【好题】高二数学上期末试卷含答案(1)
2023-2024学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π32．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．323．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．945．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定6．已知M是椭圆x23+y2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）A．2B．92C．3√22D．√3−√27．已知定义在R上的可导函数f（x），其导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞0，且f（1）＝e，则不等式e2x f（x）﹣e3＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，e）8．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD＝λDB，∠BAD=π4．若tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（）A．√10−34B．√10+34C．√10+14D．√10−14二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等C．若l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 10．椭圆C 1：y 225+x 29=1与双曲线C 2：x 29+k −y 27−k=1（﹣9＜k ＜7）（ ）A ．有相同的焦点B ．有相等的焦距C ．有相同的对称中心D ．可能存在相同的顶点11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（ ） A ．函数f （x ）的极大值为1eB ．函数f （x ）在点（1，0）处的切线方程为y ＝x ﹣1C ．20232024＜20242023D ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝x α无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)12．已知无穷数列{a n }，a 1＝1．性质s ：∀m ，n ∈N *，a m +n ＞a m +a n ；性质t ：∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，下列说法中正确的有（ ） A ．若a n ＝3﹣2n ，则{a n }具有性质s B ．若a n ＝n 2，则{a n }具有性质t C ．若{a n }具有性质s ，则a n ≥nD ．若等比数列{a n }既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为（2，+∞） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 .（写出一条直线即可） 14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．20．（12分）已知点A（4，0），P是圆C：x2+y2＝4上的一动点，点Q（x，y）是线段AP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）已知M，N是直线l：x﹣y+2＝0上两个动点，且MN＝6．若∠MQN恒为锐角，求线段MN中点G的横坐标取值范围．21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π3解：直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，则直线的倾斜角为3π4．故选：C．2．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．32解：设等比数列{a n}的公比为q，a1＝2，a3＝8，则q2=a3a1=82=4，故a5=a3q2=8×4=32．故选：D．3．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s解：位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则S'（t）＝2t，当t＝5时，S'（5）＝2×5＝10m/s．故选：A．4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．94解：由已知可得m＞0，且双曲线的焦点在x轴上，a＝2，b=√m，又双曲线的渐近线为y＝±ba=±√m2x，双曲线C：x24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，即√m2=34，m=94，故选：D．5．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定解：由kx﹣y+k﹣1＝0，得k（x+1）﹣（y+1）＝0，因为k 为实数，所以{x +1=0y +1=0，解得{x =−1y =−1，所以直线l 恒过定点（﹣1，﹣1），因为（﹣1）2+（﹣1）2＝2＜4，所以定点在圆内，所以直线与圆相交． 故选：A ． 6．已知M 是椭圆x 23+y 2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）A ．2B ．92C ．3√22D ．√3−√2解：设M （√3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π），设A 为椭圆的上顶点，则A （0，1）， 所以|MA |=√(√3cosθ)2+(sinθ−1)2=√4−2(sinθ+12)2+2×14，当sin θ=−12时，|MA |max =3√22．故选：C ．7．已知定义在R 上的可导函数f （x ），其导函数为f ′（x ），若2f （x ）+f ′（x ）＞0，且f （1）＝e ，则不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（ ） A ．（1，+∞）B ．（e ，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，e ）解：构造函数g （x ）＝e 2x f （x ），该函数的定义域为R ， 则g '（x ）＝2e 2x f （x ）+e 2x f '（x ）＝e 2x [2f （x ）+f '（x ）]＞0， 所以函数g （x ）在R 上为增函数，且g （1）＝e 2f （1）＝e 3，由e 2x f （x ）﹣e 3＞0，可得e 2x f （x ）＞e 3，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1， 所以不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（1，+∞）． 故选：A ．8．在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，CD ＝λDB ，∠BAD =π4．若tan ∠ACB 的最大值为2，则常数λ的值为（ ） A ．√10−34B ．√10+34C ．√10+14D ．√10−14解：令BD ＝2，则CD ＝λDB ＝2λ且0≤λ≤1， 则△ABD 外接圆半径为r =BD2sin∠BAD =√2，若B （﹣1，0），D （1，0），△ABD 的外接圆方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝2，所以{(m +1)2+n 2=2(m −1)2+n 2=2⇒⇒{m =0n =±1，令圆心（m ，n ）为（0，1）， 即点A 在圆x 2+（y ﹣1）2＝2被BD 分割的优弧上运动，如图，要使tan ∠ACB 最大，只需AC 与圆相切，易知C （1+2λ，0）， 则|AC|=√(1+2λ)2+1−2=2√λ(λ+1)， 而|BC |＝2（λ+1），由圆的性质有∠DAC ＝∠B ， 在△ABC 中，|AC|sin∠B=|BC|sin(∠B+π4)，∠ACB =π−(2∠B +π4)=3π4−2∠B ，显然 ∠B ＜3π8，由tan ∠ACB =tan(3π4−2∠B)=2，则1+tan2∠B tan2∠B−1=2⇒tan2∠B =3， 所以2tan∠B 1−tan 2∠B=3⇒3tan 2∠B +2tan∠B −3=0，可得tan ∠B =√10−13（负值舍），故sin ∠B =10−1√20−2√10cos∠B =3√20−2√10，而√λsin∠B =√λ+1sin(∠B+π4)，所以√λsin∠B=√2(λ+1)sin∠B+cos∠B ⇒λsin 2∠B =2(λ+1)1+2sin∠Bcos∠B，整理得11−2√10=7+2√10，则λ=104(√10−1)=√10−14．故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知l 1，l 2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A ．若l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行 B ．若l 1，l 2平行，则l 1，l 2的斜率相等C ．若l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1，则l 1，l 2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 解：l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行，故A 正确； l 1，l 2平行，该两条直线斜率可能不存在，故B 错误；l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直，故C正确；l1，l2垂直，则l1，l2的斜率可能不存在，故D错误．故选：AC．10．椭圆C1：y225+x29=1与双曲线C2：x29+k−y27−k=1（﹣9＜k＜7）（）A．有相同的焦点B．有相等的焦距C．有相同的对称中心D．可能存在相同的顶点解：椭圆C1：y225+x29=1的焦点为（0，±4），焦距为8，对称中心为坐标原点，左右顶点为（±3，0），上下顶点为（0，±5），双曲线C2：x29+k −y27−k=1（﹣9＜k＜7）的焦点在x轴上，焦距为8，对称中心为坐标原点，当k＝0时，双曲线C2的顶点为（±3，0），综上，椭圆C1与双曲线C2的焦点不同，焦距相同，对称中心相同，顶点可能相同．故选：BCD．11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的极大值为1 eB．函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1C．20232024＜20242023D．若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)解：易知函数f(x)=lnxx的定义域为（0，+∞），则f′(x)=1−lnxx2，令f′（x）＝0可得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，可得f（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，可得f（x）在（e，+∞）上单调递减，对于A，由单调性可得f（x）在x＝处取得极大值f(e)=1e，即A正确；对于B，易知切线斜率为k=f′(1)=1−ln112=1，所以切线方程为y＝x﹣1，即B正确；对于C，利用f(x)=lnxx的单调性可得f（2023）＞f（2024），即ln20232023＞ln20242024，也即2024ln2023＞2023ln2024，可得ln20232024＞ln20242023，所以20232024＞20242023，即C错误；对于D，若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，即方程lnxx=xα没有实数根，也即xα+1﹣lnx＝0无解，令g（x）＝xα+1﹣lnx，则g′(x)=(α+1)xα−1x=(α+1)xα+1−1x，若α+1≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，不妨取α＝﹣2，则g（x）＝x﹣1﹣lnx，易知g（1）＝1﹣ln1＞0，g（e2）＝e﹣2﹣lne2＝e﹣2﹣2＜0，此时g（x）在（1，e2）上有解，不合题意，若α+1＞0，令g′（x）＝0，解得x=(1α+1)1α+1，所以当0＜x＜(1α+1)1α+1时，g′（x）＜0，此时g（x）在0＜x＜(1α+1)1α+1时单调递减，当x＞(1α+1)1α+1时，g′（x）＞0，此时g（x）在x＞(1α+1)1α+1时单调递增，此时g（x）在x=(1α+1)1α+1处取得极小值，也是最小值，即g(x)min=g((1α+1)1α+1)=1α+1−1α+1ln(1α+1)=1α+1(1−ln(1α+1))=1α+1(1+ln(α+1))，依题意可得g(x)min=1α+1(1+ln(α+1))＞0，所以1+ln（α+1）＞0即可，解得α＞1e−1，即α的取值范围是(1e−1，+∞)，所以D正确．故选：ABD．12．已知无穷数列{a n}，a1＝1．性质s：∀m，n∈N*，a m+n＞a m+a n；性质t：∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1＞a m+a n，下列说法中正确的有（）A．若a n＝3﹣2n，则{a n}具有性质sB．若a n＝n2，则{a n}具有性质tC．若{a n}具有性质s，则a n≥nD．若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为（2，+∞）解：由a n＝3﹣2n，可得a m+n﹣a m﹣a n＝3﹣2（m+n）﹣3+2m﹣3+2n＝﹣3＜0，即有a m+n＜a m+a n，故A错误；由a n＝n2，可得∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1﹣a m﹣a n＝（m﹣1）2+（n+1）2﹣m2﹣n2＝2n﹣2m+2＞0，即a m﹣1+a n+1＞a m+a n，故B正确；若{a n}具有性质s，可得a1+n＞a1+a n＝1+a n，则a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）≥1+1+...+1＝n，故C正确；若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，设公比为q，则q m+n﹣1＞q m﹣1+q n﹣1，令m＝n＝1，可得q＞2， 又1q m+1qn＜12m+12n≤12+12=1恒成立，又q ＞2时，∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，可得q m ﹣2+q n ﹣q m ﹣1﹣q n ﹣1＝（q ﹣1）（q n ﹣1﹣q m ﹣2）＞0恒成立， 即有a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，故其公比的取值范围是（2，+∞），故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0） .（写出一条直线即可）解：设圆心到直线的距离为d ，由圆的弦长公式得：2√4−d 2=2√3，所以d ＝1，当直线的斜率不存在时，直线方程为：x ＝1，此时圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， 则d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，所以直线l 的方程为：34x −y −34+2=0，即3x ﹣4y +5＝0，所以直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y +5＝0． 故答案为：x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0）．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 2 ． 解：f （x ）＝2cos （x ﹣1），则f '（x ）＝﹣2sin （x ﹣1），f ''（x ）＝﹣2cos （x ﹣1）， 故f '（1）＝﹣2sin0＝0，f ''（1）＝﹣2， 故K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=2．故答案为：2．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 56 ．解：设该数列的第6项为x ，对前6项作差可得，3，6，10，15，x ﹣35，对该算式继续作差可得，3，4，5，x ﹣50， 则x ﹣50＝6，解得x ＝56． 故答案为：56． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 √55． 解：由椭圆的方程可得F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 因为√a 2−b 2=bc ，由题意可设直线AB 过椭圆的下顶点A （0，﹣b ）， 由题意可设直线AB 的方程为y =bc（x ﹣c ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =bc (x −c)x 2a 2+y 2b2=1，整理可得（a 2+c 2）x 2﹣2a 2cx ＝0，解得x B =2a 2c a 2+c 2，y B =b 3a 2+c 2，即B （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c2），因为以AB 为直径的圆过F 1，所以F 1A →•F 1B →=0， 即（c ，﹣b ）•（2a 2c a 2+c 2+c ，b 3a 2+c 2）＝0，整理可得2a 2c 2a 2+c2+c 2=b4a 2+c 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以2a 2c 2+a 2c 2+c 4＝a 4﹣2a 2c 2+c 4，即a 2＝5c 2， 所以椭圆的离心率e =c a =1√5=√55． 故答案为：√55． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n ＝a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设等比数列{b n }的公比为q ， 由b 2＝2，b 3＝4 可得q =b 3b 2=2，b n =b 2q n−2=2⋅2n−2=2n−1， 设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝b 1＝1，a 8＝b 4＝8．所以d =a 8−a 18−1=8−18−1=1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n，所以a n＝n，b n=2n−1．（2）c n=a n−b n=n−2n−1，所以数列{c n} 的前n项和为：c1+c2+…+c n＝（1﹣1）+（2﹣2）+…+（n﹣2n）＝（1+2+3+…+n）﹣（1+2+22+…+2n）=n(n+1)2−1−2n1−2=n2+n2−2n+1．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，所以a＝9，b＝1．（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．解：（1）∵S n+1=2S n+n+1(n∈N∗)①，∴S n＝2S n﹣1+n（n≥2）②，由①﹣②得：a n+1＝2a n+1（n≥2），∴a n +1+1＝2（a n +1）（n ≥2），即b n +1＝2b n （n ≥2）， 在①中令n ＝1，得S 2＝2S 1+2，即a 1+a 2＝2a 1+2， 而a 1＝1，故a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1），即b 2＝2b 1， 又∵b 1＝2≠0，∴b n+1b n=2(n ∈N ∗)，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =2n ；（2）证明：∵b n =2n ， ∴c n =14(log 2b n )2−1=14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)＜12，又∵c n =14n 2−1＞0，∴T n ≥c 1=13，∴13≤T n ＜12． 20．（12分）已知点A （4，0），P 是圆C ：x 2+y 2＝4上的一动点，点Q （x ，y ）是线段AP 的中点． （1）求点Q 的轨迹方程；（2）已知M ，N 是直线l ：x ﹣y +2＝0上两个动点，且MN ＝6．若∠MQN 恒为锐角，求线段MN 中点G 的横坐标取值范围． 解：（1）设P （x ′，y ′），则由题意得{x =x′+42y =y′2，即{x ′=2x −4y′=2y ， 因为点P 在圆C ：x 2+y 2＝4上，所以x ′2+y ′2＝4，即（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4， 所以点Q 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1． （2）设G （a ，b ），则b ＝a +2，当P 在圆C 上运动时，∠MQN 恒为锐角，等价于以MN 中点G 为圆心，3为半径的圆与圆：（x ﹣2）2+y 2＝1外离． 所以√(a −2)2+b 2＞3+1，解得a ＜﹣2或a ＞2，所以线段MN 中点G 的横坐标取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．21．（12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A （1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．（1）解：设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝﹣2py（p＞0），将A坐标代入y2＝2px，得p＝2，所以y2＝4x；将A坐标代入x2＝﹣2py，得p=14，所以x2=−12y，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或x2=−12 y．