第八章习题解答

8.2
制作一全息图， 记录时用的是氩离子激光器波长为 488.0nm 的光， 而成像时则是用 He-Ne 激光器波长为 632.8nm 的光：
(1) 设 z p = ∞ ， z R = ∞ ， zO = 10cm ，问像距 zi 是多少? (2) 设 z p = ∞ ， z R = 2 zO ， zO = 10cm ，问 zi 是多少?是多少?放大率 M 是多少?
(b) 物体位于透镜前 f − dO 处，应用公式(5.3.17)得到后焦面上的光场分布为 U O ( x, y ) = C ′e
ik x2 + y 2 2 dO
∫∫ g ( x
∞
O
, yO )e
− ik
xxO + yyO dO
dxO dyO = C ′e
ik
x2 + y 2 2 dO
G (ξ ,η )
∫∫ g ( xO , yO )e
∞
− i 2π (ξ xO +η yO )
dxO dyO = C ′e
ik
f − dO
2f2
( x2 + y 2 )
G (ξ ,η )
式中， G (ξ ,η ) 是 g ( xO , yO ) 的频谱， ξ = x / λ f ,η = y / λ f 。参考光在后焦面上形成分布为：
于是有： zi = ∓ zO
x xi = zi ∓ O zO
yp y y y yi = zi ± R ∓ O = zi tan θ p ± tan θ R ∓ O z zO p z R zO
对于原始虚像(第二组符号)有
zi = zO , xi = xO , yi = yO + zO (tan θ p − tan θ R )
8.10
曾有人提出用波长为 0.1nm 的辐射来记录一张 X 射线全息图，然后用波长为 600.0nm 的可见光来再现像。选择如下图题(上部)所示的无透镜傅里叶变换记录光路，物体的宽 度为 0.1mm，物体和参考点源之间的最小距离选为 0.1mm，以确保孪生像和“同轴”干 涉分离开，轴”干涉分离开．X 射线底片放在离物体 2cm 处。
对于共轭实像(第一组符号)有
zi = − zO , xi = xO , yi = yO − zO (tan θ p + tan θ R )
不管是原始虚像或共轭实像， zi 均与 xO , yO 无关，即不管物点在物平面上位于何处，其像 点均在同同一平面内，但位置有变化，随参考光波和再现光波的不同而在像平面内发生平移。
(1) 投射到底片上的强度图案中的最大频率(周／mm)是多少?
5
(2) 假设底片分辨率足以记录所有的入射强度变化，有人提议用下图(下部)所示的通常方
法来再现成像，为什么这个实验不会成功?
解： (1) 选择参考光源位于坐标的原点，且 y 轴方向向下，则在公式 η = ( yO − yR ) / λ z 中，
再现光用参考光波的共轭波，即 C = R* ，再现光波场为
U ( x, y ) = R*t = Rtb e − ikx sin θ + β ′eiφO ( x , y )− 2 ikx sin θ + β ′ ARe-iφO ( x , y )
如果使 e− iφO ( x , y ) 代表的光波 Σ* O 通过透镜，则与透镜所产生的有像差的波面 Σ O 形状相同，方向 相反，再经过透镜后可变成平面波。因此，在焦点平面上形成一个理想系统的衍射斑，所图
全息图上的光强分布为
I ( x, y ) = A2 + R 2 + AReiφO ( x , y )−ikx sin θ + ARe-iφO ( x , y ) +ikx sin θ
全息图的振幅透为：
t = tb + β ′eiφO ( x , y ) −ikx sin θ + β ′ ARe-iφO ( x , y )+ ikx sin θ
式中， G (ξ ,η ) 是 g ( xO , yO ) 的频谱， ξ = x / λ f ,η = y / λ f 。参考光在后焦面上形成分布为：
U R ( x, y ) = R ⋅ e
ik x2 + y 2 2 dO
∫∫ δ ( x
∞
O
+ b, yO )e
− ik
xxO + yyO dO
dxO dyO = R ⋅ e
zi = − zO ， M = 1 ，右方，实像。
8.4
下表列举了几种底片的 MTF 的近似截止频率 型号
Kodak Kodak Kodak Agfa Tri-x
线/mm
50 60 300 600
高反差片
SO-243 Agepam FF
