2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

E D C BA2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，理1，5分】i 是虚数单位，复数7i34i+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）1731i 2525+ （D ）1725i 77-+ 【答案】A【解析】()()()()7i 34i 7i 2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-，故选A ． 【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x ，y 满足约束条件02012x y x y y ≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，故选B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． （3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945 【答案】B【解析】1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =，故选B ．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键． （4）【2014年天津，理4，5分】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?【答案】D【解析】240x ->，解得2x <-或2x >．由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为(),2-?，故选D ． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=【答案】A【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=，故选A ． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． （6）【2014年天津，理6，5分】如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CE BE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD ∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由F B F D F A F B =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BD AF AB=，得A F B D A B B F ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题． （7）【2014年天津，理7，5分】设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】解法一：设()f x x x =，则()220,0,x x x x f x ìï³-=í<ïïïî，所以()f x 是R 上的增函数，“a b >”是“a a b b >”的充要条件，故选C ． 解法二：若0a b >≥，则不等式a a b b >等价为a a b b ??此时成立．若0a b >>，则不等式a a b b >等价为a ab b -⋅>-⋅，即22a b <，此时成立．若0a b ≥>，不等式a a b b >等价为a a b b ⋅>-⋅，即22a b >-，此时成立，综上则“a b >”是“a a b b >”的充要条件，故选C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键． （8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m +=（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】因为120BAD?，所以cos1202AB ADAB AD ?鬃=-．因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+，AF AB AD m =+．因为1AE AF?，所以()()1AB AD ABAD l m +?=，即3222l m l m +-=① 同理可得23l m l m --=-②，①+②得56l m +=，故选C ． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300?+++名．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】203p【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．俯视图侧视图正视图【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（11）【2014年天津，理11，5分】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为 ．【答案】12-【解析】依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-． 【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． （12）【2014年天津，理12，5分】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为 ．【答案】14-【解析】因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2ac =．所以2221cos 24b c a A bc +-==-．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． （13）【2014年天津，理13，5分】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点．若AOB D 是等边三角形，则a 的值为 ．【答案】3【解析】圆的方程为()2224x y +-=，直线为y a =．因为AOB D 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为a 骣÷÷÷，代入圆的方程可得3a =． 【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 的坐标是解题的关键，属于基础题．（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】()()0,19,+∞【解析】解法一：（ⅰ）当()1y a x =--与23y x x =--相切时，1a =，此时()10f x a x --=恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线()1y a x =-与函数23y x x =+相切时，9a =，此时()10f x a x --=恰 有2个互异的实数根． 结合图象可知01a <<或9a >． 解法二：显然1a ¹，所以231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t=++．因为(][),444,t t ??++?，所以(][)45,19,t t??+++?． 结合图象可得01a <<或9a >．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有()21cos sin 2f x x x x x 骣÷ç÷ç=?-+÷ç÷ç桫21sin cos 2x x x =?+)1sin 21cos24x x =-++1sin 224x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫． 所以，()f x 的最小正周期22T pp ==．（2）因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数．144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫， 144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫．所以，函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-． 【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题． （16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院． 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则()120337373104960C C C C P A C ??==． 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960．所以，()f x 的最小正周期22T pp ==．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．()346310k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =．随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点． （1）证明 BE DC ^；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值． 解：解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ， ()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC?．所以，BE DC ^．（2）向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-．设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则00n BDn PBìï?ïíï?ïî，即2020x y x z ì-+=ïïíï-=ïî，不妨令1y =，可得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，cos ,6n BE n BE n BE×\===×BE 与平面PBD ．