高数10-3、4(1)

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大学高等数学上考试题库（附答案）

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x =（C ）()f x x = 和 ()()2g x x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()sin 420ln 10x x f x x a x ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰ ②()220dxa x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A4．C 5．D 6．C 7．D 8．A9．A10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________.7. 20_______________________.x td e dt dx-=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x < 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e 5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+=三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰ =221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、不存在3、=--→211)1sin(limx x x （）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos2)( ，则 =)(x f （）.A 、2sinx B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、⎰=+dx x x ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰104dx x π B 、⎰1ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-14)1(dx x π 9、⎰=+101dx e e xx（）.A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e+ D 、221ln e +10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数x xe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 xx x x --+→11lim； 2、求x x y s i n ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94； 3、0 ； 4、x e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ；四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x c o slim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→ 3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x xdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰104dx xπ B 、⎰10ydy πC 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π 9、设a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π 10、方程（）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 x xe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；4、=⎰-113cos xdx x ；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、x e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x x e C e C 221+. 三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 6、x e xy 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

2019年成人高考《高数一》考试真题(含解析)

学习攻略—收藏助考锦囊系统复习资料汇编考试复习重点推荐资料百炼成金模拟考试汇编阶段复习重点难点梳理适应性全真模拟考试卷考前高效率过关手册集高效率刷题好资料分享学霸上岸重点笔记总结注：下载前请仔细阅读资料，以实际预览内容为准助：逢考必胜高分稳过2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.当x→O时，x+x2+x3+x4为x的（）。

A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小2.limx→∞�1+2x�x=（）。

A.-e2B.-eC.eD.e23.设函数y=cos2x，则y′=（）。

A.2sin2xB.-2sin2xC.sin2xD.-sin2x4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a.b)可导，f′(x)>0,f(a)f(b)<0，则在(a.b)内零点的个数为（）。

A.3B.2C.1D.05.设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)=（）。

A.0B.2C.x2D.x2+C6.设函数f(x)=arctan x，则∫f′(x)dx=（）。

A.−arctan x+CB.−11+x2+CC.arctan x+CD.11+x2+C7.设I1=∫x2dx10,I2=∫x3dx110,I3=∫x4dx10，则（）。

A.I1＞I2＞I3B.I2＞I3＞I1C.I3＞I2＞I1D. I1＞I3＞I28.设函数z=x2e y，则∂z∂x�(1,0)=（）。

A.0B.12第 1 页，共 6 页2/25C.1D.29.平面x +2y −3z +4=0的一个法向量为（）。

A.{1,−3,4}B.{1,2,4}C.{1,2,−3}D.{2,−3,4}10.微分方程y ′′+(y ′)3+y 4=x 的阶数为（）。

A.1 B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（11-22小题，每小题4分，共40分）11.lim x→0tan 2x x = 。

川大版高数第三册答案(1)

川大版高数第三册答案(1)1.（）***** 1 1 0 1 0 3该数列为奇排列（）***** =5 2 0 0 1 0=8该排列为偶排列（3）n(n 1) 321 (n 1) (n 2) (n 3) n(n 1)2当n 4m或n 4m 1时，n(n 1) 321 为偶数，排列为偶排列当n 4m 2或n 4m 3时，n(n 1) 321 为奇数，排列为奇排列（其中m 0，1，2 )（4）135 （2n 1)246 (2n) 0 1 2 3 (n 1)n(n 1)2当n 4m或n 4m 1时，135 （2n 1)246 (2n) 为偶数，排列为偶排列当n 4m 2或n 4m 3时，135 （2n 1)246 (2n) 为奇数，排列为奇排列（其中m 0，1，2 )2.解：已知排列i1i2 in的逆序数为k，这n 个数按从大到小排列时逆序数为(n 1) (n 2) (n 3) 设第x数ix之后有r 个数比ix小，则倒排后ix的位置变为in x 1，其后n x r个数比in x 1小，两者相加为n x故inin 1 i13 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列当n 2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）a13a24a33a41不是行列式的项a14a23a31a42是行列式的项因为它的列排排列逆序列n(n 1)个.2n(n 1)i1i2 in 2=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，应带负号（2）a51a42a33a24a51不是行列式的项a13a52a41a35a24=a13a24a35a41a52 因为它的列排排列逆序列(*****)=2+2+2+0+0=6 为偶数应带正号。

a115 解：a12a14a23a23a23a32a34a31a44a41利用为正负数来做，一共六项，为正，则带正号，为负则带负a42号来做。

高数第十单元无穷级数

第十单元无穷级数10－1 常数项级数的概念与审敛法［教学基本要求］高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p -级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理；4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．微积分 1。

理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p -级数的敛散性结果,掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理;4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．[知识要点]一、常数项级数的敛散性判别法及其说明除开因lim n n u →∞≠0，而判定n n u ∞=1∑发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.)，(2)limn≤，其且其和S u1几何级数(等比级数)n n aq ∞=1∑：当|q |<1时级数收敛；当|q |≥1时级数发散。

