从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用-2019年教育文档
函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用切线斜率即为图形在垂直方向变化量与水平方向变化量上的比值，这和数学概念当中的斜率存在一定的差异性。
此斜率并非倾角正切值。
在这一方面往往理解起来较为困难，由于过程相同，出于不同时刻的物理量便是明确的，但是每个人所画出的图像却不尽相同，相应的斜率也便有所不同。
因此就加强对函数图像中“切线斜率”的理解将具有十分重要的作用与价值，可在进行物理习题的解答时能够更好的应用“切线斜率”这一解题方法，提高对解题技巧的有效掌握。
一、理解函数图像“切线斜率”的意义要想促使学生能够对于函数图像当中某一切线位置的斜率做出准确的理解，首先便要能够理解函数的增量改变、平均变化率、变化率，同时还能够由函数的增量改变到函数平均变化率，直至函数在某一具体位置的变化率动态改变过程予以准确的理解，这些将会促进学生加强对于物理概念及规律的理解，并促使学生能够更加有效的解决物理难题，这将对于提升学生的解题技巧，促进物理学习效率的提升将具有极其重要的作用与价值。
二、物理图像“切线斜率”的物理意义三、无理函数图像“切线斜率”的具体应用在物理函数图像当中运用“切线斜率”之时，应先明确物理量会因为哪一个量的改变而产生出相应的函数图像，进而基于相应的物理量改变再进一步发展到平均变化率之时最终到达某一点的变化率予以动态化的了解，同时根据已经掌握的相关物理学概念、规律等内容来就其中所蕴含的内涵意义做到准确的理解。
依据图像“切线斜率”所具备的物理学概念内涵和切线斜率的改变规律来尽快获得相应的函数变化规律。
例题1，在某一空间当中其静电场电力势能？于x轴当中的分布情况如下图1所示，其中x轴于BC两点电场的强度于x位置上的分量依次为EBx与ECx，在以下选项当中正确的选项是（）A EBx的电场强度势能>ECxB EBx的分量方向为x轴正方向C O?c位置所存在的电荷强度在x轴方向当中的分量最大D x当中的负电荷在由B转移到C之时，电场力先做正功，后做负功。
谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法
x 2 x1 2
即 ] 0，
x x1 f (x2 ) f (x1) )。 f '( 2 2 x2 x1
【例 4】已知函数 f (x) x ln x, (x 0) ， x1 , x2 ( x1 x2 ) 为函数图像上任意两 点的横坐标，求证：
（ （ⅱ） 若 f (x) 0 有两个实根， 分别为 x1, x 试比较 2 x1 x2 ) ，
f '( x2 x1 ) 的大小。 2
通法： （ⅰ）易求得 a 的取值范围为 a 0或a 1；
f (x2 ) f (x1) 与 x2 x1
（ⅱ） 由于 f (x) e ax 1， 故 f ' (x) e a ， 进而 f ' ' (x) f ' ' ' (x) e 0 ， 。
a 0 时，有
f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1) x x f ' ( x2 x1 ) ； a 0 时，有 f '( 2 1 ) 。 x2 x1 x2 x1 2 2
x
【例 3】已知函数 f (x) e ax 1.
3
（ⅰ）若 f (x) 0 仅有一个实根，求实数 a 的取值范围；
x1 , x 2 D , 且 x1 x 2 ：若 f ''(x) 单调递增，则有
若 f ''(x) 为常数，则有
f (x2 ) f (x1) x x f '( 2 1 ) ； x2 x1 2
f ( x2 ) f ( x1 ) x x f ' ( 2 1 ) ；若 f ''(x) 单调递减，则有 x2 x1 2
微分法新规应用5切线 曲线的切线和斜率
切线 向上的方向 与自变量轴的 正方向的夹角 称 为 倾 斜 角 ， 切线倾斜角的正切称为切线的斜率。
ⅰ.曲线 C： y = f (x) 的切线斜率是
k = tanα = f ′( x) = dy = lim f (x + dx) − f (x) ，
dx dx→0
dx
这里自变量轴是 x 轴，其中切线的倾斜角是 α （右手坐标系
长线。
图3
【说明】如图3， A(CB) 是曲线 y = f (x) 上，对应 x 轴上(微分)
点 x∽x+dx 处放大表示的光滑微分点， rt△ACB 是点 A(CB) 内的微分三角形。在此点内弧 � AB 和直线 AB 重合，直线 AB 的延长线就是切线 AT ；其斜），极 限 lim f (x + dx) − f (x) 也可记作 lim f (x + ∆x) − f (x) ，它提供
dx→0
dx
∆x→0
∆x
了利用割线 PT 变化的斜率的极限去无限逼近切线斜率的方
法。
ⅱ曲线 C 的方程也可用 y = f (x) 的反函数 x = f −1( y) = φ( y) 表 示 ，
边的比 dy = tanα = f ′(x) 。
dx
图1 这个观点可以揭示现代微分学中通用的切线定义的真谛。 图1中，所谓“Q 点沿着曲线 C 无限地接近 P 点时，割线 PQ
的极限位置”其本质就是进入了微分点 P（Q）的内部，这时
曲线 P(Q) 就是点内微分三角形的斜边 P(Q) (请注意，这时图1 把点 P(Q) 内部的微分三角形放大并移到了另外位置)，微 分 点 内斜边 P(Q) 的延长线就是切线 PT。 4.“光滑微分点”的现实原型
高中数学利用化归与转化为斜率求解问题策略培养
