6 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系
直线和曲线的斜率切线割线
直线的斜率斜率一般以 m 表示，定義為 y 的改變除以 x 對應的改變，即 m 是改變的比例。
對於直角坐標系，若橫軸為 x 軸，縱軸是 y 軸，m 通常寫成：（表示變數的改變）。
和是直線上任意兩點的座標。
不論使用直線上哪兩點，其得出來的斜率都是一樣的。
切线设L为一条曲线，A,B为此曲线上的点，过此二点作曲线的割线，令B趋向A，如果割线的极限存在，则称此极限（一条直线）为曲线在A的切线。
圆的切线同一平面，与一个圆只有一个交点的直线，叫此圆的切线。
与半径互相垂直, 弦切角与交错弓形内角相等曲线相切处斜率相等，即导数相等。
例子：设曲线y=ax^(2)+bx+c在x=-1处取得极值,且与曲线f(x)=3x^2相切与点(1,3),试确定常数a,b,c用导数做y'=2ax+b因为在x=-1处取得极值，所以-2a+b=0, b=2a因为相切于点（1，3），所以3=a+b+c=3a+c, c=3-3a并且在点（1，3）处两曲线切线的斜率相等f'(x)=6x, f'(1)=6=2a+b=4a, a=3/2所以b=3，c=-3/2曲线斜率导数即表示函数在某一点的切线的斜率。
例如f(x)=x^2，在x=4时，f'(x)=8，在x=0时，f'(x)=0，所以在x=0时，f(x)=x^2的切线可看作与x轴平行。
研究某一函数的导数很重要，因为它的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率，而斜率直接关系到在某一个区间函数的增减性。
当对于任意x∈（a，b)都有f'(x)>0时，函数f(x)在（a，b）是增函数。
当对于任意x∈（a，b)都有f'(x)<0时，函数f(x)在（a，b）是减函数。
割线曲线的割线是指与它有2个公共点的直线.当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线。
割线与正割函数的关系在原点处建立单位圆，在P(1,0)处画单位圆的切线。
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用-2019年教育文档
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用切线斜率即为图形在垂直方向变化量与水平方向变化量上的比值，这和数学概念当中的斜率存在一定的差异性。
此斜率并非倾角正切值。
在这一方面往往理解起来较为困难，由于过程相同，出于不同时刻的物理量便是明确的，但是每个人所画出的图像却不尽相同，相应的斜率也便有所不同。
因此就加强对函数图像中“切线斜率”的理解将具有十分重要的作用与价值，可在进行物理习题的解答时能够更好的应用“切线斜率”这一解题方法，提高对解题技巧的有效掌握。
一、理解函数图像“切线斜率”的意义要想促使学生能够对于函数图像当中某一切线位置的斜率做出准确的理解，首先便要能够理解函数的增量改变、平均变化率、变化率，同时还能够由函数的增量改变到函数平均变化率，直至函数在某一具体位置的变化率动态改变过程予以准确的理解，这些将会促进学生加强对于物理概念及规律的理解，并促使学生能够更加有效的解决物理难题，这将对于提升学生的解题技巧，促进物理学习效率的提升将具有极其重要的作用与价值。
二、物理图像“切线斜率”的物理意义三、无理函数图像“切线斜率”的具体应用在物理函数图像当中运用“切线斜率”之时，应先明确物理量会因为哪一个量的改变而产生出相应的函数图像，进而基于相应的物理量改变再进一步发展到平均变化率之时最终到达某一点的变化率予以动态化的了解，同时根据已经掌握的相关物理学概念、规律等内容来就其中所蕴含的内涵意义做到准确的理解。
依据图像“切线斜率”所具备的物理学概念内涵和切线斜率的改变规律来尽快获得相应的函数变化规律。
例题1，在某一空间当中其静电场电力势能？于x轴当中的分布情况如下图1所示，其中x轴于BC两点电场的强度于x位置上的分量依次为EBx与ECx，在以下选项当中正确的选项是（）A EBx的电场强度势能>ECxB EBx的分量方向为x轴正方向C O?c位置所存在的电荷强度在x轴方向当中的分量最大D x当中的负电荷在由B转移到C之时，电场力先做正功，后做负功。
谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法
x 2 x1 2
即 ] 0，
x x1 f (x2 ) f (x1) )。 f '( 2 2 x2 x1
【例 4】已知函数 f (x) x ln x, (x 0) ， x1 , x2 ( x1 x2 ) 为函数图像上任意两 点的横坐标，求证：
（ （ⅱ） 若 f (x) 0 有两个实根， 分别为 x1, x 试比较 2 x1 x2 ) ，
f '( x2 x1 ) 的大小。 2
通法： （ⅰ）易求得 a 的取值范围为 a 0或a 1；
f (x2 ) f (x1) 与 x2 x1
（ⅱ） 由于 f (x) e ax 1， 故 f ' (x) e a ， 进而 f ' ' (x) f ' ' ' (x) e 0 ， 。
a 0 时，有
f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1) x x f ' ( x2 x1 ) ； a 0 时，有 f '( 2 1 ) 。 x2 x1 x2 x1 2 2
x
【例 3】已知函数 f (x) e ax 1.
