线性规划应用题
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。
工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。
每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。
玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。
每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。
每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。
现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。
1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。
2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。
2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划题及答案
线性规划题及答案1. 问题描述假设一家餐馆每天供应两种菜品：A和B。
每份A菜品的成本为2美元，每份B菜品的成本为3美元。
餐馆每天有100美元的预算用于购买这两种菜品。
餐馆预计每天能卖出20份A菜品和30份B菜品。
每份A菜品的售价为5美元，每份B 菜品的售价为4美元。
餐馆希望最大化每天的利润。
2. 线性规划模型设变量：x1：购买的A菜品的份数x2：购买的B菜品的份数目标函数：最大化利润：Z = 5x1 + 4x2约束条件：成本约束：2x1 + 3x2 ≤ 100供应约束：x1 ≤ 20x2 ≤ 30非负约束：x1, x2 ≥ 03. 求解线性规划问题为了求解该线性规划问题，我们可以使用各种数学软件或线性规划求解器。
下面是使用一个线性规划求解器得到的最优解。
x1 = 20x2 = 26.67Z = 186.67解释：根据最优解，餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
在这种情况下，每天的利润为186.67美元。
4. 灵敏度分析灵敏度分析用于确定目标函数系数或约束条件右侧值的变化对最优解的影响。
下面是对目标函数系数和约束条件右侧值进行灵敏度分析的结果。
目标函数系数灵敏度：如果A菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从5变为6，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从4变为5，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
约束条件右侧值灵敏度：如果成本约束从100美元增加到120美元，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果A菜品供应约束从20份增加到25份，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品供应约束从30份减少到25份，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
根据线性规划模型的最优解和灵敏度分析的结果，我们可以得出以下结论：- 餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
线性规划经典例题
线性规划经典例题【题目描述】某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A和B的生产时间分别为2小时和3小时。
产品A和B的利润分别为每一个单位的利润为5元和4元。
公司希翼最大化每天的利润。
已知产品A和B的生产过程中，每一个单位所需的原材料分别为2个和3个。
公司每天可用的原材料数量为12个。
请问公司应该如何安排每天的生产计划，以获得最大利润？【解题思路】这是一个典型的线性规划问题，我们可以通过建立数学模型来求解。
首先，我们定义决策变量：x表示每天生产的产品A的数量，y表示每天生产的产品B的数量。
然后，我们需要确定目标函数和约束条件。
【目标函数】公司的目标是最大化每天的利润，即最大化目标函数Z：Z = 5x + 4y【约束条件】1. 生产时间约束：产品A和B的生产时间不能超过每天的生产时间，即：2x + 3y ≤ 82. 原材料约束：产品A和B的生产过程中所需的原材料数量不能超过每天可用的原材料数量，即：2x + 3y ≤ 123. 非负约束：产品A和B的数量不能为负数，即：x ≥ 0y ≥ 0【求解过程】我们可以使用线性规划的求解方法来求解该问题。
首先，我们需要将目标函数和约束条件转化为标准的线性规划形式。
将目标函数Z = 5x + 4y转化为标准形式：Z = 5x + 4y + 0将约束条件2x + 3y ≤ 8转化为标准形式：2x + 3y + s1 = 8，其中s1 ≥ 0将约束条件2x + 3y ≤ 12转化为标准形式：2x + 3y + s2 = 12，其中s2 ≥ 0将约束条件x ≥ 0转化为标准形式：-x + 0y + s3 = 0，其中s3 ≥ 0将约束条件y ≥ 0转化为标准形式：0x - y + s4 = 0，其中s4 ≥ 0得到线性规划的标准形式为：Max Z = 5x + 4y + 02x + 3y + s1 = 82x + 3y + s2 = 12-x + 0y + s3 = 00x - y + s4 = 0x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 0s2 ≥ 0s3 ≥ 0s4 ≥ 0【求解结果】通过线性规划求解器，我们可以得到最优解：x = 2，y = 2，Z = 5(2) + 4(2) = 18因此，公司应该每天生产2个产品A和2个产品B，以获得最大利润18元。
线性规划应用题精选
A
所以每份盒饭中有面食 15 百克，米食为15 百克，费 用最省。
[例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生产 1 t产品需要的电力、煤、劳动力及产值． 如下表所示： 劳动力( 产值(千 品 电力(千 煤(吨) 度) 人) 元) 种 4 3 5 7 甲 6 6 3 9 乙
5 x 3 y 150
画出可行域如图：
画出直线7x+9y=0 并平移得点P使Z最小。
求出点P 为
(
150 7
,
100 7
)
所以每天生产甲产品 效益最大。
150 7
吨，乙产品
100 7
吨时，
该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用 电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t ，问每天生产这两种产品各多少时，才能 创造最大的经济效益？
解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得产值z千元。 目标函数为：z＝7x＋9y
4 x 6 y 180
线性约束条件为： 3 x 6 y 150
解：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元。 目标函数为：z＝0.5x＋0.4y
6x 3y 8
线性约束条件为：
4 x 7 y 10 x 0, y 0
画出可行域如图：
画出直线 0.5x+0.4y=0 并平移得点A使Z最 小。 求出点A 为
13 14 , 15 15
[例1] 某校食堂以面食和米食为主，面食每百 克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5 元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单 位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每 盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉， 应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品：产品A和产品B。
每个产品的生产需要消耗不同的资源，且每个产品的利润也不同。
公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
产品A需要消耗3个单位的资源1和4个单位的资源2，每个单位的产品A的利润为5。
产品B需要消耗6个单位的资源1和2个单位的资源2，每个单位的产品B的利润为8。
公司拥有的资源1和资源2的总量分别为30和20。
二、数学模型设x为生产产品A的数量，y为生产产品B的数量。
目标是最大化利润，即最大化5x + 8y。
约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0。