高中数学利用化归与转化为斜率求解问题策略培养摘要：化归与转化的思想方法是中学数学的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化就是研究和解决数学问题时采用某种方式：如借助某种函数性质、图象、公式,将问题由抽象转化为具体、复杂转化为简单、未知转化为已知，进而达到解决问题的途径和方法.笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见．关键词：斜率，化归与转化，培养，策略一、转化为直线的斜率问题1.转化为直线与线段有解的斜率问题案例1 平面上有两点 ,直线与线段恒有交点，求的取值范围？解析：∵直线过定点，要使直线与线段恒有交点，只需将直线绕着点按照逆时针方向从点旋转到点，此时直线与线段恒有交点，∵∴ .点评：直线过定点，本题把直线与线段恒有交点转化为，当倾斜角为时，直线斜率不存在，所以 .2.转化为直线与曲线有解的斜率问题案例2 已知实数满足，试求的最大值与最小值解析：把转化为，即转化为曲线上任意一点与点连线的斜率问题，令，由图可知：由可得∴故的最大值为8，最小值为 .点评：利用的几何意义：它表示曲线上任意一点与定点连线的斜率，由图可知，进而求解.二、转化为直线与曲线中的斜率问题1.转化为圆上的点与定点连线的斜率问题案例1 设实数x、y满足，求的取值范围解析：把转化为即圆上任意一点与定点连线的斜率问题，而点M在圆上运动，令，即，利用圆心C到该直线的距离等于1，即得又∵直线垂直于X轴，∴范围是［，）．点评：本题把转化为 ,即转化为圆上任意一点与平面上一定点连线的斜率问题．2.转化为曲线上的点与定点连线的斜率问题案例2 已知点在曲线上，求的取值范围？解析：由两边平方整理得就可以看着曲线上任意一点与点连线的斜率问题，点在运动，又∴的取值范围是点评：本题给的是曲线，首先对曲线进行化简得，就可以看着曲上任意一点与平面上一定点连线的斜率问题．二、培养和提高分析转化能力的策略1．引导转化与化归数学方法教学化归与转化的方式有很多种，本文主要讲述了转化为直线的斜率、转化为直线与曲线中的斜率这两类题型，而这两类题型体现了等价转化、形与数的转化这两种思想，通过以上例子可知在处理问题时，换一种角度观察、换一种方式思考、换一种处理思路就会给我们解决问题带来很大方便．转化思想蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有领悟了数学转化思想与方法，别人的知识技巧才会变成自已的能力，从而培养和提高学生合理、正确地应用转化思想与解决问题的能力．2．加强和提高学生的化归模式识别能力数学是充满模式的，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑．（新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”），要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用化归思想和方法解决问题．近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查．因此，在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题能力的必要的补充．在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节．这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段．解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器．参考文献：1．简洪权．高中数学运算能力的组成及培养策略．《中学数学教学参考》2000．1-22．张卫国．例谈高考应用对能力的考查．《中学数学研究》2001．3作者简介：吴玉章，新沂市第一中学，1977年12月出生，大学本科，江苏新沂，中高，数学教育课题论文：本文获徐州市”十三五“规划课题”农村高中生数学化能力培养的行动研究（GH-13-18-L334）"项目支持3。
切线与割线斜率关系的深度探析
( x0, f ( x0 ) ) 一定是拐点. 又 k % P, 所以曲线 C 不存
22
在与 l 平行的割线, 也即平行于拐点 ( x0, f ( x0 ) ) 处 切线的任意直线与曲线 C 至多有一个交点, 必要性 成立.
( 4) 由 ( 3) 的证明易知结论成立.
由上述定理 可知, 对于 二阶 可导 曲线 C: y = f (x ) 有: ∋ 当且仅当曲线 C 不存在拐点, 或对曲线 C
和 F, 割线 EF 的斜率等于切线 l的斜率, 所以 Q ! P, 又由 ( 1) 知 P ! Q, 所以 P = Q;
( 3) 一方面, 因为曲线 C 存在这样的拐点, 使得
平行于该拐点处切线的任意直线与曲线 C 至多有一 个交点, 所以曲线 C 上任意两点的连线的斜率都不等
于该拐点处切线的斜率, 所以 P Q, 充分性成立;
,
+
#
上 递 增, 所以
h( x ) m in
=
h(
1 3
)
=-
1 27
3+
4.
若 h( x ) min ! 0, 则 | h (x ) |m in = 0, 此时 | 2x3 -
x2 + 4 | > 1对任意的 x > 0 不能恒成立, 故必有
h ( x )m in
>
0, 此时
| h(x)
|m in =
x
x2 2
12
-
3
33 x1 x2
>
1
3x1 x2 +
x1 + x2 x1 x2
>
3
33
或
5x1 x2
+
浅谈高中物理中切线斜率和连线斜率
一般地,如 果 纵 坐 标 物 理 量 为 横 坐 标 物 理 量 在
某方面的积累效果,或 者 某 物 理 量 的 定 义 为 微 分 形
式 ,那 么 应 该 看 “切 线 斜 率 ”,如 果 某 物 理 量 的 定 义 为
C.对应 P 点,小灯泡的电阻为 R =I2U-1I1 D.对应 P 点,小 灯 泡 电 阻 为 图 中 矩 形 PQOM 所围的面积
解 析:P 点的电阻R =UI21 为PO 连线的斜率,故 AB 为正确答案.