3
（ⅰ）若 f (x) 0 仅有一个实根，求实数 a 的取值范围；
x1 , x 2 D , 且 x1 x 2 ：若 f ''(x) 单调递增，则有
若 f ''(x) 为常数，则有
f (x2 ) f (x1) x x f '( 2 1 ) ； x2 x1 2
f ( x2 ) f ( x1 ) x x f ' ( 2 1 ) ；若 f ''(x) 单调递减，则有 x2 x1 2
函数切线的知识点总结
函数切线的知识点总结1. 切线的概念在数学中，给定曲线上一点P，通过这一点能够作出唯一的直线L，它与曲线相交于此点，并且在此点处与曲线的切线相切，这样的直线L称为曲线的切线，点P叫做切点。
任何一条曲线，在它的每一点上都存在切线。
2. 切线的定义设曲线L是可导的，点P(a,f(a))在L上，若直线L通过点P，且曲线L和直线L在点P处的切线重合，则直线L称为曲线L在点P处的切线。
3. 曲线的切线方程对于曲线y=f(x)，在点P(x0,y0)处的切线方程可以表示为：y - y0 = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数。
4. 切线的斜率切线的斜率就是曲线在某一点的导数值，即切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。
5. 切线的求解为了求得曲线在某一点的切线方程，我们需要进行以下步骤：a. 求出点(x0,y0)的横坐标和纵坐标；b. 求出函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)；c. 将这些信息带入切线方程y - y0 = f'(x0)(x - x0)中，即可得到曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
6. 切线的图像曲线的切线可以通过函数图像来形象地描述，当我们观察曲线上不同点处的切线时，可以得到这些切线的整体情况。
通过图像，我们可以看到切线在曲线上的变化情况，以及曲线在不同点处的斜率和变化趋势。
7. 切线的应用函数的切线在数学中有诸多应用，例如在微积分中的微分、函数极值点的判断、曲线的切线综合问题等。
在工程、物理、经济等领域，函数的切线也有广泛的应用，例如在物理中的速度、加速度的研究，经济学中的边际利润等。
8. 切线的性质曲线上任意一点的切线斜率恒等于函数在该点的导数。
通过切线方程可以得到曲线在某点处的局部变化情况，比如曲线在该点处的导数值、函数值等。
9. 切线和割线在数学中，除了切线外，还有一个相关的概念叫做割线。
割线是曲线上的两点A、B之间的直线，而切线则是曲线上的一点。
切线与割线斜率关系的深度探析
( x0, f ( x0 ) ) 一定是拐点. 又 k % P, 所以曲线 C 不存
22
在与 l 平行的割线, 也即平行于拐点 ( x0, f ( x0 ) ) 处 切线的任意直线与曲线 C 至多有一个交点, 必要性 成立.
( 4) 由 ( 3) 的证明易知结论成立.
由上述定理 可知, 对于 二阶 可导 曲线 C: y = f (x ) 有: ∋ 当且仅当曲线 C 不存在拐点, 或对曲线 C
和 F, 割线 EF 的斜率等于切线 l的斜率, 所以 Q ! P, 又由 ( 1) 知 P ! Q, 所以 P = Q;
( 3) 一方面, 因为曲线 C 存在这样的拐点, 使得
平行于该拐点处切线的任意直线与曲线 C 至多有一 个交点, 所以曲线 C 上任意两点的连线的斜率都不等
于该拐点处切线的斜率, 所以 P Q, 充分性成立;
,
+
#
上 递 增, 所以
h( x ) m in
=
h(
1 3
)
=-
1 27
3+
4.
若 h( x ) min ! 0, 则 | h (x ) |m in = 0, 此时 | 2x3 -
x2 + 4 | > 1对任意的 x > 0 不能恒成立, 故必有
h ( x )m in
>
0, 此时
| h(x)
|m in =
x
x2 2
12
-
3
33 x1 x2
>
1
3x1 x2 +
x1 + x2 x1 x2
>
3
33
或
5x1 x2
+
高考数学斜率知识点
高考数学斜率知识点斜率是数学中一个重要的概念，它描述了函数曲线的变化率。
在高考数学中，斜率是一个常见的考点，掌握斜率的相关知识对解题非常有帮助。
本文将详细介绍高考数学中与斜率相关的知识点。
一、斜率的定义斜率描述了函数曲线在某一点的切线斜率，它表示函数的变化速率。
对于直线函数，斜率可以直接通过斜率公式计算得出；对于曲线函数，斜率可以通过求导函数得到。
以下是斜率的计算公式：1. 直线函数的斜率对于直线函数y = kx + b, 其中k为斜率。
斜率的计算公式为：k =(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点。
2. 曲线函数的斜率对于曲线函数y = f(x)，其斜率可以通过求导得到。
求导函数f'(x)表示了曲线在每个点的切线斜率。
二、斜率的性质了解斜率的性质对于高考数学题目的解答非常重要。
下面介绍几个斜率的性质：1. 斜率为正、负和零的含义当斜率大于0时，表示函数呈现递增趋势；当斜率小于0时，表示函数呈现递减趋势；当斜率等于0时，表示函数的值保持不变。
2. 平行线和垂线的斜率关系两条平行线的斜率相等；两条垂直线的斜率乘积为-1。
3. 斜率与角度的关系斜率为k的直线与x轴的夹角为θ，其中tanθ = k。
三、斜率在解题中的应用掌握斜率的应用方法对于高考数学题目的解答非常重要。
以下是一些常见的斜率应用：1. 判断直线的趋势通过计算斜率，可以判断直线是递增还是递减，也可以判断直线的陡峭程度。
2. 求平行线和垂线已知一条直线的斜率，可以通过斜率的性质求得与它平行或垂直的直线的斜率。
3. 求函数的切线已知曲线函数的斜率，可以通过斜率的定义求得函数曲线在某一点的切线方程。
4. 解决最优化问题最优化问题中经常需要求解某个函数的最大值或最小值，这可以通过斜率为0的点来实现。
四、总结斜率作为高考数学中的重要概念，对于解题非常有帮助。
本文详细介绍了斜率的定义、性质和应用，希望可以帮助到同学们在高考数学中顺利解题。
曲线在点处切线的斜率D
A、在 x xo处的斜率 B、在点 (xo, f (xo ))处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值
C、曲线 y f (x)在点 (xo , f (xo ))处切线的斜率
D、点 (xo , f (xo ))与（0，0）连线的斜率
应用举例——利用导数几何意义求切线方程
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
x
x2 x1
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
3、导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
4、由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本步骤是:
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
yQ
(1 x)2 1 (1 1)
lim
x0
x
y = x 2 +1
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
y
P
M
x
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
对于导数几何意义的理解应该注意的问题： 1、提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法。
2、切线斜率的本质——函数在 x xo处的导数。
3、曲线在某点处的切线与该点的位置有关。
4、求曲线在某点处的切线的前提是函数在该点处的 导数存在。
曲线切线的斜率怎么求
曲线切线的斜率怎么求
切线斜率等于切点所在的函数在切点处的导数（切线斜率必须存在）。
比如：点P(Xo，yo)在曲线y=f(x)上，f`(x)为函数y=f(x)导函数，k为过点P的切线的斜率，则k=f`(Xo)。
扩展资料
法线斜率和切线斜率的关系
法线斜率与切线斜率乘积为-1，即若法线斜率和切线斜率分别用α、β表示，则必有α*β=-1。
法线可以用一元一次方程来表示，即法线方程。
与导数有直接的转换关系。
用导数表示曲线y=f(x)在点M（x0,y0）处的切线方程为：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 法线方程为：y-f(x0)=(-1/f'(x0))*(x-x0)。
通过方程求解可以免去逆向思考的`不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。
方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。
方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100×100=10000，都是等式，显然等式的范围大一点。
5.1.1变化率问题(教学设计)(人教A版2019选择性必修第二册)
5.1.1变化率问题教学设计一、课时教学内容1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．二、课时教学目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.三、教学重点、难点1、教学重点瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.2、教学难点割线与切线的斜率.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具．在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．5.1导数的概念及其意义在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题．5.1.1变化率问题问题1高台跳水运动员的速度探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++．如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)2.35(m /s)0.50h h v -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)9.9(m /s)21h h v -==--一般地，在12t t t ≤≤这段时间里，211221()()4.9() 4.8h t h t v t t t t -==-++-．环节二 观察分析，感知概念 思考:计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现，运动员在049t ≤≤这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态．因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态． 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity ）．