三、线性规划求解使用线性规划求解器求解上述问题。
输入目标函数和约束条件后，求解器将自动计算出最优解。
给定目标函数为：5x + 8y约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0求解结果如下：最大利润为：120生产产品A的数量为：5生产产品B的数量为：3四、解释结果根据求解结果，最大利润为120，生产5个产品A和3个产品B可以实现最大利润。
同时，根据约束条件，生产数量不能为负数，因此生产数量均为非负数。
五、敏感性分析敏感性分析用于确定目标函数系数的变化对最优解的影响程度。
在本例中，我们将分别增加产品A和产品B的利润，观察最优解的变化情况。
1. 增加产品A的利润：假设每个单位的产品A的利润增加1，即每个单位的产品A的利润为6。
重新求解线性规划问题，得到最大利润为130，生产产品A的数量为6，生产产品B的数量为2。
可以看出，增加产品A的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品A的数量均增加。
2. 增加产品B的利润：假设每个单位的产品B的利润增加1，即每个单位的产品B的利润为9。
重新求解线性规划问题，得到最大利润为135，生产产品A的数量为4，生产产品B的数量为4。
可以看出，增加产品B的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品B的数量均增加。
线性规划经典例题
线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。
产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。
每天的生产量不能超过100件。
工厂希翼最大化每天的利润。
【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。
根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。
【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。
由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。
【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。
这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。
【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。
为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要2个工时和3个材料单位，每单位产品B需要3个工时和2个材料单位。
已知该工厂每天有40个工时和50个材料单位可用。
产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位80元。
问该工厂应该生产多少单位的产品A和产品B才能使利润最大化？二、数学建模1. 假设生产产品A的单位数量为x，生产产品B的单位数量为y。
2. 根据题目要求，可以得到以下约束条件：- 工时约束：2x + 3y ≤ 40- 材料约束：3x + 2y ≤ 50- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 03. 目标函数：利润最大化，即最大化目标函数 Z = 100x + 80y。
三、标准格式的线性规划模型最大化目标函数：Z = 100x + 80y约束条件：2x + 3y ≤ 403x + 2y ≤ 50x ≥ 0，y ≥ 0四、求解方法可以使用线性规划的求解方法，如单纯形法或者求解器进行求解。
以下是使用求解器求解的步骤：1. 打开线性规划求解器，输入目标函数和约束条件。
2. 设置目标为最大化。
3. 添加约束条件：2x + 3y ≤ 40，3x + 2y ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0。
4. 点击求解按钮，得到最优解及最优值。
5. 解释结果并作出决策。
五、求解结果与决策分析经过求解器计算，得到最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 1800。
根据最优解，该工厂应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，才能使利润最大化，最大利润为1800元。
六、敏感性分析对于该线性规划问题，我们可以进行敏感性分析来了解目标函数系数的变化对最优解的影响。
1. 目标函数系数变化：- 如果产品A的利润系数从100变为110，产品B的利润系数从80变为90，重新求解得到新的最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 2000。
可以看出，利润系数的变化对最优解有一定的影响，但最优解仍然是生产10个单位的产品A和10个单位的产品B。
线性规划练习题及解答
线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。
这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。
解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要1小时的加工时间，产品B每件需要2小时的加工时间。
公司每天的总加工时间不能超过8小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。
公司希望最大化每天的利润。
二、数学建模：设公司每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。
则目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：1. 生产时间约束：x + 2y ≤ 82. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、线性规划模型：Maximize Z = 100x + 200ySubject to:x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0四、求解方法：可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用单纯形法或内点法等。
以下是使用单纯形法求解的步骤：1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 02. 引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束：x + 2y + s1 = 8x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 03. 构建初始单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | 0 | 0-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 84. 进行单纯形法迭代计算：a. 选择进入变量：选择目标函数系数最大的非基变量，即选择y进入基变量。
b. 选择离开变量：计算各个约束条件的最小比值，选择比值最小的非基变量对应的约束条件的基变量离开基变量。
在本例中，计算得到最小比值为4，对应的约束条件为x ≥ 0，所以x对应的基变量离开基变量。
c. 更新单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | -2 | -400-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 8d. 继续迭代计算，直到目标函数系数均为负数或零，达到最优解。
线性规划应用题
线性规划应用题1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业可获得最大利润。
解析：设甲、乙种两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即已知约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+001832133y x y x y x ，求目标函数y x z 35+=的最大值，可求出最优解为⎩⎨⎧==43y x ，故271215max =+=z 。
2. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,求所需租赁费的最少值.【解析】:设甲种设备需要生产x 天, 乙种设备需要生产y 天, 该公司所需租赁费为z 元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品 设备 A 类产品 (件)(≥50) B 类产品 (件)(≥140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备620300则满足的关系为565010201400,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩即:61052140,0x y x y x y ⎧+≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩,作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线6105214x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点(4,5)时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元.答案:23003. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去应该在同一天下午4至9点到达C 市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元）， 那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?分析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围解：（1）依题意得v =y 50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100 ∴3≤x ≤10，25≤y ≤225①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14 ② 因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界） （2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ）， ∴3x +2y =131－p设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小 此时，v =125，w =30，p 的最小值为93元点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义4. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：(表中单位:百元)资 金 单位产品所需资金 月资金供应量空调机 洗衣机 成 本 30 20 300 劳动力:工资 5 10 110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300，5x +10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x 、y 均为整数由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元5. 某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾3 9 10 14 xO 2.5 9 14y驶员此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么9106683604,7,x y x y x x N y y N+≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎨≤∈⎪⎪≤∈⎩ z =252x +160y ，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线l 0：252x +160y =0，把直线l 使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小观察图形，y =t 经过点（2，5）时，满足上述要求此时，z =252x +160y 取得最小值，即x =2，y =5时，z min =252×2+160×5=1304 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低解题回顾:用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f （x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点6. 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价05元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价04元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克）， 所需费用为S =05x +04y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8，4x +7y ≥10，x ≥0，y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少7. 配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg 今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1，y ≥1，3x +5y ≤20，5x +4y ≤25上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法8. 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：每张钢板的面积为：第一种1m 2，第二种2 m 2，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，且使所用钢板面积最小？解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥+≥+≥+Ny x y x y x y x y x ,,0,027315212，y x z 2+=， 作出可行域，得1l 与3l 的交点为A （215,29），当直线y x z 2+=过点A 时z 最小，但A 不 是整点，而在可行域内，整点（4，8）和 （6，7）都使z 最小，且20726824min =⨯+=⨯+=z ，所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7张，能满足要求.块数 规格 种类A B C第一种钢板 1 2 1 第二种钢板1138l 11228l 2x yl 3O1216 A。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻觅使目标函数取得最大（最小）值的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划往往被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。
部门A 每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。
公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才干使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。
车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。
工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才干使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。
公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。
每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。
公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。
二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。
目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。
1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产A、B两种产品，每天生产的产品数量不同，且每种产品的生产时间和利润也不同。
