九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第3课时导学案新版新人教版

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九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程21.3.1实际问题与一元二次方程

《21.3.1实际问题与一元二次方程》教学内容分析本课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究传播问题和平均变化率问题中的数量关系。

活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力。

活动中涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的一般规律等。

这些问题在现实世界中有许多原型，让学生理解两轮传播和两个时间段的平均变化率可以用一元二次方程作为数学模型，从而使问题得到解决。

教学目标知识目标（1）能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

（2）能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理。

能力目标（1）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能用一元二次方程对之进行描述。

（2）体验解决问题的多样性，发展实践应用意识。

情感目标通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。

4、德育目标：了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

教学策略在本课的学习中，应重视相关内容与实际的联系，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的认识。

分析和解决的关键是找出问题中的相关数量之间的相等关系，并把这样的关系“翻译”为一元二次方程。

在教学中借助现代化教学媒体和网络资源，让学生通过观察、试验、操作、分析、猜想、发现其中的等量关系，从而正确的理解问题情境，最后能够解决问题。

教学环境和资源准备1、教学环境：多媒体网络教室2、资源准备：多媒体课件。

教学过程（一）总结回顾、引入新知：教师活动：（1）通过前面的学习你知道解一元二次方程有那些方法吗？你有何体会？（2）列一元二次方程解应用题分几步呢？应注意那些？学生活动：利用局域网聊天系统讨论交流、然后发言回答。

教师用教师机归纳板书。

（如图）复习回顾:1.解一元二次方程有哪些方法？配方法(直接开平方法)、公式法、因式分解法.2.列一元一次方程解应用题的步骤？①审题②设出未知数③找等量关系④列方程⑤解方程⑥答.（3）和一元一次方程、二元一次方程一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，下面我们来看几个例子：（二）合作探究、学习新知：（1）教师机出示探究1内容教师布置：问题1、本题中有那些数量关系？问题2、第二轮传染时第一个还传染吗？学生活动：利用局域网聊天系统分9个小组进行讨论。

人教版九年级上册数学精品教学课件第21章一元二次方程第3课时几何图形与一元二次方程

27 cm
21cm
分析:这本书的长宽之比为 9 : 7 ，正中央的长方形
的长宽之比为 9 : 7 ，上下边衬与左右边衬的宽度
之比为 9 : 7 .
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a
和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
27 cm
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
2
2
9(3 a) : 7(3 a)
当 x = 4 时，58 − 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m，
50 m.
变式如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用
80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的
边 AB 和 BC 的长各是多少米？解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
10.71
(舍).
∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m.
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
九年级数学上（RJ）教学课件
第二十一章一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时几何图形与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型；（难点） 2. 能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. （重点）

九年级数学上册第21章一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时几何图形问题)习

阴影矩形的面积相等，而阴影矩形的长﹑
宽分别为（32-2x）m﹑（20-2x）m，根
据矩形的面积公式就可以列出方程，解方
32
程即可.
20-2x x
20
第3课时几何图形问题
解：设小道的宽为xm. 依题意，得（32-2x）（20-2x）=504.
整理，得x²-36x+68=0. 解得 x1 =2，x2 =34（不合题意，舍去）.
=9（3-a）：7（3-a）
=9:7
第3课时几何图形问题
解:设上下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm，则
中央的矩形长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm.中央的矩形的
面积是封面面积的四分之三.于是可列方程
（27-18x）（21-14x）= 43×27×21
方程的哪个根
整理，得 16x²-48x+9=0
答：小道的宽为2m.
①若是规则图形，则套用面积公式； ②若是不规则图形，通过割补平移的方法转换为规则图形，再根据面积间的和﹑差关系求解.
第3课时几何图形问题
例2 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
×27×21
解得
x1
3
3 2
,
x2
3 3 （舍去）
2
所以上下边衬的宽度为 27 9x 1.8
2
左右边衬的宽度为
21 7 x 1.4 2
第3课时几何图形问题
例3 要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长分别是多少米？

人教版九年级数学上册课件第3课时用一元二次方程解决几何图形问题

当堂练习
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？
①
②
③
④
当堂练习
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得30×20× 1 =30×20-(30-4x)(20-6x). 4
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
常见几何图形面积几何图形是等量关系
几何图形与
一元二次方
程问题
课本封面问题常采用图形
平移能聚零
类
型
彩条/小路宽度问题
为整方便列方程
动点面积问题
当堂练习
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1. 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（D ）
A.8cm B.64cm
C.8cm2 D.64cm2
2. 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.
则其两条直角边长分别是 6cm 、 8cm .
整理，得12x2-130x+75=0.