（2）证明：由抛物线C开口向右得标准方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，设P（﹣1，m），Q（﹣1，﹣m），（m≠±2），则l AP：y+2=m+2−2(x−1)，即x=−2m+2y+m−2m+2，由{y+2=m+2−2(x−1)y2=4x，得y2+8m+2y−4(m−2)m+2=0，所以y M⋅y A=−4(m−2)m+2，所以y M=2(m−2)m+2，x M=−2m+2y M+m−2m+2=(m−2m+2)2，所以M(m−2m+2)2，2(m−2)m+2)，用﹣m代m，得N(m+2m−2)2，2(m+2)m−2)，则k MN=m2−4 m2+4，所以l MN：y−2(m−2)m+2=m2−4m2+4[x−(m−2m+2)2]，化简得l MN：y=m2−4m2+4(x+1)，所以直线MN过定点（﹣1，0）．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．解：（1）当a＝﹣1，b＝1时，f（x）＝e x+lnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x+1x＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）＞0的解集为（1，+∞）．（2）证明：当a＝b＝0时，令m(x)=f(x)−12x2−x−1=e x−12x2−x−1(x＞0)，则m'（x）＝e x﹣x﹣1，令n（x）＝m（x），则n'（x）＝e x﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴n（x）在（0，+∞）上单调递增，又n（0）＝0，∴n（x）＞n（0）＝0，即m'（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又m（0）＝0，∴m（x）＞m（0）＝0，∴对任意x∈（0，+∞），f(x)＞12x2+x+1成立．（3）当b＝1时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x−ax=xe x−ax，①当a≤0时，f（x）＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点；②当a＞0时，令g（x）＝f（x），g′(x)=e x+ax2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令h（x）＝xe x﹣a，（x＞0），则h（0）＝﹣a＜0，h（a）＝a（e a﹣1）＞0，又∵h（x）＝xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，∴存在唯一x0∈（0，a），使得h（x0）＝0，即f'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，f'（x0）＜0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f'（x0）＞0，∴f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴f（x）极小值＝f（x0），若x0＝1，则f（x）极小值＝f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点，此时a=x0e x0=e，若0＜x0＜1，则f（x）在（x0，+∞）上递增且f（1）＝0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0．当x∈（0，x0）时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e＞﹣alnx﹣e，∴f(e−ea)＞0，∵a＞0，∴0＜e−ea＜1，又x∈[x0，1）时，f（x）＜0，e−ea∈(0，x0)，∴f（x）在（0，x0）上仅有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(0，e)，若x0＞1，则f（x）在（0，x0）上递减且f（1）＝0，∴f（x）在（0，x0）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0，当x∈（x0，+∞）时，由（2）可知，e x＞12x2+x+1＞x，两边取对数得x＞lnx，又e x＞12x2+x+1＞12x2，∴f(x)=e x−alnx−e＞12x2−ax−e，不妨取x1=max{2x0，a+√a2+2e}，则x1∈（x0，+∞）且f（x1）＞0，又∵f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点．∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(e，+∞)．综上，当a≤0或a＝e时，函数f（x）有1个零点；当a＞0且a≠e时，函数f（x）有2个零点．。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。
A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。
A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。
A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。
A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。
7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。
解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。
8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。
解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。
9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。
解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省宣城市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．42．数列{a n }满足a n+1=11−a n ，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．33．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝04．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．376．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1）7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(−2√2，0)，F 2(2√2，0)，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝4，则条件p 可以是（ ） A ．实轴长为4 B ．双曲线C 为等轴双曲线 C ．离心率为√22D ．渐近线方程为y ＝±x10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0．则下列命题中正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点（3，1）B ．圆C 被y 轴截得的弦长为4 C ．直线l 与圆C 恒相离D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为2x ﹣y ﹣5＝0 11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1E C 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ ．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 ．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 ． 16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +2＝2a n +1﹣a n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{2a n a n+1}的前n 项和S n ． 18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1＝2，∠ABC ＝90°，M 是BC 的中点． （1）求证：A 1B ∥面AMC 1； （2）求点A 1到平面AMC 1的距离．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知正项数列{a n}中，√a1+√a2+⋯+√a n=n(n+1)2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n={√a n，n为奇数n⋅2√a n，n为偶数，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝3|PF1|．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上下顶点分别为A，B，过点（0，3）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程．2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4解：因为两条直线平行，所以21=−m −2≠−11，解得m ＝4．故选：D ．2．数列{a n }满足a n+1=11−a n，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．3解：由题可知，a 2=11−a 1=11−3=−12，a 3=11−a 2=11−(−12)=23，a 4=11−a 3=11−23=3=a 1， ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，∴a 2024=a 2+3×674=a 2=−12．故选：C ．3．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝0解：由（x +3）2+y 2＝4可知圆心为（﹣3，0）， 又因为直线l 与直线x +y +2＝0垂直， 所以直线l 的斜率为k ＝1， 由点斜式得直线l ：y ﹣0＝x +3， 化简得直线l 的方程是x ﹣y +3＝0． 故选：D ．4．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：如图所示：由于AG →=2GE →，故FG →−FA →=2(FE →−FG →)，整理得3FG →=2FE →+FA →；故FG →=13AB →−23AC →−12AA 1→．故选：A ．5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．37解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝4，则有a 4+a 5+a 6＝q 3（a 1+a 2+a 3）＝q 3×S 3＝8，变形可得q 3＝2，则S 9S 6=a 1(1−q 9)1−q a 1(1−q 6)1−q=1−q 91−q 6=73． 故选：B ．6．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1） 解：点A （﹣1，1，1），点B （1，﹣1，1），则AB →=(2，−2，0)，对于A ，AP →=(4，−4，0)，则AP →=2AB →，且有公共点A ，故点P 在直线l 上，故A 正确； 对于B ，AP →=（﹣1，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故B 错误； 对于C ，AP →=（2，﹣4，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故C 错误； 对于D ，AP →=（4，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故D 错误． 故选：A ．7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：如图，过点A 作直线a ′∥a ，过点E 作EB ∥AA ′，交直线a 于点B ，连接BF ，由AA ′⊥a ，a ′∥a ，得AA ′⊥a ′，结合AA ′⊥b ，且a ′、b 是平面ABF 内的相交直线，可得AA ′⊥平面ABF ，而EB ∥AA ′，所以EB ⊥平面ABF ，结合BF ⊂平面ABF ，可得EB ⊥BF ． 根据题意得BE ＝AA ′＝6，EF ＝7，在Rt △EBF 中，FB =√EF 2−BE 2=√13， 设异面直线a 、b 所成的角为θ，则∠BAF ＝θ，由AB ＝A ′E ＝3，根据余弦定理得cosθ=AB 2+AF 2−FB 22AB×AF =9+16−1324=12，结合0＜θ＜π2，可得θ=π3，即异面直线a 、b 所成的角为π3．故选：C ．8．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63解：因为3tan A +3tan B +2tan C ＝0可得3sinA cosA +3sinB cosB =2×sin(A+B)cos(A+B)，即3(sinAcosB+sinBcosA)cosAcosB=2×sin(A+B)cos(A+B)，而在三角形中，sin A cos B +cos A sin B ＝sin （A +B ）≠0，所以上式可得3cos （A +B ）﹣2cos A cos B ＝0 而cos （A +B ）＝cos A cos B ﹣sin A sin B ，所以可得cos A cos B ＝3sin A sin B ，即tan A •tan B =13，由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），设C （x 0，y 0），可得x02a2+y02b2=1，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：在△ACD中，tan A=y0x0+a，在△ABD中，tan B=y0a−x0，所以tan A•tan B=y0x0+a•y0a−x0=y02a2−x02=b2(1−x02a2)a2−x02=b2a2，所以可得b2a2=13，所以离心率e=ca=√1−b2a2=√1−13=√63．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(−2√2，0)，F2(2√2，0)，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为x2﹣y2＝4，则条件p可以是（）A．实轴长为4B．双曲线C为等轴双曲线C．离心率为√22D．渐近线方程为y＝±x解：设该双曲线标准方程为x2a2−y2b2=1，则c=2√2，对于A选项，若实轴长为4，则a＝2，∴b2＝c2﹣a2＝4，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a＝b，又c=2√2，a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意；对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为y＝±x，则a＝b，结合a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意，故选：ABD．10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则下列命题中正确的有（）A．直线l恒过定点（3，1）B．圆C被y轴截得的弦长为4C．直线l与圆C恒相离D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0解：将直线l的方程整理为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）＝0，令{x+y−4=02x+y−7=0，解得{x=3y=1，则无论m 为何值，直线l 过定点D （3，1），故A 正确；令x ＝0，则（y ﹣2）2＝24，解得y =2±2√6，故圆C 被y 轴截得的弦长为4√6，故B 错误； 因为（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25，所以点D 在圆C 的内部，直线l 与圆C 相交，故C 错误；圆心C （1，2），半径为5，|CD|=√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，此时直线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0，故D 正确． 故选：AD ．11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 解：由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =152，化简整理，得{a 1+2d =22a 1+2d =5，解得{a 1=3d =−12，故选项B 正确； ∴a n ＝3−12•（n ﹣1）=−12n +72，故选项A 错误；S n ＝3n +n(n−1)2•（−12）=−n 2+13n4，故选项C 正确； ∵令a n ＞0，即−12n +72＞0，解得n ＜7，令a n ＝0，即−12n +72=0，解得n ＝7，令a n ＜0，即−12n +72＜0，解得n ＞7，∴|a n |={a n ，n ≤7−a n ，n ＞7，∴数列{|a n |}的前20项和为：|a 1|+|a 2|+…+|a 20| ＝a 1+a 2+…+a 7﹣a 8﹣a 9﹣…﹣a 20 ＝a 1+a 2+…+a 7﹣（a 8+a 9+…+a 20） ＝S 7﹣（S 20﹣S 7） ＝2S 7﹣S 20＝2×−72+13×74−−202+13×204＝56，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1EC 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21解：对于A ，连结D 1E ，并延长交DC 于F ，CF ＝4，连AF 交BC 于G 点，则G 为BC 中点，连D 1G ， 由四棱台的结构可知A 1D 1∥AD ，AD ∥BC ，所以A 1D 1∥BG ，A 1D 1＝BG ， 所以四边形A 1BGD 1为平行四边形，A 1B ∥D 1G ，又因为A 1B ⊄平面AD 1E ，D 1G ⊂平面AD 1E ，所以A 1B ∥面AD 1E ，选项A 正确； 对于B ，设四棱台的高为h ，若E 为CC 1中点，则CF ＝2，CG =13CB ，V 多面体ACDD 1EG =V 三棱锥D 1−AEF −V 三棱锥E ﹣CGF =13×12×4×6•h −13×12×43×2•12h =349h ， V 四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1=13(16+4+8)⋅ℎ=283ℎ，所以V 上=283ℎ−349ℎ=509ℎ，所以V 小V 大=1725，选项B 错误；对于C ，DA →+BB 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+A 1B 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+DC →=DA →+AA 1→=DA 1→，选项C 正确；对于D ，连接AC 、BD 交于点P ，连接D 1P ，B 1D 1，由四棱台的结构特征可得B 1D 1∥BP ，B 1D 1＝BP ， 所以四边形BPD 1B 1为平行四边形，所以BB 1∥D 1P又BB 1⊄平面AD 1C ，D 1P ⊂平面AD 1C ，所以BB 1∥平面AD 1C ， 所以V B 1−AD 1C =V B−AD 1C =V D 1−ABC ，V D−AD 1C =V D 1−ADC ，所以V D 1−ABC =V D 1−ADC ，所以点D 、B 1到平面AD 1C 的距离相等，设直线DB 1与面AD 1C 所成角为θ，则sinθ=ℎDDO =ℎB 1OB 1，所以DO ＝OB 1，选项D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ 4 ．解：因为等差数列{a n }中，S n n=a 1+(n−1)d2，又S 77−S 33=4，所以a 1+3d ﹣a 1﹣d ＝2d ＝4，即d ＝2，则a 5﹣a 3＝2d ＝4．故答案为：4．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 √2 ． 解：圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的方程相减得：x +y ﹣1＝0， 由圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0），半径r 为1， 且圆心（0，0）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =1√2，则公共弦长为2√1−12=√2．故答案为：√2．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 x +y +z ﹣3＝0 ． 解：根据题意，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．P 0P →=（x ﹣1，y ﹣1，z ﹣1），平面α经过点P 0，且以u →为法向量，则有u →•P 0P →=1×（x ﹣1）+1×（y ﹣1）+1×（z ﹣1）＝x +y +z ﹣3＝0．故点P 的坐标满足的关系式为x +y +z ﹣3＝0． 故答案为：x +y +z ﹣3＝0．16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 3+2√2 ．解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，由抛物线的定义，1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，所以|MF|+2|NF|＝（|MF|+2|NF|）（1|MF|+1|NF|）＝3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2√2，当且仅当|MF|=1+√2，|NF|=1+√22时等号成立．故答案为：3+2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2a n a n+1}的前n项和S n．