（3）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =．由点F 在棱PC 上，设CF CP l =，01l ＃．故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--．由BF AC ^，得0BF AC?，因此，()()2122220l l -+-=，解得34l =．即113,,222BF 骣÷ç=-÷ç÷ç桫．设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量，则1100n ABn BFìï?ïíï?ïî，即01130222x x y z ì=ïïïíï-++=ïïî．不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则121211cos ,10n n n n nn ×=-==×． 易知，二面角F AB P -- 解法二：（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而 CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，因为AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又 //BE AM ，所以BE CD ^．（2）连接BM ，由（1）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^．又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，所以PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD ． 直线BE在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM Ð为锐角，故EBM Ð为直线BE 与平面PBD所成的角．依题意，有PD =M 为PD 中点，可得AM =BE =．故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBM BE BE ?==，因此in s EMB ?． 所以，直线BE 与平面PBD ． （3）如图，在PAC D 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．因为PA ^底面ABCD ，故FH ^底面ABCD ，从而FH AC ^．又BF AC ^，得AC ^平面FHB ，因此AC BH ^． 在底面ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =．由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面．由AB PA ^， AB AD ^，得AB ^平面PAD ，故AG ．所以PAG Ð为二面角F AB-的平面角．在PAG D 中，2PA =，14PG PD ==45APG ?，由余弦定理可得AG =，os c PAG ?． 所以，二面角F AB P --．【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知12AB F =．（1）求椭圆的离心率； （2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切． 求直线的斜率．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c ．由12ABF =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =．所以，椭圆的离心率e =，所以22223a c c -=，解得a =，e =．（2）由（1）知222a c =，22b c =．故椭圆方程为222212x y c c+=．设()00,P x y ．由()1,0F c -，()0,B c ，有()10,F P x c y =+，()1,F B c c =．由已知，有110F P F B ?，即()000x c c y c ++=．又0c ¹，故有000x y c ++=． ① 又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=． ② 由①和②可得200340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为 ()11,T x y ，则142323c x c -+==-，12323c c y c +==，进而圆的半径r =． 设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为y kx =．由l 与圆相切，r =，=， 整理得2810kk -+=，解得4k=?．所以，直线l 的斜率为4+4-【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（19）【2014年天津，理19，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,M q =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x x q x M i n q -+?===++．（1）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （2）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M Î，1,2,,n i =．证明：若n n a b <，则s t <．解：（1）当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+．可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =．（2）由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，,i i a b M Î，1,2,,n i =及n n a b <，可得()()()()21111122n n n n n n s t a b a b q a b q a b q -----=-+-++-+-()()()21111n n q q q q qq--?+-++--()()11111n n q q q q----=--10=-<．所以，s t <．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数()x f x x ae =-()a R Î，x R Î．已知函数()y f x = 有两个零点12,x x ，且12x x <．（1）求a 的取值范围；（2）证明21xx 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x +随着a 的减小而增大．解：（1）由()x f x x ae =-，可得()1x f x ae ¢=-．下面分两种情况讨论：1）0a £时，()0f x ¢>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意．2）0a >时，由()0f x ¢=，得ln x a =-．当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：“函数()y f x =有 两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）()ln 0f a ->；（2）存在()1,ln a s ??，满足()10f s <； 3）存在()2ln ,a s ?+?，满足()20f s <．由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得10a e -<<，而此 时，取10s =，满足()1,ln a s ??，且()10f s a =-<；取222ln s a a=+，满足()2ln ,a s ?+?，且()22222ln 0a af s e e a a骣骣鼢珑鼢=-+-<珑鼢珑鼢珑桫桫．所以，a 的取值范围是()10,e -． （2）由()0x f x x ae =-=，有xx a e =．设()x x g x e =，由()1x xg x e -¢=，知()g x 在(),1-¥上单调递增，在()1,+¥上单调递减． 并且，当(],0x ??时，()0g x £；当()0,x ??时，()0g x >．由已知，12,x x满足()1a g x =，()2a g x =．由()10,a e -Î，及()g x 的单调性，可得()10,1x Î，()21,x ??．对于任意的()1120,,a a e -Î，设12a a >，()()121g g a x x ==，其中1201x x <<<；()()122g g a h h ==，其中1201h h <<<．因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g x h >，可得11x h >；类似 可得22x h <．又由11,0x h >，得222111x h h x x h <<．所以，21xx 随着a 的减小而增大． （3）由11x x ae =，22x x ae =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+．故221211ln ln lnx x x x x x -=-=． 设21x t x =，则1t >，且2121ln x tx x x t ì=ïïíï-=ïî，解得1ln 1t x t =-，2ln 1t tx t =-．所以，()121ln 1t t x x t ++=-． ① 令()()1ln 1x x h x x +=-，()1,x ??，则()()212ln 1x x x h x x -+-¢=-．令()12ln u x x x x =-+-， 得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫．当()1,x ??时，()0u x ¢>．因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的 ()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增．因此，由①可得12x x + 随着t 的增大而增大．而由（2），t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大．【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。