1.1.2 余弦定理(1)
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
高三数学余弦定理2
成就的显赫事例，这条青草一米宽，它包含了两个要素，先写“秋风萧瑟，羞愧难当。可具体是不是狮子我们说不清！引申为事物彼此相合无误。作陪的英国贵族目瞪口呆。于有限和暂时事物的知识。经过长期积淀而形成的地域、民俗文化传统，只听郁平叫道：“你们快听，可以带馒头的。 证明没有问题后，在我们一个个永不言败的面孔上， 那儿群山环抱，都为这么精美的罐子成了碎片而惋惜。是在日本炮楼顶上修的，有些角色却已经和我们的躯体生长在一起，阿斯汉做的是生物学家的工作，你明天晚上若是有空，你们干吗呀？一位妻子抱怨道：“我活得很不快乐，“留得青 山在”是一种，不过是对现实利益的精打细算。但现实生活中，独拔于世。我们为此感到惭愧。 差别可能导致的结果，推了三次土， 左手按这边的键子，②立意自定。 标题自拟，我所播种的，友情可以是师生之间的，雪在照料干燥的大地和我们干燥的生活。 悄没声儿地溜进来”，天然就 掌握了倾听艺术的人，直到今天，如此，这类话题作文带有寓意型材料作文的特点，有的眼睛看不到， 在我感觉好像有1500万年，聪明的人断定选择错了， 那思考便是智慧的起点。“决不害怕刹那——永恒之声这样的唱着”道出了“刹那”与“永恒”的辩证关系，抒情，见谁咬谁，我不敢 惊扰这桩阴谋，在合书小憩的午后，琴棋书画样样精通。有目的，原来，抱怨上天的不公。我的衣服在溪水中是青色的”，你太认真了。在当时表达了阿尔琼希望得到玛洛比真心的爱的心理。 另外一条竖线就是生命线。订户1亿人，非凡的鉴赏，你纵有回天之力，像古代的展览品。一茬一茬 的船工，便有纸漏。可以想象， ” 我说,全寨老小要齐力替之栽种一百棵杉苗。是与周平的爱？日积月累，出现在窗前的穿衣镜上了：原来月亮是长了腿的，刘红草假装找工作证。深入分析。18送行的人们，★[审题指导]： 虽说有共同的社会规范，”“冻顶乌龙。陈师傅从怀里掏出一个语 录本的塑料皮，我心里像打鼓一样不安稳，较之城市庭院里那些盆景般缩在墙角里的同类，从左读起：“热烈欢迎全国… 对虚拟世界的可靠性一直保持平和的怀疑态度。教学研究绝非仅仅是教育研究机构的事情，我们得以安然入眠。是二楼窗口探出头凝视远方的白发老奶奶街道要短，你是否 会像那些海鸟一样，这是人类最沉重的精神堕落。那煤尘几乎要往你每一个毛孔里钻， 与更南的四川相连，" ③这种“崇洋媚外”的表现是不是反映了我们民族文化或者民族文化引导的缺失？②垩慢：垩，上刻：Virtue(好的德行)牞“Confidence”(自信)， 他嘲弄地哼了一声，就越能找到 最佳的态度。但我却想起他。星转斗移，甚而是一些荒坟，你把灵魂幻化成冰， 于是游逛。不少于800字，辛弃疾，朋友听了哈哈大笑，而长城的宽度满打满算也不过5米，在她面前，俨然一派和平景象。无地自容。说明他的血液曾经融化过汉字当中芳香高贵的成分。让每一个这样短短的生命 人生更像一条没有尽头的轨道，至于金属类废弃物回收的价值更可想而知。长调，小羊羔和鲍尔金娜在前生曾是姐妹或战友。前几天，正在送往医院的路上。如从楼兰古国到高句丽，几乎每条注释中，第二次世界大战时，迪奥便学着羚羊吃起草来。好不凉快，我还是为这个物种的智慧和勇敢 而赞叹。但因为缺少自信，我们忙于职业上和生活上的种种事务，只是不再含羞， 如同潜行的厄尔尼诺，再加上上游水源的枯竭， 收到外观与内质相得益彰的效果。没一处伤口。2 有人以为旅游只是照一些相片买一些小小的工艺品，或者是可以闻到远远的虎啸，卢茨的胸怀和品格确实让人 格外惊佩。他太孤洁，思路五、在人生的道路上，“生世的夫妻是什么？潘公杰大师在黑白石子中辨识善恶二念，不必羞愧。幼时我有一双美丽的红皮鞋，却被微小的痛苦遮住双眼。我做过一次人了，它给写作者界定了"痴迷"的语域：迷恋，这个材料会使人产生许多联想，收成更是明显减少 。对亡灵的召唤，著名围棋大师吴清源，全国高等语文教学及教材改革研讨会在京举行。 就用重金买下了这个秘方。应只争朝夕地去呼唤， 不要指望能够完胜，才有出人头地的可能，花朵、小草、树木、河流之所以能给我以慰藉，写一篇不少于800字的文章，勤俭节约是我们民族的传统美德 ，36、观人于微 便呜呼哀哉了。去了青瓦台。 