函数的最大值和最小值及应用举例
最大值最小值问题
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问 我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最 好）？
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
0.5公里
s(t )
A
B 4公里
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
高等数学第四节函数最大值、最小值的求
V 12(32 2x) V / x8 0
所以x=8是极大值点，也是最大值点. 因此,当截去的正方形边长为 8cm时, 铁盒容积最大.
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
特殊情况下的最大值、最小值: (1)如果连续函数 f (x) 在 [a, b]上单调递增,则 f (x)
的最大值与最小值分别为 f (b)、 f (a);如果在 [a, b]上单 调递减, 则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (a) 与 f (b).
(2)如果函数 f (x) 在一个区间内可导且只有一个驻
点 x0 , 并且该驻点 x0 为 f (x) 的极值点, 则当 f (x0) 是极
大值时, f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最大值; 当 f (x0) 是
极小值时, 则 f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最小值 (见下
图) y.
最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能用料最省，费用 最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在 数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。
一、函数最大值最小值求法
二、函数最值应用举例
案例 [易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可 乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径 与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半 径与高之比约为1：2？
一、最值的求法
闭区间[ a , b ]上连续函数f ( x ) 必存在最大值和最
小值
y
y
y
oa
bx o a
bx
ao
bx
什么叫最大值什么叫最小值
什么叫最大值什么叫最小值在数学和统计学中，我们经常会遇到“最大值”和“最小值”这两个概念，它们在各种领域都有着重要的意义。
最大值和最小值是指在一组数据或函数中，具有最大和最小数值的元素或点。
下面将介绍如何定义最大值和最小值以及它们在不同领域的应用。
最大值的定义最大值是指一组数据或函数中具有最大数值的元素或点。
在数学中，最大值通常用符号“max”表示。
在一个数据集中，最大值是所有数值中最大的数。
例如，在数列1, 2, 3, 4, 5中，最大值为5。
最大值也可以在函数中出现。
在函数图像中，最大值是函数曲线上最高的点。
如果函数的导数在某一点为0且从正数变为负数，则该点就是函数的最大值点。
最小值的定义最小值是指一组数据或函数中具有最小数值的元素或点。
在数学中，最小值通常用符号“min”表示。
在一个数据集中，最小值是所有数值中最小的数。
例如，在数列1, 2, 3, 4, 5中，最小值为1。
最小值也可以在函数中出现。
在函数图像中，最小值是函数曲线上最低的点。
如果函数的导数在某一点为0且从负数变为正数，则该点就是函数的最小值点。
应用最大值和最小值在各种领域都有着重要的应用。
在数学中，通过计算函数的最大值和最小值，可以帮助我们寻找函数的极值点，从而确定函数的凹凸性和拐点位置。
在统计学中，最大值和最小值常用于描述一组数据的范围。
通过计算数据集的最大值和最小值，可以帮助我们了解数据的分布情况，识别异常值，并进行数据清洗和分析。
在工程和经济学中，最大值和最小值常用于优化问题。
通过寻找函数的最大值或最小值，可以找到使特定性能指标最优化的参数值，从而提高效率和降低成本。
综上所述，最大值和最小值是数学和统计学中重要的概念，它们帮助我们对数据和函数进行分析和优化，为各种领域的问题提供解决方案。
经济数学微积分函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
dR(Q ) dC (Q ) dQ dQ dR(Q ) dC (Q ) 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d 2 R(Q ) C (Q ) 0, ( R(Q ) C (Q ) 0) 2 dQ d 2 ( R(Q )) d 2 C (Q ) 即 , ( R(Q ) C (Q )) 2 2 dQ dQ
L(Q ) (d b) 2(e a )Q
由L(Q) 0， 得唯一驻点 Q0 (d b) / 2(e a ) 又L 2(e a ) 0, 故 Q Q0 (d b) / 2(e a ) 时利润最大 , 最大值为 L(Q0 ) L(a b) / 2(e a ) (d b) / 4(e a ) c
例 5 设某商品的单价为 P 时， 售出的商品数量 Q 可表示为
Q a c ，其中 Pb
a,b,c 均为正数，且 a>bc.