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程3教案新版新人教版

实际问题与一元二次方程教学设计课标要求能根据具体问题的实际意义，检验方程的根是否合理。

教材及学情分析探究3的问题中，已知封面及正中央矩形的长宽比都是9:7，由此可以推出上、下、左、右边衬之比也为9:7。

问题中的方程的两个根都是正数，但他们并不是问题的的解。

必须根据他们的值得大小，来确定哪个更合乎实际。

这种取舍更多地要考虑问题的实际意义，这是检验数学模型的解是否是实际的过程。

九年级的学生在以前学习了用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解决实际问题，有一定的基础，在此基础上，进一步培养学生学习分析问题、找出等量关系来解决实际问题的能力。

课时教学目标1、探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.并能根据实际问题的意义检验结果的合理性.2、经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.3、通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.重点列一元二次方程解决实际应用问题难点寻找问题中的等量关系提炼课题如何找出题干中包含等量关系的语句，并将其转化为等量关系教法学法指导启发式讨论法练习法教具教学过程分析问题，建立模型探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是21(27－9a)∶21(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．设上、下边衬的宽均为9x cm，则左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x) cm．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程(27－18x)(21－14x)＝43×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0解方程，得x＝6334，即x1≈2.8，x2≈0.2．淡化解方程，重点突出列方程弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系让学生更加熟练地列方程解应用题，并强化运用.把握面积问题的解题技巧,将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决所以，9x1＝25.2 cm（不合题意，舍去9x21、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边解法一：设道路的宽为x，我们利用“图形纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的小结这节课你学到了什么？面积问题怎样建立数学模型？板书设计 21.3 实际问题与一元二次方程解一元二次方程的一般步骤：1、审:2、设 :3、列4、解 :5、验：检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去6、答:作业设计绩优学案P21 必做题：1—7 选做题：8教学反思。

数学人教版九年级上册同步教学课件：21.3 第3课时几何图形问题

6．(2015· 巴中)如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．
解：设小路的宽为x m，依题意有(40－x)(32－x)＝1140，整理得 x2－72x＋140＝0，解得x1＝2，x2＝70(不合题意，舍去)，则小路的宽是2 m
立等量关系．
2．在解决面积的相关问题时，灵活运用“平移变换”利于对分离的图形面积进行“整体表示”，使问题简化．
易错提示：不要忽略方程的根要使实际问题有意义．
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。 16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。 17、一个人只要强烈地坚持不懈地追求，他就能达到目的。你在希望中享受到的乐趣，比将来实际享受的乐趣要大得多。 18、无论是对事还是对人，我们只需要做好自己的本分，不与过多人建立亲密的关系，也不要因为关系亲密便掏心掏肺，切莫交浅言深，应适可而止。 19、大家常说一句话，认真你就输了，可是不认真的话，这辈子你就废了，自己的人生都不认真面对的话，那谁要认真对待你。 20、没有收拾残局的能力，就别放纵善变的情绪。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。 11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑，便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击，但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540 m2，

21.3 实际问题与一元二次方程第3课时用一元二次方程解决几何图形问题

知识点1：一般图形的面积问题 1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C ) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B ) A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两 2cm，7cm 条直角边长分别为______________ ．
11 ．如图，已知点 A 是一次函数 y ＝ x － 4 图象上的一点，且矩形 (3，－1)或(1，－3) ． ABOC的面积等于3，则点A的坐标为___________________ 12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分 ( 图中阴影部分 ) 种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x) ＝3600，整理得x2－75x ＋350 ＝0 ，解得x1＝5 ， x2＝70 ，∵x2＝70 ＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝ 4，解得x1＝1，x2＝4. ∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能

人教版初中数学九年级上册第二十一章实际问题与一元二次方程 (第3课时)

整理得：x²-17x+52=0.
解方程，得：（x-13）（x-4）=0.
解得：x1=4，x2=13（舍去）.
因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
素养目标
21.3 实际问题与一元二次方程/
2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中
的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过
程，提高数学应用意识．
1.能正确利用面积关系列出关于几何图
当BC=15m时，AB=CD=10m，即这个长方形鸡场的长与
宽分别为20m和方程/
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽
分别是多少？
解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的
鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，
C．（x﹣1）（x﹣2）=18
D．x2+3x+16=0
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程/
基础巩固题
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条
金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使
整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，
那么x满足的方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
解：设道路的宽为 x 米.
可列方程为
(32-x)(20-x)=540.
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程/
如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽
的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,
求这种种方案下的道路的宽为多少？
x
解：设道路的宽为 x 米.
可列方程为
(32-2x)(20-x)=540.