探究:瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在1s t =s 时的瞬时速度吗？设运动员在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度． 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想．为了求运动员在1t =时的瞬时速度，我们在1t =之后或之前，任意取一个时刻1t +∆，t ∆是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当0t ∆>时，1t +∆在1之后，当0t ∆<时，1t +∆在1之前．当0t ∆>时，把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ，用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度．当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）．表5.1-1当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内当0t ∆>时，在时间段[1,1]t +∆内t ∆2(1)(1)1(1)4.9()5 4.95h h t v t t tt t-+∆=-+∆∆+∆==-∆--∆t ∆2(1)(1)(1)14.9()5 4.95h t h v t t tt t+∆-=+∆--∆-∆==-∆-∆－0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001－4.9999951 0.000001－5.0000049……观察:给出t ∆更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v 的值．当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？1时，平均速度v 都无限趋近于5-．事实上，由(1)(1)4.95(1)1h t h v t t +∆-==-∆-+∆-可以发现，当t ∆无限趋近于0时， 4.9t -∆也无限趋近于0，所以v 无限趋近于5-．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1)(1)h t h v t+∆-=∆的极限”，记为0(1)(1)lim5t h t h t ∆→+∆-=-∆．从物理的角度看，当时间间隔t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度．因此，运动员在1s t =时的瞬时速度(1)5m /s v =-． 思考:（1）求运动员在2s t =时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度？ 解：（1）运动员在2s t =时的瞬时速度2200(2)(2)[ 4.9(2) 4.8()11][ 4.92 4.8211](2)lim lim (2)2t t h t h t t t v t t ∆→∆→+∆--+∆++∆+--⨯+⨯+==+∆-∆lim( 4.914.8)14.8t t ∆→=-∆+=．（2）运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度2200000000000()()[ 4.9() 4.8()11][ 4.9 4.811]()lim lim()t t h t t h t t t t t t t v t t t t t∆→∆→+∆--+∆++∆+--++==+∆-∆000lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t t t ∆→=-∆-+=-+．1．求问题1中高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度．1．【解析】22(0.5)(0.5)[ 4.9(0.5) 4.8(0.5)11]( 4.90.5 4.80.511)h t h t t +∆-=-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9()0.1t t =-∆-∆，所以，00(0.5)(0.5)(0.5)limlim(0.1 4.9)0.1(m /s)t t h t h v t t∆→∆→+∆-==--∆=-∆．所以，高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度为0.1m /s -． 2．火箭发射s t 后，其高度（单位：m ）为2()0.9h t t =，求： （1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度． 2．【解析】（1）因为22(2)(1)0.920.91 2.7(m /s)21h h v -==⨯-⨯=-，所以在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m /s ；（2）因为222000(10)(10)0.9(10)0.9100.9()18lim lim lim (10)10t t t h t h t t t t t t ∆→∆→∆→+∆-⨯+∆-⨯∆+∆==+∆-∆∆ 0lim(0.11898)t t ∆→=∆+=．所以发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度18m /s ．3．一个小球从5 m 的高处自由下落，其位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.9y t t =-．求1s t =时小球的瞬时速度．3．【解析】由题意知：222000()() 4.9() 4.99.8 4.9()lim lim limt t t y t t y t t t t t t t t t t∆→∆→∆→+∆--+∆+-⋅∆-∆==∆∆∆ 0lim(9.8 4.9)9.8t t t t ∆→=--∆=-，当1s t =时，小球的瞬时速度为s 9.8m /-．环节四 辨析理解，深化概念 问题2抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C ，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线2()f x x =为例进行研究． 探究：你认为应该如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线？与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况．观察：如图5.1-1，当点2(,)P x x 沿着抛物线2()f x x =趋近于点0(1,1)P 时，割线0P P 有什么变化趋势？我们发现，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线． 环节五 概念应用，巩固内化探究我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率0k 呢？从上述切线的定义可见，抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系．记1x x ∆=-①，则点P 的坐标是2(1,(1))x x +∆+∆．于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-．①x ∆可以是正值，也可以是负值，但不为0．我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0P T 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）．表5.1-20x ∆< 0x ∆>x ∆ 2k x =∆+ x ∆ 2k x =∆+ －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.00011.99990.00012.0001OxyP 0PT2()f x x =－0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.0000011.9999990.0000012.000001……观察：利用计算工具计算更多割线0P P 的斜率k 的值，当x ∆无限趋近于0时，割线0P P 的斜率k 有什么变化趋势？近于1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2．事实上，由(1)(1)2f x f k x x+∆-==∆+∆可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，2x ∆+无限趋近于2．我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”，记为(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆．从几何图形上看，当横坐标间隔x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ．这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ．因此，切线0P T 的斜率02k =．思考：观察问题1中的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象（图5.1-2），平均速度(1)(1)(1)1h t h v t +∆-=+∆-的几何意义是什么？瞬时速度(1)v 呢？环节六 归纳总结,反思提升问题:请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？2() 4.9 4.811h t t t =-++(1,(1))h (1,(1))t h t +∆+∆图5.1-2(1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。
两线相切斜率关系
两线相切斜率关系一、引言两线相切是初中数学中的一个重要概念，它在高中数学和大学数学中也有广泛的应用。
本文将从斜率的角度出发，探讨两线相切时斜率的关系。
二、什么是斜率？斜率是指直线在平面直角坐标系中与$x$轴正向夹角的正切值，也就是直线上任意两点纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果直线过点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则它的斜率$k$可以表示为：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$三、两条直线相交时斜率的关系当两条不平行直线相交时，它们一定有一个交点。
在交点处，这两条直线的斜率不同。
为了证明这个结论，我们可以采用反证法。
假设有两条不平行直线$L_1$和$L_2$，它们有一个公共点$(x,y)$且在该点处有相同的斜率$k$。