解：（1）因为a n+2＝2a n+1﹣a n，所以a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，故数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的公差为d，又因为a1＝1，a2＝3，即1+d＝3，解得公差d＝2，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）记b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，S n=b1+b2+b3+⋯+b n=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1＝2，∠ABC＝90°，M是BC的中点．（1）求证：A1B∥面AMC1；（2）求点A1到平面AMC1的距离．解：（1）证明：连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OM ， 在△A 1BC 中，OM 是三角形 A 1BC 的中位线， ∴OM ∥A 1B ，又∵OM ⊂平面 AMC 1，∴A 1B ∥平面 AMC 1． （2）∵ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°， ∴BA ，BC ，BB 1 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），C （，2，0，0），A （0，2，0），M （1，0，0），C （2，0，1），B 1（0，0，1），A 1（0，2，1），设平面AMC 1的法向量为 n →=(x ，y ，z)，AA 1→=(0，0，1)，AM →=(1，−2，0)，C 1M →=(−1，0，−1)， ∴{n →⋅C 1M →=x −2y =0n →⋅AM →=−x −z =0，令x ＝2，得n →=(2，1，−2)，AA 1→=(0，0，1)，设点A 1到平面AMC 1的距离为d ， 则点A 1到平面AMC 1的距离为d =|AA 1→⋅n →||n →|=|0×2+0×1+1×(−2)|√4+1+4=23． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程． 解：（1）因为|EF 1|﹣|EF 2|＝2， 又F 1（﹣2，0），F 2（2，0），所以点E 的轨迹是F 1，F 2为焦点的双曲线右支， 此时2c ＝4，2a ＝2，解得a ＝1，c ＝1，则b 2＝c 2﹣a 2＝3， 故C 的方程为x 2−y 23=1(x ≥1)； （2）易知直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my +2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my +2x 2−y 23=1，消去x 并整理得（3m 2﹣1）y 2+12my +9＝0，此时3m 2﹣1≠0， 由韦达定理得y 1+y 2=−12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， 因为MF 2→=2F 2N →，所以（2﹣x 1，﹣y 1）＝2（x 2﹣2，y 2），解得﹣y 1＝2y 2， 所以y 2=12m 3m 2−1且−2y 22=93m 2−1， 即−2×144m 2(3m 2−1)2=93m 2−1，解得m =±√3535． 故直线l 的方程为35x ±√35y −70=0．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．（1）证明：∵AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，BC ∩BD ＝B ，∴AC ⊥平面BCD ， ∵ACC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， 取BC 的中点O ，AB 的中点H ，连接OD 、OH 、EH ， ∵BD ＝CD ，∴DO ⊥BC ，又DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，∴DO ⊥平面ABC ，又OH ∥AC ，OH =12AC ，DE ∥AC ，DE =12AC ，∴OH ∥DE 且OH ＝DE ，∴四边形OHED 为平行四边形，∴EH ∥OD ， ∵DO ⊥面ABC ，∴EH ⊥平面ABC ， 又∵EH ⊂面ABE ，∴平面ABC ⊥平面ABC ． （2）解：∵AC ⊥BC ，OH ∥AC ，则OH ⊥BC ， ∵OD ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OH 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0）、B （0，1，0）、C （0，﹣1，0）、E(1，0，√2)、H （1，0，0）， HE →=(0，0，√2)，AB →=(−2，2，0)，设平面ABE 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m ⋅HE →=√2z 1=0m →⋅AB →=−2x 1+2y 1=0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝0，可得平面ABE 的法向量为m →=(1，1，0)， 设在线段BC 上存在点F （0，t ，0）（﹣1≤t ≤1）， 使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39， 设平面AEF 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)， AF →=(−2，t +1，0），AE →=(−1，1，√2)， 由{n →⋅AF →=−2x 2+(t +1)y 2=0AE →=−x 2+y 2+√2z 2=0，取x 2=√2(t +1），y 2＝2√2，z 2＝t ﹣1，可得平面AEF 的法向量为n →=(√2(t +1)，2√2，t −1)， 由题意可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√2(t+3)|√2⋅√(3t +2t+11=5√39，整理可得3t 2﹣7t +2＝0，解得t =13或t ＝2（舍去），∴F(0，13，0)，则BF =23，∴BF BC =13，综上所述：在线段BC 上存在点F ，满足BFBC =13，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39． 21．（12分）已知正项数列{a n }中，√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n ={√a n ，n 为奇数n ⋅2√a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2， 所以√a 1+√a 2+...+√a n−1=n(n−1)2（n ≥2）， 两式相减有√a n =n(n ≥2)，即a n =n 2(n ≥2)， 因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n−1)2， 令n ＝1有√a 1=1， 所以a 1＝1，满足上式， 所以a n =n 2(n ∈N ∗)；（2）由（1）得b n ={n ，n 为奇数n ⋅2n，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝1+2×22+3+4×24+…+（n ﹣1）+n •2n ＝[1+3+…（n ﹣1）]+（2×22+4×2++…+n •2n ）， 令A ＝1+3+…+（n ﹣1），则A =n2(1+n−1)2=n 24； 令B ＝2×22+4×24+⋯+n •2n ，所以4B ＝2×24+4×26+⋯+n •2n +2， 两式相减得，﹣3B ＝2×22+2×24+2×26+…+2•2n﹣n •2n +2=8−8⋅2n−3−n ⋅2n+2，所以B =89−89⋅2n +n 3⋅2n+2， 所以T n ＝A +B =n 24+89+12n−89•2n；当n 为奇数时，T n ＝T n ﹣1+b n =(n−1)24+89+12n−209•2n ﹣1+n =(n+1)24+89+3n−59•2n +1；所以T n ={(n+1)24+89+3n−59⋅2n+1，n 为奇数n 24+89+12n−89⋅2n，n 为偶数．22．（12分）已知F 1（﹣2，0），F 2（2，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝3|PF 1|． （1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的上下顶点分别为A ，B ，过点（0，3）且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程． （1）解：易知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 因为|PF 2|＝3|PF 1|，所以|PF 1|=a 2，|PF 2|=3a2，①因为PF 1⊥F 1F 2，所以|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，② 联立①②， 解得a 2＝8， 则b 2＝a 2﹣c 2＝4， 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），B （0，﹣2），直线MN 的方程为y ＝kx +3， 不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +3x 28+y 24=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+12kx +10＝0，此时Δ＝64k 2﹣40＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 因为直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−2x 2xy +2=y 1+2x 1x，此时y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=(kx 2+3−2)x 1(kx 1+3+2)x 2=kx 1x 2+x 1kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+x 1+x 2−x 2kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+(x 1+x 2)−x 2kx 1x 2+5x 2，因为x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 所以k101+2k 2+(−12k1+2k 2)−x 2k 101+2k 2+5x 2=−15，解得y =43，故直线BM 与AM 的交点G 在定直线y =43上．。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
2022级高二第一学期期末考试数学试卷及详解
2022级高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD P AC 夹角的余弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =都有1n n c c +>成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1l （直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PF QFTM TN ⋅⋅的值.参考答案：8．D【详解】 1112n n n n n n a a a a a a +-++= 112a =，418a =，∴112a =，41a 1115．99100/0.99【详解】因为2312555a a a ++所以当2n ≥时，21255a a ++将1 与2 式相减得：5nn a 1，的最小距离为d r-=则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),A B P 所以(0,1,3),(3,1,0),PB CB =-= 设平面PBC 的一个法向量(n = 令3z =，则1,3x y =-=，所以联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 后整理为(2022级高二第一学期期末考试数学试卷一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）表示的圆中，当圆面积最小时，此时k =.是边长为43的等边三角形，则251n a +，则{}n b 的前99项和为是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD 弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1（直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于,M N 两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l ，与椭圆。
2023-2024学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．1802．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．103．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+146．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．7207．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣110．若(2x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（ ） A ．a 0＝1 B ．a 0+a 1+a 2+a 3+a 4＝16 C ．a 0+a 2+a 4＝41D ．a 1+a 3＝4011．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A ．A 与D 相互独立 B ．A 与B 相互独立 C ．B 与D 相互独立 D ．A 与C 相互独立12．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点M 是直线x ＝4上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则（ ）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为.（结果用数字作答）14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=2√3，平面α经过点A，且直线AA1与平面α所成的角为30°，过点A1作平面α的垂线，垂足为H，则点A1到平面α的距离为，直线AA1与BH所成角的范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点E是B'C的中点．（1）证明：D′E∥平面A′BD；（2）求直线D′E与平面ABCD所成角的正弦值．18．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）求△AOB的面积．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．180解：C 53+C 54=C 52+C 51=5×42×1+5=15． 故选：A ．2．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．10 解：空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），a →∥b →，则−21=−42=k −1，解得k ＝2．故选：A ．3．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直解：因为k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，所以k 1k 2＝﹣1，所以两条直线垂直． 故选：B ．4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →解：AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则AP →=23AC 1→=23(AB →+BC →+CC 1→)=23(AB →+AD →+AA 1→)=23a →+23b →+23c →．故选：A ．5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+14 解：由题意可得，半圆所在圆的方程为x 2+y 2＝1，半椭圆所在椭圆方程为y 22+x 2=1，把x =√22分别代入圆与椭圆方程，可得A （√22，−√22），B （√22，1）， ∴|AB |=√22+1，又F 到AB 所在直线的距离为√22， ∴△ABF 的面积为12×√2+22×√22=√2+14．故选：D ．6．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．720解：先把6人分为3组，一组3人，一组2人，一组1人，有C 63C 32C 11=60种分法，再把这3组人员分配到甲、乙、丙3个学校支教，所以不同的分法种数为60×A 33=360． 故选：B ．7．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）解：根据题意，圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m ，圆心为（﹣2，2），半径R =√m ， 圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1，圆心为（1，﹣2），半径r ＝1，圆心距d =√9+16=5，若两圆相交，则有|√m −1|＜5＜√m +1，解可得16＜m ＜36，即m 的取值范围为（16，36）． 故选：D ．8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10解：CD →=CA →+AB →+BD →，两边平方得（CD →）2＝（CA →+AB →+BD →）2， 所以|CD →|2=CA →2+AB →2+BD →2+2CA →•AB →+2CA →•BD →+2AB →•BD →，由题可知|AB →|=√3，|CA →|＝1，|BD →|＝2，＜CA →，AB →＞=π2，＜CA →，BD →＞=2π3，＜AB →，BD →＞=π2，所以|CD →|2＝12+（√3）2+22+2•1•√3cos π2+2•1•2•cos 2π3+2•√3•2•cos π2=6，所以|CD →|=√6． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣1 解：因为直线l ：y ＝x ，对于A ：设与l 平行的直线方程为y ＝x +b ，代入A （0，﹣1），得b ＝﹣1， 所以，过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1，故A 正确；对于B ：点A （0，﹣1）关于y ＝x 对称的点的坐标为（﹣1，0），故B 错误； 对于C ：点A 到直线x ﹣y ＝0的距离为√2=√22，故C 正确； 对于D ：设与l 垂直的直线方程为y ＝﹣x +m ，代入A（0，﹣1），得m＝﹣1，所以，过点A与l垂直的直线的方程为y＝﹣x﹣1，故D正确．故选：ACD．10．若(2x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（）A．a0＝1B．a0+a1+a2+a3+a4＝16C．a0+a2+a4＝41D．a1+a3＝40解：对于A，令x＝0得，a0＝（﹣1）4＝1，故A正确；对于B，令x＝1得，a0+a1+a2+a3+a4＝（2×1﹣1）4＝1，故B错误；对于C，D，令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣2﹣1）4＝81，又因为a0+a1+a2+a3+a4＝1，所以两式相加得，2（a0+a2+a4）＝82，两式相减得，2（a1+a3）＝﹣80，所以a0+a2+a4＝41，a1+a3＝﹣40，故C正确，故D错误．故选：AC．11．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A．A与D相互独立B．A与B相互独立C．B与D相互独立D．A与C相互独立解：一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，P（A）=24×23+24×23=23，P（B）=24=12，P（C）=24×13+24×23=12，P（D）=24×13+24×13=13，P（AD）＝0，P（AB）=24×23=13，P（BD）=24×13=16，P（AC）=24×23=13，∵P（AD）≠P（A）P（D），∴A与D不是相互独立事件，故A错误；P（AB）＝P（A）P（B），∴A与B是相互独立事件，故B正确；P（BD）＝P（B）P（D），∴B与D是相互独立事件，故C正确；P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是相互独立事件，故D正确．故选：BCD．12．已知椭圆C：x 24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，且点M是直线x＝4上任意一点，过点M作C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则（）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2解：根据题意可得a＝2，b=√3，c＝1，对A选项，∵△AF1F2的周长为2a+2c＝4+2＝6，∴A选项正确；对B选项，设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则x124+y123=1，∴3x12+4y12=12，同理可得3x22+4y22=12，对x24+y23=1两边关于x求导可得：x2+2y⋅y′3=0，∴y′=−3x4y，∴切线AM方程为y−y1=−3x14y1(x−x1)，∴3x1x+4y1y=3x12+4y12=12，故切线AM方程为3x1x+4y1y＝12，同理可得切线BM的方程为3x2x+4y2y＝12，又切线AM与切线BM都过M（4，t），∴{12x1+4y1t=12 12x2+4y2t=12，∴AB直线方程为12x+4ty＝12，∴AB直线过定点F2（1，0），∴A，F2，B三点共线，∴B选项正确；对C选项，由B选项分析可知AB直线过F2（1，0），∴AB为焦点弦，根据椭圆的几何性质可得焦点弦AB为通径时最短，∴|AB|≥2b2a=3＞2，∴C选项错误；对D选项，如图，由B选项分析可知AB直线斜率为−3 t ，又MF2直线的斜率为t−04−1=t3，∴k AB⋅k MF2=−1，∴AB⊥MF2，在直线AB上取AF′＝AF1，BF1＝BF″，则|AF1′|+|AF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a＝4，同理可得|BF1″|+|BF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4，∴|F1′F2|＝|F1″F2|，又AB⊥MF2，∴∠F1′MF2＝∠F1″MF2，设∠F1MA＝θ，∠F1MF2＝φ，∠F2MB＝γ，∵MA，MB为椭圆C的两条切线，∴根据椭圆的光学性质可得：∠F1′MA＝∠F1MA＝θ，∠F1″MB＝∠F1MB＝φ+γ，又∠F1′MF2＝∠F1″MF2，∴2θ+φ＝γ+φ+γ，∴θ＝γ，∴∠AMF1＝∠BMF2，∴D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为160.