p -级数p n n ∞=11∑：当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散。

级数ln pn n n∞=21∑,当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散. 二、正项级数判敛的一般程序：nu∞=1∑ ρ=1 n u n n u ∞=1∑发散 n n u ∞=1∑发散,n n u ∞=1∑收敛三、任意项级数的判敛程序：收敛 n n u ∞=1∑条件收敛nn u∞=1∑发散nn u∞=1∑绝对收敛nn u∞=1∑发散［错误诊断］例1 判别下列级数的敛散性：(1）n ∞=1 （2）()nn n ∞=14+-12∑．（1）［错解］因为n =0，故该级数收敛．［错误分析］ lim n n u →∞=0是级数n n u ∞=1∑收敛的必要条件，不是充分条件．因此不能用一般项的极限为零判别级数收敛，但如果lim n n u →∞≠0,级数n n u ∞=1∑一定发散.[正确解法］因n n ==1,由n n ∞=11∑发散，知该级数发散． (2）[错解］因为()()()lim lim lim[()]n n n n n nn n n n nu u +1+1+1+1→∞→∞→∞4+-14+-14+-1==2224+-1不存在,所以该级数发散．［错误分析]正项级数的比值判别法只是正项级数收敛的充分条件，不是必要条件．也就是说，正项级数n n u ∞=1∑收敛，并不一定有limn n nu u ρ+1→∞=<1．［正确解法］因为该级数是正项级数，且当n ≥1时，()n n n n u 4+-15=≤22．由于等比级数nn ∞=152∑收敛，由比较判别法知所给级数收敛．例２若n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑皆收敛，且对于一切自然数n 有n n n u c v ≤≤，证明n n c ∞=1∑也收敛．[错误证明］由于n n c v ≤，且n n v ∞=1∑收敛，故由比较判别法可知n n c ∞=1∑收敛．［错误分析]上述证明的依据是级数的比较判别法，但是这个判别法只适用于正项级数．而题中并没有指明n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑为正项级数，因此上述证明方法不正确．［正确证法]由于n n n u c v ≤≤，因此n n n n c u v u 0≤-≤-，即()n n n c u ∞=1-∑与()n n n v u ∞=1-∑皆为正项级数．由于n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，因此()n n n v u ∞=1-∑收敛．由正项级数的比较判别法可知()n n n c u ∞=1-∑收敛．又()n n n n c u c u =+-，由级数的性质可知n n c ∞=1∑收敛．[典型例题补充］例1 选择题下列命题中正确的是（）．A ．若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，则()n n n u v ∞=1+∑可能发散．B ．若nn u∞=1∑收敛,n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．C ．若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都发散,则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．D ．若()nn n uv ∞=1+∑收敛，则n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑必定收敛．解正确答案是B ．由级数的性质知命题A 错误．由反正法知命题B 正确．事实上，假设()n n n u v ∞=1+∑收敛，由n n u ∞=1∑收敛及()n n n n v u v u =+-知，n n v ∞=1∑也收敛，这与已知矛盾．故()n n n u v ∞=1+∑必定发散．若设n n n u ∞∞=1=1=1∑∑发散,()n n n v ∞∞=1=1=-1∑∑也发散，但是()()n n n n u v ∞∞=1=1+=1-1=0∑∑收敛．可知命题C 与D 都不正确．说明若n n u ∞=1∑收敛，n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1±∑必定发散可以作为判定级数()n n n u v ∞=1±∑发散的充分条件使用．例1表明有限项相加的性质不能随意使用到无穷多项相加之中．例2 判别下列级数的敛散性：（1）()n nn n n ∞=131+∑；(2） (cos )n n ∞=111-∑;（3)nn n n ∞=1⎛⎫⎪2+1⎝⎭∑;（4) !()n n n a n a n ∞=1>0∑．解（1）因为lim lim()n n n n u e n→∞→∞13=3=≠011+，所以n n u ∞=1∑发散． (2)分析：由于lim(cos )n n →∞11-=0，而cos sin n u n n211=1-=2>02 注意：sin ()lim lim lim ()sinn n n n nu n u n n n222+1→∞→∞→∞212⎡⎤112+1⎛⎫===1 ⎪⎢⎥12+12⎝⎭⎣⎦22 可知所给级数不能利用比值判别法判定．解法1 注意 cossin n u n n211=1-=2>02 由于当x >0时，sin x x <,可知sin n n 11<22，sin n n 2211<24 正项级数n n ∞2=114∑为收敛级数，由比较判别法可知(cos )n n ∞=111-∑收敛．解法2 由于当x →0时,sin x ～x ．可知当n →∞时sin n u n 21=22～n v n21=2则 sin lim lim n n n nu n u n 2+1→∞→∞2122==112,由于n n ∞2=11∑收敛，可知(cos )n n ∞=111-∑收敛．（3）因为n n 1==<12，所以nn n n ∞=1⎛⎫ ⎪2+1⎝⎭∑收敛．（4)分析：题中的a 没有限制其值，因此应该对a 加以讨论．解因为()!!lim limlim ()n n n n n n n n n nu a n a n a au e n n n +1+1+1→∞→∞→∞+1===+11⎛⎫1+ ⎪⎝⎭故当a e >时,原级数发散;当a e <时，原级数收敛;当a e =时，不能用比值判别法判定所给级数的收敛性．但注意到数列nn ⎧⎫1⎪⎪⎛⎫1+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调增加且有上界，由于n n u u +1≥，又lim n n nu u +1→∞=1,由极限的性质可知当n 充分大时,必有n n u u +1>>0，因此lim n n u →∞≠0．故!n n n a n n ∞=1∑发散．例3 讨论级数ln ()pn np n∞=3>1∑的敛散性．分析:通项中有ln n 因子,可考虑用积分判别法．解令ln ()p x f x x =，当x ≥3时()f x ≥0，又ln ()()p p xf x p x +11-'=<0>1，故()f x 在[,)3+∞是正的单调递减函数，且ln ()p nf n n=，ln ()ln pp px x x f x dx dx xdx p p xx +∞1-1-+∞+∞+∞33331==-⋅1-1-⎰⎰⎰ln ()p ppp 1-1-233=-3<+∞1-1- 故由积分判别法知级数收敛．例4 设()ln nn n u n +1=-1，试判定n n u ∞=1∑与n n u ∞2=1∑的收敛性，并指出是绝对收敛，还是条件收敛？分析:n n u ∞=1∑是交错级数，n n u ∞2=1∑是正项级数．由于||ln ln()n n u n n+11==1+，注意到x →0时，ln()x x1+等价．解因为ln()()n nn 111+→∞，所以lim ln ()n n n →∞111+=1，由于n n∞=11∑为发散的调和级数，因此lnn n n∞=1+1∑为发散级数．因为ln()ln()n n 111+>1++1，且lim ln()lim n n n n →∞→∞111+==0，则由莱布尼兹定理知()ln n n n n ∞=1+1-1∑收敛．从而知其条件收敛．因ln ()nu n 221=1+，且lim ln ()lim()n n n n nn 2222→∞→∞11111+==1 由于级数n n ∞2=11∑为收敛级数，故由极限形式的比较判别法可知n n u ∞2=1∑收敛．［课堂练习］一、填空题１．若正项级数n n u ∞=1∑收敛，则n ∞=1是级数．２．已知lim ()n n nu k →∞=≠0，则n n u ∞=1∑是级数．３．已知lim n n a a b →∞=>>0，则nn n b a ∞=1⎛⎫⎪⎝⎭∑是级数．４．级数(ln )nnn ∞=153∑的和为．５．级数()()()n n n n n n 3∞=1-2+52-12+12+3∑是级数．二、选择题1．下列命题中正确的是（）．A ．若n n u ∞=1∑收敛，则必有lim n n u →∞=0；Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则必有lim n n u →∞≠0;Ｃ．若lim n n u →∞=0,则n n u ∞=1∑必定收敛；Ｄ．若lim n n u →∞=0，则n n u ∞=1∑必定发散．2．下列命题中正确的是（）．A ．若||n n u ∞=1∑收敛，则n n u ∞=1∑必条件收敛；Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则||n n u ∞=1∑必定发散;Ｃ．若||n n u ∞=1∑发散，则n n u ∞=1∑必定发散；Ｄ．若n n u ∞=1∑收敛,则||n n u ∞=1∑必定收敛．3．若级数n n u ∞=1∑收敛于S ，则级数()n n n u u ∞+1=1+∑( ）．A ．收敛于S 2；Ｂ．收敛于S u 12+；Ｃ．收敛于S u 12-；Ｄ．发散．4．若级数nn a ∞2=1∑和nn b ∞2=1∑都收敛,则级数n n n a b ∞=1∑（）A ．一定条件收敛；Ｂ．一定绝对收敛；Ｃ．一定发散；Ｄ．可能收敛可能发散．５．设a为常数，则sin ()n na n ∞2=1-∑为（）． A ．绝对收敛；Ｂ．条件收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性与a 有关．三、判别下列级数的敛散性1．n n 1∞3=11⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； 2．nn n 1∞=11⎛⎫⎪⎝⎭∑； 3．n ∞=1．四、判别下列级数的敛散性,若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 1．ln()()nn n n ∞=11+-11+∑； 2． ()(cos )n n n α∞=1-11-∑ （α>0为常数）．答案一、1．收敛;2．发散;3．收敛；４．ln 33-5；5．发散．二、1．A ； 2．B ；３．C; ４．B; ５．C三、１．发散,p 级数;→1；３．收敛．四、1．条件收敛； 2．绝对收敛．10－2 幂级数［教学基本要求］高等数学 1。

高数

14050142班高数成绩
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 平均值排名姓名石瑞姣卜子程李航宇陶云舒宋志国李哲赵杰雄白强王建梅康宏伟师嘉晨周柯赵豪德周书斌岑佳怿谭驷睿何唯高孙帅李郭斌金梦霞刘金桐范鑫黄志强史欣榕赵爱玲刘超逸王剑鑫王相悦杨帆牛健航赵原真张婵白智鹏高华杰张钟睿周兆明彭菲王珮涵刘思雨学号 1405014203 1405014237 1405014242 1405014213 1405014233 1405014219 1405014229 1405014231 1405014202 1405014218 1405014228 1405014244 1405014225 1405014227 1405014215 1405014239 1405014236 1405014246 1405014223 1405014208 1405014217 1405014238 1405014224 1405014212 1405014204 1405014234 1405014235 1405014240 1405014226 1405014220 1405014205 1405014206 1405014245 1405014209 1405014230 1405014232 1405014201 1405014210 1405014216 66.90 12 高数成绩 95 91 91 89 89 87 85 82 81 81 80 79 78 78 77 76 75 74 73 72 71 71 69 65 63 63 62 62 60 51 48 47 45 43 37 34 33 32 20

高数教学设计(共8篇)