【例3】在如图4所示电路中,闭合开关 S,当滑 动变 阻 器 的 滑 片 P 向 下 滑 动 时,4 个 理 想 电 表 的 示 数 都发生变化,电表的示数分别用I,U1,U2 和U3 表 示,电表示数变化量的 大 小 分 别 用 ΔI,ΔU1,ΔU2 和 ΔU3 表示.下列比值正确的是( )
值形式,故 它 的 连 线 的 斜 率 表 示 电 阻.类 似 的 F q
图像应该看 “连线斜率”.
特例:
1)电容器的电容由C=UQ 定义,也可以用C=
ΔQ ΔU
来 计 算 .如 果 用 Q
U
图像表示电容器存储电荷
量 与 极 板 电 压 之 间 的 关 系 ,那 么 图 像 一 定 是 过 原 点
的直线,“切线斜率”与“连 线 斜 率”完 全 一 致,无 需
区分.
2)电路中,定值电阻R=UI =ΔΔIU,可变电阻只
能用 R =UI 来计算. (3)斜 率 的 正 负 号 具 有 什 么 意 义 ? 一般地,如 果 “比 值”所 反 映 的 物 理 量 是 矢 量,
斜率的正负号具有方向意义;如果“比 值”所 反 映 的
割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件
取值集合 相 同，又 ｇ′（ｘ）＝４＋ｘ２３ －ｘλ２ ＞４，所 以
ｇ（ｘｘ１１）－－ｇｘ２（ｘ２）＞４，显 然 满 足 题 意 ；
２° 当λ＞０ 时 ，令 ｇ″（ｘ）＝０ 得 ｘ０ ＝λ３ ，当 ０＜
ｘ＜λ３时，ｇ″（ｘ）＜０，当 ｘ＞λ３ 时，ｇ″（ｘ）＞０，所 以
５４
数学通报 ２０１１年 第５０卷 第１２期
②
令ｇ（ｔ）＝２ｌｎ（ｔ２ｔ－ｔ－１２ １）２，
则 ｇ（ｔ）＝２ｌｎｔｔ２２－－ｌ（ｎ２ｔ（２－ｔ１－）１），
设 Ａ（２ｔ－１，ｌｎ（２ｔ－１）），Ｂ（２ｔ，ｌｎｔ２）是对数函
数ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）图像上的两点，则ｇ（ｔ）＝ｋ２ＡＢ ， 因为曲 线 ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）上 凸，无 拐 点，根 据
推论２，曲线ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）上 割 线 斜 率 的 取 值 集 合等 于 切 线 斜 率 的 取 值 集 合，又 ０＜ｙ′＜１，所 以 ０＜ｋＡＢ ＜１，所以ｇ（ｔ）＞２，结合②得ａ≤２．
例１（２００９年高 考 辽 宁 卷 理 ２１ 题）已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ １２ｘ２ －ａｘ＋ （ａ－１）ｌｎｘ，ａ＞１．
（１）讨 论 函 数 ｆ（ｘ）的 单 调 性 ； （２）证 明：若 ａ＜５，则 对 任 意 ｘ１，ｘ２ ∈ （０， ＋ ∞ ），ｘ１ ≠ｘ２ ，有ｆ（ｘｘ１１）－－ｘｆ２（ｘ２）＞ －１． 解 （１）略 ；（２）ｆ′（ｘ）＝ｘ＋ａｘ－１－ａ，ｆ″（ｘ）
例析充分性和必要性思想在导数中的应用
例析充分性和必要性思想在导数中的应用作者：童益民来源：《中学教学参考·理科版》2012年第11期充分性和必要性思想是一个很重要的数学思想，给数学解题提供了一个很好的手段和方法.在导数这一章节的教学中，涉及导数的几何意义与函数的单调性、极值、最值等内容，它们都可以运用充分性和必要性思想进行命题的等价转化，如果不善于分析和应用，如只考虑充分性，会导致所求结果范围缩小；或只考虑必要性，就会导致所求结果放大.下面通过几个例子，来说明充分性和必要性思想在导数中的误用与妙用.一、在导数几何意义中的应用【例1】已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）.若函数y=f（x）的图像上任意不同的两点P、Q连线的斜率都小于2，求a的取值范围.错解：对于任意割线PQ，总存在与它平行的切线，于是只要使得切线的斜率恒小于2，即f′（x）错解分析：上述解法错误地把割线的斜率与切线的斜率等价.根据拉格朗日定理：若函数f （x）在区间，上连续，在（，）内可导，必∈（，），使f′（ξ）=f（）-f（）-.也就是说，对于任意的割线PQ，总存在切线的斜率等于割线的斜率；但反之不成立，即对所有的切线，不一定存在与它平行的割线.所以上面只考虑了割线PQ斜率小于2的充分条件，导致所求结果范围缩小.（正确的解法详见文[1]）.二、在函数单调性中的应用【例2】已知函数f（x）=13x3-12（a+1）x2-4（a+5）x，g（x）-x+5，其中a∈R.（1）若函数f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值；（2）若存在两个整数m，n，使得函数f（x），g（x）在区间（m，n）上都是减函数，求n的最大值，及n取得最大值时a的取值范围.正解：（1）略.