（结果用数字作答）解：二项式(x+2x)6的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r（2x）r＝2r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，得r＝3，故常数项是23•C63=160．故答案为：160．14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为25．解：甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件是甲、乙两个机构都没有研究成功，∴甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：P＝1﹣（1−15）（1−14）=25．故答案为：2 5．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为8．解：抛物线y2＝8x，p＝2，焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2．设P 到准线的距离为PD ，（即PD 垂直于准线，D 为垂足），则|P A |+|PF |＝|P A |+|PD |≥|AD |＝8，（当且仅当P 、A 、D 共线时取等号）． 故答案为：8．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=4，AB =2√3，平面α经过点A ，且直线AA 1与平面α所成的角为30°，过点A 1作平面α的垂线，垂足为H ，则点A 1到平面α的距离为 2 ，直线AA 1与BH 所成角的范围为 [30°，60°] ． 解：如图，连接AH ，因为A 1H ⊥α，AH ⊂α，所以A 1H ⊥AH ，所以H 在以AA 1为直径的球面上，又直线AA 1与平面α所成角为30°，而∠A 1AH 即为直线AA 1与平面α所成的角，因此∠A 1AH =30°，因此H 在以AA 1为轴，顶角为60°的圆锥面上，过H 作HO ⊥AA 1于点O ，则HA 1=2，HA =2√3，HO =√3，A 1O =1，AO =3，其中HA 1的长即为A 1到平面α的距离，所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O 为圆心，半径为√3，以AB 为y 轴，AA 1为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，2√3，0)，设H(√3cosθ，√3sinθ，3)，BH →=(√3cosθ，√3sinθ−2√3，3)，取AA 1→的一个方向向量为n →=(0，0，1)， cos〈BH →，n →〉=|BH →⋅n →||BH →||n →|=3√3cos 2θ+3(sinθ−2)2+9=324−12sinθ∈[12，√32]， 又0≤＜BH →，n →＞π，所以〈BA →，n →〉∈[π6，π3]，所以直线BH 与AA 1所成角的范围是[π6，π3]，即[30°，60°]，故答案为：2；[30°，60°]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，点E 是B 'C 的中点．（1）证明：D ′E ∥平面A ′BD ；（2）求直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值．（1）证明：在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，B ′D ′∥BD ，A ′D ∥B ′C ，B ′D ′∩B ′C ＝B ′，BD ∩A ′D ＝D ， 所以平面A ′BD ∥平面B ′D ′E ，又D ′E ⊂平面BD ′E ， 所以D ′E ∥平面A ′BD ；（2）解：以D 为原点，DA →，DC →，DD′→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），C ′(0，1，1)，D ′(0，0，1)，E(12，1，12)，所以D ′E →=(12，1，−12)，又平面ABCD 的法向量n →=(0，0，1)，设直线D ′E 与平面ABCD 所成角为θ，sinθ=|cos〈n →，D′E →〉|=|D′E →⋅n →||D′E →|⋅|n →|=12√32=√66，所以直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66． 18．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求C 的方程； （2）求△AOB 的面积．解：（1）由已知及抛物线的定义可得p ＝|MF |cos （180°﹣135°）=2√2cos45°＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．（2）由（1）知F （1，0），设直线AB ：x +y ﹣1＝0，将其代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1+y 2＝﹣4，y 1y 2＝﹣4，△AOB 面积为：12|OF ||y 1﹣y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√32=2√2．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．解：（1）根据题意，记事件A 为“车床加工的零件为次品”，事件B i 为“该零件由第i 台车床加工的零件”，i ＝1，2，则P （A |B 1）＝6%，P （A |B 2）＝5%，已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，则P （B 1）＝40%，P （B 2）＝60%，故P （A ）＝P （B 1）P （A |B 1）+P （B 2）P （A |B 2）＝40%×6%+60%×5%＝0.054； （2）根据题意，由贝叶斯公式P （B 1|A ）=P(AB 1)P(A)=P(B 1)P(A|B 1)P(A)=0.4×0.060.054=0.0240.054=49． 20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 解：（1）因为点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，所以{1a 2=12a 2−3b 2=1，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线C 的方程为x 2−y 23=1， 又c =√a 2+b 2=2， 所以C 离心率e =ca=2，渐近线方程为y =±√3x ； （2）证明：易知k 1，k 2一定存在且k 2≠±1， 因为F （2，0），x 0＞0， 所以k PF =k 1=y 0x 0−2，k PA 1=k 2=y0x 0+1， 此时2k 21−k 22=2y 0x 0+11−y 02(x 0+1)2=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02，因为点P 在双曲线C 上，所以x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3， 则2k 21−k 22=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02=2y 0(x 0+1)−2(x 0−2)(x 0+1)=−y 0x 0−2=−k 1．故k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．解：（1）证明：因为∠BCD ＝90°，CD ＝BC ＝2√2， 所以BD ＝4，∠CBD ＝45°，在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝4√2，由余弦定理可得AD =√AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcos∠ABD =4， 所以AD 2+BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD ， 取AD 的中点O ，连接PO ， 因为△P AD 是等边三角形， 所以PO ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂面P AD ， 所以PO ⊥面ABCD ， 因为BD ⊂面ABCD ， 所以PO ⊥BD ，又因为PO ∩AD ＝O ，PO ，AD ⊂面P AD ， 所以BD ⊥面P AD ．（2）取AB 的中点N ，连接ON ，ON ∥BD ， 所以AD ⊥ON ，以O 为原点，ON ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则A （0，﹣2，0），D （0，2，0），B （4，2，0），C （2，4，0），P （0，0，2√3），AP →=（0，2，2√3），DM →=DP →+PM →=DP →+λPC →=（0，﹣2，2√3）+λ（2，4，﹣2√3）＝（2λ，4λ﹣2，2√3（1﹣λ）），0≤λ≤1， 又DB →=（4，0，0），设平面MBD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{DM →⋅n →=2λx +(4λ−2)y +2√3(1−λ)z =0DB →⋅n →=4x =0，当λ=12时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意，当λ≠12时，令z ＝2λ﹣1，得平面MBD 的法向量为n →=（0，√3（λ﹣1），2λ﹣1），又平面ABCD 的一个法向量为m →=（0，0，1），由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√1313， 所以|cos ＜m →，n →＞|=√[√3(λ−1)]+(2λ−1)=√1313，解得λ=13或λ=35． 22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．解：（1）因为x 2+y 2+2√3x −21=0， 所以(x +√3)2+y 2=24， 所以T(−√3，0)，半径r =2√6，因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ， 所以|RH |＝|RG |，所以|RT|+|RH|=|RT|+|RG|=|TG|=2√6＞|TH|=2√3，所以动点R 的轨迹是以T(−√3，0)，H(√3，0)为焦点，长轴长为2√6的椭圆， 所以a =√6，c =√3，b =√3， 故曲线E 的方程为x 26+y 23=1；（2）λ+μ＝4．证明：当直线AB 的斜率不存在时，其方程为x =√3，与y 轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为y ＝k （x ﹣3）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −√3)x 26+y 23=1，消去y ，整理得(1+2k 2)x 2−4√3k 2x +6k 2−6=0，Δ＞0恒成立， 所以{x 1+x 2=4√3k1+2k2x 1x 2=6k 2−61+2k 2， 又因为直线AB 与y 轴的交点为C ，所以C(0，−√5k)， 所以CA →=(x 1，y 1+√3k)，AH →=(√3−x 1−y 1)， CB →=(x 1，y 2+√3k)，BH →=(√3−x 2，−y 2)，又因为CA →=λAH →，所以x 1=λ(√3−x 1)，同理x 2=μ(√3−x 2)， 所以λ=13−x 1μ=23−x 2， 所以λ+μ=x 1√3−x 1x 2√3−x 2=√3(x 1+x 2)−2x 1x 23−√3(x 1+x 2)+x 1x 2=√3×4√3k21+2k 2−2×6k2−61+2k23−√3×4√3k 21+2k 2+6k 2−61+2k2， 整理后得λ+μ=12k 2−12k 2+123+6k 2−12k 2+6k 2−6=−123=−4， 所以λ+μ 为定值﹣4，原题得证．（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），显然PQ 的斜率存在，x1≠2，x 2≠2，设PQ 的方程是y ＝hx +m ，由{y =kx +mx 2+2y 2=6，消去y 得：（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0， 由韦达定理得{x 1+x 2=−2km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1，由已知k MP •k MQ ＝1，可得y 1−1x 1−2−y 2−1x 2−2=1，即y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4， 又y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m ，代入上式整理得m 2+（8k +2）m +12k 2﹣3＝0， 则m ＝﹣6k ﹣3或m ＝1﹣2k ，当m ＝﹣6k ﹣3时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣6）﹣3， 所以直线PQ 经过定点（6，﹣3），当m ＝1﹣2k 时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣2）+1， 所以直线PQ 经过定点（2，1）与M 重合，舍去， 故直线PQ 经过定点K （6，﹣3），又因为MD ⊥PQ ，所以D 在以线段MK 为直径的圆上， 所以F 为线段ME 的中点，即F （4，﹣1），所以|DF|=12|MK|=12×√(6−2)2+(−3−1)2=2√2为定值．。
2023-2024学年甘肃省高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线23x−2y−1=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a5=10，则S8=( )A. 10B. 20C. 30D. 403.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，O为原点，点M在抛物线C上，且|MF|=5，则△OMF的周长为( )A. 6+42B. 7+42C. 10D. 114.有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为( )A. 10种B. 20种C. 30种D. 40种5.《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为( )A. 1尺B. 1.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺6.若直线(3a+2)x+ay+6=0和直线ax−y+3=0平行，则( )A. a=0或a=−13B. a=−1或a=−2C. a=−1D. a=−27.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是( )A. |PA|的最小值为2B. |PA|最小时，弦AB长为6C. |PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1D. 四边形PACB的面积最小值为38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点M，使得∠MF2F1=3∠MF1F2≠0，则双曲线C渐近线斜率的取值范围为( )A. (2,2)B. (1,3)C. (1,3]D. (−3,−1)∪(1,3)二、多选题：本题共4小题，共20分。
数学高二上期末经典复习题(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：13328]在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49D ．292．(0分)[ID ：13318]某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等 3．(0分)[ID ：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．94．(0分)[ID ：13310]如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．(0分)[ID ：13305]执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．86．(0分)[ID ：13295]如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯7．(0分)[ID ：13294]随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8．(0分)[ID ：13290]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn9．(0分)[ID ：13288]执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．110．(0分)[ID ：13278]执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）A．261B．425C．179D．54411．(0分)[ID：13277]在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．140812．(0分)[ID：13259]运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A．60i>B．70i>C．80i>D．90i>13．(0分)[ID ：13245]定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3214．(0分)[ID ：13243]执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．815．(0分)[ID ：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．127B ．29C ．49D ．827二、填空题16．(0分)[ID ：13412]执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．17．(0分)[ID ：13395]一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.18．(0分)[ID ：13388]某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．19．(0分)[ID ：13376]某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。
答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。
答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。
答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。
答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。
答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为（）。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。
答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。
高二数学上学期期末考试题及答案
高二数学上学期期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f(-1)$的值为（）A. -3B. 0C. 3D. 4答案：C2. 函数$y = 2x^3 - 3x^2 + 1$的导数为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A3. 设函数$y = \sqrt{1 - x^2}$，则其定义域为（）A. $x \in (-\infty, 1]$B. $x \in [0, 1]$C. $x \in [-1, 1]$D. $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$答案：C4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，$g(x) = x^2$，则$f(g(x))$的解析式为（）A. $\frac{1}{x^3}$B. $\frac{1}{x^2}$C. $x^3$D. $x^4$答案：A5. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求$f(1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B6. 设函数$f(x) = 2x + 3$，$g(x) = 4x - 5$，求$f(g(x))$的值（）A. $8x - 7$B. $8x + 7$C. $6x - 7$D. $6x + 7$答案：A7. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，求$f(-1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 设函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，则$f'(x)$的值为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A9. 函数$y = x^2 + 2x + 1$的极值点为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C10. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，则$f(2)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的导数为________。