高数教学设计〔共8篇〕第1篇：高数教案设计教案设计教材：《高等数学》〔第三版〕上册，第一章函数与极限，第三节函数的极限。

一、方案学时本小节分为两个局部，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进展教学。

第一学时：自变量趋于有限值时函数的极限。

第二学时：自变量趋于无穷大时函数的极限。

〔本次教案主要说明第一学时的内容。

〕二、教材处理通过第一节关于函数根本知识的学习，以及高中时已经对函数极限有过一定的学习理解与铺垫，所以就要通过一些根本的例如，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。

来扩展同学们的知识面，并易于承受新内容。

三、教学目的知识和才能目的：1、通过教学过程培养学生的思维才能、运算才能、以及数学创新意识。

让你给同学们积极考虑、敢于提出自己的想法。

2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。

3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维才能，进步学习的兴趣和才能。

传达出数学的人文价值。

四、教学难点和重点1、如何让学生较快的承受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。

2、让学生们纯熟的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。

五、教学设计1、总体思路先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。

然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢理解步骤的方法技巧。

最后，就是先要学生们自己总结本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。

2、教学过程〔1〕先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的理解。

〔4分钟〕设计说明：通过让同学们进展自主学习，对本小节内容有大志的理解，以便于学生更易于承受新知识。

〔2〕通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。

如：问题：当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值。

解析：问题可转化成|f(x)-1|最小取值，因为|f(x)-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值就是0.〔5分钟〕设计说明：通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维才能以及发撒思维才能。

高数（第三版）课后习题七详细答案

习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故2s=xs==ys==5zs==.6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149z=153154即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB = c ，BC = a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .解：1115D A BA BD =-=-- c a2225D A BA BD =-=-- c a3335D A BA BD =-=-- c a444.5D A BA BD =-=-- c a11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos 604 2.2u OM OM =︒=⨯=12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----155解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影；（2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦；（4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP ==12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12PP ==(3) 12cos x aPP α==12cos y a PP β==12cos zaPP γ==.(4) 12012PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b||3==c156, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17.解：设{,,}x y z a a a a =则有c o s (1,1)3x a ia a i a iπ⋅====⋅ 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则22cos 42a b a b π⋅=⇒=⋅ 则214y a =求得12y a =±又1,a = 则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,}222a =± 或11{,,}222-±18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM的坐标.解：设向径OM={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩157故OM ={111,,344-}.19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒==故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )；（3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b (3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15822. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB在向量CD上的投影.解：AB={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ① (a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos23θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2}a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b159π2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||3⨯==±--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l .即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯ .证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P --{2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =-{4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =-16022222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.30.（1）解: x y zx y zi j ka b a a a b b b ⨯==-+-+-y z z y z x x z x y y xa b a b i a b a b j a b a b k（）（）（）则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）xy z xy z xyza a ab b b C C C = 若 ,,C a b共面，则有 a b ⨯ 后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（）反之亦成立. （2） C xy z xy z xy za a a ab b b b C C C ⨯⋅=（） a xy z xy z xy z bb b b C C C C a a a ⨯⋅= （） b xy z xy z xy zCC C C a a a a b b b ⨯⋅= （）由行列式性质可得:xy z x y z x y z xy z x y z x y zxyzxyzxyza a ab b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b ==故 C a a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ （）（）（）16131. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|22S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积12S =32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则13B C D V S h =⋅⋅ ，而11948222BCD S BC BD i j k =⨯=--+=又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h ==故1942323V =⋅⋅= 33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB = ,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥ ,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.162解：（1）两点所确立的一个向量为 s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2} 故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3} 故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++=163得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5） (5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A B A B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得k=44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n n(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=016416546. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2）直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}166由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2} 故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z==-和3x -2y +7z =8;167（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-ij ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0168得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R ==设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.169解：设该动点为M (x ,y ,z )3.=化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=;（3）22194x z +=; （4）20y z -=;（5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1217059. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=;（3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=;（5）22209z x y +-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.171解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-2161. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-.解：（1）直线的参数方程为334624x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1,得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.172解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=.故曲线在xOy平面上的投影方程为2215()24x yz⎧-+=⎪⎨⎪=⎩173。

大一高数课件第十章 10-4-1

x yz dS
= ∫∫ x yz d S
∑4 : z = 1 − x − y,
= 3∫
1 x dx 0
0 ≤ y ≤ 1
∫
1− x y(1 − x − y) dy 0
= 3
120
例3.
设 ∑ : x2 + y2 + z2 = a2
二、计算下列对面积的曲面积分: 计算下列对面积的曲面积分: 1 、 ∫∫ ( 2 xy − 2 x 2 − x + z )ds , 其中 ∑ 为平面
∑
2x + 2 y + z = 6在
第一卦限中的部分；第一卦限中的部分； 2、 ∫∫ ( xy + yz + zx )ds ,其中 ∑ 为锥面 z =
Σ2
例2. 计算
其中∑ 其中∑ 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面. 坐标面所围成的四面体的表面
z
1
解: 设
分别表示∑ ∑1, ∑2, ∑3, ∑4 分别表示∑ 在平面上的部分, 上的部分则
o
1 x 1 y
机动
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结束
原式 =

∫∫Σ
Σ4
1
+∫∫
Σ2
+∫∫
Σ3
+∫∫
Σ4
(1) 若Σ可分为分片光滑的曲面 Σ 1及 Σ 2 , 则
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
Σ
1 2
( 2)
∫∫ dS = 曲面 ∑ 的面积
∑
3.物理意义： 3.物理意义：物理意义

高数IV下题题目(汇总)(1)