那么对于任意一点$(x+\Delta x,y+\Delta y)$（其中$\Delta x\neq0,\Delta y\neq0$），我们都可以得到：$$k=\frac{y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$即两条直线在该点处的斜率相同。
这意味着，$L_1$和$L_2$在该点处是平行的，与它们相交的假设矛盾。
因此，我们得出结论：两条不平行直线在交点处的斜率不同。
四、两条直线平行时斜率的关系当两条直线平行时，它们没有交点，也就是说它们在任何一点处的斜率都相同。
为了证明这个结论，我们可以采用反证法。
假设有两条平行直线$L_1$和$L_2$，它们在某一点$(x,y)$处有不同的斜率$k_1$和$k_2$。
那么对于任意一点$(x+\Delta x,y+\Deltay)$（其中$\Delta x\neq0,\Delta y\neq0$），我们都可以得到：$$k_1=\frac{y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\quad k_2=\frac{y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}=\frac{\Deltay}{\Delta x}$$即两条直线在该点处的斜率相同。
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m in ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩. 综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I 上 ，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
新高考A版 导数：第1节 导数的概念及其意义
第1节 导数的概念及其意义要点一：变化率问题和导数的概念知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为 Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度即：v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 知识点二 函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值ΔyΔx ，即Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率． 知识点三 函数在某点处的导数如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)， 记作f ′(x 0)或0=|x x y'，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )4．设x ＝x 0＋Δx ，则Δx ＝x －x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，f ′(x 0)＝ lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0.( √ )一、函数的平均变化率例1 (1)函数y ＝1x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为( )A ．－1B ．－12 C ．－2 D ．2解析 平均变化率为Δy Δx ＝12－12－1＝－12.(2)已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则ΔyΔx的值为( ) A ．－0.11 B ．－1.1 C ．3.89 D ．0.29解析 ∵Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，∴Δy Δx ＝－0.110.1＝－1.1.(3)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________________．解析 由平均变化率的几何意义知：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知：k OA <k AB <k BC ，即v 1<v 2<v 3. 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2.函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .二、求瞬时速度例2 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．解 (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3.∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ，lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt . 跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________.解析 因为Δs ＝7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－7t 20＋13t 0－8＝14t 0·Δt －13Δt ＋7(Δt )2，所以lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt )＝14t 0－13＝1，所以t 0＝1. (2)一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率．∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4aΔt ＝4a ＋a Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 三、求函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝limΔx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2.从而y ′|x ＝1＝2.反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 (1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1解析 lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 1＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析 因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx ＝2m ＋Δx －2mΔx ＝－2m (m ＋Δx )，所以f ′(m )＝lim Δx →0 －2m (m ＋Δx )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.要点二：导数的几何意义知识点一 导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，直线AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点二 导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数．这样，当x 变化时，y ＝f ′(x )就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)． y ＝f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.特别提醒：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数1．函数在某点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( √ )2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( √ ) 3．函数f (x )＝0没有导数．( × )4．直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( × )一、求切线方程例1 已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3＋x . (1)求曲线C 在点(1,2)处切线的方程；(2)设曲线C 上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 解 因为Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－x 3－xΔx ＝3x 2＋3x ·Δx ＋1＋(Δx )2，所以f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋1＋(Δx )2]＝3x 2＋1. (1)曲线C 在点(1,2)处切线的斜率为k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C 在点(1,2)处的切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.(2)曲线C 在任意一点处切线的斜率为k ＝f ′(x )＝tan α， 所以tan α＝3x 2＋1≥1.又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2. 反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 二、求切点坐标例2 过曲线y ＝x 2上某点P 的切线满足下列条件，分别求出P 点．(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角． 解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点． 反思感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．跟踪训练2 已知曲线f (x )＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．解 对于曲线f (x )＝x 2－1，k 1＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0.对于曲线g (x )＝1－x 3，k 2＝lim Δx →0g (x 0＋Δx )－g (x 0)Δx ＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.经检验，均符合题意． 