人教版九年级上册数学精品教学课件第二十一章一元二次方程实际问题与一元二次方程第3课时

依题意，得(15－2×5x)(10－2×4x)＝15×10×(1－13 )，整理，
得 8x2－22x＋5＝0，解得 x1＝52 ，x2＝14 .当 x＝52 时，10－2×4x＝－10＜0，
不合题意，舍去；当 x＝1 时，10－2×4x＝8＞0，符合题意，∴x＝1 ，
4
4
∴5x
＝5 4
，4x ＝1.
4
整理得，8x2+204x-319=0,解得 x 51 3239 .
4
∴x1= 51 4 3239 , x2= 51 4 3239 (不合题意，舍去). ∴x= 51 3239 ≈1.5.
4
答：镜框的宽度约为1.5cm.
随堂训练
基础巩固
1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗
R·九年级上册
第二十一章一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时实际问题与一元二次方程（3）
新课导入
导入课题
要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
答：每个横彩条的宽度为 5 cm，每个竖彩条的宽度为 1 cm 4
课堂小结
与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形等，涉及到三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。
Thank you!
2 D．(100－x)(50－x)＝4704
综合应用
4．如图，要设计一个长为15 cm，宽为10 cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5∶4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

人教版九年级数学上册 21.3几何图形与一元二次方程(第三课时)

方程是（ B ）常见几何图形面积是等量关系.
答：上下边衬的宽度为:1.
（6x-5）（x-10）=0
答：上下边衬的宽度为:1.
程：
。
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
即 x2 - 40x + 360=0.
解方程,得
x1 = 20 2 10 x2=20 2 10 25 (舍去),
答：鸡场的为（ 20 2 10 ）m满足条件.
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
A
D
B
C
解:设小路宽为x米，则
(20 2x)(15 2x) 24615 20
化简得，2x2 35x 123 0 (x 3)(2x 41) 0
x1
3,
x
2
41 2
(舍去）
答:小路的宽为3米.
课堂小结
例1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为:1.4cm.
试一试
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面
的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm。
27cm
依题意得
9x 7x 3 27 21, 4
解得
x2
3
3 2

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第3课时教学设计

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第3课时教学设计一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》的第3课时，主要内容是通过实际问题引出一元二次方程的求解方法，让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

本节课的内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念、性质和解法，具备了一定的数学基础。

但部分学生在解决实际问题时，还不能灵活运用一元二次方程，对一些复杂问题的理解和解决能力较弱。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们运用一元二次方程解决实际问题，提高他们的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解实际问题中的一元二次方程模型，掌握一元二次方程的求解方法。

2.能够运用一元二次方程解决实际问题，提高数学应用能力。

3.培养学生的团队合作意识，提高学生的解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：通过实际问题，引导学生建立一元二次方程模型，掌握一元二次方程的求解方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为一元二次方程，以及运用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生自主探究，激发学生的学习兴趣。

2.案例分析法：分析典型实例，让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

3.小组讨论法：培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的联系，培养学生自主学习能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生建立一元二次方程模型。

2.准备典型实例，用于分析一元二次方程在实际问题中的应用。

3.准备PPT，用于展示教学内容。

4.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实际问题，引导学生关注实际问题中的一元二次方程模型，激发学生的学习兴趣。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第3课时用一元二次方程解决几何图

2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时用一元二次方程解决几何图形问题教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时用一元二次方程解决几何图形问题教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时用一元二次方程解决几何图形问题教案（新版）新人教版的全部内容。

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题01 教学目标1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2．列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．02 预习反馈阅读教材P20～21“探究3"，完成下面的探究内容．如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽,左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1 cm）分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央矩形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是错误!（27－9a)∶错误!（21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a）＝9∶7。

设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央的矩形的长为(27－18x)cm,宽为(21－14x）cm.要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列出方程(27－18x)(21－14x）＝错误!×27×21。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第3课时导学案人教版