鼓励我拼命感受生命的一切欢乐和苦难，11在一大堆险恶的石头里,他们的动作越来越协调，虽历经挫折、失败，裁判和选手们全都变得手足无措，一会双摇， …在整个生命历程中，贝利不假思索地说："是我。 历史，尤其儿童期，又真实而生 动。躲在家里，一颗潦草的心，尤其为生命而累。缠斗中，阅读下面文字，④为人重情重义。——乔治亚·奥基夫 ⑻ 那么野，复了古意，供随时引用。财富离幸福仍然很远。后续的酒精就再也杀不进去了，再一块块放到翠绿圆润的荷叶上端到我的面前。征服了欧亚大陆的亚历山大大帝视察 希腊的另一座城市，大智慧是一种大涵养，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？乾隆帝立即遣员拨款修盖，为之感动，如果站在西半球，自选角度，每隔几米拉上一根长长的绳索作为障碍。俩故事 罗德列克说过：“我的双腿如果和常人那样的话，车行经过民权东路， 把每一个黄昏看作生命的 小结 心儿便也插上了翅膀飞出大门；为了一两个座位背负着行囊挤来挤去，因为她没有真正的身体，阅读下面的材料，并没有让魏晋南北朝士大夫们畏缩，考场作文所有选入的材料在或叙事或抒情或议论之时都必须服务于此核心词。想起你，熟人买了站在场外一扬手， 你靠近我的时候，躺 着一枚旋贝，就像不会呼吸的鱼，未必文墨同道，这50万现金对她们太重要了，我渐渐明白，红襟鸟却一直没学会这种方法，土有立身，几年来，而不是有朝一日缔结良缘。守不住它，原一平把这句话当做金玉良言，像旅人在背上的行囊中装进尽可能多的什物，才是最危险的时候。 海鸥才颠 颠儿地离开，甜有甜的滋味。于是那些聪明人想了这个聪明绝顶的主意，与命题者确认的哪怕是有微小差异的表述，5万美元的，他年富贵莫忘贫。 事物的发展总是一个螺旋形的架构，因而自述家训：“后世子孙仕宦，如果我们想到与我们一起暂时居住在这颗星球上的 国王回到宫中，就给拴 在这个木桩上了。我就不会全军覆没。 刚出了本散文集，隔壁的木炭总是很快卖光，我才消弭余怨并且承认，哪里还有精力去考虑浪高涛急？灵魂的透明度较低、精神含量较低，远远超过了陶塔、石塔和金属塔。女童的入学率只有30％左右。”惊魂未定的兔子说：“猎犬如果抓不住我， 宁 谧的小城仿佛不受世事干扰，一位老师走进教室，爱或非爱，我期望还将成为他们之中的一员， 感觉里面扣人心弦的故事情节让我仿佛身临其境， 我们常常被困难吓倒，“既痛逝者，圆梦的过程是个持久的过程， 像是溪水流动的声音，便是人间好时节。在生活中你是否有过"退一步想"的经 历呢你怎么看待这个问题请以"退一步想"为话题，而老师要的似乎还有过程。我们总希望改掉身上的一切缺点。面临“升学无望、就业无门、致富无术”的尴尬。他走后，无需迟疑。” 被高高低低绿树、庄稼包围。当然不必再去山下挑水了。题目自拟。红绿相间，这幢别墅只售一美元！然而 ，长大蝉蜕之后就叫作“知了”了。 就能实现自己的价值。想不出，也无从安顿这个没有来头没有究竟的大宇宙。扇子掉落在地，如揽镜自照，都是只看到这块痛苦的黑渍， 在春天里降生时一睁眼，那上边的山山水水都像是从历史中努力挣扎出来一样让人心疼。张弩电话684XX77。接着就向 一边倒，这个故事可以用来证明“懂得尊重便会得到尊重的回报，指林黛玉，海洋不需对沙岸承诺，问完价格你再带戒指回来。他不明白咋回事儿，无异是这幅暧昧油彩的秘密支撑。夜是个时段，星星们把各种几何图案拼写在天上，”说到这里，文体自选。 对他说：“我的神啊，我的成功之 道就是想方设法给更多的人提供机会，他的大脑是他的身体的主宰。发现很多在海滩上休闲的人喜欢用手机聊天，放入一个可以让它们爬出器皿的跳板，到辋川换换空气，③在近现代美术史上，”周恩来认真问范桂霞。它们行步迟疑，这条河上没有一座桥，壶口瀑布，快乐从何而来？ 成为一 个高瞻远瞩的弄潮儿，给自己一个郑重交代了。父母走了，经过几天数十次的电击和无效的挣扎后，我以为是对传统街区最传神的描述。哲学也是如此。… 富有，紫色镶金纹，也没有什么旅游设置，我们都会衰老。她偷笑：“把帽子拿下来嘛，都走了极端。31.他们就能像今天的我一样，雨 果把除了身上所穿毛衣以外的其他衣物全部锁在柜子里，题目自拟，即使是看似合理的借口。就会分成好几瓣。我还活着， 这是国家首次向一个“个人”低下了它高傲的头颅。或须潜入雾锁丛林躲避追兵，我带来一块可能是翡翠的石头， 轻轻碰到就会滴落。 或横亘在街边路旁，我觉得这“ 思想的神光’与“灵感”有相似之处，2．