（2）f′（x）=x2-（a+1）x-4（a+5）=（x+4）（x-a-5），∵f（x）在（m，n）上是减函数，根据图像得n≤a+5.又g（x）在（m，n）上也是减函数，∴g′（n）≤0，即an2-n+5≤0，∴a≤n-5n2.∴a≥n-5，a≤n-5n2，∴n-5≤n-5n2，∴1≤n≤5.检验：当n=5时，a=0，经检验不成立；当n=4时，a≥-1，a≤-116，又需g′（3）≤0，即a≤-29，∴-1≤a≤-29，经检验成立.分析：上述解法先利用了函数f（x）、g（x）在区间（m，n）上是减函数的必要条件，即n≤a+5（根据图像得到）与g′（n）≤0，得到1≤n≤5，使n的范围有效地缩小.因为只研究了必要性，所以得到的结果范围是放大的，再通过逐一检验，来验证充分性，就能很好地解决了这一问题.三、在函数极值中的应用【例3】已知函数f（x）=x3+ax2+（a2-6）x.（1）若f（x）在x=-1处取到极值，求实数a的值；（2）若f（x）在[-1，1]内有极值，求实数a的取值范围.错解：（1）f′（x）=3x2+2ax+（a2-6），∴f′（-1）=3-2a+a2-6=0，∴a=3或a=-1.（2）若f（x）在[-1，1]内有极值，则f′（x）=0在[-1，1]内有解.根据图像法得Δ=4a2-4×3×（a2-6）≥0，-1≤-a3≤1，f′（-1）≥0，f′（1）≥0，或f′（-1）·f′（1）≤0，∴-3≤a≤-1或1≤a≤3.综上，-3≤a≤-1或`1≤a≤3.错解分析：根据极值的定义，若f（x）在处取到极值，则f′（）=0；反过来，由f′（）=0，则不能推出f（x）在x处取到极值，即f′（）=0是f（x）在处取到极值的必要不充分条件.如果只考虑必要性，则所求结果的范围会放大.所以第（1）小题，经检验，当a=3时，f′（x）=3x2+6x+3=3（x-1）2≥0，不符合.第（2）小题，若f（x）在[-1，1]内有极值，则f′（x）=0在[-1，1]内有解，且无重根，这是等价的.所以可先求充分条件Δ=4a2-4×3×（a2-6）>0，-1或f′（-1）·f′（1）四、在函数最值中的应用【例4】设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2.（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x）（x∈[0，2]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围.正解：（1）略；（2）f′（x）=3ax2-6x，g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x，当g（x）在[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），即0≥20a-24，∴a≤65.检验：当a≤65时，对任意x∈[0，2]，g（x）≤65x3-3x2+185x2-6x=3x5（2x2+x-10）=3x5（2x+5）（x-2）≤0.而g（0）=0，故g（x）在[0，2]上的最大值为g（0）.综上，实数a的取值范围为（-∞，65].分析：已知函数f（x）在[a，b]内连续，若f（x）在x=a处取到最大值，则f（a）≥f（b）恒成立；反之，由f（a）≥f（b）恒成立不能推出f（x）在x=a处取到最大值，即f（a）≥f （b）是f（x）在x=a处取到最大值的必要不充分条件.上述解法先根据函数g（x）在x=0处取得最大值的必要条件，求出实数a的取值范围，再来证明a≥65是函数g（x）在x=0处取得最大值的充分条件，灵活地利用了充分性和必要性，解题的思路比较独特.当然该题还可用其他的方法，如用数形结合与分类的思想，对实数a进行讨论，根据三次函数的图像可求出实数a 的取值范围，或用g（x）≤g（0）对x∈[0，2]恒成立，求出实数a的取值范围.从以上几个例子中，我们发现，为了解决某一个问题，需要进行等价的转化，变成可以解决的问题，写出其充要条件；而当等价转化遇到困难时，也需要利用充分性和必要性思想，可先考虑充分性或先考虑必要性，逐步去突破难点，从而解决问题.在应用时，我们要注意充分性和必要性的数学逻辑与书写的严密性，厘清其中的逻辑关系，避免不等价的错误，同时也可使解题的思路更加灵活多样.参考文献孙四周.从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读[J].数学通报，2011（6）.。
浅析高中物理图像中斜率的意义及应用
浅析高中物理图像中斜率的意义及应用作者：秦绪健来源：《课程教育研究》2018年第20期在高中物理学习中，物理图像中斜率的应用非常广泛，有不少同学对此缺乏正确的分析，常常混淆斜率的应用或者忽略有关限制条件。
如果对这类问题模棱两可，领会不深刻，会导致物理学习出现较大困难，做题时有会而不对，对而不全的情况，甚至对有些题目无从下手。
下面对斜率的有关问题进行讨论。