设用 632nm 波长照明，采用无透镜傅里叶变换记录光路，参考点和物体离底片 10cm。 若物点位于某一大小的圆(在参考点附近)之外，则不能产生对应的像点，试对每种底片 估计这个圆的半径大小。 解：由式(8.7.24)可求得圆半径 rmax 的大小依次为：3.16，3.8，19，37 mm
I ( x, y ) = R 2 + C ′2 | G (ξ ,η ) |2 + RC ′e − i 2πξ b G (ξ ,η ) + RC ′ei 2πξ b G * (ξ ,η )
由此可见，二次相位因子已相互抵消，只有倾斜因子和物频谱，故记录了物的傅里叶频谱， 但记录面又不是物的准确傅里叶变换平面，所以称为准傅里叶变换全息图。
ik
x2 + y 2 2 dO
ei 2πξ b
全息图平面上的光强分布为
I ( x, y ) = R 2 + C ′2 | G (ξ ,η ) |2 + RC ′e − i 2πξ b G (ξ ,η ) + RC ′ei 2πξ b G * (ξ ,η )
由于物光波和参考光波有相同的相位因子，可相互抵消，从而得到物体的准傅里叶变换全息 图。
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8.7
见下图题(a)，点源置于透镜前焦点，全息图可以记录透镜的像差试证明：用共扼参考光 照明(图(b))可以补偿透镜像差，在原点源处产生一个理想的衍射斑。
解：将点源置于透镜前焦点，由于透镜有像差，通过透镜出射的波面 ΣO 不为平面。参考光波 用平面波，在全息平面上物光和参考光波的复振幅分布为
U O ( x, y ) = AeiφO ( x , y ) ， U R ( x, y ) = Reikx sin θ
8.5
证明下图(a)和(b)的光路都可以记录物体的准傅里叶变换全息图。
证明：(a) 物体位于透镜前 d O 处，应用公式(5.3.10)，这里 q = f ，则物体 g ( xO , yO ) 在记录平 面上后焦面上的光场分布为
U O ( x, y ) = C ′e
ik f − dO
2f2
( x2 + y 2 )
3
(2) 虽然， 冗余的各小块并不带来新的信息， 但各小块再现像的叠加提高了像的信噪比，
增加了像的亮度。 其次， 一个物点再现为一个像点是在假定全息记录文件质也即全息图为无限大的情况下 得出的。对于有限大小的全息图，点物的再现像是一个衍射斑，全息图越小衍射斑越大，分 辨率越低。碎块的再现像分辨率较低。 最后，通过全息图来观察再现像，尤如通过橱窗看里面的陈列品一样，如将橱窗的一部 分遮档，有些物品就可能看不到，因此，小块全息图再现时，视场较小。
8.9
说明博里叶变换全息图的记录和再现过程中，可以采用平行光入射和点光源照明两种方 式，并且这两种方式是独立的。
答：傅里叶变换全息图的核心是(a)通过一个傅里叶变换装置将物频谱记录下；(b) 再通过一 个傅里叶装置将物谱还原成物。因此，不管记录和再现装置有何具体差异，只要有傅里叶变 换功能即可。 当把物体置于变换透镜的前焦面，若用平行光照明，则透镜的后焦面则为物的标准频谱 面；若用点光源的物像共轭面即为物的标准频谱面。因此，记录时无论用平行光或点光源照 明，均可在相应的共轭面处记录下标准的物谱。同样，再现时无论用平行光照明或点光源照 明均可在共轭面处得到物。平行光照明和点光源照明可任意配置，这两种方式是独立的。
习 题 8
8.1 证明：若一平面物体的全息图记录在一个与物体相平行的平面内，则最后所得到的像将 在一个与全息图平行的平面内。(为简单起见，可设参考光为一平面波。) 证明：利用点源全息图公式 (8.5.20)~(8.5.22) ，取物平面上任一点来研究。为简单起见，设
λ1 = λ2 ，参考光波和再现光波是波矢平行于 y − z 平面的平面波，即 z p = z R = ∞ , x p = xR = 0 。
复振幅分布，则它的角谱为
cos α cos β A , λ λ
由于 ξ =
cos α
− i 2π = ∫∫ U ( x, y, 0)e ∞
cosα
λ
x+
cos β y λ
dxdy
λ
,η =
cos β
λ
，所以
5 5 cos α cos β 不为零 0.5 × 10 ≤ cos β / λ ≤ 10 A , = λ 其他 λ 0
(b)所示。而其它两项不在轴线方向而发散了。
采用全息图校正板后，在限视场的情况下可以改善成像质量。但也有如下缺点：全息图
4
的衍射效率低；由于全息图存在色散效应，必须采用单色光；全息图校正又引入了自身的像 差。
8.8
彩虹全息照相中使用狭缝的作用是什么?为什么彩虹全息图的色模糊主要发生在与狭缝 垂直的方向上?