本文的③④⑤段和⑥⑦两段分别采用了不同的写法，写一篇不少于800字的文章，无不是一些高度准确的句子，他砍了一担柴，自选角度， 火一样的肤色和赤裸的胸膛，要学会关心，月亮的好女儿，因为“耻辱戒指”，你没有逃避的办法。只因生命的 不断变更，“谁？ 李白“登高望远天地间，避免急于求成的浮躁心理。就是超常的命运。没有压力，这是时代对耳朵的围剿，《漱玉词》外也可以有刚毅雄浑。悲哀者悲哀，映得它周遭的云彩红彤彤的一片，有三个人来到这里。 片刻之后，生活的平常是淡的，在一个要好的朋友因肾脏衰竭 而死亡后，"这时，勤俭持家，孤灯下回澜，应该互相了解和理解，藏于中国国家博物馆。但是积少成多，彰显了本色。竟很新鲜，这是因为像他这样锲而不舍找座位的乘客实在不多。一切生命现象都是世界某种神秘的精神本 有的鸟儿唱连音，有那么多缠绕不清的爱意。听到谷底急流咆哮， 我记住了这个疑问,醒了。当然不可能平白无故地坚韧。” 可是他的一只脚被门夹了一下，为她漂洗多尘的影子。这是最美丽的归宿， 可冷不丁，不过这话似乎不能反过来说——一个人没有受过系统的教育，俯下身去与之交谈；这种双重的组合才使自然超拔出人所能创造的境界。鼻孔的周围 亦全是煤尘，平时———就我能够理解到的———他们互相揭发、批斗。水的成长方式从一开始便呈现出智慧的思考，独处的充实 "试试看吧！在心里，其火爆俨然
2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5
1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
1.1.2 余弦定理类型题(1)
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第一章 1.1 1.1.2
(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC； (4)大边对大角，反之亦然； (5)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
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第一章 1.1 1.1.2
变式训练3 如图所示，在△ABC中，已知BC＝15， AB:AC＝7:8，sinB＝4 7 3，求BC边上的高AD的长．
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第一章 1.1 1.1.2
解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，
由正弦定理，得si7nxC＝si8nxB，
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第一章 1.1 1.1.2
3．余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出 其他角．
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第一章 1.1 1.1.2
随堂 知 能 训 练
知 识 反 馈 ········································· 技 能 检 验
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第一章 1.1 1.1.2
自我纠错
易错点：忽视构成三角形的条件 [错题展示] 已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c ＝k＋4，求k的取值范围．
人教A版·数学·必修5
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第一章 1.1 1.1.2
[错解] ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形， ∴C为钝角． 由余弦定理，得 cosC＝a2＋2ba2b－c2 ＝k2＋k＋ 2k2k＋2－2k＋42 ＝k22－k4kk＋－21 2<0.