三、利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 解析 k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)， f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )解析 依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足．过某点的曲线的切线典例 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1. 又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.[素养提升] (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过点(x 1，y 1)与曲线y ＝f (x )相切的直线方程的求法步骤 ①设切点(x 0，f (x 0))． ②建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.③解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．变化率问题和导数的概念1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点的运动方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6. 4．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)等于( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0答案 C解析 f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2－3Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 5．(多选)设f (x )＝t 2x ，若f ′(1)＝4，则t 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 AD解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 t 2(1＋Δx )－t 2Δx ＝t 2＝4， 所以t ＝±2.6．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________. 答案 5解析 因为函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2， 所以f (t )－f (－2)t －(－2)＝(t 2－t )－[(－2)2－(－2)]t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4， 从而t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．7．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是________． 答案 2解析 由题意知， lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt ＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3(Δt )2Δt ＝2－6t . 当t ＝0时，v ＝2－6×0＝2， 即物体的初速度是2.8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝__________. 答案 －1解析 ∵f (x )的图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1. 9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a (Δx )Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.10．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s 时物体的运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度． 解 自运动开始到t s 时，物体运动的平均速度 v (t )＝s (t )t ＝3t ＋2＋4t，故前4 s 物体的平均速度为v (4)＝3×4＋2＋44＝15(m/s)．由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4) ＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt ＝2＋6t ＋3·Δt ， lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6t ， 当t ＝4时，lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6×4＝26，所以4 s 时物体的瞬时速度为26m/s.11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 12．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大答案 B解析 由题图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．13．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 C解析 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)． 14．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3， 结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________．答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)， 所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3， 所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s. 即物体在t ∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.(2)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率，因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12，所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12，即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.导数的几何意义1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B解析 因为f ′(x 0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0.2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2答案 C解析 k ＝y ′|x ＝2＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－2×22Δx ＝8.3．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为() A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 设切点为(x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.4．已知函数f (x )满足f ′(x 1)>0，f ′(x 2)<0，则在x 1和x 2附近符合条件的f (x )的图象大致是( )答案 D解析 由f ′(x 1)>0，f ′(x 2)<0可知，f (x )的图象在x 1处切线的斜率为正，在x 2处切线的斜率为负．5．(多选)下列各点中，在曲线y ＝x 3－2x 上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)答案 BC解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，则0=|x x y'＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx＝3x 20－2＝tan π4＝1， 所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－1.当x 0＝－1时，y 0＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________. 答案 3解析 因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3.7．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．答案 2解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.8．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为______．答案 －1解析 lim Δx →0 f (1)－f (1－2Δx )2Δx ＝lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝f ′(1)＝－1.9．在抛物线y ＝x 2上哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则0=|x x y'＝2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝x 20＝4，即P (2,4)，经检验，符合题意．设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0，则1=|x x y'＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18， 所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝⎛⎭⎫－18，164，经检验，符合题意． 故抛物线y ＝x 2在点(2,4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，在点⎝⎛⎭⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．