§7*多元函数微分法在几何上的应用1. 求下列向量值函数极限：（1）；（2）；2. 下列各题中，表示空间中的质点在时刻的位置，求质点在任意时刻的速度向量和加速度向量，以及时刻的速度向量和加速度向量.（1），；（2），；（3），.3. 求曲线，，在点处的切线及法平面方程.4. 求曲线，，在对应于点处的切线及法平面方程.5. 求曲面在点处的切平面及法线方程.6. 求曲面在点处的切平面及法线方程.7. 求下列向量值函数极限：（1）（2）8. 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：（1）（2）9. 求曲线，，在点处的切线及法平面方程.10. 求曲线在相应点处的切线及法平面方程.11. 求曲面在点处的切平面及法线方程.12. 求曲面在点处的切平面及法线方程.§9 多元函数的极值1. 求函数的极值.2. 求函数的极值.3. 试将已知正数分成个正数之和,使它们的积为最大.4. 某工厂要建造一座容积是立方米的长方体仓库,已知每单位面积房顶的造价是四周墙壁造价的三倍，问仓库的长宽高各为多少时，仓库的造价最小?5. 函数的驻点为 .6. 求函数的极值.7. 求函数的极值.8. 求函数的极值.9. 某工厂生产两种产品和，价格分别为和元，当两者的产量分别为，时，总成本为问如何安排两种产品的产量，使利润达到最大.10. 欲造一长方体盒子，所用材料的价格其底为顶与侧面的两倍. 若此盒容积为，各边长为多少时，其造价最低.§1二重积分的概念与性质1. 试用二重积分表示三个坐标平面及平面所围成的空间立体的体积.2. 试用二重积分表示曲面及平面所围成的空间立体的体积.3. 已知一平面薄片占据闭区域，其处的密度为，试用二重积分表示该平面薄片的质量.4. 试用二重积分表示三个坐标平面及平面所围成的空间立体的体积.5. 试用二重积分表示柱面及半球面所围成的空间立体的体积.6. 已知一平面薄片占据闭区域，由曲线及直线所围成，该平面薄片处的密度为，试用二重积分表示该平面薄片的质量.7. 计算二重积分，其中.8. 计算二重积分，其中.9. 计算二重积分，其中是由直线，，所围成的平面闭区域.10. 计算二重积分，其中，. 11. 比较二重积分的大小，其中，，.12. 比较二重积分的大小，其中，，. 13. 估计二重积分的取值范围，其中.14. 设，，其中，计算二重积分.15. 计算二重积分，其中，.16. 比较二重积分的大小，其中，，.17. 估计二重积分的取值范围，其中§1二重积分的计算（1）1. 化二重积分为直角坐标下的二次积分，其中积分区域是：（1）由直线及抛物线所围成的闭区域；（2）由轴及半圆（3）由直线，及双曲线所围成的闭区域.2.计算二重积分，其中区域是由，，，围成的矩形区域.3.计算二重积分，其中积分区域是由两坐标轴及直线所围成.4.计算二重积分, 其中积分区域由与轴围成.5.计算,其中积分区域是由直线与所围成.6. 计算二重积分，其中.7. 计算二重积分，其中是由直线所围成区域.8. 计算二重积分, 其中是由所围成的区域.9. 计算二重积分,其中是由所围成的区域.10. 计算二重积分，其中积分区域是由两条抛物线所围成.11. 计算，其中是由所围成的区域.12.交换下列二次积分的积分次序：（1）（2）（3）（4）13. 交换下列二次积分的积分次序.（1）（2）（3）（4）（5）（6）§3* 二重积分的计算（2）1. 把二重积分化为极坐标下的二次积分，其中积分区域为：（1）（2）2. 利用极坐标系计算，其中积分区域是圆环域：.3. 计算, 其中积分区域由圆周与所围成的在第一象限内的闭区域.4. 将二重积分化为极坐标系下的二次积分，其中是由和轴所围成的右半圆.5. 计算,其中积分区域是：.6. 计算，其中积分区域.§4 曲线积分1. 计算，由参数方程，，确定.2. 计算，由参数方程，，，确定.3. 计算，其中为连接及两点的直线段.4. 计算，其中是由点经过点到点的折线段.5. 计算，由参数方程，，确定.6. 计算给定金属线的质量，其线密度，为螺旋形曲线，参数方程如下：，，，.7. 计算，其中为连接及两点的直线段.8. 计算，其中是由、与围成的三角形区域的边界曲线.§1*数列的极限1. .2. .3. .4.5.6.7.8.§2 常数项级数1. 写出下列级数的一般项.（1）.（2）.2. 根据收敛定义判断级数的敛散性.3. 根据收敛定义判断级数的敛散性.4. 判断下列级数的收敛性.（1）.（2）.（3）.（4）.5.求下列级数的和.（1）.（2） .（3）.6. 判断下列级数的敛散性.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.§3 常数项级数的审敛法（1）1. 用比较审敛法判定下列各级数的敛散性. （1）.（2）.（3）.（4）.2. 用比值审敛法判定下列各级数的敛散性. （1）.（2）.（3）.3. 判断下列级数的敛散性.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.§4常数项级数的审敛法（2）1. 判断下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）.（2）.（3）.2. 判断下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.3. 下列级数中绝对收敛的是（）（A）（B）（C）（D）§5 幂级数（1）1. 已知级数在处收敛，则其在处（）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法判断其敛散性2. 求幂级数的收敛区间.3. 求下列幂级数的收敛.（1）.（2）.（3）.（4）.4. 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.§7 函数展开成幂级数（2）1. 将函数展开成为麦克劳林级数.2. 将函数展开成为麦克劳林级数.3. 将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛区间.（1）.（2）.（3）.4. 将函数展开成的幂级数.5. 将下列函数展开成为麦克劳林级数.（1）.（2）.（3）.6. 将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛区间.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.7. 将函数展开成的幂级数.8. 将函数展开成的幂级数.9. 将函数展开成的幂级数.§1 可分离变量微分方程1. 判断下列方程是否为微分方程. 若是，则判断微分方程的阶数，并求微分方程通解的互相独立的任意常数的个数.（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）;（8）.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1），；（2），；（3），；（4），.3. 求微分方程的通解.4. 求微分方程的通解.5. 求微分方程的通解.6. 求微分方程满足初始条件的特解.7. 已知一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率等于，求该曲线的方程．8. 已知细菌总数的增长率与总数成正比，且比例系数为. 若开始时细菌总数为，那么小时后细菌总数是多少?9.下列方程中（）是二阶微分方程（A）（B）（C）（D）10. 下列函数中，（）是微分方程的通解.（A）（B）（C）（D）11. 一曲线在其任一点的切线的斜率为，则此曲线是（）（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）圆12. 求微分方程的通解.13. 设是微分方程满足初始条件的特解，求.14. 求微分方程的通解.15. 已知一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率等于，求该曲线的方程．16. 设一物体的温度为，将其放置在空气温度为的环境中冷却，其中温度对时间的变化率与物体温度与室温之间的温度差成正比，比例系数为，试求物体温度随时间的变化规律.17. 放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 镭的衰变速度与它的现存质量成正比，比例系数为. 已知时刻铀的含量为，求衰变过程中铀含量随时间的变化规律.§2 一阶线性微分方程1. 求一阶线性微分方程的通解.2. 求一阶线性微分方程的通解.3. 求微分方程的通解.4. 求微分方程满足初始条件的特解.5. 求微分方程的通解.6. 求过原点且在点处的切线斜率等于的曲线方程．7. 求微分方程的通解.8. 求微分方程的通解.9. 求微分方程满足初始条件的特解.10. 求微分方程的通解.11. 求微分方程的通解.12. 求微分方程满足初始条件的特解.§3 二阶常系数线性微分方程1. 判断下列函数组在其定义区间内是线性相关还是线性无关. （1）（2）（3）（4）2. 验证和都是方程的解，并写出该方程的通解.3. ，是任意常数，验证是方程的通解；4. 求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）5. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1），，；（2），，.6. 当取不同函数时，方程有何形式的特解（1）（2）（3）（4）7.求微分方程的通解.8.求微分方程满足初始条件，的特解.9. 判断下列函数组在其定义区间内是线性相关还是线性无关. （1）（2）（3）（4）（5）（6）10. 验证和都是方程的解，并写出方程的通解.11. 求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）12. 求微分方程满足初始条件，的特解.13.微分方程的特解应具有形式（）（A）（B）（C）（D）14. 求微分方程的通解：15. 求微分方程满足初始条件，的特解.。

高数Ⅱ习题10-1解答

习题10-11. 解：(),DP p x y d σ=⎰⎰。

2. 解：(),DQ x y d μσ=⎰⎰。

3. （1）解：首先将已知平面的方程表示为二元函数形式：4123x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。

其次，将该立体向xy 坐标面投影，其投影区域为三角形区域:02,0312x D x y ⎛⎫≤≤≤≤- ⎪⎝⎭。

最后，用二重积分表示四个平面所围立体体积：4123Dx y V d σ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰。

（2）解：已知曲顶柱体的顶曲面为椭圆抛物面222z x y =+（开口向上）；将所围立体向xy 坐标面投影，投影区域为抛物线2y x =与直线4y =所围的有界闭区域2:22,4D x x y -≤≤≤≤。

最后，用二重积分表示四个曲面所围立体体积：()222DV x y d σ=+⎰⎰。

（3）解：已知曲顶柱体的顶曲面为椭圆抛物面()2224z x y =-+（开口向下）；将所围立体向xy 坐标面投影，投影区域为xy 坐标面上的椭圆形区域22:42D x y +≤；再用不等式组表示:22D x y -≤≤≤≤最后，用二重积分表示两个曲面所围立体体积：()2224D V xy d σ=--⎰⎰。

（4）解：已知曲顶柱体的顶曲面为上半曲面z =，侧面是圆柱面221x y +=，底是xy 坐标面上的圆形区域22:1D x y +≤；再用不等式组表示:11,D x y -≤≤≤≤DV σ=。