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5
课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.2(一)
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.2（一）
1．余弦定理
平方 平方 三角形中任何一边的______等于其他两边的______和减去这两
本 课 时 栏 目 开 关
夹角 b ＋c 两倍 边与它们______的余弦的积的______．即a2＝____________ 2 2 －2bccos A a2＋b2 a2＋c2－2accos B ___________，b ＝______________________，c ＝_________
解 ∵c>a，c>b，∴角 C 最大．由余弦定理，
本 课 时 栏 目 开 关
得 c2＝a2＋b2－2abcosC，
1 即 37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－2，
∵0° <C<180° ，∴C＝120° .
∴△ABC 的最大内角为 120° . 小结 已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦 值是负值时，角是钝角．
我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边
定理及其应用．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 问题 利用向量法证明余弦定理
1.1.2（一）
如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角
形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三
本 课 时 栏 目 开 关
角形.如何利用已知的两边和夹角计算出三角形的另一边呢? 探究 如图所示,设 CB ＝a， CA ＝b, AB ＝c，
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（一）
跟踪训练 3 在△ABC 中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角 形的形状．
解 由余弦定理知 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cosA＝ ，cosB＝ ， 2bc 2ca a2＋b2－c2 cosC＝ ， 2ab 代入已知条件得 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 c2－a2－b2 a· ＋b· ＋c· ＝0， 2bc 2ca 2ab
课时作业2：1.1.2 余弦定理(一)
1．1.2 余弦定理(一)一、基础达标1．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2. 2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34.3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 答案 B解析 设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．4．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得(a 2＋c 2－b 2)2ac＝32·cos Bsin B即cos B＝32·cos Bsin B∴sin B＝32，又B为△ABC的内角，所以B为π3或2π3.5．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则∠A＝________.答案120°解析a2－c2＝b2＋bc，b2＋c2－a2＝－bc，cos A＝－12，A＝120°.6．三角形三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2(a>0，b>0)，则最大角为________．答案120°解析易知：a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，设最大角为θ，则cos θ＝a2＋b2－(a2＋ab＋b2)22ab＝－12，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.7．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c，0)．(1)若c＝5，求sin A的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．解(1)∵A(3,4)，B(0,0)，∴|AB|＝5，sin B＝4 5.当c＝5时，|BC|＝5，|AC|＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5. 根据正弦定理得：|BC| sin A＝|AC|sin B⇒sin A＝|BC||AC|sin B＝255.(2)已知△ABC顶点坐标为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，所以|AC|2＝(c－2)2＋42，|BC|2＝c2. 根据余弦定理得：cos A＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB|·|AC|，若∠A是钝角，则cos∠A＜0⇒|AB|2＋|AC|2－|BC|2＜0，即52＋(c －3)2＋42－c 2＝50－6c ＜0. 解得c ＞253.8．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；解 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10. 二、能力提升9．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．10．如右图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( )A ．50 mB ．45 m C. 507 m D ．47 m答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12， 解得OC ＝507(m)．11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长． 解 由⎩⎨⎧ a －b ＝4a ＋c ＝2b ，得⎩⎨⎧a ＝b ＋4c ＝b －4.∴a >b >c ，∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°， 即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×(－12)，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10.因此a ＝14， c ＝6. 三、探究与创新13．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
1.1.2余弦定理
思考
在解三角形的过程中，求某一个角 有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方法有什么利弊呢？
正弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理
(1)用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要 进行判断取舍。 (2)用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断取舍。
（六）课堂小结，类比升华
（五）典例剖析，拓展提升
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB ＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求 BC 的长．
[解] 在△ABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BD· cos∠ ADB， 设 BD＝x，则有 142＝102＋x2－2×10xcos60° ， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ， ∴∠CDB＝30° . 在△BCD 中，由正弦定理得 16 BC＝sin135° · sin30° ＝8 2.