（1） 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2） 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
a c ) 解 (1)销售额 R( P ) PQ P ( Pb c ( P b) 2 ab R( P ) 2 ( P b) ab b 令R( P0 ) 0, 得P0 b ( a bc ) c c P 2 16160 P 649000 L( P ) 160 P 16160 令L( P ) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为
L(101) 167080 (元)
x 2
解 (1) R( x ) P x 10x e
4.4函数的最值及其在经济中的应用
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
整理得
x R ( x ) ( x 20 ) 68 , 10
x x 1 ( x ) 68 R ( x 20 ) 70 , 10 5 10
R ( Q ) 10 Q 0 . 01 Q (万元 ) ,
2
问题设, 知利润为
L (Q ) R (Q ) C (Q )
5 Q 0 . 01 Q 200
2
( 0 Q ) ,
显然最大利润一定在(0, + )内取得. 令
R ( x ) 0
x 350 .
(唯一驻点)
故每月每套租金为 350 元时收入最高. 最大收入为
350 R ( x ) ( 350 20 ) 68 10
10890 (元 ) .
二、经济应用问题举例 1. 最大利润问题 例3 某工厂在一个月生产某产品Q件时, 总成本为 C(Q) = 5Q + 200 (万元), 得到的收益为
x a a 2x W2( x) a 2x c ,
, 因而商品的库存费用
总费用 W ( x ) W 1 ( x ) W 2 ( x ) b x 令 得x 所以
ac 2b
W
ac 2x
,
( x 0)
W ( x ) b
.
ac 2x
2
0,
又 W ( x )
2
,
( x 0)
令
T
9t 4
0,
得t = 9, 又
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
最大值与最小值在数学问题中的应用
最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。
本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。
一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。
考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。
在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。
最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。
我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。
通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。
将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。
因此，方程的最小值为-4。
类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。
在这个例子中，方程的最大值为4。
通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。
二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。
考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。
在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。
假设矩形的长为L，宽为W。
矩形的面积可以表示为A = L * W。
我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。
通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。
解这个方程，我们可以得到W = L。
因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。
这意味着一个正方形具有最大的面积。
通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。
函数在区域内的最大值和最小值
函数在区域内的最大值和最小值函数在区域内的最大值和最小值是数学中常见的概念，它们在很多实际问题中都有重要的应用价值。
本文将围绕这个主题展开，讨论最大值和最小值的概念、性质以及求解方法，并结合具体例子说明其应用。
我们来了解一下最大值和最小值的定义。
在数学中，给定一个函数和一个区域，函数在这个区域内取得的最大值和最小值分别是函数在该区域内取得的最大和最小的函数值。
最大值对应的输入值被称为函数的极大值点，最小值对应的输入值被称为函数的极小值点。