2023-2024学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知n1→=(√3，x，2)，n2→=(−3，√3，−2√3)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x＝（）A．﹣7B．﹣1C．1D．72．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为√22，则该椭圆的方程为（）A．x24+y22=1B．x24+y2=1C．x216+y28=1D．x28+y216=13．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2−x2b2=1(a＞0，b＞0)下支的一部分，且此双曲线的渐近线方程为y=±√33x，则该双曲线的离心率为（）A．2√33B．2C．√63D．√34．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若2S4＝S3+S5+3，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2＝12且a1，a2+6，a3成等差数列，则S10S5为（）A．244B．243C．242D．2416．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数．例如φ（1）＝1，φ（4）＝2．则下列结论正确的是（）A．φ（n+1）≥φ（n）B．φ（2n）＝2φ（n）C．数列{φ（2n）}是等比数列D．φ（7）＝φ（3）+φ（4）7．一平面截正四棱锥P﹣ABCD，与棱P A，PB，PC，PD的交点依次为A1，B1，C1，D1，已知PA1= 13PA，PB1=12PB，PC1=14PC，PD1=λPD，则λ的值为（）A．19B．15C．25D．2118．如图，F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且AF1∥BF 2，|AF 1|：|AF 2|：|BF 2|＝1：2：3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．√3x ±y =0B ．x ±√3y =0C ．3x ±√6y =0D ．3x ±2√6y =0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：l 1：x +y +2＝0，l 2：x +y +4＝0，另一组对边l 3：3x ﹣4y +c 1＝0，l 4：3x ﹣4y +c 2＝0．则下列命题正确的有（ ） A ．|c 1−c 2|=5√2B ．与l 1，l 2距离相等的点的轨迹方程为x +y +3＝0C ．该菱形一定有内切圆和外接圆D ．若直线l 1经过抛物线x 2＝﹣2py 的焦点，则p ＝210．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →=(2，−1，−4)，AD →=(4，2，0)，AP →=(−1，2，−1)，下列结论正确的有（ ） A ．AP ⊥AB B ．四边形ABCD 为矩形 C ．AP ⊥平面ABCDD ．AP ∥BD11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，p ，q ，s ，t 是互不相同的正整数，且p +q ＝s +t ，若在平面直角坐标系中有点A （p ，a p ），B （q ，a q ），C （s ，a s ），D （t ，a t ），则下列选项成立的有（ ） A ．直线AC 与直线BD 的斜率相等 B ．|AB |＝|CD | C ．a t −a p t−p=2a t −a q −a s 2t−q−sD ．qS p +pS q tS s +sS t =pqst12．O 为坐标原点，以l 为准线，F 为焦点的抛物线C 的方程为：y 2＝4x ．过F 的直线交C 于P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点，PD ⊥l 于D ，QE ⊥l 于E ，M 为线段DE 的中点．下列选项正确的有（ ） A ．△ODE 面积S △ODE 的最小值为4 B ．S △EQF S △DPF=x 2x 1C ．直线PM 与x 轴交于T 点，过点P 作PM 的垂线与x 轴交于N 点，则|FT |＝|FN |D ．4|PF |•|QF |≤|DE |2，当且仅当PQ ⊥x 轴时取等号三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．直线L ：3x ﹣y ﹣6＝0被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0截得的弦AB 的长为 ．14．已知四面体O ﹣ABC ，D 是棱AB 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则CD →= ．（用向量a →，b →，c →表示）．15．已知圆x 2+y 2+6x ﹣7＝0上恰有3个点到双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ．16．如果数列{a n }满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”． （1）已知数列{a n }各项均为正数，且单调递增；（2）数列{a n }的前n 项组成的集合记为A ＝{a 1，a 2，…，a n }，对于任意1≤i ＜j ≤n ，如果a i 、a j ∈A ，则a j ﹣a i ∈A ．已知数列{c n }（1≤n ≤2024）为“闭数列”，且c 1+c 2+…+c 2024＝2024，则c 1＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S 2=S 4，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．（1）已知点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高；（2）在（1）的条件下，求平面AB 1D 1与平面AB 1C 所成角的余弦值．19．（12分）直线y ＝1与双曲线x 23−y 2=1的两条渐近线交于A 、B 两点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．（1）求过点A 、B 、F 1的圆的方程；（2）设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点P ，求圆在点P 处的切线方程．20．（12分）“天眼”探空、神舟飞天、高铁奔驰、北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹．为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利20%，每年年底需从利润中取出200亿元作为研发经费．设经过n 年之后，该项目资金为a n 亿元．（1）写出a 1的值，并求出数列{a n }的通项公式．（2）求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标．（取lg 2≈0.3，lg 3≈0.5）21．（12分）已知数列{a n }的首项为a 1，前n 项和为S n ，且2S n ＝（a 1+a n ）n ． （1）求证：数列{a n }为等差数列．（2）若数列{a n }公差为13，a n ＞0，1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a 9a 10=12，当S n +10n取最小值时，求n 的值．22．（12分）已知两圆C 1：x 2+y 2+2x =0，C 2：x 2+y 2−2x −8=0．一动圆与圆C 1相外切，与圆C 2相内切．设动圆的圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）A ，B 为曲线C 上的两动点，直线OA 的斜率为k 1，直线OB 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，其中k 为k 1，k 2的等比中项，以OA 为直径的圆的面积为S 1，以OB 为直径的圆的面积为S 2，△OAB 的面积为S ，求S 1+S 2S的最小值．2023-2024学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知n1→=(√3，x，2)，n2→=(−3，√3，−2√3)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x＝（）A．﹣7B．﹣1C．1D．7解：n1→=(√3，x，2)，n2→=(−3，√3，−2√3)分别是平面α，β的法向量，因为α⊥β，所以n1→⊥n2→，所以n1→⋅n2→=√3×(−3)+x×√3+2×(−2√3)=0，解得x＝7．故选：D．2．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为√22，则该椭圆的方程为（）A．x24+y22=1B．x24+y2=1C．x216+y28=1D．x28+y216=1解：由长轴长为4，得2a＝4，又离心率为√22，即e=ca=√22，解得a=2，c=√2，故b=√a2−c2=√2，所以椭圆方程为x24+y22=1．故选：A．3．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2−x2b2=1(a＞0，b＞0)下支的一部分，且此双曲线的渐近线方程为y=±√33x，则该双曲线的离心率为（）A．2√33B．2C．√63D．√3解：由题意，双曲线的焦点在y轴上，且渐近线方程为y=±√33x，所以ab=√33，即ba=√3，所以该双曲线的离心率为：e=ca=√a2+b2a2=√1+b2a2=√1+3=2．故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若2S4＝S3+S5+3，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12解：设等差数列{a n}的公差为d，由2S4＝S3+S5+3可得，S4﹣S3＝（S5﹣S4）+3，即a4＝a5+3，所以d＝a5﹣a4＝﹣3，又a1＝2，所以a5＝a1+4d＝2﹣12＝﹣10．故选：B．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2＝12且a1，a2+6，a3成等差数列，则S10S5为（）A．244B．243C．242D．241解：由题意可知，a1+a2＝12且a1+a3＝2（a2+6），设等比数列的公比为q，则a1+a1q2=2a1q+a1+a1q，得q＝3，∴S10S5=a1(1−310)1−3a1(1−35)1−3=1−3101−35=1+35=244．故选：A．6．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数．例如φ（1）＝1，φ（4）＝2．则下列结论正确的是（）A．φ（n+1）≥φ（n）B．φ（2n）＝2φ（n）C．数列{φ（2n）}是等比数列D．φ（7）＝φ（3）+φ（4）解：因为φ（3）＝2，φ（5）＝4，φ（6）＝2，所以φ（6）＜φ（5），故A错误；当n＝3时，φ（6）≠2φ（3），故B错误；因为所有偶数与2n不互素，所有奇数与2n互素，所以φ（2n）＝2n﹣1，φ（2n+1）＝2n，所以φ(2n+1)φ(2n)=2，即数列{φ（2n）}是等比数列，故C正确；φ（7）＝6，φ（3）+φ（4）＝2+2＝4，所以φ（7）≠φ（3）+φ（4），故D错误．故选：C．7．一平面截正四棱锥P﹣ABCD，与棱P A，PB，PC，PD的交点依次为A1，B1，C1，D1，已知PA1= 13PA，PB1=12PB，PC1=14PC，PD1=λPD，则λ的值为（）A ．19B ．15C ．25D ．211解：如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，连接AC 、BD 相交于点O ，连接PO ， 则PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，以O 为原点，分别以OA 、OD 、OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设OA ＝a （a ＞0），OP ＝c （c ＞0），由PA 1=13PA ，PB 1=12PB ，PC 1=14PC ，PD 1=λPD ，可得A 1(a 3，0，23c)，B 1(0，a 2，c 2)，C 1(−a 4，0，3c4)，D 1(0，−aλ，c −cλ)，则A 1B 1→=(−a 3，a 2，−c 6)，A 1C 1→=(−7a 12，0，c 12)，A 1D 1→=(−a 3，−aλ，c3−cλ)，设n →=(x ，y ，z)为平面A 1B 1C 1的一个法向量，则{n →⋅A 1B 1→=−a 3x +a 2y −c6z =0n →⋅A 1C 1→=−7a 12x +c12z =0，令x ＝1，得n →=(1，3，7a c )，∴A 1D 1→⋅n →=(1，3，7a c )⋅(−a 3，−aλ，c 3−cλ)=−a 3−3aλ+(c 3−cλ)×7a c =0，解得λ=15． 故选：B ．8．如图，F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，A 在左支上，B 在右支上，且AF 1∥BF 2，|AF 1|：|AF 2|：|BF 2|＝1：2：3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．√3x ±y =0B ．x ±√3y =0C ．3x ±√6y =0D ．3x ±2√6y =0解：如图，连接BF 1，∵|AF2|＝2|AF1|，∴由双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|＝|AF1|＝2a，则|AF2|＝4a，|BF2|＝6a，|BF1|＝|BF2|+2a＝8a，在△AF1F2中，cos∠AF1F2=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1||F1F2|=4c2−12a28ac=c2−3a22ac，在△BF1F2中，cos∠BF2F1=|BF2|2+|F1F2|2−|BF1|22|BF2||F1F2|=4c2−28a224ac=c2−7a26ac，∵AF1∥BF2，∴∠AF1F2+∠BF2F1＝180°，得cos∠AF1F2＝﹣cos∠BF2F1，∴c2−3a22ac=−c2−7a26ac，得c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，∴b=√3a，∴该双曲线的渐近线方程为y=±√3x，即√3x±y=0．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：l1：x+y+2＝0，l2：x+y+4＝0，另一组对边l3：3x﹣4y+c1＝0，l4：3x﹣4y+c2＝0．则下列命题正确的有（）A．|c1−c2|=5√2B．与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为x+y+3＝0C．该菱形一定有内切圆和外接圆D．若直线l1经过抛物线x2＝﹣2py的焦点，则p＝2解：对于A，因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x+y+2＝0和x+y+4＝0之间的距离为：√12+12=√2=√2，3x﹣4y+c1＝0和3x﹣4y+c2＝0之间的距离为：1222=|c1−c2|5，所以|c1−c2|5=√2，解得|c1−c2|=5√2，故A正确；对于B，设与l1，l2距离相等的点为（a，b），则√12+12=√12+12，所以a+b+2＝﹣（a+b+4），即a+b+3＝0，所以所求点的轨迹方程为x+y+3＝0，故B正确；对于C ，若该菱形有外接圆，则菱形两条对角线的交点和外接圆的圆心重合， 此时菱形的两条对角线与圆的直径重合，故两对角线长相等， 则对角线相等的菱形必然为正方形，则l 1⊥l 3，而k l 1=−1，k l 3=34，所以k l 1×k l 3=−34≠−1，矛盾，故该菱形没有外接圆，故C 错误；对于D ，直线l 1：x +y +2＝0经过点（0，﹣2），即x 2＝﹣2py 的焦点为（0，﹣2），所以p ＝4，故D 错误； 故选：AB ．10．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →=(2，−1，−4)，AD →=(4，2，0)，AP →=(−1，2，−1)，下列结论正确的有（ ） A ．AP ⊥AB B ．四边形ABCD 为矩形 C ．AP ⊥平面ABCDD ．AP ∥BD解：点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，AB →=(2，−1，−4)，AD →=(4，2，0)，AP →=(−1，2，−1)， ∴AP →⋅AB →=−2﹣2+4＝0，∴AP ⊥AB ，故A 正确；BD →=AD →−AB →=（2，3，4），AP 与BD 不平行，∴四边形ABCD 不为矩形，故BD 错误； AD →⋅AP →=−4+4+0＝0，∴AP ⊥AD ，又AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AP ⊥平面ABCD ，故C 正确． 故选：AC ．11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，p ，q ，s ，t 是互不相同的正整数，且p +q ＝s +t ，若在平面直角坐标系中有点A （p ，a p ），B （q ，a q ），C （s ，a s ），D （t ，a t ），则下列选项成立的有（ ） A ．直线AC 与直线BD 的斜率相等 B ．|AB |＝|CD | C ．a t −a p t−p=2a t −a q −a s 2t−q−sD ．qS p +pS q tS s +sS t =pqst解：设等差数列{a n }的公差为d ，p ，q ，s ，t 是互不相同的正整数，且p +q ＝s +t ， 则有a p +a q ＝a s +a t ，a s −a p s−p =a t −a qt−q=d ，对于A ，直线BD 的斜率k BD =a t −a q t−q =d ，直线AC 的斜率k AC =a s −a ps−p=d ，A 选项正确； |CD|=√(t −s)2+(a t −a s )2=√(t −s)2+[(t −s)d]2=√1+d 2⋅|t −s|， |AB|=√(q −p)2+(a q −a p )2=√(q −p)2+[(q −p)d]2=√1+d 2⋅|q −p|， 已知条件中不能得到|t ﹣s |＝|q ﹣p |，B 选项错误；a t−a p t−p =d，2a t−a q−a s2t−q−s=(a t−a q)+(a t−a s)(t−q)+(t−s)=d(t−q)+d(t−s)(t−q)+(t−s)=d，a t−a p t−p =2a t−a q−a s2t−q−s，C选项正确；qS p+pS q tS s+sS t =q⋅p(a1+a p)2+p⋅q(a1+a q)2t⋅s(a1+a s)2+s⋅t(a1+a t)2=pq(2a1+a p+a q)st(2a1+a s+a t)=pqst，D选项正确．故选：ACD．12．O为坐标原点，以l为准线，F为焦点的抛物线C的方程为：y2＝4x．过F的直线交C于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，PD⊥l于D，QE⊥l于E，M为线段DE的中点．下列选项正确的有（）A．△ODE面积S△ODE的最小值为4B．S△EQFS△DPF=x2x1C．直线PM与x轴交于T点，过点P作PM的垂线与x轴交于N点，则|FT|＝|FN| D．4|PF|•|QF|≤|DE|2，当且仅当PQ⊥x轴时取等号解：根据题意，F（1，0），准线l：x＝﹣1，设直线PQ的方程为x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立{x=my+1y2=4x，消去x整理得y2﹣4my﹣4＝0，∴Δ＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，∴|DE|=|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√16m2+16≥4，当且仅当m＝0时等号成立，∴S△ODE=12×|DE|×1≥12×4=2；故A错误；又|PF|＝|PD|，|QE|＝|QF|，∠DPF+∠EQF＝π，∴S△EQF=12|QE|⋅|QF|×sin∠EQF，S△PDF=12|PD|⋅|PF|×sin∠DPF，∴S△EQFS△PDF=|QF|2|PF|2，又|QF||PF|=|y2||y1|，∴S△EQFS△PDF=|QF|2|PF|2=y22y12=4x24x1=x2x1，故B正确；易知M（﹣1，2m），则直线PT的斜率为k1=y1−2m x1+1，所以直线PT的方程为y−2m=y1−2mx1+1(x+1)，令y＝0，解得x T=−2m(x1+1)y1−2m−1，因为直线PT与直线PN垂直，所以直线PN的方程为y−y1=x1+12m−y1(x−x1)，令y＝0，求得x N=y1(y1−2m)x1+1+x1，又x1＝my1+1，y12=4x1=4my1+4，∴x T+x N=−2m(x1+1)y1−2m−1+y1(y1−2m)x1+1+x1=−2m(my 1+2)y 1−2m −1+y 1(y 1−2m)my 1+2+my 1+1=(4m 3+2m)y 12−(1+m 2)y 13+8m 2y 1+8m −my 12+(2m 2−2)y 1+4m =−(4+4m 2)y 1−(2+2m 2)y 1=2，所以|FT |＝|FN |，故C 正确； ∵|DE|2=|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16m 2+16，|PF |•|QF |＝（x 1+1）（x 2+1）＝x 1x 2+x 1+x 2+1＝（my 1+1）（my 2+1）+my 1+1+my 2+1+1 =m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=4m 2+4，∴|DE |2﹣4|PF |•|QF |＝16m 2+16﹣4（4m 2+4）＝0，即|DE |2＝4|PF |•|QF |恒成立，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．直线L ：3x ﹣y ﹣6＝0被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0截得的弦AB 的长为 √10 ． 解：将圆的方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0化为标准方程，得（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5 ∴圆心坐标为（1，2），半径r =√5． ∴圆心到直线的距离d =|3−2−6|√1+3=√102．