4. （1）解：Dd σπ=⎰⎰（单位圆的面积）；（2）解：323D R σπ=（球心在坐标原点，半径为R 的上半球体体积）。

5. （1）解：由题设()(),,f x y f x y -=-，此时，称二元函数(),f x y 是变量x 的奇函数；我们不妨假设D 为Y -区域，又由已知D 关于y 轴对称，那么，可由不等式组表示D ，()():,D c y d y x y ψψ≤≤-≤≤。

按先对x 后对y 积分的公式（2）计算二重积分()()()(),,0d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ-==⎰⎰⎰⎰（复习上学期内容：奇函数在对称区间上的积分为0）。

【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点方程缺自变量x dy p p( y ) 解法设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )

高数习题 (10)

.57.().)(),0(013/43/43/23/23/2(D)(C)(B)(A)d s y x R R y x L B=+>=+则曲线积分是星形线设().||||,)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(01(D)(C)(B)(A)y x d yd x D C B A L C =++--则曲线积分向的周界顶点的正方形依逆时针方是以设;23/7R ;43/7R ;33/7R .53/7R ;1-;1;0.2().1)(22,)8,2()2,1(,),0()(0122223(D)(C)(B)(A)d y x xyf x d x x yf x y xy B A L x f D L=++-+∞则曲线积分直线段到是由点上有连续的导数在设函数的)(;28;26;32.30.,012222ax y x L d s y x E =++为圆周其中计算).0(,sin ,cos :,010t t t z t t y t t x s z d F ≤≤===ΓΓ其中计算(D).]2),(91),([1143d x x x f x x x f ++-[]][综合练习十()),(),(,013d s y x f y x f x y x y L A L===则曲线积分所围成区域的整个边界曲线与直线是曲线设;2),(),(10103d x x x f d x x x f +;),(),(10103d x x x f d x x x f +.,(B)(A)连续函数是(C);2),(91),(101043d x x x f d x x x x f ++.58..20)cos 1(),sin (,)2(01的一段弧到从上对应于为摆线其中计算πt t a y t t a x L x d y d x y a K L-=-=+-.10,,,2)(0132222的一段弧到上从是曲线其中计算=====-+-t t t z t y t x d z x yz dy d x z y L ΓΓ.)2,1(32,3]1)([)(1,),()(01222的直线段到点是从点其中求连续导函数在设B A L d yxy f y y xd x y xy f y x f M L-+++∞-∞.,)0,0(,,01222222222>≥=+=++++正向看过去为逆时针方向从的交线为计算Ox a z axy x a z y x L d z x d y z d x y N L)0,(,012222是从点其中计算曲线积分a A L d y y x yx d x y x y x I O L-++++-=.)0,()0(12222的弧段到点经上半椭圆a B y by a x ≥=+.,),()0,2(),cos 1(),sin (.cos sin 012222取逆时针方向的半拱到从线其中计算a a B a A t a y t t a x L d y yx my y e d x y x mx y e I P x Lx ππ-=-=+-++-=为摆)(/其中)()().0)()(,||01222222>-=+a y x a y x L d s y G 为双纽线计算01H .,1323d s y x xy I L +==试计算为设.2sin)1,1()0,0(,)()2(01422x y A O L d y y x d x xy x I I Lπ=+++=的曲线到点为由点其中计算,)3sin 21()cos 2(012223其中计算L d y y x x y d x x y xy I J L+-+-=是抛物.)1,2/()0,0(22的弧段到点从点线ππA O y x =/32/32y x +/32/(其中.59.().)(,022222222d S z y x R z y x A =++=++∑∑则曲面积分是球面设.2,)0,0((2);1)0(,2)0(),(),((1):.,0)](22)([)]()([20122的曲线积分到从原点沿已知可微函数求为任意一条平面闭曲线其中设曲线积分=-==-+++ππψϕψϕϕψψϕM L y y L d y y x xy y x d x y y x U .,.),()},(),,({01y x u D y x Q y x P W 求出其原函数若有原函数在指定的区域下面连续可微的向量函数上是否有}.|),{(,)(3,)(3},{33x y y x D y x x y y x x y Q P ->=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-=/)(.)(,0)0()1,1()0,0(2+==d y x y d x xy I ϕϕ计算且.),(),,(ln 201)3,2()1,1(22y x u y x d u d y yx x d x y x x y V =-++及并求原函数验证)()(ln 222d y y x x d x y x x y -++)()().,(,)()3()(,,013y x u y x d yx by d x x ay b a Q 并求为某一函数为何值时问+-+-.,并求此函数某个二元函数的全微分,)(,)(012+x d y x y d x xy T Lϕϕ具有连续的导数其中与路径无关设线积分:0122负半轴及原点的开区域平面除去在整个证明G y xOy y x y d yx d x S ++内是的全微,(y x u )分),(,,012222的全微是某函数使之值试确定y x u yx by x d x y x y ax b a R ++--++d y .,并求出这样的一个原函数分.60.)((4)u f ,11333++++=d x d y z zyfyd z d x y z y f z d y d z x I ;2,1:,)()((2);,1:.)1((1);,)0(,(3)2222所截部分的外侧被锥面法向量指向原点卦限在第平面其中求下列曲面积分:取外侧面绕是由曲线其中==+=∑+++-==++∑+++=≤≤==∑∑z z y x z d x d y z d z d x y x d y d z y x I I z y x d x d y y d z d x d y d z x I x a y e x xy d z d x I .)(2,322在为抛物面其中xOy y x z z d S I +-=∑=∑面上方的部分轴旋转成的旋转其中02E 部分其中(3).1),(]),([0cos sin )1(0ln sin cos )1(,1022之间的部分及介于平面所定义的曲面为参变数为方程组其中计算e z z y x z z y x αa y x z y x zd SI D ====⎩⎨⎧=+-=++-∑+=∑αααα;间的部分y ∑∑()[]()[]具,100222z z y x z B ==+=∑所截得部分的外侧和被平面是锥面设则曲(D)(C)(B)(A);4R π;24R π.64R π;44R π0,)((2);9,(1)022222222及介于为锥面其中为球面其中求下列对面积的曲面积分:=+=∑++==++∑=∑∑z y x z d S z y x I z y x y d S I C ().)2(2(D)(C)(B)(A)d x d y z z y d z d x x d y d z =-++∑面积分;23π-;0;32π.23π1=z 之.61..1,02222222的外表面为椭球计算=++∑++czb y a x z d x d y y d z d x x d y d z I .)(0222222/3222的外侧为球面其中计算a z y x z y x z d x d y y d z d x x d y d z J =++∑++++∑.,,,cos 0222222轴正向的夹角的法线正向与是曲面上是球面其中计算Oz a z y x d S z x K ∑=++∑∑γγ的下半部().)cos ()sin ()(),0()0,0()0,(032(D)(C)(B)(A)d y k y e d x ky y e k R O R A x Rx y L A x Lx =-+->-=为常数式中则曲线积分的弧段到点上从点是上半圆设;82R k π.102R k π;42R k π;62R k π().,))(,003222222(D)(C)(B)(A)a d y y x y x d x y x y x D y L B a a L=+-+=则与路径无关为了使曲线积分内的曲线的区域是任何不经过设;21-;31-;25.23(()法线朝其中,.4,1,22222222围立体表面的外侧与球面为锥面有连续导数=++=+++=z y x z y x y x z ∑.,02222的上侧其中计算y x R z xz G --=∑所∑是上半球d y d z .40,1,),(),,(0222表面的外侧及平面是由柱面二重积分和累次积分化成直角坐标系下的与将曲面积分===+∑z z y x d x d z z y g d x d y z y x f H 所围立体其中.01,022*******内的外侧部分与介于柱面为其中计算≥≤+=++∑++∑z x y x z y x d x d y z d z d x y d y d z x F.62..)