21.3实际问题与一元二次方程第3课时实际问题与一元二次方程(3)一、导学1.导入课题：如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？2.学习目标：列一元二次方程解决图形的面积问题.3.学习重、难点：重点：会列一元二次方程解决图形的面积问题.难点：会恰当设未知数列出方程.4.自学指导：(1)自学内容：教材第20页到第21页“探究3”.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：充分利用图形寻找等量关系,再根据等量关系列出方程.(4)探究提纲：①根据题目的已知条件,得出上下边衬与左右边衬的宽度之比是27∶21=9∶7,你知道是怎样得出来的吗？请你推一推.设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 (27-9a)∶ (21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)= 9∶7②书上设上、下边衬的宽均为9x cm,而不是设为x cm,这样做有什么好处？列出的方程为整数式,方便计算③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式,然后再用公式法求解,你有更简便解法吗？原方程可化为9(3-2x)·7(3-2x)= ×27×21,∴(3-2x)2= ,∴x=.④方程的哪个根符合实际意义？为什么？x= x=符合实际意义,因为取x=,上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度,不符合实际.⑤如果设中央矩形的长为9x,根据课本上的等量关系,请你列方程求解.设中央矩形的长为9x cm,则宽为7x cm.⑥练习：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)？设镜框的宽度为x cm.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：教师深入课堂了解学生的自学进度,观察学生是否能独立推出上下边衬与左右边衬的宽度比为9∶7.(2)差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.2.生助生：生生互动,交流研讨.四、强化1.点学生板演探究提纲第⑤、⑥题,并点评.2.几何问题中设未知数的方法及等量关系.3.“面积、体积问题”常用公式：(1)直角三角形的面积公式,一般三角形的面积公式；(2)正方形的面积公式,长方形的面积公式；(3)梯形的面积公式；(4)菱形的面积公式；(5)平行四边形的面积公式；(6)圆的面积公式.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有什么收获？还有哪些不足？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习主动参与性、小组交流合作情况、学习方法和效果等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的实际问题,训练题是对前面问题的延伸,使学生灵活运用解题的能力有很大的提高,对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.(2)列一元二次方程解决实际问题是让数学回归生活,是对一元二次方程解法的延伸,同时又是一元二次方程或二元一次方程组解决实际问题步骤的总结和内容的升华,列一元二次方程解决实际问题是下章中学习用二次函数解决问题的基础.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(60分)1.(20分)从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是(D)A. 8cmB. 64cmC. 8cm2D. 64cm22. (20分)直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是6cm、8cm.3.(20分) 在长方形钢片上冲去一个长方形,制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm,宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2,求这个长方形框的边框宽.解：设长方形框的边框宽为x cm.依题意,得(30-2x)(20-2x)=600-400.整理,得x2-25x+100=0,解得x1=5, x2=20(舍去).∴x=5.答：这个长方形框的边框宽为5cm.二、综合应用(20分)4.(20分)小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由.解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm,则另一个小正方形的边长为=(10-x)cm.依题意x2+(10-x)2=58,解得x1=3, x2=7.当x=3时,小正方形周长为12cm；当x=7时,小正方形周长为28cm.∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段.(2)对.两个正方形的面积之和为：x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50∵无论x取何值,2(x-5)2总是不小于0的.∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的,所以不可能等于48cm2.小峰的说法是对的.三、拓展延伸(20分)5.(20分)如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案,其中有两横、两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)？解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.答：横彩条的宽度约为1.8cm,竖彩条的宽度约为1.2cm.。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 21.3.2 实际问题与

《21.3.2实际问题与一元二次方程》今天我说课的内容是人教版初中数学九年级上册第二十二章、第22.3节《实际问题与一元二次方程》的第四课时实验与探究。

它是继传播问题、百分率问题、长宽比例问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。

教材分析与学生现实分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。

本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。

一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其它学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。