一、割线斜率与切线斜率的比较从数学知识可知，斜率是表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度，通常是用直线和水平线的夹角的正切来表示。
如图1所示，Ⅰ线为P点与坐标原点相连接的割线，其斜率k=，即过原点的割线斜率为相应的y与x瞬时值的比值；Ⅱ直线为P点的切线，其斜率k1=，即切线斜率为相应的y与x微小变化量的比值。
显然，在图线为曲线时，某点的切线斜率与过该点和原点的割线斜率一般并不相等，只有在图线为过原点的直线时，两者的斜率才一定相等。
因此，在物理图像中，两种斜率所反映的问题是不同的，用切线的斜率来表示的是用微小变化量的比值来反映的物理量，如：1.速度v=，在x-t图像中，切线斜率表示速度的瞬时值。
2.加速度a=，在v-t图像中，切线斜率表示加速度的瞬时值。
3.电流强度I=，在q-t图像中，切线斜率表示电流强度的瞬时值。
4.电动势E=n，在Ф-t图像中，切线斜率表示电动势的瞬时值。
用过原点的割线来表示的是相应瞬时值的比值来反映的物理量，如：1.电阻R=，在U-I图像中，过原点的割线斜率表示电阻值。
2.质量倒数=，在a-F图像中，过原点的割线斜率表示质量的倒数值。
下面探讨运用斜率法解题：例1：列车在恒定功率机车牵引下，从车站出发行驶5min，使速度达到20m/s，那么在这段时间内，列车行驶的路程（）A.一定小于3kmB.一定等于3kmC.一定大于3kmD.不能确定解析列车在恒定功率下行驶，牵引力随速度增加而减小。
因此，列车做初速度为零的加速度不断减小的加速运动。
素质教育理念指导下的《数学课程方案》课案设计与分析
后嚣动与考攮：（ 进徽一曩）
囊
质
导
向 薮
学
过
程
备注
１ ．收集 素材，说一说在工程技术、生燔实际，经济镘域中和导数有关的实 素 质教育从 谦 内 伊ｊ 延伸到课外
。
强调本课程认知和 思考过程的连贯性完整 性 ，注意动控 ；并在整个鼓学 以生话 中很 关 的
过程 中关注和适时调 节课堂气氛 。
（ 《 二）数学课程 方案》 计的素质内涵 设
１ ． 培养学生创造能力 课程 《 方案》 的设 计 ， 力求通 过知识的传授 ， 引发 思考 ， 介绍思想 ， 学会思 想 ， 延伸 思想 ， 重逻辑思 维和发散 思维 的培养 ， 注
形成 主动思考 问题 的习惯 与能力 ， 有利于学生创造能力的提升 。
＋ 创新的手段— ÷
问题解决
（ ） 二 课案分析
１
．
从实例 出发 ， 通过求跳 水运动员 的瞬时速度和切线 的斜 率 ， 过瞬 通
情境２ 切 的 率 ： 线 斜 １ 对 线的 新 识 ． 切 ｔ 认 预设 题 曲 只 一 交点 直线 定 切 吗？ 问 和 线 有 个 的 一 是 线
把 复杂 问题 简单化 ，这就是—种非常朴 素的 思想 。当ｉ到 —个新的 问题，我们没有现成 基
２ ． 导向原 则 《 学课程方 案》 素质 数 以素质 导 向为引导 ， 筑认识 、 构 养
成、 实践和创新 四个平 台， 激发学生主体积极实 现 自我提升的愿望。
３ 课程分 析原则 《 学课程 方案》 ． 数 立足课 程 ， 据课程 内容挖 掘“ 根 素 质” 内涵 ， 形成“ 素质导 向” 有针对性 的设置 教学 方案和开展课 堂教学 ； ， ４教学 同步原则 《 学课程方案 》 ． 数 认真 吃透课程 内容 ， 在实施课 程教 学 的 同时 开展“ 素质 教育 ”做 到认知 、 ， 练习 与素质教 学 内容 相互渗 透 、 有
割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究
注：（1）中的函数包括二次函数、一次函数和常数函
数.
证明：（1）k= （ f x1）－（ f x2） x1－x2
= px21+qx1+r-（px22+qx2+r） x1－x2
=（x1－x2）（px1+px2+q） x1－x2
=px1+px2+q，
2 2 f′
x1+x2 2
=2p
x1+x2 2
+q=px1+px2+q，
+f′
x2+x3 2
+f′
x3+x1 2
与3k的大小，并证明.
参考文献： 1.崔志 荣 ，吴 彤.揭 示 背 景 ，改 编 考 题— ——记2011年 辽宁省高考数学压轴题的本质探究［J］.数学通讯（下 ）， 2014（3）. 2.顾卫，朱自梅.会当 凌 绝 顶 ，一 览 众 山 小— ——从 一 道高考模拟题的命制背景谈起［J］.数学通讯（下 ），2015 （2）. F
0=kAB=kCD+kE（ F 结论2） >g（ ′ x0）+h（ ′ x0） =f（ ′ x0）（ . 结论2）
故f（ ′ x0）<0. 例2 （2011年江苏高考预测卷）已知函数（ f x）=2lnx－
x（ 2 x>0）.
（1）求函数（ f x）的单调区间与最值；
， （2）若方程2xlnx+mx－x3=0在区间 1 ，e 内有两个 e
2015 年 8 月
lnx－ax2+（2－a）x.
