江苏省沭阳县修远中学2020届高三9月月考数学(文)试题 含答案

修远中学2019-2020学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ ．2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为 ▲ ．3．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+=)1(log 1,222x x x f x ，则()[]=0f f ▲ ．4．已知1x >，则41x x +-的最小值为 ▲ ． 5．设变量,x y 满足约束条件101030x x y x y -≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．6．已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，)()(2R a ax x x f ∈+=，且6)2(=f ，则a = ▲ ． 7.已知31)6sin(=+πx ，则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ的值是 ▲ ． 8.已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为 ▲ ． 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为 ▲ ． 10.在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则da 1的值为 ▲ ． 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为11A B CD -的外接球的体积为▲________．12.已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13、设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(4x x x x x f ,若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的取值范围是 ▲ ． 14．已知a ∈R ，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则a的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15. （本小题满分14分）已知π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，，312n ，⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）若m ∥n ，求x 的值； （2）若35m n ⋅=，求πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ； （2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .17.（本小题满分14分）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18.（本小题满分16分） 设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立． （1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分） 已知函数xx x g x x f 1)(,ln )(-==． （1）①若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；②令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间()0]1,[>+a a a 上的最大值． （2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上． 1． {1,6}2. 2000,10x x x ∀∈++≥R3．答案：2 4． 5 5． 3- 6． 57.95 8.【答案】2 9．－4310. 1 11. 36π12.【答案】1a ≥ 13、⎥⎦⎤ ⎝⎛27,1-，14．【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立令2222(11)(1)2(1)1()1111x x x x x g x x x x x-----+==-=-=-----1(12)2)01x x =--+-≤-=- ∴max 2()0a g x ≥= ∴0a ≥当1x >时，()ln 0ln xf x x a x a x=-≥⇔≤恒成立令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==当x e >时，()0h x '>，()h x 递增 当1x e <<时，()0h x '<，()h x 递减 ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e = ∴min ()a h x e ≤= 综上a 的取值范围是[]0,e 【答案】[]0,e二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15.【答案】（1）π3x =；（2）210- 【解析】试题分析：（1）通过m ∥n ，得到关于x 的方程，结合π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到x 的值；（2）利用数量积的定义可得π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令π6x θ=+，则π6x θ=-，故ππsin sin 124x θ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.试题解析：（1）因为()sin cos m x x =，，312n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，且m ∥n ，所以1sincos 22x x ⋅=⋅， 即tan x =………………………4分 又π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3x =．………………………6分 （2）因为()sin cos m x x =，，312n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，且35m n ⋅=13cos 25x x +=，即π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………9分 令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ===，………………………11分所以ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭34525210=⨯-⨯=-………………………14分 16.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，……2分 又AB ⊄平面11A B D ，EF ⊂平面11A B D ，所以//AB 平面11A B D .……4分 又AB ⊂平面1ABC ，平面11A B D平面1ABC EF =，所以//AB EF .……6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C ， 又11A B ⊂平面111A B C ，故111B B A B ⊥. ……8分 又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥.……10分又因为1111B BB C B =，1B B ⊂平面11B BCC ，11B C ⊂平面11B BCC ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，……12分又11A B ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面11B BCC .……14分17、解：（1）由DAO θ∠=，OC AB ⊥，1OA OB ==，则1cos DA DB θ==，tan DO θ=，所以1tan DC θ=-， ………………4分 所以22sin 1tan 1cos cos y DA DB DC θθθθ-=++=+-=+,04πθ<<. ………………7分（注：表达式2分，θ的的取值范围1分） (2) 22sin 1cos y θθ-'=， ………………9分令0y '=,得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=， ………………10分 当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；当64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数.………………12分所以，当6πθ=时，min 1y = ，此时tan DO θ==………………13分答：当D 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 处时,能使三段木栈道总长度最短. ………………14分18.解：（1）由题意知，01612>+-a x ax 对一切实数x 恒成立， 若0=a ，不合题意，舍去； ………………………2分 若0≠a ，由⎩⎨⎧<∆>00a ，解得2>a ； ………………………5分 综上，实数a 的取值范围是),2(+∞． ………………………6分 （2）设x t 3=，因为0>x ，所以1>t ，则041)21(9322<+--=+-=-t t t x x ，所以使得命题q 为真的实数a 的取值范围是),0[+∞； ………………………9分因为命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假， 因此⇒⎩⎨⎧<>02a a 无解， ………………………12分或2002≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤a a a ， ………………………15分 所以，所求实数a 的取值范围是]2,0[． ………………………16分19. 解：（1）当3n =时，()13312332a a A a a a +=++=， 因为11a =，35a =，所以23a =. ………………………3分（2）由()12n n n a a A +=，得()111(1)2n n n a a A ++++=，两式相减，得111(1)2n nn a n a na a ++++-=，即11(1)0n n n a na a +--+=， ………………………6分 所以211(1)0n n na n a a ++-++=，两式相减，得122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. ………………………8分（3）依题意：112m k m a b a -==⋅，由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k -+⋅-⨯=⨯-，128622486m k⨯=-⨯-，所以151634421m k --=+. ………………………11分因为92512=，且3m ≥，所以219m ≤-≤， ………………………13分 又因为51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数，所以121129m -+=时，151621m -+是整数，此时17m -=， ………………………15分所以8m =，340k =. ………………………16分20. 解（1）设切点(x 0，y 0)，f '(x )＝1x .所以⎩⎨⎧y 0＝ln x 0y 0＝kx 0＋1k ＝1x 0所以x 0＝e 2，k ＝1e 2. ………………………3分（2）因为g (x )＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0．所以h (x )＝f (x )－|g (x )|＝ln x －|x －1x |＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<<-+1,1ln ;10,1ln x x x x x x x x 当0＜x ＜1时，h (x )＝ln x ＋x －1x ，h '(x )＝1x ＋1＋1x 2＞0， 当x ≥1时，h (x )＝ln x －x ＋1x ，h '(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＜0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h (x )max ＝h (1)＝0．…………………6分 当0＜a ＜1时，h (x )max ＝h (1)＝0；当a ≥1时，h (x )max ＝h (a )＝ln a －a ＋1a． ………………………9分 （3）令F (x )＝2ln x －k (x －1x)，x ∈(1，＋∞)． 所以F ' (x )＝2x －k (1＋1x 2)＝－kx 2＋2x －k x 2．设φ(x )＝－kx 2＋2x －k ， ①当k ≤0时，F '(x )＞0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，又F (1)＝0，所以不成立； ………………………11分②当k ＞0时，对称轴x 0＝1k， 当1k≤1时，即k ≥1，φ(1)＝2－2k ≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x )＜0，所以F '(x )＜0， 又F (1)＝0，所以F (x )＜0恒成立； ………………………13分 当1k＞1时，即0＜k ＜1，φ(1)＝2－2k ＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x )＝0，x ＝x 0， 所以x ∈(1，x 0)，φ(x )＞0，即F '(x )＞0；x ∈(x 0，＋∞)，φ(x )＜0，即F '(x )＜0，所以F (x )max ＝F (x 0)＞F (1)＝0，所以不满足F (x )＜0恒成立． ………………………15分 综上可知：k ≥1 .………………………16分。