1)
()(2
121->--x x x f x f .
题3 （２０09年高考浙江卷理科第1０题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件
的函数
)
(x f 构成的集合:
∈
∀21,x x R 且
1
2x x >，有
)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα．下列结论中正确的是（ )(答案:Ｃ．)
A.若
21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f
B.若
21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ,则
2
1
)()
(ααM x g x f ∈
C ．若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈,则2
1)()(αα+∈+M x g x f
D.若
21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>,则2
1)()(αα-∈-M x g x f
题４ (20０6年高考四川卷理科第
22（2)题)已知函数
)(),0(ln 2
)(2x f x x a x
x x f >++
=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.
深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问),可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系:
定理 设∈a R ,函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)
()(2
121；
(2）2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)
()(2
121且∀区间I I ⊂0,当
0I x ∈时a x f =')(不能恒成立;
(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)
()(2
121;
(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)
()(2
121且∀区间I I ⊂0,当
0I x ∈时a x f =')(不能恒成立;
（5）2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)
()(2
121;
(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)
()(2
121且∀区间I I ⊂0，
当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；
（７)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)
()(2
121;
（8）2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)
()(2
121且∀区间I I ⊂0,
当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.
为证明定理，须介绍两个引理,它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])：
引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是
0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立．(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)
(x f 在区间I 上单调不减（不增).)
引理2 若函数)(x f 在区间I 上可导,则)(x f 在I 上严格递增(递减）⇔在I 上
0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注:若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><,则称)(x f 在区间I 上严格递增（递减).）
定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (
１
）
左
边
2
121,,x x I x x ≠∈∀⇔有
2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)
()(2
121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I