解 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1， 所以y ′|x ＝1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为l 1⊥l 2，所以2x 0＋1＝－13，x 0＝－23， 所以直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.11．若曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为 k ＝0=|x x y'＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1. 即k <1.12．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2.13．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 答案 728解析 由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝ lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.14．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．答案 4解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x －1，在点P 处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2， 根据题意有－6＋c 2＝－5，解得c ＝4.15．已知函数f (x )＝x 3，过点P ⎝⎛⎭⎫23，0作曲线f (x )的切线，则其切线方程为________________．答案 y ＝0或3x －y －2＝0解析 设切点为Q (x 0，x 30)，得切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20， 切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫23，0，所以2x 20－2x 30＝0， 解得x 0＝0或x 0＝1，从而切线方程为y ＝0或3x －y －2＝0.16．点P 在曲线f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1，f ′(x 0)＝lim Δx →0＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0， 所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1， 得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，则Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，则y 0＝73，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫233，73或⎝⎛⎭⎫－233，73.。
解题方法专题——图像法讲义
图像法本专题主要讲述图像法在物理学中的应用。
解决物理问题的依据主要是利用相应的物理规律，定量给出物理量间的函数关系式，而采用数、形转换这一手段将给出的函数关系式以图像的形式表现出来就称为函数的图像，它和用公式的形式给出的物理规律本质是一致的。
但表现的形式不同，图像能够直观、形象、动态地表达物理过程和物理规律。
有时候，在解决一些复杂问题时用图像法解题更为明了、简捷。
图像包含的信息内容非常丰富，可考查学生的数形结合能力和信息提取的能力。
图像的识别（2020·重庆模拟）如图所示，有一边长为L的正方形线框abcd，由距匀强磁场上边界H处静止释放，其下边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动。
匀强磁场区域宽度也为L，ab边开始进入磁场时记为t1，cd边出磁场时记为t2，忽略空气阻力，从线框开始下落到cd边刚出磁场的过程中，线框的速度大小v、加速度大小a、ab两点的电压大小U ab、线框中产生的焦耳热Q随时间t的变化图像可能正确的是（）A．B．C．D．关键信息：边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动→线框所受安培力与重力平衡→分析出cd边出磁场之前线框也做匀速直线运动ab边开始进入磁场→ab边相当于电源，ab两点间电压对应的是路端电压，U ab＝34Ecd边出磁场前→ab两点间电压对应的是ab两点间这段导线电阻的电压，U ab＝14E线框中产生的焦耳热Q→因线框进入磁场之后的下落是做匀速直线运动，所以线框中的电流大小不变，可结合法拉第电磁感应定律以及焦耳定律进行计算解题思路：由右手定则判断出感应电流的方向，由法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小，进而得到安培力，再根据平衡条件、牛顿第二定律、电路知识、焦耳定律等进行相关计算、判断。
AB．线框从磁场上方H处开始下落到下边刚进入磁场过程中线框做自由落体运动；因线框下边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动，可知线框直到cd边出磁场时也做匀速直线运动，可知A、B错误；CD．线框ab边进入磁场的过程：E＝BLv，ab边相当于电源，则U ab＝34BLv；cd边进入磁场的过程：E＝BLv，cd边相当于电源，ab边相当于外电路中的一个电阻，其电阻为线框电阻的14，则U ab＝14BLv；线框进入磁场和出磁场过程中电动势相同，均为E＝BLv，时间相同，则线框中产生的热量Q＝2EtR相同；故C项正确，D错误。
【初中数学】初中数学斜率知识点结构
【初中数学】初中数学斜率知识点结构【—斜率】斜率知识：一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
斜率斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横坐标轴的倾斜程度。
当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b，(斜截式)k即该函数图像的斜率。
定义由一条直线与X轴形成的角的正切。
k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)直线斜率相关当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b 当k=0时 y=b当直线L的斜率存在时，点斜式y2—y1=k(X2—X1)，当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα斜率计算：ax+by+c=0中，k=-a/b.直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：k1*k2=-1.注意事项(1)顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。
过去我们在学习解直角三角形时，教科书上就说过：斜坡坡面的竖直高度h与水平宽度l的比值i叫做坡度;如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡度，那么;坡度越大<=>α角越大<=>坡面越陡，所以i=tanα可以反映坡面倾斜的程度。
现在我们学习的斜率k，等于所对应的直线(有无数条，它们彼此平行)的倾斜角(只有一个)α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。
实际上，“斜率”的概念与工程问题中的“坡度”是一致的。
(2)解析几何中，要通过点的坐标和直线方程来研究直线通过坐标计算求得，使方程形式上较为简单。
如果只用倾斜角一个概念，那么它在实际上相当于反正切函数值arctank，难于直接通过坐标计算求得，并使方程形式变得复杂。
(3)坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线(即x轴的垂线)没有斜率。
在今后的学习中，经常要对直线是否有斜率分情况进行讨论。
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系 (2019高考)数学考点分类解析
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题 1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,1ln )1()(2-<+++=a ax x a x f .如果对任意2121214)()(),,0(,x x x f x f x x -≥-+∞∈，求a 的取值范围.(答案：2-≤a .)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f .证明：若5<a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有1)()(2121->--x x x f x f .题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x fB.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x fD.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a xx x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理 设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(2)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(8)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])： 引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)引理 2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边.(2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.(3)同(1)可证. (4)同(2)可证.(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2121)()(2121,,x x I x x <∈∀有a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()(2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h a x f I x ≥'∈∀)(,或⇔-≤'a x f )(a x f I x ≥'∈∀)(,(8)同(7)可证.题5 已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求a 的取值范围.解 由定理9(2)，得123)(2≤+-='ax x x f 在∈x R 时恒成立，即01232≥+-ax x 恒成立，所以]3,3[,012)2(2-∈≤-=∆a a .