()(,2为连续函数和这里成面积为y y ϕϕ'.1,03222222及坐标面在第一卦限中所围曲面的外侧与圆柱面是由旋转抛物面其中计算=++=∑++∑y x y xz y d x d z x xz d y d z z d x d y y F ,)2cos ()2sin (03为上半圆周其中计算-+-L d y y e d x y y e G Lx x .0,22沿逆时针方向≥=+y a y ).0(9)1(16)2(51:,,)(03223222≥-+-=-∑∑++++∑z y x z z y x z d x d yy d z d x x d y d z H 为如下曲面的上侧其中计算021,,,1)(1032222及平面为柱面连续偏导数其中计算===+∑++y z y R y x y xf z d x d y d x d z y x f x d y d z y x f y I )()(所围成立体的表面,)4,3()2,(,]sin )([]cos )([03且该路线与线段之下方的任意路线在线段与点为连接其中计算AB AB B A B m A d y x y d x y x y E Bm A πππϕπϕ-'+-所围点具有一阶(-x )2a ().)()()(,),0,()0,0,()0,0(2sin cos 03222d z xy z d y xz y d x yz x h R B R A h R t hz t R y t R x L C L=-+-+->>===则曲线积分的一段弧到点上从点其中是螺线设π,,(D)(C)(B)(A);613h ;513h .313h ;413h ().)0(),,(,0,)()()(),,(03222333(D)(C)(B)(A)Q R y x R z z y x U h k h z j h y i h x z y x U D =>--=≠+++++=上侧的流量通过上半球面则其中设有速度场;5625h R R ππ+;6525h R R ππ+.6525h R R ππ-;5625h R R ππ-.63..,84,03222沿逆时针方向是椭圆其中计算x y x L x d y d x e My =++).()]()([,,)(,)(0322y d y x d x y x y x f I L D v u f N +-++='ϕϕ计算所围的圆域为且连续连续设,1:,)()(22y x L A d x d y y x y x D=+=-'+ϕ.)3,1()2,2()1,1(,)]ln [032222为顶点的三角形的正向边界线和是其中计算E B A C d y y x x xy y d x y x I O ++++++=+(.0,03轴旋转而成的曲面的下侧绕为曲线其中计算z x a y e z P y⎩⎨⎧=≤≤=∑,)1(242d x d y z zy d z d x zx d y d z I -+-=∑03是曲面其中计算∑Q ,)()()(-+-+-=d x d y z x d z d x y z d y d z x y I ∑以.的外侧,)31(01,4)1(2)18(032它的法向量与轴旋转一周所成的曲面绕由曲线计算y y y x y z yz d x d y d z d x y x d y d z y I J ≤≤⎩⎨⎧=-=∑--++=∑轴正向的夹.2/π角恒大于.cos ,cos ,cos ),0(,)cos cos cos (032333为此曲面的外法线方向余弦为锥面其中计算γβαγβαh z y d S z y x I K ≤≤∑++=∑22x z +=.)()()(2222的外侧R c z b y a x =-+-+-,222为球面其中计算d x d y z d x d z y d y d z x I ∑++=∑03L 其中.64..)0,2(0),0,0()1,1(,)(cos )12(03T 2的路径到点再沿直线到点沿曲线为由点其中计算B y O x y A B O A d y xe y d x e xy I BO A y y ==---+=,,,,},,{04D 力取何值时问当质点由原点沿直线运动到椭球面作用下在变力F xy zx yz F ζηξ=),,,(1222222上的第一卦限的点M cz b y a x ζηξ=++.,,,)(004C 223证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关为常数其中构成力场内有力设在半平面y x r k j yi x r kF x +=+-=>.,,1,04B 针方向轴正向看去从被三个坐标面所截的三角形的整个边界为平面其中所作的功沿有向闭曲线求力z z y x k x j z i y F =++++=ΓΓ.2(2));0,0()0,2(2(1).|).|,0()1,0(04A 22222点点沿逆时针方向运动到上由在圆质点运动到自沿曲线质点的引力所做的功对质点分别求下列运动过程中为常数的引力大小为对于质点的质点为设位于点B B y x M O B x x y M M A AM r k rkM A =+-==>没顺时所.)21(222的上侧≤≤--=z y x z .),0,0(,1:,)()()(03222为逆时针轴正向看去从其中计算L x h a hz a x a y x L d z y x d y x z d x z y I R >>⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-+-+-=,)3()(03求曲线积分z d z d y y x d x y x I S C++++=),0(cos ,sin cos 2,sin 22的方向按为闭曲线其中πt C t t a z t t a y t a x C ≤≤===.0的方向到从π.65..,,:05A 22上的最大值在是的弧长是曲线其中证明L Q P M L l lM Q d y P d xL+≤+.)2()1(,,)0(sin )0,()0,0(05B 3的值最小的积分到使沿该曲线从求一条曲线中的曲线族和在过点+++>=Ld y y x d x y A O L a x a y A O π).,,(2)())((05C 222z y x u xyz y x d zz y x d y d x z y x d u 求设+++++++-+=005D S x 均有中任意光滑闭曲面设对半空间≥,0)(1)(2d z d x x y e d y d z x u e x x =-+-0.)(:,),,(04K =grad rot z y x u 试证明有二阶连续偏导数设数量场.),,(04L D div D d v d S D 求电荷体密度为电位移矢量已知电学中的高期公式ρρΩ=⋅为).(,04I 02grad rot d t t eu yz xyz求设函数+=10,10,10:04J 边界曲面流向外侧的通量通过区域求向量≤≤≤≤≤≤++=z y x k z j y i x A Ω的.d t t xy t sin +u u u ,.)((3);)((2);(1)grad rot grad div grad ,ln 04H 222++=z y x u 则设有数量场u u u ?最大做的功W .)0(:04E 222对原点处单位质点引力求一段均匀圆柱面h z R y x S ≤≤=+)0,1,1(,)1ln(),,(04F 22+++=P u k z x j ye i xy z y x u z 在点求设向量场.u rot u div 处的散度和:,)(0|,|),,,(04G 求下列各量有连续的导数时设r f r r r z y x r ≠==);)(((1)r r f div );)(((2)r r f rot.66..侧面积.,0)0(,1)0(,,)()(),(,3)]()([),(),()(05H 22的表达式时其次写出当都等于零对任何闭曲线曲线积分时使当与确定可微函数+=-=++=++=Q d y P d x L Q d y P d x x x y y x Q y x y x x x y x P x x βαβαβαβα1405G 22平面上方和平面位于求椭圆柱面y z xOy y x ==+下方那部分/).(,),0[)(x u x u 求有连续导数在其中+∞.(2);0,(1):,)0(,)3(05E 22233的最大值为何值时求的正向为其中已知曲线积分I I R R R y x L d y x x d x y I =>=+-+=,,,005F ΩS z S 满足函数围成区域中任意光滑闭曲面是上半空间设>))(222ρρρz y x u 在上半空间有连续的二阶偏导数++==).(,0222ρw d V ed x d y zu d z d x y u d y d z x u z y x 求=-∂∂+∂∂+∂∂++w (Ω。