最大值和最小值具有一些重要的性质。
首先，最大值和最小值一定是函数在区域内的局部极值点。
这是因为如果一个函数在某个点取得了最大值或最小值，那么在这个点的邻域内，函数的值要么更大，要么更小，不可能再有更大或更小的值。
其次，最大值和最小值可以帮助我们确定函数在区域内的整体走势。
通过寻找最大值和最小值，我们可以确定函数的上升区间和下降区间，进而描绘出函数的整体形状。
接下来，我们来看一下如何求解函数在区域内的最大值和最小值。
求解最大值和最小值的方法有很多，其中一种常用的方法是使用导数。
导数可以帮助我们判断函数在某个点的斜率，从而确定极值点的位置。
具体来说，我们可以通过求解函数的导数为零的点，来找到函数的极值点。
在这些点上，函数的斜率为零，可能是函数的最大值或最小值。
举个例子来说明，假设有一个函数f(x)，我们想要求解它在区域[a, b]内的最大值和最小值。
首先，我们可以计算函数f(x)在区域内的导数f'(x)。
然后，我们将f'(x)等于零的方程求解，得到一些解x1, x2, ..., xn。
接下来，我们计算这些解对应的函数值f(x1), f(x2), ..., f(xn)。
其中，f(x1), f(x2), ..., f(xn)中的最大值即为函数f(x)在区域[a, b]内的最大值，最小值即为最小值。
最大值和最小值的概念在实际问题中有着广泛的应用。
比如，在经济学中，我们常常需要求解某个经济指标的最大值和最小值，以便确定经济的发展趋势和政策调整方向。
最大值函数和最小值函数
最大值函数和最小值函数首先，我们来介绍最大值函数。
最大值函数是指输入一组数或一个函数集合，输出它们中的最大值。
在数学上，最大值函数可以用如下形式表示：f(x₁, x₂, ..., xₙ) = max{x₁, x₂, ..., xₙ}其中，x₁,x₂,...,xₙ是一组实数。
最大值函数的输出是输入数列或函数集合中的最大值。
举个例子，假设有一组数{x₁,x₂,...,xₙ}，其中x₁=1,x₂=4,x₃=6,x₄=2，那么最大值函数可以表示为：f(x₁, x₂, x₃, x₄) = max{1, 4, 6, 2} = 6这个函数的输出是数列中的最大值6接下来，我们来介绍最小值函数。
最小值函数类似于最大值函数，不同之处在于它输出的是数列或函数集合中的最小值。
在数学上，最小值函数可以用如下形式表示：g(x₁, x₂, ..., xₙ) = min{x₁, x₂, ..., xₙ}同样，x₁,x₂,...,xₙ是一组实数。
最小值函数的输出是输入数列或函数集合中的最小值。
继续以上面的例子，我们可以得到最小值函数：g(x₁, x₂, x₃, x₄) = min{1, 4, 6, 2} = 1这个函数的输出是数列中的最小值1最大值函数和最小值函数在数学中的应用十分广泛。
在数列分析中，我们经常需要找到数列中的最大值或最小值，以此来描述数列的特性。
例如，在股票市场中，我们可能需要找到只股票在一段时间内的最高价格和最低价格，这样可以帮助我们判断该股票的波动情况和投资风险。
在优化问题中，最大值函数和最小值函数也起到了关键作用。
例如，在线性规划中，我们需要定义目标函数并找到使其最大化或最小化的变量取值，从而求解最优解。
最大值函数和最小值函数可以帮助我们准确定义目标函数，并找到最优解。
在数据分析中，最大值函数和最小值函数常常用于寻找极端值。
通过求解数据集的最大值和最小值，我们可以获得数据集中的异常值或重要特征。
例如，在气象学中，我们可以通过求解气象数据中的最高温度和最低温度，推测地的气候情况和季节变化。
函数的极值与最大值最小值
函数的极值与最大值最小值在数学中，对于一个给定的函数，我们常常关心它的极值以及最大值和最小值。
这些概念在微积分中扮演着重要的角色，不仅在数学理论中有着深刻的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
1. 极值的定义极值是指函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值。
具体来说，设函数f(x)在区间I上有定义，若存在$x_0 \\in I$，使得对任意$x\\in I$，有$f(x)\\leqf(x_0)$或者$f(x) \\geq f(x_0)$，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的一个极大值或极小值。
2. 求极值的方法常见求函数极值的方法有：•导数法：通过求函数的导数（一阶导数或高阶导数）来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断是极大值还是极小值。
•边界法：求出函数在区间端点处的函数值，以及在可能的间断点处的函数值，然后比较这些值来确定最大值和最小值。
•微分中值定理：借助中值定理的思想，将函数f(x)在区间I上的极值归结为函数导数在该区间上的零点问题。
3. 最大值与最小值与极值类似，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值可以是有限值，也可以是无穷大；最小值也可以是有限值，也可以是负无穷。
4. 求最大值最小值的方法确定函数的最大值和最小值，主要采用以下方法：•导数法：同样利用导数的性质来判断函数的最大值和最小值，这一点与求极值的方法类似。
•二次型法：当函数为二次函数时，可以通过完全平方的方式将其转化为标准形式，进而求得最值。