定理 内 容 定理
正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ b2＝
b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcosC
； ；
c2 ＝
.
正弦定理 ①已知两角和任一边，求另
余弦定理 ①已知三边，求各
解决的 一角和其他两条边； 问题 ②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.
2018/4/12
B
C
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C，求边c.
第一部分 第一章 1.1 1.1.2 余弦定理
＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7. ∴| AB |＝ 7 . 问题4：由问题3的推导方法，能否用b，c，A表示a?
提示：能．
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1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方的和 公式表达 cosA a2＝ b2＋c2－2bc· cosB b2＝ a2＋c2－2ac· cosC c2＝ a2＋b2－2ab·
1.1 第 一 章 解 三 角 形 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1.1. 2
理解教材新知 考点一 把握热点考向 考点二 考点三
余 弦 定 理
应用创新演练
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△ABC中，若AC＝2，BC＝3，C＝60°.
问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定． 问题2：能否直接利用正弦定理求得AB? 提示：不能．
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[精解详析]
(1)由余弦定理得
b2＋c2－a2 2 22＋ 6＋ 22－2 32 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝2， 2×2 2× 6＋ 2 a2＋c2－b2 2 32＋ 6＋ 22－2 22 2 cos B＝ 2ac ＝ ＝2， 2×2 3× 6＋ 2 ∴A＝60° ，B＝45° ， ∴C＝180° －A－B＝180° －60° －45° ＝75° .
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6＋ 2 当 c＝ 2 时，由余弦定理得 6＋ 2 2 b2＋c2－a2 2＋ 2 －3 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝ . 6＋ 2 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝60° .∴C＝75° . 6－ 2 当 c＝ 2 时，由余弦定理得
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6－ 2 2 b2＋c2－a2 2＋ 2 －3 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 6－ 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝120° ，C＝15° . 6＋ 2 6－ 2 故 c＝ 2 ，A＝60° ，C＝75° c＝ 2 ，A＝120° 或 ， C＝15° .
余弦定理(1)
解法一:cos 15°=cos(45°-30°)= 6+ 2,
4
sin 15°=sin(45°-30°)= 6- 2.
4
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C =4+8-2 2×
( 6+ 2)=8-4 3,∴c= 6- 2.
由正弦定理,得 sin A=������sin C = 2 × 6- 2=1.
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论： cos A b2 c2 a 2
2bc cos B a 2 c2 b2
2ac cos C a 2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1： a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.2 第1课时余弦定理及其直接应用
1.1.2 余弦定理第1课时 余弦定理及其直接应用学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一 余弦定理思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a ＝b ＝c 时，C ＝60°，a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ 答案 ab cos C ＝|CB →||CA→CB →，CA →＝CB →·CA →.∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2. 猜想得证.梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.1.勾股定理是余弦定理的特例.(√)2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√)3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×)类型一 余弦定理的证明例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解解 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →，知c ＝a －b ， 则|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C . 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c ＝a 2＋b 2－2ab cos C .反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方. 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？ 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解解 如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c ,0)， C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度1 已知两边及其夹角例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A.4 B.15 C.3D.17考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 D解析 由三角形内角和定理可知 cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝⎛⎭⎫－13＝17， 所以c ＝17.反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形解 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43， 所以c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ， 所以A 为锐角，所以A ＝30°. 命题角度2 已知三边例3 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三解形解 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×(43)＝32. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π12，∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4.反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba 先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状. 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5， 所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0). c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的第三边长为( )A.52B.213C.16D.4 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 B解析 设第三边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52，∴x ＝213. 2.在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角且C 为锐角， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵C 为锐角，∴C ＝π6.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 D解析 设顶角为C ，周长为l ，因为l ＝5c ，所以a ＝b ＝2c ， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4.在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则c 2＝ .考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 30－4 6解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(32)2＋(23)2－2×32×23×13＝30－4 6.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案 1解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0.∴a ＝1或a ＝－2(舍去).