所以所求a 的取值范围是]3,3[-.注 由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当0,3==b a 时，233)(x x x f +-=的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献[2]或[3])31处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )(1)若函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a ；(2)若]1,0[∈x ，且函数)(x f 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，试证明1≤k 的充要条件为31≤≤a .由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的). 下面用定理给出题1~4的简解.题3的简解 αM 即满足条件“∈∀21,x x R ，有α<--2121)()(x x x f x f ”的函数)(x f 构成的集合.由定理(6)，得αM 即满足条件“∈≤'x x f ()(αR )且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立”的函数)(x f 的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C 成立(且可排除选项A 、B 、D)，所以选C.题2的简解 由定理(4)知只需证明“当0>x 时1)(-≥'x f 且1)(-='x f 只能在一些孤立点上成立”：11)12(1121)(->----=--≥--+='a a a a a xa x x f所以要证结论成立.(并且还可得：当51≤≤a 时，结论也成立.)题1的简解)0(21)(>++='x ax xa x f .由定理(7)知题设即421)(≥---='ax xa x f 在0>x 时恒成立，由1-<a 及均值不等式可得所求a 的取值范围是]2,(--∞.注 下面把题1中的题设“1-<a ”改成“∈a R ”，再来求解： 此时题意即“421≥++ax xa 在0>x 时恒成立，求a 的取值范围”.当1-<a 时，已得2-≤a ；当01≤≤-a 时，可得函数)0(21)(>++=x ax xa x g 是单调减函数，可得此时不满足题设；当0>a 时，由均值不等式可得1≥a .所以所求a 的取值范围是),1[]2,(+∞⋃--∞. 题4的简解 设xax x x f x g +-='=222)()(，即证1)()(2121>--x x x g x g . 由定理(8)知，只需证明：当0>x 时1)(≥'x g ，即)0(14223>>-+x xax 只需证 )0(14223>>-+x x a x 即 )0(222>>++x a xx x这由均值不等式及题设可证：a xx x ≥>⋅≥++4432232 所以欲证成立.注 由以上简解知，把题4中的“4≤a ”改成“343⋅≤a ”后所得结论也成立.参考文献1 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，19922 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用作者：于胜寒来源：《中国新通信》2016年第23期【摘要】在高中物理习题解答过程当中，时常会应用到切线与斜率方面的知识内容，其中部分内容是应用于定性分析，部分是应用在定量计算当中，本文现就对相关的知识点内容在具体的物理习题解答中的具体应用展开具体的分析与探讨，以期能够借助于对“切线斜率”在物理习题解答中的实际应用，来更加有效的掌握物理习题解题技巧，促进解题能力的全面提升。
【关键词】函数图像切线斜率高中物理应用切线斜率即为图形在垂直方向变化量与水平方向变化量上的比值，这和数学概念当中的斜率存在一定的差异性。
此斜率并非倾角正切值。
在这一方面往往理解起来较为困难，由于过程相同，出于不同时刻的物理量便是明确的，但是每个人所画出的图像却不尽相同，相应的斜率也便有所不同。
因此就加强对函数图像中“切线斜率”的理解将具有十分重要的作用与价值，可在进行物理习题的解答时能够更好的应用“切线斜率”这一解题方法，提高对解题技巧的有效掌握。
一、理解函数图像“切线斜率”的意义要想促使学生能够对于函数图像当中某一切线位置的斜率做出准确的理解，首先便要能够理解函数的增量改变、平均变化率、变化率，同时还能够由函数的增量改变到函数平均变化率，直至函数在某一具体位置的变化率动态改变过程予以准确的理解，这些将会促进学生加强对于物理概念及规律的理解，并促使学生能够更加有效的解决物理难题，这将对于提升学生的解题技巧，促进物理学习效率的提升将具有极其重要的作用与价值。
二、物理图像“切线斜率”的物理意义三、无理函数图像“切线斜率”的具体应用在物理函数图像当中运用“切线斜率”之时，应先明确物理量会因为哪一个量的改变而产生出相应的函数图像，进而基于相应的物理量改变再进一步发展到平均变化率之时最终到达某一点的变化率予以动态化的了解，同时根据已经掌握的相关物理学概念、规律等内容来就其中所蕴含的内涵意义做到准确的理解。
文科数学高考二轮复习专题篇4函数图象的割线斜率与切线斜率的关系
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题 1(2010 年高考辽宁卷理科第21(2) 题 )已知函数 f ( x) (a 1) ln x ax 21, a1.假如对随意 x1 , x2(0, ), f ( x1 ) f ( x2 ) 4 x1x2，求 a 的取值范围.(答案： a 2 .)题 2 (2009年高考辽宁卷理科第21(2)题) 已知函数f ( x)1x 2ax (a1) ln x, a1.2证明：若 a5，则对随意x1, x2(0,), x1x2，有 f (x1 ) f ( x2 ) 1 .x1x2题 3(2009年高考浙江卷理科第10 题 )关于正实数，记 M 为知足下述条件的函数f (x) 组成的会合：x1 , x2R且 x2x1，有( x2x1 ) f (x2 ) f ( x1 )( x2x1 ) .以下结论中正确的选项是()(答案： C.)A. 若f (x)M1 , g( x)M2，则 f (x)g( x)M12B.若 f (x)M 1 , g( x) M 2且g( x)f ( x)0 ，则Mg( x)12C.若f (x)M1 , g( x) M2，则 f (x)g( x)M12D.若f (x)M1 , g( x) M2且12，则 f ( x)g( x)M12题 4(2006年高考四川卷理科第22(2) 题 )已知函数f (x)x 22 a ln x( x0), f ( x)x的导函数是 f ( x) ， a4, x1 , x2是不相等的正数，求证：f( x1 ) f (x2 )x1 x2.深入研究这四道高考题(除题 8 是选择压轴题外，其他三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理设 a R，函数f ( x)在区间I上可导，则(1)x1, x2I , x1x2f ( x1 ) f ( x2 )a x I , f( x) a ；有x2x1(2)x1, x2I , x1x2f (x1) f (x2 )a x I , f(x) a 且区间 I0I ，当有x2x1x I 0时 f (x) a 不可以恒建立；(3)x1, x2I , x1f ( x1 ) f ( x2 )a x I , f( x) a ；x2有x2x1(4) x1, x2I , x1x2f (x1) f (x2 )区间 I0I ，当有ax I , f (x) a 且x1x2x I 0时 f (x) a 不可以恒建立；(5)x1, x2I , x1x2有f ( x1 ) f ( x2)a x I , f ( x) a ；x1x2(6)x1, x2I , x1x2有f ( x1 ) f (x2 )a x I , f ( x) a 且区间 I0I ，当x1x2x I 0时 f (x) a 及 f ( x) a 均不可以恒建立；(7)x1, x2I , x1x2有f ( x1 ) f ( x2)a x I , f ( x) a ；x1x2(8)x1, x2I , x1x2有 f ( x1 ) f (x2 )a x I , f ( x) a 且区间 I0I ，当x1x2x I 0时 f (x) a 及 f ( x)a 均不可以恒建立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学剖析》中均可找到(比方文件 [1],[2]) ：引理1若函数 f (x) 在区间I上可导，则 f ( x) 在I上单一不减(不增)的充要条件是f( x)( ) 0 在x I 时恒建立.(注：若x1, x2I , x1 x2有 f ( x1 )( ) f (x2 ) ，则称 f ( x) 在区间 I 上单一不减(不增).)引理2若函数 f ( x)在区间 I 上可导，则 f ( x) 在I上严格递加(递减 )在 I 上f( x)( ) 0且关于随意的区间 I0I ，当 x I 0时 f(x)0不可以恒建立.(注：若x1 , x2I , x1x2有 f (x1)( ) f ( x2 ) ，则称 f ( x) 在区间I上严格递加(递减).)定理的证明设 g ( x) f ( x)ax, h( x) f ( x) ax .(1) 左侧x1 , x2[ f ( x1 ) ax1] [ f (x2 ) ax2 ]0x1 , x2I , x1x2I , x1 x2有x1 x2有g( x1)g( x2 )0g( x) 在I上单一不增g ( x) f ( x) a 0右侧 .x1x2(2) 左侧x1 , x2I , x1 x2[ f (x1) ax1] [ f ( x2 ) ax2 ]0x1, x2I , x1x2有有x1x2g (x 1 ) g(x 2 )g ( x) f ( x) a 0 (用引理 2，这里省去了x 1 0 g ( x) 在 I 上严格递减x 2一些文字的表达，下同) 右侧.(3)同 (1) 可证 . (4)同 (2) 可证 .(5)左侧x 1, x 2 I , x 1 x 2f ( x 1) f ( x 2 )x 1, x 2 I , x 1 x 2 有有 aax 1 x 2g( x 1 ) g ( x 2 )x 1 x 2g( x)在 I 上单一 不增右侧 .h( x 1 ) h( x 2 )h( x)在 I 上单一 不减x 1 x 2(6) 左 边x 1, x 2I , x 1 x 2 有af ( x 1) f ( x 2 )ax 1, x 2 I , x 1x 2 有x 1 x 2g( x 1 ) g ( x 2 )x 1 x 2g( x)在 I 上严格递减右侧 .h( x 1 ) h( x 2 )h( x)在 I 上严格递加x 1 x 2(7)x 1, x 2 I , x 1f ( x 1 ) f ( x 2 )ax 2 有x 1 x 2x 1, x 2 I , x 1x 2 有f ( x 2 )f ( x 1 ) a 或f ( x 2)f ( x 1) ax 2x 1x 2x 1x 1, x 2I , x 1 x 2 有 g(x 1) g (x 2 ) 或 h( x 1) h( x 2 )x I , g (x) 0 或 h ( x) 0x I , f ( x) a 或 f (x)ax I , f (x)a(8)同 (7) 可证 .