这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。

本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。

对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。

数学新课程标准要求：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。

2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程导学案3(新版)新人教版

21．3 实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．一、自学指导．(10 分钟)问题：如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm ，宽 21 cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到 0.1 cm )分析：封面的长宽之比是 27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__，若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm __和__7a_cm __，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟)在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米，求金色纸边的宽．解：设金色纸边的宽为 x 分米，根据题意，得(2x ＋6)(2x ＋8)＝80.解得 x 1＝1，x 2＝－8(不合题意，舍去)．答：金色纸边的宽为 1 分米．点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分钟)4如图，某小区规划在一个长为 40 m 、宽为 26 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是 144 m 2，求马路的宽．解：假设三条马路修在如图所示位置．设马路宽为 x ，则有(40－2x)(26－x)＝144×6，化简，得 x 2－46x ＋88＝0，解得 x 1＝2，x 2＝44，由题意：40－2x ＞0，26－x ＞0, 则 x ＜20.故 x 2＝44 不合题意，应舍去，∴x＝2.答：马路的宽为 2 m .点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)1．如图，要设计一幅宽 20 cm 、长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到 0.1 cm )解：设横彩条的宽度为 3x cm ，则竖彩条的宽度为 2x cm .1 根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－ )×20×30.解得 x 1≈0.6，x 2≈10.2(不合题意，舍去)．故 3x ＝1.8，2x ＝1.2.答：横彩条宽为 1.8 cm ，竖彩条宽为 1.2 cm .2．用一根长 40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为 75 cm 2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为 101 cm 2 的长方形吗？若能，说明围法．(3)若设围成一个长方形的面积为 S(cm 2)，长方形的宽为 x(cm )，求 S 与 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，S 的值最大？最大面积为多少？解：(1)设此长方形的宽为 x cm ，则长为(20－x) cm .根据题意，得 x(20－x)＝75，解得 x 1＝5，x 2＝15(舍去)．答：此长方形的宽是5cm.(2)不能．由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形．(3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x.由S＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100知，当x＝10时，S的值最大，最大面积为100cm2.点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第三课时

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根据(gēnjù)题意，得x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0，
b 2 4 a c ( 1 6 ) 2 4 1 6 5 4 0
∴此方程(fāngchéng)无解.
∴在周长(zhōu chánɡ)不变的情况下，长方形花圃的面积不能增
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【解】（1）方案(fāng àn)1：长9为71 米，宽为7米; 方案(fāng àn)2：长为16米，宽为4 米方案; (fāng àn)3：长=宽=8米;
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.
No 的面积不能增加2平方米.。∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.。相等关系是：草坪长
×草坪宽=540米2。其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.。1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应
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如图，设路宽为x米，
横向(hénɡ xiànɡ)3路2面x米: 2
0
纵向路面(lùmiàn)面积为2: 0x米2
草坪矩形( jǔxíng)的长（横向）为（:32-x)米
草坪矩形的宽（纵向）为： (20-x)米
相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2
即 32x20x540.
4
左右(zuǒyòu)边衬的宽度为2: 17x2 1732342 2131.4

九年级数学上册第二十一章一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时)

21.3实际(shíjì)问题与一元二次方程
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学习目标
➢ 1、能根据具体问题中的数量关系(guān xì)，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
➢ 2、能根据问题的实际意义，检验所得(suǒ dé)结果是否合理； ➢ 3、进一步掌握(zhǎngwò)列方程解应用题的步骤和关键.
分析(fēnxī)：封面的长宽之比是 9∶7，中央的矩形的长宽之比
也应是 9∶7．
9a
27
解：设中央的矩形( jǔxíng)的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，
由此得方程
7a
21
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解法一：设上、下边衬的宽均为 9y cm，左、右边(yòu bian)衬的宽均为 7y cm，依题意，得
x2=2.。解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）。解方程得：x1=20，x2=40。显然，当x=40时，销售价为120元。要使顾客得到(dé dào)实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适。书面作业：完成本节相关作业。再见
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边的宽。
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情境导入
某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条(sān tiáo)等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为
解:设道路(dàolù)宽为x米则， (3 2 2 x)(2 0 x) 5 7 0

人教版九年级章节目录

第二十一章一元二次方程
21.1 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
阅读与思考黄金分割数
21.3 实际问题与一元二次方程
数学活动
小结
复习题21
第二十二章二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.2 二次函数与一元二次方程
信息技术应用探索干净函数的性质
22.3 实际问题与二次函数
阅读与思考推测滑行距离与滑行时间的关系数学活动
小结
复习题22
第二十三章旋转
23.1 图形的旋转
23.2 中心对称
信息技术应用探索旋转的性质
23.3 课题学习图案设计
阅读与思考旋转对称
数学活动
小结
复习题23
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
实验与探究圆和圆的位置关系
24.3 正多边形和圆
阅读与思考圆周率π
24.4 弧长和扇形面积
实验与探究设计跑道
数学活动
小结
复习题24
第二十五章概率初步
25.1 随机事件与概率
25.2 用列举法求概率
阅读与思考概率与中奖
25.3 用频率估计概率
实验与探究π的估计
数学活动
小结
复习题25。