•辅助线法：有时候在求最值的过程中，通过引入一条辅助线，并考虑其和原函数之间的关系，来得到最值的情况。
5. 总结函数的极值和最值是微积分中一个重要的概念，通过对函数的极值和最值进行研究，我们可以更好地理解函数的性质，优化问题和实际问题也经常涉及到函数的极值和最值。
因此，熟练掌握求解函数极值和最值的方法是数学学习中的关键一环。
微积分中的极值问题及最值问题的应用
微积分中的极值问题及最值问题的应用微积分是数学的重要分支，经常被应用于自然科学和工程技术领域。
极值问题及其相关的最值问题也是微积分中的基础概念和重要问题。
在本文中，我们将会介绍极值问题及最值问题的定义、应用和解决方法。
一、极值问题的定义极值问题是指某函数在一定范围内取得的最大值和最小值的问题。
极大值和极小值统称为极值，也称为驻点。
对于一元函数f(x)，在x=a处如果f(x)在x=a左侧单调递减，在右侧单调递增，那么称x=a为f(x)的极大值点；反之则称x=a为f(x)的极小值点。
如果f(x)在x=a的左右两侧都不存在单调性，那么x=a为驻点，但不是极值点。
对于二元函数z=f(x,y)，极值点要满足偏导数为0，即f’x(x,y)=0，f’y(x,y)=0，极值点也被称为驻点。
二、最值问题的定义最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
若指标量与限制条件是形如≤的约束，称这类问题为约束最值问题；若指标量与限制条件是形如=的约束，称这类问题为无约束最值问题。
三、应用举例1.楼体开发问题在楼体开发问题中，我们需要确定楼体的高度、长和宽，使得物业建筑总面积最大，而楼体的高度与长、宽有一定关系，构成了约束条件。
这就是约束最值问题的一个实际应用。
2.生产成本问题在生产成本问题中，我们需要确定生产的数量和生产的价格，使得总利润最大。
这是一个无约束最值问题的例子。
3.投资组合问题在投资组合问题中，我们需要确定资产组合的比例和相应的收益率，使得投资组合的期望收益最大。
这是一个无约束最值问题的例子。
四、解决方法1. 二阶导数法在一元函数的极值问题中，我们可以通过二阶导数的正负性来确定极值点的位置：当f''(x)>0时，x点取极小值；当f''(x)<0时，x点取极大值。
2. 拉格朗日乘数法在约束最值问题中，我们可以使用拉格朗日乘数法，它将带约束的最值问题转化为不带约束的最值问题。
函数的最大值和最小值例子
函数的最大值和最小值例子1.引言1.1 概述在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。
函数是一种对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数的最大值和最小值分别指的是函数在定义域范围内取得的最大和最小的输出值。
最大值和最小值在很多实际问题中都有着重要的应用。
例如，在经济学中，我们经常需要找到某个函数表示的利润、成本或效益的最大值或最小值。
在物理学中，我们可能需要找到某个函数描述的物理量的最大或最小值，比如速度、加速度等。
要找到函数的最大值和最小值，需要使用微积分的一些基本概念和方法。
其中，一阶导数和二阶导数对于确定函数的极值点非常重要。
通过求解导数为零的方程，我们可以确定可能的最大值和最小值的位置。
然后，通过求解二阶导数的符号，我们可以确定这些极值点是最大值还是最小值。
在本文的正文部分，我们将介绍一些函数的最大值和最小值的例子，并详细说明如何求解这些极值点。
通过这些例子，读者将更加深入地理解函数的最大值和最小值的概念，以及如何在实际问题中应用它们。
总之，函数的最大值和最小值是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
通过研究函数的极值点，我们可以更好地理解函数的特性，并在实际问题中做出准确的判断和决策。
下面，我们将详细介绍函数的最大值和最小值的例子，以帮助读者更好地掌握这个概念。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以写成如下形式：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。
在概述中，我们可以简要介绍函数的最大值和最小值的概念以及其在数学和实际问题中的重要性。
在文章结构中，我们将展示本文的整体结构，为读者提供一个全局的认知。
在目的部分，我们将明确说明本文旨在通过例子来介绍函数的最大值和最小值的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
正文部分分为函数的最大值和函数的最小值两个小节。
在函数的最大值小节中，我们将通过具体的例子来介绍最大值的概念，并阐述求解最大值的方法，如导数法和二次函数法。
3-4-函数的最大值与最小值
r 图3-6
由实际问题知，圆锥体的斜高l 20cm 时，体积最大
值一定存在，故当高h
20 3
3
(cm)
时圆锥体的体积最大.
例 53 甲船以20nmile / h的速度向东行驶，同一时间
乙船在甲船的正北82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行
驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近.
y 82
一定存在，故当底边x 3 2V 时容器的表面积最小.
注意 实际问题可以不验证惟一驻点是极值点，可 直接在求得惟一驻点时，说明这就是实际问题最大值（最 小值）点，回答所求问题的结论.