（Ⅰ）讨论（ f x）的单调性；
2 2 （Ⅱ）设a>0，证明：当0<x< 1 时，f 1 +x >f 1 －x ；
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x xλ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则min ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I上，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m in ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩. 综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I 上 ，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
论高等数学极限思想中所蕴涵的哲学思想
论高等数学极限思想中所蕴涵的哲学思想作者：张敏张道振陈宇剑来源：《教师·中》2014年第08期摘要：高等数学中重要的概念均建立在极限基础之上，而极限思想蕴涵着丰富的辩证法思想，深刻领悟这些哲学思想对掌握高等数学有着极其重要的意义。
关键词：高等数学；极限；哲学思想高等数学属于自然科学，但其中蕴涵着丰富的哲学思想。
在教学中，教师如果能充分挖掘高等数学中的哲学思想，用哲学的观点和思维方法来指导高等数学教学，不仅可以培养学生的辩证唯物主义思想，提高学生的哲学素养，还可以使学生从新的角度来认识数学、理解数学、感受数学。
极限是一种研究变量变化趋势的数学方法，体现了辩证法思想。
理解极限概念和其思想中所蕴涵的哲学思想，对掌握高等数学有着极其重要的意义。
一、量变引起质变规律极限思想体现了量变引起质变的规律。
量变引起质变规律揭示了事物发展变化形式上具有的特点，当量的变化达到一定程度会引起质的变化。
质变不仅可以完成量变，而且为新的量变开辟道路。
在高等数学极限概念的引入中，为求曲线y=f（x）在点P 处的切线的斜率，首先在曲线上另取一点Q，并求割线PQ的斜率；然后让点Q沿曲线无限地趋近点P，割线的极限位置即是曲线在点P处的切线，而割线PQ斜率的极限就是切线的斜率。
在点Q沿曲线无限趋近点P的动态过程中，割线PQ的斜率在不断地发生变化，越来越接近切线斜率，但这只是一个量变的过程，它表示的终究是割线的斜率，而不是切线的斜率。
只有当点Q到达极限位置即点Q与点P重合时，割线PQ的斜率才发生质变，成为切线的斜率，体现了量变引起质变的规律。
二、对立统一规律极限是从有限到无限的工具和桥梁，无论是概念的引入还是概念本身，都体现了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。
例如，对于数列an={1/n}，其极限为0。
数列中的每一项an的值在不断变化，这个过程是动态的，项数也是有限的，但是，当项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数0，这个无限运动变化的结果是一个数值，因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，是对立统一的。
高中物理图象中的斜率误区
高中物理图象中的斜率误区作者：吕晴霞来源：《中学物理·高中》2015年第05期学生对物理图象的识别与应用是近几年高考热点考查对象之一.而对图象的斜率、截距以及所围面积的物理意义的正确解读是学生弄清图象的涵义、应用图象的过程中非常关键的一个环节.斜率有切线的斜率和割线的斜率之分，它们在物理环境下的意义也大相径庭.但学生在解题中往往把切线的斜率与割线的斜率混为一谈.基于此，本文对高中物理常见图象中的斜率进行近一步分析探讨.1 运动学中的s-t图象与v-t图象在s-t图象中割线的斜率表示平均速度，而切线的斜率则表示瞬时速度.例1 遥控玩具小车在平直路上运动的位移时间s-t图象如图1所示，则A.15 s内车的速度为零B.前10 s内汽车的速度为3 m/sC.前25 s内汽车的速度为1.6 m/sD.20 s末汽车的速度为-l m/s在此题中0～10 s内切线与割线恰好重合，平均速度与瞬时速度恰好相等，而10 s～15 s 内物体静止，切线斜率为零，瞬时速度为零，但割线斜率表示的0～10 s（15 s）内的平均速度不为零.到15 s后切线斜率与割线斜率更不同，所表示的瞬时速度与平均速度更不一样.所以此题选B.同样在v-t图象中，如图2割线的斜率表示平均加速度而切线的斜率则表示瞬时加速度.任何运动都可以存在平均加速度，但不是任何运动任意时刻都存在瞬时加速度.例2 如图3、图4所示的x-t图象和v-t图象中，给出的四条曲线1，2，3，4，代表四个不同物体的运动情况，关于他们的物理意义，下列说法正确的是A.图线1表示物体做曲线运动B.x-t图象中t1时刻v1>v2C.v-t图象中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等D.两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动我们知道图象的坐标轴只能反映彼此相反的两个方向，故s-t图和v-t图只能表示直线运动.而v-t图中图象所围面积表示位移，切线斜率表示加速度.故只有B是正确的.2 功能关系中的E-s图象在E-s图象中因F·Δs=ΔE，无论ΔE代表动能还是势能的变化量，其割线和切线的斜率都表示作用力.若力是恒力则表示这个力的大小，若力是变力则表示这一段上的平均作用力，当Δs→0时表示切线的斜率，则反映瞬时作用力.例3 一质量为m的小球以初动能Ek0从地面竖直向上抛出，已知上升过程中受到阻力作用，图5中两条图线分别表示小球在上升过程中动能、重力势能中的某一个与其上升高度之间的关系，（以地面为零势能面，h0表示上升的最大高度，图中坐标数据中的k值为常数且满足0A.①表示的是动能随上升高度变化的图象，②表示的是重力势能随上升高度变化的图象B.上升过程中阻力大小恒定，且f=kmgC.上升高度h=k+1k+2h0时，重力势能和动能相等D.上升高度h=h02时，动能与重力势能之差为kmgh0此题若理解了①图中斜率代表的是合力，②图中斜率代表的是重力结合数学知识很容易得出答案是B、C.3 电场中的φ-x图象在φ-x图象中由E=Ud可知切线的斜率表示场强E.例4 某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图6所示.在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用.则在-x0～x0区间内A.该静电场是匀强电场B.该静电场是非匀强电场C.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐减小D.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐增大由于该题中切线的斜率表示场强E，由斜率的变化可知E是先增大后减小，故选B.4 电路中的U-I图象根据R=UI可知用电器的电阻R在U-I图象中是由割线的斜率来表示的，但在电源的U-I 图象中则用切线的斜率反映电源的内电阻.例5 如图7所示，直线Ⅰ、Ⅱ分别是电源1与电源2的路端电压随输出电流的变化的特性图线，曲线Ⅲ是一个小灯泡的伏安特性曲线，如果把该小灯泡分别与电源1、电源2单独连接，则下列说法不正确的是A.电源1与电源2的内阻之比是11∶7B.在这两种连接状态下，小灯泡的电阻之比是3∶5C.在这两种连接状态下，小灯泡的电阻之比是18∶25D.在这两种连接状态下，小灯泡消耗的功率之比是1∶2此题中若对斜率意义理解不准确则会错选成C，其实正确答案是B.5 电磁感应中的Φ-t图象在Φ-t图象中其割线斜率表示ΔΦ/Δt可反映平均感应电动势大小，而切线的斜率则反应瞬时感应电动势大小. 例6 电吉它是利用电磁感应原理工作的一种乐器，如图8甲电吉它的拾音器的原理图，在金属弦的下方放置有一个连接到放大器的螺线管.一条形磁铁固定在管内，当拨动金属弦后，螺线管内就会产生感应电流，经一系列转化后可将电信号转为声音信号.若由于金属弦的振动，螺线管内的磁通量随时间的变化如图8乙所示，则对应感应电流的变化为图9中.理解了斜率的意义就可判出正确的电流图应该是B.在物理过程中物理量之间的关系可以用图象来直观地反映.而图象法也是研究物理问题和学好物理的一种重要方法和手段.但在应用时因对斜率的意义理解不准确而导致解题出错，让人扼腕痛惜.现就归纳总结一些常见的图象易出错问题，以期能减少此类问题的出错率.。