现在需要确定每种产品的生产数量，以使得总利润最大化。
已知每天可用的生产时间为8小时，A产品的生产时间为2小时/件，利润为200元/件；B产品的生产时间为3小时/件，利润为300元/件。
同时，还有以下限制条件：1. A、B产品的总生产数量不能超过100件；2. A产品的生产数量不能超过60件；3. B产品的生产数量不能超过80件。
二、问题分析这是一个典型的线性规划问题，需要确定A、B产品的生产数量，使得总利润最大化。
根据题目中的限制条件，可以得到以下数学模型：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0三、数学模型目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0四、求解过程1. 根据数学模型，列出线性规划的标准形式：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：A +B ≤ 100A ≤ 60B ≤ 80A, B ≥ 02. 根据标准形式，画出目标函数和约束条件的图形：在二维坐标系中，以A为横轴，B为纵轴，画出以下直线：A +B = 100A = 60B = 80并标明非负约束条件。
3. 确定可行解区域：根据约束条件，可得到可行解区域为一个三角形，顶点分别为(60, 40)、(60, 80)和(0, 80)。
4. 确定目标函数的最优解：由于目标函数是线性的，最优解一定在可行解区域的某个顶点上。
计算每一个顶点的目标函数值：(60, 40)：Z = 200 * 60 + 300 * 40 = 28,000(60, 80)：Z = 200 * 60 + 300 * 80 = 36,000(0, 80)：Z = 200 * 0 + 300 * 80 = 24,000可知，目标函数的最优解为Z = 36,000，对应的生产数量为A = 60，B = 80。
线性规划经典例题
线性规划经典例题1. 问题描述假设我们有一个农场，种植两种作物：小麦和大豆。
农场有一定的土地和资源限制，我们需要确定如何分配这些资源，以最大化农场的利润。
我们知道每亩小麦的利润为1000元，每亩大豆的利润为2000元。
同时，我们还知道种植每亩小麦需要2个单位的肥料和3个单位的水，而种植每亩大豆需要4个单位的肥料和2个单位的水。
农场总共有100个单位的肥料和90个单位的水可用。
我们需要确定种植多少亩小麦和多少亩大豆，以最大化利润。
2. 数学建模为了解决这个问题，我们可以使用线性规划来建立数学模型。
假设我们种植x 亩小麦和y亩大豆，则我们的目标是最大化利润，即最大化目标函数Z = 1000x + 2000y。
同时，我们需要满足资源限制，即种植小麦和大豆所需的肥料和水不能超过总量。
因此，我们有以下约束条件：2x + 4y ≤ 100（肥料限制）3x + 2y ≤ 90（水限制）x ≥ 0，y ≥ 0（非负性约束）3. 求解方法我们可以使用线性规划的求解方法来找到最优解。
常见的方法有图形法、单纯形法和内点法等。
在这个例题中，我们使用单纯形法求解。
4. 求解过程首先，我们将约束条件转化为标准形式。
将不等式约束转化为等式，并引入松弛变量，得到以下等式约束：2x + 4y + s1 = 1003x + 2y + s2 = 90其中，s1和s2为松弛变量。
接下来，我们构建初始单纯形表格：基变量 | x | y | s1 | s2 | b |--------------------------------------s1 | 2 | 4 | 1 | 0 | 100 |s2 | 3 | 2 | 0 | 1 | 90 |--------------------------------------Z | -1000| -2000| 0 | 0 | 0 |其中，Z表示目标函数的系数，初始解为0。
我们选择最负的目标函数系数对应的列作为进入变量，即选择-2000对应的y列。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
工厂有两个车间，分别是车间1和车间2。
每天车间1生产A产品需要2小时，B产品需要1小时；车间2生产A产品需要1小时，B产品需要3小时。
每天车间1的工作时间为8小时，车间2的工作时间为10小时。
工厂需要决定每天在两个车间分别生产多少单位的A和B产品，以最大化利润。
二、数学模型设每天在车间1生产的A产品单位数为x1，B产品单位数为y1；车间2生产的A产品单位数为x2，B产品单位数为y2。
根据题目要求，可以得到以下约束条件：车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 0目标函数为利润的最大化：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y2三、求解过程1. 确定决策变量和目标函数决策变量：x1, y1, x2, y2目标函数：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y22. 确定约束条件车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 03. 求解最优解利用线性规划求解方法，将目标函数和约束条件输入线性规划求解器，得到最优解。
四、数值计算与结果分析假设A总产量为100单位，B总产量为80单位。
将上述条件带入线性规划求解器，得到最优解如下：x1 = 20，y1 = 0，x2 = 60，y2 = 20根据最优解，工厂每天在车间1生产20单位的A产品，不生产B产品；在车间2生产60单位的A产品和20单位的B产品。
此时，工厂的利润最大化为：10 * 20 + 8 * 0 + 10 * 60 + 8 * 20 = 1160 元。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，产品A每单位售价为10元，产品B每单位售价为15元。
公司有两个生产车间，分别称为车间1和车间2。
每天车间1可生产产品A 4个单位或者产品B 6个单位，车间2可生产产品A 3个单位或者产品B 2个单位。
公司每天可提供的生产时间为8小时。
每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。
每天的总生产成本为生产产品A的数量乘以5元，生产产品B的数量乘以4元。
公司希翼在满足生产能力和时间限制的前提下，最大化每天的总利润。
二、数学建模1. 定义变量设x为每天生产的产品A的数量（单位：个），y为每天生产的产品B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数目标函数为最大化每天的总利润。
总利润等于每天销售产品A的收入减去生产成本，再加之每天销售产品B的收入减去生产成本。
由此可得目标函数：Maximize Z = 10x + 15y - 5x - 4y化简得：Maximize Z = 5x + 11y3. 建立约束条件（1）车间1每天可生产的产品A的数量为4个单位或者产品B的数量为6个单位，即约束条件为：4x + 6y ≤ 8（2）车间2每天可生产的产品A的数量为3个单位或者产品B的数量为2个单位，即约束条件为：3x + 2y ≤ 8（3）每天的生产时间为8小时，每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时，即约束条件为：x + 2y ≤ 8（4）生产数量不能为负数，即约束条件为：x ≥ 0, y ≥ 04. 整理数学模型综合以上信息，得到线性规划的数学模型如下：Maximize Z = 5x + 11ySubject to:4x + 6y ≤ 83x + 2y ≤ 8x + 2y ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题可以使用线性规划求解方法，如单纯形法或者内点法，求解以上线性规划问题，得到最优解。
根据求解结果，可以得到最大利润为XXX元，此时每天生产产品A的数量为XXX个，每天生产产品B的数量为XXX个。
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线性规划应用题
1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业可获得最大利润。
解析：设甲、乙种两种产品各需生产x 、
y 吨，可使利润z 最大，故本题即
已知约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
01832133y x y x y x ，求目标函数y x z 35+=的最大
值，可求出最优解为⎩
⎨⎧==43
y x ，故271215max =+=z 。
2.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产
A 类产品5件和
B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,求所需租赁费的最少值.