例例42 要做一个圆锥形的漏斗，如图 3-6 所示，其斜 高l 20cm,要使体积最大，问其高应为多少？
解 设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则其体积为
3
33 x 33 x
令 f (x) 0,得驻点x 1 ，点 x 0是不可导点.又
3
f (1) 7, f (0) 0, f (1) 3, f (2)
4, 故 f (x) 在
1, 2的最大值为 f (0) 0，最小值为 f (1) 7 .
例 2 求函数 f (x)
x
ln
x
在
1 4
V 1 πr2h .又圆锥的斜高l 20cm, 则 r 202 h2 , 所以 3
圆锥体积 V 为 h 的函数，于是
V (h) 1 π(202 h2 ) h (0 h 20) 3
l h
V (h) 1 π(202 h2 2h2 ) 3
令V (h) 0得惟一驻点h 20 3 3
内部取得，也可能在区间端点 x a或 x b处取得. (1)若 f (x) 在开区间(a,b) 内 x0 处取得最大值（或最小
函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值是数学中重要的概念，它们可以提供函数的极限性质和图像的关键信息。
在本文中，我们将探讨函数的最大值和最小值的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、定义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，$x_0$是$I$的内点，则称$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最大值（或极大值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\leq f(x_0)$成立；同样，$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最小值（或极小值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\geq f(x_0)$成立。
二、计算方法1. 首先，我们需要找到函数$f(x)$的极值点（即导数为0或不存在的点）以及区间$I$的端点。
2. 然后，我们需要比较这些点和端点对应的函数值，找到函数在这些点上的最大值和最小值。
3. 最后，我们需要比较上述最大值和最小值，找到函数在整个区间$I$上的最大值和最小值。
需要注意的是，如果函数在某一点处没有导数或者导数不存在，那么这个点也可能是函数的最大值或最小值。
此时，我们需要通过其他方法（例如使用左极限和右极限）来判断函数在该点上的极值性质。
三、应用函数的最大值和最小值在很多实际问题中都有重要的应用。
以下是几个例子：1. 生产问题：假设一家工厂生产某种产品，每天可生产$x$件。
设$C(x)$是当天生产$x$件产品的总成本（包括生产和运输成本）。
如果我们希望生产最少的产品来达到最低成本，那么需要找到$C(x)$的最小值点，以及在该点处的最小成本。
2. 经济问题：有一种商品的需求量$D(p)$与它的价格$p$相关。
如果我们希望在某一价格范围内销售最大量的商品，那么需要找到$D(p)$的最大值点，以及在该点处的最大需求量。
3. 地理问题：假设一辆汽车可以在不加油的情况下行驶$D$公里。
设$v(x)$是汽车在速度为$x$千米/小时时的油耗。
如果我们希望以最少的油耗行驶最远的距离，那么需要找到$v(x)$的最小值点，以及在该点处汽车的最大行驶距离。
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。
最大值指的是函数在某个区间上取得的最大数值，而最小值则是函数在该区间上取得的最小数值。
求解函数的最大值和最小值在实际问题中具有重要的应用，如寻找最佳解、优化问题等。
本文将介绍如何求解函数的最大值和最小值，并探讨其中的相关概念和方法。
一、局部最值和全局最值函数的最大值和最小值可以分为局部最值和全局最值两种情况。
局部最值指的是函数在某个小区间内取得的最大或最小值，而全局最值则是函数在整个定义域上取得的最大或最小值。
为了更好地理解这两个概念，我们考虑一个简单的例子。
假设有一个函数f(x) = x^2，在闭区间[-1, 1]上进行观察。
当x为-1时，f(-1) = 1；当x为0时，f(0) = 0；当x为1时，f(1) = 1。
可以看出，函数f(x)在这个区间内的最大值和最小值分别为1和0。
因此，在这个例子中，最大值和最小值都是局部最值。
然而，如果我们考虑函数f(x)在整个定义域上的取值情况，就会发现函数f(x)在x等于0时取得了全局最小值0。
因此，全局最值并不一定出现在局部最值处。
二、求解最值的方法在求解函数的最大值和最小值时，有一些常用的方法和技巧。
1. 导数法导数法是一种常见且经典的求解最值的方法。
它基于一个重要的数学定理：在函数的极值点处，导数等于0。
假设有一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，我们想要求解在该区间上的最大值和最小值。
首先，我们可以计算出函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找到f'(x) = 0的所有解，这些解即为函数f(x)的极值点。
接下来，我们需要判断这些极值点是函数的最大值还是最小值。
可以通过一些判定条件进行判断，如利用二阶导数的符号、导数的变化规律等。
2. 区间法区间法在求解最值时，将区间等分成多个小区间，然后计算函数在每个小区间的取值，并找出最大值和最小值。
具体做法是将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a) / n。
九年级数学最大值最小值知识点
九年级数学最大值最小值知识点数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，它不仅给我们提供了解决问题的工具，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。
在九年级数学学习中，最大值和最小值是一个重要的知识点。
本文将介绍最大值和最小值的基本概念、求解方法以及解决实际问题的应用。