弦AB 的长|AB |=2√r 2−d 2＝2√5−52＝2√52=√10故答案为√1014．已知四面体O ﹣ABC ，D 是棱AB 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则CD →= 12a →+12b →−c →（用向量a →，b →，c →表示）． 解：由于D 是棱AB 的中点，所以CD →=12(CA →+CB →)=12(OA →−OC →+OB →−OC →)=12OA →+12OB →−OC →=12a →+12b →−c →．故答案为：12a→+12b→−c→．15．已知圆x2+y2+6x﹣7＝0上恰有3个点到双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为3√55．解：圆x2+y2+6x﹣7＝0可化为：（x+3）2+y2＝16，所以圆心为（3，0），半径为4，不妨取双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)一条渐近线为y=−b a x，即bx+ay＝0，由题意圆上恰有3点到直线bx+ay＝0的距离为2，只需圆心（3，0）到直线bx+ay＝0的距离d=|3b|√b+a2=2，即3b＝2c，所以a=√c2−b2=√53c，所以该双曲线的离心率为e=ca=c√53c=3√55．故答案为：3√5 5．16．如果数列{a n}满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”．（1）已知数列{a n}各项均为正数，且单调递增；（2）数列{a n}的前n项组成的集合记为A＝{a1，a2，…，a n}，对于任意1≤i＜j≤n，如果a i、a j∈A，则a j﹣a i∈A．已知数列{c n}（1≤n≤2024）为“闭数列”，且c1+c2+…+c2024＝2024，则c1＝22025．解：因为数列{c n}（1≤n≤2024）为“闭数列”，且c1+c2+⋯+c2024＝2024，由题意得c2024﹣c1＝c2023，c2024﹣c2＝c2022，c2024﹣c3＝c2021，……c2024﹣c2022＝c2，c2024﹣c2023＝c1，等式两边叠加2023c2024﹣（c1+c2+c3+⋯+c2023）＝c1+c2+c3+⋯+c2023，即2023c2024﹣（2024﹣c2024）＝2024﹣c2024，所以，c2024=4048 2025，同理可得c2024﹣c1＝c2023，c2023﹣c1＝c2022，c2022﹣c1＝c2021，……c3﹣c1＝c2，c2﹣c1＝c1，等式两边叠加得（c2+c3+c4+⋯+c2024）﹣2023c1＝c2+c3+c4+⋯+c2024，即2024﹣2024c1＝2024﹣c2024，所以，c1=c20242024=22025．故答案为：22025． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S 2=S 4，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由4S 2＝S 4，可得4a 1+6d ＝8a 1+4d ； 由a 2n ＝2a n +1，令n ＝1，可得a 2＝2a 1+1，即a 1+d ＝2a 1+1； 解方程可得：a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n ﹣1．（2）因为b n =3a n ，由（1）得a n ＝2n ﹣1，所以b n =32n−1，又b n+1b n=9，故{b n }是首项为3，公比为9的等比数列， 所以{b n }的前n 项和T n =3(1−9n)1−9=38(9n−1)．18．（12分）如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．（1）已知点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高；（2）在（1）的条件下，求平面AB 1D 1与平面AB 1C 所成角的余弦值．解：（1）由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱， 建立如图所示空间直角坐标系，设高为h ，则A （1，0，0），C （0，1，0），B 1（1，1，h ），D 1（0，0，h ）， 则AC →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，ℎ)，AB 1→=(0，1，ℎ)， 设平面AB 1D 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{AB 1→⋅n →=0AD 1→⋅n →=0即{y +zℎ=0−x +zℎ=0，令z ＝1，则y ＝﹣h ，x ＝h ，则n →=(ℎ，−ℎ，1)， 已知点C 到平面AB 1D 1的距离为43，所以|AC →⋅n →||n →|=43，即√2ℎ2+1=43，解得h ＝2，所以正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是2．（2）由（1）知平面AB 1D 1的法向量为n →=(2，−2，1)，设平面AB 1C 的法向量为m →=(a ，b ，c)，由（1）AC →=(−1，1，0)，AB 1→=(0，1，2)，则{AB 1→⋅m →=0AC →⋅m →=0，即{−a +b =0b +2c =0，令b ＝1，则a =1，c =−12，即m →=(1，1，−12)，设向量m →，n →得夹角为θ，则cosθ=m →⋅n →|m →||n →|=−12√9×√94=−19， 所以平面AB 1D 1与平面AB 1C 所成角的余弦值为19．19．（12分）直线y ＝1与双曲线x 23−y 2=1的两条渐近线交于A 、B 两点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．（1）求过点A 、B 、F 1的圆的方程；（2）设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点P ，求圆在点P 处的切线方程． 解：（1）由双曲线x 23−y 2=1，得左焦点F 1（﹣2，0）， 又直线y ＝1与双曲线x 23−y 2=1的两条渐近线交于A 、B 两点，将y ＝1代入x 23−y 2=0，得x =±√3，所以A 、B 两点得坐标分别为(−√3，1)，(√3，1)，所以|OF 1|＝|OA |＝|OB |＝2，则过点A 、B 、F 1的圆的方程为x 2+y 2＝4．（2）由（1）得圆的方程为x 2+y 2＝4．解方程组{x 2+y 2=4x 23−y 2=1得切点P(√152，12)，所以k OP =12152=1√15，又过P 点的圆的切线的斜率k =−1k OP ，得k =−√15，所以过P 点的圆的切线方程为y −12=−√15(x −√152)，即√15x +y −8=0． 20．（12分）“天眼”探空、神舟飞天、高铁奔驰、北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹．为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利20%，每年年底需从利润中取出200亿元作为研发经费．设经过n 年之后，该项目资金为a n 亿元．（1）写出a 1的值，并求出数列{a n }的通项公式．（2）求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标．（取lg 2≈0.3，lg 3≈0.5）解：（1）由题意知a 1＝2000×（1+20%）﹣200＝2200， 而且a n+1=a n ×(1+20%)−200=65a n −200．可知a n+1−1000=65a n −200−1000=65(a n −1000)，又因为a 1﹣1000＝1200≠0，所以可知a n ﹣1000≠0，从而可知{a n ﹣1000}为等比数列． 因此a n −1000=(a 1−1000)×(65)n−1=1200×(65)n−1，所以a n =1200×(65)n−1+1000．（2）令a n ≥4000，可得(65)n−1≥52，因此(n −1)lg 65≥lg 52，(n −1)lg 1210≥1−2lg2，所以n −1≥1−2lg2lg3+2lg2−1=4，因此n ≥5．即至少要经过5年，项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标．21．（12分）已知数列{a n }的首项为a 1，前n 项和为S n ，且2S n ＝（a 1+a n ）n ． （1）求证：数列{a n }为等差数列．（2）若数列{a n }公差为13，a n ＞0，1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a 9a 10=12，当S n +10n取最小值时，求n 的值．解：（1）证明：对于n ≥2，2S n ＝（a 1+a n ）n ，2S n ﹣1＝（a 1+a n ﹣1）（n ﹣1）， 两式相减，得（n ﹣2）a n ＝（n ﹣1）a n ﹣1﹣a 1， 递推可得：（n ﹣1）a n +1＝na n ﹣a 1，两式相减：得（n ﹣1）a n +1+（n ﹣1）a n ﹣1＝2（n ﹣1）a n ， 所以a n +1﹣a n ＝a n ﹣a n ﹣1，所以a n ﹣a n ﹣1＝a n ﹣1﹣a n ﹣2＝⋯＝a 2﹣a 1， 即数列{a n }为等差数列．（2）因为{a n }公差为13，所以1a n a n+1=3(1a n −1a n+1)，故1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a 9a 10=3[(1a 1−1a 2)+(1a 2−1a 3)+⋯+(1a 9−1a 10)]=3(1a 1−1a 10)=3(1a 1−1a 1+9×13)=3(1a 1−1a 1+3)=12，整理得a 12+3a 1−18=0，解得a 1＝3或a 1＝﹣6（舍去），即S n =3n +n(n−1)2×13=n 2+17n 6，则S n +10n =n 2+17n+606n =16(n +60n+17)，由对勾函数性质可知，当n ≤7时，数列单调递减，当n ≥8时，数列单调递增， 当n ＝7时，S n +10n =387；当n ＝8时，S n +10n =6512，由于387＞6512，故当n ＝8时，S n +10n取最小值． 22．（12分）已知两圆C 1：x 2+y 2+2x =0，C 2：x 2+y 2−2x −8=0．一动圆与圆C 1相外切，与圆C 2相内切．设动圆的圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）A ，B 为曲线C 上的两动点，直线OA 的斜率为k 1，直线OB 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，其中k 为k 1，k 2的等比中项，以OA 为直径的圆的面积为S 1，以OB 为直径的圆的面积为S 2，△OAB 的面积为S ，求S 1+S 2S的最小值．解：（1）设动圆圆心为P ，半径为R ，圆C 1的圆心为（﹣1，0），半径为1，圆C 2的圆心为（1，0），半径为3，则|PC 1|＝R +1，|PC 2|＝3﹣R ，则|PC 1|+|PC 2|＝4，根据椭圆的定义，知动圆圆心的轨迹为：以（﹣1，0）（1，0）为焦点，长轴为4的椭圆， 即x 24+y 23=1；（2）设直线AB ：y ＝kx +m （m ≠0），A （x 1y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{3x 2+4y 2=12y =kx +m ，消去y 得（3+4k 2）x 2+8mkx +4m 2﹣12＝0……①，Δ=64m 2k 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)＞0，x 1+x 2=−8mk 4k 2+3，x 1⋅x 2=4m 2−124k 2+3， 由k 1⋅k 2=k 2得y 1y 2x 1x 2=k 2，得(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2，所以：km(x 1+x 2)+m 2=0．即8k 2＝4k 2+3，得k =±√32．代回①式，得6x 2+4√3mx +4m 2−12=0，由Δ＞0，得−√6＜m ＜√6． x 1+x 2=±2√3m 3x 1⋅x 2=2m 2−63，S1+S2=14π(OA2+OB2)=14π(x12+y12+x22+y22)=14π(x12+x22+3(1−x124)+3(1−x224))=π4[14(x1+x2)2−12x1x2+6]=74π，S=12|AB|⋅d=12√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2|m|√1+k=|m|2√(x1+x2)2−4x1x2=|m|2⋅√24−4m23=√33⋅|m|⋅√6−m2，所以S1+S2S=7√34π⋅|m|√6−m2=7√34π⋅22≥7√34π⋅√(m2+6−m22)2=7√312π，当且仅当m=±√3时取等号．所以S1+S2S的最小值为7√312π．。
2023-2024学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．经过两点P(0，−3)，Q(−√3，0)的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．圆（x +1）2+（y +1）2＝2的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．（1，1），2 B ．(1，1)，√2 C ．（﹣1，﹣1），2D ．(−1，−1)，√23．已知{a n }是等差数列，a 6＝8，a 8＝6，则a 14＝（ ） A ．﹣14B ．﹣6C ．0D ．144．已知函数f （x ）的定义域为（a ，b ），导函数f ′（x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的极小值点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．若椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．2√19−110B ．4√13−217 C ．45D ．356．若函数y =a+cosxx在区间（0，π）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−π2，+∞)B ．(−∞，−π2]C ．（﹣∞，﹣1]D ．[﹣1，+∞）7．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n +2，n ∈N ∗．记数列{a n +1(a n +3)(a n+1+3)}的前n 项和为T n ．若对任意的n ∈N *，都有k ＞T n ，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[110，+∞)B ．(110，+∞) C ．[15，+∞)D ．(15，+∞)8．已知a =ln1311，b =213，c =sin 1311−1113，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞c ＞a D ．a ＞c ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
南京市高二年级期末试卷数学（答案在最后）2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.32.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53 B.35A C.35C D.353.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.66B.36C.26D.166.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A.2281x y +=B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A .25B.50C.75D.1008.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-= B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；14.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN =.（1）用向量OAOB OC，，表示OP；（2）求||OP .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.南京市高二年级期末试卷数学2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解．【详解】直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则1(2)30a a ⋅+-⋅=，解得32a =.故选：C2.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53B.35A C.35C D.35【答案】A 【解析】【分析】利用分步计数原理即得．【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是53.故选：A ．3.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若10a <，且01q <<，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以1n n a a +>，反之，若1n n a a +>，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以10a <，且01q <<或10a >，且1q >，所以“10a <，且01q <<”是“对于任意*N ，都有1n n a a +>”的充分不必要条件.故选：A4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意得出0a b ⋅< 且a 与b 不共线，根据数量积公式列出不等式并排除两个向量反向时x 的值，从而得解.【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以0a b ⋅< ，且a 与b 不共线，又()()1,2,1,1,1,1a b x =--=--则()()11211120a b x x ⋅=⨯--⨯--⨯=-<，解得0x >，若a与b共线，则111112x --==--，即3x =，此时a b =- ，a 与b 反向，需要舍去，所以x 的取值范围为0x >且3x ≠，即()()0,33,x ∈⋃+∞.故选：D.5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.6B.6 C.26D.16【答案】A 【解析】【分析】以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，求平面AMC 的一个法向量n以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥BC ，又PA ⊥AB ，且BC ∩AB ＝B ，所以PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .则A (0，0，0)，C (1，2，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，M 1,0,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,2,0AC = ，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得平面AMC 的一个法向量为n＝(－2，1，1)，又平面ABC 的一个法向量AP＝(0，0，2)，所以cos 〈n ，AP〉＝6n AP n AP⋅=== .所以二面角B --AC --M的余弦值为6.故选：A【点睛】本题考查了空间向量法求面面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A .2281x y += B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=【答案】A 【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径，圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径，进而设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径．同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r ，则()222x a y r -+=，所以2222121,9r CC r CC =+=+，即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=．故选：A7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A.25B.50C.75D.100【答案】B 【解析】【分析】根据所给递推关系可得317599972a a a a a a +=+==+= ，即可得解.【详解】由1(1)21nn n a a n ++-=+，故2212212(1)41nn n n n a a a a n +++-=+=+，21221221(1)41n n n n n a a a a n ---+-=-=-，则()()212221212141412n n n n n n a a a a a a n n +-+-+--=+=+--=，故317599972a a a a a a +=+==+= ，故91359502502a a a a ++=⨯+=+ .故选：B.8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由12F F 在1F P上的投影等于1F P 可知PF 1⊥PF 2，利用椭圆与双曲线的焦距相同找到1e 和2e 的关系，最后构建函数利用导数求出22129e e +的最小值.【详解】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=，22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e即1=3e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8．故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：①写表达式；②消元；③求值域.