10分钟掌握高数上不定积分问题(考研、期末复习均可以用)

10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）好久没有更新高数的内容了，之前一直更新的是概率论和线性代数的内容，其中概率基本更完了，线性代数还没，知识点有点多，道阻且长，哭唧唧T_T！！下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------首先简单介绍下积分，积分是导数的一个反向求解过程，很多人在高中的时候是学过导数的，所以在大学再学的时候会觉得比较简单，但是到了积分这一节，会突然卡住，发现怎么那么难，正着做会，反着就不会了，那么下面重点讲讲不定积分的求解吧一、原函数与不定积分的基本概念1、原函数设 f(x),F(x) 为定义在区间 I 上的函数，若对一切的 x\in I ，有 F'(x)=f(x) ，则称 F(x) 为 f(x) 的原函数备注：（1）函数 f(x) 是否存在原函数与区间 I 有关（2）连续函数一定存在原函数，反之不对（3）有第一类间断的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数（这句话还有另一种表达方式：即某个函数的导函数不一定连续），如F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}(x\ne0) ,F(x)=0(x=0)f(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}(x\ne0) ,f(x)=0(x=0)显然 F'(x)=f(x) ，但 x=0 为 f(x) 的二类间断点，即导函数不连续（4）若 f(x) 有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之差为常数（5）原函数、函数及导函数对比2、不定积分设 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记为 \int f(x)dx=F(x)+C注解：（1）\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx （2） \int kf(x)dx=k\int f(x)dx【例题】\int (x+\frac{1}{x})dx=\int xdx+\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^{2}+ln\left| x\right|+C\int 5xdx=5\intxdx=5\times\frac{1}{2}x^{2}=\frac{5}{2}x^{2}+C二、不定积分基本公式1、常数函数积分\int kdx=kx+C2、幂函数积分\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C ，\int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C3、指数函数积分\int a^{x}dx=\frac{1}{lna}a^{x}+C ，\inte^{x}dx=e^{x}+C4、三角函数积分\int sinxdx=-cosx+C ，\int cosxdx=sinx+C，\inttanxdx=-ln\left| cosx \right|+C， \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C ， \int secxdx=ln\left| secx+tanx\right|+C ， \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx\right|+C ， \int sec^{2}xdx=tanx+C ， \intcsc^{2}xdx=-cotx+C ， \int secxtanxdx=secx+C ， \int cscxcotxdx=-cscx+C5、特殊函数积分\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C ， \int\frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C三、不定积分的积分法不定积分的积分方法主要有五种：一类换元法、二类换元法、分步积分法、有理函数积分法、三角函数积分法，课本上一般只介绍了前三种，不够全面，下面具体来看看（一）一类换元法（凑微法）1、定义设 f(u) 的原函数为 F(u) ， \varphi(x) 为可导函数，则\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\intf[\varphi(x)]d\varphi(x)令 \varphi(x)=u ，则原式 =\intf(u)du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C在微凑法里面，很多同学会懵逼：d后面那个是怎么来的，完全没有思路实际上，一类换元法的话会涉及到微分的知识，如果对微分熟悉的同学应该还是可以看懂的，下面简单讲解一下回顾下微分的内容， dy=f'(x)dx ，其中 y=f(x) ，基于这个点，看下几个例子y=x^{2},dy=2xdx\Rightarrowdx^{2}=2xdxy=sinx,dy=cosxdx\Rightarrowdsinx=cosxdx【例题】\int 2xdx=\int d(x^{2})=x^{2}+C\intcosxdx=\int d(sinx)=sinx+C上述两道题从第一步到第二部的变化现在应该可以看懂了，主要就是利用微分的形式进行变化的2、凑微法基本公式以下列举了一些凑微法中常用的公式，不过不建议大家去背下来，主要还是要靠题目去巩固【例题】\int \frac{arcsinx}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\intarcsinxdarcsinx=\frac{1}{2}(arcsinx)^2+C（二）二类换元法1、定义设 \varphi(t) 为单调可导函数，且\varphi'(t)\ne0， f(x) 有原函数，则令 x=\varphi(t)\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\intg(t)dt=G(t)+C =G[\varphi^{-1}(x)]+C2、适用范围（1）二类换元法经常使用在根号下的平方相加减的积分计算中，这时候就利用三角替换进行解答主要利用两个三角函数公式的变换：sin^{2}x+cos^{2}x=1 ， tan^{2}x+1=sec^{2}x ，利用三角函数的变化，去掉根号，再进行计算，常用的替换如下：情形一：若函数中含有 \sqrt{a^{2}-x^{2}} ，变换 x=asint情形二：若函数中含有 \sqrt{a^{2}+x^{2}}，变换 x=atant情形三：若函数中含有 \sqrt{x^{2}-a^{2}}，变换 x=asect（2）无理函数化成有利函数的积分【例题1】求解\int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}解答：令 \sqrt{x}=t,x=t^{2},dx=2tdt原式为 \int\frac{dx}{\sqrt{x}+1}=\int\frac{2tdt}{t+1}=\int \frac{2t+2-2}{t+1}dt=2-\int \frac{2}{t+1}dt=2t-2ln\left| t+1\right|+C最后将 t 换回 x 即可，即原函数为2\sqrt{x}-2ln\left| \sqrt{x}+1 \right|+C【例题2】求解 \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}解答：令 x=tant,dx=sec^{2}t原式为 \int\frac{sec^{2}tdt}{\sqrt{1+tan^{2}t}}=\int\frac{sec^2t}{sect}dt=\int sectdt=ln\left|tant+sect \right|+C做到这边很多人又有疑问了，tant 可以换回去 x ，那么 sect 呢，如何换成 x的表达式，这里介绍一种图像结合的方法，大家看下下面这张三角形结合直角三角形及t和x的函数关系，即可推导出其余三角函数的公式所以原式为 =ln\left|x+\sqrt{1+x^{2}} \right|+C（三）分部积分法1、定义设 u(x),v(x) 连续可导，则分部积分法公式为 \intu(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)2、适用情况以下几种形式可以采用分部积分法进行计算：（1）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^ne^{x}dx （2）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^nlnxdx （3）被积函数为幂函数与三角函数之积（4）被积函数为幂函数与反三角函数之积（5）被积函数为指数函数与三角函数之积（6）被积函数含有 sec^nx 或 csc^nx （ n 为奇数）备注：用分部积分法时一定要注意，哪个函数设为 u(x) ，哪个函数为 v(x) ，下列简述下不同的设法最后的结果是怎么样的【例题】求解 \int xe^{x}dx解答一：u(x)=e^{x},v'(x)=x 则u'(x)=e^{x},v(x)=\frac{1}{2}x^2\intxe^{x}dx=\inte^{x}d\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2e^{x}-\int\frac{1}{2}x^2e^{x}dx做到这发现一个问题，原来的积分仅为一次方，而用了一次分部积分后发现变成了二次方，解答难度变得更大了，这说明在函数的假设过程中是有问题的，若利用该方法继续往下算，会发现永远算不出来解答二：u(x)=x,v'(x)=e^{x} 则 u'(x)=1,v(x)=e^{x}\intxe^{x}dx=\int xde^{x}=xe^{x}-\inte^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C做到这里会发现分部积分法最重要的就是要将 u,v 设正确了，只要假设正确了，一般就能做出来（四）有理函数积分1、形式设 R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} ，其中 P(x),Q(x) 为多项式，此处仅考虑P(x)的次数比 Q(x) 次数低时的情况（若P(x)的次数比 Q(x) 次数高时，可对 P(x) 进行拆分）（1） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}dx（2） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)^2}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}+\frac{C}{(x+b)^2}dx（3）\int \frac{dx}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)}dx将有理函数设成上面带有 A,B,C 的函数，通过与原式对比，解答出 A,B,C ，再进行计算【例题】求解 \int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx分析：\frac{x+1}{x^2-x-6}=\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-3)}由 A(x-3)+B(x+2)=(A+B)x+(2B-3A)=x+1A+B=1 ， 2B-3A=1\RightarrowA=\frac{1}{5} ， B=\frac{4}{5}解答：\int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{1}{5}\frac{1}{x+2}+\frac{4}{5}\frac{1}{x-3}dx\frac{1}{5}ln\left| x+2\right|+\frac{4}{5}ln\left| x-3 \right|+C（五）三角函数积分三角函数的积分一般利用几个基础的三角变换公式进行化简，化简后再进行积分求解：1、倍角公式：sin2x=2sinxcosx ， cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2、半角公式：利用背角公式进行推导，此处不进行列举3、和积化差公式：sin\alpha+sin\beta=2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})sin\alpha-sin\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\fr ac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha+cos\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha-cos\beta=-2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta}{2})4、万能公式法令 tan\frac{x}{2}=u ，则 sinx=\frac{2u}{1+u^2} ，cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2} ， dx=\frac{2}{1+u^2}du利用万能公式便可将三角函数积分变换成有理函数积分进行求解，不过该解法相对比较麻烦，很少会采用该方法进行计算不定积分的解答方法基本就是这些了，方法比较多，但是不同方法有对应的积分形式，只要熟悉了积分形式，解答的时候也相对快捷--------------分割线---------------码字不易，请大家点个赞吧~另外如果有考研或者数学方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~也可以点击头像加入社群进行交流~。