一、最大值和最小值的基本概念在数学中，最大值和最小值指的是在一定范围内的数中，数值最大和最小的那个数。
最大值和最小值可以是实数、整数、分数等各种数的形式。
例如，一组数据中的最高分是最大值，最低分是最小值。
二、求解最大值和最小值的方法1. 列表法：将一组数按照从大到小或从小到大的顺序排列，最大值是第一个数，最小值是最后一个数。
例如，给定一组数2，5，3，7，1，按照从小到大排列，顺序为1，2，3，5，7，可以得到最小值为1，最大值为7。
2. 导数法：对于一些函数关系式，可以利用导数的性质来求解最大值和最小值。
导数是函数在某一点的切线斜率，当导数为0时，该点就是函数的极值点。
通过求解导数为0的点，就能得到函数的最大值和最小值。
3. 图像法：有些问题可以通过绘制图像的方式来找出最大值和最小值。
根据函数图像的特征，可以判断出函数在哪些区间内取得最大值和最小值。
通过观察图像的形状，结合函数性质，可以得出最大值和最小值的位置。
三、最大值和最小值的应用最大值和最小值不仅仅是数学中的概念，在现实生活中也有许多应用。
以下是一些例子：1. 最短路径问题：在地图上找到两个点之间最短的路线，可以利用最小值的概念进行求解。
2. 生产效率问题：企业追求最大的生产效率，可以通过优化生产过程找到最大值。
3. 投资问题：投资者希望在特定的投资组合中找到最大的回报率或最小的风险，这就需要求解最大值和最小值。
4. 最优化问题：在各种资源限制下，寻求最优解决方案，也可以运用最大值和最小值的概念。
在具体应用中，我们还可以利用一些数学工具和方法来求解最大值和最小值，如微积分、线性规划等。
例说求函数的最大值和最小值的方法
例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数xx x y 32++=的最小值。
解：先估计y 的下界。
55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-+-=+-+++-=xx x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。
说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。
“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。
例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-++-=-++++-=xx x x x x x y 但y 是取不到-7的。
即-7不能作为y 的最小值。
例2. 求函数1223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。
解 去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当21≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ∆=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0,所以 -4≤y ≤1 又当31-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1原函数当t =169,45=x 即时取最大值833 例4求函数223,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解：令x -1=t (121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+=y min =51,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵)(2122y x xy +≤ ∴6)(23),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +-≥ ∴21)(21),(2222≥+≥++=y x xy y x y x f 又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21例6.求函数2224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值 解：原函数即111)1(5222++-+=x x y 令112+=x t (0<t ≤1) 则y =5t 2-t +1 ∴当x =±3时，函数有最小值2019，当x =0时，函数取最大值5 例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|21|1|-=-αn x 由于 0≤α<1,故f (x )≤21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =21 例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值 解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f 在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则f (x )=|PA|-|PB|≤|AB|=10 又当6137+-=x 时，f (x )= 10 故f max (x ) = 10例9.设a 是实数,求二次函数y =x 2-4ax +5a 2-3a 的最小值m ，当0≤a 2-4a -2≤10中变动时，求m 的最大值解：y =x 2-4ax +5a 2-3a =(x -2a )2+a 2-3a由0≤a 2-4a -2≤10解得：622-≤≤-a 或62+≤a ≤6 故当a =6时，m 取最大值18例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(y x 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )-f (x )的最大值。
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主要内容 1.闭区间上连续函数的最大值和最小值. 2.函数在某区间内可导且有唯一极值点 时的极大值和极小值. 3.具体应用举例.