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-=B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为1x ya b+=，由题可得211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩所以211,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以直线方程为30x y +-=或10x y --=，故A ，C 正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题可知12k =，故直线方程为20x y -=，D 正确．故选：ACD10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序【答案】AC 【解析】【分析】对AB ：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对C ：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对D ：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.【详解】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序.对A ：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，所有的安排顺序有：4432196⨯⨯⨯⨯=种，故A 正确；对B ：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后，先安排甲乙，则共有326⨯=种安排方式；再安排剩余3道工序，共有3216⨯⨯=种；根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：6636⨯=种，故B 错误；对C ：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有4321248⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故C 正确；对D ：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙，故共有：3214372⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故D 错误.故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±【答案】BC 【解析】【分析】根据题意设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程可得124y y m +=，124y y =-，进而可得21242x x m +=+，()241AB m =+，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断即可得.【详解】由题意可知：拋物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，且直线l 的斜率可以不存在，但不为0，设直线:1l x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，可得()()()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()212241AB x x m =++=+，对于选项A ：因为()2414AB m =+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AB 的最小值为4，故A 错误；对于选项B ：因为线段AF 的中点为111,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，1112p AF x x =+=+，则M 到y 轴的距离112x d +=，以以线段AF 为直径的圆的半径为112x +，即圆心到y 轴的距离等于该圆半径，故y 轴与该圆相切，故B 正确；对于选项C ：因为12121111111122FA FB x x my my +=+=+++++()()2212222212124444412448444m y y m m m y y m y y m m m ++++====+++-+++，所以111FA FB+=，故C 正确；对于选项D ：因为()()11221,,1,AF x y FB x y =--=-uuu r uu r ，且3AF FB =，则123y y -=，即123y y =-，联立121234y y y y m =-⎧⎨+=⎩，解得1262y my m =⎧⎨=-⎩，代入124y y =-可得2124m -=-，解得3m =±，所以直线l的斜率为，故D 错误.故选：BC.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项，点E 为1BC 中点，连接1AB 和AC ，易知1B C AE ⊥；对于B 选项，点E 在线段1B C 上运动，1B ，C ，1A ，D 四点共面，平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面；对于C 选项，AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，将这两个平面独立出来展开成同一个平面即可求解；对于D 选项，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，AE 扫过的图形为圆锥面，据此即可求解.【详解】对于A 选项，因为λμ=，所以易知点E 为1BC 中点，如图，连接1AB 和AC ，由正方形易知1AB AC =，因为点E 是1B C 的中点，所以1B C AE ⊥，故A 选项正确；对于B 选项，由题意得点E 在线段1B C 上运动，由正方体的性质可知11//B C A D ，所以1B ，C ，1A ，D 四点共面，因为点1E C B ∈，所以点E ∈平面11CDA B ，所以平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面，所以1B C 在平面1A DE ，故B 选项错误；对于C 选项，由题意得AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，易知当点A 、E 、1D 三点共线时1AE ED +最短，所以1162260AE ED AD +≥=︒=，故C 选项正确；对于D 选项，由11BC BB ==和221λμ+=易知点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AE 扫过的图形为圆锥面，所以12AE AB AC ===，且AE 为圆锥的母线，因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，所以AE 与平面11BB C C 的所成的线面角θ恒定，因为1t n 11a h r θ===，所以π4θ=，故D 选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动的分析.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；【答案】6【解析】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为1121n n C -+=，所以2121n C +=，即()1212n n +=，即2420n n +-=，解得6n =或7n =-（舍去）故答案为：614.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,32AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．【答案】1625【解析】【分析】先由题意可得1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线1AC 与1BC 的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】因为3,3,32AC BC AB ===，所以角C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()10,0,4C ，()13,0,4A ，()0,3,0B ，所以()13,0,4A C =-- ，()10,3,4BC =-，设异面直线1AC 与1BC 所成角为θ，则1111114416cos cos 25916916A C BC A C BC A C BC θ⋅-⨯====+⨯+，.故答案为1625【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =-===，所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ⨯+===.故答案为：1216.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.【答案】233【解析】【分析】设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，由4DP DQ k k ⋅=得出cos 3θ=，再由正弦定理有||||sin 2sin DP DQ θθ=，即可得出t .【详解】如图所示，设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，设11(,)D x y ，则221114y x -=，即212141y x =-，由双曲线方程可得(1,0),(1,0)P Q -，所以211121114111DP DQy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，又2DQP DPQ ∠=∠，()tan ,tan π2DP DQ k k θθ==-，则()tan tan π24θθ⋅-=，解得tan θ=，则cos 3θ=，在DPQ V 中，由正弦定理得||||sin 2sin DP DQ θθ=，可得||sin 2232cos ||sin 3DP t DQ θθθ====.故答案为：3.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .（1）用向量OAOB OC ，，表示OP；（2）求||OP.【答案】（1）111444OP OA OB OC=++ （2）6||4OP =【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再开方即可求解.【小问1详解】因为M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .所以()33131324444443OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON OA OM=+=+=+-=+=+⨯()111111422444OA OB OC OA OB OC =+⨯+=++；【小问2详解】因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，所以1OA OB OC === ，π3AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以111122OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111111111222161616444444OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 11111131616161616168=+++++=，所以||4OP = .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.【答案】（1）22(3)16x y ++=（2）7170x y -+=或7170x y +-=.【解析】【分析】（1）设出圆心，借助点到直线距离公式可解得圆心坐标，即可得方程；（2）结合三角形面积与点到直线距离公式及勾股定理计算即可得.【小问1详解】由已知可设圆心()0,(0)C b b <，4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=；【小问2详解】设圆心C 到直线2l 的距离为d ，则182ABC AB S AB d ==⨯== ，即4216640d d -+=，解得d =又d ==所以7k =或7-，所以直线2l 的方程为7170x y -+=或7170x y +-=.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．【答案】（1）32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭ ，其前n 项和为()1114414n -<+.【详解】（1）假设等比数列{a n }公比为q,3339,22a S == ，313·2a a q ∴==，且()3312113S a a a a q -=+=+=，解得1132q a =⎧⎪⎨=⎪⎩或1126q a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，32n a ∴=或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，222222166log log log 22162n n nn b na +====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，()111111·4141n n n c b b n n n n +⎛⎫∴===- ⎪++⎝⎭，()123111111111111142231414414n c c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-+-=-=-< ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭ ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）5.【解析】【分析】（I）连接BD 交AC 于点F，再连接EF，利用EF 是三角形DBS 的中位线，判断出DS 平行EF，再利用线面平行的判定得证;（II）取AB 的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC 的法向量，再利用线面角的公式求出直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【详解】（I）证明：连接BD 角AC 于点F，再连接EF.因为四边形ABCD 是菱形，所以点F 是BD 的中点，又因为点E 是BS 的中点，所以EF 是三角形DBS 的中位线，所以DS 平行EF，又因为EF ⊂平面ACE，SD ⊄平面ACE 所以SD //平面ACE（II）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠= 又AB=AD，所以三角形ABD 为正三角形.取AB 的中点O，连接SO，则DO ⊥AB 因为平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS平面ABCD =AB所以DO ⊥平面ABS，又因为三角形ABS 为正三角形则以O为坐标原点建立坐标系设AB=2a，则(0,,0),,0,0),(0,0,),(0,2,)A a S D C a-(0,),,,0),(0,3)AD a AS a AC a ===设平面ADS 的一个法向量为(,,)n x y z =则0000y AD n AS n y ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩ 取x=1，则1y z ==所以(1,n =r设直线AC 与平面ADS 所成角为θ则sin cos ,5AC n AC n AC nθ⋅===⋅【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）232n nn b +=-.【解析】【分析】（1）利用递推关系化简，消去S n ，得到a n 与a n+1间的关系，满足等差数列定义，从而求得通项公式；（2）将（1）中通项代入递推关系中，化简得到等差数列乘等比数列的形式，利用错位相减法求和，即可得到数列通项.【详解】解：（1）()214n n a s +=①，2n+11(+1)4n a s +=②②-①得到()()11124n n n n n aa a a a +++++-=，所以()()1120n n n n a a a a +++--=因为10n n a a ++>所以12n n a a +-=所以数列{}n a 为等差数列，又因为11a =所以21n a n =-（2）因为*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=所以11112122n n n n n a n b b +++++-==所以11232211()())()n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+ （1322-12353522222n n n n --=++++- ③所以12212n-12353252222n n n n b ---=++++- ④.所以④-③得到1222222112222n n n n n b ---=+++-- =2111-)212322112212n n n n n --+--=--（【点睛】方法点睛：化简转化递推关系，转化为满足等差数列的形式，利用错位相减法求解等比数列与等差数列乘积形式的前n 项和.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.【答案】（1；（2）证明过程见解析，定点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得a 的值；（2）设直线MN 的方程，由以MN 为直径的圆过点Q ，得0QM QN ⋅=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】由题可知，切线斜率存在，则设切线y kx =，联立得222220x k x a+++=，即()22222120a k x kx a +++=，相切得：()42222Δ12810a k aa k=-+=，即2220a k -=，所以12,=-=k k a a由两切线垂直得：12221k k a-⋅==-a ∴=；【小问2详解】由（1）得，椭圆方程为2212x y +=由题可知，直线MN 的斜率存在，设:=+MN y nx t ，联立得()222214220+++-=n x ntx t 设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得：2121222422,2121--+==++nt t x x x x n n 由题意MN 为直径的圆过点Q ，1122121212(,1)(,1)10QM QN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=+++∴+=①又22221212121222()()()21-=++=+++=+t n y y nx t nx t n x x nt x x t n 12121222()()()221=+++=++++=t y y nx t nx t n x x t n代入①式得：23210t t +-=13t ∴=或1-（舍去），所以MN 过定点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的几何性质是解题的关键.。
高二数学第一学期期末试卷(有答案)
高二数学第一学期期末试卷（理科）一、选择题、本大题共12小题，每小题4分共48分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将你认为的正确选项填在后面答题纸上的答题栏中。
1、条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件2、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 （ ）A 2B 3C 4D 53、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4- D. 44、以椭圆252x +92y =1的焦点为焦点，离心率e =2的双曲线方程是（ ）A.62x －122y =1B.62x －142y =1C.42x －142y =1D.42x －122y =1 5、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ， 则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段6、若”133“”3“,22表示双曲线方程是则=+-->∈k y k x k R k 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）A. 对任意的,a b R ∈，都有222220a b a b +--+<；B. 菱形的两条对角线相等；C. x x ∃=；D. 对数函数在定义域上是单调函数。
8、若双曲线22a x －22by =1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心高一 班 姓名： 学号：率是（ ）A.2B.3C.34D.359、一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2－6x +8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆10、已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到x 轴的距离为 ( )A.43 B. 53 C. 11、已知F 1、F 2为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2=60°,则椭圆的离心率为（ ）A.21B. 22C. 33D. 2312、已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题、本大题共4小题，每小题4分共16分。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
(1)求证：平面PAD 平面PCD
(2)求直线AM与平面PBC所成角的余弦值．
20．(12分)已知函数
（1）求函数 的极值．
（2）若 ，求证： ;
21．(12分)设F1，F2分别是椭圆C: 的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N；
3.已知a,b是两条不同的直线，α是平面， ，那么a//α是“a//b”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件
C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件
4.已知 ，则使不等式 都成立的x的取值集合是()