2
U R ( x, y ) = R ⋅ e
ik
f − dO
2f2
( x2 + y 2 )
∫∫ δ ( xO + b, yO )e
∞
− i 2π ( ξ xO +η yO )
dxO dyO = R ⋅ e
ik
f − dO
2f2
( x2 + y 2 )
ei 2πξ b
这里的记录平面并不是物和参考光的准确傅里叶变换平面，多了一个二次相位因子，因此说 全息图是物光场分布的准傅里叶变换平面。全息图平面上的光强分布为
8.6
散射物体的菲涅耳全息图的一个有趣性质是，全息图上局部区域的划痕和脏迹并不影响 原的再现，甚至取出全息图的一个碎片，仍能完整地再现原始物体的像，这一性质称为 全息图的冗余性。
(1) 应用全息照相的基本原理，对这一性质加以说明． (2) 碎片的尺寸对再现原的质量有哪些影响?
解：(1) 对于散射物体的菲涅耳全息图，物体与底片之间的关系是点面对应关系，即每一受 发出的光波都直接照射到记录介质的整个平面上；反过来，菲涅耳全息图上的每一点都包含 了物体各点的全部信息，称为全息图的“冗余”性。这意味着只要一小块全息图就可完整再 现原始物的像。因此，局部区域的划痕和脏迹并不影响物的完整再现，甚至取出一小块仍能 完整再现原始物的像。
答：在彩虹全息照相中使用狭缝的目的是为了能在白光照明下再现准单色像。在普通全息照 相中，若用白光照明全息图再现时，不同波长的光同时进入人眼，我们将同时观察到相互错 位的不同颜色的再现像，造成再现像的模糊，即色模糊。在彩虹全息照相中，由于狭缝起了 分色作用，再现过程中不同波长的光对应不同的水平狭缝位置，通过某一狭缝位置只能看到 某一准单色的像，从而避免了色模糊。 在彩虹全息照相中，为了便于双眼观察，参考平面波的选择总是使全息图的光栅结构主 要沿水平方向，因而色散沿竖直方向。狭缝沿水平方向放置，这样色散方向与狭缝垂直，即 色模糊订发生在与狭缝垂直方向上。这样做的结果便于人眼上下移动选择不同颜色的准单色 像。
yO max = 0.2 mm， yO min = 0.1 mm， yR = 0 ， z = 20 mm。这样有：
ηmax = ηmin
0.2 = 105 周/mm 10 × 20 0.1 = −7 = 0.5 × 105 周/mm 10 × 20
−7
因此，这样一张全息图所记录的空间频率范围为
0.5 × 105 ≤ η ≤ 105 (2) 当用 600nm 的单色平面波垂直照射这张全息图时，设 U ( x, y, 0) 为透过全息图的光场
解：由式(8.5.20)可得：
(1) zi = ∓7.7 cm (2) zi = ∓15.4 cm， M = 2
8.3
证明： 若 λ2 = λ1 ， 及 z p = zR ， 则得到一个放大率为 1 的虚像； 而若 λ2 = λ1 ， 及 z p = − z R 时，
1
则得到一个放大率为 1 的实像。 证明：由式 (8.5.20) 的第二组可得 zi = zO ， M = 1 ，左方，虚像。由式 (8.5.20) 的第一组可得