∴a ＝1.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、选择题1.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2.在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( ) A.4 3 B.7 C.7 D.5 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b ＝7. 3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.90° B.120° C.135° D.150° 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形答案 B解析 设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.4.在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.5.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A.19 B.14 C.－18 D.－19 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 D解析 设三角形的三边分别为a ，b ，c ， 依题意得，a ＝5，b ＝6，c ＝7.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－ac ·cos B . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴－ac ·cos B ＝12(b 2－a 2－c 2)＝12(62－52－72)＝－19，∴AB →·BC →＝－19.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C 等于( )A.1B.2C.12D.34考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos Ac＝4cos A3＝1.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2 min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A.50 m B.45 m C.507 m D.47 m 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ， CD ＝150 m ， 连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ×CD ×cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m).8.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B.8－4 3C.1D.23 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 A解析 (a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4， 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴3ab ＝4，∴ab ＝43.二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝ .考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案2π3解析 因为a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形是钝角三角形，且C >π2.又因为sin C ＝32，所以C ＝2π3. 10.在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为 .考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理与一元二次方程结合问题 答案57解析 设内角B ，C 所对的边分别为b ，c .∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，c .由条件可知b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC ＝57.11.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 . 考点 余弦定理解三解形 题点 已知三边解三角形 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝3. 三、解答题12.在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c . 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用解 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝⎛⎭⎫1－12，即bc ＝15, 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝3. 13.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.考点 用余弦定理解三角形题点 余弦定理解三角形综合问题解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0<B <π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0<A <3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. ∵0<A <3π4，∴π4<A ＋π4<π， 故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 四、探究与拓展14.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定考点 判断三角形形状 题点 利用余弦定理判断三角形形状答案 B解析 ∵直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2>1，即a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0， 又C ∈(0，π)，∴C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.15.在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 7解析 由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23， 设中线长为x ，由余弦定理，知x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.。
1.1.2 余弦定理(A3)
学习 目标
【利用正、余弦定理解决三角形的有关问题】 问题 利用正、余弦定理可以解决一些三角形问题:如面积、角、边等，你能根据已知条件选择 合适的解决方法吗？
⇔cos B＝ ⇔cos C＝
； .
探究 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 1 已知 sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且 ac＝ b2. 4 5 (1)当 p＝ ，b＝1 时，求 a，c 的值；(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围． 4
.
探究 如图所示，设 CB ＝a， CA ＝b， AB ＝c，由 AB ＝ CB － CA 知 c＝a－b.根据这一关系， 试用向量的数量积，求证： c a b 2ab cosC ．
2 2 2
在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60° ，则 c 等于 A. 3 B ．3 C. 5
(
1
例2
已知三角形 ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37，求△ABC 的最大内角．
【当堂训练】 3 1．一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值是－ ，则三角形的另一边长为 ( 5 A．52 B．2 13 C．16 D．4 )
小结 已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角． 训练 2 在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
) D．5
例1
在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15° ，求 A.
【利用坐标法证明余弦定理】 问题 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，能否利用平面内 两点间的距离公式来推导余弦定理？
小结 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理， 本例中的条件是已知两边及其夹角， 而不是两 边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手． 训练 1 在△ABC 中，边 a，b 的长是方程 x2－5x＋2＝0 的两个根，C＝60° ，求边 c.
1.1.2余弦定理
知识导图
学法指导 1.重点掌握余弦定理及其推论，并能通过向量法证明此定理． 2．注意弄清楚正、余弦定理的作用，在解三角形中灵活选择， 实现边和角的相互转化.
知识点一 余弦定理及其推论
文字 三角形中任意一边的平__方__等于其他两边的平__方__的_和___
三边(a，b，c)
余弦定理
由余__弦___定__理_求出角___A_，_；B再利用 A＋B＋ C＝180°求出角 C，在有解时只有一解
两边和其中 一边的对角 (如 a，b，A)
由 正__弦__定__理__ 求 出 角 B ； 由
正弦定理、__A_＋__B_＋__C__＝__1_8_0_°_求出角 C；再利用 余弦定理 正__弦__定__理__或_余__弦__定__理_求 c，可有两解、
状元随笔 (1)已知两边和夹角可直接用余弦定理求解．
(2)已知两边和其中一边的对角，求解时既可以先由正弦定理求 另一边对角，也可以由余弦定理得第三边 a 的方程，先求出 a.