A. B． C． D.
5.若函数 在 处取得最小值，则m＝()
A. B． C.4D.5
6.已知双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为2， 且右焦点到一条渐近线的距离为 ，双曲线方程为()
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)设 为数列 的前n项和， ；
（1）求 及 ；
（2）判断这个数列是否是等差数列.
18．(12分)如图，在圆内接四边 形中，AB=1,AD=2,BD= ;
(1)求角C；
(2)若△DCB的面积 ，求△DCB的周长；
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
1.如果a<0,b>0,那么下列不等式正确的是()
A．a2>b2B.a2<b2C． D.
2.在△ABC中，角A,B,C所在的对边分别为a,b,c,若 则sinC等于()
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域上．写在本试卷上无效．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．拼音chao 所有字母组成的集合记为A ，拼音yang 所有字母组成的集合记为B ，则A B = （）A ．{}cB ．{}hC ．{}a D ．{}02．设31iiz +=，则z =（）A ．1B ．CD ．23．已知A 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为8，到y 轴的距离为5，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．94．已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则()1f x 的值（）A ．恒为正B ．等于0C ．恒为负D ．不大于05．设22tan 251tan 25a ︒=-︒，2sin 25cos 25b =︒︒，c =，则有（）A ．b c a <<B ．a b c<<C ．a c b<<D ．c b a<<6．若等差数列{}n a 的前项和为n S ，且10a >，3100a a +>，670a a <，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（）A ．6B ．7C ．12D ．137．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于点()1,0对称D ．()y f x =的图像关于直线1x =对称8．如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为1S ；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为2S ．以此类推，操作n 次，若1220232024n S S S ++⋅⋅⋅+≥，则n 的最小值是（）A ．12B ．11C ．10D ．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b 的取值可以是（）A ．2-B ．C ．2D 10．已知一组样本数据1x ，2x ，…，15x ，其中2i x i =（1,2,,15i =⋅⋅⋅），由这组数据得到另一组新的样本数据1y ，2y ，…，15y ，其中20i i y x =-，则（）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为511．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，12BC AA ==，点P 在线段1AD 上运动（不含端点），则下列说法正确的是（）A ．4,BP ⎡∈⎣B ．三棱锥111B A BC -的体积为83C ．平面11CD P ⊥平面1B CPD ．若点P 是线段1AD 的中点，则三棱锥P ABD -的外接球的表面积为20π12．设1F ，2F 为椭圆C ：2212516x y +=的两个焦点，()00,P x y 为C 上一点且在第一象限，()11,I x y 为12F PF △的内心，且12F PF △内切圆半径为1，则（）A ．2IP =B ．083y =C ．OI =D ．O 、I 、P 三点共线第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，则得到了函数为______．14．已知数列{}n a 为等比数列，11a =，516a =，则3a =______．15．如图，正方形ABCD 中，2DE EC =，P 是线段BE 上的动点且AP xAB y AD =+ （0x >，0y >），则31x y+的最小值为______．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为双曲线C ：2218y x -=上的动点，设P 对圆M ：()2231x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin b A a B =．（1）求A ；（2）若2a =，ABC △，求ABC △的周长．18．（12分）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办．展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求x 的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；（2）用分层抽样的方法从[)20,40，[)80,100这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[)80,100这组的概率．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n b =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（12分）如图，已知长方体1AC 中，1AB BC ==，12BB =，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F．（1）求证：1A C ⊥平面EBD ；（2）求点A 到平面11A B C 的距离；（3）求直线DE 与平面11A B C 所成角的正弦值．21．（12分）随着科技的发展，手机上各种APP 层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：()1012hb b J J J J ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中0J （单位：元）表示开始卖时的服装价格，J （单位：元）表示经过一定时间t （单位：天）后的价格，b J （单位：元）表示波动价格，h （单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．（1）求h 的值；（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：lg 20.3010≈22．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB △的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学参考答案一､单项选择题：1．C 2．B3．C4．A5．D6．C7．D8．B二､多项选择题：9．AC10．AC11．BCD12．BC三､填空题：13．1sin 3y x=14．415．16316．12四、解答题：【解】由sin 2sin b A a B =，得2sin cos sin b A A a B =由正弦定理得：2sin sin cos sin sin B A A A B =，由于sin sin 0A B ≠，则1cos 2B =.因为0A π<<，所以3A π=.由余弦定理得：2222cosA a b c bc =+-，又2a =，则224b c bc =+-①又ABC △，则1sin 2bc A =即1sin 23bc π=4bc =②由①②得228b c +=，则222()28816b c b c bc +=++=+=，则4b c +=.所以ABC △的周长为6．18．【解】（1）由频率分布直方图得：()0.0040.020.0080.002201x ++++⨯=，解得0.016x =，阅读时长在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]内的频率分别为0.08,0.32,0.40,0.16,0.04，所以阅读时长的平均数0.08300.32500.40700.16900.0411065.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由频率分布直方图，得数据在[)[)20,40,80,100两组内的频率比为0.004:0.0081:2=，则在[)20,40内抽取2人，记为12,A A ，在[)80,100内抽取4人，记为1234,,,B B B B ，从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共15个，其中抽取的2人都在[)80,100内的有()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共6个，所以所抽取2人都在[)80,100内的概率62155P ==．19．【解】（1）当1n =时，21112a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得11a =．当2n ≥时，由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭①，可得21112n n a S --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，②①-②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()1120n n n n a a a a --+--=．0n a > ，12n n a a -∴-=．{}n a ∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴数列{}n a 的通项公式1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）由（1）可得2(121)2n n nS n +-==，111(1)1n b n n n n ∴==-++1211111111112233411n n T b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111nn n =-=++20．【解】（1）如图，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,0,2,1,0,0,0,1,0,1,1,0A A B D C ，()11,0,2B ，因为E 在1CC 上，故可设()1,1,E t ，又1BE B C ⊥，所以()()10,1,0,1,20120BE B C t t ⋅=⋅-=+-= ，解得12t =，所以11,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1111,1,2,0,1,,1,0,22A C BE DE ⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11·1011202A C BE =⨯+⨯+-⨯= ，()11·1110202A C DE =⨯+⨯+-⨯= 11,AC BE AC DE ∴⊥⊥ ，即11,A C BE A C DE ⊥⊥BE DE E = ，,BE DE ⊂平面EBD ．所以1A C ⊥平面EBD ．（2）设平面11A B C 的一个法向量为(),,m x y z = ，()()1111,0,0,0,1,2A B B C ==-，则111·0·0A B m B C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，02x y z =⎧∴⎨=⎩，令1z =，得()0,2,1m = ，()10,0,2AA = ，所以所求的距离为1·AA m d m === （3）由（2）知，()0,2,1m = ，11,0,2ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，ED设与m 所成角为θ，则·1sin 5·m ED m ED θ==所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．21．【解】（1）在()012htb b J J J J ⎛⎫=+-⎪⎝⎭中，070,20,120,10b J J J t ====，则有()1017020120202h⎛⎫=+-⎪⎝⎭，整理得102121h⎛⎫=⎪⎝⎭，即101h=，解得10h =，所以h 的值为10．（2）由（1）知，101220100t J ⎛⎫⎪⎝⎭=+，当60J =时，10201006012t ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，即有105122t⎛⎫= ⎪⎝⎭，取常用对数得：12lg lg 1025t =，解得()10lg 5lg 21110210213.22lg 2lg 20.3010t -⎛⎫⎛⎫==-≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而N t *∈，则14t =，所以服装价格降到60元每件时需要14天．22．【解】（1）解：由题意，椭圆E 的离心率为12，可得12c a =，又由椭圆的定义，可知1248AB AF AF a ++==，所以2a =，所以1c =，又因为222a b c =+，所以23b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）解：设()()1122,,A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，则有122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+，故221 1234m AB m +===⨯+，同理，直线l '的方程为11x y m=--，设()33,C x y ，()44,D x y ，则222211112123434m m CD m m++=⨯=⨯++，所以四边形ABCD 的面积：22221117223443m m S AB CD m m ++==⨯⨯++()()22221172311411m m m m ++=⨯⨯+++-2272113411m m =⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，因为222221134114911341124m m m m ⎛⎫++-⎪⎛⎫⎛⎫+++-≤= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当21m =时，等号成立，所以227228811493411S m m =≥⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，。
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【好题】高二数学上期末试卷含答案(1)一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．153．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．94．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.755．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变6．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？7．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A．华为的全年销量最大B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度D．三星销量最小的是第四季度8．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．19369．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（）A．5个B．10个C．20个D．45个10．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球11．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A ．48B ．60C ．64D ．7212．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．15．在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________． 16．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为______．17．对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =L ），其回归直线方程是3ˆ2ˆybx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=L L ，则b =______. 18．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a = 19．如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．20．某种活性细胞的存活率(%)y 与存放温度()x C ︒之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示： 存放温度()x C ︒ 10 4 -2 -8 存活率(%)y20445680经计算得回归直线的斜率为-3.2.若存放温度为6C ︒，则这种细胞存活率的预报值为__________%．三、解答题21．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.22．某地区为了了解本年度数学竞赛成绩情况，从中随机抽取了n 个学生的分数作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示，已知得分在[)70,80的频数为20，且分数在70分及以上的频数为27.(1)求样本容量n 以及x ，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[)80,90内的概率.23．某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，给出下表数据：x23578y12246（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）试判断y与x之间是正相关还是负相关，并预测燃放烟花爆竹的天数为9天时的雾霾天数约为几天？（参考公式：()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx=-$$.）24．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出[50,60)，[90,100)的数据）和频率分布直方图.（1）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（2）求频率分布直方图中的,x y；（3）若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100)之间的概率.25．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]人数②若从年龄在[30,50)的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30,40)的概率.26．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表高三高二高一女生100150z男生300450600按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360． 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？ 故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<， 不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<， 满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．C解析：C 【解析】分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k=，可得8k =. 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==，循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=； 第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=； 第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=； 第四次：44n =<不成立，输出24kS ==，解得8k =. 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．5．A解析：A 【解析】 【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，， 所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势． 【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．8．C解析：C 【解析】 【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率。