浅谈中学物理图像中的斜率
浅谈中学物理图像中的斜率作者：杨清源来源：《物理教学探讨》2017年第10期摘要：物理图像既是研究物理的重要方法，也是历年全国各卷高考的重点，尤其是图像的斜率问题，既是热点也是易错点。
本文从斜率的定义出发，探讨了物理图像中切线斜率和割线斜率的含义，并进行分类讨论，理清了不同情况下斜率的区别和联系。
关键词：物理图像；切线；割线；斜率中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）10-0041-4物理图像在中学物理中占有很重要的位置，物理图像可以直观、形象地描述相关物理量之间的关系。
物理图像包含的信息很多，其中正确理解图像中图线的斜率是正确理解和应用物理图像的重要环节。
1 图像中斜率的定义1.1 数学图像中斜率的定义在人教版《数学必修2》中写到“在直角坐标系中，我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tanα”。
结合正切三角函数的定义，我们可知，直线斜率也为k=（此处x和y分别是自变量和因变量）。
如果函数图线为曲线，则曲线上某点的斜率是指过该点的切线的斜率，k==tanα。
如图1，其中α是切线和x轴正向夹角，取值范围是0°到180°，斜率有正负之分。
斜率k=其实就是当Δx趋近于0的时候y对x的变化率，也就是y对x的导数。
按照中学物理的教学习惯，我们还是用表述。
在数学中，图线上某点割线斜率，定义为该点P（x，y）和坐标原点连线的斜率，割线斜率大小为k==tanβ，如图1。
结合图1，比较切线斜率和割线斜率的定义，可知切线斜率和割线斜率明显不同。
1.2 物理图像中斜率的定义物理图像中的斜率定义和数学图像中的斜率定义大体相同，也定义为k=（此处x和y是两个不同的物理量）。
其实，斜率就是物理量y对另一物理量x的导数，它与物理量y的函数对物理量x的求导结果是一样的。
但物理图像和数学图像又有明显区别：物理图像中，由于横纵坐标相应物理量的单位长度不同，甚至无关，因而物理图线斜率通常只写成k=，而不写成k=tanα，即斜率不再与具体角度数值对应。
N11.三次函数切割线的斜率关系
性质二：设 f ( x) = ax + mx(a ≠ 0) ，在函数上任意异于拐点的一点
3
A ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线和三次函数交于另一点 B , A B 两点间三次函
数和切线所围成的封闭图形的面积 S =
27 4 ax0 4
问题引入：由性质一得知两个交点之间的关系，很自然的想到围成的 面积是否有简单的关系。 证明： 由于任意三次函数经过平移后都能得到 f ( x) = ax3 + mx(a ≠ 0) 的形 式，即关于原点对称的三次函数，只需研究此种情况，对于一般情况 只需经过平移变换之后即可。因为面积是平移不变量。 设 f ( x) = ax3 + mx(a ≠ 0) ， 三次函数上除拐点外任意一点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切
A , B 两点的导数值相等，即 f ′ ( xA ) = f ′ ( xB ) ，由二次函数的性质得：
又因为 ⎜ − , f ⎜ − ⎟ ⎟ A , B 的横坐标关于 f ′( x) 的对称轴 x = − 3a 对称。 3a 3a
⎝
b
⎛
b
⎛ ⎝
b ⎞⎞ ⎠⎠
为 f ( x) 的对称中心，所以 A , B 关于 ⎜ − 线过拐点
1对三次函数其上除拐点外的任意一点axmx处函数的切线与此三次函数有且仅有两个交点一为的横坐标和三次函数拐点横坐标之差的比为定值axbxcxaxmx处的切线和三次函数交于另一点若对于一般情况函数对任意一点axbxcx处函数的切线均有三次函数和切线所围成的封闭图形的面积axmxam交点到的距离为其中为函数在拐点处的法线与三次函数的交点距切线的距离
k −m , a ⎛ k −m ⎞ k −m ) 和 (− , f⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a a ⎠ ⎝
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系 (2019高考)数学考点分类解析
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题 1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,1ln )1()(2-<+++=a ax x a x f .如果对任意2121214)()(),,0(,x x x f x f x x -≥-+∞∈，求a 的取值范围.(答案：2-≤a .)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f .证明：若5<a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有1)()(2121->--x x x f x f .题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x fB.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x fD.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a xx x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理 设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(2)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(8)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])： 引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)引理 2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边.(2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.