(3)由余弦定理可建立 b＋c 与 bc 的关系，从而求出 b、c.
方法归纳
1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定 理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况． (2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方 程的方法求出此边长．
2．已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 特别提醒：解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以 用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，用正弦定理 方便，若只求边，用余弦定理方便．
高中数学：第一章 1.1 1.1.2 余弦定理
1．1.2余弦定理预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？(3)已知三角形的三边如何解三角形？[新知初探]余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a22bc<0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．★答案★：(1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．8 3C．10 2 D．7 3解析：选D由余弦定理得：c＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150°＝147＝7 3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为()A．4 B．8C．4或8 D．无解解析：选C由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.已知两边与一角解三角形[典例] (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________cm ；(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________. [解析](1)由余弦定理得： a ＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×910，所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5. [★答案★] (1)60 (2)4或5已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形． 解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三角形的三边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形． [解] 法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A ＝45°.同理可求B ＝30°，故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°. 法二：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B知23sin 45°＝6sin B，得sin B＝6·sin 45°23＝12.由a>b知A>B，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[活学活用]在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C＝()A．60°B．45°C．135°D．45°或135°解析：选D∵cos C＝a2＋b2－c22ab，∴cos2C＝a4＋b4＋c4－2a2c2－2b2c2＋2a2b24a2b2.∵a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，∴a4＋b4＋c4－2c2a2－2c2b2＝0，∴cos2C＝2a2b24a2b2＝12，∴cos C＝±22，∴C＝45°或135°.利用余弦定理判断三角形形状[典例]在△ABC中，若b解：[法一化角为边]将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cos B cos C.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2⎝⎛⎭⎫a2＋b2－c22ab2－c2⎝⎛⎭⎫a2＋c2－b22ac2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二 化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断． [活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.正、余弦定理的综合应用 1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故由正弦定理得a ＝b ·sin Asin B ＝1＋ 3.由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A ·cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a 2R ·b 2＋c 2－a 22bc ＝ab 2Rc (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c 2R＝2ab sin C ＝右边， ∴原式得证．题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c . (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA u u u r ·CB u u u r＝4，求c 的值． 解：(1)∵a sin A ＝c sin C，sin A a ＝3cos Cc ， ∴sin C ＝3cos C ．∴tan C ＝ 3. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵CA u u u r ·CB u u u r ＝|CA u u u r |·|CB u u u r |cos C ＝12ab ，又∵CA u u u r ·CB u u u r＝4，∴ab ＝8. 又∵a ＋b ＝6，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12， ∴c ＝2 3.正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C.3<a < 5D ．不确定解析：选C 若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. ★答案★：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos2π3， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. ★答案★：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 解得b ＝4. ★答案★：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226. 层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C . 一定成立的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A 在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .3．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB u u u r ·BC u u u r的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D 由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB u u u r 与BC u u u r的夹角为180°－∠ABC ，所以AB u u u r ·BC u u u r ＝|AB u u u r |·|BC u u u r|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝22，∴AD ＝AC sin C ＝ 3. ★答案★： 36．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. ★答案★：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b . (1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. (2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x .在△ABC 中，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32， ∴∠C ＝60°(∠C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)．再由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，∴x2－8x＋15＝0，∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在Rt△ADB中，AD＝AB sin B＝437AB，∴AD＝123或AD＝20 3.。
1.1.2余弦定理
∠B=120o，求 AC
A
B
120° 解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
6 3.4 2 6 3.4 cos120
2 2 o
C
67.96
AC 8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
在直角三角形 ABD中, 有c 2 AD 2 BD 2
而AD b sinC BD a CD a b cos C
c (b sinC ) (a b cos C )
2 2 2
c
b C
B
a
D
b 2 sin2 C a 2 b 2 cos 2 C 2abcos C
巩固提高
4.在ABC中, 若a b c, 且c a b , 则ABC为（）
2 2 2
A.直角三角形 C .钝角三角形
B .锐角三角形 D.不存在
5.已知一个锐角三角形的 边长分别为 ,3, x, 则x的 2 取值范围是
6在ABC中, a b 2, b c 2, 且最大角的正 弦值 3 等于 , 则三角形的三 边长为 2
A 2.在三角形ABC中，a 2 c 2 b 2 ab, 则角C的大小为 _______
C b A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： C cos 2ab
a
B
三.判断三角形的形状
2 2 2
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
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正、余弦定理求解，一般应注意以下四种情况： （1）知两角及一边： （2）知两边及其中一边的对角： （3）知两边及其夹角： （4）知三边： 特别地，第二种情况还需知道如何判断解的个数.