【解析】:设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产
y 天,该公司所需租赁费为z 元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 A 类产品 (件)(≥50)
B 类产品 (件)(≥140)
租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备
6
20
300
则满足的关系为565010201400,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩即:6
105
214
0,0
x y x y x y ⎧+≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩,
作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10
5
214
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点(4,5)时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元.
答案:2300
3.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v nmi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50nmi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去应该在同一天下午4至9点到达C 市设
乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h
（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；
（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元）， 那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围 解：（1）依题意得v =
y 50，w =x
300，4≤v ≤20，30≤w ≤100 ∴3≤x ≤10，25≤y ≤2
25
①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在
9至14个小时之间， 即9≤x +y ≤14②
因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图 中阴影部分（包括边界）
（2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ）， ∴3x +2y =131－p
设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－
2
3
的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小
此时，v =125，w =30，p 的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义
4.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有
关数据如下表：(表中单位:百元)
资金 单位产品所需资金 月资金供应量
空调机 洗衣机 成本 30 20 300 劳动力:工资 5 10 110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则
P =6x +8y ，由题意有
30x +20y ≤300，5x +10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x 、y 均为整数
由图知直线y =－
43x +8
1
P 过M （4，9）时，纵截距最大这时P 也取
最大值P max =6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元
3
9 10 14
x
O
2.5 9 14 y
5.某矿山车队有4辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天
至少要运360t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡
车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少
辆，车队所花成本费最低?
分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解
解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么
9
106683604,7,x y x y x x N y y N
+≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪
⎨
≤∈⎪⎪≤∈⎩ z =252x +160y ，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l 0：252x +160y =0，把直线l 向右上方平移，
使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小观察图形，可见当直线=t 经过点（2，5）时，满足上述要求
此时，z =252x +160y 取得最小值，即x =2，y =5时，z min =252×2+160×5=1304
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低
解题回顾:用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f
（x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点
6.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价05元，
米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价04元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭
至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克）， 所需费用为S =05x +04y ，且x 、y 满足
6x +3y ≥8，4x +7y ≥10，x ≥0，y ≥0，
由图可知，直线y =－
45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小 故每盒盒饭为面食1513百克，米食15
14
百克时既科学又费用最少
7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3mg ，乙料5mg ；配一剂B 种药需甲料5mg ，乙料4mg 今有甲料20mg ，乙料25mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?
解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1，y ≥1，3x +5y ≤20，5x +4y ≤25
上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法
8.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：
每张钢板的面积为：第一种1m 2，第二种2
m 2
，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，
且使所用钢板面积最小？
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则有：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧∈≥≥≥+≥+≥+N
y x y x y x y x y x ,,0,027315212，y x z 2+=， 作出可行域，得1l 与3l 的交点为A （2
15
,29），
当直线y x z 2+=过点A 时z 最小，但A 不 是整点，而在可行域内，整点（4，8）和 （6，7）都使z 最小，且
20726824min =⨯+=⨯+=z ，所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7张，能满足
要求.
块数规格 种类
A B C
第一种钢板 1 2 1 第二种钢板
1
1
3
8
l 1
12
28
l 2 x y
l 3
O
12
16 A。