北师大版高二数学第二学期期末试题3

训练试题3本试卷满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、不可以使用计算器.参考公式：回归直线ˆybx a =+，其中1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列论断中错误．．的是 A ．a 、b 、m 是实数，则“am 2>bm 2”是“a >b ”的充分非必要条件； B ．命题“若a >b >0，则a 2>b 2”的逆命题是假命题； C ．向量a ，b 的夹角为锐角的充要条件是a b >0；D ．命题p ：“∃x ∈R ，x 2-3 x +2≥0”的否定为¬p ：“∀x ∈R ，x 2-3x +2<0” 3．已知函数n x y x e =，则其导数'y = A ．1n x nx e -B ．n x x eC ．2n x x eD ．1()n x n x x e -+4．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为A ．3)1(p - B ．31p -C ．)1(3p -D ．)1()1()1(223p p p p p -+-+-5．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅”的充要条件是A ． 2a >-B ．2a ≤-C ．1a >-D ．1a ≥-6．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为A ．720B ．360C ．240D ．1207．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-8．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象 都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <， 有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是 A ． 1 B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）（一）必做题（9～13题） 9．在国家宏观政策的调控下，中国经济已经走向复苏. 统计我市某小型企业在2010年1～5月的收入，得到月份x （月）与收入y （万元）的情况如下表：y 关于x 的回归直线方程为 . 10．()2321d xx -+=⎰ .11．523)1(x x +展开式的常数项是 . 12．已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式 .13．如果对任意一个三角形，只要它的三边,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“和美型函数”.现有下列函数：①()f x =②()sin ,(0,)g x x x π=∈； ③()ln ,[2,)h x x x =∈+∞.其中是“和美型函数”的函数序号为 . （写出所有正确的序号）A（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题得分为最后得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作 l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点DE ，，则线段AE 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16．（13分）用数学归纳法证明：112(1)3(2)1(1)(2).6n n n n n n n ⋅+⋅-+⋅-++⋅=++17．（13分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中60名男大学生中有40人爱好此项运动，女大学生中有20人爱好此项运动，其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，附表：18．（13分）若,x y 都是正实数，且2,x y +> 求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.19．（13分）已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且0m >）有极大值9. （1）求m 的值；（2）若曲线()y f x =有斜率为5-的切线，求此切线方程.20．（14分）投掷四枚不同的金属硬币A B C D 、、、，假定A B 、两枚正面向上的概率均为12，另两枚C D 、为非均匀硬币，正面向上的概率均为(01)a a <<，把这四枚硬币各投掷一次，设ε表示正面向上的枚数.(Ⅰ) 若A B 、出现一枚正面向上一枚反面向上与C D 、出现两枚正面均向上的概率相等，求a 的值；(Ⅱ) 求ε的分布列及数学期望（用a表示）.21．（14分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽4AB=米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ) 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；(Ⅱ) 试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？A B（图1）A B（图2）训练试题3答案一、选择题：CCDBC DDB二、填空题：9. 9917+=x y ； 10. 4 ； 11. 10 ； 12. 212131211n n >-++++； 13. ①③ ； 14．θρcos 4=. 15．3 ．三、解答题： 16．证明：（1）当1n =时，左边111,=⨯=右边11231,6=⨯⨯⨯=等式成立.（2）假设当*()n k k N =∈时等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2),6k k k k k k k ⋅+⋅-+⋅-++⋅=++那么，1(1)23(1)2(1)1(1)[12(1)3(2)1](1)(2)211(1)(2)(1)(2)621(1)(2)(3)6k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅++⋅+⋅-++⋅++⋅=++⋅+⋅-+⋅-++⋅++-+-+++++=+++=+++即当1n k =+时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立17.2110(40302020)7.8.60506050K ⨯⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”18．证明：假设12x y +<和12yx +<都不成立，则有21≥+yx 和21≥+x y 同时成立， 因为0x >且0y >，所以y x 21≥+且x y 21≥+两式相加，得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾.因此12x y +<和12yx+<中至少有一个成立. 19．解：（1）'22()32()(3)0f x x mx m x m x m =+-=+-=则x m =-或13x m =.当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：A BO从而可知，当x m =-时，函数()f x 取得极大值9，即()19,2.f m m m m m -=-+++=∴=（2）由（1）知，32()241,f x x x x =+-+ 依题意知'2()3445,f x x x =+-=-11.3x x ∴=-=-或又168(1)6,(,327f f -=-=所以切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+ 即510x y +-=或13527230.x y +-=20．解：（Ⅰ）由题意，得21121222.a a ⨯-=∴=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………3分（Ⅱ）ε=0，1，2，3，4. …………………4分020222211(0)(1)(1)(1)24;p C C a a ε==--=-…………5分10202122221111(1)(1(1)(1)(1)(1)2222p C C a C C a a a ε==--+--=-；……………6分22021102222222221111(2)(1)(1(1)2222()(1)p C C a C C a a C C aε==-+--+-21(122);4a a =+-…………………………7分 2211222222111(3)(1)(1,2222(a p C C a C C a a ε==-+-=…………………………8分222222211(4).24()p C C a a ε===………………………………………9分ε的数学期望为：221111(1)2(122)3421,2424a E a a a a a ε=⨯-+⨯+-+⨯+⨯=+21．解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系则(2,2),(2,2)A B -设抛物线的方程为22(0)x py p =>，将点(2,2)B 代入得1p =所以抛物线弧AB 方程为22x y =（2x -≤≤（2）解法一： 设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t(0)t >不妨则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-令0y =，得2t x =， 令2y =，得22t x t =+，所以梯形面积1222()222()222t t S t t t ⎡⎤=⋅++⋅⋅=+≥⎢⎥⎣⎦当仅当2t t=，即t =""=成立此时下底边长为2(2+=答：当梯形的下底边长等于解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t (0)t >不妨 则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：222222220222(())(2())2222t t t t x x t tS dx tx dx tx dx +⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ -----10分22222222222022222()2()2222t t t t tt t x x t t dx dx tx dx dx tx dx ++⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰222222202222()22t t t tt x t dx dx tx dx ++⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2222422222(2)()()(3222222422t t t t t t t t t t t t ⎡⎤=+⋅+--⋅++⋅++⋅-⋅⎢⎥⎣⎦2823t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦163≥当仅当2t t =，即t =""=成立，此时下底边长为=答：当梯形的下底边长等于解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为2a 米，则一腰过点(,0),(0)a a >，可设此腰所在直线方程为(),(0)y k x a k =->， 联立2()12y k x a y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx ka -+=，令2480k ka ∆=-=，得2k a =，或0k =（舍）， 故此腰所在直线方程为2()y a x a =-，令2y =，得1x a a=+，故等腰梯形的面积：1112[()]22(2)2S a a a a a=⨯++⨯=+≥当且仅当12a a =，即2a =时，有min S =此时，下底边长12()2(2a a +==答：当梯形的下底边长等于。