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一、闭区间上函数的最大值和最小值
设函数y = f (x)在闭区间[a,b]上连续， 在开区间(a, b)
内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间 如果 (a,b)内，或者在区间的端点 x = a,x = b处取得。 函数f (x)的最大(小)值在开区间(a,b)内取得，则最大 (小)值点一定是函数的极大(小)值点，又因为可导 函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻点， 而不可导点也可能是极值点， 求出函数在(a, b) 由此， 内的全部驻点和不可导点的函数值， 将它们与端点的 函数值 f (a),f (b)加以比较，其中最大者即为 f (x) 在 [a, b]上的最大值， 最小者即为f (x)在[a, b]上的最小值。
由于y x 0 400k , y x 15 380k , y x 100 1 500k 1 2 , 5
其中以y|x15380k为最小，因此当ADx15km时， 10 总运费为最省．
已知电源的电压为正， 内阻为r， 例4 如下图所示的电路中， 求负载电阻 为多大时，输出功率为 R 最大？如图) (
由于函数在定义域内有唯一极值点，所以 函数的极大值就算函数的最大值. 所以最大值为：y x2 1.
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三、具体应用举例
应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可 以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义 区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻 点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0) 是最大值或最小值．
若函数 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，则 f ( x ) 在 [a , b ]上的最大值 与最小值存在 .
y y y
o a
bx
o a
b x
o
a
b x
步骤 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较出最大值及最小值。
3
例1
求函数 y 2 x 3 x 12 x 14 的在[3,4]
解 设ADx (km)，则 DB100x ，
CD 202 x 2 400 x 2 .
设从B点到C点需要的总运费为y，那么
y5k· CD3k· (k是某个正数)， DB
即 y 5k 400 x 2 3k 100 x
0 x 100
5x 3 先求y对x的导数： y k 2 400 x 解方程y0，得x15(km)．
并且电路必有最大 由于在(0,+∞)内函数只有一个驻点， 输出功率， 所以当负载电阻与内阻相等时， 输出功率最大。 11
在解决最大(小)值的实际应用问题时,可以采取以下步骤： (1)将问题中能取得最大(小)值的变量设为函数 y，
而将与函数有关联的条件变量设为 x， 再利用变量 之间的等量关系列出函数关系式 y = f (x)， 并确定 函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最 大值或最小值。 (2)求出函数再定义域内的驻点， 如果驻点只有一个， 并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值 或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求
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例3 铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为 20km,AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选 定一点D向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运
的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5．为了使
货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选 在何处？
A
20km D 100km B
C
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2
即
最大值M = max{f (a), f (x1), f (x2), ·, f (xn), f (b)} · · 最小值m = min{f (a), f (x1), f (x2), ·, f (xn), f (b)} · · 其中 xi 为 f (x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。 最大(小)值的求法
4
y 2 x 3 3 x 2 12 x 14
5
二、函数在某区间内(有限或无限，开或闭)内可导且 只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点， 那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最 大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最 小值．
3 2
上的最大值与最小值 .
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得 x1 2, x2 1.
计算 f ( 3) 23;
f (1) 7;
f ( 2) 34;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
的最大值或最小值； 如果驻点不止一个， 则可根 据前面求最大(小)值的一般方法求解。
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四、小结
1.闭区间上连续函数的最大值和最小值.
2.函数在某区间内可导且有唯一极值点时的 极大值和极小值. 3.具体应用举例.
作业：
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y yf(x ) f(x0) f(x0) O a x0 y yf(x )
b
x
O a
x0
b
x6
例2 求函数 y x 2 4 x 3的最大值.
解
函数的定义域为, R
y 2 x 4 2 x 2.
令y 0, 得驻点 2. x
x . 显然： 2是函数的极大值点
消耗 解 由电学知识可知， 在负载电阻R上的功率为 P
= I2R, 其中I为回路中的 电流强度。 E 根据欧姆定律又有 I 从而可得函数
Rr R ( E )2 R (0 R ), P Rr
，
求导可得P R E 2
rR , 令 P( R) 0, 得驻点R r 3 R r