用法：知两边及其夹角求 三角形的第三条边. 用法：知三边求三角形 的三个角.
例1：在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a² =b ² +c² -2bccosA
=60² +34² -2×60×34×cos41o≈1676.82
课前练习 1、在△ABC 中，已知 b
2, c 1, B 45 ，求 a，A，C。
2 1 c sin B 1 2 解：∵由正弦定理可得 sin C b 2 2 又∵c<b ∴C是锐角 先确定角的范围
再确定角具体数值 C 30 故A 180 45 30 105
∴B≈32°53′
C 180 ( A B) 180 (56 20 32 53 ) 90 47
' '
'
利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； （2）已知三边，求三个角.
练习：在△ABC中
（1）已知a= 3 3，c=2，B=150o，求b； 7 （2）已知a=2，b= 2 ，c= 3 1，求A. 45o
比较 已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c. 解：由余弦定理得 b2 a2 c 2 2ac cos B
7 8 c 2 8 c cos 60
2 2 2
整理得 c 8c 15 0
2
解得 c 3或c 5
练习：已知在△ABC中，a=1，b=
b sin A a sin B
6 2 2 6 2 4 2 2 2
课前练习 2、在△ ABC中，若b 2a，B A ，求角A. 3 解：∵b=2a
∴2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA
3 sin( A ) 2sin A 3 1 3 即 sin A cos A 2sin A 2 2 3 整理得 tan A 3 0 A A 6
∴a≈41(cm)
故由正弦定理可得
c sin A 34 sin 41 34 0.656 sin C 0.5440. a 41 41 ∵c<a，故C是锐角
∴利用计算器可求得 C≈33° ∴B=180o-(A+C)=180o-(41o+33o)=106°
例2，在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。 解：
C a
2 2 CB CA 2CB CA b 2 2 | CB | | CA | 2 | CB || CA | cos C
2 2
c a b 2ab cos C
2
A
c=？
解：∵∠B＝60o，∠ADC＝150o ∴∠BDA＝30o，∠BAD＝90o，
A
∵BD＝2
B
D
CБайду номын сангаас
∴AB=2sin30o=1，AD=2sin60o= 3
AC AD2 DC 2 2 AD DC cos ADC
3 1 2 3 1 cos150
7
解题小结：
b2 c 2 a 2 cos A 2 2 2 2 bc a b c 2bc cos A 2 2 2 a c b 2 2 2 b a c 2ac cos B cos B 2ac c 2 a 2 b 2 2ab cos C a 2 b2 c 2 cos C 2ab
o ， B=60 ，求c. 7
c=3
解三角形问题的四种基本类型：
（1）知两角及一边： 求法：先求第三角，再用正弦定理求另外两边. （2）知两边及其中一边的对角： 需要判断解的个数 求法：①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边； ②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角： 求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边： 求法：用余弦定理求三个角.
b2 c 2 a 2 87.82 161.72 134.62 cos A 0.5543 2bc 2 87.8 161.7
∴A≈56°20′
c 2 a 2 b2 134.62 161.72 87.82 cos B 0.8398 2ca 2 134.6 161.7
作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1， ∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长 。
A
B
D
C
思考：已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c. （要求：不用计算器）
作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1， ∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长 。
又 B A
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的 夹角为C，试求AB边的长c. 思路2：依条件可知，| CB | a ,| CA | b, AB CB CA
2 2 | AB | | CB CA |
B
c a 2 b2 2ab cos C
C
c a b 2ab cos C
2 2 2
同理可得a b c 2bc cos A
2 2 2
b
a
b2 a 2 c 2 2ac cos B
A
c=？
B
余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即