为1＋50%＝32的等比数列；{b n }是首项为40,公差为m 的等差数列． {a n }的前n 项和310[1()]2312n n A -=-,{b n }的前n 项和[4040(1)](1)4022n n n m n n mB n ++--==+. 所以经过n 个月,两省新购校车的总数为S(n)＝310[1()](1)2403212n n n n n m A B n --+=++- 3(1)20[()1]4022n n n mn -=-++2320()(40)20222n m mn n =++--.（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标,则S(3)≥1000,所以323(3)20()3(40)3201000222m mS =+⨯+-⨯-≥,解得m ≥277.5.又*∈N m ,所以m 的最小值为278.【小试牛刀】某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元,则数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,则2n a n =,则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+,设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元,则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-,因此,该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭,当且仅当9n n =且当n N *∈,即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =,故选A.【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2,k ∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n ∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（ ） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,所以1111224m n a a --=,解之得6m n +=,所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⨯=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A. 4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大． 【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大． 【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为． 【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f ′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49． 故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为． 【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n,其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n . (2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3, 解得m ≥3或m ≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ,求证：2n T <；（3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2n T <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求的最小值； 若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为,依题意, ,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =. 当0d =时,2n a =；当d =时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1． （2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a ,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩,可归纳证明对任意nk ,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n ,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a ,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩,可归纳证明()362,3,na n =.因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩,所以2a 是2的倍数.从而当3n时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8. 19.设数列{}n a （1,2,3,n =）的前项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ,求使得111000nT -<成立的的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=,所以10n .所以使111000nT-<成立的的最小值为10.。
求数列中的最大项,最小项问题应用举例
求数列中的最大项,最小项问题应用
举例
学前教育具有十分重要的意义，对于孩子们始终下去的人生旅程，可以了解到，其学习的基础就是学前教育的基础。
就求数列中的最大项和最小项而言，这是一个简单的数学概念，它可以提高我们之前学习过的基础知识。
比如我们在包装礼物时，可以求出孩子们买到的玩具最大项。
如果孩子们买到
多件物品作为礼物，那么我们可以利用最大项的特性来决定最合边框的礼物，为他们挑选出最好的一件作为礼物。
同样，求数列中的最小项也是十分有用的，比如过会关在园子里玩的孩子们，我们可以求出他们玩耍的组中最小项，以方便教师的分组及管理工作。
此外，学前教育中运用求数列中最大项和最小项的方法，也可以用来拓展儿童
从小就应该学习的数学知识和比较能力，以培养孩子们更多的学习兴趣和能力。
总而言之，学前教育中求数列最大项和最小项来培养儿童的数学概念和能力，
是非常有价值的努力。
这可以为儿童以后的人生书写一段光彩夺目的篇章，也是对儿童学习兴趣的拓展。
高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法
高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法法一 ：利用单调性 ①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. ②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二： 先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6n n n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解 （Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===-- ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132n n n T -++-+-+= ②,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432+-++-+-+=n n n T ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n n n T ④利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++ 因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+n n n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T . 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法① 分析法因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+n n . 即只要证明23)21)(12(<+n n . 只需要证明2423+>•n n . 即只要证明02423>--•n n 由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--•n n 成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立. 所以n T 存在最大值211=T . 方法② 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <. 则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+. 这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列{}n a 的通项公式9(1)()10n n a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤， 又∵n N +∈， ∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。
二轮复习【数列专题】专题2数列的最大项与最小项微点3判断数列的最大(小)项之导数法
2． 21 2
【分析】先利用累加法求出 an＝33+n2﹣n，所以 an = 33 + n −1，设 f（n）= 33 + n −1，由此
nn
n
能导出 n＝5 或 6 时 f（n）有最小值．借此能得到 an 的最小值． n
【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当 n≥2 时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2
【典例刨析】
例 1．
1．等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 S10 = 0 , S15 = 25，则 nSn 的最小值为
．
例 2．
2．已知数列an满足 a1
= 33, an+1
− an
=
2n, 则
an n
的最小值为__________.
例 3．（2022 浙江 6 月高考数学仿真模拟）
( ) 3．已知各项均为正数的数列an满足
（2）若 a1 = b1 0,m N*,q (1, m 2] ，证明：存在 d R ，使得| an − bn |≤ b1 对 n = 2,3, , m +1
均成立，并求d 的取值范围（用 b1, m, q 表示）．
【总结与反思】
运用导数法解答数列最值问题，较为简便、直接．我们只需先将问题转化为函数最值问
(x
1)
，则
f
(x)
=
x
x
−
20 3
，
当
x
1 ,
20 3
时，有
f
(
x)
0
；当
x
20 3
,
+
时，
高中数学专题复习 微专题9 数列中的最值、范围问题
所以 Tn≥T1＝13，
又显然 Tn＝121－2n1＋1<21， 所以13≤Tn<21， 即 Tn 的取值范围为13，12.
热点二 求n的最值或范围
核心归纳 求n的值或最值，一般涉及数列的项或和的最值与范围，通常化归 为解关于n的不等式，或根据数列的单调性求解.
例2
(2023·湖州质检)已知数列{an}是递增的等比数列.设其公比为q，前n项和为Sn， 且满足a1＋a5＝34，8是a2与a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式；
2.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 an·Sn＝9(n＝ 1，2，…).给出下列四个结论： ①{an}的第 2 项小于 3；②{an}为等比数列； ③{an}为递减数列；④{an}中存在小于1100的项，其中所有正确结论的序号是 _①__③__④___.