(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数

第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，．如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变．（2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±．（3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑．解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）．解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ．解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ．解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ．解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ．解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ．解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑．解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑．解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ．解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑，故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑．解：先求幂级数的收敛域．令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。

西安理工大学高科学院-高数考试题（第二学期）

１专业班级姓名学号考场2010年秋季学期《高等数学》试卷命题教师命题小组系主任审核考试形式闭考试类型学位课 √ 非学位课（请在前面打“√”选择）考试班级考试日期 10年月日考试时间 150分钟题号一二三四总分得分注意：1．请用深蓝色墨水书写，字、图清晰，书写不出边框。

2．答题演草时不许使用附加纸，试卷背面可用于演草。

试卷不得拆开。

单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前面的字母填入题后的括号内。

1.当0→x 时，与无穷小()1cos2x -等价的无穷小是 ( ) A.x ； B.2x ； C.2x ； D.22x2. 设()21sin ,0,0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ 在0x =连续，则常数a =（） A.0； B.1； C.2； D.3 3.设()111f x x=-+，则曲线()x f y = A. 仅有水平渐近线； B.仅有铅直渐近线； C. 既有水平渐近线又有铅直渐近线； D.无渐近线题号得分一教务处印制共 8 页（第 1 页）２4. 设()f x 为连续函数，()()2ln xx F x f t dt =⎰，则()F x '=（）A.()()21ln 2f x xf x x +； B. ()()21ln 2f x xf x x-； C. ()()2ln f x f x +； D. ()()2ln f x f x - 5.在下列等式中，正确的结果是（）A. ()()f x dx f x '=⎰；B. ()()df x f x =⎰；C.()()df x dx f x dx =⎰； D. ()().d f x dx f x =⎰ 6. 0211dx x -∞=+⎰ （） A.2π； B. 2π-； C.0； D.发散7. 曲线23,,x t y t z t ===在点()1,1,1处的切线方程为（） A ．2111123x y z t t ---==； B. 111123x y z ---==； C ． ()()2121310x t y t z -+-+-=； D. ()()121310x y z -+-+-= 8. 函数22z x y =+在点()1,2P 处方向导数的最大值为（） A.0； B.5； C. 25； D. 359.函数()3322,339f x y x y x y x =-++-在点()1,0处（）A. 不取得极值；B. 取得极小值；C. 取得极大值；D. 不能确定是否取得极值教务处印制共 8 页（第 2 页）３10．221101(,)y y dy f x y dx ---=⎰⎰（）A. 21100(,)x dx f x y dy -⎰⎰ B. 221111(,)x x dx f x y dy ----⎰⎰C. 221101(,)x x dx f x y dy ---⎰⎰D. 21110(,)x dx f x y dy --⎰⎰填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 3tan ln3x y x =++,则()0y '= ；2. 设)1ln(2++=x x y ,则=dy ；3. 设sin y ax =,则()=n y ；4. sin cos x xdx ⋅=⎰ ；5. ()222a ax a xdx -+-=⎰；6.函数1x y e x =--的单调增加的区间是；7. 函数()32231f x x x =-+在区间[]1,4-上的最大值为； 8. 设arctanyz x=，则dz = ； 9. 幂级数2112nn n n x ∞=+∑的收敛半径=R ；10.微分方程y xy '=的通解为y = 。

高数—10春—07—正切函数图像及其性质—-学生版

高一数学春季班（学生版）1、角的正切线：2、正切函数的图像：可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x →+∞当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，tan x →-∞.x y2π-2πy2π-π23π23-2πx 正切函数的图像与性质知识梳理（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭3、余切函数的图象：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y即将x y tan =的图象，向左平移2π个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Z π≠∈，（2）值域：R（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Z πππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭一、正切函数的图像【例1】作函数||y tan x =的图像.【例2】求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图．【例3】根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围. （1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan 3x >【例4】根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合：（1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥【例5】比较下列两数的大小（1）2tan 7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot o 与191cot o【例6】函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有（）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个例题解析【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象.2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________.3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域【例7】求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y =（3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+【例8】求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域．【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是（）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ．2、正切函数的值域与最值【例9】函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为【例10】若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；.【例11】已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值.【例12】求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域.【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合.3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________三、正切函数的性质1、正余弦函数的周期性【例13】求下列函数的周期: （1）tan(3)3y x π=-+（2）22tan 1tan xy x=+ （3）cot tan y x x =- （4）22tan21tan2xy x =- （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【巩固训练】1．函数3tan(2)4y x π=+的周期为_____________.2．函数tan()(0)6y ax a π=+≠的最小正周期为_____________,3．函数y ＝xx22tan 1tan 1+-的周期为2、正切函数的奇偶性与对称性【例14】判断下列函数的奇偶性()(1)2cos tan f x x x =++ ()22(2)tan cot f x x x x =- ()1sin cos (3)1sin cos x xf x x x+-=++()()44tan 2f x x x x =+ ()()2tan tan 51tan x xf x x-=-【例15】求函数1()tan cot f x x x=-的最小正周期，并判断函数的奇偶性.【例16】求函数3tan(2)3y x π=+的对称中心的坐标．【例17】若)2tan(θ+=x y 图象的一个对称中心为)0,3(π，若22πθπ<<-，求θ的值.【巩固训练】1．判断下列函数的奇偶性（1）xx x f tan 1tan )(-=；（2）x x x f tan cos 2)(++=；.2．判断下列函数的奇偶性（1）tan(3)3y x π=-（2）|tan()|4y x π=+3．函数tan 2y x =的图像关于点成中心对称.4．下列坐标所表式的点中，不是函数)62tan(π-=xy 的图象的对称中心的是（）.A )0,3(π .B )0,35(π- .C )0,34(π .D )0,32(π3、正切函数的单调性【例18】求下列函数的单调区间：（1）13tan()24y x π=+ （2）3tan()24x y π=-+【例19】求下列函数的单调区间：（1）cot(2)4y x π=- （2）|tan |y x =【例20】已知函数wx y tan =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内是减函数，则（） .A 10≤<w .B 01<≤-w .C 1≥w .D 1-≤w【例21】已知函数3tan(),[0,]33x y b x a ππ=-+∈是增函数，值域为[-，求,a b 的值。

高数第十章答案

高数第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解 ?f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值m?14?x?y?0?，最小值m?1?5?x?1,y?2? 故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）??(x2?y2)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；d（2）??sinyd?，其中d是由y?x,y2?x所围成的闭区域. dy解：??sinyd??dy?10dy?ysinyy2ydx?1?sin1 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）??ex?yd?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d（2）22(x?y?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。

??d3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：（1）由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。

x4.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。

5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1?2dxxfdy；【篇二：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m??x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。

大学高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷6（下)一。

选择题（3分⨯10)1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ )。

A 。

3 B.4 C.5 D 。

62。

向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）。

A 。

a ∥bB 。

a ⊥b C.3,π=b a D 。

4,π=b a3。

设有直线1158:121x y z L --+==-和26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（）（A)6π；（B)4π; （C ）3π; （D ）2π。

4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是( ）。

A.0=⋅b a B 。

0 =⨯b a C 。

0 =-b a D 。

0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）.A.2 B 。

2- C.1 D 。

1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫⎝⎛∂∂4,1πy z＝（）.A 。

22B.22- C 。

2 D.2-7. 级数1(1)(1cos ) (0)n n nαα∞=-->∑是（）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关.8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为( ）。

A 。

[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9。

幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ). A.x -11B 。

x -22C.x -12 D 。

x -21二。

填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________。

2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________。

3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2(22)d (4)d L xy y x x x y -+-=⎰____________。