题 5 已知函数 f ( x)x 3 ax 2b(a, b R ) 的图象上随意不一样的两点连线的斜率小于 1，求 a 的取值范围 .解由定理 9(2) ，得f ( x ) 3x 22 1 在 x R 时恒建立，即 3x 22ax 1 0 恒ax 建立，因此(2a)212 0, a [3, 3] 因此所求 a 的取值范围是[ 3, 3] ..注 由定理9(1)知，若把例1 中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可考证：当a3,b0 时，f ( x)x 3 3x 2 的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，拜见文件[2] 或 [3])1处切线的斜率为1( 图 1).3图 1题 6 (2013 年福建省厦门一中月考试题)已知函数 f ( x)x 3ax 2 b( a, b R )(1)若函数 y f ( x) 的图象上随意两个不一样的点连线斜率小于 1，求证：3a3 ；(2) 若 x [0,1] ，且函数 f (x) 的图象上随意一点处的切线斜率为k ，试证明 k 1 的充要条件为 1 a3 .由题 5 的结论可知，题 6 的第 (1) 问是错题 (可得第 (2)问是正确的 ).下边用定理给出题 1~4 的简解 .题3的简解M 即知足条件 “ x 1 , x 2f ( x 1 ) f (x 2 )”的函数 f ( x) 组成R ，有x 2x 1的会合 .由定理 (6) ，得 M即知足条件“ f (x) ( x R ) 且关于随意的区间I 0I ，当 x I 0时 f ( x) a 及 f (x)a 均不可以恒建立”的函数f ( x) 的会合 .由此及绝对值不等式可证得选项C 建立 (且可清除选项 A 、B 、 D)，因此选 C.题2的简解由定理 (4)知只要证明“当x 0 时 f(x) 1 且 f ( x)1只好在一些孤立点上建立” ：f (x)xa 1 a 2 a 1 a a 1( 2 a 1) 1 1x 1 a 5时，结论也建立 .)因此要证结论建立 .( 而且还可得：当题1的简解a 1 2 0) .由定理 (7)知题设即a 1f ( x) ax x f ( x) 2ax 4x(x在 x时恒建立，由 a1a 的取值范围是 ( , 2] .及均值不等式可得所求注下边把题 1 中的题设“a1aR”，再来求解：”改成“此时题意即“a 12ax 4 在x 0时恒建立，求 a 的取值范围”. x当 a1时，已得 a 2 ；当1 a 0时，可得函数a12(0) 是单一减函数，可得此时不知足g( x)ax xx题设；当 a 0 时，由均值不等式可得 a 1.因此所求 a 的取值范围是(,2][1,) .题4的简解设 g ( x) f( x)2x 2a，即证g (x1 ) g (x2 )x 2x x11 .x2由定理 (8) 知，只要证明：当x0 时 g (x) 1 ，即24a1( x0) x 3x 2只要证24a1( x0) x 3x2即x222a( x0)x x这由均值不等式及题设可证：x222 3 344ax x因此欲证建立 .注由以上简解知，把题4中的“ a4”改成“ a 3 34”后所得结论也建立 .参照文件1刘玉琏，傅沛仁 .数学剖析讲义 (上册 )[M].3 版 .北京：高等教育第一版社， 19922华东师范大学数学系编 .数学剖析 (上册 )[M].3 版 .北京：高等教育第一版社， 2001。
割线的斜率公式及应用
割线的斜率公式及应用
分割线的斜率公式为k = (y2–y1) / (x2–x1)，其中k为分割线的斜率，x1、y1为点A的坐标，x2、y2为点B的坐标。
分割线斜率的应用：
1. 计算直线倾斜角：分割线斜率可以计算出直线的倾斜角，结果既可
以采用角度度量也可以采用弧度度量，斜率大小越大直线倾斜角越大。
2. 计算两个点之间的距离：分割线斜率可以简化利用勾股定理计算两
个点之间的距离。
3. 计算函数的导数：由于分割线的定义涉及到形式的变化，因此也可
以引申到函数中，可以直接用斜率的公式来求取函数某一点的导数。
第一百五十四夜切线斜率与割线斜率
第一百五十四夜切线斜率与割线斜率
对导数而言，切线是无法回避的重点。
切线是导数的背景，而切线源自割线，是割线的极限形式，故切线与割线的关系便成为命题者不可多得的素材。
以下便是一道关于切线斜率与割线斜率大小关系的试题，不妨试试。
一·围观：一叶障目，抑或胸有成竹
题目并列式设问，第一问，已知极值情况求参数的取值范围，题型常规，难度适中；第二问，比较函数图象上两点割线斜率与中点切线斜率的大小，作差构造函数或著名不等式放缩皆可。
二·套路：手足无措，抑或从容不迫
三·脑洞：浮光掠影，抑或醍醐灌顶
本题考查导数的应用，涉及函数的单调性、函数的极值、不等式的证明等知识点，综合考查整体与部分的思想、转化与划归的思想，属于难题。
比较大小常用的方法有作差与作商，当然也可以借助著名不等式进行放缩。
法1，作差，然后对数单身狗，然后齐次化，然后换元构造辅助函数，通过辅助函数的单调性得出结论。
法2，对数平均不等式（A-L-G不等式），单刀直入，唾手可得。
无论是法1，还是法2中的x1小于x2都并非是必要的，仅仅是为了表述方便。
想必你已为对数平均不等式的魔幻而顶礼膜拜，为什么会这样呢？
原因在于对数平均数已然含有斜率的思想。
本题看似平淡无奇，实则匠心独具。
它源自于沟通切线斜率与割线斜率的桥梁——拉格朗日中值定理。
如果更进一步，还可得到如下定理：
四·操作：行同陌路，抑或一见如故
夜，那么长，以数学疗人寂寞，不是修行，就是罪过。
叨叨
2019.11.7。
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函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题 1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,1ln )1()(2-<+++=a ax x a x f .如果对任意2121214)()(),,0(,x x x f x f x x -≥-+∞∈，求a 的取值范围.(答案：2-≤a .)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f .证明：若5<a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有1)()(2121->--x x x f x f .题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x fB.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x fD.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a xx x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理 设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(2)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(8)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])： 引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)引理 2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边.(2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.(3)同(1)可证. (4)同(2)可证.(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2121)()(2121,,x x I x x <∈∀有a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()(2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h a x f I x ≥'∈∀)(,或⇔-≤'a x f )(a x f I x ≥'∈∀)(,(8)同(7)可证.题5 已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求a 的取值范围.解 由定理9(2)，得123)(2≤+-='ax x x f 在∈x R 时恒成立，即01232≥+-ax x 恒成立，所以]3,3[,012)2(2-∈≤-=∆a a .所以所求a 的取值范围是]3,3[-.注 由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当0,3==b a 时，233)(x x x f +-=的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献[2]或[3])31处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )(1)若函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a ；(2)若]1,0[∈x ，且函数)(x f 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，试证明1≤k 的充要条件为31≤≤a .由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的). 下面用定理给出题1~4的简解.题3的简解 αM 即满足条件“∈∀21,x x R ，有α<--2121)()(x x x f x f ”的函数)(x f 构成的集合.由定理(6)，得αM 即满足条件“∈≤'x x f ()(αR )且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立”的函数)(x f 的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C 成立(且可排除选项A 、B 、D)，所以选C.题2的简解 由定理(4)知只需证明“当0>x 时1)(-≥'x f 且1)(-='x f 只能在一些孤立点上成立”：11)12(1121)(->----=--≥--+='a a a a a xa x x f所以要证结论成立.(并且还可得：当51≤≤a 时，结论也成立.)题1的简解)0(21)(>++='x ax xa x f .由定理(7)知题设即421)(≥---='ax xa x f 在0>x 时恒成立，由1-<a 及均值不等式可得所求a 的取值范围是]2,(--∞.注 下面把题1中的题设“1-<a ”改成“∈a R ”，再来求解： 此时题意即“421≥++ax xa 在0>x 时恒成立，求a 的取值范围”.当1-<a 时，已得2-≤a ；当01≤≤-a 时，可得函数)0(21)(>++=x ax xa x g 是单调减函数，可得此时不满足题设；当0>a 时，由均值不等式可得1≥a .所以所求a 的取值范围是),1[]2,(+∞⋃--∞.。