板块二 数列
高考定位
近几年高考试题中，与数列有关的最值范围问题既有解答题，也有选择、 填空题，难度中档或偏上.
【 真题体验 】
1.(2022·浙江卷)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝an－13a2n(n∈N*)，则
√ 5 5
77
A.2<100a100<2 B.2<100a100<3 C.3<100a100<2 D.2<100a100<4
一方面，由an1＋1－a1n＝3－1 an>13， 累加可得an1＋1>31n＋1，(*)
所以a1100>31×99＋1＝34， 从而 100a100<100×314＝5107<3. 另一方面，由(*)式可得 an＋1<n＋3 3， 所以 an<n＋3 2(n≥2)，
数列中的最大项或最小项问题的求解
数列中的最大项或最小项问题的求解方法法一 ：利用单调性 ①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. ②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二： 先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解 （Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===-- ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132nn n T -++-+-+= ②,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432+-++-+-+=n n n T ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=nn n T ④利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++ 因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+nn n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T . 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法① 分析法因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+nn . 即只要证明23)21)(12(<+nn . 只需要证明2423+>•n n. 即只要证明02423>--•n n由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--•n n成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立.所以n T 存在最大值211=T . 方法② 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <. 则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T 由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+.这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列{}n a 的通项公式9(1)()10n n a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤， 又∵n N +∈， ∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。
求sn的最大最小值的方法
求sn的最大最小值的方法
在数学中，求解一个数列的最大值和最小值是一项常见的任务。
今我们来讨论如何求解一个数列（记为S n）的最大和最小值的方法。
求解S n的最大值：
要求S n的最大值，首先需要找到数列中的最大值和最小值。
假设数列S n表示为$S_1, S_2, \\ldots, S_n$。
我们可以通过以下步骤来处理：
1.计算数列的导数：首先计算数列的导数，导数表示数列中每一项与
前一项的差值。
导数序列记为$D = S_2 - S_1, S_3 - S_2, \\ldots, S_n - S_{n-1}$。
2.观察导数序列的性质：观察导数序列D的特点，找出极大值和极小值
点。
3.计算最大值：得到导数序列的极大值点对应的S n值即为数列S n的最
大值。
求解S n的最小值：
求解S n的最小值同样可以通过类似的步骤来实现：
1.计算数列的导数：计算数列的导数序列$D = S_2 - S_1, S_3 - S_2,
\\ldots, S_n - S_{n-1}$。
2.观察导数序列的性质：观察导数序列D的特点，找出极大值和极小值
点。
3.计算最小值：得到导数序列的极小值点对应的S n值即为数列S n的最
小值。
总结
通过对数列的导数序列进行分析，我们可以找到数列中的最大值和最小值。
这种方法可以在数学和统计学中广泛应用，帮助我们更好地理解和处理数列的性质。
希望以上方法能够帮助你更好地求解S n的最大最小值问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（III）指出 S1 , S2 , , Sn 中哪一个最小？说明理由.
a1 a2
an
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
三．研究数列 an f (n) 的正数与负数项的情况，分类或缩小范围研究，这是
求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最大值或最小值的一种重要方法.
②求数列{an}的通项公式； （2） 若（nbn＋n－2）Tn≤kn 对 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
3．已知数列 {an } 的通项公式为 an
n 中
，下列说法正确的是
___A____
A．存在最大项与最小项.
B．存在最大项,不存在最小项.
C．存在最小项，不存在最大项. D．既不存在最大项，也不存在最小项.
4．数列 {an
100n n!
}(n
1,2,3,
)
的最大项是a_9_9___a_10_0__.19090!99
例：首项为负数的等差数列 {an}，它的前4项之和与前11项之和 相等，问此数列前多少项之和最小？
变式：设等差数列{an } 的前 n 项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0,
（I）求公差 d 的取值范围；
（II）指出 S1, S2 , , Sn 中哪一个最大？说明理由；
数列的最大与最小项问题
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
一、研究 an+1与 an的关系：
(1)作差法,主要是作差之后的变形,与零的大小比较是关键,
(2)作商法,主要是作商后能够约掉因式进行变形,再与1比较
而应先对所在的函数 f (x)(x 0) 求导，得到 f (x) 的最值，然后再分析 f(n)的最值.
巩固练习：
1．数列{an}的通项公式是 an 2n2 - 29n - 3,则{an }中最小项的值是___-_1_0__8____.
2．已知 an
n2
n 156
(n
N
),则数列{an
}
的最大项是第_1_2__或__1_3__项.
若求最大项,则 an 满足
a a
n n
a a
n1；若求最小项,则
n 1
a n满足
a n a n
an1 . a n1
注意：若求出的n不止一个，还要带入通项公式 比较后确定最大或最小项。
二、函数思想：
把 an=f(n)看成关于 n（n∈N+）的函数，利用函数的单调性研究数列的最大最小项。
注意：若要求导研究单调性，不能直接对 f(n)求导（因为只有连续函数才可导），
练一练：设 n Z，当 n 是什么数时， Sn | n 1 | | n 2 | | n 3 | | n 100 | 取最小值。
例 2.（校本教材 112 页例 3） 数列{an}的前 n 项积为 Tn，Tn＝1－an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，Sn＝1－bn． （1） 设 cn＝ T1n．①证明数列{cn}为等差数列；