人教版数学九年级上册21

第二十一章一元二次方程满招损，谦受益。

《尚书》怀辰学校陈海峰组长21.3 实际问题与一元二次方程第3课时几何图形与一元二次方程学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 一、知识链接用长为60m 的篱笆围一个矩形的菜园.宽AD 为x m.用含x 的代数式填空：（1）如图①，AB =_________m,S 矩形ABCD =___________;（2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB =_________m,S 矩形ABCD =___________;（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB =_________m,S 矩形ABCD =______.图① 图② 图③二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封自主学课堂探D A BC面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？【变式题1】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题2】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题3】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题4】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m的围栏围成总面积为200m2的三大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m的围栏围成面积为600m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为少时，猪舍面积为80平方米？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x 表示出来，后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.三、课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程彩条/小路宽度问题动点面积问题1. 在一幅长80m，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0D．x2－65x－35=02.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？当堂检4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9 cm²？参考答案自主学习知识链接(1)(30-x) x(30-x) (2)(30-1.5x) x(30-1.5x) (3)(60-3x) x(60-3x)课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为：11(279):(217)9(3):7(3)9:7.22a a a a 设上下边衬的9x cm ，左右边衬宽为7x cm ，则中央的矩形的长为(27-18x )cm ，宽为(21-14x )cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程3(2718)(2114)2721,4x x 整理得16x 2-48x +9=0，解方程得12633633,44x x （不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为6339 1.8,4左右边衬的宽度为6337 1.4.4例1 方法一：解：设道路的宽为x 米，依题意得20×32-32x -20x +x 2=540,解得 x 1=2，x 2=50.当x =50时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取x =2.答：道路的宽为2米.方法二：解：设道路的宽为x 米，依题意得(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50.当x =50时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取x =2.答：道路的宽为2米.【变式题1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去）.∴x =2.答：道路的宽为2米.【变式题2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-x )=540，解得x 1.45，x （不合题意，舍去）.∴x ≈1.45.答：道路的宽为1.45米.【变式题3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-2x )=540，解得 x 1=1，x 2=25（不合题意，舍去）.∴x =1.答：道路的宽为1米.【变式题4】解：设横、竖小路的宽度分别为3x 、 2x ，于是可列方程(32-4x )(20-6x )=32032,4解得 x 172290.623，x 1722910.713（不合题意，舍去）.∴x ≈0.62.则3x ≈1.86,2x ≈1.24.答：横、竖小路的宽度分别为1.86米、1.24米.例2 解：设AB 长是x m.依题意得 (58-2x )x =200，即x 2-29x +100=0，解得x 1=25，x 2=4.x =25时，58-2x =8，x =4时，58-2x =50.答：羊圈的边长AB 和BC 的长各是25m ，8m 或4m ，50m.【变式题1】解：设AB 长是x m .依题意得(80-2x )x =600，即x 2-40x +300=0，解得x 1=10，x 2=30.x =10时，80-2x =60>25，(舍去)，x =30时，80-2x =20<25. 答：羊圈的边长AB 和BC 的长各是30m ，20m.【变式题2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则平行于住房墙的一边长(25-2x +1)m.由题意得x (25-2x +1)=80，化简，得x 2-13x +40=0，解得x 1=5，x 2=8.当x =5时，26-2x =16>12 (舍去），当x =8时，26-2x =10<12，故所围矩形猪舍的长为10m ，宽为8m.当堂检测1.B2.解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.依题意得5(2x -10)(x -10)=3000，即x 2-15x -250=0.解得 x 1=25，x 2=-10(舍去）.所以 2x =50.答：铁板的长50cm ，宽为25cm.3. 解：设横向彩条的宽度2x cm ,竖彩条的宽度3x cm ，依题意得(20-6x )(30-4x )=400，即6x 2-65x +50=0.解得125,106x x （舍去）.552,332x x .答：横向彩条的宽度53cm ,竖彩条的宽度52cm. 能力提升解：若设出发x s 后可使△PCQ 的面积为9cm ² ,根据题意得AP = x cm ，PC =(6-x )cm ，CQ =2x cm.依题意得 1(6)292x x ，整理，得x 2-6x +9=0，解得x 1= x 2=3.答：点P ，Q 出发3s 后可使△PCQ 的面积为9cm ².【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。