(3)同(1)可证. (4)同(2)可证.(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2121)()(2121,,x x I x x <∈∀有a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()(2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h a x f I x ≥'∈∀)(,或⇔-≤'a x f )(a x f I x ≥'∈∀)(,(8)同(7)可证.题5 已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求a 的取值范围.解 由定理9(2)，得123)(2≤+-='ax x x f 在∈x R 时恒成立，即01232≥+-ax x 恒成立，所以]3,3[,012)2(2-∈≤-=∆a a .所以所求a 的取值范围是]3,3[-.注 由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当0,3==b a 时，233)(x x x f +-=的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献[2]或[3])31处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )(1)若函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a ；(2)若]1,0[∈x ，且函数)(x f 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，试证明1≤k 的充要条件为31≤≤a .由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的). 下面用定理给出题1~4的简解.题3的简解 αM 即满足条件“∈∀21,x x R ，有α<--2121)()(x x x f x f ”的函数)(x f 构成的集合.由定理(6)，得αM 即满足条件“∈≤'x x f ()(αR )且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立”的函数)(x f 的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C 成立(且可排除选项A 、B 、D)，所以选C.题2的简解 由定理(4)知只需证明“当0>x 时1)(-≥'x f 且1)(-='x f 只能在一些孤立点上成立”：11)12(1121)(->----=--≥--+='a a a a a xa x x f所以要证结论成立.(并且还可得：当51≤≤a 时，结论也成立.)题1的简解)0(21)(>++='x ax xa x f .由定理(7)知题设即421)(≥---='ax xa x f 在0>x 时恒成立，由1-<a 及均值不等式可得所求a 的取值范围是]2,(--∞.注 下面把题1中的题设“1-<a ”改成“∈a R ”，再来求解： 此时题意即“421≥++ax xa 在0>x 时恒成立，求a 的取值范围”.当1-<a 时，已得2-≤a ；当01≤≤-a 时，可得函数)0(21)(>++=x ax xa x g 是单调减函数，可得此时不满足题设；当0>a 时，由均值不等式可得1≥a .所以所求a 的取值范围是),1[]2,(+∞⋃--∞. 题4的简解 设xax x x f x g +-='=222)()(，即证1)()(2121>--x x x g x g . 由定理(8)知，只需证明：当0>x 时1)(≥'x g ，即)0(14223>>-+x xax 只需证 )0(14223>>-+x x a x 即 )0(222>>++x a xx x这由均值不等式及题设可证：a xx x ≥>⋅≥++4432232 所以欲证成立.注 由以上简解知，把题4中的“4≤a ”改成“343⋅≤a ”后所得结论也成立.参考文献1 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，19922 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。
高中物理中的斜率问题总结
高中物理中的斜率问题总结研究物理问题的图象方法----------斜率问题总结命题趋势高考物理科《考试说明》中规定了五种创新能力，其中应用数学知识处理物理问题的能力，其中物理图象是每年高考必考内容之一。
看懂图象，挖掘图象中的信息，理解物理现象和过程，寻找内在的物理规律，建立各物理量之间的关系，应用物理图象分析解决问题十分重要。
这中间应用数学中的斜率可以说是重中之重的问题了。
在数学中，图线的斜率表示函数的变化率，反映在物理上表示一个物理量对另一个物理量的变化率，因而图线的斜率常用来表示一个重要的物理量。
一般来说，斜率越大，所对应的物理量的值也越大，若斜率所表示的物理量是矢量，斜率的正负反映的是物理量与坐标轴的正方向是相同或相反，而不表示大小。
下面笔者就把高中物理中涉及到的斜率问题以及近年来高考中与斜率相关的问题予以总结，发表自己的一孔之见，希对读者有一抛砖引玉的作用，更望同行指正。
教学目标：1．通过专题复习，掌握物理图象问题的分析方法和思维过程，提高解决学科内综合问题的能力。
2．能够从实际问题中获取并处理信息，把实际问题转化成物理问题，提高分析解决实际问题的能力。
教学重点：掌握利用斜率的分析方法和思维过程，提高解决学科内综合问题的能力。
教学难点：从实际问题中获取并处理信息，把实际问题转化成物理问题，提高解决实际问题的能力。
教学方法：练讲练结合教学流程：问题激趣-----分析总结-----典例分析------反馈练习------总结反思教学过程：一、知识概要在物理学中，两个物理量间的函数关系，不仅可以用公式表示，而且还可以用图象表示。
物理图象是数与形相结合的产物，是具体与抽象相结合的体现，它能够直观、形象、简洁的展现两个物理量之间的关系，清晰的表达物理过程，正确地反映实验规律。
因此，利用图象分析物理问题的方法有着广泛的应用。
是一种重要的解题方法。
1.运用图象的能力要求归纳起来，主要包含以下四点：（1）熟读图：即从给出的图象中读出有用的信息来补足题中的条件解题；（2）会用图：利用特定的图象如υ-t图、U-I图P-V图等来方便、快捷地解题；根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理间的代数关系转化为几何关系、运用图象直观、简明的特点，分析解决物理问题.（3）能作图：首先和解常规题一样，仔细分析物理现象，弄清物理过程，求解有关物理量或分析其与相关物理量间的变化关系，然后正确无误地作出图象.在描绘图象时，要注意物理量的单位，坐标轴标度的适当选择及函数图象的特征等.（4）转换图：读懂已知图象表示的物理规律或物理过程，然后再根据所求图象与已知图象的联系，进行图象间的变换.2.高中物理图像的种类：学习力学时做受力图、弹簧的长度—弹力的图象,学习运动时匀速直线运动x–t图、V–t图、匀变速直线运动V–t图、简谐运动的位移x–t时间图象、横波的图象，学电学时有U-I伏安特性曲线、U-t 图象，学电磁感应有I- t图，正弦交变电流的图象；情景图；3.应用图象解题应注意以下几点：（1）运用图象首先必须搞清楚纵轴和横轴所代表的物理量，明确要描述的是哪两个物理量之间的关系。